第三章 刚体和流体的运动
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第 3 章 刚体和流体的 运动
1
本章的主要内容是研究刚体的转动，尤其是定轴 转动。 核心内容： • 刚体的转动惯量 • 定轴转动的转动定理 • 定轴转动的功能原理 • 定轴转动的角动量守恒
这些内容同学们最不熟悉，请同学们先预习。
2
§3-1 刚体模型及其运动
一. 刚体——力学中物体的一种理想模型。
注意： 1 改变刚体转动状态，产生角加速度的原因是 力矩，而不是力！
如果说：作用于刚体的力越大，则刚体的角加速
度一定大，则错。
20
2
一旦
M J 为瞬间作用规律。
M J
特别强调：系统所受合外力为零， M 外 不一定
3 M 和 J ，均对同一转轴而言。 4 M代表作用于刚体的合外力矩， M M 外
2
若棒绕一端o转动，由平行轴 定理， 则转动惯量为 1 l 2 1 2 2 J o ml m ( ) ml 12 2 3
图3-5 o
27
(2)均质细圆环(m, R)绕中心轴转动时，其转动 惯量为
Jc
环
R 2 dm mR 2
R
dm (3)均质圆盘(m,R)绕中心轴转 动时，可将圆盘划分为若干个 半径r、宽dr的圆环积分 ：
F//
z
F
r
d
P
r
P
F
F在转动平面内
F 不在转动平面内
只考虑垂直于转轴的作用力
15
力矩有大小和方向,是矢量 力矩矢量M可用矢径r和力F的矢积表示。
M r F
M方向垂至于r和 F 所构成平面。由右 手螺旋法则确定。
16
二 定轴转动定律
设有一质点系, 第i个质点的
22
2.转动惯量的计算 (1)质量离散分布刚体 J=Δmi ri2 (3-6)
即：刚体的转动惯量等于刚体上各质点的质量乘 以它到转轴距离的平方的总和。
(2)质量连续分布刚体
J r dm
2
(3-7)
式中: r为刚体上的质元dm到转轴的距离。
23
3.平行轴定理
Jo
(3-8)
o
d
Jc
C
1
m1
T1 R
T1 r m2
2
T2
m
m: mg-T2= ma a=R1=r2 , 2=2ah 求解联立方程，代入数据，可得 =2m/s, T1=48N, T2=58N。
图3-8
mg
32
小结: 若一个系统的运动包含物体平动和刚体的转动
处理办法：
对平动的物体，分析受力，按照 F ma列方程。 对转动的刚体，分析力矩，按照 M J列方程。
例题3-6 两匀质圆盘可绕水平光滑轴转动，质量 m1=24kg， m2=5kg。一轻绳缠绕于盘m1上，另一端 通过盘m2后挂有m=10kg的物体。求物体m由静止开 始下落h=0.5m时，物体m的速度及 绳中的张力。
解 各物体受力情况如图所示。
1 m1: T1R= m1R21 2 1 m2: T2r-T1r = m2r22 2
(3-4)
(Lz=J)
上式称为物体定轴转动方程。 对定轴转动的刚体, J为常量, d /dt=, 故式(4-7) 又可写成 M=J
(3-5)
这就是刚体定轴转动定理，它是刚体定轴转动 19 的动力学方程 。
M J 1 2 当 M 一定时， J J 是刚体转动惯性大小的量度
式中a、b、c均为常量。求它的角加速度。
解：飞轮角速度表达式
d 2 3 a 3bt - 4ct dt
角加速度是角速度对时间的导数表达式
d d 2 3 2 a 3bt - 4ct 6bt - 12ct dt dt
可见飞轮在作变速转动。
11
三. 自由度
决定这个系统在空间的位置所需要 的独立坐标的数目，叫做这个系统的自 由度数 。 例如： 一个质点在三维空间自由运 动时，决定其空间位置需三个独立坐标， 如直角坐标系的x，y，z，因此，自由 质点的自由度为3，这三个自由度叫平 动自由度．
刚体：运动中形状和大小都保持不变的物体。
实际问题中，当物体的形变很小可忽略时，就 将物体视为刚体。 刚体的特征： (a)刚体上各质点之间的距离保持不变。 无论所受外力多大，不论转动多快，刚体的形 状都始终保持不变。 (b)刚体有确定的形状和大小。
(c)刚体可看作是由许多质点(质元)组成的质点系。
3
二. 刚体的平动和转动
J c 3 mr ml
2
2
3 l) , (r 3
m
通过o点且垂直于三角形平 面的轴的转动惯量为
JO = ml2+ml2 =2ml2 =ml2+(3m)r2=2ml2
l m
o r · c
l
m l
图3-3
25
(2)用质量不计的细杆连接的五个质点, 如图34所示。转轴垂直于质点所在平面且通过o点, 转动 惯量为
13
§3-2 力矩 转动惯量 定轴转动定理
源自文库
一.力矩
F
力的作用线通过转轴或是 平行于转轴，无法使物体 转动。
F F
力的大小、方向和力的作 用点相对于转轴位置，是 决定转动效果的几个重要 因素。
14
力的大小与力臂乘积为力对转轴的力矩。用 M表示
M F d Fr sin
z
M
M
F
方向：角速度变化的方向。
0
0
7
对于刚体转动而言，可用角位移、角速度、角加 速度来描写，但对于刚体上的某一点来讲是作曲线运 动的，可用位移、速度、加速度来描写。那么描写平 动的线量与描写转动的角量之间有什么关系呢？
2 线量与角量之间的关系
•线位移和角位移的关系 刚体转过
d
r
刚体上的一点位移
M 0，立刻 0，匀角速度转动。
0
一对力偶产生的力矩不为零。
以上内容的学习要点：掌握刚体定轴转 动定律及用隔离体法求解(刚体+质点)系统问 21 题的方法。
三 转动惯量
1.转动惯量的物理意义 动量: p=m
角动量: L=J 质量m—物体平动惯性大小的量度。
转动惯量J—物体转动惯性大小的量度。
ds
o
d
ds
x
ds rd
8
•速度与角速度之间的关系 将
ds rd 式两边同除 dt
ds d r dt dt
r
r
•加速度与角加速度之间的关系 将质点的加速度 可分解为切向加速度 和法向加速度.
o
a
r a n
9
at
由
d a dt
d a dt
位矢为 ri ,
外力为 Fi ,
内力为
f ij ,
j( i j )
按质点角动量定理，有
d ( ri mi i ) mi：ri Fi ri f ij dt j( i j )
对各质点求和，并注意到
(ri
i
j (i j )
f ij ) 0
式(3-2)的意义是:质点系所受的合外力矩等于质点系的 总角动量对时间的变化率。这个结论叫质点系角动量 定理。 显然它也适用于定轴转动刚体这样的质点系。
18
dL (3-3) M dt 上式是一矢量式, 它沿通过定点的固定轴z方 向上的分量式为
dLz d ( J ) Mz dt dt
意义：物体有几个自由度，它的运 动定律就可归结为几个独立的方程式。
12
对于自由刚体，它既有平动又有转动，为了确 定刚体的位置，我们可先确定刚体质心的位置，这 需要三个平动自由度；然后取通过刚体质心的某一 轴线作转轴，为了确定该轴的空间取向，需要知道 该转轴与直角坐标系三个坐标轴之间的夹角α、β、 γ，但α、β、γ之间存在关系式cos2α+cos2β+cos2γ=1， 即α、β、γ三者中只有两个是独立的，因而，决定 刚体转轴所需自由度为2；最后，还需知道刚体绕 转轴转过的角度φ，故自由刚体的转动自由度为3， 总自由度为6． 问题： 定轴转动刚体的自由度是多少？ 答案：1
如果刚体在运动中,刚体内任何两点的连线在空间 的指向始终保持平行,这样的运动就称为平动。
在平动时,刚体内各质点的运动状态完全相同,因此 平动刚体可视为质点。通常是用刚体质心的运动来 代表整个刚体的平动。
比如：手捧一本书，围绕某点转一圈，书在平动
还是转动？
4
如果刚体内的各个质点都绕同一直线(转轴)作圆 周运动,这种运动便称为转动。如果转轴是固定不动 的,就称为定轴转动。 刚体的一般运动比较复杂。但可以证明,刚体一般 运动可看作是平动和转动的结合。 二.定轴转动的描述
刚体在作定轴转动时,由于各质点 到转轴的距离不同,所以各质点的线 速度、加速度一般是不同的。
r
但由于各质点的相对位置保持不变, 所以描述各质点运动的角量,如角位移、 角速度和角加速度都是一样的。
图3-1
5
1 描述定轴转动刚体的运动的角量 • 角坐标： 角位移： • 角速度
单位：rad
m 1 Jc r 2rdr mR 2 R 2 0 2
2
R
r dr
图3-6
28
确定转动惯量的三个要素: (1)与刚体总质量有关。总质量越大，刚体转动惯量
越大。
(2)与质量分布有关。刚体上质量分布离轴越远，转
动惯量越大。
(3)与转轴的位置有关。
29
例题3-4 以20N.m的恒力矩作用在有固定轴的转 轮上，在10s内该轮的转速均匀地由零增大到 100rev/min。此时撤去该力矩,转轮经100s而停止。试 推算此转轮对该轴的转动惯量。 解 由 M=J , = o+t 有外力矩时, 20-Mr=J1， 1= /t1 (因o=0) 20=J
( ri m i i )
17
得
i
d ri Fi dt
i
i
d ri Fi ( ri m i i ) dt i i ri Fi =M质点系所受的合外力矩
( ri mi i ) =L质点系的总角动量 i dL 于是得 (3-2) M dt
an r
2
•若角加速度 =c(恒量)，则有
d r r dt 2 2 (r ) 2 r an r r
o
a
r a n
a
o t
- o 2
2 2
1 2 o t t 2
10
例3－1 一飞轮转过角度和时间关系为
at bt3 - ct 4
Jo=Jc+Md2
M
Jc 通过刚体质心的轴的转动 惯量; M 刚体系统的总质量; d 两平行轴(o,c)间的距离。
图3-2
24
例题3-2 质量离散分布刚体: J=Δmi ri2 (1)正三角形的各顶点处有一质点m，用质量不计 的细杆连接,如图3-3。系统对通过质心C且垂直于三 角形平面的轴的转动惯量为
(1)
撤去外力矩时, -Mr=J2 , 2= /t2 (2) 代入t1=10s , t2=100s , =(100×2)/60=10.5rad/s, 解式(1)、(2)得 J=17.3kg.m2 。
30
例题3-5 质量为M、半径为R的匀质柱体可绕通过 其中心轴线的光滑水平固定轴转动；柱体边缘绕有 一根不能伸长的细绳，绳子下端挂一质量为m的物 体，如图所示。求柱体的角加速度及绳中的张力。 解 对柱体,由转动定律M=J有 mg.R=J 这式子对吗？ R M 错！此时绳中张力Tmg。 正确的解法是用隔离体法。 T 对m: mg-T=ma m 对柱： TR=J a=R mg 解得 =2mg/[(2m+M)R], 图3-7 T=Mmg/(2m+M)。 31
JO=m.02 +2m(2l2) +3m(2l)2 +4ml2 +5m(2l2) =30ml2 2m l m
o
l l
l
3m
4m
5m
图3-4
26
例题3-3 质量连续分布刚体: J r 2 dm (1)质量为m、长度为l的细直棒，可绕通过质心C 且垂直于棒的中心轴转动，求转动惯量。 解 方法：将细棒分为若干微元dm=(m/l)dx ,然后 积分得 记住！ l 1 dm C 2m 2 2 J c - l x dx ml o x dx x l 12
r
d lim t 0 t dt 是矢量. 方向：与转向成右手螺旋关系。
图3-1
6
•角加速度
ω dω d θ lim 2 t 0 t dt dt
2
角加速度为角速度对时间 t 的一次导数，或为角坐标 对时间 t 的二次导数。 单位：弧度/秒2，rad/s2, s-2
1
本章的主要内容是研究刚体的转动，尤其是定轴 转动。 核心内容： • 刚体的转动惯量 • 定轴转动的转动定理 • 定轴转动的功能原理 • 定轴转动的角动量守恒
这些内容同学们最不熟悉，请同学们先预习。
2
§3-1 刚体模型及其运动
一. 刚体——力学中物体的一种理想模型。
注意： 1 改变刚体转动状态，产生角加速度的原因是 力矩，而不是力！
如果说：作用于刚体的力越大，则刚体的角加速
度一定大，则错。
20
2
一旦
M J 为瞬间作用规律。
M J
特别强调：系统所受合外力为零， M 外 不一定
3 M 和 J ，均对同一转轴而言。 4 M代表作用于刚体的合外力矩， M M 外
2
若棒绕一端o转动，由平行轴 定理， 则转动惯量为 1 l 2 1 2 2 J o ml m ( ) ml 12 2 3
图3-5 o
27
(2)均质细圆环(m, R)绕中心轴转动时，其转动 惯量为
Jc
环
R 2 dm mR 2
R
dm (3)均质圆盘(m,R)绕中心轴转 动时，可将圆盘划分为若干个 半径r、宽dr的圆环积分 ：
F//
z
F
r
d
P
r
P
F
F在转动平面内
F 不在转动平面内
只考虑垂直于转轴的作用力
15
力矩有大小和方向,是矢量 力矩矢量M可用矢径r和力F的矢积表示。
M r F
M方向垂至于r和 F 所构成平面。由右 手螺旋法则确定。
16
二 定轴转动定律
设有一质点系, 第i个质点的
22
2.转动惯量的计算 (1)质量离散分布刚体 J=Δmi ri2 (3-6)
即：刚体的转动惯量等于刚体上各质点的质量乘 以它到转轴距离的平方的总和。
(2)质量连续分布刚体
J r dm
2
(3-7)
式中: r为刚体上的质元dm到转轴的距离。
23
3.平行轴定理
Jo
(3-8)
o
d
Jc
C
1
m1
T1 R
T1 r m2
2
T2
m
m: mg-T2= ma a=R1=r2 , 2=2ah 求解联立方程，代入数据，可得 =2m/s, T1=48N, T2=58N。
图3-8
mg
32
小结: 若一个系统的运动包含物体平动和刚体的转动
处理办法：
对平动的物体，分析受力，按照 F ma列方程。 对转动的刚体，分析力矩，按照 M J列方程。
例题3-6 两匀质圆盘可绕水平光滑轴转动，质量 m1=24kg， m2=5kg。一轻绳缠绕于盘m1上，另一端 通过盘m2后挂有m=10kg的物体。求物体m由静止开 始下落h=0.5m时，物体m的速度及 绳中的张力。
解 各物体受力情况如图所示。
1 m1: T1R= m1R21 2 1 m2: T2r-T1r = m2r22 2
(3-4)
(Lz=J)
上式称为物体定轴转动方程。 对定轴转动的刚体, J为常量, d /dt=, 故式(4-7) 又可写成 M=J
(3-5)
这就是刚体定轴转动定理，它是刚体定轴转动 19 的动力学方程 。
M J 1 2 当 M 一定时， J J 是刚体转动惯性大小的量度
式中a、b、c均为常量。求它的角加速度。
解：飞轮角速度表达式
d 2 3 a 3bt - 4ct dt
角加速度是角速度对时间的导数表达式
d d 2 3 2 a 3bt - 4ct 6bt - 12ct dt dt
可见飞轮在作变速转动。
11
三. 自由度
决定这个系统在空间的位置所需要 的独立坐标的数目，叫做这个系统的自 由度数 。 例如： 一个质点在三维空间自由运 动时，决定其空间位置需三个独立坐标， 如直角坐标系的x，y，z，因此，自由 质点的自由度为3，这三个自由度叫平 动自由度．
刚体：运动中形状和大小都保持不变的物体。
实际问题中，当物体的形变很小可忽略时，就 将物体视为刚体。 刚体的特征： (a)刚体上各质点之间的距离保持不变。 无论所受外力多大，不论转动多快，刚体的形 状都始终保持不变。 (b)刚体有确定的形状和大小。
(c)刚体可看作是由许多质点(质元)组成的质点系。
3
二. 刚体的平动和转动
J c 3 mr ml
2
2
3 l) , (r 3
m
通过o点且垂直于三角形平 面的轴的转动惯量为
JO = ml2+ml2 =2ml2 =ml2+(3m)r2=2ml2
l m
o r · c
l
m l
图3-3
25
(2)用质量不计的细杆连接的五个质点, 如图34所示。转轴垂直于质点所在平面且通过o点, 转动 惯量为
13
§3-2 力矩 转动惯量 定轴转动定理
源自文库
一.力矩
F
力的作用线通过转轴或是 平行于转轴，无法使物体 转动。
F F
力的大小、方向和力的作 用点相对于转轴位置，是 决定转动效果的几个重要 因素。
14
力的大小与力臂乘积为力对转轴的力矩。用 M表示
M F d Fr sin
z
M
M
F
方向：角速度变化的方向。
0
0
7
对于刚体转动而言，可用角位移、角速度、角加 速度来描写，但对于刚体上的某一点来讲是作曲线运 动的，可用位移、速度、加速度来描写。那么描写平 动的线量与描写转动的角量之间有什么关系呢？
2 线量与角量之间的关系
•线位移和角位移的关系 刚体转过
d
r
刚体上的一点位移
M 0，立刻 0，匀角速度转动。
0
一对力偶产生的力矩不为零。
以上内容的学习要点：掌握刚体定轴转 动定律及用隔离体法求解(刚体+质点)系统问 21 题的方法。
三 转动惯量
1.转动惯量的物理意义 动量: p=m
角动量: L=J 质量m—物体平动惯性大小的量度。
转动惯量J—物体转动惯性大小的量度。
ds
o
d
ds
x
ds rd
8
•速度与角速度之间的关系 将
ds rd 式两边同除 dt
ds d r dt dt
r
r
•加速度与角加速度之间的关系 将质点的加速度 可分解为切向加速度 和法向加速度.
o
a
r a n
9
at
由
d a dt
d a dt
位矢为 ri ,
外力为 Fi ,
内力为
f ij ,
j( i j )
按质点角动量定理，有
d ( ri mi i ) mi：ri Fi ri f ij dt j( i j )
对各质点求和，并注意到
(ri
i
j (i j )
f ij ) 0
式(3-2)的意义是:质点系所受的合外力矩等于质点系的 总角动量对时间的变化率。这个结论叫质点系角动量 定理。 显然它也适用于定轴转动刚体这样的质点系。
18
dL (3-3) M dt 上式是一矢量式, 它沿通过定点的固定轴z方 向上的分量式为
dLz d ( J ) Mz dt dt
意义：物体有几个自由度，它的运 动定律就可归结为几个独立的方程式。
12
对于自由刚体，它既有平动又有转动，为了确 定刚体的位置，我们可先确定刚体质心的位置，这 需要三个平动自由度；然后取通过刚体质心的某一 轴线作转轴，为了确定该轴的空间取向，需要知道 该转轴与直角坐标系三个坐标轴之间的夹角α、β、 γ，但α、β、γ之间存在关系式cos2α+cos2β+cos2γ=1， 即α、β、γ三者中只有两个是独立的，因而，决定 刚体转轴所需自由度为2；最后，还需知道刚体绕 转轴转过的角度φ，故自由刚体的转动自由度为3， 总自由度为6． 问题： 定轴转动刚体的自由度是多少？ 答案：1
如果刚体在运动中,刚体内任何两点的连线在空间 的指向始终保持平行,这样的运动就称为平动。
在平动时,刚体内各质点的运动状态完全相同,因此 平动刚体可视为质点。通常是用刚体质心的运动来 代表整个刚体的平动。
比如：手捧一本书，围绕某点转一圈，书在平动
还是转动？
4
如果刚体内的各个质点都绕同一直线(转轴)作圆 周运动,这种运动便称为转动。如果转轴是固定不动 的,就称为定轴转动。 刚体的一般运动比较复杂。但可以证明,刚体一般 运动可看作是平动和转动的结合。 二.定轴转动的描述
刚体在作定轴转动时,由于各质点 到转轴的距离不同,所以各质点的线 速度、加速度一般是不同的。
r
但由于各质点的相对位置保持不变, 所以描述各质点运动的角量,如角位移、 角速度和角加速度都是一样的。
图3-1
5
1 描述定轴转动刚体的运动的角量 • 角坐标： 角位移： • 角速度
单位：rad
m 1 Jc r 2rdr mR 2 R 2 0 2
2
R
r dr
图3-6
28
确定转动惯量的三个要素: (1)与刚体总质量有关。总质量越大，刚体转动惯量
越大。
(2)与质量分布有关。刚体上质量分布离轴越远，转
动惯量越大。
(3)与转轴的位置有关。
29
例题3-4 以20N.m的恒力矩作用在有固定轴的转 轮上，在10s内该轮的转速均匀地由零增大到 100rev/min。此时撤去该力矩,转轮经100s而停止。试 推算此转轮对该轴的转动惯量。 解 由 M=J , = o+t 有外力矩时, 20-Mr=J1， 1= /t1 (因o=0) 20=J
( ri m i i )
17
得
i
d ri Fi dt
i
i
d ri Fi ( ri m i i ) dt i i ri Fi =M质点系所受的合外力矩
( ri mi i ) =L质点系的总角动量 i dL 于是得 (3-2) M dt
an r
2
•若角加速度 =c(恒量)，则有
d r r dt 2 2 (r ) 2 r an r r
o
a
r a n
a
o t
- o 2
2 2
1 2 o t t 2
10
例3－1 一飞轮转过角度和时间关系为
at bt3 - ct 4
Jo=Jc+Md2
M
Jc 通过刚体质心的轴的转动 惯量; M 刚体系统的总质量; d 两平行轴(o,c)间的距离。
图3-2
24
例题3-2 质量离散分布刚体: J=Δmi ri2 (1)正三角形的各顶点处有一质点m，用质量不计 的细杆连接,如图3-3。系统对通过质心C且垂直于三 角形平面的轴的转动惯量为
(1)
撤去外力矩时, -Mr=J2 , 2= /t2 (2) 代入t1=10s , t2=100s , =(100×2)/60=10.5rad/s, 解式(1)、(2)得 J=17.3kg.m2 。
30
例题3-5 质量为M、半径为R的匀质柱体可绕通过 其中心轴线的光滑水平固定轴转动；柱体边缘绕有 一根不能伸长的细绳，绳子下端挂一质量为m的物 体，如图所示。求柱体的角加速度及绳中的张力。 解 对柱体,由转动定律M=J有 mg.R=J 这式子对吗？ R M 错！此时绳中张力Tmg。 正确的解法是用隔离体法。 T 对m: mg-T=ma m 对柱： TR=J a=R mg 解得 =2mg/[(2m+M)R], 图3-7 T=Mmg/(2m+M)。 31
JO=m.02 +2m(2l2) +3m(2l)2 +4ml2 +5m(2l2) =30ml2 2m l m
o
l l
l
3m
4m
5m
图3-4
26
例题3-3 质量连续分布刚体: J r 2 dm (1)质量为m、长度为l的细直棒，可绕通过质心C 且垂直于棒的中心轴转动，求转动惯量。 解 方法：将细棒分为若干微元dm=(m/l)dx ,然后 积分得 记住！ l 1 dm C 2m 2 2 J c - l x dx ml o x dx x l 12
r
d lim t 0 t dt 是矢量. 方向：与转向成右手螺旋关系。
图3-1
6
•角加速度
ω dω d θ lim 2 t 0 t dt dt
2
角加速度为角速度对时间 t 的一次导数，或为角坐标 对时间 t 的二次导数。 单位：弧度/秒2，rad/s2, s-2