硕士齿轮啮合原理考试作业

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硕士学位课程考试试卷

考试科目： 齿轮啮合原理

考生姓名： 考生学号：

学 院： 机械工程学院 专 业： 机械制造及自动化 考 生 成 绩：

任课老师 (签名)

一 基本概念

1．解释齿轮的瞬心线？

两平面啮合齿轮的传动比可以是可变的，也可以是恒定的，传动比函数将确定两齿轮的瞬时

角速度比，后者随第一个齿轮的转角1ϕ而变化 )(2:112112ϕϕϕωωf dt

d dt d i === 类似的 ()

121121ϕωf i == 在1ϕ的变化范围内，函数()112ϕf i =取有限的正值。假定从1

o 轴向2o 轴传递回转运动（如图）， 在垂直于轴线1o 和2o 的平面内，

构件1 和构件2的相对运动可以归结为两条共轭曲线的相互滚动，

这两条相互滚动的共轭曲线叫瞬心线。

在齿轮啮合原理中，把瞬心P 称为啮合节点。传动比恒定时，节点P 固定不动；传动比是变

数时，节点P 在连心线21O O 上作相应的变动。每个齿轮的瞬心线，就是节点p 在与该齿轮相固连的坐标系中的轨迹，因而两齿轮的相对运动可以归结为它们的瞬心线作纯滚动。

2. 解释共轭齿廓？

凡满足齿廓啮合基本定律的一对齿轮的齿廓称共轭齿廓，共轭齿廓的齿廓曲线称为共轭曲线。 共轭齿廓在接触点处的公法线（简称为齿廓法线）必须通过瞬心线的瞬时切点。这是齿廓啮合的基本定理，确定了一对共轭齿廓的几何条件。

共轭齿廓的曲线:

在已知一条齿廓曲线)(1Γ和两构件相对运动的条件下，与)(1Γ相共轭的齿廓曲线)(2Γ的曲率

2k 可用下式求得：

)1()12()1(11)12()1(12n dt r d k dt r d k ⨯-=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+ωυ （1）

式中 )1(n ——齿廓)(1Γ

的幺法矢； 1k ——)(1Γ

的相对曲率。 当)(1Γ

以方程式1111)1()()(j u y i u x r +=给出时，1k 由下式计算： 2/32121

1111

1)(y x y x y x k '+''''-'''= （2） 3．解释Willis 定理？

Willis 定理也称为啮合基本定理，起表述如下：按给定角速比变化规律传递平行轴之间的回转运动的两个齿廓，其接触点处的公法线应当通过瞬时啮合节点。

Willis 定理确定了按给定传动比规律传递运动的一对齿廓共轭的几何

条件。不论对定传动比的平面啮合，还是对变传动比的平面啮合都是正确

的。

Willis 定理的证明：设两齿轮的瞬心线在p 点相接触（如右图），与

瞬心线固连一对齿廓，并且要这对齿廓传递两轴1o 和2o 间具有给定瞬时

角速比的回转运动，该瞬时角速比由下式确定 p

o p o i 1212= nn 线是两齿廓接触点处的公法线。根据前面建立的关系，第二个齿

轮齿廓上2B 点相对于第一个齿轮齿廓上1B 点的速度，等于瞬时角速度*21ω与回转半径2pB 的乘积。相对速度12B B v 的方向应当和两齿廓在B 点的公切线方向重合，因为如果这个条件不成立，两

齿廓将彼此嵌入或者脱开。由此可以得到结论：瞬时回转半径PB 的方向与两齿廓在接触点处的公法线的方向重合。

Willis 定律（轮齿齿廓正确啮合的条件 ）在定传动比中的表述：要使一对齿轮的传动比为常数，那么其齿廓的形状必须是不论两齿廓在哪一点啮合，过啮合点所作的齿廓公法线都与连心线交与一定点P 。 P ——节点 ；

节圆 ：节点P 在两个齿轮运动平面上的轨迹是两个圆。（轮1的节圆是以O1为圆心，O1P 为半径的圆。）

设节圆半径 21,r r '' 12122112r r P O P O i '

'===ωω 4．解释齿廓渐屈线？

一条给定齿廓曲线的渐屈线是该齿廓曲线曲率中心

的轨迹，也是该齿廓曲线密切圆圆心的轨迹（见右图）。

齿廓曲线每一点的法线都和其渐屈线相切，因此，

齿廓渐屈线也是齿廓法线族的包络。

齿廓渐屈线的确定

在齿轮的瞬心线给出的情况下（见下图），齿轮齿廓的渐屈线可由下式确定

PC r p += （1）

式中 p ——齿廓渐屈线的径矢；

r ——瞬心线的径矢。

PC 的模l 由下式确定：

u d d r l PC sin 1)sin(⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-==ϕλμλ （2） 式中 r r =

在图示的直角坐标系中，齿廓的渐屈线方程为

⎭

⎬⎫++=++=)sin(sin )cos(cos λϕϕλϕϕl r y l r x （3） 5. 写出Eulor-Savary 的方程式？

212111sin 11r r a x x +=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛±+ρρμ 在两瞬心线内切的情况下，方程式中凹形瞬心线的曲率半径应取负值。类似的，在凸齿和凹齿共轭的情况下，凹齿齿廓的半径也应取负值。

这个公式表明了平面啮合中共轭齿廓在接触点处的曲率半径1ρ、2ρ与两齿轮节圆半径1r 、2r 以及接触点位置（由a '、x 确定）之间的关系。在已知1r 、2r 、a '和x 的情况下，可通过一个齿廓的曲率半径1ρ求得另一个齿廓的曲率半径2ρ。

6．用齿廓啮合方程式的运动学法，写出啮合方程式？

用啮合函数0)2(==Φυn 来确定共轭齿廓的方法，通常称为运动学法。

设有三个坐标系σ、)1(σ、)2(σ，其中σ为固定坐标系，)1(σ

和)2(σ是分别与构件1、2相固连的动坐标系。若构件1的齿廓)(1Γ

在)1(σ里的方程式为 式中 u ——参数。

则)(1Γ上啮合点的方程式为

⎭

⎬⎫==Φ+=0),()()()12(1111)1(υn t u j u y i u x r （1） 在)2(σ中，与)(1Γ相共轭的齿廓)(2Γ由下式确定：

⎭

⎬⎫=Φ=0),()1(21)2(t u r M r （2） 式中 21M ——由)1(σ到)2(σ的坐标变换矩阵。啮合线的方程为

⎭

⎬⎫=Φ=0),()1(01t u r M r （3） 式中 01M ——由)1(σ到)2(σ的坐标变换矩阵。

二 采用数学软件推导微分的方法

1，确定微分方程的类型

2，确定所求是解析解还是数值解。

Matlab 软件求解微分方程解析解的命令dsolve()；微分方程求数值解的方法：（1）欧拉公式

（2）龙格-库塔法