高教版中等职业学校职业高中平面向量的内积教案课件

高教版中等职业学校职业高中平面向量的数乘运算教案课件

【做一做】请画出图形来，分别验证这些法则．
向量加法及数乘运算在形式上与实数的有关运算规律相类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形，可直接应用于向量的运算中．但是，要注意向量的运算与数的运算的意义是不同的． *巩固知识典型例题例 6 在平行四边形 ABCD 中，O 为两对角线交点如图 7－ 16， AB ＝a ， AD ＝b，试用 a, b 表示向量 AO 、 OD ．分析因为 AO
动手求解
自我发现归纳 83
回答
及时了解学生知识掌握情况 85
AB ．
a 与向量 b 的模相等并且方向相同时，称向量 a 与向量 b 相等，记作 a = b ． *归纳小结强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？ *自我反思目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？计算：（1） AB ＋ BC ＋ CD ；（2） OB ＋ BC ＋ CA ．提问反思引导回忆
1a a ， 1 1 a a ；
a ∥ b a b
总结归纳
思考归纳
带领学生分析
（7．4）

理解记忆
2 a a a ； 3 a a a；
４ a b a b．
质疑aab图7?15ac引导分析总结归纳思考参与分析引导启发学生思考74aao动脑思考探索新知一般地实数?与向量a的积是一个向量记作?a它的模为?a??a73思考归纳理解记忆带领学生分析若?a?0则当?0时?a的方向与a的方向相同当?0时?a的方向与a的方向相反
*创设情境兴趣导入观察图 7－15 可以看出，向量 OC 与向量 a 共线，并且

高一下学期高教版中职数学基础模块下册《平面向量的内积》课件

平面向量的数量积
讨论总结性质：
（1）a⊥b a ·b=0 (判断两向量垂直的依据)
（2）当a 与b 同向时，a ·b =| a | ·| b |，当a 与b 反向
时， a ·b =-| a | ·| b | ．特别地 a a | a |2 或 | a | a a
（3）cos a b
| a || b |
平面向量的数量积及运算律
讨论总结性质： a ·b =|a | |b |cosθ
（1）e ·a=a ·e=| a | cos
(0 180 )
（2）a⊥b a ·b=0 (判断两向量垂直的依据)
（3）当a 与b 同向时，a ·b =| a | ·| b |，当a 与b 反向
时， a ·b =—| a | ·| b | ．
特别地 a a | a |2 或 | a | a a
（4）cos a b
| a || b |
运算律
b
b
a
a
练习1.确定下列向量的夹角：共起点
b
a
a
b
bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a
a
b
90
ab
a
b
0
ab
a
b
180
ab
数量积的定义
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹
角为，我们把数量 | a || b | cos 叫做a 与
b 的数量积（或内积），记作a · b ，即
a b | a || b | cos
规定：a 0 0 a 0 ．
第7章平面向量
7.3.1平面向量的内积
基础模块下册数学
1．空间两向量的夹角
(1)定义：两个非零向量 a，b，过空间任意一点 O，作O→A＝ a，O→B＝b，则∠AOB 叫做__向__量__a_与__向__量__b_的__夹__角__，记做 _〈__a_，__b_〉_，并且规定_0_≤_〈__a_，__b_〉__≤__π__；

高教版中等职业学校职业高中平面向量的概念定义教案课件

【课题】7.1 .1 平面向量的概念【教学目标】知识目标：（1）了解向量、向量的相等、共线向量等概念；（2）掌握向量、向量的相等、共线向量等概念．能力目标：通过这些内容的学习，培养学生的运算技能与熟悉思维能力．【教学重点】向量的线性运算．【教学难点】已知两个向量，求这两个向量的差向量以及非零向量平行的充要条件．【教学设计】从“不同方向的力作用于小车，产生运动的效果不同”的实际问题引入概念．向量不同于数量，数量是只有大小的量，而向量既有大小、又有方向．教材中用有向线段来直观的表示向量，有向线段的长度叫做向量的模，有向线段的方向表示向量的方向．数量可以比较大小，而向量不能比较大小，记号“a＞b”没有意义，而“︱a︱＞︱b︱”才是有意义的.教材通过生活实例，借助于位移来引入向量的加法运算．向量的加法有三角形法则与平行四边形法则.向量的减法是在负向量的基础上，通过向量的加法来定义的.即a-b=a+(-b)，它可以通过几何作图的方法得到，即a-b可表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.作向量减法时，必须将两个向量平移至同一起点.实数λ乘以非零向量a，是数乘运算，其结果记作λa，它是一个向量，其方向与向量a 相同，其模为a的λ倍．由此得到λ∥．对向量共线的充要条件，要特别注意“非a b a b⇔=λ≠”等条件.零向量a、b”与“0【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】图手写时应在字母上面加箭头，记作AB．模为零的向量叫做向量的方向相同；向量CD与PQ所在的直线平行，两个向量，方向相反，模相等．的模相等并且方向相同时，DC的负向量；）找出与向量AB平行的向量．析．两个向量相等，它们必须是方向相同，模相等；两个向量-,CDBA=DCBA//AB,DC//AB，CD//ABA F。

中职数学2.3向量的内积课件

2.3 向量的内积
情境导入探索新知典型例题巩固练习归纳总结布置作业
例1 解
2.3 向量的内积
情境导入探索新知典型例题巩固练习归纳总结布置作业
例2 解
2.3 向量的内积
情境导入探索新知典型例题巩固练习归纳总结布置作业
可以验证，向量的内积满足下面的运算规律：
2.3 向量的内积
2.3 向量的内积
练习
情境导入探索新知典型例题巩固练习归纳总结布置作业
7.如图所示,某中等职业学校物流服务与管理专业学生进行 “装卸搬运作业”,用T形叉车把重400N的货物从仓库出库区搬运至20m外的装载点.若拉力F的大小为150N,方向与水平线成45°角, 求拉力F所做的功.
2.3 向量的内积
情境导入探索新知典型例题巩固练习归纳总结布置作业
2.3 向量的内积
情境导入探索新知例题辨析巩固练习归纳总结习指导与练习》； 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾; 3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.
再见
例3 解
情境导入探索新知典型例题巩固练习归纳总结布置作业
2.3 向量的内积
练习
情境导入探索新知典型例题巩固练习归纳总结布置作业
2.3 向量的内积
练习
情境导入探索新知典型例题巩固练习归纳总结布置作业
2.3 向量的内积
练习
情境导入探索新知典型例题巩固练习归纳总结布置作业
由内积定义可知：零向量与任一向量的内积为0，即0 ·a=0.
2.3 向量的内积
情境导入探索新知典型例题巩固练习归纳总结布置作业
2.3 向量的内积

中职数学基础模块下册《平面向量的内积》课件

平面向量的内积在三维空间中的拓展
总结词
空间向量、三维空间、方向性
详细描述
平面向量的内积在三维空间中可以拓展为空间向量的内积。空间向量是指具有大小和方向的量，可以用三维实数向量表示。空间向量的内积是两个空间向量之间夹角θ的正弦值的绝对值与两个向量的模长乘积，表示两个向量的夹角。通过空间向量的内积运算，
平面向量的内积在几何中的应用
点到平面的距离
面积
利用平面向量的内积计算点到平面的距离。
利用平面向量的内积计算三角形的面积。
夹角
利用平面向量的内积计算两个向量的夹角。
平面向量的内积在物理中的应用
01
02
03
力的合成与分解
在物理中，力的合成与分解可以通过平面向量的内积来实现。
速度和加速度
速度和加速度可以通过平面向量的内积来计算。
中职数学基础模块下册《平面向量的内积》ppt课件
2023-12-11
contents
目录
• 平面向量的内积概述 • 平面向量的内积公式 • 平面向量的内积应用 • 平面向量的内积拓展
01
平面向量的内积概述
平面向量的内积定义
平面向量的内积定义
两个向量$\overset{\longrightarrow}{a}$ 与$\overset{\longrightarrow}{b}$的长度乘积为 $|\overset{\longrightarrow}{a}||\overset{ \longrightarrow}{b}|$，其夹角为$\theta$ ，则两向量的内积为 $\overset{\longrightarrow}{a} \cdot \overset{\longrightarrow}{b} = |\overset{\longrightarrow}{a}||\overset{\l ongrightarrow}{b}|\cos\theta$。

7.3 平面向量的内积(课件)- 2020-2021学年高一下学期数学(高教版基础模块下册)

b
b
2
2a b b
23 3 22 6 3 4
(3) a b (a b) (a b)
aaab babb
a
2
2a
b
b
2
32 23 3 22 13 6 3
5、练习：
P33 A组 1 P34 B组 5
参考答案：
1 、⑴10 ⑵ 3 2
⑶ 14
5、⑴ 3 3 ⑵1 9 3 ⑶ 37 6 3
三、小结：
1、向量的夹角 2、向量的内积概念 3、向量的内积的应用 4、向量的内积的基本性质
2、向量的内积概念
ab
a
b
cos a,b
(☆)
3、向量的内积的应用
⑴
a
a
a
,
或
a
2
a
a
⑵当a
0,
b
0时，cos
b研究以a下及特b例：在a时 (☆,)式求中a， b当的值
⑴
a
⑵当a
0,
b
a
a
,
或
a
0时，cos
2
a,b
a
a a
b
⑶a
b
a
b
0.(a
0,
b
a 0)
b
注:零向量与任何向量垂直.
求非零向量的夹角
例2已知a
b
2，a
1, b
4, 求
a,b
．
解：cos a，b
a,b
a
b
ab
⑶a
b
a
b
0.(a
0, b
0)
4、向量的内积的基本性质
(1)a b b a

中职数学教学课件：第7章-平面向量

注：1.向量两要素大小，方向
： 2.向量与数量的区别： ①数量只有大小，可以比较大小。
②向量有方向，大小双重属性，而方向是不能比较大小的，因此向量不能比较大小。
注：物理中向量与数量分别叫做
矢量、标量
(二）向量的表示方法
1、几何表示法：用有向线段表示。
A(起点）
B(终点）
有向线段三要素：起点、方向、长度
例4 用两条同样的绳子挂一个物体,设物体的重力为k，两条绳子的方向与垂线的夹角为，求物体受到沿两条绳子的方向的拉力 f1与 f2 的大小．
解利用平行四边形法则，可以得到 f2
f1
f1 f2 2 f1 cos k ，
k
所以
f1
k． 2 cos
根据例题4的分析，判断在单杠上悬挂身体时，两臂成什么角度时，双臂受力最小？
必和a，b之一的方向相同； √
(2)△ABC中，必有AB BC CA 0; × (3)若AB BC CA 0，则A, B,C为一个三角形的三顶×点； (4)若a，b均为非零向量，则a b 与 a b 相等； ×
(5)若向量a，b反向，且a b ,则a b与a的方向相同. ×
例3 一艘船以12 km/h的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流
例5 在平行四边形ABCD中，O为两对角线交点如图，AB ＝a， AD ＝b，试用a, b表示向量AO 、OD．
解 AC ＝a＋b，BD ＝b − a，
因为O分别为AC，BD的中点，所以
•——平面向量的数乘运算
已知非零向量a, 作出a a a和(a) (a) (a), 你能说明它们的几何意义吗？
a
aaa OA B C
-a -a -a N M QP

《平面向量的内积》课件

区别
内积结果是一个标量，而外积结果是一个向量。
内积的结果与向量的顺序无关，而外积的结果与向量的顺序有关。
内积满足交换律，即 $vec{u}cdotvec{v}=vec{v}cdotvec {u}$，而外积不满足交换律，即 $vec{u}timesvec{v}$与 $vec{v}timesvec{u}$是两个不同的向量。
$vec{a} cdot vec{a} geq 0$ ，当且仅当$vec{a} = vec{0}$ 时取等号。
交换律
$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$。
分配律
$(lambdavec{a}) cdot vec{b} = lambda(vec{a} cdot vec{b}) = vec{a} cdot (lambdavec{b})$，其中 $lambda$为标量。
积的绝对值。
特殊情况处理
当两个向量垂直时，它们的夹角为 $90^circ$，此时余弦值为$0$，因此内积为$0$。
当两个向量共线时，它们的夹角为 $0^circ$或$180^circ$，此时余弦值为$1$或$-1$，因此内积为 $|mathbf{a}| times |mathbf{b}|$或 $-|mathbf{a}| times |mathbf{b}|$。
cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$ 是$mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
几何意义
平面向量的内积可以理解为两个向量在垂直方向上的投影长度之积。具体来说，如果将其中一个向量投影到另一个向量的垂直平面上，则投影长度等于该向量与另一个向量内

高教版中等职业学校职业高中平面向量的概念定义教案课件

【课题】7.1 .1 平面向量的概念【教学目标】知识目标：（1）了解向量、向量的相等、共线向量等概念；（2）掌握向量、向量的相等、共线向量等概念．能力目标：通过这些内容的学习，培养学生的运算技能与熟悉思维能力．【教学重点】向量的线性运算．【教学难点】已知两个向量，求这两个向量的差向量以及非零向量平行的充要条件．【教学设计】从“不同方向的力作用于小车，产生运动的效果不同”的实际问题引入概念．向量不同于数量，数量是只有大小的量，而向量既有大小、又有方向．教材中用有向线段来直观的表示向量，有向线段的长度叫做向量的模，有向线段的方向表示向量的方向．数量可以比较大小，而向量不能比较大小，记号“a＞b”没有意义，而“︱a︱＞︱b︱”才是有意义的.教材通过生活实例，借助于位移来引入向量的加法运算．向量的加法有三角形法则与平行四边形法则.向量的减法是在负向量的基础上，通过向量的加法来定义的.即a-b=a+(-b)，它可以通过几何作图的方法得到，即a-b可表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.作向量减法时，必须将两个向量平移至同一起点.实数λ乘以非零向量a，是数乘运算，其结果记作λa，它是一个向量，其方向与向量a 相同，其模为a的λ倍．由此得到λ∥．对向量共线的充要条件，要特别注意“非a b a b⇔=λ≠”等条件.零向量a、b”与“0【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】图手写时应在字母上面加箭头，记作AB．模为零的向量叫做向量的方向相同；向量CD与PQ所在的直线平行，两个向量，方向相反，模相等．的模相等并且方向相同时，DC的负向量；）找出与向量AB平行的向量．析．两个向量相等，它们必须是方向相同，模相等；两个向量-,CDBA=DCBA//AB,DC//AB，CD//ABA F。

高教版中职数学(基础模块)下册7.3《平面向量的内积》ppt课件1

2019/7/31
最新中小学教学课件
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2019/7/31
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16
巩固知识典型例题
例4 已知a＝(−1,2)，b＝(−3,1)．求a·b, |a|,|b|, <a,b>．
解
a·b＝(−1)(−3)＋2×1＝5.
|a|＝ a a (1)2 22 5． |b|＝ b b (3)2 12 10．
cos<a，b>＝a b 5 2 ．
同时，大家要开动脑筋，思考老师是怎样提出问题、分析问题、解决问题的，要边听边想。为讲明一个定理，推出一个公式，老师讲解顺序是怎样的，为什么这么安排？两个例题之间又有什么相同点和不同之处？特别要从中学习理科思维的方法，如观察、比较、分析、综合、归纳、演绎等。 • 作为实验科学的物理、化学和生物，就要特别重视实验和观察，并在获得感性知识的基础上，进一步通过思考来掌握科学的概念和规律，等等。 • 二、听文科课要注重在理解中记忆 • 文科多以记忆为主，比如政治，要注意哪些是观点，哪些是事例，哪些是用观点解释社会现象。听历史课时，首先要弄清楚本节教材的主要观点，然后，弄清教材为了说明这一观点引用了哪些史实，这些史料涉及的时间、地点、人物、事件。最后，也是关键的一环，看你是否真正弄懂观点与史料间的关系。最好还能进一步思索：这些史料能不能充分说明观点？是否还可以补充新的史料？有无相反的史料证明原观点不正确。 • 三、听英语课要注重实践 • 英语课老师往往讲得不太多，在大部分的时间里，进行的师生之间、学生之间的大量语言实践练习。因此，要上好英语课，就应积极参加语言实践活动，珍惜课堂上的每一个练习机会。
| a || b | 10 5 2

2024版中职数学平面向量的概念ppt课件

01向量的定义向量是既有大小又有方向的量，通常用有向线段表示。

02向量的表示方法向量可以用小写字母或大写字母加箭头表示，如$vec{a}$或$overset{longrightarrow}{AB}$。

03向量的模向量的大小称为向量的模，记作$|vec{a}|$，模长是一个非负实数。

向量定义及表示方法03向量的模长等于有向线段的长度，可以通过勾股定理或三角函数计算。

向量的模长向量与正方向（通常是x 轴正方向）的夹角称为向量的方向角，记作$theta$，取值范围是$[0, pi]$或$[0, 180^circ]$。

方向角向量与坐标轴正方向的夹角的余弦值称为向量的方向余弦，可以通过方向角计算得到。

方向余弦向量模长与方向角模长为0的向量称为零向量，记作$vec{0}$，零向量没有方向。

零向量单位向量相反向量模长为1的向量称为单位向量，单位向量具有确定的方向。

与给定向量大小相等、方向相反的向量称为相反向量，记作$-vec{a}$。

030201零向量、单位向量和相反向量向量共线与平行关系向量共线如果两个向量在同一直线上或者平行于同一直线，则称这两个向量共线。

共线向量满足$vec{a} = kvec{b}$（$k$为实数）。

向量平行如果两个向量的方向相同或相反，则称这两个向量平行。

平行向量满足$vec{a} parallel vec{b}$。

共线与平行的关系在平面内，共线的向量一定平行，但平行的向量不一定共线。

加法定义两个向量相加，即将它们的对应分量相加得到新的向量。

几何意义向量的加法满足平行四边形法则或三角形法则，即两个向量相加的结果可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线，或者可以表示为将其中一个向量的终点连接到另一个向量的起点的向量。

01减法定义02几何意义两个向量相减，即将被减数的各分量减去减数的对应分量得到新的向量。

向量的减法可以表示为将减数向量的终点连接到被减数向量的起点的向量，这个向量与减数向量方向相反，大小相等。

中职数学基础模块下册《平面向量的内积》ppt课件

向量
向量
7.4.1 向量的内积
向量
导入
一个物体在力的作用下产生的位移，那么力所
做的功应当怎样计算？
θ
力做的功：
是在物体前进方向上的分量．
称做位移与力的内积．
其中是与的夹角,
新授
1．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量与，作，，则 ∠AOB 叫
02
运用内积的性质判定两向量是否垂直．
03
直接计算内积．本节课我们主要学习了平面向量的内积，常见的题型主要有：
04
归纳小结
01
必做题：教材 P54 练习 A 组
02
第 2 题（1）（3）；
03
第 3 题（1）（2）；
04
选做题：练习 B 组第 1 题．
课后作业
（1）两个向量的内积是一个实数，不是向量，符号由的符号所决定．
说明：
（2）两个向量的内积，写成；符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替．
叫做与的内积．
规定与任何向量的内积为0．
例1 已知
01
求．
记作
做与的夹角．
规定
（4）在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的．
（1）当时，与同向；
说明：
（2）当时，与反向；
（3）当时，与垂直；
记作
新授
2．向量的内积
记作
已知非零向量与，为两向量的夹角，则数量
02
解：由已知条件得
03
新授
新授
设，为两个非零向量，是单位向量．
⑶
⑵
⑷
⑴
或

高教版中职数学基础模块《向量的内积及其运算》总复习课件

(3)在ΔABC中，A=(7,5)，B=(2,3)，C=(6,-7)，求证：ΔABC是直角三角形.
一课一案高效复习
强化练习
感谢今天努力的你！
x1y2-x2y1=0
(3)证共线：a//b⇔________________；
x1x2+y1y2
√ x12+y12 ·√ x22+y22
(4)求夹角：cos<a,b>=___________________.
一课一案高效复习
典型例题
题型1
求向量的夹角

【例1】(1)已知向量a·b=-9，|a|=6√3，|b|=1，则a与b的夹角为_________；
[0,π]
<a,b>
非零向量 a , b的夹角,记作_____，范围是_______;
当<a,b>=0时，a与b________；
同向
当<a,b>=π时，a与b________；
反向
π
a⊥b
当<a,b>= 2 时，a与b________，记作_______.
垂直
(2)向量内积的定义：
两个非零向量 a , b的模与他们夹角的余弦之积，记作:a·b
总复习
第七章平面向量
§7.3 向量的内积及其运算
下基础模块
高教版
数
学
一课一案高效复习
目标达成
1.理解两个向量之间夹角的概念，熟记两个向量夹角的范围；
2.掌握平面向量内积的定义、性质及运算；
3.掌握两向量垂直的条件.
一课一案高效复习
知识要点
一、向量的内积
1、向量的内积
(1)两个向量的夹角：

平面向量的内积ppt课件

教学目标：向量的內积
1 向量a与向量b的夹角 2 內积的定义 3 从內积推出的四个结果 4 內积的运算律
1
两个非零向量a、b ，它们两者的方向所成的那个范围的角叫做这两个向量的夹角，记作:〈a , b〉, 如图所示.
0°≤〈a , b〉≤180°
0 ≤〈a , b〉≤ π 〈a , b〉=〈b , a〉
D
C
C
D
60°
A
B
Q
P 〈DC，CB〉= 2π/3
〈CD，PQ〉= π 〈DA，AB〉= 2π/3
5
a ·b
6
a ·b =IaIIbIcos〈a , b〉
a点b等于a的模乘以b的模乘以ab夹角的余弦
请连读三遍
可见： a ·0 = 0
0 ·a = 0
a ·b
7
例:水平地面上有一辆小车，某人用100N 的力，朝着与水平线成30°角的方向拉小车，使小车前进了100m，那么这个人做了多少功？
解：这个人作的功为
W=F· s
=IFI· IsIcos30°
=100×100×√3/2
=5000 √3(J)
cos〈a , b〉= a ·b IaIIbI
8
当〈 a , b 〉= 0 时，a ·b = IaIIbI 当〈 a , b 〉= π 时，a ·b = -IaIIbI
9
当b = a 时，〈 a , a 〉= 0 所以： a ·b = IaIIaI = IaI2 即： IaI = √a ·a
a b
2
F
30°
s
0°≤〈a , b〉≤180°
F F
0 ≤〈a , b〉≤ π
s
用集合表示为：