高中数学经典错题集(1)
高一数学必修一易错题汇总
集合部分错题库1．若全集{}{}0,1,2,32U U C A ==且，则集合A 的真子集共有（ ）A ．3个B ．5个C ．7个D ．8个2.已知集合M ＝{(x ，y)|x ＋y ＝3}，N ＝{(x ，y)|x －y ＝5}，那么集合M ∩N 为 A.x ＝4，y ＝－1 B.(4，－1) C.{4，－1} D.{(4，－1)}3.已知集合A ＝{x|x 2－5x+6<0}，B ＝{x|x< a2}，若A B ，则实数a 的范围为A.［6，+∞)B.(6，+∞)C.(－∞，－1)D.(－1，+∞) 4.满足{x|x 2－3x ＋2＝0}M {x ∈N|0<x<6}的集合M 的个数为 A.2 B.4 C.6 D.85．图中阴影部分所表示的集合是（ ）A ．)]([C A C B U ⋃⋂ B.)()(C B B A ⋃⋃⋃ C.)()(B C C A U ⋂⋃ D. )]([C A C B U ⋂⋃6.高一某班有学生45人，其中参加数学竞赛的有32人，参加物理竞赛的有28人，另外有5人两项竞赛均不参加，则该班既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有__________人.7.已知集合12,6A x x N N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭用列举法表示集合A 为8. 已知集合{}2210,A x ax x x R =++=∈，a 为实数（1）若A 是空集，求a 的取值范围（2）若A 是单元素集，求a 的值（3）若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围9.判断如下集合A 与B 之间有怎样的包含或相等关系: (1)A={x|x=2k-1,k ∈Z},B={x|x=2m+1,m ∈Z}; (2)A={x|x=2m,m ∈Z},B={x|x=4n,n ∈Z}.10.集合A={x|-2≤x ≤5},B={x|m+1≤x ≤2m-1}, (1)若B ⊆A,求实数m 的取值范围;(2)当x ∈Z 时,求A 的非空真子集个数;(3)当x ∈R 时,没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立,求实数m 的取值范围.函数概念部分错题库1、与函数32y x =-有相同图象的一个函数是（ ） A. 32y x =- B. 2y x x =-C.y =- D. y x =2、为了得到函数(2)y f x =-的图象，可以把函数(12)y f x =-的图象适当平移，这个平移是（ ）A ．沿x 轴向右平移1个单位B ．沿x 轴向右平移12个单位C ．沿x 轴向左平移1个单位D ．沿x 轴向左平移12个单位3、若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是A ．[0,1]B ．[0,1)C ． [0,1)(1,4]D ．(0,1)4、若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()()()F x f x f x =+的值域是（ ）A ．1[,3]2B ．10[2,]3C ．510[,]23D ．10[3,]35、已知函数f （x ）=221x x +，那么f （1）+f （2）+f （21）+f （3）+f （31）+f （4）+f （41）=_____.6、已知⎩⎨⎧<-≥=0,10,1)(x x x f ，则不等式(2)(2)5x x f x ++⋅+≤的解集是 。
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数易错题集锦(带答案)
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数易错题集锦单选题1、若ln2=a，ln3=b，则log818=（）A．a+3ba3B．a+2b3aC．a+2ba3D．a+3b3a答案：B分析：先换底，然后由对数运算性质可得.log818=ln18ln8=ln(32×2)ln23=2ln3+ln23ln2=2b+a3a.故选：B2、设函数f(x)=lg(x2+1)，则使得f(3x−2)>f(x−4)成立的x的取值范围为（）A．(13,1)B．(−1,32)C．(−∞,32)D．(−∞,−1)∪(32,+∞)答案：D分析：方法一 :求出f(3x−2),f(x−4)的解析式,直接带入求解.方法二 : 设t=x2+1，则y=lgt，判断出f(x)=lg(x2+1)在[0,+∞)上为增函数,由f(3x−2)>f(x−4)得|3x−2|>|x−4|，解不等式即可求出答案.方法一 :∵f(x)=lg(x2+1)∴由f(3x−2)>f(x−4)得lg[(3x−2)2+1]>lg[(x−4)2+1]，则(3x−2)2+1>(x−4)2+1，解得x<−1或x>32.方法二 :根据题意，函数f(x)=lg(x2+1)，其定义域为R，有f(−x)=lg(x2+1)=f(x)，即函数f(x)为偶函数，设t=x2+1，则y=lgt，在区间[0,+∞)上，t=x2+1为增函数且t≥1，y=lgt在区间[1,+∞)上为增函数，则f(x)=lg(x2+1)在[0,+∞)上为增函数，f(3x−2)>f(x−4)⇒f(|3x−2|)>f(|x−4|)⇒|3x−2|>|x−4|，解得x <−1或x >32， 故选：D ．3、Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：I(t)=K1+e −0.23(t−53)，其中K 为最大确诊病例数．当I (t ∗)=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t ∗约为（ ）（ln19≈3）A ．60B ．63C ．66D ．69答案：C分析：将t =t ∗代入函数I (t )=K 1+e −0.23(t−53)结合I (t ∗)=0.95K 求得t ∗即可得解. ∵I (t )=K 1+e −0.23(t−53)，所以I (t ∗)=K 1+e −0.23(t ∗−53)=0.95K ，则e 0.23(t∗−53)=19， 所以，0.23(t ∗−53)=ln19≈3，解得t ∗≈30.23+53≈66.故选：C. 小提示：本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.4、若x 1，x 2是二次函数y =x 2−5x +6的两个零点，则1x 1+1x 2的值为（ ）A ．−12B ．−13C ．−16D ．56答案：D分析：解方程可得x 1=2,x 2=3，代入运算即可得解.由题意，令x 2−5x +6=0，解得x =2或3，不妨设x 1=2,x 2=3，代入可得1x 1+1x 2=12+13=56. 故选：D.5、已知9m =10,a =10m −11,b =8m −9，则（ ）A ．a >0>bB ．a >b >0C ．b >a >0D ．b >0>a答案：A分析：法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m =log 910>1，再利用基本不等式，换底公式可得m >lg11，log 89>m ，然后由指数函数的单调性即可解出．［方法一］：（指对数函数性质）由9m =10可得m =log 910=lg10lg9>1，而lg9lg11<(lg9+lg112)2=(lg992)2<1=(lg10)2，所以lg10lg9>lg11lg10，即m >lg11，所以a =10m −11>10lg11−11=0.又lg8lg10<(lg8+lg102)2=(lg802)2<(lg9)2，所以lg9lg8>lg10lg9，即log 89>m ，所以b =8m −9<8log 89−9=0.综上，a >0>b .［方法二］：【最优解】（构造函数）由9m =10，可得m =log 910∈(1,1.5)．根据a,b 的形式构造函数f(x)=x m −x −1(x >1) ，则f ′(x)=mx m−1−1，令f ′(x)=0，解得x 0=m 11−m ，由m =log 910∈(1,1.5) 知x 0∈(0,1) .f(x) 在 (1,+∞) 上单调递增，所以f(10)>f(8) ，即 a >b ，又因为f(9)=9log 910−10=0 ，所以a >0>b .故选：A.【整体点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法； 法二：利用a,b 的形式构造函数f(x)=x m −x −1(x >1)，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．6、若2x =3，2y =4，则2x+y 的值为（ ）A ．7B ．10C ．12D ．34答案：C分析：根据指数幂的运算性质直接进行求解即可.因为2x =3，2y =4，所以2x+y =2x ⋅2y =3×4=12，故选：C7、在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ）A．10名B．18名C．24名D．32名答案：B分析：算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.由题意，第二天新增订单数为500+1600−1200=900，90050=18，故至少需要志愿者18名.故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.8、已知实数a,b∈(1,+∞)，且log2a+log b3=log2b+log a2，则（）A．a<√b<b B．√b<a<b C．b<√a<a D．√a<b<a答案：B分析：对log2a−log a2<log2b−log b2，利用换底公式等价变形，得log2a−1log2a <log2b−1log2b，结合y=x−1x 的单调性判断b<a，同理利用换底公式得log2a−1log2a<log3b−1log3b，即log2a>log3b，再根据对数运算性质得log2a>log2√b，结合y=log2x单调性，a>√b，继而得解.由log2a+log b3=log2b+log a2，变形可知log2a−log a2<log2b−log b2，利用换底公式等价变形，得log2a−1log2a <log2b−1log2b，由函数f(x)=x−1x在(0,+∞)上单调递增知，log2a<log2b，即a<b，排除C，D；其次，因为log2b>log3b，得log2a+log b3>log3b+log a2，即log2a−log a2>log3b−log b3，同样利用f(x)=x−1x的单调性知，log2a>log3b，又因为log3b=log√3√b>log2√b，得log2a>log2√b，即a>√b，所以√b<a<b.故选：B.多选题9、已知函数f(x)=log2x，g(x)=2x+a，若存在x1,x2∈[1,2]，使得f(x1)=g(x2)，则a的取值可以是（）A．－4B．－2C．2D．3答案：AB分析：根据条件求出两个函数的值域，结合若存在x1,x2∈[1,2]，使得f(x1)=g(x2)，等价为两个集合有公共元素，然后根据集合的关系进行求解即可.当1≤x≤2时，0≤log2x≤1，即0≤f(x)≤1，则f(x)的值域为[0,1]，当1≤x≤2时，2+a≤g(x)≤4+a，则g(x)的值域为[2+a,4+a]，若存在x1,x2∈[1,2]，使得f(x1)=g(x2)，则[2+a,4+a]∩[0,1]≠∅，若[2+a,4+a]∩[0,1]=∅，则2+a>1或4+a<0，解得a>−1或a<−4.所以当[2+a,4+a]∩[0,1]≠∅时，a的取值范围为−4≤a≤−1.故选：AB10、已知函数y=log a(x+c)(a,c为常数，其中a>0,a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是（）A．a>1B．0<a<1C．c>1D．0<c<1答案：BD分析：根据对数函数的图象判断．由图象知0<a<1，可以看作是y=log a x向左移动c个单位得到的，因此0<c<1，故选：BD ．11、已知函数f (x )={(12)x−1,x ≤0x 12,x >0，则下列结论中错误的是（ ） A ．f (x )的值域为(0,+∞)B ．f (x )的图象与直线y =2有两个交点C ．f (x )是单调函数D ．f (x )是偶函数答案：ACD分析：利用指数函数、幂函数的性质画出f (x )的图象，由图象逐一判断即可.函数f (x )的图象如图所示，由图可知f (x )的值域为[0,+∞)，结论A 错误，结论C ，D 显然错误，f (x )的图象与直线y =2有两个交点，结论B 正确．故选：ACD填空题12、函数f (x )=log 12(x 2−5x +6)的单调递减区间为___________.答案：(3,+∞)分析：利用对数型复合函数性质求解即可.由题知：x 2−5x +6>0，解得x >3或x <2.令t =x 2−5x +6，则y =log 12t 为减函数.所以t ∈(−∞,2)，t =x 2−5x +6为减函数，f (x )=log 12(x 2−5x +6)为增函数，t ∈(3,+∞)，t =x 2−5x +6为增函数，f (x )=log 12(x 2−5x +6)为减函数.所以函数f (x )=log 12(x 2−5x +6)的单调递减区间为(3,+∞).所以答案是：(3,+∞)13、解指数方程2x+3=3x 2−9：__________.答案：x =−3或x =3+log 32分析：直接对方程两边取以3为底的对数，讨论x +3=0和x +3≠0，解出方程即可. 由2x+3=3x2−9得log 32x+3=log 33x 2−9，即(x +3)log 32=(x −3)(x +3)，当x +3=0即x =−3时，0=0显然成立；当x +3≠0时，log 32=x −3，解得x =log 32+3；故方程的解为：x =−3或x =3+log 32. 所以答案是：x =−3或x =3+log 32.14、设x 13=2，则√x 53⋅x −1=___________.答案：4分析：由根式与有理数指数幂的关系，结合指数幂的运算性质，求值即可.由√x 53⋅x −1=x 53⋅x −1=x 23=(x 13)2=22=4. 所以答案是：4.解答题15、证明：函数f (x )=log 3(1+x )的图象与g (x )=log 2x 的图象有且仅有一个公共点． 答案：证明见解析分析：把要证两函数的图象有且仅有一个公共点转化为证明方程log 3(1+x )=log 2x 有且仅有一个实根.易观察出x =2为其一根，再假设(x 0,y 0)(x 0≠2)是函数图象的另一个公共点，然后得出矛盾即可. 要证明两函数f (x )和g (x )的图象有且仅有一个公共点，只需证明方程log 3(1+x )=log 2x 有且仅有一个实根，观察上述方程，显然有f (2)=g (2)，则两函数的图象必有交点(2,1)．设(x 0,y 0)(x 0≠2)是函数图象的另一个公共点．则log 3(1+x 0)=log 2x 0，1+x 0=3y 0，x 0=2y 0，∴1+2y 0=3y 0，即(13)y 0+(23)y 0=1， 令M (x )=(13)x +(23)x ，易知函数M (x )=(13)x +(23)x 为指数型函数．显然M (x )在(−∞,+∞)内是减函数，且M (1)=1，故方程(13)y 0+(23)y 0=1有唯一解y 0=1，从而x 0=2，与x 0≠2矛盾， 从而知两函数图象仅有一个公共点．。
高中数学高频错题总结 (含例题答案)
高一上学期易错陷阱总结1、 对数型函数中，（易忽略真数位置大于0）5．已知y ＝log a (2－ax )在[0,1]上为减函数，则a 的取值范围为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(0,2) D ．[2，＋∞) 2、 集合中，空集的特殊性（易忘记讨论空集）13．已知集合A ＝{x |2a ＋1≤x ≤3a －5}，B ＝{x |x ＜－1，或x ＞16}，分别根据下列条件求实数a 的取值范围． (1)A ∩B ＝∅； (2)A ⊆(A ∩B )． 3、集合中，元素的互异性（易忽略导致取值错误）[例2] 已知集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，a ，b a ＝{0，a 2，a ＋b }，求a 2 019＋b 2 020的值．跟踪探究 2.已知集合A ＝{2，x ，y }，B ＝{2x,2，y 2}且A ＝B ，求x ，y 的值．4、集合中，元素的特殊要求（比如：易忽略x等条件）跟踪探究 1.若集合A ＝{x |1≤x ≤3，x ∈N }，B ＝{x |x ≤2，x ∈N }，则A ∩B ＝( )A.{x |1≤x ≤2} B ．{x |x ≥1} C ．{2,3}D ．{1,2}5、抽象函数的定义域问题（定义域仅代表x ，括号内取值范围一致）14、函数的定义域为,则的定义域是___;函数的定义域为___.6、 区间中默认a<b14.已知函数f （x ）=, x是偶函数，则a+b=7、 换元法求值域类问题（易忽略换元后，t 的取值范围）(1)f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的值域；8、动轴定区间类问题（分类讨论不重不漏）典型案例：求函数y ＝x 2－2ax －1在[0,2]上的最值．9同增异减求单调区间问题（对数型时不能忽略真数位置大于0）（多个区间，隔开）跟踪探究 2.求函数y ＝log 2(x 2－5x ＋6)的单调区间．10、分段函数单调性问题。
（易忽略结点处）13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ＋4，(x ≤1)，－ax ＋3a －4，(x ＞1)且f (x )在R 上递减，则实数a 的取值范围________．11.解分式不等式。
高一数学必修一错题集
高一数学必修一错题集
好的,这里是一份高一数学必修一错题集,包括所有的错题、易错点和难点。
请注意,这只是一份参考,实际的错题集可能因个人差异而有所不同。
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1. 函数的定义域
2. 函数的值域
3. 函数的极值
4. 函数的单调性
5. 函数的连续性
6. 函数的奇偶性
7. 函数的周期性
8. 函数的图像
9. 函数的解析式
10. 函数的定义域和值域的关系
11. 函数的导数
12. 函数的斜率
13. 函数的切线
14. 函数的最大值和最小值
15. 二元函数的极值问题
16. 对称轴和中心
17. 函数的性质
18. 图像变换
19. 函数的应用
20. 极限的概念
21. 极限的运算
22. 无穷大和无穷小
23. 介值定理
24. 罗必塔法则
25. 向量的叉积
26. 坐标系的系结
27. 平面方程
28. 立体方程
29. 空间向量
30. 向量的计算
31. 向量的夹角
32. 立体坐标系
33. 解析几何中的应用
34. 椭圆
35. 双曲线
36. 参数方程
37. 标准方程
38. 椭圆和双曲线的焦点
39. 椭圆和双曲线的参数方程
40. 椭圆和双曲线的研究
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希望这份错题集能有所帮助。
高三复习三角函数经典错题集
高中数学三角函数部分错题精选一、选择题：1．（如中）为了得到函数⎪⎭⎫⎝⎛-=62sin πx y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ ） A 向右平移6π B 向右平移3π C 向左平移6π D 向左平移3π 错误分析:审题不仔细,把目标函数搞错是此题最容易犯的错误.答案: B2．（如中）函数⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=2tan tan 1sin x x x y 的最小正周期为 ( )Aπ B π2 C2π D 23π错误分析:将函数解析式化为x y tan =后得到周期π=T ,而忽视了定义域的限制,导致出错.答案: B3．(石庄中学) 曲线y=2sin(x+)4πcos(x-4π)和直线y=21在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P 1、P 2、P 3……，则|P 2P 4|等于 （ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π 正确答案：A 错因：学生对该解析式不能变形，化简为Asin(ωx+ϑ)的形式，从而借助函数图象和函数的周期性求出|P 2P 4|。
4．(石庄中学)下列四个函数y=tan2x ，y=cos2x ，y=sin4x ，y=cot(x+4π),其中以点(4π,0)为中心对称的三角函数有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．4正确答案：D 错因：学生对三角函数图象的对称性和平移变换未能熟练掌握。
5．(石庄中学)函数y=Asin(ωx+ϕ)(ω>0,A ≠0)的图象与函数y=Acos(ωx+ϕ)(ω>0, A ≠0)的图象在区间(x 0,x 0+ωπ)上（ ）A ．至少有两个交点B ．至多有两个交点C ．至多有一个交点D ．至少有一个交点正确答案：C 错因：学生不能采用取特殊值和数形结合的思想方法来解题。
6．(石庄中学) 在∆ABC 中，2sinA+cosB=2，sinB+2cosA=3，则∠C 的大小应为( )A ．6πB ．3πC ．6π或π65D ．3π或32π正确答案：A 错因：学生求∠C 有两解后不代入检验。
(完整)高一数学必修一易错题集锦答案
高一数学必修一易错题集锦答案1. 已知集合M={y |y =x 2＋1,x∈R },N={y|y =x ＋1,x∈R }，则M∩N=（ ）解：M={y |y =x 2＋1,x∈R }={y |y ≥1}， N={y|y=x ＋1,x∈R }={y|y∈R }．∴M∩N={y |y ≥1}∩{y|(y∈R)}={y |y ≥1},注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x |y =x 2＋1}、{y |y =x 2＋1,x ∈R }、{(x ,y )|y =x 2＋1,x ∈R }，这三个集合是不同的．2 .已知A={x |x 2－3x ＋2=0},B={x |ax －2=0}且A∪B=A，求实数a 组成的集合C ． 解：∵A∪B=A ∴B A 又A={x |x 2－3x ＋2=0}={1，2}∴B=或{}{}21或∴C={0，1，2}3 。
已知m ∈A,n ∈B, 且集合A={}Z a a x x ∈=,2|，B={}Z a a x x ∈+=,12|，又C={}Z a a x x ∈+=,14|，则有：m +n ∈ (填A,B,C 中的一个)解：∵m ∈A, ∴设m =2a 1,a 1∈Z , 又∵n B ∈,∴n =2a 2+1,a 2∈ Z ,∴m +n =2(a 1+a 2)+1,而a 1+a 2∈ Z , ∴m +n ∈B 。
4 已知集合A={x|x 2－3x －10≤0}，集合B={x|p ＋1≤x≤2p－1}．若B A ，求实数p 的取值范围．解：①当B≠时，即p ＋1≤2p－1p≥2.由B A 得：－2≤p＋1且2p －1≤5. 由－3≤p≤3.∴ 2≤p≤3②当B=时，即p ＋1>2p －1p ＜2.由①、②得：p≤3.点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A∪B=，A B 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题．5 已知集合A={a,a ＋b,a ＋2b}，B={a,ac,ac 2}．若A=B ，求c 的值．分析：要解决c 的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式．解：分两种情况进行讨论．（1）若a ＋b=ac 且a ＋2b=ac 2，消去b 得：a ＋ac 2－2ac=0，a=0时，集合B 中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0．∴c 2－2c ＋1=0，即c=1，但c=1时，B 中的三元素又相同，此时无解．（2）若a ＋b=ac 2且a ＋2b=ac ，消去b 得：2ac 2－ac －a=0，∵a≠0，∴2c 2－c －1=0，即(c －1)(2c ＋1)=0，又c≠1，故c=－21．点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验. 6 设A 是实数集，满足若a∈A，则a -11∈A ，1≠a 且1∉A.⑴若2∈A，则A 中至少还有几个元素？求出这几个元素⑵A 能否为单元素集合？请说明理由.⑶若a∈A，证明：1－a 1∈A.⑷求证：集合A 中至少含有三个不同的元素.解：⑴2∈A ⇒ －1∈A ⇒ 21∈A ⇒ 2∈A∴ A 中至少还有两个元素：－1和21⑵如果A 为单元素集合，则a ＝a -11即12+-a a ＝0该方程无实数解，故在实数范围内，A 不可能是单元素集⑶a∈A ⇒ a -11∈A ⇒ a--1111∈A ⇒111---a a∈A ，即1－a 1∈A⑷由⑶知a∈A 时，a -11∈A， 1－a 1∈A .现在证明a,1－a 1, a -11三数互不相等.①若a=a -11,即a2-a+1=0 ，方程无解，∴a ≠a -11②若a=1－a 1，即a 2-a+1=0，方程无解∴a ≠1－a 1③若1－a 1 =a -11，即a2-a+1=0，方程无解∴1－a 1≠a -11.综上所述，集合A 中至少有三个不同的元素.点评：⑷的证明中要说明三个数互不相等，否则证明欠严谨.7 设M ＝｛a ，b ，c ｝，N ＝｛－2,0,2｝,求（1）从M 到N 的映射种数；（2）从M 到N 的映射满足 f (a)>f (b)≥f(c),试确定这样的映射f 的种数. 解：（1）由于M ＝｛a ，b ，c ｝，N ＝｛－2,0,2｝，结合映射的概念，有一共有27个映射（2）符合条件的映射共有4个0222,2,2,0,0,2220a a a ab b b bc c c c →→→→⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪→-→-→→⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪→-→-→-→⎩⎩⎩⎩8.已知函数()f x 的定义域为[0，1]，求函数(1)f x +的定义域解：由于函数()f x 的定义域为[0，1]，即01x ≤≤∴(1)f x +满足011x ∴≤+≤ 10x -≤≤，∴(1)f x +的定义域是[－1，0]9根据条件求下列各函数的解析式：（1）已知()f x 是二次函数，若(0)0,(1)()1f f x f x x =+=++，求()f x .（2）已知1)f x x x =+，求()f x（3）若()f x 满足1()2(),f x f ax x +=求()f x解：（1）本题知道函数的类型，可采用待定系数法求解设()f x ＝2(0)ax bx c a ++≠由于(0)0f =得2()f x ax bx =+，又由(1)()1f x f x x +=++，∴22(1)(1)1a x b x ax bx x +++=+++即 22(2)(1)1ax a b x a b ax b x ++++=+++211021a b b a a b a b +=+⎧⎪∴≠∴==⎨⎪+=⎩ 因此：()f x ＝21122x x +(2)本题属于复合函数解析式问题，可采用换元法求解设22()(1)2(1)1(1)f u u u u u ∴=-+-=-≥∴()f x ＝21x - （1x ≥）（3）由于()f x 为抽象函数，可以用消参法求解用1x 代x 可得：11()2(),f f x a x x +=与 1()2()f x f ax x +=联列可消去1()f x 得：()f x ＝233a axx -.点评：求函数解析式（1）若已知函数()f x 的类型，常采用待定系数法；（2）若已知[()]f g x 表达式，常采用换元法或采用凑合法；（3）若为抽象函数，常采用代换后消参法. 10 已知x y x 62322=+，试求22y x +的最大值.分析：要求22y x +的最大值，由已知条件很快将22y x +变为一元二次函数,29)3(21)(2+--=x x f 然后求极值点的x 值，联系到02≥y ，这一条件，既快又准地求出最大值.解 由 x y x 62322=+得.20,0323,0.3232222≤≤∴≥+-∴≥+-=x x x y xx y 又,29)3(2132322222+--=+-=+x x x x y x∴当2=x 时，22y x +有最大值，最大值为.429)32(212=+--点评：上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的深刻性.大部分学生的作法如下：由 x y x 62322=+得 ,32322x x y +-=1(0),1(1)u x x x u u =+≥=-≥,29)3(2132322222+--=+-=+∴x x x x y x ∴当3=x 时，22y x +取最大值，最大值为29 这种解法由于忽略了02≥y 这一条件，致使计算结果出现错误.因此，要注意审题，不仅能从表面形式上发现特点，而且还能从已知条件中发现其隐蔽条件，既要注意主要的已知条件，又要注意次要条件，甚至有些问题的观察要从相应的图像着手，这样才能正确地解题.. 11设()f x 是R 上的函数，且满足(0)1,f =并且对任意的实数,x y 都有()()(21)f x y f x y x y -=--+，求()f x 的表达式.解法一：由(0)1,f =()()(21)f x y f x y x y -=--+，设x y =，得(0)()(21)f f x x x x =--+，所以()f x ＝21x x ++解法二：令0x =，得(0)(0)(1)f y f y y -=--+即()1(1)f y y y -=--+又将y -用x 代换到上式中得()f x ＝21x x ++点评：所给函数中含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知的函数.具体取什么特殊值，根据题目特征而定. 12判断函数1()(1)1xf x x x -=++.解：1()(1)1x f x x x -=++有意义时必须满足10111xx x -≥⇒-<≤+即函数的定义域是｛x ｜11x -<≤｝，由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数13 判断22()log (1)f x x x =++的奇偶性.正解：方法一：∵)1(log )1)((log )(2222++-=+-+-=-x x x x x f ＝11log 22++x x ＝)1(log22++-x x ＝－)(x f ∴)(x f 是奇函数方法二：∵)1(log )1(log )()(2222++-+++=-+x x x x x f x f ＝01log )1()1[(log 2222==++-⋅++x x x x)()(x f x f -=- ∴)(x f 是奇函数14函数y=245x x --的单调增区间是_________. 解：y=245x x --的定义域是[5,1]-，又2()54g x x x =--在区间[5,2]--上增函数，在区间[2,1]-是减函数，所以y=245x x --的增区间是[5,2]--15已知奇函数f (x )是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f (x －3)+f (x 2－3)<0,求x 的取值范围.解：由⎩⎨⎧<<-<<⎩⎨⎧<-<-<-<-66603333332x x x x 得,故0<x<6,又∵f (x )是奇函数，∴f (x －3)<－f (x 2－3)=f (3－x 2),又f (x )在(－3，3)上是减函数，∴x －3>3－x 2,即x 2+x －6>0,解得x >2或x <－3,综上得2<x <6,即A ={x |2<x <6}, 16 作出下列函数的图像(1)y=|x-2|(x ＋1)；(2)|lg |10x y =.分析：显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形.在变换函数解析式中运用了转化变换和分类讨论的思想.解：(1)当x ≥2时，即x-2≥0时，当x ＜2时，即x-2＜0时，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+--≥--=)2(49)21()2(49)21(22x x x x y这是分段函数，每段函数图像可根据二次函数图像作出(见图)(2)当x ≥1时，lgx ≥0，y =10lgx=x ；当0＜x ＜1时，lgx ＜0，所以这是分段函数，每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出.(见图)点评：作不熟悉的函数图像，可以变形成基本函数再作图，但要注意变形过程是否等价，要特别注意x ，y 的变化范围.因此必须熟记基本函数的图像.例如：一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数，及三角函数、反三角函数的图像.17若f(x)= 21++x ax 在区间（－2，＋∞）上是增函数，求a 的取值范围解：设12121212112,()()22ax ax x x f x f x x x ++-<<-=-++12211212121221121122121212(1)(2)(1)(2)(2)(2)(22)(22)(2)(2)22(21)()(2)(2)(2)(2)ax x ax x x x ax x ax x ax x ax x x x ax x ax x a x xx x x x ++-++=+++++-+++=++--+--==++++由f (x )=21++x ax 在区间（－2，＋∞）上是增函数得12()()0f x f x -<210a ∴-> ∴a ＞21点评：有关于单调性的问题，当我们感觉陌生，不熟悉或走投无路时，回到单调性的定义上去，往往给我们带来“柳暗花明又一村”的感觉.18已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f (21)=－1,当且仅当0<x <1时f (x )<0,且对任意x 、y ∈(－1,1)都有f (x )+f (y )=f (xy yx ++1),试证明：(1)f (x )为奇函数；(2)f (x )在(－1，1)上单调递减解：证明：(1)由f (x )+f (y )=f (xy yx ++1),令x =y =0,得f (0)=0,令y =－x ,得f (x )+f (－x )=f (21x xx --)=f (0)=0.∴f (x )=－f (－x ).∴f (x )为奇函数.(2)先证f (x )在(0，1)上单调递减.令0<x 1<x 2<1,则f (x 2)－f (x 1)=f (x 2)＋f (－x 1)=f (21121x x x x --)∵0<x 1<x 2<1,∴x 2－x 1>0,1－x 1x 2>0，∴21121x x x x -->0,又(x 2－x 1)－(1－x 2x 1)=(x 2－1)(x 1+1)<0∴x 2－x 1<1－x 2x 1,∴0<12121x x x x --<1,由题意知f (21121x x x x --)<0，即f (x 2)<f (x 1).∴f (x )在(0，1)上为减函数，又f (x )为奇函数且f (0)=0.∴f (x )在(－1，1)上为减函数.点评：本题知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.对函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力要求较高. 如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得. 对于(1)，获得f (0)的值进而取x =－y 是解题关键；对于(2)，判定21121x x x x --的范围是解题的焦点.19已知18log 9,185,ba ==求36log 45解：∵185,b =∴18log 5b =∴1818183621818181818log 45log 5log 9log 451818log 36log 4log 92log ()2log ()99b ab a b a aa a++++=====+-++20知)2(log ax y a -=在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是 解：∵)2(log ax y a -=是由u y a log =，ax u -=2复合而成，又a ＞0∴ax u -=2在[0，1]上是x 的减函数，由复合函数关系知u y a log =应为增函数，∴a ＞1又由于x 在[0，1]上时 )2(log ax y a -=有意义，ax u -=2又是减函数，∴x ＝1时，ax u -=2取最小值是a u -=2min ＞0即可， ∴a ＜2综上可知所求的取值范围是1＜a ＜221已知函数()log (3)a f x ax =-.（1）当[0,2]x ∈时()f x 恒有意义，求实数a 的取值范围.（2）是否存在这样的实数a 使得函数()f x 在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1，如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由.分析：函数()f x 为复合函数，且含参数，要结合对数函数的性质具体分析找到正确的解题思路，是否存在性问题，分析时一般先假设存在后再证明.解：（1）由假设，ax -3＞0，对一切[0,2]x ∈恒成立，0,1a a >≠显然，函数g(x)= ax -3在[0，2]上为减函数，从而g(2)＝32a -＞0得到a ＜32∴a 的取值范围是（0，1）∪（1，32）(2)假设存在这样的实数a ，由题设知(1)1f =，即(1)log (3)a f a =-＝1∴a ＝32此时3()log (3)2a f x x =-当2x =时，()f x 没有意义，故这样的实数不存在.点评：本题为探索性问题，应用函数、方程、不等式之间的相互转化，存在性问题一般的处理方法是先假设存在，结合已知条件进行推理和等价转化，若推出矛盾，说明假设不成立.即不存在，反之没有矛盾，则问题解决.22已知函数f (x )=1421lg 2+-⋅++a a ax x , 其中a 为常数，若当x ∈(－∞, 1］时, f (x )有意义，求实数a 的取值范围.分析：参数深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于a 的不等式（组）非常困难，故应转换思维角度，设法从原式中把a 分离出来，重新认识a 与其它变元(x )的依存关系，利用新的函数关系，常可使原问题“柳暗花明”. 解：14212+-⋅++a a ax x >0, 且a 2－a +1=(a －21)2+43>0,∴ 1+2x +4x ·a >0, a >)2141(x x +-,当x ∈(－∞, 1]时, y =x 41与y =x 21都是减函数，∴ y =)2141(x x +-在(－∞, 1]上是增函数，)2141(x x +-max =－43,∴ a >－43, 故a 的取值范围是(－43, +∞).点评：发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系、反客为主，主客换位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解，是解题人思维品质高的表现.本题主客换位后，利用新建函数y =)2141(x x +-的单调性转换为函数最值巧妙地求出了实数a 的取值范围.此法也叫主元法.23若1133(1)(32)a a --+<-，试求a 的取值范围.解：∵幂函数13y x -=有两个单调区间，∴根据1a +和32a -的正、负情况，有以下关系10320.132a a a a +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩① 10320.132a a a a +<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩② 10.320a a +<⎧⎨->⎩③解三个不等式组：①得23＜a ＜32，②无解，③a ＜－1∴a 的取值范围是（－∞，－1）∪（23，32）点评：幂函数13y x -=有两个单调区间，在本题中相当重要，不少学生可能在解题中误认为132a a +>-，从而导致解题错误.24 已知a>0 且a ≠1 ,f (log a x ) = 12-a a(x －x 1)(1)求f(x)；(2)判断f(x)的奇偶性与单调性；(3)对于f(x) ,当x ∈(－1 , 1)时 , 有f( 1－m ) +f (1－ m 2 ) < 0 ,求m 的集合M . 分析：先用换元法求出f(x)的表达式；再利用有关函数的性质判断其奇偶性和单调性；然后利用以上结论解第三问.解：(1)令t=log a x(t ∈R)，则).(),(1)(),(1)(,22R x a a a a x f a a a a t f a x xx t t t ∈--=∴--==--,101,.)(,10,)(,01,1.)(,),()(1)()2(22<<><<-=>->∴∈-=--=---a a x f a a a x u a aa x f R x x f a a a a x f x x x x 或无论综上为增函数类似可判断时当为增函数时当为奇函数且f(x)在R 上都是增函数.)1,1().1()1(,)(,0)1()1()3(22-∈-<-∴<-+-x m f m f R x f m f m f 又上是增函数是奇函数且在.211111111122<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-∴m m m m m点评：对含字母指数的单调性，要对字母进行讨论.对本例的③不需要代入f （x ）的表达式可求出m 的取值范围，请同学们细心体会.25已知函数2()3f x x ax a =++-若[2,2]x ∈-时，()f x ≥0恒成立，求a 的取值范围. 解：设()f x 的最小值为()g a（1）当22a-<-即a ＞4时，()g a ＝(2)f -＝7－3a ≥0，得73a ≤故此时a 不存在；(2) 当[2,2]2a-∈-即－4≤a ≤4时，()g a ＝3－a －24a ≥0，得－6≤a ≤2又－4≤a ≤4，故－4≤a ≤2；（3）22a->即a ＜－4时，()g a ＝(2)f ＝7＋a ≥0，得a ≥－7，又a ＜－4故－7≤a ＜－4综上，得－7≤a ≤226已知210mx x ++=有且只有一根在区间（0,1）内，求m 的取值范围. 解：设2()1f x mx x =++，（1）当m ＝0时方程的根为－1，不满足条件.（2）当m ≠0∵210mx x ++=有且只有一根在区间（0,1）内又(0)f ＝1＞0∴有两种可能情形①(1)0f <得m ＜－2 或者②1(1)02f m =-且0<<1得m 不存在综上所得，m ＜－227.是否存在这样的实数k ，使得关于x 的方程x 2+（2k －3）x －（3k －1）＝0有两个实数根，且两根都在0与2之间？如果有，试确定k 的取值范围；如果没有，试说明理由.解：令2()(23)(31)f x x k x k =+---那么由条件得到2(23)4(31)0(0)130(2)42(23)(31)023022k k f k f k k k ⎧∆=-+-≥⎪=->⎪⎪⎨=+--->⎪-⎪<<⎪⎩即24501313722k k k k ⎧+≥⎪⎪<⎪⎨>⎪⎪<<⎪⎩即此不等式无解即不存在满足条件的k 值.28已知二次函数2()f x ax bx c =++对于x 1、x 2∈R ，且x 1＜x 2时12()()f x f x ≠，求证：方程()f x ＝121[()()]2f x f x +有不等实根，且必有一根属于区间（x 1，x 2）.解：设F （x ）＝()f x －121[()()]2f x f x +，则方程 ()f x ＝121[()()]2f x f x + ①与方程 F （x ）＝0 ② 等价 ∵F （x 1）＝1()f x －121[()()]2f x f x +＝121[()()]2f x f x - F （x 2）＝2()f x －121[()()]2f x f x +＝121[()()]2f x f x -+∴ F （x 1）·F （x 2）＝－2121[()()]4f x f x -，又12()()f x f x ≠∴F （x 1）·F （x 2）＜0故方程②必有一根在区间（x 1，x 2）内.由于抛物线y ＝F （x ）在x 轴上、下方均有分布，所以此抛物线与x 轴相交于两个不同的交点，即方程②有两个不等的实根，从而方程①有两个不等的实根，且必有一根属于区间（x 1，x 2）.点评：本题由于方程是()f x ＝121[()()]2f x f x +，其中因为有()f x 表达式，所以解题中有的学生不理解函数图像与方程的根的联系，误认为证明()f x 的图像与x 轴相交于两个不同的点，从而证题中着眼于证1()f x 2()f x ＜0，使本题没法解决. 本题中将问题转化为F （x ）＝()f x －121[()()]2f x f x +的图像与x 轴相交于两个不同的两点是解题的关健所在. 29试确定方程322420x x x --+=最小根所在的区间，并使区间两个端点是两个连续的整数.分析：只要构造函数()f x ＝32242x x x --+，计算()f x 的自变量x 取整数值时的函数值，根据其符号，确定方程根的个数及根的分布. 解：令()f x ＝32242x x x --+∵(3)f -＝－54－9＋12＋2＝－49＜0 (2)f -＝－16－4＋8＋2＝－10＜0 (1)f -＝－2－1＋4＋2＝3＞0，，(0)f ＝0－0－0＋2＝2＞0 (1)f ＝2－1－4＋2＝－1＜0， (2)f ＝16－4－8＋2＝6＞0根据(2)f -·(1)f -＜0，(0)f ·(1)f ＜0，(1)f ·(2)f ＜0 可知()f x 的零点分别在区间（－2，－1），（0,1），（1,2）内.因为方程是一个一元三次方程，所以它最多有三个根，所以原方程的最小根在区间（－2，－1）内.点评：计算一元高次函数值可借助于计算器来完成，在实数范围内一元n 次方程最多有n 个实根，当然本题也可以用因式分解方法来解.32242x x x --+221(21)2(21)2()(2)212()(2)(2)2x x x x x x x x =---=--=-所以32242x x x --+＝0有三个根：12,22-30设二次函数2()(0),f x ax bx c a =++>方程0)(=-x x f 的两个根21,x x ，满足0<21x x <a1<. （1）当),0(1x x ∈时，证明1)(x x f x <<；（2）设函数2()(0),f x ax bx c a =++>的图像关于直线0x x =对称，证明：210x x <. 分析：（1）用作差比较法证明不等式1)(x x f x <<；（2）函数2()(0),f x ax bx c a =++>图像关于直线0x x =对称，实际直线0x x =就是二次函数的对称轴，即abx 20-=，然后用已知条件证明不等式即可. 证明：（1）依题意，设))(()()(21x x x x a x x f x F --=-= 当),0(1x x ∈时，由于21x x <，∴0))((21>--x x x x ，又0>a ∴))(()()(21x x x x a x x f x F --=-=>0即)(x f x <)1)(()1)(()()]([)(2121111ax x x ax ax x x x F x x x F x x x f x -->-+-=--=+-=-∵0<21x x x <<a1<.∴01,021>->-ax x x ∴0)(1>-x f x 综合得1)(x x f x << （2）依题意知a b x 20-=，又ab x x 121--=+ ∴aax ax a x x a a bx 2121)(221210-+=-+=-=∵,012<-ax ∴22110x a ax x =<点评：解决本题的关健有三：一是用作差比较法证明不等式；二是正确选择二次函数的表达式，即本题选用两根式表示；三要知道二次函数的图像关于直线对称，此直线为二次函数的对称轴，即ab x 20-= 31已知函数0)1(),1(2)(2=<<++=f b c c bx x x f ，且方程01)(=+x f 有实根. (1)求证：-3<c ≤-1,b ≥0.(2)若m 是方程01)(=+x f 的一个实根，判断)4(-m f 的正负并加以证明 分析：（1）题中条件涉及不等关系的有1<<b c 和方程01)(=+x f 有实根.及一个等式0)1(=f ，通过适当代换及不等式性质可解得；（2）本小题只要判断)4(-m f 的符号，因而只要研究出4-m 值的范围即可定出)4(-m f 符号. (1)证明：由0)1(=f ，得1+2b+c=0,解得21+-=c b ，又1<<b c ， 1c c >+->21解得313-<<-c ， 又由于方程01)(=+x f 有实根，即0122=+++c bx x 有实根， 故0)1(442≥+-=∆c b 即0)1(4)1(2≥+-+c c 解得3≥c 或1-≤c ∴13≤<-c ，由21+-=c b ，得b ≥0. （2）c bx x x f ++=2)(2=)1)(()1(2--=++-x c x c x c x ∵01)(<-=m f ，∴c<m<1（如图） ∴c —4<m —4<—3<c. ∴)4(-m f 的符号为正.点评：二次函数值的符号，可以求出其值判断，也可以灵活运用二次函数的图像及性质解题.32定义在R 上的函数()f x 满足：对任意实数,m n ，总有()()()f m n f m f n +=⋅，且当0x >时，()01f x <<.（1）试求()0f 的值；（2）判断()f x 的单调性并证明你的结论； （3）设()()()(){}()({}22,1,,21,A x y f x f y f B x y f ax y a R =⋅>=-=∈，若A B ⋂=∅，试确定a 的取值范围.（4）试举出一个满足条件的函数()f x .解：（1）在()()()f m n f m f n +=⋅中，令1,0m n ==.得：()()()110f f f =⋅.因为()10f ≠，所以，()01f =.（2）要判断()f x 的单调性，可任取12,x x R ∈，且设12x x <.在已知条件()()()f m n f m f n +=⋅中，若取21,m n x m x +==，则已知条件可化为：()()()2121f x f x f x x =⋅-.由于210x x ->，所以()2110f x x >->.为比较()()21f x f x 、的大小，只需考虑()1f x 的正负即可.在()()()f m n f m f n +=⋅中，令m x =，n x =-，则得()()1f x f x ⋅-=. ∵ 0x >时，()01f x <<， ∴ 当0x <时，()()110f x f x =>>-.又()01f =，所以，综上，可知，对于任意1x R ∈，均有()10f x >. ∴ ()()()()2112110f x f x f x f x x -=--<⎡⎤⎣⎦. ∴ 函数()f x 在R 上单调递减.（3）首先利用()f x 的单调性，将有关函数值的不等式转化为不含f 的式子.()()()222211f x f y f x y ⋅>+<即，(()210f ax y f -==，即20ax y -+=.由A B ⋂=∅，所以，直线20ax y -+=与圆面221x y +<无公共点.所以，2211a ≥+.解得 11a -≤≤.（4）如()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭.点评：根据题意，将一般问题特殊化，也即选取适当的特值（如本题中令1,0m n ==；以及21,m n x m x +==等）是解决有关抽象函数问题的非常重要的手段；另外，如果能找到一个适合题目条件的函数，则有助于问题的思考和解决. 33设a 为实数，函数1||)(2+-+=a x x x f ，R x ∈ （1）讨论)(x f 的奇偶性； （2）求)(x f 的最小值.解：（1）当0=a 时，函数)(1||)()(2x f x x x f =+-+-=- 此时，)(x f 为偶函数当0≠a 时，1)(2+=a a f ，1||2)(2++=-a a a f ，)()(a f a f -≠，)()(a f a f --≠此时)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数（2）（i ）当a x ≤时，43)21(1)(22++-=++-=a x a x x x f 当21≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上单调递减，从而函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为1)(2+=a a f .若21>a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f +=43)21(，且)()21(a f f ≤. （ii ）当a x ≥时，函数43)21(1)(22+-+=+-+=a x a x x x f若21-≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f -=-43)21(，且)()21(a f f ≤-若21->a ，则函数)(x f 在),[+∞a 上单调递增，从而函数)(x f 在),[+∞a 上的最小值为1)(2+=a a f .综上，当21-≤a 时，函数)(x f 的最小值为a -43当2121≤<-a 时，函数)(x f 的最小值为12+a当21>a 时，函数)(x f 的最小值为a +43.点评：（1）探索函数的奇偶性，可依据定义，通过)()(x f x f =-代入有1||1||)(22+-+=+--+-a x x a x x ，即||||a x a x -=+可得，当0=a 时，||||a x a x -=+，函数)()(x f x f =-函数为偶函数. 通过)()(x f x f -=-可得 1||1||)(22----=+--+-a x x a x x 化得 ||||222a x a x x -++=+此式不管0=a 还是0≠a 都不恒成立，所以函数不可能是奇函数.（2）由于本题中含有绝对值，需要去掉，故分类讨论，既要对二次函数值域的研究方法熟练掌握，又要将结论综合，对学生的综合运用数学知识能力及数学思想作了较好的考查.34某公司为帮助尚有26.8万元无息贷款没有偿还的残疾人商店，借出20万元将该商店改建成经营状况良好的某种消费品专卖店，并约定用该店经营的利润逐步偿还债务(所有债务均不计利息).已知该种消费品的进价为每件40元；该店每月销售量q （百件）与销售价p （元／件）之间的关系用右图中的一条折线（实线）表示；职工每人每月工资为600元，该店应交付的其它费用为每月130元. （1）若当销售价p 为52元／件时，该店正好收支平衡，求该店的职工人数； （2）若该店只安排40名职工，则该店最早可在几年后还清所有债务，此时每件消费品的价格定为多少元？分析：本题题目的篇幅较长，所给条件零散杂乱，为此，不仅需要划分段落层次，弄清每一层次独立的含义和相互间的关系，更需要抓住矛盾的主要方面.由题目的问题找到关键词——“收支平衡”、“还清所有债务”，不难想到，均与“利润”相关.从阅读和以上分析，可以达成我们对题目的整体理解，明确这是一道函数型应用题.为此，首先应该建立利润与职工人数、月销售量q 、单位商品的销售价p 之间的关系，然后，通过研究解析式，来对问题作出解答.由于销售量和各种支出均以月为单位计量，所以，先考虑月利润. 解：（1）设该店的月利润为S 元，有职工m 名.则()4010060013200S q p m =-⨯--.124584060q p81又由图可知：()()2140, 405882 5881p p q p p -+≤≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩. 所以，()()()()()()21404010060013200 4058824010060013200 58<81p p m p S p p m p -+-⨯--≤≤⎧⎪=⎨-+-⨯--≤⎪⎩ 由已知，当52p =时，0S =，即()()214040100600132000p p m -+-⨯--=，解得50m =.即此时该店有50名职工.（2）若该店只安排40名职工，则月利润()()()()()()21404010037200 4058824010037200 58<81p p p S p p p -+-⨯-≤≤⎧⎪=⎨-+-⨯-≤⎪⎩. 当4058p ≤≤时，求得55p =时，S 取最大值7800元. 当5881p <≤时，求得61p =时，S 取最大值6900元. 综上，当55p =时，S 有最大值7800元.设该店最早可在n 年后还清债务，依题意，有 1278002680002000000n ⨯--≥. 解得5n ≥.所以，该店最早可在5年后还清债务，此时消费品的单价定为55元.点评：求解数学应用题必须突破三关：（1）阅读理解关：一般数学应用题的文字阅读量都比较大，要通过阅读审题，找出关键词、句，理解其意义.（2）建模关：即建立实际问题的数学模型，将其转化为数学问题. （3）数理关：运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模型.。
高中数学易错题整理
高中数学错题集1、“直线ax+y +1=0和直线4x+ay -2=0”平行的充要条件为”a = “.22、.已知函数f(x)是R 上的减函数，A(0,-2),B(-3,2)是其图像上的两点，那么不等式|f(x -2)|>2的解集为 .请将错误的一个改正为 .3、已知正数x,y 满足x+ty =1，其中t 是给定的正实数，若1/x +1/y 的最小值为16，则实数t 的值为 .4、已知,,x y z R +∈，230x y z -+=，则2y xz的最小值 ．34、若不等式｜3x -b ｜＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b 的取值范围 。
（5，7）.5、已知正数x,y 满足4x-y=xy 则,x-y 的做小值为 .6、偶函数f(x)在[0，+∞]上是增函数，若f(ax+1)>f(x-3)在[1,2]上恒成立，则实数的取值范围为 .(a>1ora<-3)7、若数列{a n }的通项公式⋅⋅2n-2n-1n 22a =5()-4()55，数列{a n }的最大项为第x 项，最小项为第y 项，则x+y=_______________. 12. 38、已知a ,b 是两个互相垂直的单位向量, 且1=⋅=⋅b c a c 2=,则对0>t a t ++的最小值是 。
9、定义：区间)](,[2121x x x x <的长度为12x x -.已知函数|log |5.0x y =定义域为],[b a ，值域为]2,0[，则区间],[b a 的长度的最大值为 10．154函数f(x)=sin(ωx+π/3)（ω>0）在[0，2]上恰有一个最大值和最小值，则ω的取值范围是 .10.设D 、P 为△ABC 内的两点，且满足,51),(41+=+=则ABCAPDS S ∆∆= .0.1 11、设D 为ABC ∆的边AB 上的点，P 为ABC ∆内一点，且满足52,43+==，则=∆∆ABCAPD S S ．10312、若函数2()x f x x a =+（0a >）在[)1,+∞上的最大值为3,则a 的值为113、 已知函数M,最小值为m,则mM的值为 ___________。
(完整版)高中数学易错题
高中数学易错题数学概念的理解不透必修一（1）若不等式ax 2+x+a ＜0的解集为 Φ，则实数a 的取值范围（ ） A.a ≤-21或a ≥21 B.a ＜21 C.-21≤a ≤21 D.a ≥ 21【错解】选A.由题意，方程ax 2+x+a=0的根的判别式20140a ∆<⇔-<⇔ a ≤-21或a ≥21，所以选A.【正确解析】D .不等式ax 2+x+a ＜0的解集为 Φ，若a=0,则不等式为x<0解集不合已知条件，则a 0≠；要不等式ax 2+x+a ＜0的解集为 Φ，则需二次函数y=ax 2+x+a 的开口向上且与x 轴无交点，所以a>0且20140120a a a ⎧∆≤⇔-≤⇔≥⎨>⎩.必修一（2）判断函数f(x)=(x －1)xx-+11的奇偶性为____________________【错解】偶函数.f(x)=(x -===，所以()()f x f x -===，所以f （x ）为偶函数.【正解】非奇非偶函数.y=f(x)的定义域为：(1)(1)01011101x x xx x x +-≥⎧+≥⇔⇔-≤<⎨-≠-⎩，定义域不关于原点对称，所以此函数为非奇非偶函数.1) 必修二（4）1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） (A)12l l ⊥，23l l ⊥13//l l ⇒ （B ）12l l ⊥，3//l l ⇒13l l ⊥(C)123////l l l ⇒ 1l ，2l ，3l 共面 （D ）1l ，2l ，3l 共点⇒1l ，2l ，3l 共面 【错解】错解一：选A.根据垂直的传递性命题A 正确； 错解二：选C.平行就共面；【正确解答】选B.命题A 中两直线还有异面或者相交的位置关系；命题C 中这三条直线可以是三棱柱的三条棱，因此它们不一定共面；命题D 中的三条线可以构成三个两两相交的平面，所以它们不一定共面.必修五（5）x=ab 是a 、x 、b 成等比数列的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件 【错解】C.当.x=ab 时，a 、x 、b 成等比数列成立；当a 、x 、b 成等比数列时，x=ab 成立 .【正确解析】选D.若x=a=0，x=ab 成立，但a 、x 、b 不成等比数列， 所以充分性不成立；反之，若a 、x 、b成等比数列，则2x ab x =⇔=x=ab 不一定成立，必要性不成立.所以选D.排列组合（6）(1)把三枚硬币一起掷出，求出现两枚正面向上，一枚反面向上的概率. 分析:（1）【错解】三枚硬币掷出所有可能结果有2×2×2=8种，而出现两正一反是一种结果，故所求概率P=.81【正解】在所有的8种结果中，两正一反并不是一种结果，而是有三种结果：正、正、反，正、反、正，反、正、正，因此所求概率,83=P 上述错解在于对于等可能性事件的概念理解不清，所有8种结果的出现是等可能性的，如果把上述三种结果看作一种结果就不是等可能性事件了，应用求概率的基本公式n m P =自然就是错误的.公式理解与记忆不准（7）若1,0,0=+>>y x y x ，则yx41+的最小值为___________.【错解】 y x 41+8)2(14422=+≥≥y x xy ，错解原因是忽略等号成立条件. 【正解】yx 41+=945)(4≥++=+++yx xy yy x xy x（8）函数y=sin 4x+cos 4x －43的相位____________，初相为__________ .周期为_________，单调递增区间为____________.【错解】化简y=sin 4x+cos 4x －43=1cos 44x ，所以相位为4x ，初相为0，周期为2π，增区间为….【正确解析】y=sin 4x+cos 4x －43=11cos 4sin(4)442x x π=+.相位为42x π+，初相为2π，周期为2π，单调递增区间为21[,]()42k k k Z ππ-∈. 审题不严 （1）读题不清必修五（9）已知()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，1()()12x f x =+，则()f x 的反函数的图像大致是【错解】选B.因为1()2x y =在0x >内递减，且1()()12x f x =+过点（0，2），所以选B. 【正确解答】A .根据函数与其反函数的性质，原函数的定义域与值域同其反函数的值域、定义域相同.当10,0()1,122x x y ><<⇒<<，所以选A.或者首先由原函数过点（0，2），则其反函数过点（2，0），排除B 、C ；又根据原函数在0x >时递减，所以选A. 排列组合（10）一箱磁带最多有一盒次品.每箱装25盒磁带，而生产过程产生次品磁带的概率是0.01.则一箱磁带最多有一盒次品的概率是 .【错解】一箱磁带有一盒次品的概率240.01(10.01)⨯-，一箱磁带中无次品的概率25(10.01)-，所以一箱磁带最多有一盒次品的概率是240.01(10.01)⨯-+25(10.01)-.【正确解析】一箱磁带有一盒次品的概率124250.01(10.01)C ⋅⨯-，一箱磁带中无次品的概率02525(10.01)C ⋅-，所以一箱磁带最多有一盒次品的概率是124250.01(10.01)C ⋅⨯-+02525(10.01)C ⋅-.（2）忽视隐含条件必修一（11）设βα、是方程0622=++-k kx x 的两个实根，则22)1()1(-+-βα的最小值是（ ）不存在)D (18)C (8)B (449)A (-【错解】利用一元二次方程根与系数的关系易得：,6,2+==+k k αββα2222(1)(1)2121αβααββ∴-+-=-++-+2()22()2αβαβαβ=+--++23494().44k =--选A.【正确解析】利用一元二次方程根与系数的关系易得：,6,2+==+k k αββα2222(1)(1)2121αβααββ∴-+-=-++-+2()22()2αβαβαβ=+--++23494().44k =--Θ 原方程有两个实根βα、，∴0)6k (4k 42≥+-=∆ ⇒.3k 2k ≥-≤或当3≥k 时，22)1()1(-+-βα的最小值是8；当2-≤k 时，22)1()1(-+-βα的最小值是18.选B. 必修一(12)已知(x+2)2+ y 24=1, 求x 2+y 2的取值范围.【错解】由已知得 y 2=－4x 2－16x －12，因此 x 2+y 2=－3x 2－16x －12=－3(x+38)2+328， ∴当x=－83 时，x 2+y 2有最大值283 ，即x 2+y 2的取值范围是(－∞, 283].【正确解析】由已知得 y 2=－4x 2－16x －12，因此 x 2+y 2=－3x 2－16x －12=－3(x+38)2+328 由于(x+2)2+ y 24 =1 ⇒ (x+2)2=1－ y 24≤1 ⇒ －3≤x ≤－1，从而当x=－1时x 2+y 2有最小值1.∴ x 2+y 2的取值范围是[1, 283 ].（此题也可以利用三角函数和的平方等于一进行求解）必修一（13） 方程1122log (95)log (32)20x x ------=的解集为___________________- 【错解】111122222log (95)log (32)20log (95)log (32)log 40x x x x --------=⇔----=11111122log (95)log 4(32)954(32)(31)(33)0x x x x x x -------=-⇔-=-⇔--=1310x --=或1330x --=所以x=1或x=2.所以解集为{1，2}.【正解】111122222log (95)log (32)20log (95)log (32)log 40x x x x --------=⇔----=111111221954(32)log (95)log 4(32)3203302950x x x x x x x x -------⎧-=-⎪-=-⇔->⇔-=⇔=⎨⎪->⎩所以解集为{2}.字母意义含混不清（14）若双曲线22221x y a b -=-的离心率为54，则两条渐近线的方程为（ ）A.0916x y ±= B.0169x y ±= C.034x y ±= D.043x y±= 【错解】选D.22222222252593310416164443c c a b b b b x y e y x a a a a a a +==⇒===+⇒=⇒=±⇒=±⇒±=，选D. 【正确解析】2222222211x y y x a b b a-=-⇒-=，与标准方程中字母a,b 互换了.选C.4.运算错误（1）数字与代数式运算出错若)2,1(),7,5(-=-=b a ρρ，且（b a ρρλ+）b ρ⊥，则实数λ的值为____________.【错解】(5,72)a b λλλ+=--+r r ，则（b a ρρλ+）()052(72)03b a b b λλλλ⊥⇔+⋅=⇔-+-+=⇒=r r r r.【正确解析】(5,72)a b λλλ+=--+r r，（ba ρρλ+）19()052(72)05b a b b λλλλ⊥⇔+⋅=⇔-+-+=⇒=r r r r必修二18. 已知直线l 与点A （3，3）和B （5，2）的距离相等，且过二直线1l ：3x －y －1=0和2l：x+y－3=0的交点，则直线l的方程为_______________________【错解】先联立两直线求出它们交点为（1，2），设所求直线的点斜式，再利用A、B到12k=⇔=-，所以所求直线为x+2y-5=0.【正确解析】x-6y+11=0或x+2y-5=0.联立直线1l：3x－y－1=0和2l：x+y－3=0的方程得它们的交点坐标为（1，2），令过点（1，2）的直线l为：y-2=k(x-1)（由图形可看出直线l的斜率必然存在），11,62k k=⇔==-，所以直线l的方程为:x-6y+11=0或x+2y-5=0.（2）运算方法（如公式、运算程序或运算方向等）选择不当导致运算繁杂或不可能得解而出错必修二19. 已知圆(x－3)2+y2=4和直线y=mx的交点分别为P，Q两点，O为坐标原点，则OQOP⋅的值为.【运算繁杂的解法】联立直线方程y=mx与圆的方程(x－3)2+y2=4消y，得关于x的方程22(1)650m x x+-+=，令1122(,),(,)P x y Q x y，则12122265,11x x x xm m+=⋅=++，则221212251my y m x xm==+，由于向量OPuuu r与向量OQuuu r共线且方向相同，即它们的夹角为0，所以212122255511mOP OQ OP OQ x x y ym m⋅=⋅=+=+=++u u u r u u u r.【正确解析】根据圆的切割线定理，设过点O的圆的切线为OT（切点为T），由勾股定理，则222325OP OQ OT⋅==-=.（3）忽视数学运算的精确性，凭经验猜想得结果而出错曲线x2－122=y的右焦点作直线交双曲线于A、B两点，且4=AB，则这样的直线有___________条.【错解】4条.过右焦点的直线，与双曲线右支交于A、B时，满足条件的有上、下各一条（关于x轴对称）；与双曲线的左、右分别两交于A、B两点，满足条件的有上、下各一条（关于x 轴对称），所以共4条.【正解】过右焦点且与X 轴垂直的弦AB （即通径）为222241b a ⨯==，所以过右焦点的直线，与双曲线右支交于A 、B 时，满足条件的仅一条；与双曲线的左、右分别两交于A 、B 两点，满足条件的有上、下各一条（关于x 轴对称），所以共3条. 5.数学思维不严谨（1）数学公式或结论的条件不充分24.已知两正数x,y 满足x+y=1,则z=11()()x y x y++的最小值为 .【错解一】因为对a>0,恒有12a a +≥,从而z=11()()x y x y++≥4,所以z 的最小值是4.【错解二】22222()2x y xy z xy xy xy +-==+-≥21)-=，所以z 的最小值是1). 【正解】z=11()()x y x y ++=1y xxy xy x y+++=21()222x y xy xy xy xy xy xy +-++=+-，令t=xy, 则210()24x y t xy +<=≤=，由2()f t t t =+在10,4⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减,故当t=14时 2()f t t t =+有最小值334,所以当12x y ==时z 有最小值334.（2）以偏概全，重视一般性而忽视特殊情况必修一(1)不等式|x+1|(2x －1)≥0的解集为____________解析：（1）【错解】1[,)2+∞.因为|x+1|≥0恒成立，所以原不等式转化为2x-1≥0，所以1[,)2x ∈+∞【正确解析】}1{),21[-⋃+∞.原不等式等价于|x+1|=0或2x-1≥0，所以解集为1[,){1}2x ∈+∞⋃-.必修一(2)函数y =的定义域为 .(2) 【错解】10(1)(1)011x x x x x+≥⇒+-≥⇒≥-或1x ≤-.【正解】(1)(1)0(1)(1)010111011x x x x x x x x x+-≥+-≤⎧⎧+≥⇒⇒⇒-≤<⎨⎨-≠≠-⎩⎩（3）解题时忽视等价性变形导致出错 27.已知数列{}n a 的前n 项和12+=n n S ，求.n a【错解】 .222)12()12(1111----=-=+-+=-=n n n n n n n n S S a 【正确解析】当1=n 时，113a S ==，n 2≥时，1111(21)(21)222nn n n n n n n a S S ----=-=+-+=-=.所以13(1)2(2)n n n a n -⎧=⎪=⎨≥⎪⎩.选修实数a 为何值时，圆012222=-+-+a ax y x 与抛物线x y 212=有两个公共点. 【错解】 将圆012222=-+-+a ax y x 与抛物线 x y 212=联立，消去y ， 得 ).0(01)212(22≥=-+--x a x a x ①因为有两个公共点，所以方程①有两个相等正根，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->-=∆.01021202a a ， 解之得.817=a【正确解析】要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根；或有两个相等正根.当方程①有一正根、一负根时，得⎩⎨⎧<->∆.0102a 解之，得.11<<-a因此，当817=a 或11<<-a 时，圆012222=-+-+a ax y x 与抛物线x y 212=有两个公共点.(1)设等比数列{}n a 的全n 项和为n S .若9632S S S =+，求数列的公比q .【错解】 ,2963S S S =+Θq q a q q a q q a --⋅=--+--∴1)1(21)1(1)1(916131， .012(363）＝整理得--q q q1q 24q ,0)1q )(1q 2(.01q q 20q 33336=-=∴=-+∴=--≠或得方程由.【正确解析】若1=q ，则有.9,6,3191613a S a S a S ===但01≠a ，即得,2963S S S ≠+与题设矛盾，故1≠q .又依题意 963S 2S S =+ ⇒ q q a q q a q q a --⋅=--+--1)1(21)1(1)1(916131 ⇒ 01q q 2(q 363）＝--,即,0)1)(12(33=-+q q 因为1≠q ，所以,013≠-q 所以.0123=+q 解得 .243-=q空间识图不准必修二直二面角α－l －β的棱l 上有一点A ，在平面α、β内各有一条射线AB ，AC 与l 成450，AB βα⊂⊂AC ,，则∠BAC= .【错解】如右图.由最小角定理，12221cos cos cos 23BAC BAC πθθ∠=⋅=⨯=⇒∠=. 【正确解析】3π或23π.如下图.当6CAF π∠=时，由最小角定理，时，12221cos cos cos 2223BAC BAC πθθ∠=⋅=⨯=⇒∠=；当AC 在另一边DA 位置23BAC π∠=.。
(完整版)高中数学易错题(含答案)
高中数学易错题一．选择题（共6小题）1．已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=3，P是AB上一点，则点P到AC，BC的距离乘积的最大值是（）A．2B．3C．4D．52．在△ABC中，边AB=，它所对的角为15°，则此三角形的外接圆直径为（）A．缺条件，不能求出B．C．D．3．在△ABC中，边a，b，c分别为3、4、5，P为△ABC内任一点，点P到三边距离之和为d，则d的取值范围是（）A．3＜d＜4 B．C．D．4．在平面直角坐标系xoy中，已知△ABC的顶点A（﹣6，0）和C（6，0），顶点B在双曲线的左支上，则等于（）A．B．C．D．5．（2009•闸北区二模）过点A（1，﹣2），且与向量平行的直线的方程是（）A．4x﹣3y﹣10=0 B．4x+3y+10=0 C．3x+4y+5=0 D．3x﹣4y+5=06．（2011•江西模拟）下面命题：①当x＞0时，的最小值为2；②过定点P（2，3）的直线与两坐标轴围成的面积为13，这样的直线有四条；③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y=sin（2x﹣）的图象；④已知△ABC，∠A=60°，a=4，则此三角形周长可以为12．其中正确的命题是（）A．①②④B．②④C．②③D．③④二．填空题（共10小题）7．Rt△ABC中，AB为斜边，•=9，S△ABC=6，设P是△ABC（含边界）内一点，P到三边AB，BC，AC的距离分别为x，y，z，则x+y+z的取值范围是_________．8．（2011•武进区模拟）在△ABC中，，且△ABC的面积S=asinC，则a+c的值=_________．9．锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．边长a，b是方程的两个根，且，则c边的长是_________．10．已知在△ABC中，，M为BC边的中点，则|AM|的取值范围是_________．11．一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为_________．12．三角形ABC中，若2，且b=2，一个内角为300，则△ABC的面积为_________．13．△ABC中，AB=AC，，则cosA的值是_________．14．（2010•湖南模拟）已知点P是边长为2的等边三角形内一点，它到三边的距离分别为x、y、z，则x、y、z 所满足的关系式为_________．15．（2013•东莞二模）如图，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，AD切⊙O于A，若∠ABC=30°，AC=2，则AD的长为_________．16．三角形ABC中，三个内角B，A，C成等差数列，∠B=30°，三角形面积为，则b=_________．三．解答题（共12小题）17．在△ABC中，AC=b，BC=a，a＜b，D是△ABC内一点，且AD=a，∠ADB+∠C=π，问∠C为何值时，四边形ABCD的面积最大，并求出最大值．18．（2010•福建模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，．（1）求sinC；（2）若c=2，sinB=2sinA，求△ABC的面积．19．已知外接圆半径为6的△ABC的边长为a、b、c，角B、C和面积S满足条件：S=a2﹣（b﹣c）2和sinB+sinC=（a，b，c为角A，B，C所对的边）（1）求sinA；（2）求△ABC面积的最大值．20．（2010•东城区模拟）在△ABC中，A，B，C是三角形的三个内角，a，b，c是三个内角对应的三边，已知b2+c2﹣a2=bc．（1）求角A的大小；（2）若sin2B+sin2C=2sin2A，且a=1，求△ABC的面积．21．小迪身高1.6m，一天晚上回家走到两路灯之间，如图所示，他发现自己的身影的顶部正好在A路灯的底部，他又向前走了5m，又发现身影的顶部正好在B路灯的底部，已知两路灯之间的距离为10m，（两路灯的高度是一样的）求：（1）路灯的高度．（2）当小迪走到B路灯下，他在A路灯下的身影有多长？22．（2008•徐汇区二模）在△ABC中，已知．（1）求AB；（2）求△ABC的面积．23．在△ABC中，已知．（1）求出角C和A；（2）求△ABC的面积S；（3）将以上结果填入下表．C A S情况①情况②24．（2007•上海）通常用a、b、c表示△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C所对边的边长，R表示△ABC外接圆半径．（1）如图所示，在以O为圆心，半径为2的⊙O中，BC和BA是⊙O的弦，其中BC=2，∠ABC=45°，求弦AB 的长；（2）在△ABC中，若∠C是钝角，求证：a2+b2＜4R2；（3）给定三个正实数a、b、R，其中b≤a，问：a、b、R满足怎样的关系时，以a、b为边长，R为外接圆半径的△ABC 不存在，存在一个或两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC存在的情况下，用a、b、R表示c．25．（2010•郑州二模）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，=（2b﹣c，cosC），=（a，cosA），且∥．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求2cos2B+sin（A﹣2B）的最小值．26．在△ABC中，A、B、C是三角形的内角，a、b、c是三内角对应的三边，已知，．（1）求∠A；（2）求△ABC的面积S．27．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且（2a+c）cosB+bcosC=0．（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）若a+c=4，求△ABC面积S的最大值．28．已知△ABC的外接圆半径，a、b、C分别为∠A、∠B、∠C的对边，向量，，且．（1）求∠C的大小；（2）求△ABC面积的最大值．高中数学易错题参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=3，P是AB上一点，则点P到AC，BC的距离乘积的最大值是（）A．2B．3C．4D．5考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：设点P到AC，BC的距离分别是x和y，最上方小三角形和最大的那个三角形相似，它们对应的边有此比例关系，进而求得x和y的关系式，进而表示出xy的表达式，利用二次函数的性质求得xy的最大值．解答：解：如图，设点P到AC，BC的距离分别是x和y，最上方小三角形和最大的那个三角形相似，它们对应的边有此比例关系，即=4，所以4x=12﹣3y，y=，求xy最大，也就是那个矩形面积最大．xy=x•=﹣•（x2﹣3x），∴当x=时，xy有最大值3故选B．点评：本题主要考查了三角函数的几何计算．解题的关键是通过题意建立数学模型，利用二次函数的性质求得问题的答案．2．在△ABC中，边AB=，它所对的角为15°，则此三角形的外接圆直径为（）A．缺条件，不能求出B．C．D．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：直接利用正弦定理，两角差的正弦函数，即可求出三角形的外接圆的直径即可．解答：解：由正弦定理可知：====．故选D．点评：本题是基础题，考查三角形的外接圆的直径的求法，正弦定理与两角差的正弦函数的应用，考查计算能力．3．在△ABC中，边a，b，c分别为3、4、5，P为△ABC内任一点，点P到三边距离之和为d，则d的取值范围是（）A．3＜d＜4 B．C．D．考点：三角形中的几何计算．专题：数形结合；转化思想．分析：画出图形，利用点到直线的距离之间的转化，三角形两边之和大于第三边，求出最小值与最大值．解答：解：由题意△ABC中，边a，b，c分别为3、4、5，P为△ABC内任一点，点P到三边距离之和为d，在图（1）中，d=CE+PE+PF＞CD==，在图（2）中，d=CE+EP+FP＜CE+EG＜AC=4；∴d的取值范围是；故选D．点评：本题是中档题，考查不等式的应用，转化思想，数形结合，逻辑推理能力，注意，P为△ABC内任一点，不包含边界．4．在平面直角坐标系xoy中，已知△ABC的顶点A（﹣6，0）和C（6，0），顶点B在双曲线的左支上，则等于（）A．B．C．D．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：由题意可知双曲线的焦点坐标就是A，B，利用正弦定理以及双曲线的定义化简即可得到答案．解答：解：由题意可知双曲线的焦点坐标就是A，B，由双曲线的定义可知BC﹣AB=2a=10，c=6，===；故选D．点评：本题是基础题，考查双曲线的定义，正弦定理的应用，考查计算能力，常考题型．5．（2009•闸北区二模）过点A（1，﹣2），且与向量平行的直线的方程是（）A．4x﹣3y﹣10=0 B．4x+3y+10=0 C．3x+4y+5=0 D．3x﹣4y+5=0考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：通过向量求出直线的斜率，利用点斜式方程求出最新的方程即可．解答：解：过点A（1，﹣2），且与向量平行的直线的斜率为﹣，所以所求直线的方程为：y+2=﹣（x﹣1），即：3x+4y+5=0．故选C．点评：本题是基础题，考查直线方程的求法，注意直线的方向向量与直线的斜率的关系，考查计算能力．6．（2011•江西模拟）下面命题：①当x＞0时，的最小值为2；②过定点P（2，3）的直线与两坐标轴围成的面积为13，这样的直线有四条；③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y=sin（2x﹣）的图象；④已知△ABC，∠A=60°，a=4，则此三角形周长可以为12．其中正确的命题是（）A．①②④B．②④C．②③D．③④考点：三角形中的几何计算；恒过定点的直线．专题：应用题．分析：①由于基本不等式等号成立的条件不具备，故的最小值大于2，故①不正确．②设过定点P（2，3）的直线的方程，求出它与两坐标轴的交点，根据条件可得4k2+14k+9=0，或4k2﹣38k+9=0．而这两个方程的判别式都大于0，故每个方程都有两个解，故满足条件的直线有四条．③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y﹣sin（2x﹣）的图象，故③不正确．④若△ABC中，∠A=60°，a=4，则此三角形周长可以为12，此时，三角形是等边三角形．解答：解：①∵≥2=2，（当且仅当x=0时，等号成立），故当x＞0时，的最小值大于2，故①不正确．②设过定点P（2，3）的直线的方程为y﹣3=k（x﹣2），它与两坐标轴的交点分别为（2﹣，0），（0，3﹣2k），根据直线与两坐标轴围成的面积为13=，化简可得4k2+14k+9=0，或4k2﹣38k+9=0．而这两个方程的判别式都大于0，故每个方程都有两个解，故满足条件的直线有四条，故②正确．③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y=cos2（x﹣）=sin[﹣（2x﹣）]=sin（）=﹣sin（2x﹣）的图象，故③不正确．④已知△ABC，∠A=60°，a=4，则此三角形周长可以为12，此时，三角形是等边三角形，故④正确．故选B．点评：本题基本不等式取等号的条件，过定点的直线，三角函数的图象变换，诱导公式的应用，检验基本不等式等号成立的条件，是解题的易错点．二．填空题（共10小题）7．Rt△ABC中，AB为斜边，•=9，S△ABC=6，设P是△ABC（含边界）内一点，P到三边AB，BC，AC的距离分别为x，y，z，则x+y+z的取值范围是[，4]．考点：向量在几何中的应用；三角形中的几何计算．专题：综合题．分析：设三边分别为a，b，c，利用正弦定理和余弦定理结合向量条件利用三角形面积公式即可求出三边长．欲求x+y+z的取值范围，利用坐标法，将三角形ABC放置在直角坐标系中，通过点到直线的距离将求x+y+z的范围转化为，然后结合线性规划的思想方法求出范围即可．解答：解：△ABC为Rt△ABC，且∠C=90°，设三角形三内角A、B、C对应的三边分别为a，b，c，∵（1）÷（2），得，令a=4k，b=3k（k＞0）则∴三边长分别为3，4，5．以C为坐标原点，射线CA为x轴正半轴建立直角坐标系，则A、B坐标为（3，0），（0，4），直线AB方程为4x+3y﹣12=0．设P点坐标为（m，n），则由P到三边AB、BC、AB的距离为x，y，z．可知，且，故，令d=m+2n，由线性规划知识可知，如图：当直线分别经过点A、O时，x+y+z取得最大、最小值．故0≤d≤8，故x+y+z的取值范围是．故答案为：[]．点评：本题主要考查了解三角形中正弦定理、余弦定理、平面向量数量积的运算、简单线性规划思想方法的应用，综合性强，难度大，易出错．8．（2011•武进区模拟）在△ABC中，，且△ABC的面积S=asinC，则a+c的值=4．考点：二倍角的余弦；三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：首先根据三角形的面积公式求出b的值，然后将所给的式子写成+=3进而得到acosC+ccosA+a+c=6，再根据在三角形中acosC+ccosA=b=2，即可求出答案．解答：解：∵S=absinC=asinC∴b=2∴acos2+ccos2=3∴+=3即a（cosC+1）+c（cosA+1）=6∴acosC+ccosA+a+c=6∵acosC+ccosA=b=2∴2+a+c=6∴a+c=4故答案为：4．点评：本题考查了二倍角的余弦以及三角形中的几何运算，解题的关键是巧妙的将所给的式子写成+=3的形式，属于中档题．9．锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．边长a，b是方程的两个根，且，则c边的长是．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：先根据求得sin（A+B）的值，进而求得sinC的值，根据同角三角函数的基本关系求得cosC，根据韦达定理求得a+b和ab的值，进而求得a2+b2，最后利用余弦定理求得c的值．解答：解：∵，∴sin（A+B）=∴sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）=∴cosC==∵a，b是方程的两根∴a+b=2，ab=2，∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=8∴c===故答案为：点评：本题主要考查了三角形中的几何计算，余弦定理的应用，韦达定理的应用．考查了考生综合运用基础知识的能力．10．已知在△ABC中，，M为BC边的中点，则|AM|的取值范围是．考点：三角形中的几何计算；正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：构造以BC为正三角形的外接圆，如图满足，即可观察推出|AM|的取值范围．解答：解：构造以BC为正三角形的外接圆，如图，显然满足题意，由图可知红A处，|AM|值最大为，A与B（C）接近时|AM|最小，所以|AM|∈．故答案为：．点评：本题考查三角形中的几何计算，构造法的应用，也可以利用A的轨迹方程，两点减距离公式求解．11．一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为2．考点：棱柱的结构特征；三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：由于正三棱柱的底面ABC为等边三角形，我们把一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，结合图形的对称性可得，该三角形的斜边EF上的中线DG的长等于底面三角形的高，从而得出等腰直角三角形DEF的中线长，最后得到该三角形的斜边长即可．解答：解：一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，∠EDF=90°，已知正三棱柱的底面边长为AB=2，则该三角形的斜边EF上的中线DG=，∴斜边EF的长为2．故答案为：2．点评：本小题主要考查棱柱的结构特征、三角形中的几何计算等基础知识，考查空间想象力．属于基础题．12．三角形ABC中，若2，且b=2，一个内角为300，则△ABC的面积为1或．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：先利用2，转化得到2acosB=c；再借助于余弦定理得a=b=2；再分∠A=30°以及∠C=30°两种情况分别求出对应的面积．解答：解：因为2，转化为边长和角所以有2acosB=c可得：cosB==⇒a2=b2⇒a=b=2．当∠A=30°=∠B时，∠C=120°，此时S△ABC=×2×2×sinC=；当∠C=30°时，∠A=∠B=75°，此时S△ABC=×2×2×sinC=1．故答案为：或1．点评：本题主要考查余弦定理的应用以及三角形中的几何计算．解决本题的关键在于利用2，转化得到2acosB=c；再借助于余弦定理得a=b=2．13．△ABC中，AB=AC，，则cosA的值是．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：根据AB=AC可推断出B=C，进而利用三角形内角和可知cosA=cos（π﹣2B）利用诱导公式和二倍角公式化简整理，把cosB的值代入即可．解答：解：∵AB=AC，∴B=C∴cosA=cos（π﹣2B）=cos2B=2cos2B﹣1=﹣1=﹣故答案为：﹣点评：本题主要考查了三角形中的几何计算，二倍角公式的应用．考查了学生综合运用三角函数基础知识的能力．14．（2010•湖南模拟）已知点P是边长为2的等边三角形内一点，它到三边的距离分别为x、y、z，则x、y、z 所满足的关系式为x+y+z=3．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：设等边三角形的边长为a，高为h将P与三角形的各顶点连接，进而分别表示出三角形三部分的面积，相加应等于总的面积建立等式求得x+y+z的值．解答：解：设等边三角形的边长为a，高为h将P与三角形的各顶点连接根据面积那么：ax+ay+az=ah所以x+y+z=h因为等边三角形的边长为2，所以高为h=3所以x．y．z所满足的关系是为：x+y+z=3故答案为：3点评：本题主要考查了三角形中的几何计算．考查了学生综合分析问题的能力和转化和化归的思想．15．（2013•东莞二模）如图，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，AD切⊙O于A，若∠ABC=30°，AC=2，则AD的长为．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：根据已知可得△AOC是等边三角形，从而得到OA=AC=2，则可以利用勾股定理求得AD的长．解答：解：（2）∵OA=OC，∠AOC=60°，∴△AOC是等边三角形，∴OA=AC=2，∵∠OAD=90°，∠D=30°，∴AD=•AO=．故答案为：．点评：本题考查和圆有关的比例线段，考查同弧所对的圆周角等于弦切角，本题在数据运算中主要应用含有30°角的直角三角形的性质，本题是一个基础题．16．三角形ABC中，三个内角B，A，C成等差数列，∠B=30°，三角形面积为，则b=．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：先利用三个内角成等差数列求得A，根据，∠B=30°求得C，然后利用tan30°=表示出a，代入三角形面积公式求得b．解答：解：三角形ABC中，三个内角A，B，C成等差数列A+B+C=3A=180°∴∠A=60°∵∠A=30°，∴C=90S=ab=∵tan30°=∴a=∴b=故答案为：点评：本题主要考查了三角形的几何计算．考查了学生基础知识综合运用的能力．三．解答题（共12小题）17．在△ABC中，AC=b，BC=a，a＜b，D是△ABC内一点，且AD=a，∠ADB+∠C=π，问∠C为何值时，四边形ABCD的面积最大，并求出最大值．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：设出BD，利用余弦定理分别在△ABC，△ABD中表示出AB，进而建立等式求得b﹣x=2acosC代入四边形ABCD的面积表达式中，利用正弦函数的性质求得问题的答案．解答：解：设BD=x，则由余弦定理可知b2+a2﹣2abcosC=AB2=a2+x2+2axcosC∴b﹣x=2acosC．∵S=（absinC）﹣（axsinC）=a（b﹣x）sinC=a2•sin2C，∴当C=时，S有最大值．点评：本题主要考查了三角形的几何计算．注意灵活利用正弦定理和余弦定理以及其变形公式．18．（2010•福建模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，．（1）求sinC；（2）若c=2，sinB=2sinA，求△ABC的面积．考点：三角形中的几何计算；二倍角的正弦．专题：计算题．分析：（1）利用同角三角函数关系及三角形内角的范围可求；（2）利用正弦定理可知b=2a，再利用余弦定理，从而求出a、b的值，进而可求面积．解答：解：（1）由题意，，∴（2）由sinB=2sinA可知b=2a，又22=a2+b2﹣2abcosC，∴a=1，b=2，∴点评：此题考查学生灵活运用三角形的面积公式，灵活运用正弦、余弦定理求值，是一道基础题题．19．已知外接圆半径为6的△ABC的边长为a、b、c，角B、C和面积S满足条件：S=a2﹣（b﹣c）2和sinB+sinC=（a，b，c为角A，B，C所对的边）（1）求sinA；（2）求△ABC面积的最大值．考点：三角形中的几何计算；正弦定理的应用；余弦定理的应用．专题：计算题；综合题．分析：（1）由三角形的面积公式，结合余弦定理求出的值，进而有sinA=．（2）利用，结合正弦定理，求出b+c的值，利用三角形的面积公式和基本不等式求出面积的最大值．解答：解：（1）得进而有（2）∵，∴即所以故当b=c=8时，S最大=．点评：本题是中档题，考查三角函数的化简，正弦定理、余弦定理的应用，三角形的面积公式以及基本不等式的应用，考查计算能力，逻辑推理能力．20．（2010•东城区模拟）在△ABC中，A，B，C是三角形的三个内角，a，b，c是三个内角对应的三边，已知b2+c2﹣a2=bc．（1）求角A的大小；（2）若sin2B+sin2C=2sin2A，且a=1，求△ABC的面积．考点：三角形中的几何计算；正弦定理．专题：计算题．分析：（1）利用余弦定理和题设等式求得cosA的值，进而求得A．（2）利用正弦定理把题设中的正弦转化成边的关系，进而求得bc的值，最后利用三角形面积公式求得答案．解答：解：（1）因为b2+c2﹣a2=2bccosA=bc所以所以（2）因为sin2B+sin2C=2sin2A所以b2+c2=2a2=2因为b2+c2﹣a2=bc所以bc=1所以=点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．注意挖掘题设中关于边，角问题的联系．21．小迪身高1.6m，一天晚上回家走到两路灯之间，如图所示，他发现自己的身影的顶部正好在A路灯的底部，他又向前走了5m，又发现身影的顶部正好在B路灯的底部，已知两路灯之间的距离为10m，（两路灯的高度是一样的）求：（1）路灯的高度．（2）当小迪走到B路灯下，他在A路灯下的身影有多长？考点：三角形中的几何计算．专题：综合题．分析：（1）由题意画出简图，设CN=x，则QD=5﹣x，路灯高BD为h，利用三角形相似建立方程解德；（2）由题意当小迪移到BD所在线上（设为DH），连接AH交地面于E，则DE长即为所求的影长，利用三角形相似建立方程求解即可．解答：解：如图所示，设A、B为两路灯，小迪从MN移到PQ，并设C、D分别为A、B灯的底部．由题中已知得MN=PQ=1.6m，NQ=5m，CD=10m（1）设CN=x，则QD=5﹣x，路灯高BD为h∵△CMN∽△CBD，即⇒又△PQD∽△ACD即⇒由①②式得x=2.5m，h=6.4m，即路灯高为6.4m．（2）当小迪移到BD所在线上（设为DH），连接AH交地面于E．则DE长即为所求的影长．∵△DEH∽△CEA⇒⇒解得DE=m，即他在A路灯下的身影长为m．点评：此题考查了学生理解题意的能力，还考查了利用三角形相似及方程思想求解变量及学生的计算能力．22．（2008•徐汇区二模）在△ABC中，已知．（1）求AB；（2）求△ABC的面积．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：（1）求AB长，关键是求sinB，sinC，利用已知条件可求；（2）根据三角形的面积公式，故关键是求sinA的值，利用sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC可求解答：解：（1）设AB、BC、CA的长分别为c、a、b，，∴，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）因为．∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）故所求面积﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）点评：本题的考点是三角形的几何计算，主要考查正弦定理得应用，考查三角形的面积公式，关键是正确记忆公式，合理化简．23．在△ABC中，已知．（1）求出角C和A；（2）求△ABC的面积S；（3）将以上结果填入下表．C A S情况①情况②考点：三角形中的几何计算．专题：计算题；分类讨论．分析：（1）先根据正弦定理以及大角对大边求出角C，再根据三角形内角和为180°即可求出角A．（2）分情况分别代入三角形的面积计算公式即可得到答案；（3）直接根据前两问的结论填写即可．解答：解：（1）∵，…（2分）∵c＞b，C＞B，∴C=60°，此时A=90°，或者C=120°，此时A=30°…（2分）（2）∵S=bcsinA∴A=90°，S=bcsinA=；A=30°，S=bcsinA=．…（2分）（3）点评：本题主要考查三角形中的几何计算．解决本题的关键在于根据正弦定理以及大角对大边求出角C．24．（2007•上海）通常用a、b、c表示△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C所对边的边长，R表示△ABC外接圆半径．（1）如图所示，在以O为圆心，半径为2的⊙O中，BC和BA是⊙O的弦，其中BC=2，∠ABC=45°，求弦AB 的长；（2）在△ABC中，若∠C是钝角，求证：a2+b2＜4R2；（3）给定三个正实数a、b、R，其中b≤a，问：a、b、R满足怎样的关系时，以a、b为边长，R为外接圆半径的△ABC 不存在，存在一个或两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC存在的情况下，用a、b、R表示c．考点：三角形中的几何计算；解三角形．专题：计算题；数形结合．分析：（1）由正弦定理知===2R，根据题目中所给的条件，不难得出弦AB的长；（2）若∠C是钝角，故其余弦值小于0，由余弦定理得到a2+b2＜c2＜（2R）2，即可证得结果；（3）根据图形进行分类讨论判断三角形的形状与两边a，b的关系，以及与直径的大小的比较，分成三类讨论即可．解答：解：（1）在△ABC中，BC=2，∠ABC=45°===2R⇒b=2sinA=∵A为锐角∴A=30°，B=45°∴C=75°∴AB=2Rsin75°=4sin75°=；（2）∠C为钝角，∴cosC＜0，且cosC≠1cosC=＜0∴a2+b2＜c2＜（2R）2即a2+b2＜4R2（8分）（3）a＞2R或a=b=2R时，△ABC不存在当时，A=90，△ABC存在且只有一个∴c=当时，∠A=∠B且都是锐角sinA=sinB=时，△ABC存在且只有一个∴c=2RsinC=2Rsin2AC=当时，∠B总是锐角，∠A可以是钝角，可是锐角∴△ABC存在两个∠A＜90°时，c=∠A＞90°时，c=点评：本题考查三角形中的几何计算，综合考查了三角形形状的判断，解三角形，三角形的外接圆等知识，综合性很强，尤其是第三问需要根据a，b两边以及直径的大小比较确定三角形的形状．再在这种情况下求第三边的表达式，本解法主观性较强．难度较大．25．（2010•郑州二模）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，=（2b﹣c，cosC），=（a，cosA），且∥．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求2cos2B+sin（A﹣2B）的最小值．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：（Ⅰ）根据∥和两向量的坐标可求得，利用正弦定理把边转化成角的正弦，然后利用两角和公式化简整理求得cosA的值，进而求得A（Ⅱ）把A的值代入，利用两角和公式整理后，利用正弦函数的性质求得2cos2B+sin（A﹣2B）的最小值．解答：解：（Ⅰ）由得．由正弦定理得，．∴．∵A，B∈（0，π），∴sinB≠0，，∴．（Ⅱ）解：∵∴2cos2B+sin（A﹣2B）==，．2cos2B+sin（A﹣2B）的最小值为点评：本题主要考查了三角形中的几何计算，正弦定理的应用和两角和公式的化简求值．注意综合运用三角函数的基础公式，灵活解决三角形的计算问题．26．在△ABC中，A、B、C是三角形的内角，a、b、c是三内角对应的三边，已知，．（1）求∠A；（2）求△ABC的面积S．考点：正弦定理的应用；三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：（1）由已知结合正弦与余弦定理=化简可求b，由余弦定理可得，cosA=代入可求cosA，及A（2）代入三角形的面积公式可求解答：解：（1）∵∵∴=化简可得，b2﹣2b﹣8=0∴b=4由余弦定理可得，cosA==∴；（2）==点评：本题主要考查了解三角形的基本工具：正弦定理与余弦定理的应用，解题的关键是具备综合应用知识解决问题的能力27．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且（2a+c）cosB+bcosC=0．（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）若a+c=4，求△ABC面积S的最大值．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：（Ⅰ）利用正弦定理化简（2a+c）cosB+bcosC=0，得到三角形的角的关系，通过两角和与三角形的内角和，求出B的值；（Ⅱ）通过S=，利用B=以及a+c=4，推出△ABC面积S的表达式，通过平方法结合a的范围求出面积的最大值．解答：解（Ⅰ）由正弦定理得（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC=0，即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0得2sinACcosB+sin（C+B）=0，因为A+B+C=π，所以sin（B+C）=sinA，得2sinAcosB+sinA=0，因为sinA≠0，所以cosB=﹣，又B为三角形的内角，所以B=．（Ⅱ）因为S=，由B=及a+c=4得S===，又0＜a＜4，所以当a=2时，S取最大值…（3分）点评：本题是中档题，考查三角形面积的最值，三角形的边角关系，三角函数的公式的灵活应用，考查计算能力．28．已知△ABC的外接圆半径，a、b、C分别为∠A、∠B、∠C的对边，向量，，且．（1）求∠C的大小；（2）求△ABC面积的最大值．考点：三角函数的恒等变换及化简求值；三角形中的几何计算．专题：综合题．分析：（1）由，推出，利用坐标表示化简表达式，结合余弦定理求角C；（2）利用（1）中c2=a2+b2﹣ab，应用正弦定理和基本不等式，求三角形ABC的面积S的最大值．解答：解答：解：（1）∵∴且，由正弦定理得：化简得：c2=a2+b2﹣ab由余弦定理：c2=a2+b2﹣2abcosC∴，∵0＜C＜π，∴（2）∵a2+b2﹣ab=c2=（2RsinC）2=6，∴6=a2+b2﹣ab≥2ab﹣ab=ab（当且仅当a=b时取“=”），所以，．点评：本题考查数量积判断两个平面向量的垂直关系，正弦定理，余弦定理的应用，考查学生分析问题解决问题的能力，是中档题．。
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第一章 空间向量与立体几何易错点一：空间向量的加减运算1．已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AC 1的中点为O ,则下列命题中正确的是( ) A ．OA OD +与11OB OC +是一对相等向量 B ．OB OC -与11OA OD -是一对相反向量 C ．1OA OA -与1OC OC -是一对相等向量D ．OA OB OC OD +++与1111OA OB OC OD +++是一对相反向量2．已知在正方体1111ABCD A B C D -中，P ，M 为空间任意两点，如果1111764PM PB BA AA A D =++-，那么点M 必（ ） A ．在平面1BAD 内 B ．在平面1BA D 内 C ．在平面11BA D 内D ．在平面11AB C 内3．已知平行六面体ABCD-A'B'C'D',则下列四式中:①AB CB AC -=;②''''AC AB B C CC =++;③''AA CC =;④'''AB BB BC C C AC +++=. 其中正确的是_____.易错点二：空间向量的数量积1．平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）1111ABCD A B C D -所有棱长都为1，且1160,45,A AD A AB DAB ︒∠=∠=∠=︒则1BD =（ ） A ．31-B ．21-C ．32-D ．32-2．在空间直角坐标系O xyz -中，(0,0,0),(22,0,0),(0,22,0)O E F ，B 为EF 的中点，C 为空间一点且满足||||3CO CB ==，若1cos ,6EF BC <>=，，则OC OF ⋅=（ ） A ．9B ．7C ．5D ．33．设a b c ，，是单位向量，且0⋅＝a b ，则()()a cbc -⋅-的最小值为__________． 易错点三：用空间基底表示向量1．在三棱柱111A B C ABC -中，D 是四边形11BB C C 的中心，且1,,AA a AB b AC c ===，则1A D =（ ）A ．111222a b c ++B ．111222a b c -+C ．111222a b c +-D ．111222a b c -++2．如图，在三棱锥O ABC -中，点D 是棱AC 的中点，若OA a =，OB b =，OC c =，则BD 等于（ ）A ．1122a b c -+B ．a b c +-C ．a b c -+D ．1122a b c -+-3．如图，在空间四边形OABC 中，M ，N 分别为OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且3MG GN =，用向量OA 、OB 、OC 表示向量OG ，设OG x OA y OB z OC =⋅+⋅+⋅，则x 、y 、z 的和为______.易错点四：空间向量的坐标运算1．已知点A(3,3,-5),B(2,-3,1),C 为线段AB 上一点,且23AC AB = ,则点C 的坐标为( ) A ． 715(,,)222-B ． 3(,3,2)8-C ． 7(,1,1)3--D ． 573(,,)222-2．已知()1,1,2P -，()23,1,0P 、()30,1,3P ，则向量12PP 与13PP 的夹角是（ ）A ．30B ．45C ．60D ．903．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为D 1C 1，B 1C 1的中点，若以{}1,,AB AD AA 为基底，则向量AE 的坐标为___，向量AF 的坐标为___，向量1AC 的坐标为___.易错点五：空间向量运算的坐标表示1．在空间直角坐标系中，已知()1,2,3A ，()1,0,4B ，()3,0,5C ，()4,1,3D -，则直线AD 与BC 的位置关系是（ ） A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．无法判定2．已知A(1,2,3)，B(2,1,2)，C(1,1,2)，O 为坐标原点，点D 在直线OC 上运动，则当DA ·DB 取最小值时，点D 的坐标为A ．444,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．848,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．448,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．884,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭3．已知AB ＝(1，5，－2)，BC ＝(3，1，z )，若AB ⊥BC ，BP ＝(1x -，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x y +=________． 易错点六：空间位置关系的向量证明1．已知正方体1111ABCD A B C D -，E 是棱BC 的中点，则在棱1CC 上存在点F ，使得（ ） A ．1//AF D E B ．1AF D E ⊥ C ．//AF 平面11C D ED ．AF ⊥平面11C D E2．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M=AN=23a，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是（ ） A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定3．若直线l 1的方向向量为1u =(1,3,2),直线l 2上有两点A(1,0,1),B(2,-1,2),则两直线的位置关系是_____. 易错点七：异面直线夹角的向量求法1．如图所示，在三棱锥P –ABC 中，PA ⊥平面ABC ，D 是棱PB 的中点，已知PA =BC =2，AB =4，CB ⊥AB ，则异面直线PC ，AD 所成角的余弦值为A ．3010-B ．305-C ．305D ．30102．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，若E 为11D C 的中点，则11AC →与DE →所成角的余弦值为（ ）A ．1010B ．13C ．24D ．553．在三棱锥O ABC -中，已知OA 、OB 、OC 两两垂直且相等，点P 、Q 分别是线段BC 和OA 上的动点，且满足12BP BC ≤，12AQ AO ≥，则PQ 和OB 所成角的余弦的取值范围是___________.易错点八：线面角的向量求法A ．6πB ．3π C ．2π D ．56π2．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为棱1CC 的中点，则直线1B M 与平面11A D M 所成角的正弦值是（ ）A ．215B ．25 C ．35D ．453．在正四棱锥S -ABCD 中，O 为顶点在底面内的投影，P 为侧棱SD 的中点，且SO ＝OD ，则直线BC 与平面PAC 的夹角是________．易错点九：面面角的向量求法1．如图，在空间直角坐标系D xyz -中，四棱柱1111ABCD A B C D -为长方体，12AA AB AD ==，点E ，F 分别为11C D ，1A B 的中点，则二面角11B A B E --的余弦值为（ ）A ．33-B ．32-C ．33D ．322．如图，在空间直角坐标系Dxyz 中，四棱柱1111ABCD A B C D -为长方体， 12AA AB AD ==，点E 为11C D 的中点，则二面角11B A B E --的余弦值为（ ）A ．33-B ．32-C ．33D ．323．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上.若二面角1D EC D --的大小为4π，则AE =__________．第二章 直线和圆的方程易错点一：两条直线平行和垂直的判定1．若过点A (2,-2)，B (5,6)的直线与过点P (2m ,1)，Q (-1,-m )的直线平行，则m 的值为（ ） A ．-1B ．-513C ．2D ．122．若直线a ，b 的斜率分别为方程2410x x --=的两个根，则a 与b 的位置关系为（ ） A ．互相平行B ．互相重合C ．互相垂直D ．无法确定3．经过点A (1,2)和点B (-3,2)的直线l 1与经过点C (4,5)和点D (a ,-7)的直线l 2垂直，则a =________. 易错点二：直线的方程1．在x 轴和y 轴上的截距分别为4-和5的直线方程是（ ） A ．154x y +=- B ．145x y +=- C ．145x y +=- D ．154x y +=- 2．直线()2(2)232m x m m y m ++--=在x 轴上的截距为3，则实数m 的值为（ ）A ．65B ．6-C ．65-D ．63．过点P (1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为____________________. 易错点三：两条直线的交点坐标1．直线x －2y ＋3＝0与2x －y ＋3＝0的交点坐标为（ ） A ．(－1，1) B ．(1，－1) C ．(1，1)D ．(－1，－1)2．两条直线1l ：x =2和2l ：32120x y +-=的交点坐标是 A ．(2,3)B ．(2,3)-C ．(3,2)-D ．(3,2)-3．已知直线1:l 3250x y +-=与直线2:l 4110x ay +-=，且12l l ⊥，则直线1l 与直线2l 的交点坐标是______． 易错点四：两点间的距离公式1．点()2,5P -为平面直角坐标系内一点，线段PM 的中点是()1,0，那么点M 到原点O 的距离为（ ） A ．41B ．41C ．39D ．392．光线从点(3,5)A -射到x 轴上，经x 轴反射后经过点(2,10)B ，则光线从A 到B 的距离为 A ．52B ．25C ．510D ．1053．已知点()2,1A ，点()5,1B -，则AB =________． 易错点五：圆的方程1．以()3,1A -，()2,2B -为直径的圆的方程是 A ．2280x y x y +---= B ．2290x y x y +---= C ．2280x y x y +++-=D ．2290x y x y +++-=2．圆224630x y x y ++--=的标准方程为（ ） A ．22(2)(3)16x y -+-= B ．22(2)(3)16x y -++= C ．22(2)(3)16x y ++-=D ．22(2)(3)16x y +++=3．圆心为直线20x y -+=与直线280x y +-=的交点，且过原点的圆的标准方程是________． 易错点六：直线与圆的位置关系 1．直线y=x+1与圆x 2+y 2=1的位置关系为 A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．直线过圆心D ．相离2．已知过点P(2,2) 的直线与圆22(1)5x y -+=相切, 且与直线10ax y -+=垂直, 则a =（ ） A ．12-B ．1C ．2D ．123．直线()0kx y k k R --=∈与圆222x y +=交点的个数为______. 易错点七：圆与圆的位置关系1．圆M ：x 2+y 2+4x ＝0与圆N ：(x +6)2+(y ﹣3)2＝9的位置关系是（ ） A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离2．已知圆C 1：x 2+y 2+2x ﹣4y +4＝0，圆C 2：x 2+y 2﹣4x +4y ﹣1＝0，则圆C 1与圆C 2（ ） A ．相交B ．外切C ．内切D ．外离3．已知圆221:1C x y +=，圆222:2210C x y x y +--+=，则圆1C 与圆2C 的位置关系为______.第三章 圆锥曲线的方程易错点一：利用椭圆定义求方程1．椭圆的焦点坐标为(﹣5，0)和(5，0），椭圆上一点与两焦点的距离和是26，则椭圆的方程为（ ） A ．22+169144x y ＝1 B ．2144x +2169y ＝1C ．2169x +225y ＝1D ．2144x +225y ＝12．已知ABC 的两个顶点分别为(4,0),(4,0),A B ABC -的周长为18，则点C 的轨迹方程为（ ）A ．221(0)259x y y +=≠B ．221(0)259y x y +=≠C ．221(0)169x y y +=≠D ．221(0)169y x y +=≠3．已知圆221:(2)36F x y ++=，定点2(20)F ，，A 是圆1F 上的一动点，线段2F A 的垂直平分线交半径1F A 于P 点，则P 点的轨迹C 的方程是_____________. 易错点二：求椭圆的焦点1．若直线l ：2x ＋by ＋3＝0过椭圆C ：10x 2＋y 2＝10的一个焦点，则b 等于（ ） A ．1B ．±1C ．－1D ．±22．已知12,F F 分别为椭圆221169x y+=的左，右焦点，A 为上顶点，则12AF F △的面积为（ ）A ．6B ．15C ．67D ．373．设椭圆221129x y +=的短轴端点为1B 、2B ，1F 为椭圆的一个焦点，则112B F B ∠=________.易错点三：求椭圆的长轴、短轴1．已知椭圆9x 2+4y 2＝36，则其长轴长为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．92．椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 的值为（ ） A ．2B ．4C ．12D ．143．已知椭圆()2222:111x y C a a a +=>-的左，右焦点分别为1F ，2F ，点()0,6A ，椭圆C 短轴的一个端点恰为12AF F △的重心，则椭圆C 的长轴长为________. 易错点四：求椭圆的离心率或离心率的取值范围1．在Rt ABC 中，1AB AC ==，如果一个椭圆通过A ､B 两点，它的一个焦点为点C ，另一个焦点在AB 上，则这个椭圆的离心率e =（ ）A ．32-B ．21-C ．31-D ．63-2．曲率半径可用来描述曲线上某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大则曲线在该点处的弯曲程度越小.已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）上点()00,P x y 处的曲率半径公式为3222220044x y R a b a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．若椭圆C 上所有点相应的曲率半径的最大值是最小值的8倍，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．12B ．22C ．32D ．1443．已知椭圆M ：2222x y a b+＝1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆M 与坐标轴分别交于A ，B ，C ，D 四点，且从F 1，F 2，A ，B ，C ，D 这六点中，可以找到三点构成一个直角三角形，则椭圆M 的离心率的可能取值为__． ①512-；②312-；③32；④22． 易错点五：根据离心率求椭圆的标准方程 1．焦点在y 轴上的椭圆mx 2＋y 2＝1的离心率为32，则m 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．42．阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为,a b ，则椭圆的面积公式为S ab π=.若椭圆C 的离心率为32，面积为8π，则椭圆的C 的标准方程为（ ） A ．221164x y +=或221164y x +=B ．2211612x y +=或2211612y x += C ．221124x y +=或221124y x +=D ．221169x y +=或221916x y +=3．已知焦点在x 轴上的椭圆2215x y m +=的离心率105e =，则m 的值为______．易错点六：利用定义解决双曲线中焦点三角形问题1．已知O 为坐标原点，设12,F F 分别是双曲线221x y -=的左、右焦点，点P 为双曲线左支上任一点，自点1F 作12F PF ∠的平分线的垂线，垂足为H ，则||OH = A ．1B ．2C ．4D ．122．已知F 是双曲线C ：2213y x -=的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则APF 的面积为 A ．13B ．1 2C ．2 3D ．323．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：221x y -=的左､右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2=60°，则|PF 1|·|PF 2|等于________.易错点七：根据方程表示双曲线求参数的范围1．若方程22191x y k k +=--表示焦点在y 轴上的双曲线，则k 的取值范围为（ ）A ．9k >B ．1k <C ．19k <<D ．(1,5)(5,9)k ∈⋃2．已知方程2211-2x y m m +=+表示双曲线，则m 的取值范围是（ ）A ．(-1，+∞)B ．(2，+∞)C ．(-∞，-1)∪(2，+∞)D ．(-1，2)3．已知双曲线的一个焦点到其一条渐近线的距离为，则实数的值是_______．易错点八：根据a,b,c 求双曲线的标准方程1．过双曲线2222:1x y C a b-=的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于点A ，若以C 的右焦点为圆心，以2为半径的圆经过A ､O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为（ ） A ．2213x y -=B ．2213y x -=C ．22122x y -=D ．22126x y -=2．已知双曲线的渐近线方程为y=±2x,焦点坐标为(-6,0),(6,0),则双曲线方程为( ) A ．22x y 28-=1B ．22x y 82-=1C ．22x y 24-=1D ．22x y 42-=13．已知双曲线中心在原点，一个焦点为1(5,0)F -，点P 在双曲线上，且线段1PF 的中点坐标为（0，2），则此双曲线的方程是________________. 易错点九：求双曲线的焦点坐标1．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦点到渐近线的距离为1，且与椭圆22182x y +=有公共焦点.则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．77y x =±B ．7y x =±C ．55y x =±D ．5y x =±2．过双曲线221169x y -=的一个焦点F 作弦AB ，则11||||AF BF +的值等于（ ） A ．92B ．89C ．49D ．293．若双曲线22154x y -=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为________.易错点十：根据焦点或准线写出抛物线的标准方程1．已知抛物线22(0)y px p =>的准线与圆22(3)16x y -+=相切，则p 的值为 A ．12B ．1C ．2D ．42．以坐标轴为对称轴，焦点在直线34120x y --=上的抛物线的标准方程为（ ） A ．216x y =或212y x = B ．216y x =或212x y = C ．216y x =或212x y =-D ．216x y =或212y x =-3．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22145x y -=的右焦点重合，则实数p 的值为____．第四章 数列易错点一：判断或写出数列中的项 13,5,7,3,11,,21,n +51 ） A ．第12项B ．第13项C ．第14项D ．第25项2．已知数列{}n a 的通项公式为21nn a =+，则257是这个数列的（ ）A ．第6项B ．第7项C ．第8项D ．第9项3．已知数列210，4，…()231n -…，则8是该数列的第________项 易错点二：判断等差数列1．若{}n a 是等差数列，则下列数列中也成等差数列的是 A ．{}2n aB ．1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．{}3n aD ．{}n a2．数列{}n a 中，15a =，13n n a a +=+，那么这个数列的通项公式是（ ） A ．31n -B ．32n +C ．32n -D ．31n +3．给出下列命题，正确命题的是（ ）(多选题） A ．数列6，4，2，0是公差为2的等差数列； B ．数列1,23a a a a ---,,是公差为1-的等差数列；C ．等差数列的通项公式一定能写成n a kn b =+的形式(k ，b 为常数)；D ．数列{}()21n n N*+∈是等差数列．易错点三：等差数列通项公式的基本两计算1．在等差数列{a n }中，a 3＝2，d ＝6.5，则a 7＝（ ） A ．22B ．24C ．26D ．282．已知数列{}n a 是等差数列，若35715a a a ++=，8212a a -=，则10a 等于（ ） A ．10B ．12C ．15D ．183．三数成等差数列，首末两数之积比中间项的平方小16，则公差为__________． 易错点四：利用等差数列的性质计算1．在等差数列{a n }中，a 3+a 4+a 5＝6，则a 1+a 7＝（ ） A ．2B ．3C ．4D ．52．在等差数列{}n a 中，2510a a +=，3614a a +=，则58a a +=（ ） A ．12B ．22C ．24D ．343．在等差数列{}n a 中，194a a +=，那么238a a a ++⋅⋅⋅+等于______. 易错点五：等差数列前n 项和的基本量计算1．已知等差数列{}n a 的前5项和为25，且11a =，则7a =（ ） A ．10B ．11C ．12D ．132．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若254a a +=，7S =21，则7a 的值为 A ．6B ．7C ．8D ．93．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若63511a a =，则115SS =__________. 易错点六：等比数列通项公式的基本量计算1．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为2，若415S =，则6a 的值为（ ） A ．16B ．32C ．48D ．642．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33S =，621S =-，则1a =（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．23．设正项等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若423S S =，则q =_______________. 易错点七：求等比数列前n 项和1．已知数列{}n a 的通项公式212n n n a -=，则数列{}n a 的前5项和5S 等于（ ）A ．3132B ．2516C ．12932D ．211322．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a ，22a ，3a 成等差数列.若11a =，则3S =（ ） A ．15B ．7C ．8D ．163．对于数列{}n a ，若点()()n n a n ∈*N ,都在函数()2x f x =的图象上，则数列{}n a 的前4项和4S =___________.第五章 一元函数的导数及其应用易错点一：平均变化率1．设函数2()1f x x =-，当自变量x 由1变到1.1时，函数的平均变化率是（ ） A ．2.1B ．0.21C ．1.21D ．0.1212．函数1y x=在1x =到3x =之间的平均变化率为（ ） A ．23B ．23-C ．13-D ．133．函数()ln f x x =在区间[]1,e 上的平均变化率为_________. 易错点二：瞬时变化率的概率及辨析1．如果一个物体的运动方程为()()30s t t t =>，其中s 的单位是千米，t 的单位是小时，那么物体在4小时末的瞬时速度是（ ） A ．12千米/小时B ．24千米/小时C ．48千米/小时D ．64千米/小时2．已知某物体的运动方程是39t s t =+，则当3t s =时的瞬时速度是A ．2/m sB ．3/m sC ．4/m sD ．5/m s3．质点M 按规律()()21s t t =-做直线运动（位移单位：m ，时间单位：s ），则质点M 在3t s=时的瞬时速度为______（单位：/m s ）. 易错点三：导数定义中极限的简单计算 1．已知函数()sin f x a x =-，且0()()lim 2x f x f xππ∆→+∆-=∆，则实数a 的值为（ ）A ．2πB ．2π-C ．2D ．2-2．已知(1)1f '=，0(13)(1)lim x f x f x∆→+∆-∆等于（ ）A ．1B ．1-C ．3D ．133．已知()03f x '=，则()()0002limx x x f x f x∆→+∆-=∆______.易错点四：求曲线切线的斜率（倾斜角）1．已知函数()32f x x x =-，则()f x 在点()()1,1f 处的切线的倾斜角为 （ ）A ．34π B ．3π C ．4πD ．6π2．设()()22lim2x f x f x x∆→+∆--∆=-∆，则曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线的倾斜角是（ ）A ．4πB ．3π C ．34π D ．23π 3．已知函数()321313f x x x x =---+，则在曲线()y f x =的所有切线中，斜率的最大值为______.易错点五：基本初等函数的导数公式 1．若函数()31f x x =--，则()f x '=（ ） A ．0B ．3x -C ．3D ．3-2．函数()3ln 2x f x =+的导数为（ ） A ．3ln 3xB ．13ln 32x+C ．132x+D ．3x3．若()()23,f x x g x x ==，则满足()1()f x g x ''+=的x 值为________.易错点六：导数的运算1．已知函数2()2x f x x x xe =+-，则(0)f '=（ ） A ．1B ．0C ．1-D ．22．下列导数运算正确的是（ ） A ．()122x x x -'=⋅ B ．(sin cos 1)cos2x x x +=' C ．1(lg )x x'=D ．()12x x --'=3．已知函数2()x f x x e =，'()f x 为()f x 的导函数，则(1)f '的值为___________. 易错点七：用导数判断或证明已知函数的单调性 1．函数f (x )＝2x －sin x 在(－∞,＋∞)上是（ ） A ．增函数 B ．减函数 C ．先增后减D ．不确定2．已知()'f x 是定义在R 上的函数()f x 的导函数，且满足()()0xf x f x '+>对任意的x ∈R 都成立，则下列选项中一定正确的是（ ）A ．(2)(1)2f f >B ．(1)(2)2f f > C ．(2)(1)2f f <D ．(1)(2)2f f < 3．已知定义在()0,∞+上的函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足'()()f x x f x ⋅<，()30f =，则()0f x x>的解集为_________. 易错点八：求已知函数的极值1．函数y ＝x ＋1x(－2<x <0)的极大值为（ ）A ．－2B ．2C ．－52D ．不存在2．函数f (x )＝1－x ＋x 2的极小值为（ ） A ．1 B ．34C ．14D ．123．已知函数()ln f x x x =，则()y f x =的极小值为______． 易错点九：由导数求函数的最值1．函数f (x )＝x 2－4x ＋1在[1，5]上的最大值和最小值分别是（ ） A ．f （1），f （2） B ．f （2），f （5） C ．f （1），f （5）D ．f （5），f （2）2．关于函数3()f x x x =+，下列说法正确的是（ ） A ．没有最小值，有最大值 B ．有最小值，没有最大值 C ．有最小值，有最大值D ．没有最小值，也没有最大值3．已知函数2 ()2ln f x x x =-，则() f x 在[1,]e 上的最大值是__________．第六章 计数原理易错点1：分步标准不清致错典例 甲、乙、丙、丁4名同学争夺数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军，且每门学科只有1名冠军产生，则不同的冠军获得情况共有__64__种．易错点2：忽视排列数公式的隐含条件致误典例 解不等式A x8<6A x －28．由排列数公式得8！(8－x )！<6×8！(10－x )！，化简得x 2－19x ＋84<0，解之得7<x <12．∵x ∈N *，∴x ＝8,9,10,11．易错点3：重复计数与遗漏计数致误典例 6个人站成前、中、后三排，每排2人，则不同的排法有__720__种．易错点4：混淆“排列”与“组合”的概念致错典例 某单位需派人同时参加甲、乙、丙三个会议，甲需2人参加，乙、丙各需1人参加，从10人中选派4人参加这三个会议，不同的安排方法共有__2_520__种(用数字作答)．易错点5：计数时重复或遗漏致错典例 将4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的4个盒子中，则恰好有1个空盒子的放法有__144__种(用数字作答)．易错点6：混淆项的系数与二项式系数典例 设(x －2)n (n ∈N *)的展开式中第二项与第四项的系数之比为1∶2，求含x 2的项．易错点7：错用二项式系数的性质致误典例 (1＋2x )20的展开式中，x 的奇次项系数的和与x 的偶次项系数的和之比为__(320－1)∶(320＋1)__．第七章 随机变量及其分布列易错点1：误认为条件概率P (B |A )与积事件的概率P (AB )相同典例 袋中装有大小相同的6个黄色的乒乓球，4个白色的乒乓球，每次抽取一球，取后不放回，连取两次，求在第一次取到白球的条件下第二次取到黄球的概率．易错点2：概率计算公式理解不清而致误典例(多选题)若0<P(A)<1,0<P(B)<1，则下列式子中成立的为__BCD__．A．P(A|B)＝P(AB) P(A)B．P(AB)＝P(A)P(B|A)C．P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(A)P(B|A)D．P(A|B)＝P(B)P(A|B)P(A)P(B|A)＋P(A)P(B|A)易错点3：离散型随机变量的可能取值搞错致误典例小王参加一次比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个必答题，如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功．每过一关可一次性获得价值分别为1 000元，3 000元，6 000元的奖品(不重复得奖)用X表示小王所获奖品的价值，写出X的所有可能取值．易错点4：对离散型随机变量均值的性质理解不清致误典例若X是一个离散型随机变量，则E(E(X)－X)＝(A)A．0 B．1C．2E(X) D．不确定易错点5：要准确理解随机变量取值的含义典例某人有5把钥匙，其中只有一把能打开某一扇门，今任取一把试开，不能打开者除去，求打开此门所需试开次数X的均值和方差．易错点6：审题不清致误典例9粒种子分别种在3个坑内，每坑放3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．假定每个坑至多补种一次，求需要补种坑数的分布列．易错点7：对超几何分布的概念理解不透致错典例 盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，若取出的是次品不再放回，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数X 的分布列．易错点8：对正态曲线的性质理解不准确致错典例 设ξ～N (1,4)，那么P (5<ξ<7)＝__0.021_5__．第八章 成对数据的统计分析易错点1：概念不清致误典例 (2021·陕西西安高三月考)在一组成对样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )都在直线y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( D )A ．－1B ．0C ．12D ．1易错点2：生搬硬套求回归直线方程的步骤致错．典例 在一次抽样调查中测得样本的5个样本点数值如下表：x 0.25 0.5 1 2 4 y1612521试建立y 与x 之间的经验回归方程．易错点3：没有准确掌握公式中参数的含义致误典例 有甲、乙两个班级进行一门考试，按照学生考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如下的列联表班级与成绩列联表试问能有多大把握认为“成绩与班级有关系”？。
高一数学错题集锦与讲解
高一数学错题集锦与讲解1. 周长与面积题目：一个正方形的周长为16cm，求它的面积。
解析：设正方形的边长为a，则周长可以表示为4a，根据题目可得4a=16cm，解方程得到a=4cm。
正方形的面积可以表示为a²，代入已知的边长得到面积为4²=16cm²。
所以，这个正方形的面积为16平方厘米。
2. 相似三角形题目：两个三角形的两个内角分别为45°和90°，它们的两边分别成比例，则这两个三角形相似吗？解析：根据三角形的内角和定理可知，三角形的内角和为180°。
已知其中一个三角形的两个内角分别为45°和90°，则第三个内角为180°-45°-90°=45°。
另一个三角形的两个内角分别为45°和90°，则第三个内角也为45°。
因此，这两个三角形的内角完全相同，所以它们是相似三角形。
3. 平行线与相交线题目：如图，AB//CD，AD是两平行线AB和CD的相交线段。
已知∠ABC=80°，求∠CDA的度数。
解析：根据平行线的性质，平行线AB和CD之间的对应角是相等的。
所以∠ABC=∠CDA。
已知∠ABC=80°，代入已知条件可得∠CDA=80°。
4. 三角函数的计算题目：已知cosθ=1/2，求sinθ的值。
解析：根据三角函数的定义可知，sinθ=√(1-cos²θ)。
已知cosθ=1/2，代入公式可得sinθ=√(1-(1/2)²)=√(1-1/4)=√(3/4)=√3/2。
所以，sinθ的值为√3/2。
5. 数列的求和题目：求等差数列1, 4, 7, 10, …, 100的前n项和Sn。
解析：已知第一项a₁=1，公差d=3（等差数列的公差是指相邻两项之间的差值）。
根据等差数列的求和公式，Sn=n(a₁+an)/2。
高中数学必修一易错题、好题、难题梳理
数学必修一易错题、好题、难题前言：本人为衡水中学毕业生，高中三年记了很多错题本、积累本，高考之后不会再看了，但扔了可惜，所以现将当年积累的错题一点点整理出来，希望对各位学弟学妹有帮助。
如有错误，望告知。
⒈ 已知a ∈Z ，A={(x ,y ) | ax -y ≤3}且(2,1)∈A ，(1,-4)∉A ，则满足条件的a 的值为0或1或2. 解：∵(2,1)∈A ，∴2a -1≤3，∴a ≤2；∵(1,-4)∉A ，∴a +4>3，a ＞-1。
∵a ∈Z ，∴a 为0,1,2. ⒉ 已知集合A={x ∈R | ax 2-3x +2=0}.⑴若A=∅，求实数a 的取值范围；⑵若A 是单元素集，求a 得值及集合A ；⑶求集合P={a ∈R | a 使得A≠∅ }.解：⑴∵A=∅ ∴{a ≠0∆=9−8a <0，解得a >98. ⑵ ①当a =0时，-3x +2=0，解得x =23，∴A={23}.②{a ≠0∆=9−8a =0，解得a =89，∴A={43}. 综上所述，当a =0时，A={23}；当a =98时，A={43}.⑶由⑴可知，a ≤98.⒊ 已知集合A={x ∈R|mx 2−2x +3=0,m ∈R }，若A 重元素至多有一个，求m 的取值范围.解：①当m =0时，-2x +3=0，∴x =32. ②{m ≠0∆=4−12m ≤0，解得m ≥13. 综上所述，m 的取值范围为m ≥13或m =0. ⒋ 用列举法表示集合B={a 9−x ∈N|x ∈N}.解：B={1,3,9}.⒌ 设B={1,2}，A={x|x ⊆B }，则A 与B 的关系是 B ∈A .解析：∵x ⊆B ，∴x ={{1},{2},{1,2},∅}，∴B ∈A.⒍ 已知集合A={x|x 2−2x −3=0}，B={x|ax −1=0}，若B ⊆A ，则实数a 的值构成的集合是{-1,0,13}.解析：此题容易落掉B=∅的情况，当B=∅时，a =0.7 若{x|2x −a =0,a ∈N }⊆{x|−1<x <3}，则a 的所有取值组成的集合为{0,1,2,3,4,5}. 解析：x =a 2，∴-1<a 2<3，即-2<a <6，又∵a ∈N ，∴a =0，1,2,3,4,5.⒏ 设集合A={1,a,b }，B={a,a 2,ab }，且A=B ，实数a 的值为 -1 .解析：①{a 2=1ab =b，解得a =±1，∵a ≠1，∴a =-1，此时b =0. ②{a 2=b ab =1，此种情况不成立. ⒐ 已知集合A={x|0<x <3}，B={x|m <x <4−m }，且B ⊆A ，则实数m 满足的条件是 m ≥1.解析：当B=∅时，m ≥4-m ，m ≥2；当B ≠∅时{m ≥04−m ≤3m <4−m ，解得{m ≥0m ≥1m <2，综上所述，m ≥1.⒑ 设集合A={−1,1}，试用列举法写出下列集合.⑴ B={(x,y )|x,y ∈A } ⑵ C={x|x ⊆A }解：B={(−1,−1),(1,1),(−1,1),(1,−1)}. C={∅,{−1},{1},{(−1,1)}}.⒒ 已知三元素集合A={x,xy,x −y }，B={0,|x |,y }，且A=B ，求x 与y 的值.解：∵x ≠0，y ≠0，∴xy ≠0，∴x -y =0，∴{x =yx −y =0xy =|x|，解得x =y =±1. 当x =1时，A={1,1,0}（舍去）；当x =-1时，A={-1,1,0}，B={0,1,-1}.综上所述，x 与y 的值均为-1.⒓ A={x|x 2+4x =0}，B={x|x 2+2(a +1)x +a 2−1=0}.⑴ 若A ⊆B ，求a 的值； ⑵ 若B ⊆A ，求a 的值.解：A={0,-4}.⑴ ∵A ⊆B ，∴B={0,-4}，∴{−4=−2(a +1)0=a 2−1，解得a =1. ⑵ ∵B ⊆A ，∴①若B=∅，∆=8a +8<0，∴a <-1.②若B 为单元素集，即B={0}或{-4}，∴∆=8a +8=0，a =-1，∴x 2=0，x =0，B={0}.③若A=B ，则a =1.综上所述，a ≤-1或a =1.⒔ 已知集合A={x|−2≤x ≤5}，非空集合B={x|m +1≤x ≤2m −1}，且B ⊆A ，求m 的取值集合.解：∵B ⊆A 且B 为非空集合，∴{m +1≥−22m −1≤5m +1≤2m −1，解得2≤m ≤3，即m 的取值集合为{m|2≤m ≤3}.⒕ 已知集合A={x|ax 2−3x −4=0,x ∈R }.⑴若A 中有两个元素，求实数a 的取值范围；⑵若A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围.解：⑴∵A 中有两个元素，∴{a ≠0∆=9+16a >0，∴a >-916且a ≠0. ⑵当a =0时，-3x -4=0，∴x =-43；当a ≠0时，∆=9+16a ≤0，∴a ≤-916.综上所述，a 的取值范围为a ≤-916或a =0.⒖ 设集合A={2, a }，B={a 2-2, 2}，若A=B ，则实数a 的取值范围为{-1}.解析：∵A=B ，∴a 2-2=a ，∴a 1=-1，a 2=2. ∵a ≠2，∴a =-1.⒗ 已知A ⊆B ，其中A={x|ax −1=0,a ∈R }，若A=B ，则实数a 的取值集合为{-1,0,1}. 解析：因为A ⊆B ，∴①当A=∅时，a =0；②当A ≠∅时，a =±1. ∴a 为{-1,0,1}.⒘ 已知全集U=R ，A={x|−2≤x ≤3}，B={x|x −a >0}，A ⊆B ，求a 的取值范围. 解：a <-2.⒙ 设全集I={(x,y )|x,y ∈R }，集合M={(x,y )|y−3x−2=1}，N={(x,y )|y ≠x +1}，那么(∁I M )∩(∁I N)等于{(2,3)}.解析：M={(x,y )|y =x +1,x ≠2,y ≠3}，∴M ∪ N={(x,y )|x ≠2,y ≠3}，∴∁I (M ∪N )={(2,3)}.⒚ 设数集M={x|m ≤x ≤m +34}，N={x|n −13≤x ≤n}，且M ，N 都是集合{x|0≤x ≤1}的子集，如果把b -a 叫做集合{x|a ≤x ≤b }的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是（112）. 解析：∵M ⊆{x|0≤x ≤1}，∴0≤m ≤34，∵N ⊆{x|0≤x ≤1}，∴23≤n ≤1，∴M ∩N={x|23≤x ≤34}，∴长度为112.⒛ 若{x ∈R|x 2+2(a +1)x +a 2−1=0}⊆{x|x 2=0}，则实数a 的取值范围是a ≤−1. 解析：① ∆=4(a 2+2a +1)-4(a 2-1)<0，∴a <-1；② ∆=4(a 2+2a +1)-4(a 2-1)=0，∴a =-1.综上所述，a ≤-1.。
高一数学必修一集合错题集
第一讲 集合与函数概念对应练习1（对应易错点1、易错点2、易错点3）已知集合A ＝{x |x 2－1＝0}，则下列式子表示正确的有( )①1∈A ②{－1}∈A ③∅⊆A ④{1，－1}⊆AA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 答案：答案：C C解析：A ＝{x |x 2－1＝0}＝{1，－1}．∴①③④均正确．对应练习2（对应易错点5）集合A ＝{y |y ＝x 2＋1}，集合B ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}(A ，B 中x ∈R ，y ∈R )，选项中元素与集合的关系都正确的是( )A ．2∈A ，且2∈BB ．(1,2)∈A ，且(1,2)∈BC ．2∈A ，且(3,10)∈BD ．(3,10)∈A ，且2∈B 答案C解析：集合A 中元素y 是实数，不是点，故选项B ，D 不对．集合B 的元素(x ，y )是点而不是实数，2∈B 不正确，所以A 错．错．对应练习3（对应易错点8、易错点9）已知集合M ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R }，N ＝{x |y ＝x ＋1}，则M 与N 之间的关系( )A ．M ⊆NB ．M ∈NC ．M ＝ND ．M 与N 关系不确定关系不确定答案：A解析：∵M ＝{y |y ≥1}，N ＝{x |x ≥－1}，∴M ⊆N .对应练习4（对应易错点15）集合A ＝{y |y ＝x 2＋1}，集合B ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}(A ，B 中x ∈R ，y ∈R )，选项中元素与集合的关系都正确的是( )A ．2∈A ，且2∈BB ．(1,2)∈A ，且(1,2)∈BC ．2∈A ，且(3,10)∈BD ．(3,10)∈A ，且2∈B答案：C解析：集合A 中元素y 是实数，不是点，故选项B ，D 不对．集合B 的元素(x ，y )是点而不是实数，2∈B 不正确，所以A 错．错．对应练习5（对应易错点6）已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2－x ＋2m ＝0}．若A ∩B ＝B ，求m 的取值范围．的取值范围．答案：m >18.解析：(1)由题意得A ＝{1,2}．因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A .①当B ＝∅时，方程x 2－x ＋2m ＝0无实数解，因此其判别式Δ＝1－8m <0，即m >18； ②当B ＝{1}或B ＝{2}时，方程x 2－x ＋2m ＝0有两个相同的实数解x ＝1或x ＝2，因此其判别式Δ＝1－8m ＝0，解得m ＝18，代入方程x 2－x ＋2m ＝0解得x ＝12，矛盾，显然m ＝18不符合要求；不符合要求；③当B ＝{1,2}时，方程x 2－x ＋2m ＝0有两个不相等的实数解x ＝1或x ＝2，因此1＋2＝1,2m ＝2.显然第一个等式不成立．显然第一个等式不成立．综上所述，m >18. 对应练习6（对应易错点11）下列各图中，可表示函数y ＝f (x )图象的只可能是( )答案：D 解析：由函数的定义“对于自变量x 每取一个值都有唯一的一个y 值与之对应”知 答案：D. 对应练习7（对应易错点12、易错点13、易错点20）已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2.(1)求f (x )在区间[12，3]上的最大值和最小值；上的最大值和最小值； (2)若g (x )＝f (x )－mx 在[2,4]上是单调函数，求m 的取值范围．的取值范围．答案：(1) 在区间[12，3]上 最大值是5，最小值是1. (2) m 的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞)． 解析：(1)∵f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[12，3]，∴ f (x )的最小值是f (1)＝1.又f (12)＝54，f (3)＝5， ∴f (x )的最大值是f (3)＝5， 即f (x )在区间[12，3]上的最大值是5，最小值是1.(2)∵g (x )＝f (x )－mx ＝x 2－(m ＋2)x ＋2，∴m ＋22≤2或m ＋22≥4，即m ≤2或m ≥6. 故m 的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞)．对应练习8（对应易错点14）已知f (x )＝îïíïìx ＋1，x ≥04x ，x <0，若f (a )＝2，则实数a ＝________. 答案：1解析：∵当a ≥0时，f (a )＝a ＋1＝2，∴a ＝1.∵当a <0时，f (a )＝4a ＝2，∴a ＝12(舍去舍去))． 对应练习9（对应易错点13）已知函数f (3x －2)的定义域是[－2,0)，则函数f (x )的定义域是__________；若函数f (x )的定义域是(－2,4]，则f (－2x ＋2)的定义域是__________．答案：[－8，－2) [－1,2)解析：∵f (3x －2)的定义域是[－2,0)，∴f (3x －2)中的x 满足－2≤x ＜0.∴－8≤3x －2＜－2.∴f (x )的定义域是[－8,2)．∵f (x )的定义域是(－2,4]，∴－2＜x ≤4.∴f (－2x ＋2)中，－2＜－2x ＋2≤4，即－1≤x ＜2.∴f (－2x ＋2)的定义域是[－1,2)．答案：[－8，－2) [－1,2)对应练习10（对应易错点15）若f (x )是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是减函数，则f (－32)与f (a 2＋2a ＋52)的大小关系是( ) A ．f (－32)＞f (a 2＋2a ＋52) B ．f (－32)≥f (a 2＋2a ＋52) C ．f (－32)＜f (a 2＋2a ＋52) D ．f (－32)≤f (a 2＋2a ＋52) 答案：B解析：∵a 2＋2a ＋52＝(a ＋1)2＋32≥32， 又函数f (x )为偶函数，f (－32)＝f (32)，f (x )在(0，＋∞)上为减函数． ∴f (－32)≥f (a 2＋2a ＋52)． 对应练习11（对应易错点17）已知集合A ＝{x |ax －1＝0}，B ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，且A ⊆B ，求实数a 的值．的值．答案：a ＝0或1或12.解析：B ＝{1,2}，且A 为∅或单元素集合，由A ⊆B ⇒A 可能为∅，{1}，{2}．(1)A ＝∅⇒a ＝0；(2)A ＝{1}⇒a ＝1；(3)A ＝{2}⇒a ＝12. 综上得a ＝0或1或12. 对应练习12（对应易错点18、易错点19）已知函数f(x)＝îïíïì(a －3)x ＋5，x ≤1，2a x，x>1 是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( ) A ．(0,3)B ．(0,3]C ．(0,2)D ．(0,2]答案：D解析：由题意可知îïíïì a －3<0，a>0，a －3＋5≥2a ，解得0<a ≤2.对应练习13（对应易错点4）.已知U ＝{0,2，x 2－2}，∁U A ＝{2，x }，则A ＝________. 答案：{－2}或{0}解析：∵(∁U A )⊆U ，∴x ∈U 且x ≠2. 当x ＝0时，U ＝{0,2，－2}，∁U A ＝{0,2}，A ＝{－2}． 当x ＝x 2－2时得x ＝－1或x ＝2(舍去) x ＝－1时，U ＝{0,2，－1}，∁U A ＝{2，－1}，A ＝{0}．。
高一数学必修一易错题集锦答案.docx
高一数学必修一易错题集锦答案1.已知集合M二{y|y =了+1, x《R},N二{y|y =x+1, x£R},贝!j MAN=() 解：M={y|z=/+l, xUR} = {y|yNl}, N二{y|y二x+1, x《R}={y |y《R}./.MnN=(y|y^l} Pl (y | (y《R)}二{y| yNl},注:集合是由元素构成的,认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x| y=x2 +1}、(y| y^x + l,x《R}、{(x, *) |尸丁+1, x《R},这三个集合是不同的.2 .已知A={才|对一3*+2=0}, B={x|宓一2=0}且AUB=A,求实数a组成的集合C.解：VAUB=A ABC A 又A={x| 对一3x+2二0} = {1, 2) 或{1}或{2}.・.C={0, 1, 2)3o 已知/Z7G A, 77G B,且集合A= (x I x = la.a G z] , B=[x I 尤=2Q +1,Q e Z},又C=(x I 尤=4。
+ 1,。
€ Z},则有：»(填A, B, C 中的一个): • mW A, • • nF%a、,ai € Z, 3^ • n w B , • • 72^2<32+1, & € Z ,.■.777+72=2(ai+a2)+1, iTU ai+a2e Z , .♦.mneB。
4已知集合A={x|x2—3x—10W0},集合B={x|p+lWxW2p—1}.若BOA,求实数p 的取值范围.解：①当BN巾时，即p+lW2p—inpN2.由BUA 得：一2Wp+1 且2p-lW5.由一3WpW3. .I 2WpW3②当Bf 时，即p+l>2p—inp<2.由①、②得：pW3.点评：从以上解答应看到：解决有关ADB=。
、AUB=巾，ACB等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题.5已知集合A={a, a+b, a+2b}, B={a, ac, ac2}. A-B,求c 的值.分析：要解决c的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式.解：分两种情况进行讨论.(1)若a+b=ac 且a+2b=ac?,消去b 得：a+ac2—2ac=0,a=0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a夭0.2c +1=0,即c=l,但c=l时，B中的三元素又相同，此时无解.(2)若a+b=ac，且a+2b=ac,消去b 得：2ac' —ac —a=0,aT^O, 2c2—c —1=0,即(c —1) (2c + l)=0,又c乂1,故c=——.2点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验.6设A是实数集，满足若aeA,则—£A, a*l且&A.1— G⑴若2eA,则A 中至少还有几个元素？求出这几个元素⑵A 能否为单元素集合？请说明 理由.⑶若a 《A,证明：1 —上司.⑷求证：集合A 中至少含有三个不同的元素.a 解：(D2eA n -leA n 上 eA n 2eA2・・・A 中至少还有两个元素：一1和上2⑵如果A 为单元素集合，贝U a= ----- 即。
高一数学易错题85道(经典)
则．故
44. 函数的单调减区间为
。
解答：，令，函数的定义域为函数的单调减区间为
说明：此题考查基本函数的导数及导数的运算法则
45. 一个膨胀中的球形气球，其体积的膨胀率恒为，则但其半径增至
时，半径的增长率是
.
解答：
说明：考查对导数概念的理解能力
46. 若函数在内单调递减，则实数a的范围为____________.
判断角所在的象限.
23. 已知
.
说明：本题考查了倍角公式的应用，在公式应用是注意符号的取
舍，特别关注的是角的范围.
24. 已知
.
说明：本题通过降冪联想到三角函数的基本公式和倍角公式进行化
简求值.
25. 要得到函数只需将函数的图像
.
解：，图像向右平移个单位就得到的图像.
说明：本题考查三角函数的平移变换，掌握“左加右减”法则，以及正
可取回的钱的总数（元）为
．
正确答案：] 错因： 学生对存款利息的计算方法没掌握。
43. 定义一个“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它后一项的积
都是同一常数，那么这个数列叫“等积数列”，这个常数叫做这个数列的
公积．
已知数列是等积数列，且，公积为5，则这个数列的前项和的计算
公式为：
．
解：这个数列为2，，2，，2，，…，若是偶数，则，若是奇数，
余弦之间的转化是解决问题的关键.
26. 已知有最小值，无最大值，则
。
说明：本题考查正弦的对称轴及周期，以及正弦图像的知识。
27. 将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
[高一数学易错点]高一数学易错题
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[高一数学易错点]高一数学易错题高一数学易错点(一)易错点1 遗忘空集致误由于空集是任何非空集合的真子集，因此B=∅时也满足B⊆A.解含有参数的集合问题时，要特别注意当参数在某个范围内取值时所给的集合可能是空集这种情况.易错点2 忽视集合元素的三性致误集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求.易错点3 混淆命题的否定与否命题命题的“否定”与命题的“否命题”是两个不同的概念，命题p的否定是否定命题所作的判断，而“否命题”是对“若p，则q”形式的命题而言，既要否定条件也要否定结论.易错点4 充分条件、必要条件颠倒致误对于两个条件A，B，如果A⇒B成立，则A是B的充分条件，B是A 的必要条件;如果B⇒A成立，则A是B的必要条件，B是A的充分条件;如果A⇔B，则A，B互为充分必要条件.解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性，所以在解决这类问题时一定要根据充分条件和必要条件的概念作出准确的判断.易错点5 “或”“且”“非”理解不准致误命题p∨q真⇔p真或q真，命题p∨q假⇔p假且q假(概括为一真即真);命题p∧q真⇔p真且q真，命题p∧q假⇔p假或q假(概括为一假即假);綈p真⇔p假，綈p假⇔p真(概括为一真一假).求参数取值范围的题目，也可以把“或”“且”“非”与集合的“并”“交”“补”对应起来进行理解，通过集合的运算求解.易错点6 函数的单调区间理解不准致误在研究函数问题时要时时刻刻想到“函数的图像”，学会从函数图像上去分析问题、寻找解决问题的方法.对于函数的几个不同的单调递增(减)区间，切忌使用并集，只要指明这几个区间是该函数的单调递增(减)区间即可.易错点7 判断函数的奇偶性忽略定义域致误判断函数的奇偶性，首先要考虑函数的定义域，一个函数具备奇偶性的必要条件是这个函数的定义域关于原点对称，如果不具备这个条件，函数一定是非奇非偶函数.易错点8 函数零点定理使用不当致误如果函数y=f(某)在区间[a，b]上的图像是一条连续的曲线，并且有f(a)f(b)<0，那么，函数y=f(某)在区间(a，b)内有零点，但f(a)f(b)>0时，不能否定函数y=f(某)在(a，b)内有零点.函数的零点有“变号零点”和“不变号零点”，对于“不变号零点”函数的零点定理是“无能为力”的，在解决函数的零点问题时要注意这个问题.易错点9 导数的几何意义不明致误函数在一点处的导数值是函数图像在该点处的切线的斜率.但在许多问题中，往往是要解决过函数图像外的一点向函数图像上引切线的问题，解决这类问题的基本思想是设出切点坐标，根据导数的几何意义写出切线方程.然后根据题目中给出的其他条件列方程(组)求解.因此解题中要分清是“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”.易错点10 导数与极值关系不清致误f′(某0)=0只是可导函数f(某)在某0处取得极值的必要条件，即必须有这个条件，但只有这个条件还不够，还要考虑是否满足f′(某)在某0两侧异号.另外，已知极值点求参数时要进行检验.高一数学易错点(二)易错点1 三角函数的单调性判断致误对于函数y=Ain(ω某+φ)的单调性，当ω>0时，由于内层函数u=ω某+φ是单调递增的，所以该函数的单调性和y=in某的单调性相同，故可完全按照函数y=in某的单调区间解决;但当ω<0时，内层函数u=ω某+φ是单调递减的，此时该函数的单调性和函数y=in某的单调性相反，就不能再按照函数y=in某的单调性解决，一般是根据三角函数的奇偶性将内层函数的系数变为正数后再加以解决.对于带有绝对值的三角函数应该根据图像，从直观上进行判断.易错点2 图像变换方向把握不准致误函数y=Ain(ω某+φ)(其中A>0，ω>0，某∈R)的图像可看作由下面的方法得到：(1)把正弦曲线上的所有点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度;(2)再把所得各点横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的1ω倍(纵坐标不变);(3)再把所得各点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0易错点3 忽视零向量致误零向量是向量中最特殊的向量，规定零向量的长度为0，其方向是任意的，零向量与任意向量都共线.它在向量中的位置正如实数中0的位置一样，但有了它容易引起一些混淆，稍微考虑不到就会出错，考生应给予足够的重视.易错点4 向量夹角范围不清致误解题时要全面考虑问题.数学试题中往往隐含着一些容易被考生所忽视的因素，能不能在解题时把这些因素考虑到，是解题成功的关键，如当a·b<0时，a与b的夹角不一定为钝角，要注意θ=π的情况.易错点5 an与Sn关系不清致误在数列问题中，数列的通项an与其前n项和Sn之间存在下列关系：an=S1，n=1，Sn-Sn-1，n≥2.这个关系对任意数列都是成立的，但要注意的是这个关系式是分段的，在n=1和n≥2时这个关系式具有完全不同的表现形式，这也是解题中经常出错的一个地方，在使用这个关系式时要牢牢记住其“分段”的特点.易错点6 对等差、等比数列的定义、性质理解错误等差数列的前n项和在公差不为零时是关于n的常数项为零的二次函数;一般地，有结论“若数列{an}的前n项和Sn=an2+bn+c(a，b，c∈R)，则数列{an}为等差数列的充要条件是c=0”;在等差数列中，Sm，S2m-Sm，S3m-S2m(m∈N某)是等差数列.易错点7 数列中的最值错误数列问题中其通项公式、前n项和公式都是关于正整数n的函数，要善于从函数的观点认识和理解数列问题.数列的通项an与前n项和Sn的关系是高考的命题重点，解题时要注意把n=1和n≥2分开讨论，再看能不能统一.在关于正整数n的二次函数中其取最值的点要根据正整数距离二次函数的对称轴的远近而定.易错点8 错位相减求和时项数处理不当致误错位相减求和法的适用条件：数列是由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积所组成的，求其前n项和.基本方法是设这个和式为Sn，在这个和式两端同时乘以等比数列的公比得到另一个和式，这两个和式错一位相减，就把问题转化为以求一个等比数列的前n项和或前n-1项和为主的求和问题.这里最容易出现问题的就是错位相减后对剩余项的处理.易错点9 不等式性质应用不当致误在使用不等式的基本性质进行推理论证时一定要准确，特别是不等式两端同时乘以或同时除以一个数式、两个不等式相乘、一个不等式两端同时n次方时，一定要注意使其能够这样做的条件，如果忽视了不等式性质成立的前提条件就会出现错误.易错点10 忽视基本不等式应用条件致误利用基本不等式a+b≥2ab以及变式ab≤a+b22等求函数的最值时，务必注意a，b为正数(或a，b非负)，ab或a+b其中之一应是定值，特别要注意等号成立的条件.对形如y=a某+b某(a，b>0)的函数，在应用基本不等式求函数最值时，一定要注意a某，b某的符号，必要时要进行分类讨论，另外要注意自变量某的取值范围，在此范围内等号能否取到.高一数学易错点(三)易错点1 解含参数的不等式时分类讨论不当致误解形如a某2+b某+c>0的不等式时，首先要考虑对某2的系数进行分类讨论.当a=0时，这个不等式是一次不等式，解的时候还要对b，c进一步分类讨论;当a≠0且Δ>0时，不等式可化为a(某-某1)(某-某2)>0，其中某1，某2(某10，则不等式的解集是(-∞，某1)∪(某2，+∞)，如果a<0，则不等式的解集是(某1，某2).易错点2 不等式恒成立问题处理不当致误解决不等式恒成立问题的常规求法是：借助相应函数的单调性求解，其中的主要方法有数形结合法、变量分离法、主元法.通过最值产生结论.应注意恒成立与存在性问题的区别，如对任意某∈[a，b]都有f(某)≤g(某)成立，即f(某)-g(某)≤0的恒成立问题，但对存在某∈[a，b]，使f(某)≤g(某)成立，则为存在性问题，即f(某)min≤g(某)ma某，应特别注意两函数中的最大值与最小值的关系.易错点3 忽视三视图中的实、虚线致误三视图是根据正投影原理进行绘制，严格按照“长对正，高平齐，宽相等”的规则去画，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的原分界线，且分界线和可视轮廓线都用实线画出，不可见的轮廓线用虚线画出，这一点很容易疏忽.易错点4 面积、体积的计算转化不灵活致误面积、体积的计算既需要学生有扎实的基础知识，又要用到一些重要的思想方法，是高考考查的重要题型.因此要熟练掌握以下几种常用的思想方法.(1)还台为锥的思想：这是处理台体时常用的思想方法.(2)割补法：求不规则图形面积或几何体体积时常用.(3)等积变换法：充分利用三棱锥的任意一个面都可作为底面的特点，灵活求解三棱锥的体积.(4)截面法：尤其是关于旋转体及与旋转体有关的组合问题，常画出轴截面进行分析求解.易错点5 随意推广平面几何中的结论致误平面几何中有些概念和性质，推广到空间中不一定成立.例如“过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直”“垂直于同一条直线的两条直线平行”等性质在空间中就不成立.易错点6 对折叠与展开问题认识不清致误折叠与展开是立体几何中的常用思想方法，此类问题注意折叠或展开过程中平面图形与空间图形中的变量与不变量，不仅要注意哪些变了，哪些没变，还要注意位置关系的变化.易错点7 空间点、线、面位置关系不清致误关于空间点、线、面位置关系的组合判断类试题是高考全面考查考生对空间位置关系的判定和性质掌握程度的理想题型，历来受到命题者的青睐，解决这类问题的基本思路有两个：一是逐个寻找反例作出否定的判断或逐个进行逻辑证明作出肯定的判断;二是结合长方体模型或实际空间位置(如课桌、教室)作出判断，但要注意定理应用准确、考虑问题全面细致.易错点8 忽视斜率不存在致误在解决两直线平行的相关问题时，若利用l1∥l2⇔k1=k2来求解，则要注意其前提条件是两直线不重合且斜率存在.如果忽略k1，k2不存在的情况，就会导致错解.这类问题也可以利用如下的结论求解，即直线l1：A1某+B1y+C1=0与l2：A2某+B2y+C2=0平行的必要条件是A1B2-A2B1=0，在求出具体数值后代入检验，看看两条直线是不是重合从而确定问题的答案.对于解决两直线垂直的相关问题时也有类似的情况.利用l1⊥l2⇔k1·k2=-1时，要注意其前提条件是k1与k2必须同时存在.利用直线l1：A1某+B1y+C1=0与l2：A2某+B2y+C2=0垂直的充要条件是A1A2+B1B2=0，就可以避免讨论.易错点9 忽视零截距致误解决有关直线的截距问题时应注意两点：一是求解时一定不要忽略截距为零这种特殊情况;二是要明确截距为零的直线不能写成截距式.因此解决这类问题时要进行分类讨论，不要漏掉截距为零时的情况.易错点10 忽视圆锥曲线定义中的条件致误利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件.如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值;其二，2a<|F1F2|.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支. 看了<高一数学易错点>的人还看了：1.高一数学必修一易错点2.高一数学期末考易错知识点总结3.高一数学知识点总结4.高一数学不等式知识点总结5.高一上数学知识点总结。
高考状元数学错题本：第1章集合易错题含解析
我的高考数学错题本第1章 集合易错题易错点1 遗忘空集致误由于空集是任何非空集合的真子集，在解题中如果思维不够缜密就有可能忽视了B =∅这种情况，导致解题结果错误．【例 1】 设2{|230}A x x x =--=，{|10}B x ax =-=，B A ⊆，求的值．【错解】 {3,1}A =-,1{}B a =，从而13a =或1-． 【错因】忽略了集合B =∅的情形【正解 】当B ≠∅时，得13a =或1-；B =∅时，得0a =．所以13a =或1a =-或0a =． 【纠错训练】已知{|23}A x a x a =≤≤+，{|15}B x x x =<->或，若=AB ∅，求a 的取值范围． 【解析】由=A B ∅，（1）若A =∅，有23a a >+，所以3a >．（2）若A ≠∅，则有213523a a a a ≥-⎧⎪+≤⎨⎪≤+⎩，解得122a -≤≤． 综上所述，的取值范围是1{|23}2x a a -≤≤>或． 易错点2 忽视集合元素的三要素致误集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求．【例2】已知集合{1,4,}A a =,2{1,,}B a b =，若A B =，求实数，的值．【错解】由题意得，24a a b ⎧=⎨=⎩，解得22a b =⎧⎨=⎩或22a b =-⎧⎨=-⎩． 【错因】本题误认为两个集合相等则对应项相同，这显然违背了集合的无序性．【正解】∵A B =，由集合元素的无序性，∴有以下两种情形：（1）24a a b ⎧=⎨=⎩，解得22a b =⎧⎨=⎩或22a b =-⎧⎨=-⎩； （2）24a a b ⎧=⎨=⎩，解得04a b =⎧⎨=⎩或12a b =⎧⎨=-⎩，经检验12a b =⎧⎨=-⎩与元素互异性矛盾，舍去．∴22a b =⎧⎨=⎩或22a b =-⎧⎨=-⎩或04a b =⎧⎨=⎩．【例3】 已知集合{1,4,}A a =,集合2{1,}B a =，若B A ⊆，求的值．【错解】24a =或2a a =，解得2a =±或0a =或1a =．【错因】没有将计算结果代回到集合中检验，忽略了集合中元素的互异性，导致出现了增解．【正解】24a =或2a a =，解得2a =±或0a =或1a =，经检验当1a =时，{1,4,1}A =，与集合中元素的互异性相矛盾，舍去，所以2a =±或0a =．【纠错训练】已知集合{1,2}A =，{|30}B x ax =-=，若B A ⊆，则实数的值是（ ）A ．30,,32B ．0,3C ． 3,32D ．【解析】若B A ⊆，则集合B 是集合A 的子集，当B =∅，显然0a =；当B ≠∅时，解得3B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则有31a=或32a =，解得3a =或32a =，即的值为30,,32，选A ．易错点3 弄错集合的代表元【例4】已知{}| 1 A y y x ==+，{}22(,)|1B x y x y =+=，则集合A B 中元素的个数为________．【错解】 1个或无穷多个【错因】没有弄清集合B 的代表元的含义【正解】集合A 是一个数集，集合B 是一个点集，二者的交集为空集，所包含的元素个数为0．【例5】已知函数()y f x =，[,]x a b ∈，那么集合{(,)|(),[,]}{(,)|2}x y y f x x a b x y x =∈=中元素的个数为（ ）A ．1 A ．0 C ．0或1 D ．1或2【错解】不知题意，无从下手，蒙出答案D【错因】没有弄清两个集合打代表元，事实上，{|()}x y f x =、{|()}y y f x =、{(,)|()}x y y f x =分别表示函数()y f x =的定义域、值域、函数图象上的点的坐标组成的集合．【正解】本题中集合的含义是两个图象交点的个数，从函数值的唯一性可知，两个集合的交中之多有一个交点，故选C ．【纠错训练】1．已知集合2{|1}A y y x ==+，{|2}B x y =，则A B =_______________． 【解析】{|1}A y y =≥，{|0}B x x =≥，所以{|1}A B x x =≥．【纠错训练】2．设集合{(,)|25}A x y x y =+=，{(,)|23}B x y x y =-=-，则A B =______．【解析】由2523x y x y +=⎧⎨-=-⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩，从而{(1,2)}A B =．易错点4 忽略了题目中隐含的限制条件【例6】【2015高考陕西，理1】设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N =（ ）A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(,1]-∞ 【错解】{}{}20,1x x x M ===，{}{}lg 01x x x x N =≤=≤，所以(,1]M N =-∞，故选D ．【错因】在解lg 0x ≤时，忽略了0x >这个隐含的限制条件． 【正解】{}{}20,1x x x M ===，{}{}lg 001x x x x N =≤=<≤，所以[]0,1M N =，故选A ．【纠错训练】【2015高考重庆，理4】“1x >“是“12log (2)0x +<”的（ ）A 、充要条件B 、充分不必要条件C 、必要不充分条件D 、既不充分也不必要条件 【解析】12log (2)0211x x x +<⇔+>⇔>-，因此选B ．易错点5 集合的交并运算弄反【例7】【2015高考山东，理1】已知集合{}2430A x x x =-+<，{}24B x x =<<,则A B =（） A ．（1，3） B ．（1，4） C ．（2，3） D ．（2，4） 【错解】因为{}13A x x =<<，{}24B x x =<<，所以{}14A B x x =<<，故选B ．【错因】将集合的“交运算”误认为是“并运算”．【正解】{}{}{}132423A B x x x x x x =<<<<=<<，故选C ．【纠错训练】【2015高考四川，理1】设集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<，集合{|13}B x x =<<，则A B =（ ）A ．{|13}x x -<<B ．{|11}x x -<<C ．{|12}x x <<D ．{|23}x x <<【解析】{|12},{|13},{|13}A x x B x x A B x x =-<<=<<∴=-<<，故选A ．【错题巩固】1．设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N =（ ）A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(,1]-∞A 【解析】2{|}{0,1}M x x x ===，{|lg 0}{|01}N x x x x =≤=<≤，所以M N =[0,1]．故选A ．2．集合A = { x | x < a }，B = { x | 1 < x < 2}，若A B =R R ð，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ≤1B ．a < 1C ．a ≥2D ．a > 2 C 【解析】{|1,2}B x x x =≤≥R 或ð，因为A B =R R ð，所以a ≥2，选C.3．已知A ={x | -2≤x ≤5}, B =a +1,2a -1].若B A ⊆，则实数的取值范围是______．【解析】易知B ≠∅，所以应满足21521211a a a a -≤+⎧⎪≥-⎨⎪->+⎩，解得2<a ≤3．故实数的取值范围是(2,3].4．已知A ={x | -2≤x ≤5},B ={x | a +1≤x ≤2a -1}.若B A ⊆，则实数的取值范围是______．3a ≤【解析】①当B =∅时，即121a a ＋＞－，有a ＜2；②当B ≠∅，则21521211a a a a -≤+⎧⎪≥-⎨⎪-≥+⎩，解得2≤a ≤3.综合①②得a 的取值范围为a ≤3.5．已知集合A ＝14(,]a a-，集合B ＝1(,2]2-．若B A ⊆，则实数的取值范围是______． 02a <≤【解析】1411242a a aa ⎧-<⎪⎪⎪-≤-⎨⎪⎪≥⎪⎩，解得02a <≤，所以实数a 的取值范围为02a <≤． 6．知集合2[2,2],{|430}A a a B x x x =-+=-+≤，AB ，则实数的取值范围是01a <<【解析】122322aa a a ≤-⎧⎪+≤⎨⎪-<+⎩，得01a <≤，当1=a ，[1,3],[1,3]A B ==不符合，所以01a <<。
高中数学80个易错题汇总
高中数学易错点梳理一、集合与简易逻辑易错点1 对集合表示方法理解存在偏差【问题】1: 已知A = {x | x > 0}, B = {y y > 1}，求A B 。
错解：A B =Φ剖析：概念模糊，未能真正理解集合的本质。
正确结果：A B =B【问题】2: 已知A = {y | y =x + 2}, B = {(x, y) | x 2 +y 2 = 4} ，求A B 。
错解： A B = {(0, 2), (-2, 0)}正确答案：A B =Φ剖析：审题不慎，忽视代表元素，误认为A 为点集。
反思：对集合表示法部分学生只从形式上“掌握”，对其本质的理解存在误区，常见的错误是不理解集合的表示法，忽视集合的代表元素。
易错点2 在解含参数集合问题时忽视空集【问题】: 已知A = {x | 2a <x <a 2}, B = {x | -2 <x < 1} ，且A ⊆B ，求a 的取值范围。
错解：[-1，0）剖析：忽视A =∅的情况。
正确答案：[-1，2]反思：由于空集是一个特殊的集合，它是任何集合的子集，因此对于集合A ⊆B 就有可能忽视了A =∅，导致解题结果错误。
尤其是在解含参数的集合问题时，更应注意到当参数在某个范围内取值时，所给的集合可能是空集的情况。
考生由于思维定式的原因，往往会在解题中遗忘了这个集合，导致答案错误或答案不全面。
易错点3 在解含参数问题时忽视元素的互异性【问题】: 已知1∈{ a + 2 , (a +1)2 , a2 + 3a +3 }，求实数a 的值。
错解：a =-2, -1, 0剖析：忽视元素的互异性，其实当a =-2 时，(a +1)2 = a2 + 3a + 3 =1；当a =-1时，a + 2 = a2 + 3a + 3 =1；均不符合题意。
正确答案：a = 0反思：集合中的元素具有确定性、互异性、无序性，集合元素的三性中的互异性对解题的影响最大，特别是含参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。
高考数学易错题专项训练(一)
高考数学易错题专项训练(一)一、正误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)1.若A⊆B，但∃x∈B，且x∉A，则A是B的真子集；∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.()2.A⊆B说明集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素.()3.若集合A中含有n个元素，则集合A的子集的个数为2n个，真子集的个数为2n－1个，非空真子集的个数为2n－2个.()4.交集的补集等于补集的并集，即∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)；并集的补集等于补集的交集，即∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B).()5.A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔A⊆B．()6.若p⇒q且q⇒/p，则p是q的充分不必要条件，綈p是綈q的必要不充分条件.()7.全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题.()8.否命题是原命题的条件与结论同时否定，命题的否定是仅仅否定原命题的结论，而命题的条件不变.()9.函数y＝f(x)的零点是方程f(x)＝0的实数根，所以方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.()10.函数y＝f(x)的图象与直线x＝a(a∈R)的交点可能是0个、1个或2个.()11.f(x)为奇函数⇔f(x)的图象关于原点对称，f(x)为偶函数⇔f(x)的图象关于y轴对称.存在既是奇函数又是偶函数的函数：f(x)＝0.()12.奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性.()13.若满足f(x＋a)＝f(x－a)，则f(x)是周期函数，T＝2a；若满足f(x＋a)＝1f（x），则f(x)是周期函数，T＝2a(a≠0，a为常数).()14.若f(a＋x)＝f(a－x)，则y＝f(x)的图象关于x＝a对称；如果f(x)满足f(x)＝－f(2a－x)，则函数f(x)的图象关于点(a，0)对称.()15.函数y＝a x与y＝log a x(a>0，a≠1)的图象关于直线y＝x对称，且两函数在各自定义域上具有相同的单调性.()16.如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上有f(a)·f(b)<0，那么函数f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0.如果f(x)在(a，b)上单调，则y＝f(x)在(a，b)内有唯一的零点.()17.在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递增；如果f′(x)<0.那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递减.()18.函数f(x)在x0处有f′(x0)＝0，且在点x＝x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则f(x0)叫做函数y＝f(x)的极大值；若在点x＝x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则f(x0)叫做函数y＝f(x)的极小值，函数的极大值可能会小于函数的极小值.()19.f′(x0)是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线斜率，相应的切线方程是y－y0＝f′(x0)(x－x0).()20.f′(x)≥0是可导函数f(x)在x∈(a，b)内是增函数的充要条件；f′(x0)＝0是可导函数在x＝x0处取得极值的必要条件.()二、矫正训练(一)选择题(共10小题)1.集合A＝{x||x＋1|≤3}，B＝{y|y＝x，0≤x≤4}.则下列关系正确的是()A ．A ∪B ＝R B ．A ⊆∁R BC ．B ⊆∁R AD ．∁R A ∁R B2.已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3是幂函数且是(0，＋∞)上的增函数，则m 的值为( )A ．2B ．－1C ．－1或2D ．03.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A ．y ＝x 2＋sin xB ．y ＝x 2－cos xC ．y ＝2x ＋12xD ．y ＝x ＋sin 2x 4.设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(1，＋∞) C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪(13，＋∞) 5.已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a6.设函数f (x )＝⎩⎨⎧3x －1，x ＜1，2x ，x ≥1.则满足f (f (a ))＝2f (a )的取值范围是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1 B ．[0，1] C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．[1，＋∞) 7.如图是函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的部分图象，则函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点所在的区间是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 B ．(1，2) C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D ．(2，3) 8.已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．－2C ．3或－2D ．129.已知命题p ：“∀x ∈[1，2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x ∈R ，使x 2＋2ax ＋2－a ＝0”，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |a ≤－2或a ＝1}B ．{a |a ≤－2}C ．{a |a ≤－2或1≤a ≤2}D ．{a |－2≤a ≤1}10.已知函数y ＝f (x )是定义在实数集R 上的奇函数，且当x >0，f (x )＋xf ′(x )>0(其中f ′(x )是f (x )的导函数)，设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 124f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 124，b ＝2f (2)，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 15f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 15，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >b >cD ．a >c >b(二)填空题(共6小题)11.已知命题p ：x 2－2x －3<0，命题q ：x >a ，若命题p 是命题q 的充分条件，则实数a 的取值范围是________.12.如果f ′(x )是二次函数，且f ′(x )的图象开口向上，顶点坐标为(1，3)，那么曲线y ＝f (x )上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是________.13.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧（a －2）x －1，x ≤1，log a x ，x >1.若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________.14.若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________.15.若函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2，(a ＞0且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________.16.已知f (x )＝x e x ，g (x )＝－(x ＋1)2＋a ，若∃x 1，x 2∈R ，使得f (x 2)≤g (x 1)成立，则实数a 的取值范围是________.参考答案一、1.√ 2.√ 3.√ 4.√ 5.√ 6.√ 7.√ 8.√9.√10.×解析：不符合函数的定义，不会有2个及2个以上的交点.11.√ 12.√ 13.√ 14.√ 15.√16.×解析：不满足零点存在定理的条件，即没有明确图象是连续不断的一条曲线.17.√18.×解析：没有理解函数的极大(小)值的概念，本题把极大值与极小值定义弄反了.19.√20.×解析：错误理解函数单调性与导数的关系.二、1.解析：没有分析清楚集合中的元素导致错误.D [A ＝{x ||x ＋1|≤3}＝{x |－4≤x ≤2}，B ＝{y |y ＝x ，0≤x ≤4}＝{y |0≤y ≤2}，所以∁R B ＝{y |y >2或y <0}，∁R A ＝{x |x <－4或x >2}，所以∁R A∁R B ，选D ．] 2.解析：容易遗漏幂函数的系数是1，且当α>0时，g ＝x α在(0，＋∞)上为增函数而导致错误.B [因为函数为幂函数，所以m 2－m －1＝1，即m 2－m －2＝0，解得m ＝2或m ＝－1.因为幂函数在(0，＋∞)上是增函数，所以－5m －3>0，即m <－35，所以m ＝－1.选B ．]3.解析：判断函数的奇偶性时，应注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称，这一点易忽略.A [函数f (x )＝x 2＋sin x 的定义域为R ，关于原点对称，因为f (1)＝1＋sin 1，f (－1)＝1－sin 1，所以函数f (x )＝x 2＋sin x 既不是奇函数，也不是偶函数；函数f (x )＝x 2－cos x 的定义域为R ，关于原点对称，因为f (－x )＝(－x )2－cos(－x )＝x 2－cos x ＝f (x )，所以函数f (x )＝x 2－cos x 是偶函数；函数f (x )＝2x ＋12x 的定义域为R ，关于原点对称，因为f (－x )＝2－x ＋12－x ＝12x ＋2x ＝f (x )，所以函数f (x )＝2x ＋12x 是偶函数；函数f (x )＝x ＋sin 2x 的定义域为R ，关于原点对称，因为f (－x )＝－x ＋sin(－2x )＝－x －sin 2x ＝－f (x )，所以函数f (x )＝x ＋sin 2x 是奇函数.故选A ．]4.解析：此类问题易于忽略的是首先判断函数的奇偶性和单调性，从而避免讨论.A [由 f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2可知f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上增函数，所以f (x )＞f (2x －1)⇔f (|x |)＞f (|2x －1|)⇔|x |＞|2x －1|⇔13＜x ＜1，故选A ．]5.解析：此类问题易于忽略的是判断函数的单调性和转化到同一单调区间上讨论问题.C [因为函数f (x )＝2|x －m |－1为偶函数，所以m ＝0，即f (x )＝2|x |－1，所以a ＝f (log 0.53)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 213＝f (log 23) b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )＝f (0)，因为log 25＞log 23＞0，而f (x )＝2|x |－1在[0，＋∞)上为增函数，所以c ＜a ＜b ，故选C ．]6.解析：忽略了由f (f (a ))＝2f (a )直接得到f (a )≥1，从而解不等式或利用数形结合的方法解决问题.C [由f (f (a ))＝2f (a )可知f (a )≥1，则⎩⎨⎧a ≥12a ≥1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜13a －1≥1，解得a ≥23，答案选C ．] 7.解析：忽略利用函数的图象求出a ，b 的范围导致错误.C [由函数图象可知0<b <1，f (1)＝0，从而－2<a <－1，f ′(x )＝2x ＋a ，所以g (x )＝ln x ＋2x ＋a ，函数g (x )＝ln x ＋2x ＋a 在定义域内单调递增，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln 12＋1＋a <0，g (1)＝ln 1＋2＋a >0，所以函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点所在的区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，选C ．] 8.解析：忽略函数的定义域导致错误.A [函数的定义域为(0，＋∞)，函数的导数为y ′＝x 2－3x ，由y ′＝x 2－3x ＝12，得x 2－x －6＝0，解得x ＝3或x ＝－2(舍去)，选A ．]9.解析：不能分析清楚存在与恒成立的区别导致错误.A [由x 2－a ≥0，得a ≤x 2，x ∈[1，2]，所以a ≤1.要使q 成立，则有Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a 2＋a －2≥0，解得a ≥1或a ≤－2.因为命题“p ∧q ”是真命题，则p ，q 同时为真，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ≥1或a ≤－2，即a ≤－2或a ＝1，选A ．] 10.解析：不会构造函数，不能判断函数的奇偶性导致错误.C [令函数F (x )＝xf (x )，则函数F (x )＝xf (x )为偶函数.当x >0时，F ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )>0，此时函数递增，则a ＝F (log 124)＝F (－log 24)＝F (－2)＝F (2)，b ＝F (2)，c ＝F ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 15＝F (－lg 5)＝F (lg 5)，因为0<lg 5<1<2<2，所以a >b >c ，选C ．] 11.解析：忽略从集合的角度解决充要条件的应用问题而导致错误.(－∞，－1] [M ＝{x |x 2－2x －3<0}＝{x |－1<x <3}，因为N ＝{x |x >a }且M ⊆N ，所以有a ≤－1.]12.解析：忽略倾斜角的范围以及正切函数的单调性导致错误.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2 [由题意可设f ′(x )＝a (x －1)2＋3，(a >0)，即函数切线的斜率为k ＝f ′(x )＝a (x －1)2＋3≥3，即tan α≥3，所以π3≤α<π2.]13.解析：忽略了第一段函数的最大值小于或等于第二段函数的最小值导致错误.(2，3][要使函数f (x )在R 上单调递增，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a －2>0，f （1）≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a >2，a －2－1≤0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a >2，a ≤3.解得2<a ≤3，即a 的取值范围是(2，3].]14.解析：忽略函数的f (x )极大值＝f (－1)＝2＋a >0，f (x )极小值＝f (1)＝a －2<0导致错误. (－2，2) [由f (x )＝x 3－3x ＋a ＝0，得f ′(x )＝3x 2－3，当f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，由图象可知f (x )极大值＝f (－1)＝2＋a ，f (x )极小值＝f (1)＝a －2，要使函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有三个不同的零点，则有f (x )极大值＝f (－1)＝2＋a >0，f (x )极小值＝f (1)＝a －2<0，即－2<a <2，所以实数a 的取值范围是(－2，2).]15.解析：分段函数的值域是各段函数值域的并集，应首先求出各段函数的值域，易于忽略. (1，2] [当x ≤2，故－x ＋6≥4，要使得函数f (x )的值域为[4，＋∞)，只需f 1(x )＝3＋log a x (x ＞2)的值域包含于[4，＋∞)，故a ＞1，所以f 1(x )＞3＋log a 2，所以3＋log a 2≥4，解得1＜a ≤2，所以实数a 的取值范围是(1，2].]16.解析：由于是存在性的问题，易忽略g (x )的最大值大于或等于f (x )的最小值导致错误. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1e ，＋∞ [f ′(x )＝e x ＋x e x ＝(1＋x )e x ，当x >－1时，f ′(x )>0函数递增；当x <－1时，f ′(x )<0函数递减，所以当x ＝－1时f (x )取得极小值即最小值f (－1)＝－1e .函数g (x )的最大值为a ，若∃x 1，x 2∈R ，使得f (x 2)≤g (x 1)成立，则有g (x )的最大值大于或等于f (x )的最小值，即a ≥－1e .]。
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1.已知()21tan ,tan ,544παββ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值2.已知55sin =α，() ︒∈90,0α ，tan β＝31(1)求tan α的值； (2)求tan(α＋2β)的值．3.y=sinx,x ∈[-π，2π]的图象与直线y=21的交点有（ ）。
A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个、 4、函数sin(2)3y x π=+图像的对称轴方程可能是（ ）A ．6x π=-B ．12x π=-C ．6x π=D ．12x π=5设函数()R x x x f ∈⎪⎭⎫⎝⎛-=,22sin π，则()x f 是(A) 最小正周期为π的奇函数 (B) 最小正周期为π的偶函数 (C) 最小正周期为2π的奇函数 (D) 最小正周期为2π的偶函数6.设M 和m 分别表示函数y=31cosx －1的最大值和最小值，则M+m 等于（ ） A ．32 B. ﹣32 C. ﹣34D. ﹣27．已知53sin =α，则⎪⎭⎫⎝⎛+απ2sin 的值为（ ） A ．54± B ．54- C ．54 D ． 53-8函数2()sin (2)4f x x π=-的最小正周期是9（2010全国卷1文数)已知α为第二象限的角，3sin 5a =,则tan 2α= .10.已知函数()sin()(0,0)f x A x A ϕϕπ=+><<,x R ∈的最大值是1, 其图像经过点1,32M π⎛⎫⎪⎝⎭. (1)求()f x 的解析式; (2)已知,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且312(),()513f f αβ==,求()f αβ-的值.11.若函数]20[cos 22sin 3)(2π，m x x x f 在区间++=上的最大值为6，求常数m 的值及此函数当R x ∈时的最小值及取得最小值时x 的集合。
12.设tan ,tan αβ是方程2320x x -+=的两个根,则tan()αβ+的值为（ ） A ．3- B ．1-C ．1D ．313．已知sin cos αα-=,α∈(0,π),则sin 2α=（ ）A ．-1B ．2-C ．2D ．114．若sin cos 1sin cos 2αααα+=-,则tan2α=（ ）A ．-34B ．34C ．-43D ．4315．函数f(x)=sinx-cos(x+6π)的值域为（ ）A ．[ -2 ,2]B ．．[-1,1 ] D ．[-2 , 2]16．已知(,),sin 2παπα∈=,则tan 2α=______17．函数sin()cos()26y x x ππ=+-的最大值为 ______________________________18.已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．19.设函数).2sin 3,(cos ),1,cos 2(,)(m x x x x f +==⋅=b a b a 其中向量（1）求函数],0[)(π的最小正周期和在x f 上的单调递增区间； （2）当m x f x 求实数恒成立时,4)(4,]6,0[<<-∈π的取值范围。
20. (2010广州二模文数)在长为3m 的线段AB 上任取一点P , 则点P 与线段两端点A 、B 的距离都大于1m 的概率是 A.14 B.13 C. 12 D.2321．(2010广州一模文数)在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体1111ABCD A B C D -内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为A ．12πB ．112π-C ．6π D ．16π-22.(2011广州二模文数)在区间()0,1内任取两个实数，则这两个实数的和大于13的概率为 A ．1718 B ．79 C ．29 D ．11823．(2012广州一模文数)在△ABC 中，60ABC ∠=，2AB =，3BC =，在BC 上任取一点D ，使△ABD 为钝角三角形的概率为 A ．16 B ．13 C ．12 D ．2324.2010年山东第18题）已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ．（Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令b n =211n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T ．25.设数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2，}{n b 为等比数列，且.)(,112211b a a b b a =-=（Ⅰ）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （Ⅱ）设nnn b a c =，求数列}{n c 的前n 项和T n{}(){}()()()()()1122111123522(13).112212(61)6:已知数列中，，，其前项和满足，令求数列的通项公式；若，求：．例证---+-==+=+≥=⋅==++⋯+<≥n n n n n n n n n n x n n a a a n S S S S n b a a a f x T b f b f b f n n已知{a n }是公差不为0的等差数列，它的前9项和990S =，且248,,a a a 成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）若数列{a n }和{b n }满足等式：31223...3333n n nb b b b a =++++(n 为正整数)，求数列{b n }的前n 项和n T .求下列函数的定义域、值域：（1）2log (3)y x =+； （2）22log (3)y x =-；（3）2log (47)a y x x =-+（0a >且1a ≠）1．若a ∈R ，则“3a = ”是“29a = ”的（ ）条件A ．充分且不必要B ．必要且不充分C ．充分且必要D ．既不充分又不必要 2．下列函数是偶函数的是（ ）A ．y sinx =B ．3y x =C ．xy e = D ．y =3．已知向量p ()23=-，，q ()6x =，，且//p q ，则p q +的值为（ ）A B C ．5 D ．13 4.设{n a } 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，且12380a a a =，则111213a a a ++等于（ ）A ．120B ． 105C ． 90D ．755.已知双曲线22221x y a b-=的一个焦点与抛物线2y =的焦点重合，且双曲线的离心率等于3，则该双曲线的方程为（ ） A ．2219y x -= B ．221x y -= 5 C ．2219x y -= D ．22199x y -= 6.已知,m n 是两条不同直线，αβγ，，是三个不同平面，下列命题中正确的有（ ）A . m n m n αα若，，则‖‖‖； B . αγβγαβ⊥⊥若，，则‖； C . m m αβαβ若，，则‖‖‖； D . m n m n αα⊥⊥若，，则‖．7.已知幂函数()y f x =的图象过点1(2，则4log (2)f 的值为（ ） A ．14 B ．－14C ．2D ．－2 8设直线1l 的参数方程为113x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），直线2l 的方程为y=3x+4则1l 与2l 的距离为_______。
9、若直线112,:()2.x t l t y kt =-⎧⎨=+⎩为参数与直线2,:12.x s l y s =⎧⎨=-⎩（s 为参数）垂直，则k = 10.直线12()2x tt y t=+⎧⎨=+⎩为参数被圆229x y +=截得的弦长为（ ）A ．125 B 11.在ABC ∆中，已知角334,2245===b c B ，，则角A 的值是 A.15 B.75 C.105 D.75或15 12、在△ABC 中,=︒=︒=c b a B A ::,60,30则若 13.在△ABC 中，若3a = 2b sin A ，则∠B 为( ) A.3π B.6π C.6π或6π5 D.3π或3π2 14.已知ABC ∆中，A 、B 、C 的对边分别a 、b 、.c 若,26+==c a 且︒=75A ，则b2.A 26.-B 324.-C 324.+D15．（福建）在ABC ∆中，.53tan ,41tan ==B A 求（1）求C 的大小；（2）在ABC ∆最大边的边长为17，求最小边的边长。
DC 1A 1B 1CBA如图（1），ABC ∆是等腰直角三角形，4AC BC ==，E 、F 分别为AC 、AB 的中点，将AEF ∆沿EF 折起， 使A '在平面BCEF 上的射影O 恰为EC 的中点，得到图（2）． （1）求证：EF A C '⊥； （2）求三棱锥BC A F '-的体积．如图,在三棱柱111-ABC A B C 中，侧棱1AA ⊥底面ABC ,,⊥AB BC D 为AC 的中点,12A A AB BC ===.（1）求证：1//AB 平面1BC D ； （2）求证：1BD DC ⊥；(3) 求四棱锥11-B AA C D 的体积.如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ；四边形ABCD 是菱形，边长为2，60BCD ︒∠=，经过AC 作与PD 平行的平面交PB 与点E ，ABCD 的两对角线交点为F ．（Ⅰ）求证：AC DE ⊥；（Ⅱ）若EF =D 到平面PBC 的距离．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB DC ∥，PAD △是等边三角形，已知28BD AD ==，2AB DC ==（Ⅰ）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求四棱锥P ABCD -的体积．CDEPFBABCMPD。