利用换元法解一元高次方程

利用换元法解一元高次方

程

This manuscript was revised on November 28, 2020

利用换元法解一元高次方程

在初中数学竞赛中，常常会出现一些高次方程求解问题，解这类问题的核心思想是降次，而换元法是其最主要的方法，所谓换元法，是指把方程中某些代数式用新的变量代替，使方程的次数降低，从而化难为易，使问题得以解决，这里举例说明如下．

一、直接换元

例1 解方程：

(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)＝24．

分析与解

∵（x＋1）（x＋4)＝x2＋5x＋4，

（x＋2）(x＋3)＝x2＋5x＋6，

设t＝x2＋5x＋4，

则可将原方程转化为关于t的一元二次方程

t(t＋2)＝24．

即t2＋2t－24＝0，（t－4)(t＋6)＝0，

∴t＝4．t＝－6．

当t＝4时，x2＋5x＝0，

∴x＝0，或x＝－5；

当t＝－6时，x2＋5x＋10＝0，此方程无解．

故原方程的解为x＝0，或x＝－5．

二、均值换元

即求出几个代数式的平均值，利用平均值进行代换．

例2 解方程：

(4x＋1)(3x＋1)(2x＋1)（x＋1)＝3x4．

分析与解根据上面的经验，这样的方程左边是不能完全展开的，只能部分展开．

∵(4x＋1)(x＋1)＝4x2＋5x＋1，

(3x＋1)(2x＋1)＝6x2＋5x＋1，

两个代数式有相同的一次项和常数项，故设t＝5x2＋5x＋1，则原方程可化为

（t－x2）（t＋x2）＝ 3x4．

∴t2＝4x4，t＝2x2或t＝－2x2，

代回即可求得原方程的根为：

x＝．

注当然本题也可以直接设t＝4x2＋5x＋1或者t＝6x2＋5x＋1．例3 解方程：(x＋2)4＋(x－4)4＝272．

分析与解若将方程左边展开，将得到难解的高次方程．

注意到1

2

[(x＋2)＋(x－4)]＝x－1，

故可设y＝x－1，则原方程可化为

(y＋3)4＋(y－3)4＝272，即

y4＋54y2－55＝(y2－1)(y2＋55)＝0，

∴y＝±1．

∴x－1＝±1，∴x＝0或2．

三、双变量换元

例4 解方程：

(4x2－9)2＋(4x2－9)(9x2－4)＋(9x2－4)2＝(13x2－13)2．分析与解注意到

(4x2－9)＋(9x2－4)＝13x2－13，

设m＝4x2－9，n＝9x2－4．

则原方程可化为

m2＋mn＋n2＝(m＋n)2，

即mn＝0，

则有（4x2－9）（9x2－4）＝0，

解得x＝±3

2

，±

2

3

．

注用换元法解方程，有时引入的新变量可以不止一个，如本题中引入了m，n．

在例1中，如果注意到

(x＋1)(x＋4)－（x＋2）（x＋3)＝－2，

还可以设m＝（x＋1）（x＋4），

n＝－(x＋2)（x＋3），

则有

2

24 m n

mn

+=-⎧

⎨

=-

⎩

由韦达定理可知m，n是方程z2－2z－24＝0的根，求解这个方程即可以得到原方程的根（过程略）．

四、倒数换元

形如ax4＋bx3＋cx2＋bx＋a＝0（a≠0）的倒数方程可以两边同除以x2，降次换元．

例5 解方程：

12x4－56x3＋89x2－56x＋12＝0．

分析与解直接因式分解比较困难，容易发现该方程是倒数方程（与首尾等距离的项的系数相等）．又因为x＝0不是方程的根，所以两边同时除以x2，得

五、常值换元

将某一常值看作未知数，原来的未知数当成常数，则可以把高次方程转化为低次方程．

例6 解方程：

32310

++=．

x x

分析与解这是关于x的三次方程，直接解这个方程有一定困难，如果

把

求解高次方程的方法还有很多，需要我们在平时的学习过程中，不断整理，不断总结，逐步深化，灵活运用．