高等数学第九章(三重积分

D
z 1 (x ,y )
（2）“先二后一”法若 { x ,( y ,z ) |c 1 z c 2 ,( x ,y ) D z }
其中 D z 是竖坐标为 z的平面截 闭区域所得到的一个
平面闭区域，则
f(x,y,z)dxd y c2d dzzf(x,y,z)dxd
c1
D z
5
2．利用柱面坐标计算
mV f(x, y, z)dvMV
6. 中值定理：设函数 f(x, y,z)在闭区域 上连续，V是 的体积，则在上至少存在一点(, ,)，使得
f(x, y,z)d vf(, ,)V
7.奇偶对称性：
0
f(x, y,z)d v
2 fdv
1
关于xoy面对称，f(x, y,z)为z的奇函数 关于xoy面对称，f(x, y,z)为z的偶函数
分析 由三重积分的物理意义，可得所求物体的质量为
M(x, y, z)d。v故只需计算三重积分即可。而积分
区域为立体，故可考虑利用直角坐标计算。
解: 由三重积分的物理意义，可得所求物体的质量为
M(x, y, z)dv(xyz)dxdydz
1
11
dxdy(xyz)dz
1
1
1
dx (xy )dy
dvr2sindddr
转化为三次积分
源自文库 I dxdy h2(x,y) fdz
Dxy
h1(x,y)
I dxdy z2(,) fdz
Dxy
z1(,)
8
五、重积分的应用
1．几何应用
空间立体
的体积: V dv V f(x,
y) d
D
曲面的面积: A 1zx2zy2dxdy
2．物理应用
D
（1）质量 M(x, y, z)dv
0
00
0
0
2
1(1
y
1 )dx
3
02
22
10
【例2】
计算三重积分
(1dxxdyydz)z3。其中
为平面
x
0
，
y 0，z 0，xyz1，所围成的四面体。
分析 由于积分区域是由四个平面所围成的四面体，故本题应
考虑利用直角坐标计算；即按照框图中线路111的方法计算。
2.可加性： f(x, y, z)dvf(x,y,z)d vf(x,y,z)dv
12
1
2
3. 的体积：V dv
4. 单调性：若 在上，f(x ,y ,z)g (x ,y ,z)，则
f(x, y,z)d vg(x, y,z)dv
3
5．估值性质： m f( x ,y ,z ) M ,( x ,y ,z ) , 则
4
三、三重积分的计算方法
1．利用直角坐标计算
f(x, y,z)d vf(x, y,z)dxdydz
（1）“先一后二”法若D为在xoy面上的投影区域
{ x ,y , ( z ) |z 1 ( x ,y ) z z 2 ( x ,y ) ( x , , y ) D }
则
f(x ,y ,z )dx dd yx d z 2 (x d ,y z )f(y x ,y ,z )dz
11
12
利用直角坐标计算
利用柱面坐标计算
确定 D x y 上顶曲面 z h2 ( x, y) 下顶曲面 z h1( x, y)
确定
Dxy
1()
2()
上顶曲面 z z2 ( , ) 下顶曲面 z z1( , )
2 利用球面坐标计算
:1() 2()
r1(,) r() r2(,)
d 2 ( ) d r 2 ( , ) f ( r s i cn ,o r s s i s n , i r c n ) o r 2 s s d in
1 ( ) r 1 ( , )
6
四、三重积分的解题方法
计算三重积分主要应用直角坐标、柱面坐标和球面坐标 三种坐标计算。通常要判别被积函数 f(x, y, z)和积分区域 所具有的特点。如果被积函数 f(x ,y,z)g (x 2y2 z2) 积分区域 的投影是圆域，则利用球面坐标计算；如果 被积函数 f(x,y,z)g(z)，则可采用先二后一法计算；如果 被积函数 f(x,y,z)g(x2y2)，积分区域为柱或的投影 是圆域，则利用柱面坐标计算；若以上三种特征都不具备， 则采用直角坐标计算。三重积分计算的解题方法流程图如下：
（2）质心
x
1 M
xdv，y
1 M
ydv
，z
1 M
zdv
（3）转动惯量 Ix (y2z2)dv Iy (x2z2)dv
Iz (x2y2)dv
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六、典型例题
【例1】设有一物体，占有空间闭区域 { ( x ,y ,z ) |0 x 1 ,0 y 1 , 0 z 1 } 在点(x, y, z)处 的密度为 (x ,y,z)xyz，计算该物体的质量。
3．利用球面坐标计算
若 { r , , ( ) | r 1 ( , ) r r 2 ( , ) 1 ( ) , 2 ( ) , }
则 f(x, y, z)dxdydz
f ( r s ic n o ,r ss isn i,r n c o )r 2 s id n d r d
第九章 重积分
三重积分
1
三重积分
一、三重积分的概念
1．定义:
n
f(x ,y,z)d v l i0im 1f( i, i, i) vi
2．物理意义: M(x, y, z)dv 表示体密度为(x, y, z)的空间物体 的质量。
2
二、三重积分的性质
1.线性性质：
[ f(x, y,z)g(x, y,z)d ] v f(x ,y,z)d v g (x ,y,z)dv
若 { , , z ) ( | z 1 ( , ) z z 2 ( , ) 1 ( ) , 2 ( ) , }
则 f (x ,y ,z ) dx df ( y cd o ,z ss i,z ) n d d dz
d 2 ( )d z2 ( , )f( c o , s i,n z) dz 1 ( ) z1 ( , )
7
解题方法流程图
I f(x,y,z)dv D
fg(x2y2z2) Yes 投影为圆域
3 先二后一的方法
求D1及截面面积S ( z ) 求 c1,c2
I c2 g(z)S(z)dz c1
No Yes
f(x,y,z)g(z)
No 1 先一后二的方法
f g(x2y2) 为柱
No
或 投影为圆域
Yes