实验6 傅里叶变换及其性质
傅里叶实验报告
一、实验目的1. 了解傅里叶变换的基本原理和方法。
2. 掌握傅里叶变换在信号处理中的应用。
3. 通过实验验证傅里叶变换在信号处理中的效果。
二、实验原理傅里叶变换是一种将信号从时域转换为频域的方法，它可以将一个复杂的信号分解为一系列不同频率的正弦波和余弦波的叠加。
傅里叶变换的基本原理是：任何周期信号都可以表示为一系列不同频率的正弦波和余弦波的叠加。
三、实验仪器与材料1. 实验箱2. 信号发生器3. 示波器4. 计算机及傅里叶变换软件四、实验步骤1. 设置信号发生器，产生一个正弦信号，频率为f1，幅度为A1。
2. 将信号发生器输出的信号输入到实验箱，通过示波器观察该信号。
3. 利用傅里叶变换软件对观察到的信号进行傅里叶变换，得到频谱图。
4. 改变信号发生器的频率，分别产生频率为f2、f3、f4的正弦信号，重复步骤2-3。
5. 分析不同频率信号的频谱图，观察傅里叶变换在信号处理中的应用。
五、实验数据与结果1. 当信号发生器频率为f1时，示波器显示的信号波形如图1所示。
图1：频率为f1的正弦信号波形2. 对频率为f1的正弦信号进行傅里叶变换，得到的频谱图如图2所示。
图2：频率为f1的正弦信号的频谱图从图2可以看出，频率为f1的正弦信号在频域中只有一个频率成分，即f1。
3. 重复步骤4，分别对频率为f2、f3、f4的正弦信号进行傅里叶变换，得到的频谱图分别如图3、图4、图5所示。
图3：频率为f2的正弦信号的频谱图图4：频率为f3的正弦信号的频谱图图5：频率为f4的正弦信号的频谱图从图3、图4、图5可以看出，不同频率的正弦信号在频域中分别只有一个频率成分，即对应的f2、f3、f4。
六、实验分析与讨论1. 傅里叶变换可以将信号从时域转换为频域，方便我们分析信号的频率成分。
2. 通过傅里叶变换，我们可以得到信号的频谱图，直观地观察信号的频率成分。
3. 实验结果表明，傅里叶变换在信号处理中具有重要作用，可以应用于信号分解、滤波、调制等领域。
信号分析与处理——傅里叶变换性质
信号分析与处理——傅里叶变换性质傅里叶变换是信号处理中常用的分析方法，通过将信号在频域上进行分解，可以获得信号的频谱信息，并对信号进行频谱分析，从而实现对信号的处理与改变。
傅里叶变换具有以下几个重要的性质，这些性质对于信号处理的理解和实际应用至关重要。
1.线性性质：傅里叶变换具有线性性质，即对于任意两个信号x(t)和y(t)，以及对应的傅里叶变换X(f)和Y(f)，有以下关系：a) 线性叠加：傅里叶变换对于信号的叠加是可线性的，即如果有h(t) = cx(t) + dy(t)，则H(f) = cX(f) + dY(f)。
b) 变换的线性组合：如果有z(t) = ax(t) + by(t)，则Z(f) =aX(f) + bY(f)。
这种线性性质为信号的分析和处理提供了很大的方便，可以通过分别对不同组成部分进行变换，再进行线性组合，得到最终的处理结果。
2. 平移性质：傅里叶变换具有平移性质，即如果一个信号x(t)的傅里叶变换为X(f)，则x(t - t0)的傅里叶变换为e^(-j2πft0)X(f)，其中t0为平移的时间。
这意味着信号在时域上的平移将对应于频域上的相位变化，而频域上的平移则对应于时域上的相位变化。
4.卷积定理：傅里叶变换还具有卷积定理，即信号的卷积在频域上等于信号的傅里叶变换之积。
具体来说，如果两个信号x(t)和h(t)的傅里叶变换分别为X(f)和H(f)，则它们的卷积y(t)=x(t)*h(t)的傅里叶变换为Y(f)=X(f)×H(f)。
这个性质在实际的信号处理中有着重要的应用。
通过将两个信号在时域上的卷积转化为频域上的乘法操作，可以方便地进行信号处理的设计和实现。
5. Parseval定理：傅里叶变换还具有Parseval定理，即信号的能量在时域和频域上是相等的。
具体来说，如果信号x(t)的傅里叶变换为X(f)，则有∫，x(t)，^2dt = ∫，X(f)，^2df。
这个性质意味着通过傅里叶变换可以实现信号的能量分析和功率谱估计，从而对信号的能量进行定量的测量。
傅里叶变换的性质
§3–4傅里叶变换的性质设f(t) ←→F(jω)，f1(t) ←→F1(jω)，f2(t) ←→F2(jω)；α、α1、α2为实数，则有如下性质：一、线性：α1 f1(t) + α2 f2(t)←→α1F1(jω) + α2 F2(jω)二、对称性：F(jt)←→2πf(-ω)证明：将上式中的t换为ω，将原有的ω换为t，或：，即：F(jt)←→2π f(-ω)P.67例3-3：已知，再令==> ←→2πG(-ω)三、尺度变换：(α≠0的实数)可见信号持续时间与占有频带成反比(此性质易由积分变量代换证得)。
推论(折叠性)：f(-t) ←→F(-jω)四、时移性：(此性质易由傅氏变换的定义证得)推论(同时具有尺度变换与时移)：P.69-70例3-4请大家浏览。
五、频移性：(此性质易由傅氏变换的定义证得) π.70例3-5请大家浏览。
频移性的重要应用——调制定理：欧拉公式?例如门信号的调制：显然，当ω0足够大时，就可使原频谱密度函数被向左、右复制时几乎不失真。
六、时域卷积：f1(t)* f2(t) ←→F1(jω)F2(jω)证明：时域卷积的重要应用——求零状态响应的频域法：时域：yf(t) = f(t)* h(t) ==> 频域：Y f(jω) = F(jω)H(jω)七、频域卷积：f1(t). f2(t) ←→1/2π[F1(jω)*F2(jω)]八、时域微分性：df(t)/dt←→ jωF(jω) (其证明请自学P.72-73有关内容)推论:条件：例如：d(t) ←→1 ==>δ'(t) ←→jω九、时域积分性：证：故信号t轴上、下面积相等时F(0)=0，否则微分性与积分性是不可逆的。
十、频域微分性：例如：十一、频域积分性：f(0)=0时频域微分性与频域积分性才是可逆的。
十二、帕塞瓦尔定理：若f(t)为实函数，则能量表3-2傅里叶变换的基本性质下面再举几个例子说明性质的综合运用。
光学傅立叶变换实验报告
一、实验目的1. 理解光学傅立叶变换的基本原理和过程。
2. 掌握光学傅立叶变换的实验方法及步骤。
3. 分析实验结果，验证光学傅立叶变换的基本规律。
二、实验原理光学傅立叶变换是利用光学系统对光场进行傅立叶变换的一种方法。
当一束光通过一个具有傅立叶变换功能的系统时，其光场分布将发生相应的傅立叶变换。
本实验采用4f系统进行光学傅立叶变换，其中f为透镜的焦距。
实验原理如下：1. 光场分布：设物平面上的光场分布为f(x, y)，则其在傅立叶变换透镜L1的后焦面（频谱面）上的光场分布为F(u, v)。
2. 傅立叶变换：根据傅立叶变换公式，有F(u, v) = ∬f(x, y)e^(-j2πux/v)e^(-j2πuy/v)dxdy。
3. 反傅立叶变换：当光场分布F(u, v)通过另一个焦距为f的傅立叶变换透镜L2时，其在像平面上的光场分布为f'(x', y')，满足f'(x', y') = F(u, v)。
三、实验仪器与材料1. 光源：He-Ne激光器2. 物镜：焦距为f的傅立叶变换透镜3. 成像系统：焦距为f的傅立叶变换透镜4. 物平面：光栅或透明薄膜5. 频谱面：光栅或透明薄膜6. 像平面：光栅或透明薄膜7. 照相机：用于记录实验结果8. 实验台：用于固定实验装置四、实验步骤1. 将光源发出的光束经过扩束镜和半透半反镜后，分成两束光，一束作为参考光，另一束作为实验光。
2. 将实验光束经过物镜L1，投射到物平面上，物平面上的光栅或透明薄膜作为待处理的图像。
3. 实验光束经过物镜L1后，在频谱面上形成待处理图像的傅立叶变换频谱。
4. 将参考光束经过成像系统，成像在频谱面上，与实验光束的傅立叶变换频谱进行叠加。
5. 将叠加后的光束经过物镜L2，投射到像平面上，像平面上的光栅或透明薄膜作为处理后的图像。
6. 使用照相机记录实验结果，比较处理前后的图像差异。
五、实验结果与分析1. 实验结果：通过实验，观察并记录了处理前后的图像差异。
常见信号的傅里叶变换
实验二
连续非周期信号的傅里叶变换（FT）及其性质一、实验目的
在理论学习的基础上，通过本实验熟悉常见信号的傅里叶变换及掌握连续时间傅里叶变换的性质。
二、相关知识
常见信号的傅里叶变换和连续时间傅里叶变换(CTFT)的性质
1、常见连续时间非周期信号及其傅里叶变换列表如下：
在本实验中可以可以对以上信号采取以下常见运算，运算结果表达式列表如下：
三、思考问题
1、X(w)和C k在量纲上分别有什么区别？
2、C k和X(w)是否分别代表周期信号和非周期信号各频率分量的振幅？
3、如果对X(w)在频域进行抽样，即令X(w)用X(KW0)代替，那么在时域对信号会产生什么影响？。
付立叶变换及其性质
傅里叶变换的性质这里主要介绍二维离散傅里叶变换（DFT ，discrete FT ）中的几个常用性质（可分离线、周期性和共轭对称性、平移性、旋转性质、卷积与相关定理）：可分离性二维离散傅立叶变换DFT 可分离性的基本思想是二维DFT 可分离为两次一维DFT 。
因此可以用通过计算两次一维的FFT 来得到二维快速傅立叶变换FFT 算法 。
根据快速傅里叶变换的计算要求，需要图像的行列数均满足2的n 次，如果不满足，在计算FFT 之前先要对图像补零以满足2的n 次。
一个M 行N 列的二维图像f(x,y)，先按行对列变量y 做一次长度为N 的一维离散傅里叶变换，再将计算结果按列向对变量x 做一次长度为M 傅里叶变换就可以得到该图像的傅里叶变换结果，如下式所示：()()()()∑∑-=-=-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=10102exp 2exp ,1,M x N y M ux j N vy j y x f MN v u F ππ 将上式分解开来就是如下两部分，首先得到F(x,v)再由F(x,v)得到F(u,v)：∑-=-=-=101...10]/2exp[),(1),(N y N v N vy j y x f N v x F ，，，π∑-=-=-=101,...,1,0,]/2exp[),(1),(N x M v u M ux j v x F M v u F πu=0,1,2,…M-1；v=0,1,2,...N-1计算过程如下图所示：每一行有N 个点，对每一行的一维N 点序列进行离散傅里叶变换得到F(x,u)，再对得到F(x,u)按列向对每一列做M 点的离散傅里叶变换，就可以得到二维图像f(x,y)的离散傅里叶变换F(u,v)同样，做傅里叶逆变换时，先对列向做一维傅里叶逆变换，再对行做一维逆傅里叶变换，如下式所示：()()()()∑∑-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10102exp 2exp ,,M u N v M ux j N vy j v u F y x f ππ x=0,1,2,…M-1；y=0,1,2,...N-1周期性和共轭对称性由傅里叶变换的基本性质可以知道，离散信号的频谱具有周期性。
傅里叶变换性质及定理
(1-15)
(1-16)
• 将变量t与ω
互换 2f ( ) F (t)e jtdt
所以
2πf(-ω) ←→ F(t)
特别地， 当f(t)是t的偶函数， 那么
F(t) ←→ 2πf(-ω)=2πf(ω)
即有
f () 1 F(t) 2
(1-17)
•
例1-6 已知F1(ω)如图1-10所示， 利
仍以例1-3的f1(t)、 f(t)为例， f0(t)
的频谱F0(ω)如图1-7(b)所示。 利用一个
低通滤波器（在后面介绍）， 滤除2ω0附
近的频率分量， 即可提取f1(t)， 实现解
调。
(a)
f (t)
f0(t)
低 通 滤波 器
f1(t)
cos0t
F() A 2
A 4
(b) － 20
－0
0
0
A F0() 2
信号与系统
傅里叶变换性质及定理
•
1. 线性
•
若f1(t)←→F1(ω), f2(t)←→F2(ω)， 则
•
af1(t)+bf2(t) ←→ aF1(ω)+bF2(ω)
• 式中, a、 b为任意常数。
(3.3-1)
•证
af1(te jtdt
b
f(-t) ←→ F(-ω)
尺度特性说明， 信号在时域中压缩， 频域中 就扩展； 反之， 信号在时域中扩展， 在频域中 就一定压缩； 即信号的脉宽与频宽成反比。
•
一般时宽有限的信号， 其频宽无限，
反之亦然。 由于信号在时域压缩（扩展）
时， 其能量成比例的减少（增加）， 因
此其频谱幅度要相应乘以系数1/|a|。 也
傅立叶变换实验报告
一、实验目的1. 理解傅立叶变换的基本原理和数学公式；2. 掌握傅立叶变换的快速算法（FFT）；3. 熟悉傅立叶变换在图像处理、信号分析等领域的应用；4. 通过实验验证傅立叶变换的原理和效果。
二、实验原理傅立叶变换是一种重要的数学工具，用于将信号分解为其组成频率成分。
对于连续信号，使用连续傅立叶变换（CFT）；对于离散信号，使用离散傅立叶变换（DFT）。
快速傅立叶变换（FFT）是DFT的一种高效算法，通过分治法将DFT的运算次数从O(N^2)降低到O(NlogN)。
傅立叶变换的数学公式如下：C(n) = (1/N) ∫[f(t) e^(-jωnt)]dt (CFT)C(k) = (1/N) Σ[f(n) e^(-j2πkn/N)] (DFT)其中，f(t)为原始信号，C(n)为傅立叶变换后的频谱，ωn为n点的频率，N为采样点数。
三、实验内容1. 实验环境：MATLAB软件2. 实验步骤：（1）生成一个简单的连续信号，如正弦波、方波等；（2）对连续信号进行采样，得到离散信号；（3）对离散信号进行傅立叶变换，得到频谱；（4）观察频谱，分析信号的频率成分；（5）对频谱进行滤波，提取信号的主要频率成分；（6）对滤波后的频谱进行逆傅立叶变换，得到重构信号；（7）比较重构信号与原始信号，分析傅立叶变换的效果。
四、实验结果与分析1. 生成正弦波信号，进行傅立叶变换，观察频谱，发现频谱只有一个峰值，对应于正弦波的频率；2. 对正弦波信号进行采样，得到离散信号，进行傅立叶变换，观察频谱，发现频谱只有一个峰值，对应于正弦波的频率；3. 对频谱进行滤波，提取信号的主要频率成分，发现滤波后的频谱只有一个峰值，与原始信号的频率一致；4. 对滤波后的频谱进行逆傅立叶变换，得到重构信号，观察重构信号与原始信号，发现两者基本一致，说明傅立叶变换可以有效地对信号进行分解和重构。
五、实验总结通过本次实验，我们掌握了傅立叶变换的基本原理和数学公式，熟悉了FFT算法，了解了傅立叶变换在图像处理、信号分析等领域的应用。
傅里叶变换的性质与应用
傅里叶变换的性质与应用傅里叶变换（Fourier Transform）是一种在信号和图像处理领域中广泛应用的数学工具。
它通过将一个函数表示为一系列正弦和余弦函数的线性组合来描述时域和频域之间的关系。
在本文中，我们将探讨傅里叶变换的性质以及其在各个领域中的应用。
一、傅里叶变换的性质1. 线性性质傅里叶变换具有线性性质，即对于任意常数a和b以及函数f（t）和g（t），有以下等式成立：F（af（t） + bg（t））= aF（f（t））+ bF（g（t））其中F（f（t））表示对函数f（t）进行傅里叶变换后得到的频域函数。
2. 对称性质傅里叶变换具有一系列对称性质。
其中最为重要的对称性质为奇偶对称性。
当函数f（t）为实函数并满足奇偶对称时，其傅里叶变换具有如下关系：F（-t）= F（t）（偶对称函数）F（-t）= -F（t）（奇对称函数）3. 尺度变换性质傅里叶变换可以对函数的尺度进行变换。
对于函数f（a * t）的傅里叶变换后得到的频域函数为F（w / a），其中a为正数。
二、傅里叶变换的应用1. 信号处理傅里叶变换在信号处理中被广泛应用。
它可以将时域信号转换为频域信号，使得信号的频率成分更加明确。
通过傅里叶变换，我们可以分析和处理各种信号，例如音频信号、图像信号和视频信号等。
在音频领域中，傅里叶变换可以用于音乐频谱分析、滤波器设计和音频压缩等方面。
在图像处理领域中，傅里叶变换可以用于图像增强、图像去噪和图像压缩等方面。
2. 通信系统傅里叶变换在通信系统中具有重要的应用。
通过傅里叶变换，我们可以将信号转换为频域信号，并根据频域特性进行信号调制和解调。
傅里叶变换可以用于调制解调器的设计、信道估计和信号的频谱分析等方面。
在无线通信系统中，傅里叶变换也广泛应用于OFDM（正交频分复用）技术，以提高信号传输效率和抗干扰性能。
3. 图像处理傅里叶变换在图像处理中有广泛的应用。
通过将图像转换到频域，我们可以对图像进行滤波、增强和去噪等操作。
傅立叶变换的性质证明
R( ) jX ( ) H ( ) e j ( )
则
H ( ) R 2 ( ) X 2 ( ) X ( ) ( ) arctan R( )
H ( ) H ( ) R( ) R( )
( ) ( )
对其求一阶、二阶导数得
df (t ) 1 1 u (t ) u (t ) u (t ) u (t ) dt
d 2 f (t ) 1 [ (t ) (t ) 2 (t )] 2 dt
信号与系统
十、时域积分性质
f ( t ) F ( )
f (t )
是
f (t ) 的复共轭。
信号与系统
六、正反变换的对称性
若
f (t ) F ( ) ，则 F (t ) 2f ( )
j t F ( ) e d
1 根据傅立叶反变换 f (t ) 2
得
证明:
2f (t )
c
信号与系统
七、时域卷积性质
f1 (t ) F1 (),
若 则 证明：
f 2 (t ) F2 ()
f 1 (t ) f 2 (t ) F1 ( ) F2 ( )
f1 (t ) f 2 (t )
-jt [ f ( ) f ( t ) d ] e dt 1 2
- j
f (t ) f (t t0 ) f (at t0 )
即
F ( ) F ( )e-j t0
延时t0
t0 1 -j a F ( )e a a
f (t )
或
尺度变换a
傅里叶变换的11个性质公式
傅里叶变换的11个性质公式傅里叶变换的11个性质公式是傅立叶变换的基本性质，由他们可以推出其它性质。
其中包括线性性质、有穷性质、周期性质、旋转性质、折叠性质、应变性质、平移性质、对称性质、频域算子性质、滤波性质、压缩性质等共11条。
1、线性性质：如果x(t)和y(t)是两个信号，则有：X(ω)=F[x(t)]，Y(ω)=F[y(t)]，则有：X(ω)+Y(ω)=F[x(t)+y(t)]；αX(ω)=F[αx(t)]；X(ω)*Y(ω)=F[x(t)*y(t)]。
2、有穷性质：如果x(t)是有穷的，则X(ω)也是有穷的。
3、周期性质：如果x(t)在周期T内无穷重复，则X(ω)也在周期2π/T内无穷重复。
4、旋转性质：X(ω-ω0) = F[x(t)e^(-jω0t)]，即信号x(t)经过相位旋转成x(t)e^(-jω0t)，其傅里叶变换也会经过相位旋转成X(ω-ω0)。
5、折叠性质：X(ω+nω0)=F[x(t)e^(-jnω0t)]，即信号x(t)经过频率折叠后变为x(t)e^(-jnω0t)，其傅里叶变换也会经过频率折叠成X(ω+nω0)。
6、应变性质：X(aω)=F[x(at)]，即信号x(t)经过时间应变成x(at)，其傅里叶变换也会经过频率应变成X(aω)。
7、平移性质：X(ω-ω0) = F[x(t-t0)]，即信号x(t)经过时间平移成x(t-t0)，其傅里叶变换也会经过频率平移成X(ω-ω0)。
8、对称性质：X(-ω) = X*(-ω)，即傅里叶变换的实部和虚部对称。
9、频域算子性质：X(ω)Y(ω)=F[h(t)*x(t)]，即傅里叶变换不仅可以表示信号，还可以表示系统的频域表示，即h(t)*x(t)，其傅里叶变换为X(ω)Y(ω)。
10、滤波性质：H(ω)X(ω)=F[h(t)*x(t)]，即傅里叶变换可以用来表示滤波器的频域表示，即h(t)*x(t)，其傅里叶变换为H(ω)X(ω)。
傅里叶变换及其性质
小量dω，而离散频率nΩ变成连续频率ω。在这种极限情况下，
Fn趋于无穷小量，但
Fn
T
可2望Fn趋
于
有
限
值
，
且
为
一
种连续函数，一般记为F(jω)，即
第2章 连续时间傅里叶变换
f(t)lim F nej n t 1F (j )ej td
T n
2
非周期信号旳傅里叶变换可简记为
一般来说，傅里叶变换存在旳充分条件为f(t)应满足绝对
这是一种偶函数，且x→0时，Sa(x)=1；当x=kπ时，Sa(kπ)=0。
据此，可将周期矩形脉冲信号旳复振幅写成取样函数旳形式，即
Fn
E
T
San
2
第2章 连续时间傅里叶变换
Sa(x) 1
－3－2 － o
2 3
x
图 2.2-3 Sa(x)函数旳波形
第2章 连续时间傅里叶变换
Fn
E
T
2 4
o 3
特点旳频谱图一般要画两个，一种称为振幅频谱，另一种称 为相位频谱。振幅频谱以ω为横坐标，以振幅为纵坐标画出谱 线图；相位频谱以ω为横坐标，以相位为纵坐标得到谱线图。
若信号旳复振幅 为FnnΩ旳实函数，其复振幅Fn与变量(nΩ)
旳关系也能够用一种图绘出。
第2章 连续时间傅里叶变换
取样函数定义为
Sa(x) sinx x
第2章 连续时间傅里叶变换
2.5 傅里叶变换旳性质
根据傅里叶变换旳概念，一种非周期信号能够表述为指数 函数旳积分， 即
第2章 连续时间傅里叶变换
1.
若 f1 ( t) F 1 (j)f2 ,( t) F 2 (j),
傅里叶变换性质-傅里叶变换的性质证明
B
2
Bf
1
例3-7-1 例3-7-2
相移全通 网络
例3-7-3
例3-7-4（时移性质，教材3-2）
求图(a)所示三脉冲信号的 频谱。 解：
令f 0 t 表示矩形单脉冲 信号，其频谱函数 0 , F
f t
E
T
其中G t 为矩形脉冲，脉冲幅度 E， 为
E
f t
脉宽为 , 试求其频谱函数。 o t 解： 2 2 已知矩形脉冲 t 的频谱G 为 G (a)矩形调幅信号的波形 G E Sa 2 因为 1 f t G t e j 0t e j 0t 2 根据频移性质， t 频谱F 为 f 1 1 F G 0 G 0 2 2
f 0
f t
F 0
F
O
t
O
f t d t f 0
t 0
1 f 0 2 1 2
F e jt d F d
F 0
F d F 0B
B
f t d t
§4.3
傅里叶变换的性质
主要内容
对称性质 线性性质
奇偶虚实性
时移特性
尺度变换性质
频移特性
微分性质
时域积分性质
意义
傅里叶变换具有惟一性。傅氏变换的性质揭示了 信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。 讨论傅里叶变换的性质，目的在于：
•了解特性的内在联系；
•用性质求F(ω)；
傅里叶变换的性质
证明
设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的傅里叶变换分别为 $F(w)$ 和 $G(w)$，则有 $F(w) = int f(x) e^{-2pi i x w} dx$ 和 $G(w) = int g(x) e^{-2pi i x w} dx$。对 $a f(x) + b g(x)$ 进 行傅里叶变换，得到 $(a f(x) + b g(x)) star e^{2pi i x w} = a F(w) e^{2pi i x w} + b
详细描述
在进行傅里叶变换时，如果对信号进行了尺度变换，那么需要使用逆变换来还原信号。 逆变换是将傅里叶变换的复数指数部分取共轭后再乘以原信号，从而得到还原后的信号。
尺度变换的共轭
总结词
尺度变换的共轭是指在进行尺度变换时 ，将复数指数的共轭值乘以信号的过程 。
VS
详细描述
在进行尺度变换时，为了保持信号的能量 不变，需要对复数指数取共轭。这是因为 傅里叶变换中的复数指数具有共轭对称性 ，即如果一个复数取共轭，其傅里叶变换 的结果也会取共轭。因此，在进行尺度变 换时，需要将复数指数取共轭后再乘以信 号，以保持信号的能量不变。
时移的逆变换
要信号通过傅里叶反变 换恢复到原始状态的过程。
要点二
详细描述
在傅里叶反变换中，如果已知一个频谱函数经过了相位变 化，那么可以通过逆变换将其恢复到原始的时间信号。这 个过程相当于在频率域上对相位进行补偿，以抵消时间平 移带来的影响。
时移的共轭
总结词
解释
频移的共轭表明，当函数在时间 轴上取反时，其傅里叶变换在频 率轴上取反。
03 共轭性质
共轭
共轭
如果函数$f(t)$的傅里叶变换是 $F(omega)$，那么$f(-t)$的傅里叶变换 是$F(-omega)$。
实验6 傅里叶变换及其性质
幅度谱
0.4
0 w
20
10 heaviside(t + 0.05) - 10 heaviside(t - 0.05) 10 9 8 7 6 5 0.8 4 0.75 3 2 1 0 -1 0.7 0.65 1 0.95 0t
0.5
1
-20
0 w
20
100 heaviside(t + 0.005) - 100 heaviside(t - 0.005) 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 -1 1 0.9995 0.999 0.9985 0.998 0.9975 0.997 0.9965 0.996
• 连续信号傅立叶变换的数值计算方法的理论依据：
F ( jw)
f (t )e
jwt
dt lim
0
n
f (n)e jwn
当取足够小时: F (k ) f (n)e jwk n , 0 k N
n 0 N
wk
2 k N
(2) F fourier ( f , v)
F (v)
f ( x)e
jvx
dx
(3) F fourier ( f , u, v)
F (v)
f (u)e juv du
MATLAB符号运算求解：
(4) f ifourier ( F ) (2) f ifourier ( F , v)
幅度谱
-0.5
0 t
0.5
1
-20
0 w
20
3、直流信号
直流信号为：
f (t ) 1, t
傅里叶变换的基本性质
注意：微积分关系式成立的条件
第一步：求F2 (w)及F2 (0)：
F2 (w) =
F[ f2 (t)] =
F{2E [d(t + t
t )+ 2
d(t -
t )2
2d(t)]}
=
2E
-
(e
jwt 2
+
jwt
e2
-
2) = -
8E sin2 ( wt )
t
t
4
ò 且F2(0) =
¥
- ? f2 (t)dt = 0
f (t) 玾 F(
)
= Fn (w) （jw）n
0时，
例4（书例3-6）
已知三角脉冲信号 求其频谱 F(w)
f
(t)
E (1
2
t
)
0
(t )
2
(t )
2
f (t) E
0
2
t
2
解一：用时域积分性质
F (w)
F1 (w)
逆向应用
F2 (w)
f (t)
E
0
=
(1-
e-
)G j2wτ 2wc
(w)
从中可以得到幅度谱为
F
(ω)
=
ìïïíïïî
2 0
sin (wτ)
( ω < ωc ) ( ω < ωc )
在实际中往往取τ = π ,此时上式变成 ωc
F
ω
2
sin
πω ωc
0
( ω ωc ) ( ω ωc )
双Sa信号的波形和频谱如图（d） （e）所示。
傅里叶变换及其性质课件
应用
频移性质在信号调制和解调中非常有 用，例如在通信系统中的振荡器设计 和频率调制。
共轭性质
共轭性质
若 $f(t)$ 的傅里叶变换为 $F(omega)$，则 $f(-t)$ 的傅里叶 变换为 $overline{F(-omega)}$。
05
傅里叶变换的扩展
离散傅里叶变换
定义
离散傅里叶变换（DFT）是一种将离散时间信号转换为频域表示的方法。它将一个有限长 度的离散时间信号序列通过数学运算转换为复数序列，表示信号的频域特征。
性质
离散傅里叶变换具有线性、时移性、频移性、共轭对称性和周期性等性质。这些性质使得 离散傅里叶变换在信号处理、图像处理、数字通信等领域得到广泛应用。
度和相位信息。
02 03
信号处理
傅里叶变换在信号处理中有着广泛的应用，如滤波、去噪、压缩等。通 过对信号进行傅里叶变换，可以提取出信号中的特征信息，实现信号的 分类、识别和分类。
图像处理
傅里叶变换在图像处理中也有着重要的应用，如图像滤波、图像增强、 图像压缩等。通过对图像进行傅里叶变换，可以提取出图像中的特征信 息，实现图像的分类、识别和分类。
傅里叶变换的分类
离散傅里叶变换（DFT）
对时间域或空间域的信号进行离散采样，然后对离散的采样值进行傅里叶变换 。DFT广泛应用于数字信号处理和图像处理等领域。
快速傅里叶变换（FFT）
一种高效计算DFT的算法，能够在 $O(Nlog N)$ 的时间内计算出 $N$ 个采样 值的 DFT，大大提高了计算效率。FFT广泛应用于信号处理、图像处理等领域 。
傅里叶变换的性质
03
共轭性质
共轭对称
定义
如果一个函数的傅里叶变换和其共轭函数的傅里叶变 换相等，则称该函数具有共轭对称性质。
数学表达式
如果 $f(t)$ 的傅里叶变换是 $F(omega)$，那么 $f(t)$ 的傅里叶变换是 $F(-omega)$。
应用
在信号处理中，共轭对称性质可以用于对称信号的分 析和合成。
共轭反对称
定义
01
如果一个函数的傅里叶变换和其共轭函数的傅里叶变
换互为相反数，则称该函数具有共轭反对称性质。
数学表达式
02
如果 $f(t)$ 的傅里叶变换是 $F(omega)$，那么 $f(-
t)$ 的傅里叶变换是 $-F(-omega)$。
应用
03
在信号处理中，共轭反对称性质可以用于分析信号的
周期性
傅里叶变换具有周期性，这意味着对于一个函数进行傅里叶变换后，其结果仍具有周期性。这 是因为傅里叶变换将一个时域函数转换为频域函数，而频域函数中的频率分量具有周期性。
周期性的具体表现是，对于一个具有周期T的函数f(t)，其傅里叶变换F(ω)在频域中也是周期性 的，周期为2π/T。
傅里叶级数
傅里叶级数是傅里叶变换的一种特殊形式，它适用于具有有限个离散频率 分量的信号。
总结词
频域对称性质揭示了信号在频域和时间域之间的对称关系，为信号处理提供了重要的理论依据。
时间反转与频域反转
时间反转
将信号在时间轴上反转，其傅里叶变换在频域上会产生负 频率分量。
频域反转
将信号在频域上反转，其在时间域上会产生负时间位移。
总结词
时间反转与频域反转的性质表明，信号在时间域和频域的反转 具有对应关系，这种关系在信号处理和通信领域中具有重要应
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-0.6
-0.8
-1
50
-50 0 50
w
常用典型非周期信号的频谱分析 1、门信号
g (t )
1, 0,
t t
1 2 1 2
clf %门信号频谱分析 syms t1 w1 ; ft1 = sym('heaviside(t+0.5)-heaviside(t-0.5)') ; Fw1 = fourier(ft1) ; figure(1) subplot(1,2,1) ezplot(ft1); %绘制两条跳变沿 hold on axis([-1 1 0 1.1]) ; plot([-0.5 -0.5],[0 1]) ; hold on plot([0.5 0.5],[0 1]) ; grid on ; subplot(1,2,2) ezplot(abs(Fw1),[-10*pi 10*pi]); grid on title('幅度谱');
例1： （1）用符号法求解单边指数信号的傅里叶变换
f (t) e2tu(t)
（2）用符号法求解下面函数的傅里叶逆变换。
F
(
w)
1
1 w2
clf
syms t ;
ft1 = sym('exp(-2*t)*heaviside(t)') ; f (t) e2tu(t)
Fw1 = fourier(ft1) ;
-4 cos(12 t) (heaviside(t - 1/4) - heaviside(t + 1/4幅)) 度 谱
4
1
3
0.8
2
0.6
0.4 1
0.2 0
0
-1 -0.2
-2
-0.4
-3
-0.6
-4
-0.8
-1
-0.5
0
0.5 -50
0
t
w
相位谱 1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
2、冲激信号
选择矩形脉冲信号的脉宽分别为1，0.1，0.01时， 矩形脉冲信号的时域波形和幅度频谱。
heaviside(t + 0.5) - heaviside(t - 0.5)
实验6 傅里叶变换及其性质
实验目的：
1、学会运用MATLAB求连续时间信号的傅里叶变换 2、学会运用MATLAB求连续时间信号的频谱图 3、学会运用MATLAB分析连续时间信号的傅里叶变 换的性质
一、傅里叶变换的实现
实验原理：
单周期信号的周期趋近于无穷大时，周期信号就转 化为非周期信号。当周期趋近于无穷大时，周期信 号的各次谐波幅度及谱线间隔将趋近于无穷小，当 频谱的相对性状保持不变，这样，原来由许多谱线 组成的周期信号的离散频谱就会连成一片，形成非 周期信号的连续频谱。
幅度谱 0.5 0.4 0.3 0.2
-6
-4
-2
Hale Waihona Puke 0246
w
相位谱
1
0
-1
-6
-4
-2
0
2
4
6
w
例3：用MATLAB命令求出调制信号
f
(t)
AG
(t)
cos
w0t
[u(t
)
2
u(t
)]cos
2
wot
w0
12 ,
A
4,
1 2
clf syms t ; ft1 = sym('4*cos(2*pi*6*t)*(heaviside(t+1/4)-heaviside(t-1/4))') ; Fw1 = fourier(ft1) ; subplot(1,3,1) ezplot(ft1,[-0.5 0.5]); grid on ; subplot(1,3,2) ezplot(abs(Fw1),[-24*pi 24*pi]); grid on title('幅度谱'); axis([-50 50 -1 1.2]) subplot(1,3,3) phase = atan(imag(Fw1)/real(Fw1)) ; ezplot(phase,[-24*pi 24*pi]) ; grid on ; title('相位谱');
(3)F fourier( f ,u, v)
F (v) f (u)e juvdu
MATLAB符号运算求解：
(4) f ifourier(F)
(2) f ifourier(F,v)
(3) f ifourier(F,u,v)
定义符号变量和符号表达式ft/Fw （即信号的表达式写成符号表达式形式）
调用Fw=fourier(ft) 实现傅里叶变换
ezplot(abs(Fw))绘制幅度谱
phase = atan(imag(Fw1)/real(Fw1))； ezplot(phase) ;绘制相位谱
调用ft=ifourier(Fw) 实现傅里叶反变换
ezplot(ft)绘制时域波形
添加axis，title，xlabel，ylabel，text命令 使得图形直观
傅里叶变换
F (w) F[ f (t)] f (t)e jwtdt
f (t) F 1[F(w)] 1 F(w)e jwtdw
2
MATLAB符号运算求解：
(1)F fourier( f )
F (w) f (x)e jwxdx
(2)F fourier( f , v)
F (v) f (x)e jvxdx
Fw2 = sym('1/(1+w^2)') ; ft2 = ifourier(Fw2,t) ;
F
(w)
1
1 w2
例2：
用MATLAB命令绘制出例1中（1）单边指数信号的幅 度谱和相位谱
clf syms t ; ft1 = sym('exp(-2*t)*heaviside(t)') ; Fw1 = fourier(ft1) ; subplot(2,1,1) ezplot(abs(Fw1)); grid on title('幅度谱'); subplot(2,1,2) phase = atan(imag(Fw1)/real(Fw1)) ; ezplot(phase) ; grid on ; title('相位谱');
heaviside(t + 0.5) - heaviside(t - 0.5)
0.8 1
0.7
幅度谱
0.8
0.6
0.5
0.6 0.4
0.3 0.4
0.2
0.2
0.1
0
0
-1 -0.5
0
0.5
1
t
-20
0
20
w
由门信号的幅度频谱，可以看出，该信号主要 频率成分为低频信号，其主要能量都集中在第 一个过零点，随着频率的增加，各频率分量的 幅度迅速下降。注意和周期矩形脉冲信号的区 别，一个是离散谱，一个是连续谱。