立体几何中的求角问题(骄阳教育)
立体几何中求“角”总汇 专题辅导 不分版本
立体几何中求“角”总汇 杨熬直 在学完立体几何之后，同学们也许就会发现，立体几何研究的是空间中的线线、线面、面面关系，其中包括它们的“角”和“距离”，是高考的必考内容，下面就简要介绍一下立体几何中的“角”的求法。
一、求异面直线所成的角例1 如图所示，在正方体1AC 中，M 、N 分别是棱11B A 、1BB 的中点，求异面直线AM 和所成角的余弦值。
解：在平面11A ABB 内作EN ∥AM 交AB 于E ，则EN 与所成的锐角（或直角），即为AM 和所成的角。
设正方体棱长为a 。
在△E 中，可求得a 417CE ,a 45EN ,a 25CN ===，由余弦定理得 .52CN EN 2CE CN EN CNE cos 222=⋅-+=∠ 即异面直线AM 与所成角的余弦值为52。
二、求直线与平面所成的角例2 如图，在直三棱柱O B A ABO '''-中，︒=∠==='90AOB ,3OB ,4OA ,4O O ，D 是线段B A ''的中点，P 是侧棱B B '上的一点。
若OP ⊥BE ，求OP 与平面OAB 所成角的大小。
解：建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知，B （3，0，0），⎪⎭⎫ ⎝⎛4,0,23E 。
设P （3，0，z ），则).z ,0,3(OP ,4,0,23BE =⎪⎭⎫ ⎝⎛-= ∵BE ⊥OP ，,0z 429OP BE =+-=⋅∴解得.89z =,AOB B B 平面⊥' B B '∴是平面AOB 的法向量，且).4,0,0(B B ='.73733|B B ||OP |OPB B |BPO cos |POB sin ='⋅'=∠=∠∴ ,73733arcsin POB =∠∴即直线OP 与平面OAB 所成角的大小为.73733arcsin三、求二面角例3 如图，ABCD 是边长为6的正方形，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝8，求二面角D SC B --的大小。
立体几何角的问题知识点与题型分类
立体几何的各种角异面直线所成的角 一、基础知识1.定义： 直线a 、b 是异面直线，经过空间一交o ，分别a ΄//a ，b ΄//b ，相交直线a ΄b ΄所成的锐角（或直角）叫做 异面直线所成的角 。
2.范围： ⎥⎦⎤⎝⎛∈2,0πθ3.方法： 平移法、向量法（1）平移法：在图中选一个恰当的点（通常是线段端点或中点）作a 、b 的平行线，构造一个三角形，并解三角形求角。
（2）向量法：可适当选取异面直线上的方向向量，利用公式a =><=cos cos θ方法1：利用向量计算。
选取一组基向量，分别算出 ⋅代入上式 方法2：利用向量坐标计算，建系，确定直线上某两点坐标进而求出方向向量),,(111z y x a = ),,(222z y x b =222222212121212121c o s z y x z y x z z y y x x ++++++=∴θ二、例题例1、如图，正四棱柱1111ABCD A BC D -中， 12A A A B =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为 （ ）例2、在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，已知AB=a ，BC=)(b a b >,AA 1=c ，求异面直线D 1B 和AC 所成的角的余弦值。
方法一：过B 点作 AC方法二：过AC 的中点作BD1平行线 方法三：（向量法）例3、 已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ，⊥=∠PA DAB ,90 底面ABCD ，且12PA AD DC ===，1AB =，M 是PB 的中点（Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角；A B1A 1D 1C C D证明：以A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为1(0,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,1,)2A B C D P M（Ⅰ）证明：因.,0),0,1,0(),1,0,0(DC AP ⊥=⋅==所以故由题设知AD DC ⊥，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线， 由此得DC ⊥面PAD 又DC 在面PCD 上，故面PAD ⊥面PCD（Ⅱ）解：因),1,2,0(),0,1,1(-==.510||||,cos ,2,5||,2||=⋅>=<=⋅==PB AC PB AC 所以故例4、 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，AB =1BC =，2PA =， E 为PD 的中点 求直线AC 与PB 所成角的余弦值；解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则,,,,,A B C D P E 的坐标为(0,0,0)A 、B 、,0)C 、(0,1,0)D 、(0,0,2)P 、1(0,,1)2E ，从而).2,0,3(),0,1,3(-== 设与的夹角为θ，则,1473723||||cos ==⋅=PB AC θ ∴AC 与PB 所成角的余弦值为1.正方体的12条棱和12条 面对角线中，互相异面的两条线成的角大小构成的集合是 {}οοο60,45,90 。
立体几何角度求解全攻略
立体几何中的角度问题攻略新东方孟祥飞异面直线角：采用平移法，或者向量线面角：（1）当射影线好找时采用定义法，（2）当射影线不好找时建议采用向量法，但是等体积法也是不错的选择二面角：（1）当二面角的二面为双等腰图形或者全等对称或者二面交线垂线相对好平移的情况，采用定义法即可（2）当二面交线垂线不好平移（主要原因为计算量太大）建议直接采用向量法，但是三垂线法也是不错的选择，可以减少平移运算。
（3）三垂线法也会出现射影线不好找的情况，此时可以采用等体积转化。
S 中，E，F为中点，求异面直线BE，SF所称角度例题：1.正四面体ABCSEA CFB异面直线角的求法只需记住平移和向量即可，但是有些小题考查可能不好建系，所以需要大家对平移好好掌握，而平移其实就是构建辅助线，辅助线的构造基本和证明线面平行时的构造相同，即平行四边形构造和中位线构造，相对而言中位线可能够难想一点，中位线构造常常出现在三棱锥中。
SEPA CPF和SF所成平面角即所求FBSE这样的构建也是不错的选择EQ 和EB 所成角为所求A CQF B求三边套余弦定理即可，令正四面体边长为2，则EB=3，EQ=23，QB=27 所以32323247343cos =⨯⨯-+=QEB 此题还可以采用五坐标向量法来求解，2.三棱锥A BCD -，且,,,)(,>=<+===AC EF f DFCFBE AE λλλαβαλλ>=<BD EF ,λβ，求)(λf 的单调性 A EQB DFC此题的方法也为平移转化，由于是三棱锥，所以采用中位线（等比例线）方式平移，如图，不难发现，其实题目设计成求和角单调性，由于内角和为定值π，其实就是求角EQF 的单调性，而角EQF 为棱AC 和BD 之间角，是为定值的3.正方体1111D C B A ABCD -，E 是1BC 中点，求DE 与ABCD 所成角。
D 1 C 1 A 1 B 1 ED C Q A B线面角在求解时，我们觉得可能难度略大于异面直线，但是同学们注意其实把方法掌握，一样是很简单的，因为立体几何的特点是规律性非常强！我们看此题，线面角的定义是射影和斜线的成角，所以我们要先找DE 直线的射影，不难发现DE 的射影即为DQ ，所以所求线面角的平面角即为∠EDQ ，只需求解直角三角形EDQ 即可求出线面角的三角函数值。
如何求解立体几何形的平面角和空间角
如何求解立体几何形的平面角和空间角在立体几何的学习中，求解平面角和空间角是十分重要的一部分。
平面角是指在平面上的角，而空间角则是在三维空间中的角。
它们的求解方法有一些区别，下面将详细介绍如何求解这两种角。
一、求解平面角平面角是指在平面上的两条射线之间的夹角。
常见的平面角有直角、锐角和钝角。
1. 直角的求解直角是指夹角为90°的角。
求解直角的方法很简单，只需使用直角尺或直角工具即可。
2. 锐角和钝角的求解锐角是夹角小于90°的角，而钝角则是夹角大于90°的角。
求解锐角和钝角的方法一般有以下几种：（1）使用量角器量角器是一种测量角度的工具，通过将量角器的一边对齐于一条射线上，然后读取量角器上的刻度，即可知道夹角的大小。
（2）使用三角函数三角函数是角的函数，其中最常用的是正弦函数、余弦函数和正切函数。
通过查表或使用计算器，可根据已知角度的三角函数值来求解夹角的大小。
二、求解空间角空间角是指在三维空间中的两条直线或两条直线与平面之间的夹角。
常见的空间角有直线角和向量角。
1. 直线角的求解直线角是指两条直线之间的夹角。
求解直线角的方法一般有以下几种：（1）使用三角函数与求解平面角类似，可以使用三角函数来求解直线角。
通过已知直线的方向向量，可以计算出它们之间的夹角。
（2）使用向量运算向量运算是求解直线角的常用方法之一。
通过计算两条直线的方向向量的点积或叉积，可以求得它们之间的夹角。
2. 向量角的求解向量角是指两个非零向量之间的夹角。
求解向量角的方法一般有以下几种：（1）使用向量的点积和模长通过求解两个向量的点积和它们的模长，可以利用三角函数来求解向量角的大小。
（2）使用向量的夹角公式向量的夹角公式是求解向量角的一种常用方法。
根据向量的定义和性质，可以得到夹角的公式，并通过计算得出夹角的大小。
总结起来，求解立体几何形的平面角和空间角需要运用几何知识、三角函数以及向量运算等方法。
通过合理选用这些方法，我们可以准确计算出所需的角度值，从而更好地理解和解决立体几何问题。
立体几何中求角的问题
立体几何中求角的问题一、学习目标1、掌握异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角的平面角的概念；2、会寻找异面直线所成的角，结构简单的直线与平面所成的角，二面角的平面角。
3、会已知角求角问题中准确计算。
二、知识梳理线线角与线面角1.异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的_________________叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)． ②范围：_____________．2.直线与平面所成的角①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的__________，叫做这条直线和这个平面所成的角，如图，_______就是斜线AP 与平面α所成的角．②线面角θ的范围：θ∈____________．二面角1. 二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱．两个半平面叫做二面角的面．如图的二面角，可记作：二面角α-l -β或二面角___________． 2.二面角的平面角如图，过二面角α-l -β的棱l 上一点O 在两个半平面内分别作BO ⊥l ，AO ⊥l ，则______________就叫做二面角α-l -β的平面角． 3.二面角的范围设二面角的平面角为θ，则θ∈__________． 4.当θ＝π2时，二面角叫做______________．三、问题自查1.异面直线所成的角概念清楚吗？你会寻找异面直线所成的角？（ 平移一线来构造异面直线所成角）如：正方体1111ABCD A B C D 中，E 为AB 的中点，则异面直线1D B EC 与所成角的余弦值是（ ）3A5B10C15DBCA 1D 12.直线与平面所成的角的概念清楚吗？你会寻找直线与平面所成的角？ 基本方法：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面． 如：(1)、四面体P-ABC 中，,PA ABC AB BC ⊥⊥平面,如何确定过点A 作面PBC 的垂线的垂足?找出直线PB 与平面ABC 所成的角？PA 与平面PBC 所成的角?(2)、四面体P-ABC 中，,PA ABC AB AC ⊥⊥平面,如何确定过点A 作面PBC 的垂线的垂足?找出直线PB 与平面ABC 所成的角？PA 与平面PBC 所成的角?3.二面角的平面角的概念清楚吗？你会寻找二面角平面角？大致可归纳为以下几种类型： (1)根据平面角的定义找出二面角的平面角;(2)根据三垂线定理或者逆定理找出二面角的平面角;四、例题和变式考点1：求异面直线所成角（方法1、平移法；2、补全法；3、向量夹角法）例1、如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2，∠PAB=60°（I ）证明AD ⊥平面PAB ；（II ）求异面直线PC 与AD 所成的角的正切值；EaAB Cb lαβγA BD E C βαAB l（选题意图：训练学生掌握平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决。
立体几何中角的问题
立体几何中“角”的问题在《立体几何》的舞台上，空间的“角”是无可争议的第一主角，纵观近年高考试题中的立体几何的问题，几乎每年都有关于“角”的试题出现.根据“解法”的典型性，以下分三个部分展示与点评.一、两条异面直线所成的角.当两条异面直线不垂直时，寻找或构造两条异面直线所成的角，基本策略有四：一是通过构造平行四边形实现线段的平移；二是通过构造三角形的中位线实现线段的平移；三是通过构造同一平面的垂线推出平行直线；四是借助“补体”完成线段的平移以及沟通有关线段间的联系.例1 、在梯形ABCD中，AB=BC=1，AD=2，，沿对角线AC将折起，使点B在平面ACD内的射影O恰在AC上.（1）求证：平面BCD；（2）求异面直线BC与AD所成角.解：（1）略证：在梯形ABCD中，由题设得，即∴在空间图形中有①又平面ACD，∴由①得②而（已知）③∴由②，③得平面BCD.（2）解：由题设得AB=BC，∴O为AC中点.为实现线段的“平移”，取CD中点为E，AB中点为F，连结OE，OF，EF，则有OE//AD，OF//BC∴即为AD与BC所成角或其补角为求EF，在平面ABC内过点F作FH//BO交AC于H，连结HE，则平面ACD.∴即又，EO=1∴在中由余弦定理得，∴即所求异面直线所成角为60°.点评：对于（1）的证明，要认知并利用折叠前后的“不变”（不变的量或不变的关系）推理；对于（2），这里运用的是“通过构造三角形的中位线实现异面直线的平移”，此为实现线段平移的第一方略.例2、已知在正方体中，E、F分别是BD的中点，G在棱CD上，且.（1）求证：；（2）求异面直线EF与所成角的余弦值；（3）求二面角的大小（用反三角函数表示）解：（1）证：连结，，则由题设知EF为的中位线∴EF//BD1，且①又∵平面∴在平面上的射影为，∵∴（三垂线定理）②∴由①，②得；（2）解：为平移，延长CD至点P，使DP=CG，并连结，PB∵∴四边形为□∴③又由①知，④∴由③，④得为异面直线EF与所成角（或其补角）设正方体棱长为4a，则，∴即所求余弦值为；（3）取DC中点为M，连结FM，则，平面∴在平面作于N，连结FN，则.∴的邻外角为二面角的平面角设正方体棱长为4a，则FM=2a，在中，，在中，，∴∴所求二面角的大小为。
第2讲 立体几何中的空间角问题
第2讲立体几何中的空间角问题高考定位以空间几何体为载体考查空间角(以线面角为主)是高考命题的重点，常与空间线面关系的证明相结合，热点为空间角的求解，常以解答题的形式进行考查，高考注重以传统方法解决空间角问题，但也可利用空间向量来求解.真题感悟(2017·浙江卷)如图，已知四棱锥P－ABCD，△P AD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC＝AD＝2DC＝2CB，E为PD的中点.(1)证明：CE∥平面P AB；(2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.法一(1)证明如图，设P A中点为F，连接EF，FB.因为E，F分别为PD，P A中点，所以EF∥AD且EF＝12AD，又因为BC∥AD，BC＝12AD，所以EF∥BC且EF＝BC，即四边形BCEF为平行四边形，所以CE∥BF.又因为CE⊄平面P AB，BF⊂平面P AB，因此CE∥平面P AB.(2)解分别取BC，AD的中点为M，N，连接PN交EF于点Q，连接MQ.因为E，F，N分别是PD，P A，AD的中点，所以Q为EF中点，在平行四边形BCEF 中，MQ ∥CE . 由△P AD 为等腰直角三角形得PN ⊥AD . 由DC ⊥AD ，N 是AD 的中点得BN ⊥AD . 因为PN ∩BN ＝N ，所以AD ⊥平面PBN . 由BC ∥AD 得BC ⊥平面PBN ，因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PBN .过点Q 作PB 的垂线，垂足为H ，则QH ⊥平面PBC .连接MH ，则MH 是MQ 在平面PBC 上的射影，所以∠QMH 是直线CE 与平面PBC 所成的角.设CD ＝1. 在△PCD 中，由PC ＝2，CD ＝1，PD ＝2得CE ＝2， 在△PBN 中，由PN ＝BN ＝1，PB ＝3得QH ＝14， 在Rt △MQH 中，QH ＝14，MQ ＝2， 所以sin ∠QMH ＝28，所以，直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值是28.法二 过P 作PH ⊥CD ，交CD 的延长线于点H .不妨设AD ＝2，∵BC ∥AD ，CD ⊥AD ，则易求DH ＝12，过P 作底面的垂线，垂足为O ，连接OB ，OH ，易得OH ∥BC ，且OP ，OB ，OH 两两垂直.故可以O 为原点，以OH ，OB ，OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示.(1)证明 由PC ＝AD ＝2DC ＝2CB ，E 为PD 的中点，则可得：D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，0，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14，34，则CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－54，34，P A →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，－32，PB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，－32.设平面P AB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·P A →＝x ＋12y －32z ＝0，n ·PB →＝32y －32z ＝0.令y ＝1，则⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1，z ＝3，∴n ＝(1，1，3)，∴CE →·n ＝12×1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－54×1＋34×3＝0.又∵CE ⊄平面P AB ，∴CE ∥平面P AB . (2)解 由(1)得PC →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，32，－32.设平面PBC 的法向量m ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·PB →＝32y －32z ＝0，m ·PC →＝－x ＋32y －32z ＝0.令y ＝1，则⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，z ＝3，∴m ＝(0，1，3).设直线CE 与平面PBC 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈m ，CE →〉|＝|m ·CE →||m ||CE →|＝124×2＝28.∴直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值为28.考 点 整 合1.求异面直线所成角的方法方法一：几何法.用几何法求两条异面直线所成角的步骤为：①利用定义构造角，可固定一条直线，平移另一条直线，或将两条直线同时平移到某个特殊的位置；②证明找到(或作出)的角即为所求角；③通过解三角形来求角.方法二：空间向量法.用空间向量法求两条异面直线a ，b 所成角θ的步骤为：①求出直线a ，b 的方向向量，分别记为m ，n ；②计算cos 〈m ，n 〉＝m ·n|m ||n |；③利用cos θ＝|cos 〈m ，n 〉|，以及θ∈(0°，90°]，求出角θ. 2.求直线与平面所成角的方法方法一：几何法.用几何法求直线l 与平面α所成角的步骤为：①找出直线l 在平面α上的射影；②证明所找的角就是所求的角；③把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形来求角.方法二：空间向量法.用空间向量法求直线AB 与平面α所成角θ的步骤为：①求出平面α的法向量n 与直线AB 的方向向量AB →；②计算cos 〈AB →，n 〉＝AB →·n |AB →||n |；③利用sin θ＝|cos 〈AB →，n 〉|，以及θ∈[0°，90°]，求出角θ. 3.求二面角的方法方法一：几何法.用几何法求二面角α－l －β的平面角θ的步骤为：①找出二面角的平面角(以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角)；②证明所找的角就是要求的角；③把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形来求角.求二面角的平面角的口诀：点在棱上，边在面内，垂直于棱，大小确定.方法二：空间向量法.用空间向量法求二面角α－l －β的平面角θ的步骤为：①求两个半平面α，β的法向量m ，n ；②计算cos 〈m ，n 〉＝m ·n|m ||n |；③根据图形和计算结果判断θ是锐角、直角，还是钝角，从而得出θ与〈m ，n 〉是相等关系还是互补关系.热点一 求线线角【例1】 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点.已知AB ＝2，AD ＝22，P A ＝2，求异面直线BC 与AE 所成角的大小.解 法一 如图1，取PB 的中点F ，连接EF ，AF ，则EF ∥BC ，从而∠AEF (或其补角)是异面直线BC 与AE 所成的角.在△AEF 中，由EF ＝2，AF ＝2，AE ＝2，知△AEF 是等腰直角三角形，所以∠AEF ＝π4.因此，异面直线BC 与AE 所成角的大小是π4.图1 图2法二 如图2，建立空间直角坐标系，则B (2，0，0)，C (2，22，0)，E (1，2，1)，AE →＝(1，2，1)，BC →＝(0，22，0).设AE →与BC →的夹角为θ，则cos θ＝AE →·BC →|AE →||BC →|＝42×22＝22，所以θ＝π4.由此可知，异面直线BC 与AE 所成角的大小是π4.探究提高 求异面直线所成的角，可以应用向量法，也可以应用异面直线的定义求解.【训练1】 (2016·浙江卷)如图，已知平面四边形ABCD ，AB ＝BC ＝3，CD ＝1，AD ＝5，∠ADC ＝90°，沿直线AC 将△ACD 翻折成△ACD ′，直线AC 与BD ′所成角的余弦的最大值是________.解析 设直线AC 与BD ′所成角为θ，平面ACD 翻折的角度为α，设O 是AC 中点，由已知得AC ＝6，如图， 以OB 为x 轴，OA 为y 轴，过O 与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系， 则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，62，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫302，0，0， C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－62，0.作DH ⊥AC 于H ，翻折过程中，D ′H 始终与AC 垂直，CH ＝CD 2CA＝16＝66，则OH ＝63，DH ＝1×56＝306，因此可设D ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－306cos α，－63，306sin α， 则BD ′→＝⎝⎛⎭⎪⎫－306cos α－302，－63，306sin α，与CA →平行的单位向量为n ＝(0，1，0)，所以cos θ＝|cos 〈BD ′→，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪BD ′→·n |BD ′→|·|n |＝639＋5cos α， 所以cos α＝－1时，cos θ取最大值66. 答案 66 热点二 求线面角【例2】 (2016·四川卷)如图，在四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠P AB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD ，E 为棱AD 的中点，异面直线P A 与CD 所成的角为90°.(1)在平面P AB 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PBE ，并说明理由；(2)若二面角P －CD －A 的大小为45°，求直线P A 与平面PCE 所成角的正弦值. 解 (1)在梯形ABCD 中，AB 与CD 不平行.延长AB ，DC ，相交于点M (M ∈平面P AB )，点M 即为所求的一个点.理由如下：由已知，BC ∥ED ，且BC ＝ED . 所以四边形BCDE 是平行四边形.从而CM ∥EB .又EB ⊂平面PBE ，CM ⊄平面PBE . 所以CM ∥平面PBE .(说明：延长AP 至点N ，使得AP ＝PN ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点) (2)法一 由已知，CD ⊥P A ，CD ⊥AD ，P A ∩AD ＝A ， 所以CD ⊥平面P AD .从而CD ⊥PD . 所以∠PDA 是二面角P －CD －A 的平面角. 所以∠PDA ＝45°.设BC ＝1，则在Rt △P AD 中，P A ＝AD ＝2.过点A 作AH ⊥CE ，交CE 的延长线于点H ，连接PH . 易知P A ⊥平面ABCD ，从而P A ⊥CE .又P A ∩AH ＝A ，于是CE ⊥平面P AH .又CE ⊂平面PCE ， 所以平面PCE ⊥平面P AH .过A 作AQ ⊥PH 于Q ，则AQ ⊥平面PCE . 所以∠APH 是P A 与平面PCE 所成的角. 在Rt △AEH 中，∠AEH ＝45°，AE ＝1， 所以AH ＝22.在Rt △P AH 中，PH ＝P A 2＋AH 2＝322. 所以sin ∠APH ＝AH PH ＝13.法二 由已知，CD ⊥P A ，CD ⊥AD ，P A ∩AD ＝A ， 所以CD ⊥平面P AD . 于是CD ⊥PD .从而∠PDA 是二面角P －CD －A 的平面角，所以∠PDA ＝45°. 由P A ⊥AB ，可得P A ⊥平面ABCD . 设BC ＝1，则在Rt △P AD 中，P A ＝AD ＝2.作Ay ⊥平面P AD ，以A 为原点，以AD →，AP →的方向分别为x 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0，0，0)，P (0，0，2)，C (2，1，0)，E (1，0，0).所以PE →＝(1，0，－2)，EC →＝(1，1，0)，AP →＝(0，0，2). 设平面PCE 的法向量为n ＝(x ，y ，z ).由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PE →＝0，n ·EC →＝0.得⎩⎨⎧x －2z ＝0，x ＋y ＝0.设x ＝2，解得n ＝(2，－2，1).设直线P A 与平面PCE 所成角为α，则sin α＝|n ·AP →||n |·|AP →|＝22×22＋（－2）2＋12＝13.所以直线P A 与平面PCE 所成角的正弦值为13.探究提高 (1)传统法解决线面角问题的关键是先找出线面所成的角，再在三角形中解此角.(2)利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 【训练2】 (2017·湖州模拟)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 是正三角形，且A 1A ＝AB ，顶点A 1在底面ABC 上的射影是△ABC 的中心.(1)求证：AA 1⊥BC ；(2)求直线A 1B 与平面BCC 1B 1所成角的大小. (1)证明 因为△ABC 是正三角形，设O 为△ABC 的中心，连接AO ，所以BC ⊥AO ， 又A 1O ⊥平面ABC ，所以A 1O ⊥BC ，又A 1O ∩AO ＝O ， 所以BC ⊥平面A 1AO ，又A 1A ⊂平面A 1AO ，所以BC ⊥A 1A .(2)解 取BC ，B 1C 1的中点E ，F ，连接AE ，A 1F ，EF . 由(1)知BC ⊥平面A 1AEF ， 从而平面A 1AEF ⊥平面BCC 1B 1，在平面A 1AEF 内，作A 1G ⊥EF ，垂足为G ，连接GB ， 易知BC ⊥A 1G ，则A 1G ⊥平面BCC 1B 1， 则∠A 1BG 是直线A 1B 与平面BCC 1B 1所成的角. 设A 1A ＝2，在平行四边形A 1AEF 中， A 1O ＝263，A 1G ＝2，A 1B ＝2， 所以sin ∠A 1BG ＝A 1G A 1B ＝22.所以直线A 1B 与平面BCC 1B 1所成的角为π4. 热点三 求二面角【例3】 (2017·绍兴仿真考试)四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠ABC ＝60°，E 为AB 的中点，P A ⊥平面ABCD ，PC 与平面P AB 所成的角的正弦值为64.(1)在棱PD 上求一点F ，使AF ∥平面PEC ； (2)求二面角D －PE －A 的余弦值.解 法一 (1)分别取PD ，PC 的中点F ，G ， 连接FG ，EG ，AF ，则FG ∥CD ∥AB ，FG ＝12CD ＝12AB ＝AE ，所以四边形AEGF 为平行四边形，所以AF ∥EG ，又EG ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC ， 所以AF ∥平面PEC ， 所以PD 的中点F 即为所求.(2)易知，CE ⊥AB ，CE ⊥平面P AB ， 则∠CPE 即为PC 与平面P AB 所成的角， 在Rt △PEC 中，CE CP ＝64，即33＋1＋P A 2＝64， 解得P A ＝2.过D 作BA 的垂线，垂足为H ，过H 作PE 的垂线，垂足为K ，连接KD ， 因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥DH ，又DH ⊥BA ，P A ∩BA ＝A ，所以DH ⊥平面PBA ， 又PE ⊂平面PBA ，所以DH ⊥PE ，又DH ∩HK ＝H ， 所以PE ⊥平面DHK ，所以PE ⊥DK ， 所以∠DKH 即为所求的二面角的平面角. 在Rt △DHK 中，DH ＝3，易得△P AE ∽△HKE ，所以PE ·HK ＝EH ·P A ， 所以HK ＝EH ·P A PE ＝45， 从而DK ＝3＋165＝315，所以cos ∠DKH ＝KH DK ＝43131， 即二面角D －PE －A 的余弦值为43131. 法二 取BC 的中点G ，连接AG ， 由已知可得AG ⊥AD .又∵P A ⊥平面ABCD ，故可以A 为原点，以AG ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系.(1)易证CE ⊥平面P AB ，故∠CPE 即为PC 与平面P AB 所成的角， ∴sin ∠CPE ＝CE CP ＝64，∴CP ＝22，∴P A 2＋AC 2＝8， ∴P A ＝2.故A (0，0，0)，B (3，－1，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，0，C (3，1，0)，P (0，0，2)，D (0，2，0)，∴EP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，2，EC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，0，PD →＝(0，2，－2).设PF →＝λPD →，又∵AF →＝AP →＋PF →，∴AF →＝(0，2λ，2－2λ). 设平面PEC 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·EP →＝－32x ＋12y ＋2z ＝0，m ·EC →＝32x ＋32y ＝0，令y ＝1，则⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝1，z ＝－1，∴m ＝(－3，1，－1).若AF ∥平面PEC ，则AF →⊥m ， ∴AF →·m ＝2λ－2＋2λ＝0，∴λ＝12，∴F 为PD 的中点为所求.(2)设平面DPE 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·EP →＝－32x ＋12y ＋2z ＝0，n ·PD →＝2y －2z ＝0，令z ＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝533，y ＝1，z ＝1，∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫533，1，1. 易知平面APE 的一个法向量为EC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，0.设二面角D －PE －A 的平面角为θ，则|cos θ|＝|cos 〈EC →，n 〉|＝52＋32313·3＝43131.由图易知二面角D －PE －A 为锐角， ∴二面角D －PE －A 的余弦值为43131.探究提高 (1)用传统法求解二面角的关键是：先找出二面角的平面角，再在三角形中求解此角.(2)利用法向量的根据是两个半平面的法向量所成的角和二面角的平面角相等或互补，在能断定所求二面角的平面角是锐角、直角或钝角的情况下，这种方法具有一定的优势，但要注意，必须能断定“所求二面角的平面角是锐角、直角或钝角”，在用法向量法求二面角的大小时，务必要作出这个判断，否则解法是不严谨的.【训练3】 (2016·浙江卷)如图，在三棱台ABC －DEF 中，平面BCFE ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，BE ＝EF ＝FC ＝1，BC ＝2，AC ＝3.(1)求证：BF ⊥平面ACFD ；(2)求二面角B －AD －F 的平面角的余弦值.(1)证明 延长AD ，BE ，CF 相交于一点K ，如图所示. 因为平面BCFE ⊥平面ABC ，平面BCFE ∩平面ABC ＝BC ，且AC ⊥BC ，所以AC ⊥平面BCK ， 因此BF ⊥AC .又因为EF ∥BC ，BE ＝EF ＝FC ＝1，BC ＝2，所以△BCK 为等边三角形，且F 为CK 的中点，则BF ⊥CK ，且CK ∩AC ＝C ，CK ，AC ⊂平面ACFD ， 所以BF ⊥平面ACFD .(2)解 法一 过点F 作FQ ⊥AK 于Q ，连接BQ .因为BF ⊥平面ACK ，所以BF ⊥AK ，则AK ⊥平面BQF ，所以BQ ⊥AK . 所以∠BQF 是二面角B －AD －F 的平面角.在Rt △ACK 中，AC ＝3，CK ＝2，得AK ＝13，FQ ＝31313. 在Rt △BQF 中，FQ ＝31313，BF ＝3， 得cos ∠BQF ＝34.所以，二面角B －AD －F 的平面角的余弦值为34.法二 如图，延长AD ，BE ，CF 相交于一点K ，则△BCK 为等边三角形.取BC 的中点O ，连接KO ，则KO ⊥BC ，又平面BCFE ⊥平面ABC ，平面BCFE ∩平面ABC ＝BC ，所以KO ⊥平面ABC . 以点O 为原点，分别以射线OB ，OK 的方向为x 轴，z 轴的正方向， 建立空间直角坐标系O －xyz .由题意得B (1，0，0)，C (－1，0，0)，K (0，0，3)，A (－1，－3，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，32，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，32.因此，AC →＝(0，3，0)，AK →＝(1，3，3)，AB →＝(2，3，0).设平面ACK 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，平面ABK 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2). 由⎩⎪⎨⎪⎧AC →·m ＝0，AK →·m ＝0，得⎩⎨⎧3y 1＝0，x 1＋3y 1＋3z 1＝0，取m ＝(3，0，－1)；由⎩⎪⎨⎪⎧AB →·n ＝0，AK →·n ＝0，得⎩⎨⎧2x 2＋3y 2＝0，x 2＋3y 2＋3z 2＝0，取n ＝(3，－2，3).于是，cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝34.所以，二面角B －AD －F 的平面角的余弦值为34.1.两条直线夹角的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.设直线l 1，l 2的方向向量分别为n 1，n 2，其夹角为θ，则cos θ＝|cosn 1，n 2|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|.2.二面角的范围为[0，π].设半平面α与β的法向量分别为n 1与n 2，二面角为θ，则|cos θ|＝|cosn 1，n 2|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|.3.利用空间向量求解二面角时，易忽视二面角的范围，误以为两个法向量的夹角就是所求的二面角，导致出错.4.空间向量在处理空间问题时具有很大的优越性，能把“非运算”问题“运算”化，即通过直线的方向向量和平面的法向量，把立体几何中的平行、垂直关系，各类角、距离以向量的方式表达出来，把立体几何问题转化为空间向量的运算问题.应用的核心是充分认识形体特征，进而建立空间直角坐标系，通过向量的运算解答问题，达到几何问题代数化的目的，同时注意运算的准确性.1.(2017·金华调研)如图，AB ＝BE ＝BC ＝2AD ＝2，且AB ⊥BE ，∠DAB ＝60°，AD ∥BC ，BE ⊥AD .(1)求证：平面ADE ⊥平面BDE ；(2)求直线AD 与平面DCE 所成角的正弦值.(1)证明∵AB＝2AD，∠DAB＝60°，∴AD⊥DB，又BE⊥AD，且BD∩BE＝B，∴AD⊥平面BDE，又AD⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面BDE.(2)解∵BE⊥AD，AB⊥BE，∴BE⊥平面ABCD，∴点E到平面ABCD的距离就是线段BE的长为2，设AD与平面DCE所成角为θ，点A到平面DCE的距离为d，由V三棱锥A－DCE ＝V三棱锥E－ADC得13×d×S△CDE＝13×|BE|×S△ACD，解得d＝3010，而AD＝1，则sin θ＝d|AD|＝3010，故直线AD与平面DCE所成角的正弦值为30 10.2.(2017·衢州调研)已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是菱形，∠ADC＝120°，AD的中点M是顶点P在底面ABCD的射影，N是PC的中点.(1)求证：平面MPB⊥平面PBC；(2)若MP＝MC，求直线BN与平面PMC所成角的正弦值.(1)证明∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝120°，且M是AD的中点，∴MB⊥AD，∴MB⊥BC.又∵P在底面ABCD的射影M是AD的中点，∴PM⊥平面ABCD，又∵BC⊂平面ABCD，∴PM⊥BC，而PM∩MB＝M，PM，MB⊂平面PMB，∴BC⊥平面PMB，又BC⊂平面PBC，∴平面MPB⊥平面PBC.(2)解法一过点B作BH⊥MC，连接HN，∵PM⊥平面ABCD，BH⊂平面ABCD，∴BH⊥PM，又∵PM，MC⊂平面PMC，PM∩MC＝M，∴BH ⊥平面PMC ，∴HN 为直线BN 在平面PMC 上的射影， ∴∠BNH 为直线BN 与平面PMC 所成的角，在菱形ABCD 中，设AB ＝2a ，则MB ＝AB ·sin 60°＝3a ， MC ＝DM 2＋DC 2－2DM ·DC ·cos 120°＝7a . 又由(1)知MB ⊥BC ，∴在△MBC 中，BH ＝2a ·3a 7a ＝2217a ，由(1)知BC ⊥平面PMB ，PB ⊂平面PMB ， ∴PB ⊥BC ，∴BN ＝12PC ＝142a ， ∴sin ∠BNH ＝BHBN ＝2217a 142a＝267.法二 由(1)知MA ，MB ，MP 两两互相垂直，以M 为坐标原点，以MA ，MB ，MP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系M －xyz ，不妨设MA ＝1，则M (0，0，0)，A (1，0，0)，B (0，3，0)，P (0，0，7)，C (－2，3，0)， ∵N 是PC 的中点，∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，72，设平面PMC 的法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)，又∵MP →＝(0，0，7)，MC →＝(－2，3，0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·MP →＝0，n ·MC →＝0，即⎩⎨⎧7z 0＝0，－2x 0＋3y 0＝0， 令y 0＝1，则n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1，0，|n |＝72，又∵BN →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，－32，72，|BN →|＝142，|cos 〈BN →，n 〉|＝|BN →·n ||BN →||n |＝267. 所以，直线BN 与平面PMC 所成角的正弦值为267.3.(2016·全国Ⅲ卷)如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点.(1)证明MN ∥平面P AB ；(2)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值. (1)证明 由已知得AM ＝23AD ＝2.取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綉AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT . 因为AT ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ，所以MN ∥平面P AB . (2)解 取BC 的中点E ，连接AE . 由AB ＝AC 得AE ⊥BC ， 从而AE ⊥AD ，AE ＝AB 2－BE 2＝AB 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22＝ 5.以A 为坐标原点，AE →的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz .由题意知，P (0，0，4)，M (0，2，0)，C (5，2，0)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，1，2，PM →＝(0，2，－4)，PN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，1，－2，AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，1，2.设n ＝(x ，y ，z )为平面PMN 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PM →＝0，n ·PN →＝0，即⎩⎨⎧2y －4z ＝0，52x ＋y －2z ＝0，可取n ＝(0，2，1). 于是cos 〈n ，AN →〉＝n ·AN→|n ||AN →|＝8525. 设AN 与平面PMN 所成的角为θ，则sin θ＝8525， ∴直线AN 与平面PMN 所成的角的正弦值为8525.4.(2017·全国Ⅱ卷)如图，四棱锥P －ABCD 中，侧面P AD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB ＝BC ＝12AD ，∠BAD ＝∠ABC ＝90°，E 是PD 的中点.(1)证明：直线CE ∥平面P AB ；(2)点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45°，求二面角M －AB －D 的余弦值.(1)证明 取P A 的中点F ，连接EF ，BF ， 因为E 是PD 的中点，所以EF ∥AD ，EF ＝12AD . 由∠BAD ＝∠ABC ＝90°得BC ∥AD ， 又BC ＝12AD ，所以EF 綉BC ， 四边形BCEF 是平行四边形，CE ∥BF ， 又BF ⊂平面P AB ， CE ⊄平面P AB ， 故CE ∥平面P AB .(2)解 由已知得BA ⊥AD ，以A 为坐标原点，AB →的方向为x 轴正方向，|AB →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0，0，0)，B (1，0，0)，C (1，1，0)，P (0，1，3)，PC →＝(1，0，－3)，AB →＝(1，0，0). 设M (x ，y ，z )(0<x <1)，则BM →＝(x －1，y ，z )，PM →＝(x ，y －1，z －3). 因为BM 与底面ABCD 所成的角为45°， 而n ＝(0，0，1)是底面ABCD 的法向量，所以|cos 〈BM →，n 〉|＝sin 45°， |z |（x －1）2＋y 2＋z 2＝22，即(x －1)2＋y 2－z 2＝0.①又M 在棱PC 上，设PM →＝λPC →(0＜λ≤1)，则 x ＝λ，y ＝1，z ＝3－3λ.②由①，②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋22，y ＝1，z ＝－62(舍去)，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22，y ＝1，z ＝62，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，1，62，从而AM →＝⎝⎛⎭⎪⎫1－22，1，62.设m ＝(x 0，y 0，z 0)是平面ABM 的法向量，则 ⎩⎪⎨⎪⎧m ·AM →＝0，m ·AB →＝0，即⎩⎨⎧（2－2）x 0＋2y 0＋6z 0＝0，x 0＝0，所以可取m ＝(0，－6，2). 于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝105. 因此二面角M －AB －D 的余弦值为105.5.(2017·山东卷)如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD (及其内部)以AB 边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G 是DF ︵的中点.(1)设P 是CE ︵上的一点，且AP ⊥BE ，求∠CBP 的大小； (2)当AB ＝3，AD ＝2时，求二面角E －AG －C 的大小. 解 (1)因为AP ⊥BE ，AB ⊥BE ， AB ，AP ⊂平面ABP ，AB ∩AP ＝A ， 所以BE ⊥平面ABP ，又BP ⊂平面ABP ，所以BE ⊥BP ，又∠EBC ＝120°， 因此∠CBP ＝30°.(2)法一 如图1，取EC ︵的中点H ，连接EH ，GH ，CH .图1因为∠EBC ＝120°， 所以四边形BEHC 为菱形， 所以AE ＝GE ＝AC ＝GC ＝32＋22＝13.取AG 中点M ，连接EM ，CM ，EC ， 则EM ⊥AG ，CM ⊥AG ，所以，∠EMC 为所求二面角的平面角. 又AM ＝1，所以EM ＝CM ＝13－1＝2 3. 在△BEC 中，由于∠EBC ＝120°，由余弦定理得EC 2＝22＋22－2×2×2×cos 120°＝12，所以EC ＝23，因此△EMC 为等边三角形，故所求的角为60°.法二 以B 为坐标原点，分别以BE ，BP ，BA 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如图2所示的空间直角坐标系.图2由题意得A (0，0，3)，E (2，0，0)，G (1，3，3)，C (－1，3，0)， 故AE →＝(2，0，－3)，AG →＝(1，3，0)，CG →＝(2，0，3).设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面AEG 的一个法向量.由⎩⎪⎨⎪⎧m · AE →＝0，m ·AG →＝0，可得⎩⎨⎧2x 1－3z 1＝0，x 1＋3y 1＝0. 取z 1＝2，可得平面AEG 的一个法向量m ＝(3，－3，2).设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面ACG 的一个法向量.由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AG →＝0，n ·CG →＝0，可得⎩⎨⎧x 2＋3y 2＝0，2x 2＋3z 2＝0. 取z 2＝－2，可得平面ACG 的一个法向量n ＝(3，－3，－2).所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝12.因此所求的角为60°.6.(2016·北京卷)如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，P A ⊥PD ，P A ＝PD ，AB ⊥AD ，AB ＝1，AD ＝2，AC ＝CD ＝ 5.(1)求证：PD ⊥平面P AB ；(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；(3)在棱P A 上是否存在点M ，使得BM ∥平面PCD ？若存在，求AM AP 的值；若不存在，说明理由.(1)证明 ∵平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，又AB ⊥AD ，AB ⊂平面ABCD ，∴AB ⊥平面P AD .∵PD ⊂平面P AD .∴AB ⊥PD .又P A ⊥PD ，P A ∩AB ＝A ，∴PD ⊥平面P AB .(2)解 取AD 中点O ，连接CO ，PO ，∵P A ＝PD ，∴PO ⊥AD .又∵PO ⊂平面P AD ，平面P AD ⊥平面ABCD ，∴PO ⊥平面ABCD .∵CO ⊂平面ABCD ，∴PO ⊥CO .∵AC ＝CD ，∴CO ⊥AD .以O 为原点建立如图所示空间直角坐标系.易知P (0，0，1)，B (1，1，0)，D (0，－1，0)，C (2，0，0).则PB →＝(1，1，－1)，PD →＝(0，－1，－1)，PC →＝(2，0，－1).CD →＝(－2，－1，0).设n ＝(x 0，y 0，1)为平面PDC 的一个法向量.由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PD →＝0，n ·PC →＝0得⎩⎨⎧－y 0－1＝0，2x 0－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－1，x 0＝12. 即n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，1. 设PB 与平面PCD 的夹角为θ.则sin θ＝|cos 〈n ，PB →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·PB →|n ||PB →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－1－114＋1＋1×3 ＝33.(3)解 设M 是棱P A 上一点，则存在λ∈[0，1]使得AM →＝λAP →，因此点M (0，1－λ，λ)，BM →＝(－1，－λ，λ).因为BM ⊄平面PCD ，所以BM ∥平面PCD ，当且仅当BM →·n ＝0，即(－1，－λ，λ)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，1＝0，解得λ＝14，所以在棱P A 上存在点M 使得BM ∥平面PCD ，此时AM AP ＝14.。
立体几何中有关的角的计算问题
立体几何中 有关的角的
计算问题
立体几何中的三类角：
1. 异面直线所成的角 θ
范围： 0ºθ≤90º 解题关键：找平行线 特殊情况： 垂直 转化为证明线线垂直 2. 直线和平面所成的角 θ 范围： 0º≤θ≤90º 解题关键：作垂线、找射影 特殊情况：垂直 转化为证明线面垂直
分析： SA=AC , E是SC的中点，AE⊥SC
DE⊥SC , SC⊥平面BDE SC⊥AD， SB⊥平面ABC
SB⊥AD， AD⊥平面SBC S
AD⊥DE AD⊥DC
E
所以∠EDC就是所求二面角
的平面角。 ∠EDC=60o。
D
B
C
A
例6.设△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，
且AB=BC=BD=1, ∠CBA=∠DBC=120o.
故∠AED就是二面角A-SC-B的平面角。
设AC=a， 则AB=BC= 2 a
2
又SA ⊥平面ABC，所以∠SCA就是SC
E
与平面ABC所成的角，即∠SCA=60o
SA= 3a AD=
sin∠AED= 2 7
3 AE= 3
7
2
D
7
侧面SAC与SBC所成的二面角的大小为arcsin 2 7 。
7
例5.如图，SB⊥平面ABC，AB⊥AC，SB=AB， SA=AC，E是SC的中点，DE⊥SC，交BC于D， 求平面EAD和平面CAD所成的角的大小。
(2) A、D的连线与平面BCD所成的角；
(3)二面角A-BD-C的大小。
作图分析：
A
HM
C
OB
D
总 结:
在求解此三类角时,关键是找到它的平面 角，并加以证明和说明。如果原图中没有所求 角的平面角，则可以根据需要添加辅助线。添 加辅助线往往通过从图形中的特殊点，向投影 面或棱作垂线(或平行线)来实现的。添线过程 的科学性和合理性，以及确定垂足(或交点)的 位置对解题至关重要。
立体几何角度问题ppt课件
返回
若斜线段AB的长度是它在平面内的射影长的 2倍，则AB与所成的角为 60°。
A
O
B
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
例题:如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，求A1B与平面A1B1CD所成的角
A E
P
M N
B
返回
C
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
2、直线与平面所成的角
范围:0°<θ≤90°.
AL
oθ B
α
平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的 锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
A
3
思维点拨：准
确作出线线、
E
线面角是关键，
熟记正四面体 中的一些量对
B
G
D
H
解题有帮助.
F
C
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
3、二面角
范围:0°≤θ≤180°
返回
A
α
B
O
L
β
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
在正方体AC1中，求异面直线A1B 和B1C所成的角？
立体几何中空间角的求法.doc
安徽省寿县正阳中学周多民NO： 200701126空间角能比较集中的反映学生对空间想象能力的体现，也是历年来高考命题者的热点, 儿乎年年必考。
空间角是线线成角、线面成角、面面成角的总称。
其取值范围分别是：0° < 9W90°、0° W 0 W90° > 0° <0 W180°。
空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边 角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。
空间角的求法--般是：一找、二证、三求解， 手段上可采用：几何法(正余弦定理)和向量法。
下面举例说明。
一、异面直线所成的角：例1如右下图，在长方体A BCD-A.B^D,中，已知A8 = 4, AO = 3, AA }=2.E 、F 分别是线段AB. BC 上的点，且EB = FB = \.求直线互弓与所成的角的余弦值。
思路一：本题易于建立空间直角坐标系,把EC 】与F0所成角看作向量EC 与FD ］的夹角， 用向量法求解。
思路二：平移线段GE 让G 与Di 重合。
转化为 平面角，放到三角形中，用儿何法求解。
(图1)解法一：以A 为原点，届J 万、熟分别为x 轴、 y轴、z 轴的正向建立空间直角坐标系，则有 D, (0, G (4, 3, 2),于是瓦= (1,3,2),福= (-4,2,2) 3, 2)、E (3, 0, 0)、F (4, 1, 0)、设ECi 与FD|所成的角为”，贝IJ ：cos 8 -EC「FD 、EC.・ FDlx(-4) + 3x2 + 2x2 _ V2lV12 +32 +22 x7(-4)2 + 22 +22 14・.・直线EC X 与FD ［所成的角的余弦值为14立体几何中空间角的求法解法二：延长BA 至点E”使AE|=1,连结EiF 、DE 】、D 】E|、DF,异而直线小12的夹角的余弦为:有 D]Ci 〃E]E, DiG=E]E, 则四边形D.E.ECi 是平行四边形。
4立体几何 求角问题
学业水平考试复习（求角问题）㈠异面直线所成角θ的求法：计算异面直线所成角的关键是平移（中点平移，顶点㈡直线和平面所成的角：①定义：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。
②求法：作出直线在平面上的射影；③斜线与平面所成的角的特征：斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。
㈢二面角：①定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；②三垂线法：过其中一个面内一点作另一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；③垂面法：过一点作棱的垂面，则垂面与两个半平面的交线所成的角即为平面角；（3）二面角的求法：①转化为求平面角；②面积射影法：利用面积射影公式cos S S θ⋅射原＝，其中θ为平面角的大小。
对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其可考虑面积射影法）。
【例１】如图中，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，E 、F 分别是AD 、AA 1的中点.（1）求直线AB 1和CC 1所成的角的大小；（2）求直线AB 1和EF 所成的角的大小.【例２】如图，ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，,PA AD a ==AB =，E 是线段PD 上的点，F 是线段AB 上的点，且12PE BF ED FA ==．求直线EF 与平面ABCD 所成角的正弦值.【例３】如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且PA AB =，点E 是PD 的中点.（1）求证：AC PB ⊥； （2）求证：//PB 平面AEC ；（3）求二面角E AC B --的大小.。
立体几何角的问题
角的问题线线角： 异面直线成角的范围：]2,0π（异面直线成角重点是通过平移转化为平面角，最后成为解三角形问题： 作异面直线成角的常用方法有：(1)直接平移；(2)中位线平移；(3)补体平移； 异面直线成角问题的解题步骤：一作(图)二证(明)三指(角)四解(三角形) 附：空间向量方法：设是直线a 、b 的方向向量，θ为直线a 、b 所成角大小线面角：直线和平面所成角范围：⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π 斜线和平面所成角重点是通过在斜线上找一个不同于斜足的点做面的垂线，将其转化为平面角，最后成为解直角三角形问题；做斜线和平面成角的重点：定斜线上的点在平面上的垂足，其常用方法有： (1)利用面面垂直定垂足位置；(2)利用四面体顶点在底面上射影的特殊位置定垂足位置：如 [1]四面体的侧棱相等顶点在底面上射影是底面三角形的外心；[2]四面体的侧棱和底面成角相等顶点在底面上射影是底面三角形的外心[3]四面体的顶点在底面上射影在底面三角形内部，且顶点到底面三角形三边距离相等顶点在底面上射影是底面三角形的内心；[4]四面体的顶点在底面上射影在底面三角形内部，且侧面和底面成角相等顶点在底面上射影是底面三角形的内心； [5]四面体的侧棱两两垂直顶点在底面上射影是底面三角形的垂心； [6]四面体的任意对棱垂直顶点在底面上射影是底面三角形的垂心；意：斜线和平面成角是平面内任意直线和斜线所成角中最小的，且有三余弦关系12cos =cos cos θθθ附：空间向量方法：设直线a 的方向向量，的法向量，θ为直线a 与平面所成角大小a nsin =a nθ→→→→⋅⋅面面角：二面角成角范围：二面角的三要素：两个半平面一条棱；注意无棱二面角要先补棱；二面角成角问题的重点是将其转化为平面角，最后成为解三角形问题；做二面角的平面角的常用方法： (1)定义法：找棱上特殊点分别在两半平面内做棱的垂线；(2)三垂线定理法：重点找两半平面中一特殊点，定此点在另一面上的射影； (3)射影面积公式法为二面角平面角大小。
求角
立体几何---求角（1）两条异面直线所成的角求法：先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是]2,0(π，向量所成的角范围是],0[π，如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐角。
（2）直线和平面所成的角求法：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。
向量法，先求直线的方向量于平面的法向量所成的角α，那么所要求的角为απ-2或2πα-。
（3）平面与平面所成的角求法：“一找二证三求”，找出这个二面角的平面角，然后再来证明我们找出来的这个角是我们要求的二面角的平面角，最后就通过解三角形来求。
通过射影面积来求原射影S cos S =α（在其中一个平面内找出一个三角形，然后找这个三角形在另外一个平面的射影，那么这个三角形的射影面积与原三角形面积之比即为cos α，注意到我们要求的角为α或π－α）；向量法，先求两个平面的法向量所成的角为α，那么这两个平面所成的二面角的平面角为α或π－α。
（ 解题注意点：）（1）我们如果是通过解三角形去求角、距离的时候，做到“一找二证三求”，解题的过程中一定要出现这样一句话，“∠α是我们所要求的角”、“线段AB 的长度就是我们所要求的距离”等等。
让人看起来一目了然。
（2）用向量来求两条异面直线所成角时，若求出cos α＝x ，则这两条异面直线所成的角为α＝arccos|x|（3）在求直线与平面所成的角的时候，法向量与直线方向量所成的角或者法向量与直线的方向量所成角的补交与我们所要求的角互余，所以要απ-2或2πα-，若求出的角为锐角，就用απ-2，若求出的钝角，就用2πα-。
（4）求平面与平面所成角的时，先要去判断这个二面角的平面角是钝角还是锐角，然后再根据我们所作出的判断去取舍。
【练习巩固】-----1．如图所示，已知正四棱锥S —ABCD 侧棱长为2，底面边长为3，E 是SA 的中点，则异面直线BE 与SC 所成角的大小为 （ ） A ．90° B ．60° C ．45°D ．30°2．若a ，b ，l 是两两异面的直线，a 与b 所成的角是3π，l 与a 、l 与b 所成的角都是α，则α的取值范围是（ ）A ．[65,6ππ]B ．[2,3ππ]C ．[65,3ππ]D ．[2,6ππ]3. 在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离是( )A 38B 83C 34D 434. 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，O 为底面ABCD 的中心，P 为棱A 1B 1上任意一点，则直线OP 与直线AM 所成的角是( )A 6πB 4πC 3πD 2π5．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则O 到平面AB C 1D 1的距离为 （ ）A 、21B 、42C 、22D 、236.△ABC 的顶点B 在平面a 内，A 、C 在a 的同一侧，AB 、BC 与a 所成的角分别是30°和45°若AB=3,BC=24 ,AC=5,则AC 与a 所成的角为 （ ）(A)60° (B)45° (C)30° (D)15°7. 已知∠AOB ＝90°,过O 点引∠AOB 所在平面的斜线OC ，与OA 、OB 分别成45°、60°，则以OC 为棱的二面角A —OC —B 的余弦值等于______8．空间四点A 、B 、C 、D 中，每两点所连线段的长都等于a ，动点P 在线段AB 上，动点Q 在线段CD 上，则P 与Q 的最短距离为_________9. 如图，P ABCD -是正四棱锥,1111ABCD A BC D -是正方体，其中2,AB PA ==（Ⅰ）求证：11PA B D ⊥；（Ⅱ）求平面PAD 与平面11BDD B 所成的锐二面角θ的大小；（Ⅲ）求1B 到平面PAD 的距离．10. 在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧棱PA 垂直于底面，E 、F 分别是AB 、PC 的中点．（1）求证：//EF 平面PAD ；（2）当平面PCD 与平面ABCD 成多大二面角时，直线⊥EF 平面PCD ？11．（安徽省合肥市2007年高三第三次教学质量检测）已知，在如图所示的几何体ABCED 中，EC ⊥面ABC ，DB ⊥面ABC ，CE=CA=CB=2DB ，∠ACB=90°，M 为AD 的中点。
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考向二：求线面所成角
题型一：直接利用垂直关系找射影
1．（2015浙江文）如图,在三棱柱中,, 在地面的射影为的中点，的中点。
(1)证明:
(2)求直线和平面所成角的正弦值.
2.（2016年浙江高考）如图，在三棱台ABC-DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，
∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.
(1)求证：BF⊥平面ACFD；
(2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.
题型二：利用平行线和垂直关系找射影
3.（2017天津文）如图,在四棱锥中,
.
(1)求异面直线所成角的余弦值;
(2)求证:
(3)求直线所成角的正弦值.
题型三：构造垂直关系作射影
4．（2016天津文）如图,四边形是平行四边形,平面平面,
的中点.
（1）求证:
（2）求证:平面
（3）求直线所成角的正弦值.
B A。