考研数学习题课讲义--5 常微分方程

考研数学习题课讲义第五讲 常微分方程2016年大纲解读考试内容常微分方程的基本概念 变量可分离的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程 可降阶的高阶微分方程 线性微分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微分方程 高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程 微分方程的简单应用 考试要求1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念．2．掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法，会解齐次微分方程． 3．会用降阶法解下列形式的微分方程：y ′′=f (x,y ′)和 y ′′=f (y,y ′). 4．理解二阶线性微分方程解的性质及解的结构定理．5．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程．6．会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程．7．会用微分方程解决一些简单的应用问题．常考题型及其解法与技巧题型一 求解一阶微分方程解题注意: 判断方程类型后用对应的方法求解. 例1 求微分方程 dy dx=y 2+1y 4−2xy的通解.例2 求微分方程 dy dx =xy x 2−y 2满足 y (0) = 1 的特解.练习:1. 微分方程 xy ' + 2y = x ln x 满足.______91)1(的解为-=y 2. 微分方程xx y y )1(-='的通解是_________________ . 3. 微分方程 xy ' + y = 0 满足条件 y (1) = 1 的解是 ______________ . 4. 过点(1/2, 0)且满足关系式.____11arcsin 2的曲线方程是=-+'xy x y题型二 一阶微分方程的综合题注意: (1) 注意建立微分方程; (2) 注意积分方程中的初始条件.例3 已知曲线过点(1, 1), 如果曲线上任一点 P 处的切线与y 轴的交点记作Q , 则以PQ 为直径所作的圆都经过点F (1, 0), 求曲线方程.例4 设函数f (x ), g (x )满足 f '(x ) = g (x ), g '(x ) = 2e x - f (x ), 且 f (0) = 0, g (0) = 2, 求.)1()(1)(02⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+πx x x f x x g d例5 设 F (x ) = f (x )g (x ), 其中 f , g 在(-∞, +∞)内满足f '(x ) = g (x ), g '(x ) = f (x ), 且 f (0) = 0,f (x ) +g (x ) = 2e x . (1) 求 F (x ) 所满足的一阶微分方程; (2) 求F (x ). .例6 在 xOy 坐标面上, 连续曲线 L 过点M (1, 0), 其上任意点 P (x , y )(x ≠ 0) 处的切线斜率与直线 OP 的斜率之差等于 ax (常数 a > 0). (1) 求 L 的方程; (2) 当 L 与直线 y = ax 所围成平面图形的面积为 8/3 时, 确定 a 的值.例7 设函数 f (x ) 具有连续的一阶导数, 且满足,)()()(2022x t t f t x x f x+'-=⎰d 求 f (x )的表达式.练习:1. 设 y = f (x ) 是第一象限连接点 A (0, 1), B (1, 0) 的一段连续曲线, M (x , y ) 为该曲线上任意 一点, 点 C 为 M 在 x 轴上的投影, O 为坐标原点. 若梯形 OCMA 的面积与曲边三角形 CBM 的面积之和为 x 3/6 + 1/3, 求 f (x ) 的表达式.2. 有一平底容器, 其内侧壁是由曲线 x = ϕ (y ) (y ≥ 0)绕 y 轴旋转而成的旋转曲面, 容器的底面圆的半径为 2 m. 根据设计要求, 当以3m 3/min 的速率向容器内注入液体时, 液面的面积将以π m 2/min 的速率均匀扩大(假设注入液体前, 容器内无液体). (1) 根据 t 时刻液面的面积, 写出 t 与ϕ(y ) 之间的关系式; (2) 求曲线 x = ϕ(y ) 的方程.3. 设函数f (x ) 在 [0, +∞) 上可导, f (0) = 0, 且其反函数为 g (x ), 若,)(2)(0x x f e x t t g =⎰d 求f (x ).4. 已知 f (x ) 在 (0, +∞) 内可导, f (x ) > 0, ,1)(lim =+∞→x f x 且 .)()(lim 110x hh e x f hx x f =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+→求 f (x ).5. 求微分方程 x d y + (x -2y )d x = 0 的一个解 y (x ), 使得由曲线 y = y (x )与直线 x =1, x = 2 以及 x 轴所围成平面图形绕 x 轴旋转一周的旋转体的体积最小.题型四 可降阶的高阶微分方程求解与应用基本要求: 注意换元方式.例8 解方程: .4)0(,1)0(,1332='=+'=''y y xy x y 满足例9 解方程: .212yy y '+=''练习:1. 微分方程 yy " + y '2 = 0 满足初始条件 y (0) =1, y '(0) = ½ 的特解是_________ .2. 求微分方程y y x y '='+'')(2满足初始条件 y (1) = y '(1) = 1 的特解.3. 设非负函数 y = y (x ) (x ≥ 0) 满足微分方程 xy "- y ' + 2 = 0, 当曲线 y = y (x ) 过原点时, 其与直线 x = 1 及 y = 0 围成的平面区域 D 的面积为 2, 求 D 绕 y 轴旋转所得旋转体的体积.题型四 高阶线性微分方程注意事项: 1. 特征值法与齐次方程特解的对应关系, 非齐次项 f (x ) 与特解的对应方式; 2. 线性微分方程解的结构定理.例10 解方程,44x y y y αe =+'+''其中α 为实数.例11 在下列微分方程中, 以 y = C 1e x + C 2cos2x + C 3sin2x (C 1, C 2, C 3 为任意常数)为 通解的是( ).(A) y "' + y "- 4y ' - 4y = 0 (B) y "' + y "+ 4y ' + 4y = 0 (C) y "' + y "- 4y '+ 4y = 0 (D) y "' -y " + 4y ' - 4y = 0例12设函数y = y (x )在(-∞, +∞)内具有二阶导数, 且y '≠0, x = x (y )是y = y (x )的反函数.(1) 将 x = x (y )所满足的微分方程 0)sin (322=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++y x x y y xd d d d 变换为y = y (x )满足的微分方程;(2) 求变换后的微分方程满足初始条件 .23)0(,0)0(的解='=y y练习:1. 设y = e x (C 1sin x + C 2cos x )(C 1, C 2 为任 意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通 解,则该方程为_____________ .2. 二阶常系数线性非齐次微分方程 y "- 4y ' + 3y = 2e x 的通解为________________ .3. 具有特解 y 1(x ) = e -x , y 2 = 2x e -x , y 3(x ) = 3e x 的三阶常系数齐次线性微分方程是( ).(A) y ′′′−y ′′−y ′+y =0 (B) y ′′′+y ′′−y ′−y =0 (C) y ′′′−6y ′′+11y ′−6y =0 (D) y ′′′−2y ′′−y ′+2y =0 4. 微分方程 y "+ y = x 2 + 1 + sin x 的特解形式可设为( ).(A) y = ax 2 + bx + c + x (A sin x + B cos x ) (B) y = x (ax 2 + bx + c + A sin x + B cos x ) (C) y = ax 2 + bx + c + A sin x (D) y = ax 2 + bx + c + A cos x5. 用变量代换 x = cos t (0< t < π)化简微分方程 (1 - x 2)y " - xy '+ y = 0, 并求其满足y (0) = 1, y '(0) = 2的特解.6. 设函数 f (u ) 在 (0, +∞) 内二阶可导, 且)(22y x f z +=满足等式 ,02222=∂∂+∂∂y zx z (1)验证 .0)()(='+''uu f u f (2) 若 f (1) = 0, f '(1) = 1, 求 f (u )的表达式.题型五 微分方程的简单物理应用说明: 注意利用条件建立微分方程例13 一质量为m 的船以速度v 0 行驶, 在 t = 0 时, 动力关闭, 假设水的阻力与v n 成正比, n 为常数, v 为瞬时速度, 求速度与滑行距离的函数关系.例14 某种飞机在机场降落时, 为了减少滑行距离, 在触地的瞬间, 飞机的尾部张开减速伞, 以增大阻力, 使飞机迅速减速并停下. 现有一质量为9000kg 的飞机, 着陆时的水平速度为700km/h. 经测试, 减速伞打开后, 飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数k = 6.0⨯105). 问从着陆点算起, 飞机滑行的最长距离是多少?。