(完整word版)《时间序列》试卷

《时间序列分析》试卷
注意：请将答案直接写在试卷上
一、填空题（1分*20空=20分）
1. 德国药剂师、业余天文学家施瓦尔发现太阳黑子的活动具有
11年周期依靠的是 时序分析方法。

2. 时间序列预处理包括 和 。

3. 平稳时间序列有两种定义，根据限制条件的严格程度，分为
和 。

使用序列的特征统计量来定义的平稳性属于 。

4. 统计时序分析方法分为 和 。

5. 为了判断一个平稳的序列中是否含有信息，即是否可以继续分析，需对该序
列进行 检验，该检验用到的统计量服从 分布；原假设和备择假设分别是 和 。

6. 图1为2000年1月——2007年12月中国社会消费品零售总额时间序列图，
据此判断，该序列{}t X 是否平稳（填“是”或
者“否”） ；要使其平稳化，应该对原序列进行 和 差分处理。

用Eviews 软件对该序列做差分运算的表达式是 。

7. ARIMA 模型的实质 是和
的结合。

8. 差分运算的实质是使用的
方式提取确定性信息。

9. 用延迟算子表示中心化的AR(P)模型是 。

二、不定项选择题（下列每小题至少有一个答案是正确的，请将正确答
班级 姓名 学号
500
1000150020002500300035004000
93
94
95
96
97
98
99
00
图1
案代码填入相应括号内，2分*5题=10分）
1.下列属于白噪声序列{}t ε所满足的条件的是（ ）
A. 任取T t ∈，有με=)(t E （μ为常数）
B. 任取T t ∈，有0)(=t E ε
C.)(0),(s t Cov s t ≠∀=εε
D. 2
)(εσε=t Var （2
εσ为常数） 2.使用n 期中心移动平均法对序列{}t x 进行平滑时，下列表达式正确的是（ ）
A.n x x x x x n x n t n t t n t n t t ),(1
~
211211212
1-+--++----++++++=ΛΛ为奇数；
B. n x x x x x n x n t n t t n t n t t ),(1
~
2
12122
+-++--++++++=ΛΛ为偶数；
C. )(1
~11+--+++=
n t t t t x x x n x Λ； D. n x x x x x n x n t n t t n t n t t ),21
21(1~
212
122+-++--++++++=ΛΛ为偶数。

3.关于延迟算子的性质，下列表示中正确的有 ( )
A.10=B
B.n t t n
x x B -=
C.∑=-=
-n
i n i n n
n
B C B 0
)
1()1( D.对任意两个序列{}t x 和{}t y ，有11)(--+=+t t t t y x y x B
4.下列选项不属于平稳时间序列的统计性质的是 ( )
A.均值为常数 B 均值为零 C.方差为常数 D.自协方差函数和自相关系数只依赖于时间的平移长度，而与时间的起止点无关。

5.ARMA 模型平稳性条件是（）
A.0=Φt x B ）（的特征根都在单位圆内；
B. 0=Φt x B ）（的根都在单位圆内；
C.0=Θt B ε）（的特征根都在单位圆内；
D. 0=Φ）（B 的根都在单位圆外。

三、判断并说明理由（10分）
1.模型的有效性检验是指检验模型能否能够有效地提取序列中的信息，即对残差进行平稳性检验。

2.ARIMA （p,d,q ）模型具有方差齐次性。

四、简答题：（第1小题15分，第2小题5分，本题共20分）
（2）根据平滑技术的不同，平滑法可以具体分为哪两种方法？二者的思想有何不同？（用公式说明）
2.简述时域分析方法的基本思想及分析步骤
五、计算题（25分）
3分+7分=10分） （1）1
t t 1-t t 6.18x .0x -++=εε
（2）2t 1t t 2t 1-t t 5.06.14x .18x .0x ---+++-=εεε
2. 证明
（1）对于任意常数c ，如下定义的无穷阶MA 序列一定是非平稳序列：（10分）
),0(~),(221εσεεεεWN C x t t t t t Λ+++=--
（2）{}t x 的一阶差分序列一定是平稳序列。

1--=t t t x x y
3.使用指数平滑法得到5~
1=-t x ，26.5~1=+t x ，已知序列观察值25.5=t x ，5.51=+t x ，求指数平滑系数α。

（5分）
六、案例分析题（15分）
1.某时间序列t x 时序图如图2，可知其不平稳，为了使其平稳化，需对序列怎么处理？
2.图3为经过处理的平稳序列{}t y 的时序图，可见其是平稳的。

该平稳序列的自相关系数图如图4所示，对该序列进行纯随机性检验。

3. 观察该平稳序列的自相关图（图4）偏自相关图（图5），试判断应该用什么模型拟合该平稳序列。

50
100
150
200
250
300
55
60
65
70
75
80
85
-30
-20
-10
10203055
60
65
70
75
80
85
图2：序列{}t x 时序图
图3：序列{}t y 时序图
Autocorrelations: Y
Auto- Stand.
Lag Corr. Err. -1 -.75 -.5 -.25 0 .25 .5 .75 1 Box-Ljung Prob.
1 .538 .160 . *****.******** 11.304 .001
2 .208 .158 . **** . 13.039 .001
3 .090 .155 . ** . 13.376 .004
4 -.142 .153 . *** . 14.242 .007
5 -.101 .151 . ** . 14.694 .012
6 -.118 .148 . ** . 15.330 .018
7 -.148 .146 . *** . 16.361 .022
8 .091 .143 . ** . 16.764 .033
9 .166 .140 . *** . 18.156 .033
10 -.012 .138 . * . 18.163 .052
11 -.031 .135 . * . 18.217 .077
12 -.045 .132 . * . 18.331 .106
13 -.084 .130 . ** . 18.752 .131
Plot Symbols: Autocorrelations * Two Standard Error Limits
图4：序列{}t y自相关图
Partial Autocorrelations: Y
Pr-Aut- Stand.
Lag Corr. Err. -1 -.75 -.5 -.25 0 .25 .5 .75 1
1 .538 .167 . ******.****
2 -.115 .167 . ** .
3 .039 .167 . * .
4 -.670 .167 **.****** .
5 .162 .167 . *** .
6 -.178 .16
7 . **** .
7 .031 .167 . * .
8 .610 .167 . ******.****
9 .029 .167 . * .
10 -.258 .167 . ***** .
11 .044 .167 . * .
12 .043 .167 . * .
13 -.039 .167 . * .
14 -.156 .167 . *** .
15 .219 .167 . **** .
16 .009 .167 . * .
Plot Symbols: Autocorrelations * Two Standard Error Limits
图5：序列{}t y偏自相关图
3.利用最小二乘法估计该模型参数，估计结果如表2，试根据以下软件输出结果分别写出{}
x和{}t y的估计结果（即模型）。

t
表2：
Dependent Variable: y
Method: Least Squares
Variable Coefficien Std. Error t-Statistic Prob.
4.残差的纯随机性检验结果如表3下，试进行模型有效性检验和参数显著性检验。

表3：
5.给出序列{}t x所拟合模型的名称（如ARMA(p,q)等，指明各个参数的值及含义））
《时间序列分析》试卷参考答案
一、填空题（1分*20空=20分）
10. 描述性
11. 平稳性，白噪声
12. 严平稳，宽平稳，宽平稳 13. 时域分析方法，频域分析方法
14. 纯随机性，2
χ，1,:210>∀==m H m ρρρΛ，m k H k ≤≤≠∃1,0:1ρ
15. 否，一阶，12步，d(x,1,12) 16. 差分运算，ARMA 模型 17. 自回归
18. t t x B ε=Φ)(
二、不定项选择题（2分*5=10分）
1 A C D ；
2 A D ；
3 A BD ；
4 B ；
5 A D 三、判断并说明理由（10分） 1.（5分）
答：说法不完全正确。

模型的有效性检验指的是检验模型的有效性。

如果模型有效，则拟合残差应该不含有任何信息，即残差为纯随机序列；如果模型拟合不显著，则拟合残差应该残留未被模型提取充分的信息，即非纯随机序列。

所以模型的有效性检验等同于对残差进行纯随机性检验，而不是平稳性检验。

2.（5分）
答：说法是错误的。

证明：
2
110110121)()()0,1,0(ε
σεεεεεεεεεt x Var x Var x x x x ARIMA t t t t t t t t t t t =+++=+++==++=+=-----ΛΛΛ模型：例如
即方差非齐次。

四、简答题：（第1小题15分，第2小题5分，本题共20分） 1. 答：（1）平滑法是进行趋势分析和预测时常用的一种方法。

它是利用修匀技术，削弱短期随机波动对序列的影响，使序列平滑化，从而显示出长期趋势变化的规律
（2）根据平滑技术的不同，平滑法可以具体分为移动平均法和指数平滑法。

移动平均法假定在一个比较短的时间间隔里，序列值之间的差异主要是由随机波动造成的。

根据这种假定，我们可以用一定时间间隔内的平均值作为某一期的估计值，具体公式为：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧++++++++++++=+-++---+--++----为偶数，为奇数，n x x x x x n n x x x x x n x n t n t t n
t n t n t n t t n t n t t )2121(1)(1
~2121222112112121ΛΛΛΛ 指数平滑法的思想是在实际生活中，我们会发现对大多数随机事件而言，一般都是
近期的结果对现在的影响会大些，远期的结果对现在的影响会小些。

为了更好地反映这
种影响作。

简单指数平滑的公式为： Λ+-+-+=--221)1()1(~
t t t t x x x x ααααα 2.答：时域分析方法的基本思想是源于事件的发展通常都具有一点的惯性，这种惯
性用统计的语言来描述就是序列值之间存在一定的相关关系，而且这种相关关系具有某
种统计规律。

我们分析的重点就是寻找这种规律，并拟合出适当的数学模型来描述这种规律，进而利用这个拟合模型来预测序列未来的走势。

其分析步骤如下：
第一步，考察值序列的特征；
第二步，根据序列的特征选择适当的拟合模型； 第三步，根据序列的观察数据确定模型的口径； 第四步，检验模型，优化模型；
第五步，利用拟合好的模型来推断序列其他的统计性质或预测序列将来的发展。

五、计算题：
1.检验下列模型的平稳性和可逆性（3分+7分=10分）
（1）1t t 1-t t 6.18x .0x -++=εε （2）2t 1t t 2t 1-t t 5.06.14x .18x .0x ---+++-=εεε 解：（1）
1
6.16.118.08.011>=-=<==θφ， 模型平稳、不可逆；
（2）1
2.28.04.116.04.18.01
4.14.112122<-=--=-<-=-=+>=-=φφφφφ，所以模型非平稳；
1
1.16.15.011.26.15.01
5.05.012122>=+-=-<-=--=+<=-=θθθθθ，所以模型不可逆， 综合以上，该模型不平稳不可逆
2. （1）对于任意常数c ，如下定义的无穷阶MA 序列一定是非平稳序列：（10分）
),0(~),(221εσεεεεWN C x t t t t t Λ+++=--
（2）{}t x 的一阶差分序列一定是平稳序列。

1--=t t t x x y
证明：（1）
常数
≠+++=+++==+++=----)())((0
))((2
2
2
2
2121ΛΛΛεεεσσσεεεεεεC C Var Varx C E Ex t t t t t t t t
所以序列是非平稳序列。

（2）
1321211)1()()(--------+=+++-+++=-=t t t t t t t t t t t C C C x x y εεεεεεεεΛΛ
常数
=-+=-+==-+=--2
2
2
11)1())1((0
))1((εεσσεεεεC C Var Vary C E Ey t t t t t t
所以一阶差分序列是平稳序列。

3.使用指数平滑法得到5~
1=-t x ，26.5~1=+t x ，已知序列观察值25.5=t x ，5.51=+t x ，求指数平滑系数α。

（5分）
解：ααααα25.05)1(525.5~)1(~
1+=-+=-+=-t t t x x x
26.075.025.026.5)25.05)(1(5.5~)1(~2
11=+-=+-+=-+=++αααααααt t t x x x
得5
13
,4.021==αα（舍去）
即平滑系数为0.4
六、案例分析题（15分）
1.答：由于原序列呈现出线性递增趋势，故适合用一阶差分运算使其平稳化。

2.解：由于根据延迟1到3期自相关系数计算的LB 统计量的p 值全部小于0.05，所以拒绝纯随机检验原假设，接受备择假设，即，序列{}t y 为非纯随机序列，其中含有可提取的信息。

3. 答：序列{}t y 的自相关系数（图4）一阶截尾，偏自相关系数（图5）呈拖尾，故应该选择MA(1)模型拟合该序列。

4.解：1708.001.5-++=t t t y εε
1
111708.001.5708.001.5----+++=++=-t t t t t t t t x x x x εεεε
5.解：（1）模型的有效性检验
由于模型残差自相关系数延迟6、12、18期Q 统计量的p 值均大于0.05，即接受纯随机性的原假设，认为残差序列中没有信息，也即模型拟合有效。

（2）参数显著性检验，由表2可见，两参数t 检验p 值均小于0.05，故参数显著。

6.解：对{}t x 拟合的是ARIMA （0,1,1）模型，其中p=0,表示自回归阶数；q=1,移动平均阶数为1；I=1，表示对{}t x 做一阶差分后拟合MA （1）模型。