柯西施瓦茨不等式

柯西施瓦茨不等式的应用及推广

作者：查敏 指导老师:蔡改香

摘要 本文探讨的是柯西施瓦茨不等式在不同数学领域的各种形式和内容及其多种证明

方法和应用，并对其进行了一定程度上的推广.通过一系列的例题，反映了柯西施瓦茨不等式在证明相关的数学命题时可以使得解题方法得以简捷明快，甚至可以得到一步到位的效果，特别是在概率统计中的广泛应用.

关键词 Cauchy-Schwarz 不等式 Minkowski 不等式 Holder 不等式 Hermite 阵

1引言

柯西施瓦茨不等式在数学中的应用比较广泛，是异于均值不等式的另一个重要不等式，灵活巧妙的运用它，可以使一些较困难的实际问题得到比较简捷地解决，这个不等式结构和谐，无论代数、几何，都可以应用.本文正是从实数域、微积分.内积空间、概率空间以及矩阵分析这五个方面的内容进行证明并举例说明其应用，对实数域和微积分中的形式进行了一定程度的推广.

2 在实数域中的Cauchy 不等式

命题1 设,(1,2,

,)i i a b R i n ∈=，则

2

221

1

1

(

)

()()n

n

n

i i i i i i i a b a b ===≤⋅∑∑∑

（1）

其中当且仅当,(1,2,,)i i b ka i n ==（k 为常数）等号成立.

证明 由2

1

()()

0,,n

i

i

i f x xa b x R ==

+≥∀∈∑则22

21

1

1

)(2)0n

n

n

i

i i i i i i a x a b x b ===-+≥∑∑∑（

由于x R ∀∈,因此上述不等式的判别式大于零，即：

2

2

21

1

1

4()4)()0n n n

i i i

i i i i a b a b ===-≤∑∑∑（

易得（1）式成立.

例1 设(1,2,...,),i a R i n +

∈=求证21212

111()(

++

n n

a a a n a a a ++

++≥） 证明 由不等式左边的形式，很容易想到柯西不等式解之

1212

111)(

+

)n n a a a a a a +++++（

222

222

12

2

22

111

+][(+)]

()()()

(111)

n

n

n

a

a a a

a

n

=++⋅++

≥+⨯

=+++=

（）

柯西施瓦茨不等式在实数域中的应用十分广泛，而且许多著名的不等式就是用柯

西施瓦茨不等式直接导出.下面介绍两个著名的不等式.

由上面的柯西施瓦茨不等式可以得到Minkowski不等式

定理1任意的2n个实数

1212

,,,,,,,

n n

a a a

b b b，有

()

111

222

222

111

n n n

i i i i

i i i

a b a b

===

⎧⎫⎧⎫⎧⎫

+≤+

⎨⎬⎨⎬⎨⎬

⎩⎭⎩⎭⎩⎭

∑∑∑

（2）

事实上，由（1）得

()222

1111

2

n n n n

i i i i i i

i i i i

a b a a b b

====

+=++

∑∑∑∑

1

11112

2222

222222

111111

2=

n n n n n n

i i i i i i

i i i i i i

a a

b b a b

======

⎡⎤

⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎢⎥

≤+++

⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎢⎥

⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⎣⎦

∑∑∑∑∑∑这就证明了（2）.

将柯西施瓦茨不等式中的幂指数扩充，则有赫尔德不等式.

定理2 对任意的非负数()

,1,2,,

i i

a b i n

=有

11

111

()()

n n n

p q

p q

i i i i

i i i

a b a b

===

≤⋅

∑∑∑

其中,p q R+

∈，满足

11

1

p q

+=且1

p>.

证明由杨格不等式p q

a p

b q ab

+≥，其中,0

a b≥且

11

1

p q

+=得

1111

111111

11

111

()()(())

1111

()()1

n n n n n n

p q p q

p q q p

i i i i i i i i

i i i i i i

p q

n n n

p q

p q

i i i i

i i i

a b a b a a b b

a a

b b

p q p q

======

===

⎡⎤⎡⎤

⋅=⋅

⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥

⎣⎦⎣⎦

⎧⎫

⎡⎤⎡⎤

⎪⎪

≤+=+=

⎢⎥⎢⎥

⎨⎬

⎢⎥⎢⎥

⎪⎪

⎣⎦⎣⎦

⎩⎭

∑∑∑∑∑∑

∑∑∑

赫尔德不等式中，当2,2

p q

==时为柯西施瓦茨不等式，若将n→∞则可导出