老树新枝又一春——2017年浙江省数学高考立体几何解答题阅卷有感

㊀㊀２ ０ １ ７年浙江省数学高考已尘埃落定． 这是 ３ ０ 多年来浙江省数学高考第一次以文理合卷的形式 呈现． 试卷起点较低， 循序渐进， 同时顺接而下， 延 续着几 年 来 数 学 高 考 卷 的 追 求， “ 重 思 维， 重本 质” ， 整卷合乎文理合卷后的特点， 凸显“ 文之韵， 理之味” ． 笔者有幸参加了 ２ ０ １ ７年浙江省数学高考阅 卷， 亲身感受着： 一张试卷承载着国家所赋予的神 圣责任， 一分分数寄予着千万学子的殷切希望． 下 面就以第 １ ９题为例， 试图以一窥全， 同时也谈谈个 人的反思与体会． １ ㊀试题赏析 题目㊀如图 １ ， 已知四棱 锥Ｐ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ， Ａ Ｄ是 以 Ａ Ｄ △Ｐ 为斜边的等腰直 角 三 角 形， Ｂ Ｃ∥ Ａ Ｄ ，Ｃ Ｄ⊥ Ａ Ｄ ，Ｐ Ｃ＝ Ａ Ｄ＝ ２ Ｄ Ｃ＝ ２ Ｃ Ｂ ， Ｅ为 Ｐ Ｄ的 中点． １ ） 证明： Ｃ Ｅ Ａ Ｂ ； ∥平面 Ｐ ２ ） 求直线 Ｃ Ｅ与平面 Ｐ Ｂ Ｃ所成角的正弦值． （ ２ ０ １ ７年浙江省数学高考试题第 １ ９题） 该题考查了直线与平面平行以及线面所成角 问题， 背景非常熟悉， 而且设问方式常规， 与２ ０ １ ６ 年１ ２月的浙江省模拟卷吻合， 属于意料之中的题 型． 命题者希望通过这种类型问题的考查， 检测考 生的几何空间感以及逻辑推理、 直观想象、 数学运 算等数学学科核心素养． 而且设问从基础出发， 层
［ １ ］ 为８ ． ６ ６ ， 难度系数为 ０ ． ５ ８ ． 可见， 这份高考卷中
立体几何结构梯度自然， 对不同基础、 不同能力水 平的学生都提供了适当的思考空间， 体现了较好的 区分度， 凸显了试卷的选拔功能， 同时难度总体是 有所提升的． 当然， 到底是这道题本身的相对难度 提升了， 还是新高考下学生整体水平有所下降， 值 得我们进一步研究与思考． 图１ ２ ㊀解法探究 本题满分 １ ５分， 其中第 １ ） 小题 ６分， 第２ ） 小 题 ９分． ２ ． １ ㊀第 １ ） 小题解法探究 证法 １ ㊀（ 线线平行） 如 ， 取Ａ Ｐ的 中 点 Ｆ ， 联结 图２ Ｅ Ｆ ， Ｂ Ｆ ． 由中位线性质得 Ｅ Ｆ Ｄ ， 且 Ｅ Ｆ＝ ∥Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ， Ｂ Ｃ＝ ∥Ａ １ Ａ Ｄ ． 又 ２
２ 槡 ｓ ｉ ｎ Ｍ Ｈ＝ ， ∠Ｑ ８ ２ 即直线 Ｃ Ｅ与平面 Ｐ Ｂ Ｃ所成角的正弦值是槡 ． ８ 解法 ２ ㊀（ 空间向量坐 如图 ６ ， 取Ａ Ｄ的中点 标法） Ｏ ， 联结 Ｂ Ｏ ， Ｐ Ｏ ， 易知 Ｐ Ｏ ⊥ Ａ Ｄ ， Ｂ Ｏ Ｃ ， 从而 ⊥Ｂ Ｐ Ｏ Ｃ ， ⊥Ｂ 于是 Ｂ Ｃ Ｏ Ｂ ， 进而 ⊥ 平面 Ｐ Ｐ Ｂ Ｃ ． 设Ｂ Ｃ＝ １ ， 则 ⊥Ｂ 图６ Ｐ Ｂ＝ ３ ， ㊀Ｐ Ｏ＝ Ｂ Ｏ＝ １ ， 槡
２ ０ １ ７ ０ ８ ２ ６ ； 修订日期： ２ ０ １ ７ ０ ９ ２ ９ 收文日期：
两个小题 层递进， 梯度合理， 兼顾原有文理生之别． 之间又存在合理的逻辑关系， 证明平行关系为寻找 线面角铺设了道路． 总的来看， 该题彰显学科特色， 有效创新， 注重核心素养的考查． 不过， 从阅卷的实际情况看， 试题难度预计有 一定的偏差， 具有良好的区分度． 本题的平均得分 为８ ． ３ ９ ， 除去 ０分试卷后平均得分为 ９ ． ０ ８ ， 难度系 数为 ０ ． ５ ６ ． 而２ ０ １ ６年的立体几何解答题， 理科全 省平均分为 １ ０ ． ８ ９ ， 难度系数为 ０ ． ７ ２ ； 文科平均分
１ Ａ Ｄ ， 从而 ２
图２
作者简介： 叶启垦（ １ ９ ７ ６－ ） ， 男， 浙江杭州人， 中学高级教师． 研究方向： 数学教育．
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中学教研（ 数学）
２ ０ １ ７年第 １ ２期
Ｅ Ｆ Ｃ ， 且Ｅ Ｆ＝ Ｂ Ｃ ， 即四边形 Ｃ Ｅ Ｆ Ｂ是平行四边 ∥Ｂ 形， 则Ｃ Ｅ Ｆ ． 因为 Ｂ Ｆ Ａ Ｂ ， 所以 Ｃ Ｅ ∥Ｂ 平面 Ｐ ∥平 面Ｐ Ａ Ｂ ． 证法 ２ ㊀（ 面面平行） 如图 ３ ， 取Ａ Ｄ的中点 Ｎ ， 联结 Ｅ Ｎ ， Ｃ Ｎ ， 则Ｃ Ｎ Ｂ ， Ｅ Ｎ Ｐ ， 从而面 Ｃ Ｅ Ｎ ∥Ａ ∥Ａ ∥ 面Ｐ Ａ Ｂ ， 于是 Ｃ Ｅ Ａ Ｂ ． ∥面 Ｐ
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杭州第七中学， 浙江 杭州㊀３ １ ０ ０ ２ ４ ） ●叶启垦㊀㊀（
㊀㊀摘㊀要： ２ ０ １ ７年浙江省数学高考立体几何解答题立意平稳， 有效创新， 注重核心素养的考查， 具有良好的区分度． 文章
图３
图４
从而二面角 Ｐ Ａ Ｄ Ｂ的平面角∠Ｐ Ｏ Ｂ为 １ ２ ０ ʎ ． 如图 ６ ， 建立空间直角坐标系 Ｏ ｘ ｙ ｚ ， 则Ｂ （ １ ， ３， １槡 ３ 槡 ０ ， ０ ） ， Ｃ （ １ ， １ ， ０ ） ， Ｐ －１， Ｅ －１， ０ ， ， ． ２ ２ ４ ２ ４ 设平面 Ｐ Ｂ Ｃ的一个法向量为 ｎ＝ （ ｘ ， ｙ ， ｚ ） ， 由于 → → ３ 槡 ３ ｎ ·Ｂ Ｃ＝ ｙ ＝ ０ ， ㊀ｎ ·Ｂ Ｐ＝ ｘ － ｚ ＝ ０ ， ２ ２ → ，则 ｎ ＝ （１ ，０ ，槡 ３） ，而 Ｃ Ｅ ＝ 令 ｘ＝１ １槡 ３， 于是直线 Ｃ Ｅ与平面 Ｐ Ｂ Ｃ所 成 ， － ， ( －５ ４ ２ ４) 角θ 的正弦值为
通过对该卷中立体几何解答题的解法探究及答题情况分析， 提出在平时教学中应该注重培养学生的答题策略． 同时， 在新 高考形式下的数学复习教学更应重视完善双基， 突出数学本质， 实现思维回归． 关键词：数学高考； 立体几何； 答题策略 中图分类号： Ｏ １ ２ ３ ． ２ ㊀㊀㊀㊀文献标识码： Ａ ㊀㊀㊀㊀文章编号： １ ０ ０ ３－ ６ ４ ０ ７ （ ２ ０ １ ７ ） １ ２ ３ ５ ０ ４