双曲线简单几何性质导学案
学案5:2.2.2 双曲线的简单几何性质
2.2.2 双曲线的简单几何性质学习目标：1．掌握直线与双曲线的位置关系．2．掌握与直线、双曲线有关的弦长、中点等问题．学习重点：直线与双曲线的位置关系．学习难点：直线、双曲线有关的弦长、中点等问题．课内探究案新课导学：探究点一直线与双曲线的位置关系研究直线与双曲线的位置关系,一般通过直线方程与双曲线方程所组成的方程组{y=kx+m,①x2a2-y2b2=1②的解的个数进行判断.①代入②得(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.当b2-a2k2=0,即k=±ba,直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线交于一点.当b2-a2k2≠0,即k≠±ba时,Δ=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2m2-a2b2).Δ>0⇔直线与双曲线有两个交点,称直线与双曲线相交;Δ=0⇔直线与双曲线有一个交点,称直线与双曲线相切;Δ<0⇔直线与双曲线没有交点,称直线与双曲线相离.注意:直线与双曲线相切时,它们只有一个公共点,但当直线与双曲线只有一个公共点时,它们不一定相切,这时它们还可以相交.例1 若直线y=2x+m与双曲线x2-y2=4相切,则实数m的值为.探究点二根据双曲线标准方程研究几何性质由双曲线的方程,求双曲线的相关性质的步骤为:先将双曲线方程化为标准形式x 2a2−y2b2=1(或y2 a2-x2b2=1),再根据它确定a,b的值(注意分母分别为a2,b2,而不是a,b),进而求出c;再对照双曲线的几何性质得到相应的答案.画近似图形,要先画双曲线的两条渐近线(即以2a,2b为两条邻边的矩形的对角线所在直线)和两个顶点,然后根据双曲线的变化趋势,就可画出双曲线的近似图形.例2 求双曲线144x2-25y2=-3 600的实轴长和虚轴长,焦点坐标,顶点坐标,离心率,渐近线方程.探究点三根据双曲线的几何性质求标准方程1.根据双曲线几何性质求标准方程时,常用方法是先定型(焦点在哪个轴上),再定量(确定a2,b2的值).要特别注意a2+b2=c2的应用,并注意不要与椭圆中的关系相混淆.2.如果已知双曲线的方程为标准形式,但不知焦点所处的位置,也可把双曲线方程设为mx2-ny2=1(m,n同号),然后由条件求m,n.3.与双曲线x2a2−y2b2=1具有共同渐近线的双曲线的标准方程可设为x2a2−y2b2=λ(λ≠0),然后再结合其他条件求出λ的值即可得到双曲线方程.例3 根据下列条件,求双曲线的标准方程:(1)与双曲线x2-2y2=2有共同渐近线,且过点M(2,-2);(2)过点P(3,-√2),离心率为√52.当堂检测1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是 ( )A ．2B ．2 2C ．4D ．422．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0，2)，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 24＝1B.y 24－x 24＝1C.y 24－x 28＝1D.x 28－y 24＝13．已知双曲线x 2a 2－y 25＝1的右焦点为(3，0)，则该双曲线的离心率等于( ) A.31414 B.324 C.32 D.434．椭圆x 24＋y 2a ＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是________．四、课后反思课后训练案1．已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为145，双曲线的方程应是()A.x 212－y 24＝1B.x 24－y 212＝1C ．－x 212＋y 24＝1D ．－x 24＋y 212＝12．焦点为(0，±6)且与双曲线x 22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )A.x 212－y 224＝1 B.y 212－x 224＝1C.y 224－x 212＝1 D.x224－y 212＝13．若0<k <a ，则双曲线x 2a 2－k 2－y 2b 2＋k 2＝1与x 2a 2－y 2b 2＝1有( )A ．相同的实轴B ．相同的虚轴C ．相同的焦点D ．相同的渐近线4．中心在坐标原点，离心率为53的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为( )A ．y ＝±54x B ．y ＝±45xC ．y ＝±43x D ．y ＝±34x5．双曲线x 24＋y 2b＝1的离心率e ∈(1,2)，则b 的取值范围是________． 6．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a 2－y 2＝1焦点相同，则a ＝________.7．已知动圆与⊙C 1：(x ＋3)2＋y 2＝9外切，且与⊙C 2：(x －3)2＋y 2＝1内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．8．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)过点A (14，5)，且点A 到双曲线的两条渐近线的距离的积为43.求此双曲线方程．答 案新课导学探究点一 直线与双曲线的位置关系例1 【解析】联立方程组{y =2x +m ,x 2-y 2=4,则3x 2+4mx+m 2+4=0,由题意知Δ=(4m )2-12(m 2+4)=0,解得m=±2√3.【答案】±2√3探究点二 根据双曲线标准方程研究几何性质例2 【答案】 解:把双曲线方程化成标准方程为y 2144−x 225=1,则a 2=144,b 2=25,∴c 2=a 2+b 2=169. ∴a=12,b=5,c=13.由此可知,该双曲线的实轴长2a=24,虚轴长2b=10,焦点坐标为(0,-13),(0,13),顶点坐标为(0,-12),(0,12),离心率e=1312,渐近线方程为y=±125x.探究点三 根据双曲线的几何性质求标准方程例3 【答案】 解:(1)设与双曲线x 22-y 2=1有公共渐近线的双曲线方程为x 22-y 2=k (k ≠0), 将点(2,-2)代入,得k=222-(-2)2=-2,故双曲线的标准方程为y 22−x 24=1.当堂检测1．【解析】双曲线方程可变形为x 24－y 28＝1，所以a 2＝4，a ＝2，2a ＝4.故选C. 【答案】C2．【解析】2a ＋2b ＝22c ，即a ＋b ＝2c ，又a ＝2，且a 2＋b 2＝c 2，∴a ＝2，b ＝2.【答案】B3．【解析】根据离心率的定义求解．由双曲线中a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2，得32＝a 2＋5，∴a 2＝4，∴e ＝c a ＝32. 【答案】C4．【解析】∵a >0，∴焦点在x 轴上，∴4－a ＝a ＋2，∴a ＝1.【答案】1课后训练案1．【答案】 C【解析】 ∵椭圆x 29＋y 225＝1的焦点为(0，±4)，离心率e ＝45， ∴双曲线的焦点为(0，±4)，离心率为145－45＝105＝2， ∴双曲线方程为：y 24－x 212＝1. 2．【答案】 B【解析】 与双曲线x 22－y 2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x 22－y 2＝λ(λ≠0)， 又因为双曲线的焦点在y 轴上，∴方程可写为y 2－λ－x 2－2λ＝1. 又∵双曲线方程的焦点为(0，±6)，∴－λ－2λ＝36.∴λ＝－12.∴双曲线方程为y 212－x 224＝1. 3．【答案】 C【解析】 ∵0<k <a ，∴a 2－k 2>0.∴c 2＝(a 2－k 2)＋(b 2＋k 2)＝a 2＋b 2.4．【答案】 D【解析】 ∵c a ＝53，∴c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝259，∴b 2a 2＝169， ∴b a ＝43，∴a b ＝34. 又∵双曲线的焦点在y 轴上，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±a bx ， ∴所求双曲线的渐近线方程为y ＝±34x . 5．【答案】 －12<b <0【解析】 ∵b <0，∴离心率e ＝4－b 2∈(1,2)， ∴－12<b <0.6．【答案】 62 【解析】 由题意得4－a 2＝a 2＋1，∴2a 2＝3，a ＝62. 7．【答案】解：设动圆圆心M 的坐标为(x ，y )，半径为r ， 则|MC 1|＝r ＋3，|MC 2|＝r －1，∴|MC 1|－|MC 2|＝r ＋3－r ＋1＝4<|C 1C 2|＝6，由双曲线的定义知，点M 的轨迹是以C 1、C 2为焦点的双曲线的右支，且2a ＝4，a ＝2，双曲线的方程为：x 24－y 25＝1(x ≥2)． 8．【答案】解：双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的两渐近线的方程为bx ±ay ＝0. 点A 到两渐近线的距离分别为d 1＝|14b ＋5a |a 2＋b 2，d 2＝|14b －5a |a 2＋b 2已知d 1d 2＝43，故|14b 2－5a 2|a 2＋b 2＝43(ⅰ) 又A 在双曲线上，则14b 2－5a 2＝a 2b 2(ⅱ)(ⅱ)代入(ⅰ)，得3a 2b 2＝4a 2＋4b 2(ⅲ)联立(ⅱ)、(ⅲ)解得b 2＝2，a 2＝4.故所求双曲线方程为x 24－y 22＝1.。
双曲线的简单的几何性质第二课时标准导学案
探究2：双曲线与直线
练习2：过双曲线 的右焦点，倾斜角为 的直线交双曲线于 两点，求 两点的坐标．
练习3：过双曲线 的右焦点，倾斜角为 的直线交双曲线于 两点，求 ？
【达标测试】
1．若椭圆 和双曲线 的共同焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，则 的值为（）．
课题:双曲线的简单几何性质第二课时导学案班级:_ _________
主备人: ________审核人:________审批人：_________授课人:__________
备注
（教师复备栏及学生笔记）
学习目标
【三维目标】
知识与技能：1．熟练掌握双曲线的定义及几何性质，能根据定义推导双曲线的标准方程回用性质解题；
A． B． C． D．
2．以椭圆 的焦点为顶点，离心率为 的双曲线的方程（）．
A. B.
C. 或 D.以上都不对
3．过双曲线的一个焦点 作垂直于实轴的直线，交双曲线于 、 ， 是另一焦点，若∠ ，则双曲线的离心率 等于（）．
A. B. C. D.
4．双曲线的渐近线方程为 ，焦距为 ，这双曲线的方程为_______________.
5．方程 表示焦点在x轴上的双曲线，则 的取值范围．
6．求与双曲线 共渐近线且过 的双曲线的方程
【本课小结】
教学反思：
备注
（教师复备栏及学生笔记）
2．熟练掌握双曲线的两种标准方程，会求与双曲线有关的几何参数及利用这些参数求双曲线的标准方程，研究双曲线的相关性质；
3．掌握直线与双曲线的关系的处理办法
过程与方法：在与椭圆类比中获得双曲线的相关解题思路，培养学生观察能力，想象力，数形结合能力。
双曲线的简单几何性质(一)导学案
1标准方程 错误!－错误!＝1 （a 〉0,b>0) 错误!－错误!＝1(a 〉0，b 〉0） a ，b,c 关系 a 2+b 2=c 2 a 2+b 2=c 2
渐近
线
探究点二由性质求标准方程(定型→设方程→定量→作答)
例2 求满足下列条件的双曲线的标准方程:
(1)双曲线的焦点为（2，0)，右顶点为(错误!，0)； (2)实半轴长为8，离心率为错误!；
变式:求满足下列条件的双曲线方程
(1）双曲线C的焦点为（0,5)，虚轴长为4; （2）实轴长为2,离心率为2；
四、巩固提高（链接高考）：
1、（2013陕西卷）双曲线x2
16
－错误!＝1的离心率为______，两条渐近线的方程为_____．
2、(2011年高考安徽卷）双曲线2x2－y2＝8的实轴长是
3、（2011年高考江西卷）若双曲线错误!-错误!=1的离心率e=2，则m=__ __.
4、思考：若a=b，则渐近线的方程为_____，离心率e＝
五、小结(方法总结）：
（1）双曲线的简单性质（2）应用：①方程→性质②性质→方程
六、作业：1、P835 2、补充:求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）焦点分别为F1（－3,0），F2（3,0)，离心率e＝ 3
（2)虚轴长为12,离心率为4
5
；。
高中数学《双曲线的简单几何性质》导学案
2．2.2双曲线的简单几何性质1．双曲线的简单几何性质2．等轴双曲线(1)□14实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．(2)等轴双曲线具有以下性质：①方程形式为□15x－y＝λ(λ≠0)；②渐近线方程为□16y＝±x，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角；③实轴长和虚轴长都等于□172a，离心率e＝□18 2.对双曲线的简单几何性质的四点认识(1)双曲线的焦点决定双曲线的位置；(2)双曲线的范围决定了双曲线的开放性和无限延展性，由双曲线的方程x2 a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，得x2a2＝1＋y2b2≥1，∴x2≥a2，∴|x|≥a，即x≤－a或x≥a；(3)双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小，离心率越大，双曲线的开口越大，反之亦然；(4)对称性：由双曲线的方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，若P(x，y)是双曲线上任意一点，则P1(－x，y)，P2(x，－y)均在双曲线上，故P与P1，P2分别关于y轴、x轴对称，因此双曲线分别关于y轴、x轴对称，只不过双曲线的顶点只有两个，而椭圆有四个．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)等轴双曲线的离心率为 2.()(2)方程y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±ba x.()(3)与双曲线渐近线平行的直线与此双曲线有且只有一个公共点．() 答案(1)√(2)×(3)√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)双曲线x2－y23＝1的渐近线方程为________，离心率e＝________.(2)双曲线x2－16y2＝1的实半轴长为________，虚半轴长为________．(3)焦点在x轴上，且焦距为4的等轴双曲线方程为________．答案(1)y＝±3x2(2)114(3)x22－y22＝1探究1双曲线的简单几何性质例1求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图．[解]将9y2－4x2＝－36变形为x29－y24＝1，即x232－y222＝1，∴a＝3，b＝2，c＝13，因此顶点为A1(－3,0)，A2(3,0)，焦点坐标F1(－13，0)，F2(13，0)，实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4，离心率e＝ca ＝133，渐近线方程y＝±ba x＝±23x.作草图：拓展提升(1)由双曲线的标准方程求几何性质的四个步骤(2)双曲线共有两个焦点、两个顶点、两个虚轴端点六个特殊点，注意双曲线的焦点一定在双曲线的实轴所在的直线上．(3)直线x＝±a，y＝±b或x＝±b，y＝±a围成的矩形中，双曲线的渐近线即两条对角线所在的直线．依据(2)(3)两点，可画出双曲线的大致图形．【跟踪训练1】(1)已知0<θ<π4，则双曲线C1：x2cos2θ－y2sin2θ＝1与C2：y2sin2θ－x 2sin 2θtan 2θ＝1的( )A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等 答案 C解析 因为0<θ<π4，所以sin θ>0，cos θ>0，所以双曲线C 1的实轴长为2cos θ，虚轴长为2sin θ，焦距为2，离心率e 1＝1cos θ，双曲线C 2的实轴长为2sin θ，虚轴长为2sin θtan θ＝2sin 2θcos θ，焦距2sin 2θ＋sin 2θtan 2θ＝2sin θcos θ，离心率e 2＝1cos θ，所以两个双曲线的离心率相等．(2)设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 答案 C解析 令x 2a 2－y 29＝0，得x a ＝±y 3，所以双曲线x 2a 2－y 29＝1的渐近线方程为3x ±ay＝0，与已知方程比较系数得a ＝2.探究2 双曲线的离心率问题例2 (1)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，若过右焦点F 且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1,2) B.⎝⎛⎭⎪⎫1，233 C ．[2，＋∞)D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫233，＋∞(2)我们把离心率e ＝5＋12的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)称为黄金双曲线．如图是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0，c ＝a 2＋b 2)的图象，给出以下几个说法：①若b 2＝ac ，则该双曲线是黄金双曲线；②若F 1，F 2为左右焦点，A 1，A 2为左右顶点，B 1(0，b )，B 2(0，－b )且∠F 1B 1A 2＝90°，则该双曲线是黄金双曲线；③若MN 经过右焦点F 2且MN ⊥F 1F 2，∠MON ＝90°，则该双曲线是黄金双曲线．其中正确命题的序号为________．[解析] (1)由题意知，过右焦点F 且倾斜角为30°的直线与双曲线右支有两个交点，需满足b a <tan30°，即b <33a .∴3b 2<a 2，∴3(c 2－a 2)<a 2，c 2<43a 2，∴e 2<43，∴－233<e <233.又e >1，∴1<e <233.(2)①正确．由⎩⎨⎧b 2＝ac ，c 2＝a 2＋b 2得c 2－ac －a 2＝0，所以e 2－e －1＝0，解得e ＝5＋12或e ＝1－52(舍去)，该双曲线是黄金双曲线． ②正确.F 1B 1→＝(c ，b )，A 2B 1→＝(－a ，b )． 因为∠F 1B 1A 2＝90°，所以F 1B 1→·A 2B 1→＝0.所以－ac ＋b 2＝0，即b 2＝ac ，由①可知该双曲线是黄金双曲线． ③正确．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝c ，x 2a 2－y 2b 2＝1解得M ，N 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，所以OM→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ， ON →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a . 因为∠MON ＝90°，所以OM →·ON →＝c 2－b 4a 2＝0，即b 2＝ac ，由①知该双曲线是黄金双曲线．[答案] (1)B (2)①②③[条件探究] 若把例2(1)的条件“30°”改为“60°”，“有两个”改为“有且只有一个”，其他条件不变，应如何解答？解 由题可得直线的斜率为3，要使直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点，只要b a ≥ 3，∴e 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2≥4.∴e ≥2，离心率取值范围为[2，＋∞)．拓展提升1.求双曲线离心率的两种方法(1)直接法：若已知a ，c 可直接利用e ＝ca 求解，若已知a ，b ，可利用e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2求解． (2)方程法：若无法求出a ，b ，c 的具体值，但根据条件可确定a ，b ，c 之间的关系，可通过b 2＝c 2－a 2，将关系式转化为关于a ，c 的齐次方程，借助于e ＝ca ，转化为关于e 的n 次方程求解．2．求双曲线离心率范围的思路求双曲线离心率的范围，关键是根据题目条件得到不等关系，并想办法转化为关于a ，b ，c 的不等关系，结合c 2＝a 2＋b 2和ca ＝e 得到关于e 的不等式，然后求解．在建立不等式求e 时，经常用到结论：双曲线上一点到相应焦点距离的最小值为c －a .双曲线的离心率常以双曲线的渐近线为载体进行命题，注意二者参数之间的转化．【跟踪训练2】 (1)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与x 2a 2－y 2b 2＝－1(a ＞0，b ＞0)的离心率分别为e 1，e 2，则必有( )A．e1＝e2B．e1e2＝1C.1e1＋1e2＝1 D.1e21＋1e22＝1答案 D解析依题意，知e21＝a2＋b2a2，e22＝a2＋b2b2，所以1e21＋1e22＝a2＋b2a2＋b2＝1.故选D.(2)已知F1，F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是() A．4＋2 3 B.3＋1C.3－1D.3＋1 2答案 B解析设边MF1的中点为P，由题意知，MF1⊥PF2，在Rt△PF1F2中，|PF1|＝|F1F2|cos60°＝2c×12＝c，|PF2|＝|F1F2|sin60°＝2c×32＝3c，根据双曲线的意义可知2a＝|PF2|－|PF1|＝3c－c，所以e＝ca ＝23－1＝3＋1.探究3由双曲线的几何性质求标准方程例3求与双曲线x216－y29＝1共渐近线且过点A(23，－3)的双曲线的方程及其离心率．[解]解法一：双曲线x216－y29＝1的渐近线方程为y＝±34x.(1)设所求双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)．因为ba＝34，所以b＝34a①.因为点A(23，－3)在所求的双曲线上，所以12a2－9b2＝1②.联立①②所得的方程组无解．(2)设所求的双曲线方程为y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)．因为ab＝34，所以a＝34b③.因为点A(23，－3)在所求的双曲线上，所以9a2－12b2＝1④，联立③④得a2＝94，b2＝4.所以所求双曲线方程为y294－x24＝1且离心率e＝53.解法二：设与双曲线x216－y29＝1共渐近线的双曲线的方程为x216－y29＝λ(λ≠0)．因为点A (23，－3)在所求的双曲线上，所以λ＝1216－99＝－14，所以所求双曲线方程为x 216－y 29＝－14，即y 294－x 24＝1.从而可求得离心率e ＝53.拓展提升巧设双曲线方程的六种常用方法(1)焦点在x 轴上的双曲线的标准方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)． (2)焦点在y 轴上的双曲线的标准方程可设为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)． (3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共焦点的方程可设为x 2a 2－λ－y 2b 2＋λ＝1(λ≠0，－b 2<λ<a 2)．(4)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1具有相同渐近线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)． (5)渐近线为y ＝kx 的双曲线方程可设为k 2x 2－y 2＝λ(λ≠0)． (6)渐近线为ax ±by ＝0的双曲线方程可设为a 2x 2－b 2y 2＝λ(λ≠0)．【跟踪训练3】 根据以下条件，求双曲线的标准方程．(1)以圆C ：x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和一个顶点；(2)焦点在x 轴上，渐近线方程为y ＝±33x ，且顶点到渐近线的距离为1. (3)中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10)． 解 (1)对圆C 的方程，令y ＝0，得x 2－6x ＋8＝0，解得x 1＝2，x 2＝4，即圆C 与x 轴的两个交点分别为(2,0)，(4,0)． 令x ＝0，得y 2－4y ＋8＝0，此方程无解，即圆C 与y 轴没有交点． 因此点(2,0)为双曲线的右顶点，点(4,0)为双曲线的右焦点． 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， 则a ＝2，c ＝4，所以b 2＝c 2－a 2＝12， 从而双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1.(2)由焦点在x轴上，可设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，渐近线方程为y＝±ba x＝±33x，则a＝3b.由顶点(a,0)到渐近线y＝33x的距离为1，得|a|2＝1，得a＝2，b＝33a＝233.从而双曲线的标准方程为x24－y243＝1.(3)因为离心率e＝2，所以可设双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．由双曲线过点P(4，－10)，得16－10＝λ，即λ＝6，所以双曲线的标准方程为x26－y26＝1.探究4直线与双曲线的位置关系例4双曲线C与椭圆x28＋y24＝1有相同的焦点，直线y＝3x为C的一条渐近线．(1)求双曲线C的方程；(2)如右图，过点P(0,4)的直线l交双曲线C于A，B两点，交x轴于Q点(Q 点与C的顶点不重合)．当PQ→＝λ1QA→＝λ2QB→，且λ1＋λ2＝－83时，求Q点的坐标．[解](1)设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)．由椭圆x28＋y24＝1求得两焦点为(－2,0)，(2,0)，∴对于双曲线C：c＝2，焦点在x轴上．又y＝3x为双曲线C的一条渐近线，∴ba＝3，解得a2＝1，b2＝3，∴双曲线C的方程为x2－y23＝1.(2)解法一：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零． 设l 的方程：y ＝kx ＋4，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k ，0，∵PQ →＝λ1QA →，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k ，－4＝λ1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋4k ，y 1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－4k＝λ1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋4k ，－4＝λ1y 1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－4kλ1－4k ，y 1＝－4λ1，∵A (x 1，y 1)在双曲线C 上， ∴16k 2⎝⎛⎭⎪⎫1＋λ1λ12－163λ21－1＝0， ∴16＋32λ1＋16λ21－163k 2－k 2λ21＝0， ∴(16－k 2)λ21＋32λ1＋16－163k 2＝0. 同理有(16－k 2)λ22＋32λ2＋16－163k 2＝0. 若16－k 2＝0，则直线l 过顶点，不符合题意，∴16－k 2≠0，∴λ1，λ2是一元二次方程(16－k 2)x 2＋32x ＋16－163k 2＝0的两根，∴λ1＋λ2＝32k 2－16＝－83，∴k 2＝4，此时Δ>0，∴k ＝±2，所求Q 的坐标为(±2,0)． 解法二：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零． 设l 的方程y ＝kx ＋4，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k ，0，∵PQ →＝λ1QA →＝λ2QB →，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k ，－4＝λ1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋4k ，y 1＝λ2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋4k ，y 2， ∴－4＝λ1y 1＝λ2y 2，∴λ1＝－4y 1，λ2＝－4y 2.又λ1＋λ2＝－83，∴1y 1＋1y 2＝23，即3(y 1＋y 2)＝2y 1y 2.将y ＝kx ＋4代入x 2－y 23＝1得(3－k 2)y 2－24y ＋48－3k 2＝0.∵3－k 2≠0，否则l 与渐近线平行， ∴y 1＋y 2＝243－k 2，y 1y 2＝48－3k 23－k 2， ∴3×243－k 2＝2×48－3k 23－k 2， ∴k ＝±2，∴Q (±2,0)． 拓展提升(1)判断直线与双曲线的位置关系时，通常是将直线方程与双曲线方程联立方程组，方程组解的个数就是直线与双曲线交点的个数，联立方程消去x 或y 中的一个后，得到的形如一元二次方程的式子中，要注意x 2项或y 2项系数是否为零的情况，否则容易漏解．(2)直线y ＝kx ＋b 与双曲线相交所得的弦长d ＝ 1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋1k 2|y 1－y 2|.【跟踪训练4】 已知双曲线x 2－y 22＝1，问：过点A (1,1)能否作直线l ，使l与双曲线交于P ，Q 两点，并且A 为线段PQ 的中点？若能，求出直线l 的方程；若不能，请说明理由．解 假设符合题意的直线l 存在，并设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21－y 212＝1，x 22－y 222＝1.两式相减，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝12(y 1－y 2)(y 1＋y 2)．① 又A (1,1)为线段PQ 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2，②y 1＋y 2＝2.③将②③代入①，得x 1－x 2＝12(y 1－y 2)， 由题意，知直线l 的斜率存在，则x 1≠x 2， 则直线l 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2，所以直线l 的方程为2x －y －1＝0.而由⎩⎨⎧2x －y －1＝0，x 2－y22＝1，得2x 2－4x ＋3＝0，根据Δ＝(－4)2－4×2×3＝－8<0，说明所求直线不存在．1.双曲线的几何性质主要包括“六点”——实轴端点、虚轴端点、焦点；“四线”——对称轴、渐近线；“两比率”——离心率、渐近线的斜率．双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、离心率只与双曲线的形状和大小有关而与双曲线的位置无关．双曲线的顶点坐标、实轴端点坐标、虚轴端点坐标、焦点坐标、渐近线方程不仅与双曲线的形状和大小有关，而且与双曲线的实轴位置有关.2.已知双曲线的几何性质确定双曲线的标准方程，常用待定系数法，首先要依据焦点的位置设出方程的形式，再由题设条件确定参数的值；当双曲线焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，以防止遗漏.3.求双曲线离心率的常用方法 (1)依据条件求出a ，c ，计算e ＝c a ；(2)依据条件建立a ，b ，c 的关系式，一种方法是消去b 转化成离心率e 的方程求解，另一种方法是消去c 转化成含b a 的方程，求出ba 后利用e ＝1＋b 2a 2求解.4.渐近线是双曲线特有的性质，两方程联系密切，把双曲线的标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程，反之由渐近线方程ax ±by ＝0变为a 2x 2－b 2y 2＝λ(λ≠0)，再结合其他条件求得λ就可得双曲线方程.5.直线与双曲线有一个公共点的两种情况 (1)直线与双曲线相切； (2)直线与双曲线的渐近线平行.1．双曲线x 216－y 29＝1的一个焦点到它的一条渐近线的距离等于( ) A ．4 B ．8 C ．3 D ．6 答案 C解析 双曲线x 216－y 29＝1的焦点坐标为(－5,0)，(5,0)，渐近线方程为x 4±y3＝0，即3x ±4y ＝0，根据双曲线的对称性，不妨求(5,0)到直线3x －4y ＝0的距离，d ＝|3×5－4×0|32＋(－4)2＝3.2．已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝( )A ．2 B.62 C.52 D ．1 答案 D解析 因为双曲线的方程为x 2a 2－y 23＝1，所以e 2＝1＋3a 2＝4，因此a 2＝1，a ＝1.选D.3．等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6,0)，则其标准方程为( ) A.x 29－y 29＝1 B.y 29－x 29＝1 C.y 218－x 218＝1 D.x 218－y 218＝1 答案 D解析 由题意知双曲线焦点在x 轴上，设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ，a 2＋b 2＝36，解得a 2＝b 2＝18，所以所求双曲线的标准方程为x 218－y 218＝1. 4．双曲线x 25－y 24＝1的实轴长等于________，虚轴长等于________，焦点坐标是________，离心率是________，渐近线方程是________．答案 25 4 (－3,0)和(3,0) 355 y ＝±255x解析 由题意知a ＝5，b ＝2，c ＝3，∴实轴长2a ＝25，虚轴长2b ＝4，焦点坐标为(－3,0)，(3,0)，离心率e ＝c a ＝35＝355，渐近线方程y ＝±b a x ＝±255x . 5．已知双曲线两顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x ，求双曲线的标准方程．解 设以y ＝±32x 为渐近线的双曲线方程为x 24－y 29＝λ(λ≠0)， 当λ>0时，a 2＝4λ， ∴2a ＝24λ＝6⇒λ＝94. 当λ<0时，a 2＝－9λ， ∴2a ＝2－9λ＝6⇒λ＝－1.∴双曲线的标准方程为x 29－y 2814＝1和y 29－x 24＝1.A 级：基础巩固练一、选择题1．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m 的值为( ) A ．－14 B ．－4 C ．4 D.14 答案 A解析 双曲线的标准方程为y 2－x 2－1m＝1，∴a 2＝1，b 2＝－1m .由题意，得b 2＝4a 2，∴－1m ＝4，∴m ＝－14.2．过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.433 B ．2 3 C ．6 D ．4 3 答案 D解析 由双曲线的标准方程x 2－y23＝1得，右焦点F (2,0)，两条渐近线方程为y ＝±3x ，直线AB ：x ＝2，所以不妨取A (2，23)，B (2，－23)，则|AB |＝43，选D.3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1C.3x 220－3y 25＝1 D.3x 25－3y 220＝1答案 A解析 由题意得c ＝5，b a ＝12，则a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2＝1.4．过原点作直线，与双曲线x 2－y 2＝1恰有一个交点的直线有( ) A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．4条 答案 A解析 设l 的方程为y ＝kx .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 2－y 2＝1，得(1－k 2)x 2＝1.显然方程不可能只有一个解．故过原点与双曲线x 2－y 2＝1恰有一个交点的直线有0条．5．已知直线y ＝12x 与双曲线x 29－y 24＝1交于A ，B 两点，P 为双曲线上不同于A ，B 的点，当直线P A ，PB 的斜率k P A ，k PB 存在时，k P A ·k PB ＝( )A.49B.12C.23 D ．与P 点位置有关 答案 A解析 设A (x 0，y 0)，B (－x 0，－y 0)，P (x ，y )，∴k P A ·k PB ＝y －y 0x －x 0·y ＋y 0x ＋x 0＝y 2－y 2x 2－x 2＝ 4⎝ ⎛⎭⎪⎫x 29－1－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x 209－1x 2－x 20＝49(x 2－x 20)x 2－x 20＝49.故选A. 6．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆x 2m 2＋y 2b 2＝1(m >b >0)的离心率之积等于1，则以a ，b ，m 为边长的三角形一定是( )A ．等腰三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．直角三角形 答案 D解析 双曲线的离心率e 1＝a 2＋b 2a，椭圆的离心率e 2＝m 2－b 2m，由e 1e 2＝1得(a 2＋b 2)(m 2－b 2)＝a 2m 2，故a 2＋b 2＝m 2，因此三角形为直角三角形．二、填空题7．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．答案 x 24－y 2＝1解析 根据渐近线方程为x ±2y ＝0，可设双曲线方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)．因为双曲线过点(4，3)，所以42－4×(3)2＝λ，即λ＝4.故双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.8．已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则1e 21＋3e 22＝________.答案 4解析 如图，设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，则根据椭圆及双曲线的定义：⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，∴|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2，设|F 1F 2|＝2c ，∠F 1PF 2＝π3，则在△PF 1F 2中，由余弦定理得4c 2＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)(a 1－a 2)·cos π3，化简得a 21＋3a 22＝4c 2，该式可变形为a 21c 2＋3a 22c 2＝4，∴1e 21＋3e 22＝4.9．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为________．答案 x 24－y 25＝1解析 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， 由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有：⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，两式作差得，y 1－y 2x 1－x 2＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝－12b 2－15a 2＝4b 25a 2， 又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以4b 2＝5a 2，代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5， 所以双曲线标准方程是x 24－y 25＝1. 三、解答题10．已知双曲线E 与双曲线x 22－y 2＝1共渐近线，且过点(2，－2)，若双曲线M 以双曲线E 的实轴为虚轴，虚轴为实轴，试求双曲线M 的标准方程．解 由题意，设E 的方程为x 22－y 2＝t (t ≠0)． ∵点(2，－2)在E 上，∴222－(－2)21＝t ，∴t ＝－2， ∴双曲线E 的标准方程为y 22－x 24＝1，又双曲线M 与E 为共轭双曲线，则双曲线M 的标准方程为x 24－y 22＝1.B 级：能力提升练1．求两条渐近线为x ±2y ＝0且截直线x －y －3＝0所得弦长为833的双曲线方程．解 设双曲线方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)．联立方程组得：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4y 2＝λ，x －y －3＝0，消去y 得，3x 2－24x ＋(36＋λ)＝0.设直线被双曲线截得的弦为AB ， 且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝36＋λ3，Δ＝242－12(36＋λ)>0.那么|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝(1＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫82－4×36＋λ3 ＝8(12－λ)3＝833. 解得λ＝4，所以，所求双曲线方程是x 24－y 2＝1.2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝233，直线l 过A (a,0)，B (0，－b )两点，原点O 到l 的距离是32.(1)求双曲线的方程；(2)过点B 作直线m 交双曲线于M ，N 两点，若OM →·ON →＝－23，求直线m 的方程．解 (1)依题意，直线l 的方程为：x a ＋y －b ＝1，即bx －ay －ab ＝0.由原点O 到l 的距离是32，得aba 2＋b 2＝abc ＝32， 又e ＝c a ＝233，所以b ＝1，a ＝ 3. 故所求双曲线方程为x 23－y 2＝1.(2)显然直线m 不与x 轴垂直，设m 方程为y ＝kx －1，设点M ，N 坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，联立方程⎩⎨⎧y ＝kx －1，x 23－y 2＝1消去y ，得(1－3k 2)x 2＋6kx －6＝0.(*)依题意知1－3k 2≠0，由根与系数的关系知x 1＋x 2＝6k 3k 2－1，x 1x 2＝63k 2－1.OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1－1)(kx 2－1)＝(1＋k 2)x 1x 2－k (x 1＋x 2)＋1＝6(1＋k 2)3k 2－1－6k 23k 2－1＋1＝－23，解得k ＝±12，当k ＝±12时，判别式Δ＝15>0，方程(*)有两个不等的实数根，满足条件． 故直线m 方程为y ＝12x －1或y ＝－12x －1.。
双曲线的简单几何性质学案
双曲线的简单几何性质学案【学习目标】1.了解双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质;2.能解决一些简单的双曲线问题.【重点难点】双曲线的简单几何性质及其简单应用，对离心率的理解. 【学习过程】一、问题情景导入1.前面我们研究了椭圆的哪些几何性质？2.类比椭圆几何性质的研究方法，怎样根据双曲线的标准方程2 2 务-占=1a 0,b 0研究它的几何性质？a b二、自学探究：（阅读课本第49-51页，完成下面知识点的梳理）1.双曲线的范围：2.双曲线的对称性：3.双曲线的顶点与实轴、虚轴:4.双曲线的离心率：5.双曲线渐近线:2 2思考：双曲线爲-笃=1a 0,b 0的几何性质是怎样的？a b三、例题演练：例1.求双曲线9y2 -16x2 =144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.变式：求下列双曲线的实轴、虚轴的长，顶点、焦点的坐标、离心率和渐近线方程：⑴ x2 -8y2 =32 ; ⑵ 9x2 -y2 =81 ;2 2⑶ x2 -y2 = -4 ; ⑷—149 25例2.根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程:2⑶与双曲线— ⑴过点P3, —、2 ,离心率e=丄；22 2⑵与双曲线x _y /有共同的渐近线，且过点一3,2..3 .916变式：根据下列条件，求双曲线的标准方程： ⑴过点P 3,15 ,Q -^,5 I,且焦点在坐标轴上;I 4丿i 3丿⑵过点-5,2，c ，焦点在x 轴上；2_L=1有相同焦点，且经过点 3 2,2 ；42 2(叱亡=1【课堂小结与反思】【课后作业与练习】1下列方程中，以x±2y =0为渐近线的双曲线方程是2(C)节宀1 2全国名校高中数学优质学案汇编（附详解）2 .中心在原点，一个焦点为（3，0），一条渐近线方程2x-3y=0的双曲线方程是(A) (B) 2(D)x2亍1全国名校高中数学优质学案汇编(附详解)(C) (D)3.与双曲线有共同的渐近线，且一顶点为(0,9)的双曲线的方程是()(A) (B)(C) (D)4 .双曲线2kx2- ky2=1的一焦点是F(0，4)，则k等于()(A)-3/32 (B)3/32 (C)-3/16 (D)3/166 .以y = _3x 为渐近线，一个焦点是F （ 0，2）的双曲线方程为2 25.与双曲线—一丄1有共同的渐近线，且经过点 A （-32.3｝的双曲线916的一个焦点到一条渐近线的距离是（）（A ）8（ B ）4（ C 2 （ D 1(A )22y 1x1 (B ) x2 - 2y =132 222(C )xy4一(D ): 2_ 3=17 .双曲线kx 2+4y 2=4k 的离心率小于2,则k 的取值范围是()(A ) (- 乂 ,0 ) (B ) (-3,0) (C ) (-12,0)(D ) (-12,1)8.已知平面内有一固定线段 AB 其长度为4,动点P 满足| PA -| PB =3,则| PA 的最小值为(A)1.5(B)3(C)0.5(D)3.59.与双曲线=1（mr<0）共轭的双曲线方程是（）(A) (B)(C) (D)【学习目标】1.了解双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质;2.能解决一些简单的双曲线问题【重点难点】双曲线的简单几何性质及其简单应用，对离心率的理解. 【学习过程】二、问题情景导入1.前面我们研究了椭圆的哪些几何性质？2.类比椭圆几何性质的研究方法，怎样根据双曲线的标准方程2 2 笃一当=1a 0,b 0研究它的几何性质？a b二、自学探究：（阅读课本第49-51页，完成下面知识点的梳理）1.双曲线的范围：2.双曲线的对称性:3.双曲线的顶点与实轴、虚轴:4.双曲线的离心率：5.双曲线渐近线：2 2思考：双曲线—-^"a 0,b 0的几何性质是怎样的?a b三、例题演练:2 2⑷与双曲线2L /有共同的渐近线’且过点品2 3 .。
高中数学《双曲线的简单几何性质》导学案
授课教师：姓名：班级：2.3.2 双曲线的简单几何性质复习回顾：椭圆的图像与性质类比椭圆,探讨双曲线 的几何性质:范围；对称性；顶点；离心率；渐近线一、探究双曲线 的简单几何性质1、范围：2、对称性：3、顶点(与对称轴的交点)：4、顶点（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点（2）线段 叫做双曲线的实轴，它的长为2a,a 叫做实半轴长；线段 叫做双曲线的虚轴，它的长为2b,b 叫做双曲线的虚半轴长. （3）实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线 4.渐近线思考（1）双曲线 的渐近线方程是？ （2）等轴双曲线的渐近线方程是什么？（3）利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图5.离心率二、根据双曲线的几何性质求标准方程例2. 根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)双曲线的渐近线的方程为2x ±3y ＝0且经过P (6，2)；(2)经过点P (3，－2)，离心率e ＝52.22221(0,0)x y a b a b -=>>22221(0,0)x y a b a b-=>> xyo -b 1B2Bb1A 2A-aa 722-.图1A 2A O1F 2F 2B 1B xy22221(0,0)x y a b a b -=>>变式2. 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)一个焦点为(0，13)，且离心率为135； (2)渐近线方程为y ＝±12x ，且经过点A (2，－3)．例3：1、双曲线 9x 2-16y 2=144的实半轴长等于 ；虚半轴长等于 ； 顶点坐标是 ；渐近线方是 . 离心率e= 。
2、离心率e=2是双曲线为等轴双曲线的 条件 。
（用“充分条件”“必要条件”“充要条件”填空。
）例4：如图所示，过双曲线 的右焦点F 2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A ，B 两点，求|AB|.22136x y -=。
《2.2.2双曲线的简单几何性质》导学案(新部编)2
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校2-2《双曲线的几何性质》导学案【学习目标】类比椭圆几何性质的研究方法研究双曲线：范围、对称性、顶点、渐近线、离心率，了解双曲线的第二定义.【学习难点】双曲线的几何性质【学习难点】渐进线、离心率对双曲线的影响【问题导学】1.画出双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 与)0,0(12222>>=-b a bx a y 的图像.2.根据1画出的图像类比椭圆几何性质的研究方法，分别指出双曲线 )0,0(12222>>=-b a b y a x 与)0,0(12222>>=-b a bx a y 中x ，y 的范围、对称性、顶点、实轴长、实半轴长、虚轴长、虚半轴长.3.认真阅读课本，分别指出)0,0(12222>>=-b a b y a x 与)0,0(12222>>=-b a bx a y 的渐近 线的定义，求法，特征.什么是等轴双曲线？等轴双曲线有何特征？4.类比椭圆，双曲线的离心率是什么？它刻画了双曲线的什么性质？【典型例题】例1、求与双曲线2222=-y x 有公共渐近线，且过点)2,2(-M 的双曲线的标准方程.【基础题组】1．求下列双曲线的实轴、虚轴长，顶点、焦点坐标、离心率和渐近线方程．(1)4x 2－3y 2=12 (2)16x 2－9y 2=－144 328)3(22=-y x 819)4(22=-y x 8)5(22-=-y x (6)1254922-=-y x2.双曲线14322=-y x 的实轴长和虚轴长分别是( ) A . 32，4 B .4，32 C .3，4 D . 2，33．双曲线12222=-by a x (a >0，b >0)的焦点到它的渐近线的距离等于( )A . 22b a b +B .bC . aD . 22b a a + 4．如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为( )A .23B . 26 C . 23 D .2 5．双曲线的渐近方程是x y 21±=，焦点在坐标轴上，焦距为10，其方程为( ) A . 152022=-y x B . 152022=-y x 或 152022=-x y C . 120522=-y x D . 152022±=-x y 6．已知双曲线的渐近线方程为x y 43±=，则此双曲线的 ( ) A ．焦距为10 B ．实轴长与虚轴长分别为8与6C ．离心率e 只能是45或35D ．离心率e 不可能是45或35 7．等轴双曲线的一个焦点是F 1(4，0)，则它的标准方程是_________，渐近线方程是 ______________.8.已知双曲线1222=-b y x (b >0)的一条渐近线方程为x y 2=，则b =____________ 9.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为2，焦点与椭圆192522=+y x 的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为____________，渐近线方程为____________10．若双曲线的实轴长，虚轴长，焦距依次成等差数列，则其离心率为____________11．设圆过双曲线116922=-y x 的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 ____________12．已知双曲线191622=-y x 上一点M 到左焦点F 1的距离是它到右焦点距离的5倍，则M 点的坐标为____________13．双曲线的渐近线方程为x y ±=，两顶点之间的距离为2的标准方程：____________14．双曲线的其中一条渐近线的斜率为72，求此双曲线的离心率. 【拓展题组】15．双曲线x2b2－y2a2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为( )A ．2B . 3C . 2D . 3216．双曲线x29－y216＝1的一个焦点到一条渐近线的距离等于( )A . 3B ．3C ．4D ．2 17．双曲线x24＋y2b ＝1的离心率e ∈(1，2)，则b 的取值范围是________．18．椭圆x24＋y2a2＝1与双曲线x2a2－y 2＝1焦点相同，则a ＝________.19．双曲线x26－y23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝________. 20．已知动圆与⊙C 1：(x ＋3)2＋y 2＝9外切，且与⊙C 2：(x －3)2＋y 2＝1内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．。
双曲线的简单几何性质教导学案
x2 y2 = 1 的离心率为 5 ， 2、 （2012· 江苏） 在平面直角坐标系 xoy 中， 若双曲线 － 2 m m +4
则 m 的值为 。 。 3、双曲线 x 2－y 2 = 1 的顶点到其渐近线的距离等于
①
②
4、如图（1） ，火力发电厂的冷却塔的外形是由双曲线绕其虚轴旋转所成的
以焦点在 x 轴为双曲线为例，根据其的图像及标准方程 ，研究它的几何性质。
知识与技能 教 学 目 标 过程与方法 情感态度 与价值观 重点 难点 教学 方法 学生 自学 反馈
①能运用双曲线的标准方程讨论双曲线的范围、对称点、顶点、离心 率、渐近线等几何性质。 ②掌握双曲线标准方程中 a、b、c 的几何意义，理解双曲线的渐近线的 概念及证明，能运用双曲线的几何性质解决双曲线的一些基本问题。 ③使学生进一步掌握利用方程研究曲线方程的基本方法，加深对直角 坐标系中曲线与方程的概念的理解。 通过对问题的类比探究活动，让学生类比已知的知识，通过观察、推 导、形成新知识，进一步理解坐标系中根据曲线的方程研究曲线的几 何性质的一般方法，领悟其中所蕴涵的数学思想。 通过类比探究体验挫折的艰辛与成功的快乐，激发学习热情，逐步培 养正确的数学观、创新艺术与科学精神。
寺前中学高二数学教（学）案
年级： 高 课题 班级 二 编写人： 郝贵川 审核人：__________ 编制时间： 双曲线的简单几何性质 授课（完成）时间 教师（学生）
解类” C“应 问题 2：我们研究过椭圆的哪些性质？我们是用什么思想方法研究的？双曲 用类” D“能 线是否也有类似性质？又该怎样研究？ 力提 对称性： 范围： 升类” 顶点： 【探索新知】
离心率：
双曲线及简单几何性质导学案
§2.3.2双曲线的简单几何性质(1)1．理解并掌握双曲线的几何性质． 学习过程 一课前准备：复习1：写出满足下列条件的双曲线的标准方程： ①3,4a b ==，焦点在x 轴上；②焦点在y 轴上，焦距为8，2a =．复习2：前面我们学习了椭圆的哪些几何性质？二、新课导学： 学习探究问题1：由椭圆的哪些几何性质出发，类比探究双曲线22221x y a b-=的几何性质?范围：x ： y ：对称性：双曲线关于轴、轴及都对称． 顶点：（ ），（ ）．实轴，其长为；虚轴，其长为．离心率：1ce a=>．渐近线：双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为：0x ya b ±=．问题2：双曲线22221y x a b-=的几何性质?图形：范围：x ： y ：对称性：双曲线关于轴、轴及都对称．顶点：（ ），（ ）实轴，其长为；虚轴，其长为．离心率：1ce a =>．渐近线： 双曲线22221y x a b-=的渐近线方程为：．新知：实轴与虚轴等长的双曲线叫 双曲线．典型例题例1求双曲线2214925x y -=的实半轴长、虚半轴的长、焦点坐标、离心率及渐近线的方程．变式：求双曲线22916144y x -=的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．例2求双曲线的标准方程：⑴实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上；⑵离心率2e=，经过点(5,3)M-；⑶渐近线方程为23y x=±，经过点9(,1)2M-．练一练练1．求以椭圆22185x y+=的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程．练2．对称轴都在坐标轴上的等到轴双曲线的一个焦点是1(6,0)F-，求它的标准方程和渐近线方程．三、总结提升：学习小结1、双曲线的图形、范围、顶点、对称性、离心率、渐近线．2、与双曲线22221x ya b-=有相同的渐近线的双曲线系方程式为2222x ya bλ-=(0)λ≠当堂检测1．双曲线221168x y-=实轴和虚轴长分别是（）．A．8、42 B．8、22C．4、42 D．4、222．双曲线224x y-=-的顶点坐标是（）．A．(0,1)± B．(0,2)± C．(1,0)± D．（2,0±）3．双曲线22148x y-=的离心率为（）．A．1 B ．2 C ．3 D．24．双曲线2241x y-=的渐近线方程是．5．经过点(3,1)A-，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程是．6．求焦点在y轴上，焦距是16，43e=的双曲线的标准方程．7．求与椭圆2214924x y+=有公共焦点，且离心率54e=的双曲线的方程．§2.3.2双曲线的简单几何性质(2)学习目标1．从具体情境中抽象出椭圆的模型；2．掌握椭圆的定义； 3．掌握椭圆的标准方程． 学习过程 一、课前准备复习1：说出双曲线的几何性质?复习2：双曲线的方程为221914x y -=，其顶点坐标是( )，( )；渐近线方程．二、新课导学 学习探究探究1：椭圆22464x y +=的焦点是？探究2：双曲线的一条渐近线方程是30x y +=，则可设双曲线方程为？问题：若双曲线与22464x y +=有相同的焦点，它的一条渐近线方程是30x y +=，则双曲线的方程是？典型例题例1双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m ，上口半径为13m ，下口半径为25m ，高为55m ，试选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程．例2点(,)M x y 到定点(5,0)F 的距离和它到定直线l :165x =的距离的比是常数54，求点M 的轨迹．例3过双曲线22136x y -=的右焦点，倾斜角为30的直线交双曲线于,A B 两点，求,A B 两点的坐标．变式：求AB ？思考：1AF B ∆的周长？练一练练1．若椭圆22214x y a +=与双曲线2212x y a -=的焦点相同，则a =____.练2 ．若双曲线2214x y m -=的渐近线方程为32y x =±，求双曲线的焦点坐标．三、总结提升 ※学习小结1．双曲线的综合应用：与椭圆知识对比，结合； 2．双曲线的另一定义；3．直线与双曲线的位置关系．4、双曲线的第二定义：到定点的距离与到定直线的距离之比大于1的点的轨迹是双曲线． 当堂检测1．若椭圆2212516x y +=和双曲线22145x y -=的共同焦点为F 1，F 2，P 是两曲线的一个交点，则12PF PF ∙的值为（ ）．A ．212B ．84C ．3D ．212．以椭圆2212516x y +=的焦点为顶点，离心率为2的双曲线的方程（ ）． A. 2211648x y -= B. 221927x y -= C. 2211648x y -=或221927x y -= D. 以上都不对3．过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的直线，交双曲线于P 、Q ，1F 是另一焦点，若∠12PFQ π=，则双曲线的离心率e 等于（ ）．A.21-B. 2C. 21+D. 22+4．双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，这双曲线的方程为_______________.5．方程22141x y k k+=--表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围．6．已知双曲线的焦点在x 轴上，方程为22221x y a b-=，两顶点的距离为8，一渐近线上有点(8,6)A ，试求此双曲线的方程．。
2.3.2双曲线的几何性质导学案
2.3.2双曲线的几何性质一、 知识目标：1.掌握双曲线的简单几何性质2.了解双曲线的渐近性及渐近线的概念3.能区别椭圆与双曲线的性质二、 自主学习：2.等轴双曲线：实轴与虚轴________的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线方程是___________三、课堂检测：1、写出下列双曲线的实轴长和虚轴长、顶点坐标、焦点坐标和渐近线方程。
(1)221259x y -= (2)14491622=-y x (3)22981x y -+=2.已知双曲线的焦点在x 轴上，中心在原点，如果焦距为8，实轴长为6，求此双曲线的标准方程及其离心率。
3.根据下列条件求双曲线的标准方程。
（1）已知双曲线一焦点坐标为（5,0），一渐近线方程为04-3=y x 。
（2）与双曲线221169x y -=有公共的渐近线，且经过点3)A -。
（3）焦点在x 轴上，12||12F F =,顶点12,A A 是线段12F F 的三等分点四.课堂小结： 我的收获：__________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ 我的疑惑：________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ 五.课后练习：1.双曲线2228x y -=的实轴长是_______，渐近线方程是：_____________.2.双曲线221412x y -=的焦点到渐近线的距离为___________.3.双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m =_______.4.已知双曲线的一条渐近线为0x =，且与椭圆22464x y +=有相同的焦点，求双曲线的标准方程.5.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是12F F 、，过1F 做倾斜角为30°的直线，交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，求双曲线的离心率.6. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线方程为y =，若顶点到渐近线的距离为1，求双曲线的标准方程.7.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线均和圆22:650C x y x +-+=相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，求双曲线的标准方程.。
高中数学 3.3.2《双曲线的简单几何性质》导学案 北师大版选修2-1
2.3.2《双曲线的简单几何性质》导学案【学习目标】1.通过方程，研究曲线的性质.理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；2.掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题；3.掌握双曲线的渐近线的求法. 【导入新课】 复习导入1.复习椭圆的几何性质，重点复习它的范围、对称性、离心率、和有关量，类比得到双曲线的有关性质；2. 双曲线的标准方程及其推导过程. 新授课阶段双曲线的简单几何性质①范围：由双曲线的标准方程得，222210y x b a=-≥，进一步得：x a ≤-，或x a ≥．这说明双曲线在不等式 所表示的区域；②对称性：由以x -代x ，以y -代y 和x -代x ，且以y -代y 这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以 为对称轴， 为对称中心；③顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做 ，焦点不在的对称轴叫做 ；④渐近线：直线 叫做双曲线22221x y a b-=的渐近线；⑤离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比 叫做双曲线的离心率（1e >）． 例1双曲线方程为2221x y -=，则它的右焦点坐标为（ ）A.0⎫⎪⎪⎝⎭B.0⎫⎪⎪⎝⎭C.0⎫⎪⎪⎝⎭D.)【解析】例2求与双曲线221169x y -=共渐近线，且经过()3A -点的双曲线的标准方及离心率． 解：【点评】这个要进行分类讨论，但只有一种情形有解，事实上，可直接设所求的双曲线的方程为()22,0169x y m m R m -=∈≠. 例3 已知双曲线C :12222=-by a x (0,0)a b >>，B 是右顶点,F 是右焦点, 点A 在x 轴正半轴上，且满足 OA OB OF ||、||、||成等比数列,过F 作双曲线C 在第一、三象限的渐近线的垂线l ，垂足为P . （1）求证：⋅=⋅；（2）若l 与双曲线C 的左、右两支分别相交于点D 、E ，求双曲线C 的离心率e 的取值范围. 解：1.双曲线的几何性质的灵活运用；2.双曲线的渐近线的求法及其运用. 作业见同步练习部分 拓展提升1．双曲线1322=-y x 的渐近线中，斜率较小的一条渐近线的倾斜角是（ ） Ａ．060 Ｂ．090 Ｃ．0120 Ｄ．01502．如果221||21x y k k+=---表示焦点在y 轴上的双曲线，那么它的半焦距C 的取值范围是（ ） A ．(1,＋∞) B ．（0，2） C ．(2,＋∞) D ．（1，2）3．已知对称轴为坐标轴的双曲线的一条渐近线为x －2y =0，则该双曲线的离心率为（ ）A 或 5B 或 3CD ．54 或54．过点（－7，－6 2 ）与（27 ，－3）的双曲线标准方程为 .5．已知F 1，F 2是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0)的左、右两个焦点，点P 在双曲线右支上，O 为坐标原点，若△POF 2是面积为1的正三角形，则b 的值是 .6． 设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C.3＋12 D.5＋127． 已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则PA 1→·PF 2→的最小值为( )A ．－2B ．－8116C ．1D ．0 8． 双曲线x 216－y 29＝1上到定点(5,0)的距离是9的点的个数是( )A ．0B ．2C ．3D ．49． 双曲线2x 2－3y 2＝1的渐近线方程是________.10．在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为(5,0)，e 1＝(2,1)、e 2＝(2，－1)分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线Γ上的点P ，若OP →＝a e 1＋b e 2(a 、b ∈R )，则a 、b 满足的一个等式是________.11．双曲线的渐近线为y ＝±43x ，则双曲线的离心率为________.12．点M (x ，y )到定点F (5,0)距离和它到定直线l ：x ＝95的距离的比是53，(1)求点M 的轨迹方程；(2)设(1)中所求方程为C ，在C 上求点P ，使|OP |＝34(O 为坐标系原点).13．已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点F (－2,0) .(1)求双曲线方程；(2)设Q 是双曲线上一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M ，若|MQ →|＝2|QF →|，求直线l 的方程.参考答案新授课阶段双曲线的简单几何性质x a ≤-，或x a ≥ x 轴和y 轴，原点 实轴，虚轴；b y x a =±ac e = 例1【解析】双曲线的222131,,,22a b c c ====.【答案】C 例2解：根据双曲线221169x y -=的渐近线方程为34y x =±. ① 焦点在x 轴上时，设所求的双曲线为22221169x y k k-=， ∵()3A -点在双曲线上，∴214k =-，无解； ② 焦点在y 轴上时，设所求的双曲线为22221169x y k k -+=， ∵()3A -点在双曲线上，∴214k =， 因此，所求双曲线的标准方程为221944y x -=，离心率53e =. 【点评】这个要进行分类讨论，但只有一种情形有解，事实上，可直接设所求的双曲线的方程为()22R,0169x y m m m -=∈≠. 例3 解：（1）法一．:()al y x c b=--， (),,a y x c bb y x a ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得2(,).a ab P c c |OA → |,|OB → |,|OF → |成等比数列，PA →=（0，－ab c）法二：同上得2(,).a ab P c c0.PA x PA OP PA FP PA OF PA OP PA FP ∴⊥⋅-⋅=⋅=∴⋅=⋅轴．． （2）222222(),,a y x c bb x a y a b ⎧=--⎪⎨⎪-=⎩422222244422222222422221242244222222)2()0,()0,.,.2a b x x c a b b a a a c b x cx a b b b b a c a b b x x a b bb a b ac a a e e ∴--=-+-+=-+⋅=<-∴>>->∴>>（）．即（即．即 拓展提升1．C 【解析】求出倾斜角的正切值. 2．A 【解析】解不等式组.3．A 【解析】由a,b 之间的关系转化成a,c 之间的关系.4．2212575x y -=【解析】待定系数法. 5． 2 【解析】数形结合.6．D 【解析】设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，设F (c,0)，B (0，b )，直线FB 的斜率为－bc ，与其垂直的渐近线的斜率为b a ，所以有－b 2ac ＝－1，即b 2＝ac ，所以c 2－a 2＝ac ，两边同时除以a 2可得e 2－e －1＝0，解得e ＝1＋52. 22222222(,),(,),,..a ab b ab OP FP c c c ca b a b PA OP PA FP c cPA OP PA FP ==-∴⋅=-⋅=-∴⋅=⋅7．A [解析] 由已知可得A 1(－1,0)，F 2(2,0)，设点P 的坐标为(x ，y )，则PA 1→·PF 2→＝(－1－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－x －2＋y 2，因为x 2－y 23＝1 (x ≥1)，所以PA 1→·PF 2→＝4x 2－x －5，当x ＝1时，PA 1→·PF 2→有最小值－2.故选A.8．C [解析] (5,0)是双曲线的右焦点，它到双曲线左顶点的距离为9，所以以(5,0)为圆心，以9为半径作圆，该圆与双曲线的右支有两个交点，所以共有3个这样的点. 9．y ＝±63x [解析] 双曲线2x 2－3y 2＝1的渐近线方程为2x ±3y ＝0，即y ＝±63x . 10．4ab ＝1 [解析] 易知双曲线Γ的方程为x 24－y 2＝1，设P (x 0，y 0)，又e 1＝(2,1)，e 2＝(2，－1)，由OP →＝a e 1＋b e 2，得(x 0，y 0)＝a (2，1)＋b (2，－1)，即(x 0，y 0)＝(2a ＋2b ，a －b )， ∴x 0＝2a ＋2b ，y 0＝a －b ， 代入x 24－y 2＝1整理得4ab ＝1.11.53或54 [解析] 当焦点在y 轴上时，a b ＝43，即9a 2＝16b 2＝16(c 2－a 2)，解得e ＝54；当焦点在x 轴上时，b a ＝43，即16a 2＝9b 2＝9(c 2－a 2)，解得e ＝53.12．[解答] (1)|MF |＝x －2＋y 2，点M 到直线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －95，依题意，有x －2＋y2⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －95＝53， 去分母，得3x －2＋y 2＝|5x －9|，平方整理得x 29－y 216＝1，即为点M 的轨迹方程．(2)设点P 坐标为P (x ，y )， 由|OP |＝34得x 2＋y 2＝34，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 29－y 216＝1，x 2＋y 2＝34，得⎩⎨⎧x ＝32，y ＝4或⎩⎨⎧x ＝－32，y ＝－4或⎩⎨⎧x ＝－32，y ＝4或⎩⎨⎧x ＝32，y ＝－4，∴点P 为(32，4)或(－32，－4)或(－32，4)或(32，－4).13．解：(1)由题意可设所求的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则有e ＝ca＝2，c ＝2，所以a ＝1，则b ＝3，所以所求的双曲线方程为x 2－y 23＝1 .(2)因为直线l 与y 轴相交于M 且过焦点F (－2,0)，所以l 的斜率一定存在，设为k ，则l ：y ＝k (x ＋2)， 令x ＝0，得M (0,2k )，因为|MQ →|＝2|QF →|且M 、Q 、F 共线于l ， 所以MQ →＝2QF →或MQ →＝－2QF →. 当MQ →＝2QF →时，x Q ＝－43，y Q ＝23k ，所以Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，23k ， 因为Q 在双曲线x 2－y 23＝1上，所以169－4k 227＝1，所以k ＝±212，所以直线l 的方程为y ＝±212(x ＋2)，当MQ →＝－2QF →时，同理求得Q (－4，－2k )代入双曲线方程得， 16－4k 23＝1，所以k ＝±352，所以直线l 的方程为y ＝±352(x ＋2) . 综上：所求的直线l 的方程为y ＝±212(x ＋2)或y ＝±352(x ＋2).。
高中数学《双曲线的简单几何性质第二课时》(导学案)
第二章 圆锥曲线与方程2.2.2 双曲线的简单几何性质(第二课时)一、学习目标1．掌握双曲线的简单的几何性质．2．掌握直线与双曲线的位置关系．【重点、难点】1.了解双曲线的几何性质，并会应用于实际问题之中.（重点）2.会利用双曲线的定义、标准方程、几何性质及图形四者之间的内在联系，分析和解决实际问题.(难点)二、学习过程【复习引入】复习 1：直线与椭圆有哪些位置关系:复习2: 判断直线与椭圆位置关系的方法:【导入新课】直线与双曲线的位置关系(1)一般地，设直线l ：y ＝kx ＋m ，①双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)．② 把①代入②得(b 2－a 2k 2)x 2－2a 2mkx －a 2m 2－a 2b 2＝0.①当b 2－a 2k 2＝0时，直线l 与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C 相交于一点．②当b 2－a 2k 2≠0时，Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交；Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切；Δ<0⇒直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离．注意：直线和双曲线只有一个公共点时，直线不一定与双曲线相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点．(2)弦长公式：斜率为k 的直线l 与双曲线相交于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则|AB|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2.【典型例题】例1．若直线y=kx-1与双曲线122=-y x 有且只有一个交点,则k 的值为__________ .例2.过点(0,1)且斜率为1的直线交双曲线x 2-错误!未找到引用源。
=1于A,B 两点,则|AB|= .例3.过点P(8,1)的直线与双曲线x 2-4y 2=4相交于A,B 两点,且P 是线段AB 的中点,求直线AB 的方程.【变式拓展】1 直线2x-y-10=0与双曲线152022=-y x 的交点是 ____________ .2.双曲线的两条渐近线的方程为y ＝±2x ，且经过点(3，－23)．(1)求双曲线的方程；(2)过双曲线的右焦点F 且倾斜角为60°的直线交双曲线于A 、B 两点，求|AB|.3.双曲线中心在原点，一个焦点坐标为F(7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为－23，则双曲线的方程为________．三、总结反思1.求弦长的两种方法(1)距离公式法:当弦的两端点坐标易求时,可直接求出交点坐标,再利用两点间距离公式求弦长.(2)弦长公式法:当弦的两端点坐标不易求时,可利用弦长公式求解,即若直线l:y=kx+b(k ≠0)与双曲线C:12222=-b y a x (a>0,b>0)交于A(11,y x ),B(22,y x )两点,则|AB|= ||1||1211212y y x x k k -+=-+ 提醒:若直线方程涉及斜率,要注意讨论斜率不存在的情况.2.中点弦问题与弦中点有关的问题主要用点差法,根与系数的关系解决.另外,要注意灵活转化,如垂直、相等等问题也可以转化成中点、弦长等问题解决.四、随堂检测1．已知双曲线方程为x 2－y 24＝1，过P(1,0)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l 的条数为( ) A ．4 B ．3C ．2D ．12．若直线x ＝a 与双曲线x 24－y 2＝1有两个交点，则a 的值可以是( ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．－23.直线y=x+4与双曲线x 2-y 2=1的交点坐标为 .4.过点(0,1)且斜率为1的直线交双曲线x 2-错误!未找到引用源。
双曲线(经典导学案及练习答案详解)
§8.7双曲线学习目标1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.了解双曲线的简单应用．知识梳理1．双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F 1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．2．双曲线的标准方程和简单几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c范围x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b离心率e＝ca∈(1，＋∞)渐近线y＝±ba x y＝±ab xa，b，c的关系c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)常用结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c －a .(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为2b 2a.(4)若P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则12PF F S △＝b 2tan θ2，其中θ为∠F 1PF 2.(5)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)到两定点的距离差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线．( × ) (2)方程x 2m －y 2n ＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( × )(3)双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)的渐近线方程是x m ±yn ＝0.( √ )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ ) 教材改编题1．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )A. 5 B ．5 C. 2 D ．2 答案 A解析 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，即b ＝2a ， 又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2. ∴e 2＝c 2a 2＝5，∴e ＝ 5. 2．设P 是双曲线x 216－y 220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|等于( )A ．1B ．17C ．1或17D ．以上均不对 答案 B解析 根据双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝8⇒|PF 2|等于1或17.又|PF 2|≥c －a ＝2，故|PF 2|＝17. 3．(2022·汕头模拟)写一个焦点在y 轴上且离心率为3的双曲线方程________． 答案y 2－x 22＝1(答案不唯一，符合要求就可以) 解析 取c ＝3，则e ＝ca＝3，可得a ＝1，∴b ＝c 2－a 2＝2， 因此，符合条件的双曲线方程为y 2－x 22＝1(答案不唯一，符合要求就可以).题型一 双曲线的定义及应用例1 (1)已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，N 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，则点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆答案 B解析 如图，连接ON ，由题意可得|ON |＝1，且N 为MF 1的中点，又O 为F 1F 2的中点，所以|MF 2|＝2.因为点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，由垂直平分线的性质可得|PM |＝|PF 1|， 所以||PF 2|－|PF 1||＝||PF 2|－|PM || ＝|MF 2|＝2<|F 1F 2|，所以由双曲线的定义可得，点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线．(2)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为______． 答案 2 3解析 不妨设点P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝12， ∴|PF 1|·|PF 2|＝8，∴12F PF S △＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝2 3.延伸探究 在本例(2)中，若将“∠F 1PF 2＝60°”改为“PF 1―→·PF 2―→＝0”，则△F 1PF 2的面积为_____．答案 2解析 不妨设点P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， ∵PF 1―→·PF 2―→＝0，∴PF 1―→⊥PF 2―→，∴在△F 1PF 2中，有|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2， 即|PF 1|2＋|PF 2|2＝16， ∴|PF 1|·|PF 2|＝4，∴12F PF S △＝12|PF 1|·|PF 2|＝2.教师备选1．已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1，C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( ) A ．x 2－y 28＝1B.x 28－y 2＝1 C ．x 2－y 28＝1(x ≤－1) D ．x 2－y 28＝1(x ≥1) 答案 C解析 设圆M 的半径为r ，由动圆M 同时与圆C 1和圆C 2相外切， 得|MC 1|＝1＋r ，|MC 2|＝3＋r ， |MC 2|－|MC 1|＝2<6，所以点M 的轨迹是以点C 1(－3,0)和C 2(3,0)为焦点的双曲线的左支， 且2a ＝2，a ＝1，又c ＝3， 则b 2＝c 2－a 2＝8， 所以点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)． 2．(2022·长春模拟)双曲线C 的渐近线方程为y ＝±233x ，一个焦点为F (0，－7)，点A (2，0)，点P 为双曲线第一象限内的点，则当点P 的位置变化时，△P AF 周长的最小值为( ) A ．8 B ．10 C ．4＋37 D ．3＋317答案 B解析 由已知得双曲线方程为y 24－x 23＝1，设双曲线的另一个焦点为F ′，则|PF |＝|PF ′|＋4，△P AF 的周长为|PF |＋|P A |＋|AF |＝|PF ′|＋4＋|P A |＋3，当F ′，P ，A 三点共线时， |PF ′|＋|P A |有最小值，为|AF ′|＝3， 故△P AF 的周长的最小值为10.思维升华 在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．跟踪训练1 (1)(2022·扬州、盐城、南通联考)已知双曲线C 的离心率为3，F 1，F 2是C 的两个焦点，P 为C 上一点，|PF 1|＝3|PF 2|，若△PF 1F 2的面积为2，则双曲线C 的实轴长为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．6 答案 B解析 由题意知，|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 所以|PF 2|＝a ，|PF 1|＝3a ， 又离心率e ＝ca ＝3，|F 1F 2|＝2c ＝23a ，所以cos ∠F 1PF 2＝9a 2＋a 2－12a 22·3a ·a＝－2a 26a 2＝－13， sin ∠F 1PF 2＝223，所以12PF F S △＝12·a ·3a ·223＝2a 2＝2，所以a ＝1，实轴长2a ＝2.(2)已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为________． 答案 9解析 设双曲线的右焦点为F 1，则由双曲线的定义，可知|PF |＝4＋|PF 1|， 所以当|PF 1|＋|P A |最小时满足|PF |＋|P A |最小． 由双曲线的图象，可知当点A ，P ，F 1共线时， 满足|PF 1|＋|P A |最小，|AF 1|＋4即|PF |＋|P A |的最小值． 又|AF 1|＝5，故所求的最小值为9. 题型二 双曲线的标准方程例2 (1)(2021·北京)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1过点(2，3)，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为( )A ．x 2－y 23＝1B.x 23－y 2＝1 C ．x 2－3y 23＝1D.3x 23－y 2＝1答案 A解析 ∵e ＝ca＝2，则c ＝2a ，b ＝c 2－a 2＝3a ， 则双曲线的方程为x 2a 2－y 23a2＝1，将点(2，3)的坐标代入双曲线的方程可得2a 2－33a 2＝1a 2＝1，解得a ＝1，故b ＝3，因此，双曲线的方程为x 2－y 23＝1. (2)若双曲线经过点(3，2)，且渐近线方程是y ＝±13x ，则双曲线的标准方程是________．答案y 2－x 29＝1 解析 设双曲线的方程是y 2－x 29＝λ(λ≠0)． 因为双曲线过点(3，2)， 所以λ＝2－99＝1，故双曲线的标准方程为y 2－x 29＝1. 教师备选1．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点F 为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的标准方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1 D.x 212－y 24＝1 答案 A解析 因为渐近线y ＝ba x 与直线x ＝a 交于点A (a ，b )，c ＝4且(4－a )2＋b 2＝4，解得a 2＝4，b 2＝12，因此双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1. 2．经过点P (3,27)，Q (－62，7)的双曲线的标准方程为________．答案 y 225－x 275＝1解析 设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －28n ＝1，72m －49n ＝1， 解得⎩⎨⎧m ＝－175，n ＝－125.∴双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.思维升华 求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a ，2b 或2c ，从而求出a 2，b 2. (2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为x 2m 2－y 2n 2＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．跟踪训练2 (1)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的标准方程是( ) A.7x 216－y 212＝1 B.y 23－x 22＝1 C ．x 2－y 23＝1 D.3y 223－x 223＝1 答案 C解析 因为双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，所以可设双曲线的方程为x 2－y 23＝λ(λ≠0)，将点(2,3)代入其中，得λ＝1，所以该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1. (2)(2022·佛山调研)已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 为双曲线上一点，PF 2与x 轴垂直，∠PF 1F 2＝30°，且虚轴长为22，则双曲线的标准方程为( ) A.x 24－y 22＝1 B.x 23－y 22＝1 C.x 24－y 28＝1 D ．x 2－y 22＝1 答案 D解析 由题意可知|PF 1|＝43c3， |PF 2|＝23c3， 2b ＝22，由双曲线的定义可得43c 3－23c3＝2a ，即c ＝3a .又b ＝2，c 2＝a 2＋b 2，∴a ＝1，∴双曲线的标准方程为x 2－y 22＝1.题型三 双曲线的几何性质 命题点1 渐近线例3 (1)由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio 设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为( )A.y 212－x 24＝1 B.3y 24－x 24＝1 C.x 24－y 24＝1 D.y 216－x 24＝1 答案 B解析 由题意知，b ＝2， 又因为e ＝ca ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝2，解得a 2＝43，所以双曲线的方程为3y 24－x 24＝1.(2)设O 为坐标原点，直线x ＝a 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于D ，E 两点，若△ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．32 答案 B解析 由题意知双曲线的渐近线方程为y ＝±bax .因为D ，E 分别为直线x ＝a 与双曲线C 的两条渐近线的交点， 所以不妨设D (a ，b )，E (a ，－b )，所以S △ODE ＝12×a ×|DE |＝12×a ×2b ＝ab ＝8，所以c 2＝a 2＋b 2≥2ab ＝16(当且仅当a ＝b 时等号成立)， 所以c ≥4，所以2c ≥8， 所以C 的焦距的最小值为8.思维升华 (1)渐近线的求法：求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线的方法是令x 2a 2－y 2b 2＝0，即得两渐近线方程x a ±yb ＝0⎝⎛⎭⎫y ＝±b a x . (2)在双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中，离心率e 与双曲线的渐近线的斜率k ＝±ba ，满足关系式e 2＝1＋k 2.命题点2 离心率例4 (1)(2021·全国甲卷)已知F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2＝60°，|PF 1|＝3|PF 2|，则C 的离心率为( ) A.72 B.132C.7D.13 答案 A解析 设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝3m ， 在△F 1PF 2中，|F 1F 2|＝m 2＋9m 2－2×3m ×m ×cos 60° ＝7m ，所以C 的离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|－|PF 2|＝7m 2m ＝72. 高考改编已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在双曲线E 的左支上，且∠F 1AF 2＝120°，|AF 2|＝2|AF 1|，则双曲线E 的离心率为( ) A. 3 B. 5 C.7 D ．7答案 C解析 点A 在双曲线E 的左支上，左、右焦点分别为F 1，F 2， 设|AF 1|＝m ，由|AF 2|＝2|AF 1|知|AF 2|＝2m ，由双曲线定义得|AF 2|－|AF 1|＝2m －m ＝m ＝2a ， 在△AF 1F 2中，|AF 1|＝2a ，|AF 2|＝4a ，∠F 1AF 2＝120°， 由余弦定理知，|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1||AF 2|cos 120° ＝4a 2＋16a 2＋8a 2＝28a 2， ∴|F 1F 2|＝27a ， 又|F 1F 2|＝2c ，∴27a ＝2c ，e ＝ca＝7.(2)(2022·滨州模拟)已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点P是双曲线C 上在第一象限内的一点，若sin ∠PF 2F 1＝3sin ∠PF 1F 2，则双曲线C 的离心率的取值范围为( ) A ．(1,2) B ．(1,3) C ．(3，＋∞) D ．(2,3)答案 A解析 在△PF 1F 2中， sin ∠PF 2F 1＝3sin ∠PF 1F 2， 由正弦定理得，|PF 1|＝3|PF 2|，又点P 是双曲线C 上在第一象限内的一点， 所以|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 所以|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a ，在△PF 1F 2中，由|PF 1|＋|PF 2|>|F 1F 2|， 得3a ＋a >2c ，即2a >c ， 所以e ＝ca <2，又e >1，所以1<e <2. 教师备选1．(2022·济南模拟)已知双曲线x 2m ＋1－y 2m ＝1(m >0)的渐近线方程为x ±3y ＝0，则m 等于( )A.12B.3－1C.3＋12D ．2答案 A解析 由渐近线方程y ＝±b a x ＝±33x ， 所以b a ＝33， 则b 2a 2＝13， 即m m ＋1＝13，m ＝12. 2．设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D. 5答案 A解析 令双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 的坐标为(c ，0)，则c ＝a 2＋b 2. 如图所示，由圆的对称性及条件|PQ |＝|OF |可知，PQ 是以OF 为直径的圆的直径，且PQ ⊥OF .设垂足为M ，连接OP ，则|OP |＝a ，|OM |＝|MP |＝c 2， 由|OM |2＋|MP |2＝|OP |2，得⎝⎛⎭⎫c 22＋⎝⎛⎭⎫c 22＝a 2，∴c a＝2，即离心率e ＝ 2. 思维升华 求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a ，b ，c 的方程或不等式，利用c 2＝a 2＋b 2和e ＝c a转化为关于e 的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)．跟踪训练3 (1)(多选)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，C 上的点到其焦点的最短距离为1，则( )A ．双曲线C 的焦点坐标为(0，±2)B ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±3xC ．点(2,3)在双曲线C 上D ．直线mx －y －m ＝0(m ∈R )与双曲线C 恒有两个交点答案 BC解析 双曲线C 上的点到其焦点的最短距离为c －a ＝1，离心率e ＝c a ＝2，所以a ＝1，c ＝2，所以b 2＝3，所以双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1，所以C 的焦点坐标为(±2,0)，A 错误； 双曲线C 的渐近线方程为y ＝±b ax ＝±3x ，B 正确； 因为22－323＝1，所以点(2,3)在双曲线C 上，C 正确； 直线mx －y －m ＝0即y ＝m (x －1)，恒过点(1,0)，当m ＝±3时，直线与双曲线C 的一条渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个交点，D 错误．(2)(2022·威海模拟)若双曲线C 1：y 24－x 29＝1与双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)有公共点，则双曲线C 2的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫1，132B.⎝⎛⎭⎫1，133 C.⎝⎛⎭⎫132，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫133，＋∞ 答案 D解析 因为双曲线C 1：y 24－x 29＝1的渐近线方程为y ＝±23x ， 双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±b ax ， 为使双曲线C 1：y 24－x 29＝1与双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)有公共点， 只需b a >23， 则离心率为e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2>1＋49＝133. 课时精练1．双曲线9x 2－16y 2＝1的焦点坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫±512，0 B.⎝⎛⎭⎫0，±512 C ．(±5,0) D ．(0，±5)答案 A解析 将双曲线的方程化为标准形式为x 219－y 2116＝1， 所以c 2＝19＋116＝25144， 所以c ＝512， 所以焦点坐标为⎝⎛⎭⎫±512，0. 2．已知双曲线x 2m －y 2m ＋6＝1(m >0)的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为( ) A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 28＝1 C ．x 2－y 28＝1 D.x 22－y 28＝1 答案 D解析 由题意，得2m ＝m ＋6，解得m ＝2，所以双曲线的标准方程为x 22－y 28＝1. 3．若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．3答案 B解析 方法一 依题意知，点P 在双曲线的左支上，根据双曲线的定义，得|PF 2|－|PF 1|＝2×3＝6，所以|PF 2|＝6＋3＝9.方法二 根据双曲线的定义，得||PF 2|－|PF 1||＝2×3＝6，所以||PF 2|－3|＝6，所以|PF 2|＝9或|PF 2|＝－3(舍去)．4．(2022·大连模拟)若双曲线C ：x 29－y 2b 2＝1的右焦点到它的一条渐近线的距离是33，则C 的离心率为( )A ．2 B. 3 C.43 D.233答案 A解析 双曲线C ：x 29－y 2b 2＝1的右焦点坐标为(9＋b 2，0)，渐近线方程为y ＝±b 3x ，即bx ±3y ＝0， ∵双曲线C ：x 29－y 2b 2＝1的右焦点到它的一条渐近线的距离是33， ∴b 9＋b 2b 2＋9＝33， 解得b ＝33，∴c ＝9＋b 2＝9＋(33)2＝6，∴离心率e ＝c a ＝63＝2. 5．(多选)已知双曲线C 的方程为x 216－y 29＝1，则下列说法正确的是( ) A ．双曲线C 的实轴长为8B ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±34x C ．双曲线C 的焦点到渐近线的距离为3D ．双曲线C 上的点到焦点距离的最小值为94答案 ABC解析 因为a 2＝16，所以a ＝4,2a ＝8，故A 正确；因为a ＝4，b ＝3，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±34x ，故B 正确； 因为c ＝a 2＋b 2＝16＋9＝5，所以焦点坐标为(－5,0)，(5,0)，焦点(5,0)到渐近线3x －4y ＝0的距离为|15|32＋(－4)2＝3，故C 正确；双曲线C 上的点到焦点距离的最小值为c －a ＝1，故D 错误． 6．(多选)(2022·潍坊模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 29＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，一条渐近线方程为y ＝34x ，P 为C 上一点，则以下说法正确的是( ) A ．C 的实轴长为8B ．C 的离心率为53 C ．|PF 1|－|PF 2|＝8D ．C 的焦距为10 答案 AD解析 由双曲线方程知，渐近线方程为y ＝±3a x ，而一条渐近线方程为y ＝34x ， ∴a ＝4，故C ：x 216－y 29＝1， ∴双曲线实轴长为2a ＝8，离心率e ＝c a ＝16＋94＝54， 由于P 可能在C 不同分支上，则有||PF 1|－|PF 2||＝8，焦距为2c ＝2a 2＋b 2＝10.∴A ，D 正确，B ，C 错误．7．(2021·新高考全国Ⅱ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，则该双曲线C 的渐近线方程为________．答案 y ＝±3x解析 因为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2， 所以e ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝2，所以b 2a2＝3， 所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ＝±3x . 8．设双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F .过点F 且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．答案 3215解析 因为a 2＝9，b 2＝16，所以c ＝5.所以A (3,0)，F (5,0)，不妨设直线BF 的方程为y ＝43(x －5)， 代入双曲线方程解得B ⎝⎛⎭⎫175，－3215. 所以S △AFB ＝12|AF |·|y B |＝12×2×3215＝3215. 9．已知双曲线x 216－y 24＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2. (1)若点M 在双曲线上，且MF 1－→·MF 2－→＝0，求M 点到x 轴的距离；(2)若双曲线C 与已知双曲线有相同的焦点，且过点(32，2)，求双曲线C 的方程． 解 (1)不妨设M 在双曲线的右支上，M 点到x 轴的距离为h ，∵MF 1－→·MF 2－→＝0，∴MF 1⊥MF 2.设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ，由双曲线的定义知m －n ＝2a ＝8.①在Rt △F 1MF 2中，由勾股定理得m 2＋n 2＝(2c )2＝80，②由①②得m ·n ＝8.∵12MF F S △＝12mn ＝4＝12×2ch ， ∴h ＝255. 即M 点到x 轴的距离为255. (2)设双曲线C 的方程为x 216－λ－y 24＋λ＝1(－4<λ<16)． ∵双曲线C 过点(32，2)，∴1816－λ－44＋λ＝1， 解得λ＝4或λ＝－14(舍去)，∴双曲线C 的方程为x 212－y 28＝1. 10．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，渐近线方程是y ＝±255x ，点A (0，b )，且△AF 1F 2的面积为6.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)与双曲线C 交于不同的两点P ，Q ，若|AP |＝|AQ |，求实数m 的取值范围． 解 (1)由题意得b a ＝255，① 12AF F S △＝12×2c ·b ＝6，②a 2＋b 2＝c 2，③由①②③可得a 2＝5，b 2＝4，∴双曲线C 的标准方程是x 25－y 24＝1. (2)由题意知直线l 不过点A .设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，线段PQ 的中点为D (x 0，y 0)，连接AD (图略)．将y ＝kx ＋m 与x 25－y 24＝1联立，消去y ， 整理得(4－5k 2)x 2－10kmx －5m 2－20＝0，由4－5k 2≠0且Δ>0，得⎩⎪⎨⎪⎧4－5k 2≠0，80(m 2－5k 2＋4)>0，④ ∴x 1＋x 2＝10km 4－5k 2，x 1x 2＝－5m 2＋204－5k 2， ∴x 0＝x 1＋x 22＝5km 4－5k 2， y 0＝kx 0＋m ＝4m 4－5k 2. 由|AP |＝|AQ |知，AD ⊥PQ ，又A (0,2)，∴k AD ＝y 0－2x 0＝4m 4－5k 2－25km 4－5k 2＝－1k， 化简得10k 2＝8－9m ，⑤由④⑤，得m <－92或m >0. 由10k 2＝8－9m >0，得m <89. 综上，实数m 的取值范围是m <－92或0<m <89.11．(多选)双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在双曲线C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，则下列说法正确的是( )A ．双曲线C 的离心率为62B ．双曲线y 24－x 28＝1与双曲线C 的渐近线相同 C ．若PO ⊥PF ，则△PFO 的面积为 2D ．|PF |的最小值为2答案 ABC解析 因为a ＝2，b ＝2，所以c ＝a 2＋b 2＝6，所以e ＝c a ＝62， 故A 正确；双曲线y 24－x 28＝1的渐近线方程为y ＝±22x ，双曲线C 的渐近线方程为y ＝±22x ，故B 正确； 因为PO ⊥PF ，点F (6，0)到渐近线2x －2y ＝0的距离d ＝|2×6|6＝2， 所以|PF |＝2，所以|PO |＝(6)2－(2)2＝2，所以△PFO 的面积为12×2×2＝2， 故C 正确；|PF |的最小值即为点F 到渐近线的距离，即|PF |＝2，故D 不正确．12．(2022·湖南师大附中模拟)已知双曲线C: x 24－y 2b2＝1(b >0)，以C 的焦点为圆心，3为半径的圆与C 的渐近线相交，则双曲线C 的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫1，32 B.⎝⎛⎭⎫1，132 C.⎝⎛⎭⎫ 32，132 D ．(1，13) 答案 B解析 由题意可知双曲线的其中一条渐近线为y ＝b 2x ，即bx －2y ＝0， 又该圆的圆心为(c ，0)，故圆心到渐近线的距离为bc b 2＋4， 则由题意可得bc b 2＋4<3，即b 2c 2<9(b 2＋4)， 又b 2＝c 2－a 2＝c 2－4，则(c 2－4)c 2<9c 2，解得c 2<13，即c <13，则e ＝c a ＝c 2<132，又e >1， 故离心率的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，132. 13．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为x －2y ＝0，双曲线的左焦点在直线x ＋y ＋5＝0上，A ，B 分别是双曲线的左、右顶点，点P 为双曲线右支上位于第一象限的动点，直线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1＋k 2的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)答案 A 解析 由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为x －2y ＝0，可得a ＝2b ，由双曲线的左焦点在直线x ＋y ＋5＝0上，可得c ＝5，则由a 2＋b 2＝c 2，得a ＝2，b ＝1，双曲线的方程为x 24－y 2＝1， 由题意可得A (－2,0)，B (2,0)，设P (m ，n )(m >2，n >0)，则m 24－n 2＝1，即n 2m 2－4＝14， k 1k 2＝n m ＋2·n m －2＝n 2m 2－4＝14， 易知k 1，k 2>0，则k 1＋k 2≥2k 1k 2＝1，由A ，B 分别为双曲线的左、右顶点，可得k 1≠k 2，则k 1＋k 2>1.14．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为原点，若以F 1F 2为直径的圆与C 的渐近线的一个交点为P ，且|F 1P |＝3|OP |，则C 的渐近线方程为________． 答案 y ＝±3x解析 根据双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，O 为原点，以F 1F 2为直径的圆与C 的渐近线的一个交点为P ，如图所示，则|F 1O |＝|OP |＝c ，|F 1P |＝3|OP |＝3c ，所以在△POF 1中，由余弦定理可得cos ∠POF 1＝|OP |2＋|OF 1|2－|PF 1|22|OP |·|OF 1|＝c 2＋c 2－()3c 22×c ×c＝－12. 所以∠POF 1＝2π3，则∠POF 2＝π3，所以tan ∠POF 2＝tan π3＝3， 则渐近线方程为y ＝±3x .15．(多选)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦点在圆O ：x 2＋y 2＝13上，圆O 与双曲线C 的渐近线在第一、二象限分别交于点M ，N ，点E (0，a )满足EO →＋EM →＋EN →＝0(其中O 为坐标原点)，则( )A ．双曲线C 的一条渐近线方程为3x －2y ＝0B ．双曲线C 的离心率为132C ．|OE →|＝1D ．△OMN 的面积为6答案 ABD解析 如图，设双曲线C 的焦距为2c ＝213，MN 与y 轴交于点P ，由题意可知|OM |＝c ＝13，则P (0，b )，由EO →＋EM →＋EN →＝0得点E 为△OMN 的重心，可得|OE |＝23|OP |， 即a ＝23b ，b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝94， 所以a ＝2，b ＝3，e ＝132. 双曲线C 的渐近线方程为3x ±2y ＝0，|OE →|＝2，M 的坐标为(2,3)，S △OMN ＝6.16．双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左顶点为A ，右焦点为F ，动点B 在C 上．当BF ⊥AF 时，|AF |＝|BF |.(1)求C 的离心率；(2)若B 在第一象限，证明：∠BF A ＝2∠BAF .(1)解 设双曲线的半焦距为c ，则F (c ，0)，B ⎝⎛⎭⎫c ，±b 2a ， 因为|AF |＝|BF |，所以b 2a＝a ＋c ， 所以c 2－a 2a＝a ＋c ， 所以c －a ＝a ，即c ＝2a ，所以e ＝2.(2)证明 设B (x 0，y 0)，其中x 0>a ，y 0>0. 因为e ＝2，故c ＝2a ，b ＝3a ， 故双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，所以∠BAF ∈⎝⎛⎭⎫0，π3，∠BF A ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3. 当∠BF A ＝π2时， 由题意易得∠BAF ＝π4， 此时∠BF A ＝2∠BAF .当∠BF A ≠π2时， 因为tan ∠BF A ＝－y 0x 0－c ＝－y 0x 0－2a， tan ∠BAF ＝y 0x 0＋a， 所以tan 2∠BAF ＝2y 0x 0＋a 1－⎝⎛⎭⎫y 0x 0＋a 2＝2y 0(x 0＋a )(x 0＋a )2－y 20 ＝2y 0(x 0＋a )(x 0＋a )2－b 2⎝⎛⎭⎫x 20a 2－1 ＝2y 0(x 0＋a )(x 0＋a )2－3a 2⎝⎛⎭⎫x 20a 2－1 ＝2y 0(x 0＋a )(x 0＋a )2－3(x 20－a 2) ＝2y 0(x 0＋a )－3(x 0－a ) ＝－y 0x 0－2a＝tan ∠BF A ，因为2∠BAF ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3，故∠BF A ＝2∠BAF . 综上，∠BF A ＝2∠BAF .。
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《双曲线的简单几何性质》导学案
编写人：熊华丽 审核人：邓晖 编写时间：2014.1.9
班级：_________ 组别：_____ 组名：________________ 姓名：________
【学习目标】
（1）通过对双曲线标准方程的讨论，掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等几何性质。
（2）了解双曲线中心、实轴、虚轴、渐近线等概念，以及它们的关系及其几何意义。
（3）通过探究，明确双曲线性质的研究过程和研究方法，培养我们类比、分析、归纳、猜想、概括、
论证等逻辑思维能力。
（4）通过类比旧知识，探索新知识，培养我们学习数学的兴趣，探索新知识的能力及勇于创新的精神。
【学习重难点】
学习重点：双曲线的简单几何性质。
学习难点：双曲线的离心率和渐近线。
【学习方法】：自主探究 合作交流 【学习思路】：
通过类比椭圆的几何性质，然后利用双曲线的图象探究它的几何性质，再利用几何性质解决实际
问题。
【知识链接】
复习1：双曲线的定义和标准方程是什么？
复习2：椭圆有哪些简单几何性质？以焦点在x 轴上的椭圆
为例，并画出草图。
【学习过程】
以方程122
22=-b
y a x 为例研究双曲线的简单几何性质
（一）范围
问题1：看图可知其范围是什么？
问题2：类比椭圆，从双曲线方程如何研究其范围？ （二）对称性
问题3：看图可知其有怎样的对称性？ 问题4：类比椭圆，能否证明其对称性？
（三）顶点
问题5：双曲线的顶点有几个？坐标是什么？
新知：双曲线的实轴：线段12A A ，长为2a ，半实轴长a ；
双曲线的虚轴：线段12B B ，长为2b ，半虚轴长b .
实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，2
2
-y =x m(m =0) 反思：与椭圆比较，为什么),0(),,0(21b B b B -不叫双曲线的顶点？ （四）渐近线
新知： 练习：（1） ___________________________
（2） ___________________________ 反思：（1）等轴双曲线的渐近线是什么？
（2）能不能从双曲线的方程直接推出渐近线方程？ （五）离心率：a
c e =
问题6：双曲线的离心率范围？ 问题7： 椭圆的离心率刻画了椭圆的圆扁程度，双曲线的离心率刻画了双曲线的什么几何特性呢？（将
a c e =
与a
b
k =的联系起来） 反思：等轴双曲线的离心率等于多少？
A1求双曲线11692
2
=-x y 的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近方程。
A2 求双曲线的标准方程：
(1)实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x 轴上； (2)焦距是10，虚轴长是8，焦点在y 轴上；
【归纳小结】
b
y x a 直线叫做双曲线的渐近线.
=±
【达标检测】
A1．双曲线的（）
A．顶点坐标是，虚轴端点坐标是
B．顶点坐标是，虚轴端点坐标是
C．顶点坐标是，渐近线方程是
D．虚轴端点坐标是，渐近线方程是
A2．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为（0，2），则双曲线的标准方程为（）
A．B． C．D．
B3．双曲线中，，的长成等差数列，则．
A4．以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程是_______________．
A5．已知下列双曲线方程，求它的焦点坐标、离心率、渐近线方程．
（1）；（2）．
B6求与双曲线
22
1
916
x y
-=有共同渐近线，且过点(3,3)
-的双曲线方程。