高等数学第九章(三重积分

分析 由三重积分的物理意义，可得所求物体的质量为
M(x, y, z)d。v故只需计算三重积分即可。而积分
区域为立体，故可考虑利用直角坐标计算。
解: 由三重积分的物理意义，可得所求物体的质量为
M(x, y, z)dv(xyz)dxdydz
1
11
dxdy(xyz)dz
1
1
1
dx (xy )dy
2.可加性： f(x, y, z)dvf(x,y,z)d vf(x,y,z)dv
12
1
2
3. 的体积：V dv
4. 单调性：若 在上，f(x ,y ,z)g (x ,y ,z)，则
f(x, y,z)d vg(x, y,z)dv
3
5．估值性质： m f( x ,y ,z ) M ,( x ,y ,z ) , 则
第九章 重积分
三重积分
1
三重积分
一、三重积分的概念
1．定义:
n
f(x ,y,z)d v l i0im 1f( i, i, i) vi
2．物理意义: M(x, y, z)dv 表示体密度为(x, y, z)的空间物体 的质量。
2
二、三重积分的性质
1.线性性质：
[ f(x, y,z)g(x, y,z)d ] v f(x ,y,z)d v g (x ,y,z)dv
11
12
利用直角坐标计算
利用柱面坐标计算
确定 D x y 上顶曲面 z h2 ( x, y) 下顶曲面 z h1( x, y)
确定
Dxy
1()
2()
上顶曲面 z z2 ( , ) 下顶曲面 z z1( , )
2 利用球面坐标计算
:1() 2()
r1(,) r() r2(,)
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解题方法流程图
I f(x,y,z)dv D
fg(x2y2z2) Yes 投影为圆域
3 先二后一的方法
求D1及截面面积S ( z ) 求 c1,c2
I c2 g(z)S(z)dz c1
No Yes
f(x,y,z)g(z)
No 1 先一后二的方法
f g(x2y2) 为柱
No
或 投影为圆域
Yes
D
z 1 (x ,y )
（2）“先二后一”法若 { x ,( y ,z ) |c 1 z c 2 ,( x ,y ) D z }
其中 D z 是竖坐标为 z的平面截 闭区域所得到的一个
平面闭区域，则
f(x,y,z)dxd y c2d dzzf(x,y,z)dxd
c1
D z
5
2．利用柱面坐标计算
3．利用球面坐标计算
若 { r , , ( ) | r 1 ( , ) r r 2 ( , ) 1 ( ) , 2 ( ) , }
则 f(x, y, z)dxdydz
f ( r s ic n o ,r ss isn i,r n c o )r 2 s id n d r d
0
00
0
0
2
1(1
y
1 )dx
3
02
22
10
【例2】
计算三重积分
(1dxxdyydz)z3。其中
为平面
x
0
，
y 0，z 0，xyz1，所围成的四面体。
分析 由于积分区域是由四个平面所围成的四面体，故本题应
考虑利用直角坐标计算；即按照框图中线路111的方法计算。
（2）质心
x
1 M
xdv，y
1 M
ydv Leabharlann ，z1 Mzdv
（3）转动惯量 Ix (y2z2)dv Iy (x2z2)dv
Iz (x2y2)dv
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六、典型例题
【例1】设有一物体，占有空间闭区域 { ( x ,y ,z ) |0 x 1 ,0 y 1 , 0 z 1 } 在点(x, y, z)处 的密度为 (x ,y,z)xyz，计算该物体的质量。
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三、三重积分的计算方法
1．利用直角坐标计算
f(x, y,z)d vf(x, y,z)dxdydz
（1）“先一后二”法若D为在xoy面上的投影区域
{ x ,y , ( z ) |z 1 ( x ,y ) z z 2 ( x ,y ) ( x , , y ) D }
则
f(x ,y ,z )dx dd yx d z 2 (x d ,y z )f(y x ,y ,z )dz
dvr2sindddr
转化为三次积分
I dxdy h2(x,y) fdz
Dxy
h1(x,y)
I dxdy z2(,) fdz
Dxy
z1(,)
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五、重积分的应用
1．几何应用
空间立体
的体积: V dv V f(x,
y) d
D
曲面的面积: A 1zx2zy2dxdy
2．物理应用
D
（1）质量 M(x, y, z)dv
若 { , , z ) ( | z 1 ( , ) z z 2 ( , ) 1 ( ) , 2 ( ) , }
则 f (x ,y ,z ) dx df ( y cd o ,z ss i,z ) n d d dz
d 2 ( )d z2 ( , )f( c o , s i,n z) dz 1 ( ) z1 ( , )
d 2 ( ) d r 2 ( , ) f ( r s i cn ,o r s s i s n , i r c n ) o r 2 s s d in
1 ( ) r 1 ( , )
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四、三重积分的解题方法
计算三重积分主要应用直角坐标、柱面坐标和球面坐标 三种坐标计算。通常要判别被积函数 f(x, y, z)和积分区域 所具有的特点。如果被积函数 f(x ,y,z)g (x 2y2 z2) 积分区域 的投影是圆域，则利用球面坐标计算；如果 被积函数 f(x,y,z)g(z)，则可采用先二后一法计算；如果 被积函数 f(x,y,z)g(x2y2)，积分区域为柱或的投影 是圆域，则利用柱面坐标计算；若以上三种特征都不具备， 则采用直角坐标计算。三重积分计算的解题方法流程图如下：
mV f(x, y, z)dvMV
6. 中值定理：设函数 f(x, y,z)在闭区域 上连续，V是 的体积，则在上至少存在一点(, ,)，使得
f(x, y,z)d vf(, ,)V
7.奇偶对称性：
0
f(x, y,z)d v
2 fdv
1
关于xoy面对称，f(x, y,z)为z的奇函数 关于xoy面对称，f(x, y,z)为z的偶函数