大学物理 电场(一)

+q S1 S2
S
e E dS ( E1 E2 ... E5 ) dS E1 dS E2 dS ... E5 dS
q1 q2 q3
q3 q1 q2
q4 0 0 0 q5 结论: E 是所有电荷产生的，e 只与内部电荷有关。
4
dq
0
r
2
0 r
dl ( 线分布）
dq
dS(面分布)
dV (体分布)
: 线密度 : 面密度 : 体密度
电偶极子 （electric dipole）:一对靠得很近的等量异号的 点电荷所组成的电荷系,是一种实际的物理模型.
例1 求电偶极子在延长线上和中垂线上一点产生的电场强度。 q 解 E i E E 2 l 4 0 ( x l 2) q q O q P x E i 2 4 0 ( x l 2) q 2 xl i 令：电偶极矩 p ql E E E 2 2 2 4 0 ( x l 4) 2 xp E 2 2 2 4 0 ( x l 4) P E q E 在中垂线上 E E 2 2 4 0 (r l 4) r P E 2 E cos E q 3 q l 4 0 r
1
qx
2 3/ 2
4 0 ( R x )
E
讨论
1
2
qx
2 3/ 2
4 0 ( R x )
x (1) 当 x = 0（即P点在圆环中心处）时，
E0 若带电圆环开一很小的，弧长为a缺口， r 则环中心场强如何？ 1 q R O (2) 当 x>>R 时 E 2 4 0 x dq
E
Fk
k
q0
1 qk 0 Ek r 2 k k k 4 0 rk
点电荷系在某点P 产生的电场强度等于各点电荷单独在该
点产生的电场强度的矢量和。这称电场强度叠加原理
连续分布带电体
dE
dq 0 r 2 4 0 r 1
dE
E
r
dq
P
O
R1 R2
例5 已知圆环带电量为q ，杆的线密度为 ，长为L
求 杆对圆环的作用力
解
R
dq λ dx
圆环在 dq 处产生的电场
q
dq
O L
Ex
x
Ex
1
2
qx
2 3/ 2
4 0 ( R x )
dF Ex dq Exλ dx
F
L
qλ xdx 4 0 ( R x )
的大小，与每个点电荷的电量成正比，与两点电荷间距离的 平方成反比，作用力的方向沿两点电荷的连线。
电荷q1 对q2 的作用力F21 q1q2 F21 k 2 r q1q2 0 F21 k 2 r21 r
q1 r21
r
q2
F21
电荷q2对q1的作用力F12 q1q2 0 F12 k 2 r12 r
n
2. 非均匀场中
d e E dS
e d e E dS
S
dS
E E
对闭合曲面
e d e E dS
S
讨论
非闭合曲面 (1) S 方向的规定： 闭合曲面
0 θ
(2) 电通量是代数量
任意规定
向外为正，向内为负
4. 相对论不变性 电荷的电量与它的运动状态无关
Q ne
19
二. 库仑定律（Coulombs law）
1. 点电荷（point charge） 当带电体的大小、形状与带电体间的距离相比可忽略时,就
可把带电体视为一带电的几何点。
(一种理想模型)
2. 库仑定律 处在静止状态的两点电荷，在真空（空气）中的相互作用力
electric field intensity） 点电荷的电场 1 qq0 0 F r 2 4 0 r
E
F q0
五.电场强度叠加原理（Superposition principle of
（球对称分布） F 1 q 0 E r 2 q0 4 0 r
点电荷系的电场
S
r
+
dS
S

1
q
4 0 r
4r 2
2
q
0
取任意闭合曲面时 1 e E dS q
S
0
结论: e 与曲面的形状及 q 在曲面内的位置无关。
q在曲面外时：
e e1 e 2 0
当存在多个电荷时： E E1 E2 ... E5
-q
线的疏密反映场强 大小。
(3) 电场线是非闭合曲线 (4) 电场线不相交
E
d e dS
二.电通量 （electric flux）
在电场中穿过任意曲面S 的电场线条数称穿过该面的电通量 En e E 1. 均匀场中 n d e EndS E cosdS E EdS dS dS 定义 dS dSn d e E dS
2L 3L L
0
4 ln 2 4 0 ( x x) 4 0 3
2 2
dx
三.静电场：相对观测者静止的电荷产生的电场 作用于 后来: 法拉第提出场的概念： 电荷 电场 电荷 作用于 产生 电场（electric field）的特点
早期：电磁理论是超距作用理论 (1) 对位于其中的带电体有力的作用
8.1 电荷和电场
一.电荷（electric charge）
1. 正负性
2. 量子性
e (1.602 189 2 0.000 004 6) 10 C 1 2 e e 盖尔—曼提出夸克模型 : 3 3 3. 守恒性 孤立系统中总电荷量是不变的。即任何时刻系统中正、负 电荷的代数和保持不变，这称为电荷守恒定律（charge conservation law）。
2 3/ 2
x [1 2 ] 2 1/ 2 2 0 (R x )
E [1 2 ]i 2 2 1/ 2 2 0 R (R x ) q x
r
R
O
dr
[1 2 ]i 2 2 1/ 2 讨论 2 0 R (R x ) (1) 当R >> x ，圆板可视为无限大薄板 q x
q1
F12
q2
r
r12
k
1 4 0 F
0
真空中的电容率（介电常数）
0 8.854 187 82 1012 F/m
q1q2 0 r 2 4 0 r 1
讨论：
(1) 库仑定律适用于真空中的静止点电荷； (2) 库仑力满足牛顿第三定律； (3) 一般 F电 F万
dq O
r a x a csc
2 2 2 2 2
x
dx a csc θ dθ
2
dEx cos d 4 0 a
dE y sin d 4 0 a
Ex dEx
θ2
θ1
cosθ dθ (sin θ 2 sin θ 1 ) 4 0 a 4 0 a
产生
(2) 带电体在电场中运动,电场力要作功
四.电场强度（electric field intensity）
场源电荷 产生电场的电荷 检验电荷
带电量足够小
点电荷
在电场中任一位置处：
F1
q1
=
F2
q2
= E
定义： 电场中某点的电场强度的大小等于单 位电荷在该点受力的大小，其方向为 正电荷在该点受力的方向。
dF
r Q
q0
q0dq 0 F Q r 2 4 0 r
dq
例 已知两杆电荷线密度为，长度为L，相距L 求 两带电直杆间的电场力。
解 dq dx
dq
O
dq
L 2L
dq dx
x
x
3L
x
dxdx dF 2 4 0 ( x x)
F dx
高斯定理
1 e E dS
S
0
qi (内)
i
（不连续分布的源电荷）
1 e E dS
S
V dV 0
（连续分布的源电荷）
真空中的任何静电场中，穿过任一闭合曲面的电通量，在 数值上等于该曲面内包围的电量的代数和乘以 1 0 意义 反映静电场的性质—— 有源场
例2 长为L的均匀带电直杆，电荷线密度为 求 它在空间一点P产生的电场强度（P点到杆的垂直距离为a) 解 dq dx
dE
1
dx
2
4 0 r
y dE y
dE
dEx
dEx dE cos
由图上的几何关系
dE y dE sin

P
1
r

a
2
x a tan(θ ) acotθ 2
E
E 2 0
(2)
E1
E2
E1
E1 E2
EI E1 E2 0
EII E1 E2 0
EIII E1 E2 0
(3) 补偿法 E ER 2 ER1
E2
x p

x
2 0 ( R1 x )
2
[
1
2 1/ 2
2 ]i 2 1/ 2 ( R2 x ) 1
Ey λ 2ε 0 a
1
r

a
2
dq O
x
例3 半径为R 的均匀带电细圆环，带电量为q 求 圆环轴线上任一点P 的电场强度 1 dq 0 解 dq dl dE r 2 4 0 r 1 dq 0 E dE r 2 4 0 r
dEx
x P
2 2 32

qλ
0
4 0 R
(
1

1 R L
2 2
)
8.2
静电场的高斯定理
A
EA
一.电场线（electric field line）
电场线的特点: (1) 由正电荷指向负电荷 或无穷远处,不中断 (2) 反映电场强度的分布 电场线上每一点的 切线方向反映该点 的场强方向 ,电场 +q
E y dE y
讨论
θ2
θ1
sin θ dθ (cosθ 1 cosθ 2 ) 4 0 a 4 0 a
y dE y P
(1) a >> L
杆可以看成点电荷
dE
dEx
Ex 0
Ey
λ L 4 0 a
2
(2) 无限长直导线
θ1 0 θ2
Ex 0
四. 高斯定理的应用
例 均匀带电球面，总电量为Q，半径为R 求 电场强度分布 解 对球面外一点P : 取过场点 P 的同心球面为高斯面 E dS EdS E dS E 4r 2
S S S
P
+ +R +
E dS
r
+
Q +
+
根据高斯定理
E 4r
2

q
i

2 θ 2
d e
为正
为负
d e
穿出闭合曲面，电通量为正 穿进闭合曲面，电通量为负
三.静电场的高斯定理（Gauss theorem）
q 0 以点电荷为例建立e——q 关系:
S
e E dS
0
q
取球对称闭合曲面 e E dS E dS
可以把带电圆环视为一个点电荷
P
例4 面密度为
解
的圆板在轴线上任一点的电场强度
dq 2rdr
dE 1
2
xdq
2 3/ 2
4 0 (r x ) x
2
dE
P
x
rdr
2 3/ 2 R
2 0 (r x ) x
源自文库
E dE
2 0 0 (r x )
2
rdr
3. 电场力的叠加
q3 受的力： F f f 1 2 对n个点电荷： F F1 F2 ...... Fn
1 q0 qi Fi ri 0 2 i i 4 0 r i
q2
r2
f1
q1
q3
r1
f2
对电荷连续分布的带电体 q0dq 0 dF r 2 4 0 r
dE d E
r
R

dE dE sin θ
dEx dE cosθ
O
圆环上电荷分布关于x 轴对称
E 0
cosθ
2
dq
Ex
1 4 0
x r
r 2 cosθ
dq

2
1
4 0 r
2 1/ 2
dq
E

1
q
2
4 0 r
2
cosθ
cosθ
r (R x )
i
0
E
qi
i
4 0 r