高中数学必修三23 1变量间的相关关系(薛玉燕)
人教A版高中数学必修3《二章 统计 2.3 变量间的相关关系 2.3.1 变量之间的相关关系》示范课课件_18
归纳：
1.求样本数据的线性回归方程，可按下列步骤进行：
第一步，计算平均数 x , y
n
n
第二步，求和 xi yi , xi xi yi nx y
第三步，计算 b i1 n
i1 n
,a y bx
(xi x)2
(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)
审题指导 建立直角坐标系 ―描 点―→ 画散点图 ―判 断―→ 相关关系 ―→ 求回归系数 ―→ 写回归方程
[规范解答] (1)散点图如图所示：
(2)由散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的附近，可 求回归方程．由表中数据，用计算器计算得 x ＝3＋4＋4 5＋6＝ 4.5(吨)， y ＝2.5＋3＋4 4＋4.5＝3.5(吨)，
思考1：对某一个人来说，他的体内脂肪含 量不一定随年龄增长而增加或减少，但是如 果把很多个体放在一起，就可能表现出一定 的规律性.观察上表中的数据，大体上看， 随着年龄的增加，人体脂肪含量怎样变化？
思考2：为了确定人体脂肪含量和年龄之间的更明确的关
系，我们需要对数据进行分析，通过作图可以对两个变量
（2）散点图 A、定义；B、正相关、负相关。
3、回归直线方程
（1）回归直线：观察散点图的特征，如果各点大致分
布在一条直线的附近，就称两个变量之间具有线性相关的
关系，这条直线叫做回归直线。
（2）最小二乘法
y bx a
n
n
b=
i= 1(xi -x)(yi -y)
n
-5
156
1、画出散点图；
0
150 2、从散点图中发现气温与热饮
4 7
132 128
高中数学23变量间的相关关系一二全册精品教案新人教A版必修3教案
高中数学23变量间的相关关系一二全册精品教案新人教A版必修3教案教案名称：高中数学23变量间的相关关系一、二全册精品教案教材版本：新人教A版必修3教学目标：1.掌握变量之间的相关关系的概念；2.理解相关系数的含义和计算方法；3.能够应用相关关系解决实际问题；4.培养学生分析和解决问题的能力。
教学重点：1.相关系数的计算方法；2.相关关系的实际应用。
教学难点：1.相关系数的计算和解释；2.相关关系在实际问题中的应用。
教学准备：1.教师准备板书工具，包括黑板、彩色粉笔等；2.教师准备教学用具，如教学课件、实验仪器等。
教学过程：第一课时：1.导入（5分钟）教师通过引入相关关系在日常生活中的例子，引起学生的思考和兴趣，如“你有没有觉得吃得越多睡得越香？”、“你觉得天气越热人们购买冷饮的数量会有什么变化？”等。
2.引入（10分钟）教师通过示意图和简单的计算，引导学生理解变量之间的相关关系，并介绍相关系数的定义和计算方法。
3.基础知识讲解（25分钟）3.1相关系数的含义和计算方法：教师通过示例和公式解释相关系数的含义和计算方法，让学生掌握相关系数的计算公式。
3.2相关系数的性质和意义：教师讲解相关系数的性质和意义，引导学生理解相关系数与变量之间的线性关系程度的关系。
4.练习（10分钟）教师布置一些相关系数的计算练习题，让学生进行个人或小组练习。
第二课时：5.复习（5分钟）回顾上节课学习的内容，教师提问学生相关系数的计算方法及其含义，并解答学生疑惑。
6.拓展（15分钟）6.1相关系数的解读：教师通过实例和图表解释如何解读相关系数的大小和正负号。
6.2相关系数的应用：教师介绍相关系数在实际问题中的应用，如市场调研、经济预测等。
7.实验（20分钟）教师组织学生进行相关系数实验，通过观察和数据统计，让学生进一步理解相关系数的计算方法和含义。
8.总结归纳（10分钟）教师引导学生总结相关系数的计算方法、含义和应用，并与学生一起完成相关关系的概念思维导图。
高中数学人教课标版必修三《变量间的相关关系》参考课件
名师点睛
1． 相关关系与函数关系的异同点 相同点：两者均是指两个变量的关系． 不同点：①函数关系是一种确定的关系．如匀速直线运动 中时间t与路程s的关系；相关关系是一种非确定的关 系．如一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系． ②函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关 系，也可能是伴随关系．例如，有人发现，对于在校儿 童，鞋的大小与阅读能力有很强的相关关系，然而学会新 词并不能使脚变大，而是涉及第三个因素——年龄，当儿 童长大一些，他们的阅读能力会提高，而且由于长大脚也 变大．
^ ^ ^
一个自然的想法是将各个偏差加起来作为总偏差．可是，由于 偏差有正有负，直接相加会相互抵消，这样就无法反映这些数 据点的贴近程度，即这个总偏差不能用 n 个偏差之和 (yi－yi)
i＝1 n n ^
来表示，通常是用偏差的平方和，即 Q＝ (yi－ a－ bxi)2 作为
i＝1
总偏差，并使之达到最小 ( 类似的思想方法在定义方差时用 过 )．上式展开后，是一个关于 a、 b 的二次多项式，应用配方 法的知识可求出使 Q 取得最小值时 a、 b 的值，
回归直线的方程 2． (1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在 _________ 一条直线 附近，就称这两个变量之间具有_________ 线性相关 关 系，这条直线叫做回归直线． (2)回归方程与最小二乘法 假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数 据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，用Q＝(y1－bx1－a)2＋ (y2－bx2－a)2＋…＋(yn－bxn－a)2表示点到直线y＝bx＋a的“ 整体距离”，当Q最小时，a，b的值可由下列公式给出：
n n xi－ x yi－ y xiyi－n x y i＝1 i ＝1 b＝ ＝ ， ^ n n 2 xi－ x xi2－n x 2 i＝1 i＝1 a ＝ y －^ b x. ^ 1n 1n 其中 x ＝ xi， y ＝ yi， ni＝1 ni＝1 这样，回归方程的斜率为^ b ，截距为^ a ，回归方程为 ^ y ＝^ b x＋^ a 通过上述求 Q 最小值而得到回归直线的 _________.
高中数学人教版必修3课件2-3-1变量之间的相关关系2
跟踪练习
对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图(1)；对变 量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图(2)．由这两个 散点图可以判断( )
A．变量x与y正相关，u与v正相关 B．变量x与y正相关，u与v负相关 C．变量x与y负相关，u与v正相关 D．变量x与y负相关，u与v负相关 [答案] C [解析] 图(1)中的数据y随着x的增大而减小，因此变量x与变量y负相 关；图(2)中的数据随着u的增大，v也增大，因此u与v正相关．
⑤代入公式计算b^ ，a^，公式为b^ ＝i＝n1 xi2－n－x2 ，
i＝1
a^＝
y
－b^ －x.
⑥写出回归直线方程^y＝b^ x＋a^.
跟踪练习
(1)(2015·石家庄高二检测)已知回归直线的斜率的估计 值是 1.23，样本点中心(即( x ， y ))为(4,5)，则回归直线的方 程是( )
(2)两次数学考试成绩散点图如图所示，
由散点图可以看出两个变量的对应点集中在一条直线的周围，具有正 相关关系．因此，这10名学生的两次数学考试成绩具有相关关系．
[答案] (1)A
[规律总结] 两个变量x与y相关关系的判断方法： (1)散点图法：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定规律，直 观地判断；如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那 么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响． (2)表格、关系式法：结合表格或关系式进行判断； (3)经验法：借助积累的经验进行分析判断． [特别提醒] 如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，那么变量 之间就有相关关系．
④表示最接近 y 与 x 之间真实关系的一条直线．
A．①②
高中数学人教A版必修3《2.3.1变量间的相关关系》教案4
必修三 2.3.1 变量间的相关关系教学目标1、知识与技能（1）了解变量之间的相关关系。
（2）会区别变量之间的函数关系与变量相关关系。
（3）会举例说明现实生活中变量之间的相关关系。
（4）让学生了解产生变量之间的相关关系是由许多不确定的随机因素的影响。
2、过程与方法（1）通过复习变量之间的函数关系引出变量相关关系，有熟悉到生疏的过程便于学生理解。
（2）通过对变量之间的关系的学习让学生了解从总的变化趋势来看变量之间存在某种关系，但这种关系又不能用确定的函数关系精确表达出来，也让学生了解变量之间的不确定性关系是很普遍的，帮助学生树立科学的辨证唯物主义观点，感受自然的辩证法。
（3）通过对本课的学习，引导学生关注社会，关注生活，进一步学会观察、比较、归纳、分析等一般方法的运用。
3、情感、态度与价值观（1）通过引导学生观察生活中的例子，使学生由能直接找出变量之间的函数关系引出到无法直接找出变量之间的函数关系，即变量之间的相关关系，激发学生的求知欲。
（2）通过引导学生感受生活中实际问题转化为数学问题，学会查找资料，收取信息，学会用统计知识对实际问题进行数学分析。
教学重点1、变量之间的相关关系。
2、会区别变量之间的函数关系与变量相关关系。
3、会举例说明现实生活中变量之间的相关关系。
教学难点1、对变量之间的相关关系的理解。
2、变量之间的函数关系与变量相关关系的区别。
教辅手段教学过程一、情景设置问题1：将汽油以均匀的速度注入桶里，注入的时间t与注入的油量y的关系如下表：从表里数据得出油量y与时间t之间的函数关系式为：问题2、甲、乙两地相距150千米，某人骑车从甲地到乙地，则他的速度v（千米/时）和时间t（小时）的函数大致图象是怎样的？问题3、小麦的产量y千克每亩与施肥量x千克每亩之间的关系如下表：从表里数据能得出小麦的产量y与施肥量x之间的函数关系式吗？提问学生以下三个问题。
问题1：因为是以均匀的速度注入桶里，所以注入的油量y与注入的时间t成正比例关系，由数据表格知，注入的油量y与注入的时间t之间的函数关系式为y=2t（t 0）（实际问题，因此自变量的取值范围应该有意义）问题2：路程一定，所以走完全程所用的时间t与速度v成反比例关系所以其函数图象是反例函数图象。
人教A版高中数学必修3《二章 统计 2.3 变量间的相关关系 2.3.1 变量之间的相关关系》优质课教案_19
探究: 在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据: 根据上述数据,人体的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系？生：随着年龄增长，脂肪含量在增加 师：有没有更直观的方式？生：画图师：这个图跟我们所学过的函数图象有散区别，它叫作散点图。
2、利用最小二乘法推导回归系数公式。
1122211()()()nniii ii i nnii i i x x y y x y nx yb x x x nx a y bx====---==--=-∑∑∑∑（其中11n i i x x n ==∑，11ni i y y n ==∑） 推导过程用到偏差的平方，由于平方又叫二乘方，所以这种使“偏差的和”最小的方法叫 “最小二乘法”。
11n i i x x n ==∑= 11ni i y y n ==∑=1ni ii x y=∑=21nii x=∑= 1221ni ii nii x y nx yb xnx==-==-∑∑ a y bx =-=ˆybx a =+ ： （二）、线性回归分析思想在实际中的应用例1有一个同学家开了一个小卖部,他为了研究气温对销售热饮的影响,经过统计,得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表,（1）画出散点图（2）从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律 （3）求回归方程（4）如果某天的气温是2℃，预测这天卖出的热饮杯数11ni i x x n ==∑=11ni i y y n ==∑= 1ni ii x y =∑= 21nii x=∑=1221ni ii nii x y nx yb xnx==-==-∑∑ a y bx =-=ˆybx a =+相关系数()()niix x y y r --=∑注意它的符号：当0r >时，x ，y 正相关，当0r <时，x ，y 负相关，统计学认为： 对于r ，若[]1,0.75r ∈--，那么负相关很强，若[]0.75,1r ∈，那么正相关很强，若(][)0.75,0.30r ∈--∈或r 0.30,0.75，那么相关性一般， 若[]0.25,0.25r ∈-，那么相关性较弱，：使学生体会：相关系数的绝对值越大，用线性回归模型拟合样本数据的效果就越好（三）、归纳总结，内化知识①先判断变量是否线性相关②若线性相关，利用公式计算出a 、b③利用回归方程对生活实际问题进行分析与预测 2、思想方法：数形结合、归纳、类比、最小二乘法（四）作业布置1、创新应用：预测人口：我国是一个人口大国，估计人口数量及发展趋势是我们制定经济发展计划等一系列相关政策的基础，人口数量预测是一个复杂的问题，不仅是人口与时间两个变量之间的关系，还与国家经济状况，科技发展，自然灾害和战争等其他因素有关。
2018学年高一数学人教A必修3课件：2.3.1、2.3.2 变量间的相关关系 精品
3
．
正Hale Waihona Puke 相关与负
相
关
：
散
点
图
中
的
点
散
布
在
从
左下角 _____________
到
____右__上__角_____的区域，对于两个变量的这种相关关系，称它为正相关．若
散点图中的点分布在从___左__上__角______到___右__下__角______的区域内，对于两
个变量的这种相关关系，称它为负相关．
xiyi
620
1 360
2 250
3 240
4 450
5 700
7 140
8 640
10 350
12 200
a^ ＝
-y－b^－x ＝91.7－0.668×55＝54.96.
即所求的回归直线方程为：^y＝0.668x＋54.96.
用公式求回归方程的一般步骤： (1)列表 xi，yi，xiyi；
(2)计算－x ，-y，∑ i＝n 1x2i ，∑ i＝n 1xiyi；
阶
阶
段 一
2．3 变量间的相关关系
段 三
2．3．1 变量之间的相关关系
2．3．2 两个变量的线性相关
学 业
阶
分
段
层
二
测
评
1．理解两个变量的相关关系的概念．(难点) 2．会作散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有相关关 系．(重点) 3．会求回归直线方程．(重点) 4．相关关系与函数关系．(易混点)
x
8
12
14
16
y
5
8
9
11
(1)假定 y 与 x 之间存在线性相关关系，求其回归直线方程．
人教A版高中数学必修3《二章 统计 2.3 变量间的相关关系 2.3.1 变量之间的相关关系》示范课课件_4
解：（1）散点图如图示：
（2）由题意得： x 9, y 4 4 xi2 x12 x22 x32 x42 344 i 1 4 xi yi x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4 158 i 1
b 0.7, a y bx 2.3
回归方程为： y 0.7 x 2.3
（3）由回归方程预测，
y 0.7 3 2.3 4
即记忆力为9的同学的判断力约为4．
利用计算机，可以方便的求出回归方程.
归纳小结
1．求样本数据的回归方程，可按下列步骤进行： 第一步，计算平均数 x ， y ；
n
n
第二步，求和 xiyi， x2i ；
二.两个变量的线性相关： 1.散点图：在平面直角坐标系中，表示具有相关关系 的两个变量的一组数据图形，称为散点图.
2.正相关：在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两 个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关。
3.负相关：在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，对于两 个变量的这种相关关系，我们将它称为负相关。
4
2
3
5
49 26 39 54
根据上表可得回归方程 y bx a 中的 b 为 9.4，据此
模型预报广告费用为 6 万元时销售额为 65.5 万元.
解：
x 3.5,
y 42, a y bx 9.1
回归方程为：
y 9.4x 9.1
例（3）：有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售 的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的 对比表：
两个变量的线性相关(2) 第 二 章 ： 统 计
一.变量之间的相关关系: 1.变量间相关关系的定义:自变量取值一定时,因变量的取值带有一定 随机性的两个变量之间的关系,叫做相关关系.
人教版高中数学必修三第二章第3节 2.3.1 变量之间的相关关系 课件(共41张PPT)
销量与价格的关系
产量与施肥的关系
25
140
120 20
100
15
80
10
5
0 0
60
40
20
0
10
20
30
40
0
5
10
15
20
25
30
35
电流与电阻的关系
收入与效率的关系
45 40 35 30 25 20 15 10
5 0
0
800
700
600
500
400
300
200
100
0
10
20
30
40
0
10
5 0
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
Ù
y = 0.577x - 0.448
0.577×65-0.448= 37.1％
题型二 求线性回归方程
【例】某地10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如
下：
年收入 x(万元)
2 4 4 6 6 6 7 7 8 10
年饮食支出 y(万元) 0.9 1.4 1.6 2.0 2.1 1.9 1.8 2.1 2.2 2.3
40 35 30 25 20 15 10
5 0
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
整体上接近
探究四：如何具体的求出这个回归方程呢？ 方案二: 在图中选取两点画直线，使得直线 两侧的点的个数基本相同。
脂肪
40
35
30
25
20
脂肪
15
10
5
0
0
10
人教A版高中数学必修3：2.3.1 变量之间的相关关系(2)
•在直角坐标系中，任何一条直线都有相应的方程.
•回归直线的方程称为回归方程.
•对一组具有线性相关关系的样本数据，如果能够 求出它的回归方程，那么我们就可以比较具体、 清楚地了解两个相关变量的内在联系，并根据回 归方程对总体进行估计.
下列四组变量，哪些具有线性相关的关系？
线
性
相
关
关
系
图1
图2
图3
图4
观察散点图的大致趋势，人的年龄与人体脂肪 含量具有什么相关关系？
观察散点图的大致趋势，人的年龄与人体 脂肪含量具有什么相关关系？
一般地，对于某个人来说，她的体内 脂肪不一定随年龄的增长而增加或减少。 但是如果把很多个体放在一起，这时就 可能表现出一定的规律。大体上来看， 随年龄的增加，人体中脂肪的百分比也 在增加。
（3）三角形三边长与三角形面积的关系
函数是研究两个变量之间的依存关系 的一种数量形式.
对于两个变量，如果当一个变量的取 值一定时，另一个变量的取值被惟一确 定，则这两个变量之间的关系就是一个 函数关系.
函数关系是一种确定性关系
对比得出的异同点： 不同点： ①一种是确定性关系（函数关系）；另一种是 一种非确定性关系。 ②函数关系是一种因果关系，而另一种不一定 是因果关系，也可能是伴随关系。
5 0
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
脂肪含量
思考：一组样本数据的平均数是样本数据的 中心，那么散点图中样本点的中心如何确定？ 它一定是散点图中的点吗？
脂肪含量
40
35
30
25
20
15 10
(x, y)
5
0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
人教版高中数学必修三第二章第3节 2.3.1 变量之间的相关关系 课件共25张PP
问题4：
• 观察前边的散点图，它的变化趋势 是怎样的？
脂肪含量
40 35 30 25 20 15 10
5 0
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
在上面的散点图中，这些点散布在从左下角 到右上角的区域
2.3 变量间的相关关系 2.3.1 变量之间的相关关系
探究一
“名师出高徒”可以 解释为教师的水平越高， 学生的水平就越高， 那么学生的学业成绩 与教师的教学水平之间的 关系是函数关系吗？
探究二
在学校里,老师对学生经常这样说： “如果你的数学成绩好，那么你 的物理学习就不会有什么大问题.” 按照这种说法，似乎学生的物理 成绩与数学成绩之间存在着一种 相关关系.这种说法有没有根据呢?
5 0
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
思考：观察散点图的大致趋势，人的年 龄的与人体脂肪含量具有什么相关关系？
新知三：函数关系与相关关系的判断
• 1.如果所有的样本点都落在某一函数曲线上， 就用该函数来描述变量之间的关系，即变 量之间具有函数关系．
• 2.如果所有的样本点都落在某一函数曲线附 近，变量之间就有相关关系。
【作业布置】
• 1、教材P86 A组 2题（1） • 2、教材P87 B组 1题 （1）
1.成为世界上经济增长速度最快的国 家，创 造了世 界经济 增长史 上的新 奇迹。 1.否定商 品经济 的存在 ，否定 市场及 价值规 律对经 济的调 节作用 。 35、生命是以时间为单位的，浪费别 人的时 间等于 谋财害 命;浪费 自己的 时间， 等于慢 性自杀 。—— 鲁迅 36、社会上崇敬名人,于是以为名人的 话就是 名言,却 忘记了 他之所 以得名 是那一 种学问 或事业 --鲁迅 38、推销员接近顾客的方式，往往决 定自己 在他们 心目中 的地位 是“接 单者” 还是“ 建议者 ”。 39、事先写出自己所要提出的每点意 见，以 合乎逻 辑的顺 序表达 出来： 言简意 骇，抓 住重点 。 2、人生的成功，不在于拿到一幅好牌 ，而是 怎样将 坏牌打 好。 3、人生的路每一个人都要走一趟，同 样是一 条路每 一个人 走起来 却有着 不同的 感受， 是好是 坏那就 要靠几 分的机 缘与自 己的抉 择。 38、推销员接近顾客的方式，往往决 定自己 在他们 心目中 的地位 是“接 单者” 还是“ 建议者 ”。
新教材高中数学人教A版(2019)选择性必修第三册：第八章知识点
新教材高中数学人教A版（2019）选择性必修第三册第八章成对数据的统计分析知识点8.1成对数据的统计相关性8.1.1变量的相关关系1．相关关系两个变量间的关系有函数关系，相关关系和不相关关系两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系．2．正相关、负相关从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量正相关；如果一个变量值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这个两个变量负相关．3．线性相关一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条线附近，我们就称这两个变量线性相关．一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关．8.1.2样本相关系数1．相关系数r的计算注意：相关系数是研究变量之间线性相关程度的量变量x和变量y的样本相关系数r的计算公式如下：r＝1n(x1′y1′＋x2′y2′＋…＋x n′y n′)＝∑ni＝1（x i－x－）（y i－y－）∑ni＝1（x i－x－）2∑ni＝1（y i－y－）2.2．相关系数r的性质(1)当r>0时，称成对样本数据正相关；当r<0时，成对样本数据负相关；当r＝0时，成对样本数据间没有线性相关关系．(2)样本相关系数r 的取值范围为[－1，1]．当|r |越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强； 当|r |越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱． 3．样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系r ＝1n x ′·y ′＝1n |x ′||y ′|cos θ＝cos θ(其中x ′＝(x 1′，x 2′，…，x n ′)，y ′＝(y 1′，y 2′，…，y n ′)，|x ′|＝|y ′|＝n ，θ为向量x ′和向量y ′的夹角)．8.2 一元线性回归模型及其应用 8.2.1 一元线性回归模型1．一元线性回归模型我们称⎩⎨⎧Y ＝bx ＋a ＋e ，E （e ）＝0，D （e ）＝σ2为Y 关于x 的一元线性回归模型，其中Y 称为因变量或响应变量，x 称为自变量或解释变量；a 和b 为模型的未知参数，a 称为截距参数，b 称为斜率参数；e 是Y 与bx ＋a 之间的随机误差．2．线性回归方程与最小二乘法回归直线方程过样本点的中心(x －，y －)，是回归直线方程最常用的一个特征我们将y ^＝b ^x ＋a ^称为Y 关于x 的线性回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的b ^，a ^叫做b ，a 的最小二乘估计(least squares estimate )， 其中8.2.2非线性回归模型及其应用1．残差的概念对于响应变量Y ，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的y ^称为预测值，观测值减去预测值称为残差．残差是随机误差的估计结果，通过残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析． 2．刻画回归效果的方式 (1)残差图法作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图．若残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，带状区域越窄，则说明拟合效果越好． (2)残差平方和法残差平方和∑ni ＝1 (y i －y ^i )2，残差平方和越小，模型拟合效果越好，残差平方和越大，模型拟合效果越差．(3)利用R 2刻画回归效果决定系数R 2是度量模型拟合效果的一种指标，在线性模型中，它代表解释变量客户预报变量的能力．R 2＝1－∑ni ＝1（y i －y ^i ）2∑n i ＝1 （y i －y －）2，R 2越大，即拟合效果越好，R 2越小，模型拟合效果越差．8.3 列联表与独立性检验 8.3.1 分类变量与列联表1．分类变量这里所说的变量和值不一定是具体的数值，例如：性别变量，其取值为男和女两种 我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量，分类变量的取值可以用实数表示． 2．2×2列联表在实践中，由于保存原始数据的成本较高，人们经常按研究问题的需要，将数据分类统计，并做成表格加以保存，我们将这类数据统计表称为2×2列联表，2×2列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数．一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为3.等高堆积条形图等高条形图和表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高条形图展示列联表数据的频率特征，依据频率稳定于概率的原理，我们可以推断结果．8.3.2独立性检验1.临界值χ2统计量也可以用来作相关性的度量．χ2越小说明变量之间越独立，χ2越大说明变量之间越相关χ2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）.忽略χ2的实际分布与该近似分布的误差后，对于任何小概率值α，可以找到相应的正实数xα，使得P(χ2≥xα)＝α成立．我们称xα为α的临界值，这个临界值就可作为判断χ2大小的标准．2．独立性检验基于小概率值α的检验规则是：当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；当χ2＜xα时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立．这种利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验(test of independence)．下表给出了χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值3.(1)提出零假设H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释；(2)根据抽样数据整理出2×2列联表，计算χ2的值，并与临界值xα比较；(3)根据检验规则得出推断结论；(4)在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律．。
人教版高中数学 A版 必修三 第二章 《2.3.1 2.3.2变量间的相关关系》教学课件
据： 房屋面积x(m2)
115 110
80
135 105
销售价格y(万元)
24.8 21.6 18.4 29.2 22
(1)画出数据对应的散点图；
解 数据对应的散点图如图所示：
解析答案
(2)求回归方程，并在散点图中加上回归直线.
解析答案
类型三 回归方程的应用 例3 有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响， 经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表： 摄氏温度/℃ －5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36
解析答案
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12345
1.对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是( C ) A.都可以分析出两个变量的关系 B.都可以用一条直线近似地表示两者的关系 C.都可以作出散点图 D.都可以用确定的表达式表示两者的关系
答案
2.观察下列散点图，具有相关关系的是( D )
12345
A.①② C.②④
第二章 §2.3 变量间的相关关系
2.3.1 变量之间的相关关系 2.3.2 两个变量的线性相关(一)
学习目标
1.了解相关关系； 2.了解正相关，负相关的概念； 3.会作散点图，并能通过散点图判断两个变量之间是否具有相关关系.
问题导学
题型探究
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问题导学
新知探究 点点落实
知识点一 相关关系
思考 数学成绩y与学习数学所用时间t之间的关系，能否用函数关系刻画？
但381.15是对该城市人均GDP为12万元的情况下所作的一个估计，
该城市患白血病的儿童可能超过380人，也可能低于380人.
解析答案
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2016-2017学年新人教A版 必修3高中数学 2.3.1变量间的相关关系学案 文(精品)
高中数学 2.3.1变量间的相关关系学案文新人教A版必修3 "一、【学习目标】1、理解相关关系、正相关、负相关、散点图；2、理清相关关系和散点图之间的关系.【教学效果】：教学目标的给出有利于学生从整体上把握课堂.二、【自学内容和要求及自学过程】阅读教材内容回答问题（相关关系、散点图、正相关、负相关）<1>粮食产量与施肥量有关系吗？“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高,学生的水平也越高.教师的水平与学生的水平有什么关系？你能举出更多的描述生活中两个变量的相关关系的成语吗？<2>两个变量间的相关关系是什么？有几种？<3>怎样判断两个变量间的相关关系？结论：<1>粮食产量与施肥量有关系,一般是在标准范围内,施肥越多,粮食产量越高；教师的水平与学生的水平是相关的,如水滴石穿,三人行必有我师等.我们还可以举出现实生活中存在的许多相关关系的问题.例如:商品销售收入与广告支出经费之间的关系.商品销售收入与广告支出经费有着密切的联系,但商品销售收入不仅与广告支出多少有关,还与商品质量、居民收入等因素有关.粮食产量与施肥量之间的关系.在一定范围内,施肥量越大,粮食产量就越高.但是,施肥量并不是决定粮食产量的唯一因素.因为粮食产量还要受到土壤质量、降雨量、田间管理水平等因素的影响.人体内的脂肪含量与年龄之间的关系.在一定年龄段内,随着年龄的增长,人体内的脂肪含量会增加,但人体内的脂肪含量还与饮食习惯、体育锻炼等有关,可能还与个人的先天体质有关.应当说,对于上述各种问题中的两个变量之间的相关关系,我们都可以根据自己的生活、学习经验作出相应的判断,因为“经验当中有规律”.但是,不管你的经验多么丰富,如果只凭经验办事,还是很容易出错的.因此,在分析两个变量之间的相关关系时,我们需要一些有说服力的方法.<2>相关关系的概念：自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系,叫做相关关系.两个变量之间的关系分两类：①确定性的函数关系,例如我们以前学习过的一次函数、二次函数等；②带有随机性的变量间的相关关系,例如“身高者,体重也重”,我们就说身高与体重这两个变量具有相关关系.相关关系是一种非确定性关系.如商品销售收入与广告支出经费之间的关系.（还与商品质量、居民收入、生活环境等有关）<3>两个变量间的相关关系的判断：①散点图.②根据散点图中变量的对应点的离散程度,可以准确地判断两个变量是否具有相关关系.③正相关、负相关的概念.①散点图例如：：在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据：年龄23273841454950脂肪9.517.821.225.927.526.328.2年龄53545657586061脂肪29.630.231.430.833.535.234.6分析数据：大体上来看,随着年龄的增加,人体中脂肪的百分比也在增加.我们可以作散点图来进一步分析.②散点图的概念：将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来,得到表示两个变量的一组数据的图形,这样的图形叫做散点图，如下图.从散点图我们可以看出，年龄越大，体内脂肪含量越高.图中点的趋势表明两个变量之间确实存在一定的关系,这个图支持了我们从数据表中得出的结论.（a.如果所有的样本点都落在某一函数曲线上,就用该函数来描述变量之间的关系,即变量之间具有函数关系．b.如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近,变量之间就有相关关系.c.如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关关系）③正相关与负相关的概念：如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内,称为正相关.如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内,称为负相关.（注：散点图的点如果几乎没有什么规则,则这两个变量之间不具有相关关系）【教学效果】：理解相关关系、散点图之间的关系.三、【综合练习与思考探索】例1 下列关系中,带有随机性相关关系的是_____________.①正方形的边长与面积之间的关系②水稻产量与施肥量之间的关系③人的身高与年龄之间的关系④降雪量与交通事故的发生率之间的关系结论：两变量之间的关系有两种：函数关系与带有随机性的相关关系.①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系.②水稻产量与施肥量之间的关系不是严格的函数关系,但是具有相关性,因而是相关关系.③人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系,也不是相关关系,因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了,因而他们不具备相关关系.④降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系,因此填②④.例2有关法律规定,香烟盒上必须印上“吸烟有害健康”的警示语.吸烟是否一定会引起健康问题?你认为“健康问题不一定是由吸烟引起的,所以可以吸烟”的说法对吗?结论：从已经掌握的知识来看,吸烟会损害身体的健康,但是除了吸烟之外,还有许多其他的随机因素影响身体健康,人体健康是很多因素共同作用的结果.我们可以找到长寿的吸烟者,也更容易发现由于吸烟而引发的患病者,所以吸烟不一定引起健康问题.但吸烟引起健康问题的可能性大.因此“健康问题不一定是由吸烟引起的,所以可以吸烟”的说法是不对的.在探究研究的过程中,如果能够从两个变量的观察数据之间发现相关关系是极为有意义的,由此可以进一步研究二者之间是否蕴涵因果关系,从而发现引起这种相关关系的本质原因是什么.本题的意义在于引导学生重视对统计结果的解释,从中发现进一步研究的问题.例3、一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了10次试验,收集数据如下：零件数x（个）102030405060708090100加工时间y(min)626875818995102108115122画出散点图；关于加工零件的个数与加工时间,你能得出什么结论？结论：散点图如下：（2）加工零件的个数与所花费的时间呈正线性相关关系．【教学效果】：通过练习，巩固新知.四、【作业】1、必做题：习题2.3A组3、4<1>\2、选做题：整理本节课所学内容，并形成文字到作业本上.五、【小结】本节课主要学习了相关关系、散点图、正相关、负相关.六、【教学反思】教师要首先自己理清关系，才能给学生以明确的解释，不能自己先糊涂，那学生就更糊涂了.七、课后练习以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据：房屋面积（m2）11511080135105销售价格（万元）24.821.618.429.222（1）画出数据对应的散点图；（2）指出是正相关还是负相关;（3）关于销售价格y和房屋的面积x,你能得出什么结论？结论：（1）数据对应的散点图如下图所示：（2）散点图中的点散分布在从左下角到右上角的区域内,所以是正相关.（3）关于销售价格y和房屋的面积x,房屋的面积越大,价格越高,它们呈正线性相关的关系.。
人教版高中数学必修三第二章第3节 2.3.1 变量之间的相关关系 课件(共17张PPT)
4．工人月工资y(元)随劳动生产率x(千元)变化的回 归方程为 yˆ = 60+90x，下列判断正确的是( A ) A．劳动生产率提高1千元时，工资约提高90元 B．劳动生产率为1千元时，工资为150元 C．劳动生产率提高1千元yˆ 时，工资提高150元 D．劳动生产率为1千元时，工资为90元
【归纳小结】
(x2，y2)
设Q = ∑n ( yi - yˆi )2 = ∑n ( yi - aˆ - bˆxi )2 ,展开后是关于aˆ,bˆ的
i=1
i=1
二次多项式,应用配方法,可求得Q取最小值时, aˆ,bˆ取值
如下：
∑n ( x - x)( y - y) ∑n x y - nxy
bˆ = i=1
i
∑n ( x
热饮杯数
温度
-10
0
10
20
30
40
脂肪含量
40 35 30 25 20 15 10
5 0
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
“回归”是由英国著名生物学家兼统计 学家高尔顿(Francis Galton)提出。
1889年，他在研究祖先与后代身高 之间的关系时发现，身材较高的父母， 他们的孩子也较高，但这些孩子的平均 身高并没有它们的父母的平均身高高； 身材较矮的父母他们的孩子也较矮，但 这些孩子的平均身高却比他们的父母的 平均身高高。
当自变量取值一定，因变量的取值带有 一定 随机性时，两个变量之间的关系称为 相关关系。相关关系是一种不确定关系。
函数关系：
当自变量取值一定时，因变量的取值唯一确定。 它是一种确定关系
探究1：在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究，获 得了一组样本数据：
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20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
思考4：观察散点图的大致趋势，人的年龄 的与人体脂肪含量具有什么相关关系？
脂肪含量
40 35 30 25 20 15 10
5 0
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
思考5：在上面的散点图中，这些点散布在从左下 角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关 系，我们将它称为正相关.一般地，如果两个变量 成正相关，那么这两个变量的变化趋势如何？
2.3.1 变量间的相关关系
问题提出
1.函数是研究两个变量之间的依存关系的一种数 量形式.对于两个变量，如果当一个变量的取值一 定时，另一个变量的取值被惟一确定，则这两个 变量之间的关系就是一个函数关系.
2.在中学校园里，有这样一种说法：“如果你的 数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大 问题.”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与 数学成绩之间存在着某种关系，我们把数学成绩 和物理成绩看成是两个变量，那么这两个变量之 间的关系是函数关系吗？
知识探究（一）：变量之间的相关关系
思考1：考察下列问题中两个变量之间的关系： （1）商品销售收入与广告支出经费； （2）粮食产量与施肥量； （3）人体内的脂肪含量与年龄.
这些问题中两个变量之间的关系是函数关系吗？
思考2：“名师出高徒”可以解释为教师的水 平越高，学生的水平就越高，那么学生的学业 成绩与教师的教学水平之间的关系是函数关系 吗？你能举出类似的描述生活中两个变量之间 的这种关系的成语吗？
在现实生活中存在着大量的相关关系，如 何判断和描述相关关系，统计学发挥着非常重要 的作用，变量之间的相关关系带有不确定性，这 需要通过惧大量的数据，对数据进行统计分析， 发现规律，才能作出科学的判断.
对具有相关关系的两个变量进行统计分 析的方法叫回归分析.
相关关系是进行回归分析的基础，同时， 也是散点图的基础.
年龄 23 27 39 41 45 49 50 脂肪 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2
年龄 53 54 56 57 58 60 61
脂肪 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6
思考2：为了确定年龄和人体脂肪含量之间的更 明确的关系，我们需要对数据进行分析，通过作 图可以对两个变量之间的关系有一个直观的印象. 以x轴表示年龄，y轴表示脂肪含量，你能在直角 坐标系中描出样本数据对应的图形吗？
思考6：如果两个变量成负相关，从整体上看这两 个变量的变化趋势如何？其散点图有什么特点？
一个变量随另一个变量的变大而变小，散点图中的 点散布在从左上角到右下角的区域.
思考7：你能列举一些生活中的变量成正相关或 负相关的实例吗?
理论迁移
例1 在下列两个变量的关系中，哪些是相关 关系？ ①正方形边长与面积之间的关系； ②作文水平与课外阅读量之间的关系； ③人的身高与年龄之间的关系； ④降雪量与交通事故的发生率之间的关系.
脂肪含量
40 35Leabharlann 30 25 20 15 10 5 0
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
思考3：上图叫做散点图，你能描述一下散点 图的含义吗？
在平面直角坐标系中，表示具有相关关系的 两个变量的一组数据图形，称为散点图.
脂肪含量
40 35 30 25 20 15 10
3.我们不能通过一个人的数学成绩是多少就准 确地断定其物理成绩能达到多少，学习兴趣、 学习时间、教学水平等，也是影响物理成绩的 一些因素，但这两个变量是有一定关系的，它 们之间是一种不确定性的关系.类似于这样的 两个变量之间的关系，有必要从理论上作些探 讨，如果能通过数学成绩对物理成绩进行合理 估计，将有着非常重要的现实意义.
思考3：上述两个变量之间的关系是一种非确 定性关系，称之为相关关系，那么相关关系的 含义如何？
自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随 机性的两个变量之间的关系，叫做相关关系.
思考4：对于一个变量，可以控制其数量大小 的变量称为可控变量，否则称为随机变量，那 么相关关系中的两个变量有哪种类型？
一个为可控变量，另一个为随机变量.
思考5：相关关系与函数关系的异同点？
相同点：均是指两个变量的关系
不同点：一、函数关系是一种确定的关系；而相 关关系是一种非确定关系.函数关系是自变量与函 数之间的关系，这种关系是两个非随机变量的关 系；而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.
二、函数关系是一种因果关系，而相 关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.
售价
35
30
25
20
15
10
5
0
0
50
100
150
面积
小结
1．对于两个变量之间的关系，有函数关系和 相关关系两种，其中函数关系是一种确定性关 系，相关关系是一种非确定性关系.
知识探究（二）：散点图
【问题】在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研 究中，研究人员获得了一组样本数据：
年龄 23 27 39 41 45 49 50 脂肪 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2
年龄 53 54 56 57 58 60 61 脂肪 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6
答案：②，④
例2 以下是某地搜集到的新房屋的销售价格 和房屋的面积的数据：
房屋面积 （平方米）
销售价格 （万元）
61 12.2
70 15.3
115 110 80 135 105 24.8 21.6 18.4 29.2 22
画出数据对应的散点图，并指出销售价格与房 屋面积这两个变量是正相关还是负相关.
其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄人群 脂肪含量的样本平均数.
年龄 23 27 39 41 45 49 50 脂肪 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2
年龄 53 54 56 57 58 60 61
脂肪 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 思考1：对某一个人来说，他的体内脂肪含量不一 定随年龄增长而增加或减少，但是如果把很多个 体放在一起，就可能表现出一定的规律性.观察上 表中的数据，大体上看，随着年龄的增加，人体 脂肪含量怎样变化？