反比例函数图像和性质 ppt课件
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反比例函数图像和性质ppt课件
反比例函数的定义域和值域
定义域
反比例函数的定义域是 x ≠ 0 的所有实数，即 x 可以取任何实数值，除了 0。
值域
反比例函数的值域是除了 y = 0 以外的所有实数，即 y 可以取任何实数值，但 永远不会等于 0。
02
反比例函数的性质
反比例函数的单调性
总结词
反比例函数在其定义域内并非单 调，但在各自象限内具有单调性。
表达式形式
反比例函数的一般形式为 y = k/x (k ≠ 0)，其中 x 和 y 是自变量和 因变量，k 是常数。
反比例函数图像的绘制
图像绘制方法
反比例函数的图像通常在二维坐标系 中绘制，通过选择不同的 k 值，可 以绘制出不同的反比例函数图像。
图像特性
反比例函数的图像位于 x 轴和 y 轴的 有限区域，呈现出双曲线的形状，随 着 x 的增大或减小，y 的值会无限接 近于 0 但永远不会等于 0。
积分是数学中计算面积和体积的方法，分为定积分和不定积分。
反比例函数的不定积分
反比例函数y=1/x的不定积分为ln|x|+C（C为常数），这表明反比例函数可以通过对ln|x|进行不定积分得 到。
反比例函数与复数的关系
复数的概念
复数是实数和虚数的组合，形式为a+bi（a,b为实数）。
反比例函数在复数域的表现
投资回报
投资回报与投资风险成反比，即投资风险越大，投资回报越小；反之亦然。
反比例函数在日常生活中的应用
药物剂量
在药物治疗过程中，药物剂量与药效 成反比关系，即当药物剂量增加时， 药效可能会减弱。
体育训练
在体育训练中，训练强度与训练效果 成反比关系，即当训练强度增加时， 训练效果可能会减弱。
关于反比例函数的ppt课件
05
反比例函数的学习方 法
理解概念和定义
总结词：掌握基础
详细描述：首先需要理解反比例函数的基本概念和定义，包括反比例函数的表达 式、自变量和因变量的关系等。
学习图像和性质
总结词：深入理解
详细描述：通过学习反比例函数的图像和性质，可以更好地理解函数的特性，包括函数的单调性、奇 偶性等。
掌握应用和比较
图像特性
正比例函数图像是一条通过原点 的直线，而反比例函数的图像则 位于第一象限和第三象限，且在 x轴和y轴上分别存在一个无穷远
点。
增减性
正比例函数随着x的增大而增大 或减小，而反比例函数在x增大 时y减小，在x减小时y增大。
与一次函数的比较
01
定义
一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k和b为常数且k≠0；反比例函数
题目2
已知反比例函数$y = frac{k}{x}$的图 象经过第一、三象限，且与直线$y = mx + b$相交于两点，求证：这两点 的横坐标互为相反数。
题目1
已知点$(m,n)$和$(p,q)$在反比例函 数$y = frac{k}{x}$的图象上，且$m times n = p times q$，求证：$k = 0$。
双曲余切函数
01
02
03
定义
双曲余切函数是双曲函数 的一种，定义为 (e^x + e^-x) / (e^x - e^-x)。
性质
双曲余切函数在实数范围 内是连续且可导的，具有 类似于余切函数的周期性 和奇偶性。
应用
双曲余切函数在解决某些 数学问题、优化算法和工 程计算中有应用。
双曲反正切函数
定义
关于反比例函数的 ppt课件
课件反比例函数的图像和性质.ppt
1. 什么是反比例函数
一般地，函数 y kx（k是常数，k 0）叫做反比例函数．
2．若y=
是反比例函数，则n必须满足条
件 n≠且n≠-1
3．用描点法画图象的步骤简单地说是 列表 、 描 点 、 连线 ．
例1 画出反比例函数 y 6 与 y 6 的图象.
x
x
解：列表
一般地反比例函数 y k（k是常数，k 0 ）的图象由 两条曲线组成，叫做双曲线.x
提问：你能从图象上发现什么有关反比 例函数的性质吗？
反比例函数的性质:
（1）y 象限.
6 x
的图象在第一、三象限，y
6 的图象在二、四
x
(2)函数 y 6 的图象，在每一个象限内，y随x的增大而
减小；
x
y 6 的图象, 在每一个象限内，y随x的增大而增大.
x
(3)函数 y轴相交
y
.
6 x
与
y
练习
1
1、若y+b与 x a 成反比例，则y与x的函数关系是( )
(A) 正比例 (B) 反比例 (C) 一次函数(D) 二次函数
2、若
1 x
1 与y成反比例，y 与z成正比例，则x与
1成 z
(
)比例.
(A)正
(B) 反
(C)不成
(D) 有一次函数关系
练习
3、在同一坐标系内，函数 y 1 x与 y 1的图象的交点个数
6 x
的图象不经过原点，且都不与x轴、
反比例函数的性质:
（1）反比例函数y=（k为常数，k≠0）的 图象是双曲线．
（2）当k>0时，双曲线的两支分别位于 第一、第三象限，在每个象限内，y值随 x值的增大而减小．
一般地，函数 y kx（k是常数，k 0）叫做反比例函数．
2．若y=
是反比例函数，则n必须满足条
件 n≠且n≠-1
3．用描点法画图象的步骤简单地说是 列表 、 描 点 、 连线 ．
例1 画出反比例函数 y 6 与 y 6 的图象.
x
x
解：列表
一般地反比例函数 y k（k是常数，k 0 ）的图象由 两条曲线组成，叫做双曲线.x
提问：你能从图象上发现什么有关反比 例函数的性质吗？
反比例函数的性质:
（1）y 象限.
6 x
的图象在第一、三象限，y
6 的图象在二、四
x
(2)函数 y 6 的图象，在每一个象限内，y随x的增大而
减小；
x
y 6 的图象, 在每一个象限内，y随x的增大而增大.
x
(3)函数 y轴相交
y
.
6 x
与
y
练习
1
1、若y+b与 x a 成反比例，则y与x的函数关系是( )
(A) 正比例 (B) 反比例 (C) 一次函数(D) 二次函数
2、若
1 x
1 与y成反比例，y 与z成正比例，则x与
1成 z
(
)比例.
(A)正
(B) 反
(C)不成
(D) 有一次函数关系
练习
3、在同一坐标系内，函数 y 1 x与 y 1的图象的交点个数
6 x
的图象不经过原点，且都不与x轴、
反比例函数的性质:
（1）反比例函数y=（k为常数，k≠0）的 图象是双曲线．
（2）当k>0时，双曲线的两支分别位于 第一、第三象限，在每个象限内，y值随 x值的增大而减小．
反比例函数图象性质及应用复习课件
04
反比例函数的实际应用案 例
电流与电阻的关系
总结词
电流与电阻成反比关系，当电阻增大时，电流减小；反之亦然。
详细描述
在电路中，电流与电阻之间的关系表现为反比例关系。当电路中的电压保持恒定时，电阻的阻值增大，会导致电 流减小；反之，如果电阻的阻值减小，电流则会增大。这一关系在电子设备和电路设计中具有重要应用。
答案解析
针对每个练习题，提供 详细的答案解析，帮助 学生理解解题思路和过
程。
感谢您的观看
THANKS
表达式
一般形式为 y = k/x，其中 k 是 常数且 k ≠ 0。
图像特点
双曲线
反比例函数的图像是双曲线，分布在两个象限内。
渐近线
图像分别渐近于 x 轴和 y 轴。
变化趋势
随着 x 的增大或减小，y 的值会无限接近于 0 但永远不会等于 0。
渐近线与对称性
渐近线
对于反比例函数 y = k/x (k > 0)，其图像在第一象限和第三象限内，当 x 趋于正无穷 或负无穷时，y 值趋于 0，因此渐近于 x 轴；当 y 趋于正无穷或负无穷时，x 值趋于 0 ，因此渐近于 y 轴。对于 k < 0 的情况，图像在第二象限和第四象限内，渐近线为 y
反比例函数图象性质及 应用复习ppt课件
目录 CONTENT
• 反比例函数的基本性质 • 反比例函数的图像绘制 • 反比例函数的应用场景 • 反比例函数的实际应用案例 • 反比例函数与其他知识点的关联 • 复习与巩固
01
反比例函数的基本性质
定义与表达式
定义
反比例函数是指形如 y = k/x (k ≠ 0) 的函数，其中 x 是自变量， y 是因变量。
反比例函数的图像和性质ppt课件
7、若点（-2，y1）、（-1，y2）、（2，y3）在
反比例函数 y = - 1 0 0 的图象上，则（
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
）
A、y1>y2>y3 C、y3>y1>y2
B、y2>y1>y3 D、y3>y2>y1
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
已知点A(2,y1)， B（5,y2)C是（反-3比,y例3)函是数y 象上的两点．请比较y1,y2的,y大3的小大．小．
4 x
图
y
⑴代入求值
y1 A B
-3 y2 O2 5
C y3
⑵利用增减性
⑶根据图象判断
x
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
1、反比例函数y= - 5 的图象大致是（ D ）
y
x
y
A：
o
x
B：
o
x
y
C：
o
x
D：
y
o x
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
2、我校食堂有5吨煤，用y表示可以用的天数
，用x表示每天的烧煤量，则y关于x的函数的
10
１、这几个函数图象有 8 什么共同点？
２、函数图象分别位于 6 哪几个象限？
4
３、y随的x变化有怎
反比例函数的图像与性质 课件
理解反比例函数在几何上的含义和意义。
反比例函数图像的特点
探索反比例函数图像的形状和特征。
反比例函数的运算和应用
学习如何进行反比例函数的运算，并了解其在 实际问题中Байду номын сангаас应用。
参考资料
1 参考书目
- 反比例函数的进一步学习
2 参考链接
- 更多关于反比例函数的信息
反比例函数的图像与性质
欢迎来到本课件，我们将介绍反比例函数的图像和性质。了解什么是反比例 函数及其表示方法。
什么是反比例函数
定义
反比例函数是一种数学函数关系，当其中一个变量的值增大时，另一个变量的值相应地减小。
表示方法
通常用y=k/x来表示，其中k是非零实数。
反比例函数的图像
性质
反比例函数的图像呈现出一个下凹的曲线，且经过 第一象限和第三象限。
比例线性关系
反比例函数的图像与比例函数的图像之间存在线性 关系。
比例函数的应用
1
实际问题
反比例函数可以用于解决实际问题，例
参考例题
2
如时间和速度之间的关系。
我们将提供一些参考例题，以加深对反 比例函数的理解和应用。
总结
反比例函数的定义和性质
了解反比例函数是如何定义的以及其特点。
反比例函数的几何意义
图像特点
图像的特点是有两条渐近线，即x轴和y轴，它们分 别称为垂直渐近线和水平渐近线。
反比例函数的几何意义
1 越来越快地接近x轴和y轴
2 与比例函数的区别
随着x值的增大或减小，函数的值会越来越接 近y轴或x轴。
相比之下，比例函数的图像是通过原点的直 线。
反比例函数的运算
乘除法反转
当两个变量成反比例关系时，乘积保持不变。
反比例函数图像的特点
探索反比例函数图像的形状和特征。
反比例函数的运算和应用
学习如何进行反比例函数的运算，并了解其在 实际问题中Байду номын сангаас应用。
参考资料
1 参考书目
- 反比例函数的进一步学习
2 参考链接
- 更多关于反比例函数的信息
反比例函数的图像与性质
欢迎来到本课件，我们将介绍反比例函数的图像和性质。了解什么是反比例 函数及其表示方法。
什么是反比例函数
定义
反比例函数是一种数学函数关系，当其中一个变量的值增大时，另一个变量的值相应地减小。
表示方法
通常用y=k/x来表示，其中k是非零实数。
反比例函数的图像
性质
反比例函数的图像呈现出一个下凹的曲线，且经过 第一象限和第三象限。
比例线性关系
反比例函数的图像与比例函数的图像之间存在线性 关系。
比例函数的应用
1
实际问题
反比例函数可以用于解决实际问题，例
参考例题
2
如时间和速度之间的关系。
我们将提供一些参考例题，以加深对反 比例函数的理解和应用。
总结
反比例函数的定义和性质
了解反比例函数是如何定义的以及其特点。
反比例函数的几何意义
图像特点
图像的特点是有两条渐近线，即x轴和y轴，它们分 别称为垂直渐近线和水平渐近线。
反比例函数的几何意义
1 越来越快地接近x轴和y轴
2 与比例函数的区别
随着x值的增大或减小，函数的值会越来越接 近y轴或x轴。
相比之下，比例函数的图像是通过原点的直 线。
反比例函数的运算
乘除法反转
当两个变量成反比例关系时，乘积保持不变。
反比例函数的图像和性质复习ppt课件
反比例函数的图像和性 质复习ppt课件
演讲人： 日期：
目录 CONTENT
• 反比例函数基本概念 • 反比例函数图像特征 • 反比例函数性质分析 • 反比例函数在实际问题中应用举
例 • 典型例题解析与讨论 • 练习题与课堂互动环节
01
反比例函数基本概念
定义与表达式
定义
形如 $y = frac{k}{x}$ (其中 $k$ 是 常数，$k neq 0$) 的函数称为反比 例函数。
渐近线与x轴、y轴平行
反比例函数的图像有两条渐近线，分别与x轴和y轴平行。
图像对称性
原点对称
反比例函数的图像关于原点对称 ，即如果点(x,y)在图像上，那么 点(-x,-y)也在图像上。
中心对称
反比例函数的图像还关于其中心 （即原点）对称，这意味着图像 在旋转180度后保持不变。
03
反比例函数性质分析
奇偶性判断方法
奇函数定义
对于所有x，都有f(-x) = -f(x)，则函数f(x)为奇函数。反比例函数满足f(-x) = f(x)，因此是奇函数。
图像法
观察反比例函数的图像，可以发现图像关于原点对称，这也是奇函数的一个特征 。
周期性讨论
• 反比例函数不具有周期性。因为其图像不呈现周期性的变化规 律，即不满足f(x+T)=f(x)的性质，其中T为周期。
设生产 A 种产品 x 吨，生产 B 种产品 y 吨。根据题意可得方 程组
2x + 3y = 14
2. 利润方程
3x + 4y = z（z 为总利润）
06
练习题与课堂互动环节
练习题一：绘制反比例函数图像
题目
请绘制反比例函数 y = 1/x (x > 0) 的图像。
演讲人： 日期：
目录 CONTENT
• 反比例函数基本概念 • 反比例函数图像特征 • 反比例函数性质分析 • 反比例函数在实际问题中应用举
例 • 典型例题解析与讨论 • 练习题与课堂互动环节
01
反比例函数基本概念
定义与表达式
定义
形如 $y = frac{k}{x}$ (其中 $k$ 是 常数，$k neq 0$) 的函数称为反比 例函数。
渐近线与x轴、y轴平行
反比例函数的图像有两条渐近线，分别与x轴和y轴平行。
图像对称性
原点对称
反比例函数的图像关于原点对称 ，即如果点(x,y)在图像上，那么 点(-x,-y)也在图像上。
中心对称
反比例函数的图像还关于其中心 （即原点）对称，这意味着图像 在旋转180度后保持不变。
03
反比例函数性质分析
奇偶性判断方法
奇函数定义
对于所有x，都有f(-x) = -f(x)，则函数f(x)为奇函数。反比例函数满足f(-x) = f(x)，因此是奇函数。
图像法
观察反比例函数的图像，可以发现图像关于原点对称，这也是奇函数的一个特征 。
周期性讨论
• 反比例函数不具有周期性。因为其图像不呈现周期性的变化规 律，即不满足f(x+T)=f(x)的性质，其中T为周期。
设生产 A 种产品 x 吨，生产 B 种产品 y 吨。根据题意可得方 程组
2x + 3y = 14
2. 利润方程
3x + 4y = z（z 为总利润）
06
练习题与课堂互动环节
练习题一：绘制反比例函数图像
题目
请绘制反比例函数 y = 1/x (x > 0) 的图像。
八年级数学下册第11章反比例函数：反比例函数的图像与性质pptx课件新版苏科版
解：∵函数 y = m－x 2的图像在每一个象限内，y的值 随x值的增大而增大，∴ m－2 < 0，解得 m < 2.
知2－练
(3)[模拟·徐州] 对于反比例函数 y= 6x，当 x>2 时，y的取值 范围是__0_<_y_<_3__．
解：把 x=2 代入 y= 6x，得 y=3. ∵ k=6 > 0，∴图像位于第一、三象限，且在每一个 象限内，y随x的增大而减小，∴当 x > 2时，0 < y < 3.
对应值，解一元一次方程；
(2)当题目中已经明确表示“y是x的反比例函数”或“y与
x成反比例关系”时，可直接设函数的表达式为
y=
k x
(k
为常数，k ≠ 0).
知3－练
例 3 已知反比例函数的图像经过点 P(2，4). (1)求该反比例函数的表达式 . (2)判断点 A(－2，－4)，B(3，5)是否在这个函数图 像上 . 解题秘方：用待定系数法求出反比例函数的表达式， 然后根据反比例函数图像上点的坐标特征进行判断.
特别提醒
知1－讲
1. 因为反比例函数图像的两个分支关于原点对称，所以只
要画出它在一个象限内的分支，就可以对称地画出另
一个分支 .
2. 画实际问题中的反比例函数的图像时，要考虑自变量取
值范围的限制，一般地，实际问题的图像是反比例函
数图像在第一象限内的一支或其中一部分 .
知1－练
例 1 在平面直角坐标系中画出反比例函数 y=－5x的图像 . 解题秘方：紧扣画图像的“一列、二描、三连” 的步骤作图.
11.2 反比例函数的图像与性质
1 课时讲解 反比例函数的图像
反比例函数的性质 求反比例函数的表达式
知2－练
(3)[模拟·徐州] 对于反比例函数 y= 6x，当 x>2 时，y的取值 范围是__0_<_y_<_3__．
解：把 x=2 代入 y= 6x，得 y=3. ∵ k=6 > 0，∴图像位于第一、三象限，且在每一个 象限内，y随x的增大而减小，∴当 x > 2时，0 < y < 3.
对应值，解一元一次方程；
(2)当题目中已经明确表示“y是x的反比例函数”或“y与
x成反比例关系”时，可直接设函数的表达式为
y=
k x
(k
为常数，k ≠ 0).
知3－练
例 3 已知反比例函数的图像经过点 P(2，4). (1)求该反比例函数的表达式 . (2)判断点 A(－2，－4)，B(3，5)是否在这个函数图 像上 . 解题秘方：用待定系数法求出反比例函数的表达式， 然后根据反比例函数图像上点的坐标特征进行判断.
特别提醒
知1－讲
1. 因为反比例函数图像的两个分支关于原点对称，所以只
要画出它在一个象限内的分支，就可以对称地画出另
一个分支 .
2. 画实际问题中的反比例函数的图像时，要考虑自变量取
值范围的限制，一般地，实际问题的图像是反比例函
数图像在第一象限内的一支或其中一部分 .
知1－练
例 1 在平面直角坐标系中画出反比例函数 y=－5x的图像 . 解题秘方：紧扣画图像的“一列、二描、三连” 的步骤作图.
11.2 反比例函数的图像与性质
1 课时讲解 反比例函数的图像
反比例函数的性质 求反比例函数的表达式
26.1.2反比例函数的图像和性质课件(共31张PPT)
(1)y 2 (2)y 2x
3x
3
(5)y 2x 3
(3)y 2 3x
(4)y 2x 3
2、如图，这是下列四个函数中哪一个函数的图象
（A）y=5x （B）y=2x+3
（C） y 4 x
（D） y 3 x
练一练 2
已知反比例函数 y 4 k x
-6
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 -1
23 4
5
6x
-2
的特征？
-3
-4
-5
再让我们仔细看看，这两个
-6
函数图象在位置上有什么关系？
操作二：
比一比：
同桌两人分别画出函数 y 8 , y 8 或
x
x
的图象，看谁画得又快又好．
y 3,y3
x
x
找一找： 根据大家所画出的函数图象，从以下几个方面出发，你
增减性 当k>0时,在每一象限内,y随x的增大而减小;
当k<0时,在每一象限内,y随x的增大而增大.
图象的发展趋势
反比例函数的图象无限接近于x,y轴,但永远不能到达x,y轴
对称性 ⑴反比例函数的图象是轴对称图形.直线y=x和y=-x
都是它的对称轴； ⑵反比例函数 y 与k
x
轴对称。
y 的 k图象关于x轴对称,也关于y
速度x(km/h)的函数，则这个函数的图象大致是（ C ）
思前想后
２﹑已知 k<0, 则函数 y1=kx,y2=
k
x
在
同一坐标系中的图象大致是 ( D )
y
y
(A)
(B)
x
0
x
反比例函数的图象与性质-ppt课件
方 ■ 方法：利用数形结合思想解决反比例函数与几何的综
法
技 合问题
巧
解决这类问题，一般先设出几何图形中未知边的长，然
点
拨 后结合函数图象，用含未知数的代数式表示出几何图形与
图象的交点坐标，再由函数表达式及几何图形的性质列方
程（组）求几何图形中的未知量或函数表达式.
6.2 反比例函数的图象与性质
例
如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD 的边
B． y2＜y3＜y1
C． y1＜y2＜y3
D． y1＜y3＜y2
6.2 反比例函数的图象与性质
［解析］
易
错
∵k=-6＜0，∴ 图象位于第二、四象限，在每一象限内
易
混 ，y 随 x 的增大而增大，∵x ＞x ＞0，∴y ＜y ＜0，∵x
1
3
3
1
2
分
析 ＜0，∴y2＞0，∴y3＜y1＜y2.
［答案］ A
6.2 反比例函数的图象与性质
考
点
清
单
解
读
■考点一
反比例函数图象的画法
1. 反比例函数图象的画法（描点法）
6.2 反比例函数的图象与性质
考
点
清
单
解
读
2. 反比例函数图象的特点
反比例函数 y=
（k
为常数，且 k≠0）的图象由
双曲线 分别位于两个象限内的两条曲线组成，这样的曲线
叫做双曲线
（1）轴对称图形，对称轴分别是①第二、四象限
解
读 算；
（2）需要注意的是，画反比例函数图象时应尽量多取一
些点，描点越多，图象越准确.
6.2 反比例函数的图象与性质
法
技 合问题
巧
解决这类问题，一般先设出几何图形中未知边的长，然
点
拨 后结合函数图象，用含未知数的代数式表示出几何图形与
图象的交点坐标，再由函数表达式及几何图形的性质列方
程（组）求几何图形中的未知量或函数表达式.
6.2 反比例函数的图象与性质
例
如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD 的边
B． y2＜y3＜y1
C． y1＜y2＜y3
D． y1＜y3＜y2
6.2 反比例函数的图象与性质
［解析］
易
错
∵k=-6＜0，∴ 图象位于第二、四象限，在每一象限内
易
混 ，y 随 x 的增大而增大，∵x ＞x ＞0，∴y ＜y ＜0，∵x
1
3
3
1
2
分
析 ＜0，∴y2＞0，∴y3＜y1＜y2.
［答案］ A
6.2 反比例函数的图象与性质
考
点
清
单
解
读
■考点一
反比例函数图象的画法
1. 反比例函数图象的画法（描点法）
6.2 反比例函数的图象与性质
考
点
清
单
解
读
2. 反比例函数图象的特点
反比例函数 y=
（k
为常数，且 k≠0）的图象由
双曲线 分别位于两个象限内的两条曲线组成，这样的曲线
叫做双曲线
（1）轴对称图形，对称轴分别是①第二、四象限
解
读 算；
（2）需要注意的是，画反比例函数图象时应尽量多取一
些点，描点越多，图象越准确.
6.2 反比例函数的图象与性质
初三反比例函数ppt课件ppt课件
反比例函数是具有极限的函数，当x趋 近于无穷大或无穷小时，y的值趋近于 0。
反比例函数的图像是关于原点对称的 。
02CHBiblioteka PTER反比例函数的应用生活中的反比例现象
总结词
生活中常见的反比例现象
详细描述
在日常生活中，许多现象可以用反比例函数来描述。例如，当两个量之间的比例保持恒定时，其中一个量增加， 另一个量会相应减少，形成反比例关系。这种现象在很多场合都可以观察到，如物体的质量和体积、电路中的电 流和电阻等。
提高练习题解析
总结词
提升解题能力
详细描述
提高练习题相对于基础练习题难度有所增加，题目设计更加灵活，需要学生具备一定的数学思维和解 题技巧。这些题目通常涉及到反比例函数与其他数学知识的综合运用，如与一次函数、二次函数等知 识的结合。
竞赛练习题解析
总结词
挑战高难度
详细描述
竞赛练习题是针对数学竞赛和数学特长生设计的题目，难度较大，题目设计更加复杂和 综合。这些题目不仅要求学生掌握反比例函数的知识，还需要具备较高的数学素养和解 题能力。通过解答这些题目，学生可以挑战自己的数学思维和解题能力，提升数学学习
对未来学习的展望
学生可以在反比例函数的基础上，进一 步学习其他类型的函数，如幂函数、对 数函数等，以拓展数学知识的广度和深
度。
学生可以尝试将反比例函数与其他学科 的知识点进行结合，例如与物理中的电 流、电压等概念进行联系，加深对相关
概念的理解。
学生可以通过参加数学竞赛、科研项目 等活动，进一步提高自己的数学素养和 解决问题的能力，为未来的学习和职业
总结词
掌握实际应用题的解题技巧是提高解 题效率的关键。
详细描述
在解决反比例函数实际应用题时，需 要将问题转化为数学模型，并运用适 当的解题技巧，如排除法、比较法等 ，以简化问题并快速找到答案。
反比例函数图像和性质ppt课件
压强与面积的关系
在气瓶压力一定的情况下，压力的作 用面积与压强成反比关系，即当作用 面积增大时，压强减小；反之，当作 用面积减小时，压强增大。
在经济中的应用
供需关系
在市场经济中，商品的需求量与价格之间存在反比例关系，即当价格上涨时，需 求量减少；反之，当价格下降时，需求量增加。
投资回报
投资者在考虑投资回报时，通常会选择投资回报率较高的项目，即投资回报与投 资额成反比关系。
与几何知识的结合
与直角坐标系的结合
反比例函数的图像位于直角坐标系的两个象限内，可以通过几何知识来研究其性质，例如对称性和渐 近线。
与圆的结合
在某些条件下，反比例函数的图像与圆的图像相似，可以通过圆的性质来类比研究反比例函数的性质 。
在数学竞赛中的应用
01
反比例函数在数学竞赛中常作为 难题出现，需要学生具备扎实的 数学基础和灵活的思维才能解决 。
05 反比例函数的扩展知识
与其他函数的联系
与一次函数的联系
反比例函数与一次函数在某些条件下可以相互转化，例如$y = kx$（$k neq 0$）可以转化为$y = frac{1}{x}$的 形式。
与二次函数的联系
反比例函数的图像与二次函数图像在形式上有所不同，但它们在某些性质上有相似之处，例如对称性和极值点。
反比例函数的定义域和值域
由于分母不能为0，所以反比例函数的定义域为{x|x≠0}，值域 为{y|y≠0}。
反比例函数的图像
图像特点
反比例函数的图像位于第一象限 和第三象限，呈双曲线状，且随 着k值的正负变化，图像分别位于 x轴的上方和下方。
图像绘制
在直角坐标系中，取点(x,y)满足 xy=k，然后描绘出这些点的轨迹， 即为反比例函数的图像。
在气瓶压力一定的情况下，压力的作 用面积与压强成反比关系，即当作用 面积增大时，压强减小；反之，当作 用面积减小时，压强增大。
在经济中的应用
供需关系
在市场经济中，商品的需求量与价格之间存在反比例关系，即当价格上涨时，需 求量减少；反之，当价格下降时，需求量增加。
投资回报
投资者在考虑投资回报时，通常会选择投资回报率较高的项目，即投资回报与投 资额成反比关系。
与几何知识的结合
与直角坐标系的结合
反比例函数的图像位于直角坐标系的两个象限内，可以通过几何知识来研究其性质，例如对称性和渐 近线。
与圆的结合
在某些条件下，反比例函数的图像与圆的图像相似，可以通过圆的性质来类比研究反比例函数的性质 。
在数学竞赛中的应用
01
反比例函数在数学竞赛中常作为 难题出现，需要学生具备扎实的 数学基础和灵活的思维才能解决 。
05 反比例函数的扩展知识
与其他函数的联系
与一次函数的联系
反比例函数与一次函数在某些条件下可以相互转化，例如$y = kx$（$k neq 0$）可以转化为$y = frac{1}{x}$的 形式。
与二次函数的联系
反比例函数的图像与二次函数图像在形式上有所不同，但它们在某些性质上有相似之处，例如对称性和极值点。
反比例函数的定义域和值域
由于分母不能为0，所以反比例函数的定义域为{x|x≠0}，值域 为{y|y≠0}。
反比例函数的图像
图像特点
反比例函数的图像位于第一象限 和第三象限，呈双曲线状，且随 着k值的正负变化，图像分别位于 x轴的上方和下方。
图像绘制
在直角坐标系中，取点(x,y)满足 xy=k，然后描绘出这些点的轨迹， 即为反比例函数的图像。
反比例函数的图象和性质课件
02
当 k > 0 时，反比例函数的图像 分布在第一象限和第三象限；当 k < 0 时，反比例函数的图像分 布在第二象限和第四象限。
反比例函数的基本形式
反比例函数的基本形式是 y = k/x (k ≠ 0)，也可以表示为 xy = k。
在这个函数中，x 和 y 的乘积始终等 于 k，而 k 的值决定了函数的图像在 哪个象限分布。
反比例函数的图像
反比例函数的图像通常是以原点为中心的双曲线，分布在四个象限。
当 k > 0 时，图像在第一象限和第三象限；当 k < 0 ，图像在第二象限和第四象 限。
反比例函数的图像不会与坐标轴相交，因为当 x 或 y 趋于无穷大时，y 或 x 将趋于 0。
CHAPTER 02
反比例函数的图像性质
人口增长与资源消耗的关 系
随着人口的增长，资源消耗也相应增加，但 这种增加并不是线性的，而是呈现出反比例 关系。这意味着人口增长得越快，资源消耗 得也越快，进一步加剧了资源紧张的局面。
在数学问题中的应用
解决几何问题
在几何学中，反比例函数经常被用来描述和解决与面积、体积和角度等相关的数学问题 。通过利用反比例关系，可以简化复杂问题的求解过程。
压强与体积的关系
在气体压力问题中，压强与体积成反比，即当体积增大时， 压强减小；反之亦然。这是解释和预测气体压力和体积关系 的基础。
在实际生活中的应用
药物剂量与效果的关系
在药物研究中，药物的剂量与其效果之间往 往存在反比例关系。这意味着当剂量增加时 ，效果可能减弱；反之亦然。了解这种关系 对于药物设计和使用非常重要。
反比例函数的图象和 性质ppt课件
contents
目录
• 反比例函数简介 • 反比例函数的图像性质 • 反比例函数的数学性质 • 反比例函数的应用 • 反比例函数与其他知识点的联系
当 k > 0 时，反比例函数的图像 分布在第一象限和第三象限；当 k < 0 时，反比例函数的图像分 布在第二象限和第四象限。
反比例函数的基本形式
反比例函数的基本形式是 y = k/x (k ≠ 0)，也可以表示为 xy = k。
在这个函数中，x 和 y 的乘积始终等 于 k，而 k 的值决定了函数的图像在 哪个象限分布。
反比例函数的图像
反比例函数的图像通常是以原点为中心的双曲线，分布在四个象限。
当 k > 0 时，图像在第一象限和第三象限；当 k < 0 ，图像在第二象限和第四象 限。
反比例函数的图像不会与坐标轴相交，因为当 x 或 y 趋于无穷大时，y 或 x 将趋于 0。
CHAPTER 02
反比例函数的图像性质
人口增长与资源消耗的关 系
随着人口的增长，资源消耗也相应增加，但 这种增加并不是线性的，而是呈现出反比例 关系。这意味着人口增长得越快，资源消耗 得也越快，进一步加剧了资源紧张的局面。
在数学问题中的应用
解决几何问题
在几何学中，反比例函数经常被用来描述和解决与面积、体积和角度等相关的数学问题 。通过利用反比例关系，可以简化复杂问题的求解过程。
压强与体积的关系
在气体压力问题中，压强与体积成反比，即当体积增大时， 压强减小；反之亦然。这是解释和预测气体压力和体积关系 的基础。
在实际生活中的应用
药物剂量与效果的关系
在药物研究中，药物的剂量与其效果之间往 往存在反比例关系。这意味着当剂量增加时 ，效果可能减弱；反之亦然。了解这种关系 对于药物设计和使用非常重要。
反比例函数的图象和 性质ppt课件
contents
目录
• 反比例函数简介 • 反比例函数的图像性质 • 反比例函数的数学性质 • 反比例函数的应用 • 反比例函数与其他知识点的联系
《反比例函数的图象与性质》PPT课件 北师大版九年级数学
x
如图2，它们有哪些共同特征？
图2
探究新知
k
反比例函数 y= 的图象，
x
当k>0时，在每一象限内，y的值随 x 值的增大而减小；
当k<0时，在每一象限内，y 的值随 x 值的增大而增大.
探究新知
想一想
y
如图3，在一个反比例函数图象任取两点P，
P
Q，过点 P 分别作 x 轴、y轴的平行线，与坐
标轴围成的矩形面积为S1；过点Q分别作 x 轴、
-8
4
x
1
2
-4
-1
-3
4
3
-2
-1
1
2
-2
-4
-8
1
2
8
1
2
3
4
8
4
2
4
3
1
1
2
（2）描点如图1所示.
图1
探究新知
（3）连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可得到反比例函数
的图象（如图2）.
图2
探究新知
议一议
画反比例函数图象时，应该注意哪些问题？
列表时，自变量的值可以选取绝对值相等而符号相
反的一对一对的数值，这样既可简化计算，又便于描点；
；②
；③
； ④
中
x
x
2x
x
（1）图象位于二、四象限的有
③④ ；
（2）在第二象限内，y 随 x 的增大而增大的有 ③ ④ ；
（3）在第一象限内，y 随 x 的增大而减小的有 ① ② ．
当堂训练
2.
m2
若函数 y x
的图象在其象限内， y随 x的增大而增大，
如图2，它们有哪些共同特征？
图2
探究新知
k
反比例函数 y= 的图象，
x
当k>0时，在每一象限内，y的值随 x 值的增大而减小；
当k<0时，在每一象限内，y 的值随 x 值的增大而增大.
探究新知
想一想
y
如图3，在一个反比例函数图象任取两点P，
P
Q，过点 P 分别作 x 轴、y轴的平行线，与坐
标轴围成的矩形面积为S1；过点Q分别作 x 轴、
-8
4
x
1
2
-4
-1
-3
4
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3
1
1
2
（2）描点如图1所示.
图1
探究新知
（3）连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可得到反比例函数
的图象（如图2）.
图2
探究新知
议一议
画反比例函数图象时，应该注意哪些问题？
列表时，自变量的值可以选取绝对值相等而符号相
反的一对一对的数值，这样既可简化计算，又便于描点；
；②
；③
； ④
中
x
x
2x
x
（1）图象位于二、四象限的有
③④ ；
（2）在第二象限内，y 随 x 的增大而增大的有 ③ ④ ；
（3）在第一象限内，y 随 x 的增大而减小的有 ① ② ．
当堂训练
2.
m2
若函数 y x
的图象在其象限内， y随 x的增大而增大，
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是轴对称图形,它们有两条对称轴.
（3）反比例函数的图象是中心对称图形吗？
是中心对称图形,对称中心是坐标原点.
例2
①已知y 与 x 成反比例, 并且当 x = 3 时
yy
（-3，1）
y = 7，求 x 与 y 的函数关系式。
0
x
②根据图形写出函数的解析式。
③已知y 与 x2 成正比例, 并且当 x = 3时 y = 4，求 x = 1.5 时 y的值。
像
轴，y轴的平行线，与坐标 和
轴围成的矩形面积为S2。S1 与S2有什么关系？为什么？ （2）将反比例函数的图象
性 质
绕原点旋转1800后，能与原
来的图象重合吗？
R •S3
y k x
•P
S1
•Q
S2
观察反比例函数图象的两支曲线,回答下列 问题: (1)它们会与坐标轴相交吗？
它们都不与坐标轴相交。
（2）反比例函数的图象是轴对称图吗？
17.1.2反比例函数的 图象与性质（2）
学习目标：
1、进一步熟悉作函数图象的步骤， 会做反比例函数的图象；
2、体会函数的三种表示方法的相互 转化，对函数进行认识上的整合；
3、逐步提高从函数图象中获取信息 的能力，探索并掌握反比例函数的主 要性质。
知复识习回回顾顾
1.写出反比例函数的表达式:_y___kx_(_k_是 __常 __数 __， __k_. 0) 2.反比例函数的图象是__双__曲__线______. 3.反比例函数 y 2 的图象在第__二__、__四___象限内. 4.反比例函数 y 4 x 经过点(m,2),则m的值____2__.
如果k=－2,
－4,－6,那么
y2,y4,y6 xxx
的图象有又什么共同特征？
（1）函数图象分别位于哪个象限内？
x>0时，图象在第四象限；x<0 时，图象在第二象限
（2）在每个象限内，随着x值的增大，y的值怎样变化？
在每一个象限内，y随x的增大而增大
知识归纳：
反比例函数 y k 的图象， x
当k>0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而减小； 当k<0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而增大。
随堂练习
1.下列函数中，其图象位于第一、三象限的有_（_1_）__（__2_）_（__3_）;
在其所在的象限内，y随x的增大而增大的有__(4_)________.
( 1 )y 1;(2 )y 0 .3 ;(3 )y 1 0 ;(4 )y 7
2 x
x
x 1 0 0 x
反比例函数图像和性质
已知y与x成正比例， 当x=3时y=4求 x=1.5时y的值
解：设y=kx2,因为
x=3时y=4，所以
9k=4,所以k=
பைடு நூலகம்
4 9
，
当x=1.5时，
y=
4 9
×(1.5)2=1
y
练习 2
1.函数 y =
5 x
的图象在第二__,四___象限，在每个象
x
限内，y 随 x 的增大而__增__大_ .
2. 双曲线 y = 31x经过点（-3，_91__）
(C)
0 x (D)
0x
(A) y = -5x -1
( B)y=
x 2
(C)y=-2x+2； (D)y=4x.
补充练习：
y
y
y1=kx,y2=
k x
在同
(A)
0 x (B)
0x
一坐标系中的图象
y
y
大致是 ( D )
(C)
0 x (D)
0x
2与 的. 已图y2=知象kxk大>致0在,则是同函一数坐( Cy标1=)系kx中+k (A)
y
0
(B)
x
y 0x
3.设x为一切实数，在下列
y
y
函数中，当x减小时，y的
值总是增大的函数是( C)
你能解答第(2)小题吗了?
（2)、如果点A（-2，y1),B(-1,y2) 和C(3,y3)都在反比例函数y=k/x 的图象上，那么y1,y2与y3的大小 又如何呢？
（1）、在一个反比例函数 图象上任取两点P，Q，过
函 数
点P分别作x轴，y轴的平行 图
线，与坐标轴围成的矩形 面积为S1，过点Q分别作x
3.函数 y = mx-2的图象在二、四象限，则m的取值
范围是m__<_2_ .
4.对于函数
y=
1 2x，当 x<0时，y 随x的_减__小__而增
大，这部分图象在第 __三______象限.
5.函数 y =(2m+1)xm+22m-16, y 随 x 的减小而增大，则
m= _3___.
填表 分析 正比 例函 数和 反比 例函 数的 区别
观察反比例函数 y2,y4,y6 的图象，回答下列
问题：
xxx
（1）函数图象分别位于哪几个象限内？第一、三象限内
（2）当x取什么值时，图象在第一象限？当x取什么值时 图象在第三象限 ？ x>0时，图象在第一象限；x<0 时，图象
在第三象限。
（3）在每个象限内，随着x值的增大，y的值怎样变化？
在每一个象限内，y随x的增大而减小
函数 解析式
图象形状
K>0
K<0
正比例函数
反比例函数
y=kx ( k≠0 ) 直线
y
=
k x
( k是常数,k≠0 )
双曲线
位 一三 置 象限
一三 象限
增 减 y随x的增大而增大 性
y随x的增大而减小
位 二四 置 象限
二四 象限
增 减 y随x的增大而减小 性
y随x的增大而增大
练 习 3 1. 已知k<0,则函数
1.下列函数中，其图象位于第一、三象限的有_（__1_）__（_2_）__（; 3）
在其所在的象限内，y随x的增大而增大的有___(_4_)______.
(1 )y2;(2 )y 0 .1 ;(3 )y 5 ;(4 )y 8
3 x x x 3 0 0 x
2.(1)已知点A(-2,y1),B(-1,y2),C(3,y3)都在反比例函数 y
x
5达.反式比为例__函__数y__ __y _6x__kx __的__图. 象经过点(2,-3), 则它的表
复习回顾
1.反比例函数是一个怎样的图 象？
反比例函数的图象是双曲线
2.反比例函数的图象的位置与 k有怎样关系？
当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内； 当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内.
上，比较y1、 y2 、y3的大小关系。
4 的图象 x
解：∵k=4>0
∴图象在第一、三象限内，每一象限内y随x的增大而减小
∵x1<x2<0 , x3=3>0, ∴点A(-2,y1)，点B(-1,y2)在第三象限 点C(3,y3)在第一象限。 ∴y3>0, y2 <y1<0 即y2 < y1 < 0< y3 你能解答第(2)小题吗了?
（3）反比例函数的图象是中心对称图形吗？
是中心对称图形,对称中心是坐标原点.
例2
①已知y 与 x 成反比例, 并且当 x = 3 时
yy
（-3，1）
y = 7，求 x 与 y 的函数关系式。
0
x
②根据图形写出函数的解析式。
③已知y 与 x2 成正比例, 并且当 x = 3时 y = 4，求 x = 1.5 时 y的值。
像
轴，y轴的平行线，与坐标 和
轴围成的矩形面积为S2。S1 与S2有什么关系？为什么？ （2）将反比例函数的图象
性 质
绕原点旋转1800后，能与原
来的图象重合吗？
R •S3
y k x
•P
S1
•Q
S2
观察反比例函数图象的两支曲线,回答下列 问题: (1)它们会与坐标轴相交吗？
它们都不与坐标轴相交。
（2）反比例函数的图象是轴对称图吗？
17.1.2反比例函数的 图象与性质（2）
学习目标：
1、进一步熟悉作函数图象的步骤， 会做反比例函数的图象；
2、体会函数的三种表示方法的相互 转化，对函数进行认识上的整合；
3、逐步提高从函数图象中获取信息 的能力，探索并掌握反比例函数的主 要性质。
知复识习回回顾顾
1.写出反比例函数的表达式:_y___kx_(_k_是 __常 __数 __， __k_. 0) 2.反比例函数的图象是__双__曲__线______. 3.反比例函数 y 2 的图象在第__二__、__四___象限内. 4.反比例函数 y 4 x 经过点(m,2),则m的值____2__.
如果k=－2,
－4,－6,那么
y2,y4,y6 xxx
的图象有又什么共同特征？
（1）函数图象分别位于哪个象限内？
x>0时，图象在第四象限；x<0 时，图象在第二象限
（2）在每个象限内，随着x值的增大，y的值怎样变化？
在每一个象限内，y随x的增大而增大
知识归纳：
反比例函数 y k 的图象， x
当k>0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而减小； 当k<0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而增大。
随堂练习
1.下列函数中，其图象位于第一、三象限的有_（_1_）__（__2_）_（__3_）;
在其所在的象限内，y随x的增大而增大的有__(4_)________.
( 1 )y 1;(2 )y 0 .3 ;(3 )y 1 0 ;(4 )y 7
2 x
x
x 1 0 0 x
反比例函数图像和性质
已知y与x成正比例， 当x=3时y=4求 x=1.5时y的值
解：设y=kx2,因为
x=3时y=4，所以
9k=4,所以k=
பைடு நூலகம்
4 9
，
当x=1.5时，
y=
4 9
×(1.5)2=1
y
练习 2
1.函数 y =
5 x
的图象在第二__,四___象限，在每个象
x
限内，y 随 x 的增大而__增__大_ .
2. 双曲线 y = 31x经过点（-3，_91__）
(C)
0 x (D)
0x
(A) y = -5x -1
( B)y=
x 2
(C)y=-2x+2； (D)y=4x.
补充练习：
y
y
y1=kx,y2=
k x
在同
(A)
0 x (B)
0x
一坐标系中的图象
y
y
大致是 ( D )
(C)
0 x (D)
0x
2与 的. 已图y2=知象kxk大>致0在,则是同函一数坐( Cy标1=)系kx中+k (A)
y
0
(B)
x
y 0x
3.设x为一切实数，在下列
y
y
函数中，当x减小时，y的
值总是增大的函数是( C)
你能解答第(2)小题吗了?
（2)、如果点A（-2，y1),B(-1,y2) 和C(3,y3)都在反比例函数y=k/x 的图象上，那么y1,y2与y3的大小 又如何呢？
（1）、在一个反比例函数 图象上任取两点P，Q，过
函 数
点P分别作x轴，y轴的平行 图
线，与坐标轴围成的矩形 面积为S1，过点Q分别作x
3.函数 y = mx-2的图象在二、四象限，则m的取值
范围是m__<_2_ .
4.对于函数
y=
1 2x，当 x<0时，y 随x的_减__小__而增
大，这部分图象在第 __三______象限.
5.函数 y =(2m+1)xm+22m-16, y 随 x 的减小而增大，则
m= _3___.
填表 分析 正比 例函 数和 反比 例函 数的 区别
观察反比例函数 y2,y4,y6 的图象，回答下列
问题：
xxx
（1）函数图象分别位于哪几个象限内？第一、三象限内
（2）当x取什么值时，图象在第一象限？当x取什么值时 图象在第三象限 ？ x>0时，图象在第一象限；x<0 时，图象
在第三象限。
（3）在每个象限内，随着x值的增大，y的值怎样变化？
在每一个象限内，y随x的增大而减小
函数 解析式
图象形状
K>0
K<0
正比例函数
反比例函数
y=kx ( k≠0 ) 直线
y
=
k x
( k是常数,k≠0 )
双曲线
位 一三 置 象限
一三 象限
增 减 y随x的增大而增大 性
y随x的增大而减小
位 二四 置 象限
二四 象限
增 减 y随x的增大而减小 性
y随x的增大而增大
练 习 3 1. 已知k<0,则函数
1.下列函数中，其图象位于第一、三象限的有_（__1_）__（_2_）__（; 3）
在其所在的象限内，y随x的增大而增大的有___(_4_)______.
(1 )y2;(2 )y 0 .1 ;(3 )y 5 ;(4 )y 8
3 x x x 3 0 0 x
2.(1)已知点A(-2,y1),B(-1,y2),C(3,y3)都在反比例函数 y
x
5达.反式比为例__函__数y__ __y _6x__kx __的__图. 象经过点(2,-3), 则它的表
复习回顾
1.反比例函数是一个怎样的图 象？
反比例函数的图象是双曲线
2.反比例函数的图象的位置与 k有怎样关系？
当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内； 当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内.
上，比较y1、 y2 、y3的大小关系。
4 的图象 x
解：∵k=4>0
∴图象在第一、三象限内，每一象限内y随x的增大而减小
∵x1<x2<0 , x3=3>0, ∴点A(-2,y1)，点B(-1,y2)在第三象限 点C(3,y3)在第一象限。 ∴y3>0, y2 <y1<0 即y2 < y1 < 0< y3 你能解答第(2)小题吗了?