(名师讲坛)2020版高考数学二轮复习专题五解析几何微切口19椭圆中k1k2=-a2分之b2的应用课件

【思维引导】
【解析】因为 cos∠F 1BF 2＝12，所以∠F 1BF 2＝60°， 所以∠OBF 2＝30°.在 Rt△BOF 2 中，因为 BF 2＝2，
所以 OB＝ 3＝b，∠BF 2O＝60°，
所以直线 BD 的倾斜角为 120°，
所以直线 BD 的斜率为 kBD＝－ 3.
由椭圆中的斜结论可知
专题五 解析几何 微切口 19 椭圆中“k1·k2＝－ba22”的应用
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，F 1，F 2 分别为椭圆 x42＋by22＝1 的左、右焦点，B，C 分别为椭圆的上、下顶点，直线
BF 2 与椭圆的另一交点为 D. 3
若 cos∠F 1BF 2＝12，则直线 CD 的斜
率为____4____．
＝14x1x2－12m·2m＋x1x122－2m2－x2 x2＋mm－1 ＝14xx11xx22－－212xx22＝14， 即 k1·k2 为定值14.
方法二：由 a＝2，得 b＝1，故椭圆的方程为x42＋y2＝1， 从而 A(2,0)，B(0,1)，直线 AB 的斜率为－12.
x20 设C(x0，y0)，则 4 ＋y20＝1.
所以椭圆的离心率
e＝ac＝
3 2.
(2) 已知 a＝2，四边形 ABCD 内接于椭圆，AB∥DC，记直线 AD，BC 的斜率分别
为 k1，k2，求证：k1·k2 为定值． 【解答】 方法一：由 a＝2，得 b＝1，故椭圆的方程为x42＋y2＝1，
从而 A(2,0)，B(0,1)，直线 AB 的斜率为－12. 因为 AB∥DC，故可设 DC 的方程为 y＝－12x＋m， 设 D(x1，y1)，C(x2，y2)．
所以a2y1y2＋b2x1x2＝0. 由44ba22xy2020＝＝ba22xy2121＋＋22ba22xy11xy22＋＋ba22xy2222，， 得4b2x20＋4a2y20＝2a2b2， 所以线段AB的中点C的轨迹方程为ax202＋by202＝1.
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牢记以下四个方面(考试中结论不可直接应用，需先证明)： 1. 领悟解析几何中设点法、点差法、对称点、点在曲线上等对点的问题的处理技巧； 2. 中心弦的特征：kPA·kPB＝－ba22＝e2－1； 3. 中点弦的特征：kAB·kPO＝－ba22＝e2－1(P 为弦 AB 的中点)；
因为AB∥CD，故CD的方程为y＝－12(x－x0)＋y0.
联立yx4＝ 2＋－y212＝x1－，x0＋y0，
消去 y，
得 x2－(x0＋2y0)x＋2x0y0＝0，
解得 x＝x0(舍去)或 x＝2y0， 所以点 D 的坐标为2y0，12x0，
1 所以 k1·k2＝2y20x－0 2·y0x－0 1＝14，即 k1·k2 为定值14.
在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A，B 为椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)上异于顶点的 两点．
(1) 若 OA，OB 的斜率之积 kOA·kOB＝－ba22，求证：OA2＋OB2＝a2＋b2；
【思维引导】
Байду номын сангаас
【解答】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则kOA·kOB＝yx11yx22＝－ba22， 所以a2y1y2＝－b2x1x2，即a4y21y22＝b4x12x22. 因为点A，B在椭圆上， 所以b2x21＋a2y21＝a2b2，b2x22＋a2y22＝a2b2，移项得 －a2y21＝b2x21－a2b2①，－a2y22＝b2x22－a2b2②， 由①×②得，a4y21y22＝b4(x12－a2)·(x22－a2)＝b4x21x22，所以x12＋x22＝a2.
kBD·kCD＝－ba22＝－34，所以
kCD＝
3 4.
如图，在平面直角坐标系
xOy
中
，
椭
圆
x2 a2
＋
y2 b2
＝
1(a＞b＞0)的右顶点和上顶点分别为 A，B，M 为线段 AB 的中
点，且O→M·A→B＝－32b2.
(1) 求椭圆的离心率；
【思维引导】
【解答】 因为 A(a,0)，B(0，b)，
联立yx4＝ 2＋－y212＝x＋1，m，
消去 y，得 x2－2mx＋2m2－2＝0，
所以 x1＋x2＝2m，从而 x1＝2m－x2，
所以直线 AD 的斜率 k1＝x1y－1 2＝－x121x－1＋2 m， 直线 BC 的斜率 k2＝y2x－2 1＝－12x2＋x2 m－1，
所以 k1·k2＝－x121x－1＋2 m·－12x2＋x2 m－1 ＝14x1x2－12m－1x1x－1－212xm2 x2＋mm－1 ＝14x1x2－12mx1x＋1xx22－＋2x122x1＋mm－1
所以由 M 为线段 AB 的中点，得 Ma2，b2， 所以O→M＝a2，b2，A→B＝(－a，b)． 因为O→M·A→B＝－32b2， 所以a2，b2·(－a，b)＝－a22＋b22＝－32b2， 整理得 a2＝4b2，即 a＝2b.
因为 a2＝b2＋c2，所以 3a2＝4c2，即 3a＝2c，
由①＋②得，－a2(y21＋y22)＝b2(x21＋x22)－2a2b2＝－a2b2，所以y21＋y22＝b2， 所以OA2＋OB2＝x21＋y21＋x22＋y22＝a2＋b2.
(2) 若 OA，OB 的斜率之积 kOA·kOB＝－ba22，求证：线段 AB 的中点 C 在某个定椭圆 上．
【解答】 设C(x0，y0)，因为C为AB的中点， 所以22xy00＝ ＝xy11＋ ＋xy22， ， 所以44xy2020＝ ＝xy2121＋ ＋22xy11xy22＋ ＋xy2222， .②① 因为kOA·kOB＝yx11yx22＝－ba22，