高等数学---映射与函数

x1 ≠ x2时，f(x1) ≠ f(x2)
所以f是单射。
综合(1)，(2)所述，f是一一映射。
(4)几种常用的映射(算子)
泛函 f：X → Y(数集);
变换 f：X → X; 函数 f：X (实数集或其子集)→ Y(实数集).
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2.逆映射与复合映射
(1)逆映射 设f是X到Y的单射,则我们可以定义一个从Rf到 X的新映射g，即 g：RfX， 对每个yRf，规定g(y)=x，这x满足f(x)=y．这 个映射g称为f的逆映射，记作f-1．其定义域Rf，其 值域X． 问题：请分析补例1是否存在逆映射？
A B {( x, y ) x A and y B}.
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(2)运算法则
交换律:
A B B A,
A B B A;
结合律: ( A B ) C A ( B C ) ,
( A B) C A ( B C ) ;
分配律: ( A B ) C ( A C ) ( B C ),
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(2)复合映射
设映射g : X Y1 , f : Y2 Z，且Y1 Y2 则复合映射： f g : X Z, ( f g )( x ) f [ g ( x )], x X .
注记:
复合映射的条件是 Rg D f ;
两个映射的复合是有顺序的;
f g有意义， g f未必有意义， 即使二者都有意义，它 们也未必相同.
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三、函数 1.函数概念
(1)定义 设D是实数集，则称映射f : D→R为定义 在D上的函数，通常简记为：
y f ( x) , x D ,
其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域， 一般记作 D f , 即D f D . (2)要素 定义域D及对应法则f．
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(3) 满射、单射和双射(一一映射) 满射： Rf=Y ,即Y中任一元素都是X中某元素的像； 单射：x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ). 双射（一一映射）：既是单射，又是满射.
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补例1 设X是一切非负实数所成的集合，Y= {yyR, 0y<1}，f是从X到Y的一个映射，
x
问题：如何用邻域表示(1,2)呢？
点a的去心邻域U (a , ) : U (a , ) { x 0 x a }.
点a的左δ 邻域: 点a的右δ 邻域:
(a –δ, a ).
(a , a+ δ).
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二、映射 引例(1)一个班里有6名男同学,记为X={1, 2,…, 6}， 入学时分配宿舍，共有4个房间可供分配，记为 Y={301, 302,303,304}．我们确定分配方案如下： {1}301，{2, 3}302， {4, 5}303，{6}304． 引例(2)设X=Y={1, 2, 3, 4}，规定对应法则： 12，23，34，41．
a
b
x
闭区间 [a, b]: [a, b] { x a x b}
o
a
b
x
半开区间 [a, b): [a, b) { x a x b}
a x b 半开区间 (a, b]: (a, b] { x a x b}
o
o
a
b
x
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(2)无限区间
[a ,) { x a x }
A {a1 , a2 ,, an }
描述法 M { x x所具有的特征}
N , N , Z , Q, R, R* , R
2
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(6)关系 子集 ( 包含 ), A B : x A x B; 相等, A B : A B, 且 B A ;
不含任何元素的集合称为空集, 记作 , 规定空集为任何集合的子集. 2.集合的运算
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３.举例
例４
(1)设映射g : (0,1) ? ( ? , 0), x ? (0,1), g (x ) 映射f : (- ギ, 0) ln x u,
(- ? , 0), u ? ( ? , 0), f (u )
轾p p (2)设映射g :[- 1,1] ? 犏 , , " x ? [ 1,1], g (x ) = arcsin x , 犏 臌2 2 映射f : R ? [0, ? ), u ? R, f (u ) u2
补例4 试证：两偶函数之和、之积均为偶函数。 分析 设(x), g(x)为两偶函数,即(-x)= (x),g(-x)= g(x).
记h(x)= (x)+g(x), 则 h(-x)= (-x)+g(-x)= (x)+g(x) =h(x), 故两偶函数之和为偶函数。
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映射与函数
(4)函数的周期性 定义 设函数 f (x) 的定义域为D，若存在一个正数 l ， 使得x D, 有（x l ) D, 且
x f(x)= 1+ x ．
证明：f是从X到Y的一一映射。 y 证明: ①设yY，取x= 1 - y ，因为0y<1，所以 x0，即xX．我们有 y x 1- y =y． f(x)= = y 1 + x 1+ 1- y
所以f是满射。
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x1 x2 ; f ( x2 ) = ②设x1, x2X，f ( x1 ) 1 + x1 1 + x2
如，x2+y2=r2 (r>0)确定y是x的二值函数。
对于多值函数，往往只要附加一些条件，就 可以将它化为单值函数，这样得到的单值函数 称为多值函数的单值分支。
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例５ 函数 y=2 y
y=2
1 o x
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例6
绝对值函数
x , y x x,
y 1
x 0, x0
0 < t 3, 6.60, 6.60 + 1 1.20, 3 < t 4, C( t ) = 6.60 + 2 1.20, 4 < t 5,
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例9 取整函数 y=[x]
其中[x] 表示不超过 x 的最大整数. y
4 3 2 1
x -4 -3 -2 -1 o -1 1 2 3 4 5 -2 -3 -4 阶梯曲线
o
a
x
( , b) { x x b}
o
b
x
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(3)邻域 点a的邻域U(a): 以点a为中心的任何开区间. 点a的δ邻域U(a, δ): U(a, δ)的实质: U(a, δ)=(a –δ, a +δ ).
U (a, ) { x x a }.

a
o

a
o
a
f ( x l ) f ( x)
注记:
区别符号f与f(x)的不同含义； 函数是特殊的映射. (3)函数定义域D的确定 掌握函数定义域D的确定原则: (ⅰ)对有实际背景的函数，根据问题的实际意 义确定 ; (ⅱ)对抽象地用算式表达的函数，根据其所允许 之取值而定（此为自然定义域）.
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(4)单值函数与多值函数
若对xD唯一y Rf，则y=(x)单值； 若xD多个y Rf，则y=(x)多值。
第一节 映射与函数
基本概念
函数概念 函数的特性 反函数 小结 作业 思考题
1
第一章 函数与极限
映射与函数
一、集合
1.集合概念
(1)定义 具有某种特定性质的事物的总体称为集合.
组成这个集合的事物称为该集合的元素.
(2)有限集和无限集
(3)符号
a M , a M.
(4)表示 列举法 (5)常用集合
( A B) C ( A C ) ( B C ) ;
C C C ( A B ) A B , 对偶律:
( A B) A B .
C C C
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映射与函数
3.区间和邻域 (1)有限区间 开区间 (a, b): (a, b) { x a x b}
o
映射与函数
说明 有界性是与自变量取值范围有关的相对性概念．
比如，y=1/x 在(1, +)有界，在(0,1)内无界(无上 界,但有下界). 命题1：
函数(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上 既有上界又有下界。
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映射与函数
(2)函数的单调性 定义 设函数 f ( x )的定义域为D, 区间I D, 如果
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映射与函数
例10 狄利克雷(Dirichlet)函数
1 , x Q , y D( x ) C 0 , x Q .
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映射与函数
2.函数的几种特性
(1)有界性 定义 若X D f , K1 R, x X , 有 f ( x ) K1 成立, 则称函数f ( x )在X上有上界, K1称为上界；
o
x1
x2
I
x
o
x1
x2
I
x
注意 函数的单调性是一个与自变量取值范围有关的相对 30 性概念．
映射与函数
(3)函数的奇偶性 定义 设D关于原点对称, 对于x D, 有
f (-x) = f (x) (或f (-x) = - f (x) )
则称 f (x) 为偶函数(或奇函数).
y
y f ( x)
若X D f , K 2 R, x X , 有 f ( x ) K 2 成立, 则称函数f ( x )在X上有下界, K 2称为下界； 若X D f , M 0, x X , 有 f ( x ) M 成立, 则称函数f ( x )在X上有界, 否则就称无界.
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(1)基本运算 并, A∪B={x|x A 或 x B} 交, A∩B={x|x A 且 x B}
A
B I
A B
A B
A B I
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映射与函数
差, A\B={x|xA且xB} C 补, A I \ A ( A I );
I
A
B
B
A
I
A\B
直积或笛卡儿乘积:
B = AC (或A)
对于区间 I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时, 恒有
(x1) < (x2) (或(x1) > (x2) )
则称函数 f ( x )在区间 I上是 单调增加(或单调减少).
y
y f ( x)
y
f ( x2 )
y f ( x)
f ( x1 )
f ( x2 )
f ( x1 )
y y=f(x)
2
o 1
x
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映射与函数
补例2 设A、B两地之间的长途电话费在最初的3分 钟是6.60(元), 以后的每分钟(不足一分钟按一分钟 计)另加1.20(元). 显然长途电话费C(单位:元)是通话时间t(单位: 分钟)的函数.试写出函数的公式表示,并描绘它的 图形。 解：记长途电话费为C(t)．由于t>0，于是函数 的定义域为(0, +)．从给出的信息，我们有
-x x
f ( x )
y
y f ( x)
f ( x)
f ( x )
-x o 偶函数 x
f ( x)
o
x
x
奇函数
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注意: 有非奇非偶的函数
映射与函数
x+3 补例3 判别 f x = ln 的奇偶性。 x-3
-x + 3 x-3 = ln = - f x , 分析 f - x = ln -x - 3 x+3
y=|x| x
-1
o
1
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映射与函数
例７ 符号函数
1 当x 0 y sgn x 0 当x 0 1 当x 0 y
x sgn x x
1
o
y sgn x
x
－1
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映射与函数
分段函数 例8 函数
2 x , 0 x 1 , y f ( x) 1 x , x 1
共同之处:
在两个集合X和Y之间建立了一种对应关系,使对 X中的每一个元素,有Y中一个唯一确定的元素与 它对应。
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映射与函数
1.映射概念 (1)定义 设 X、 Y 是两个非空集合，若存在一个法则 f，使得对X中每个元素x，按照法则f，在Y 中有唯一确定的元素 y 与之对应，则称 f 为 从X到Y的映射，记作
f:X→Y
如，X={三角形}，Y={圆}，f：X → Y,对每个 xX,有唯一确定的y(x的外接圆)Y与之对应. (2)要素 (1)定义域D f = X ;
(2)对应法则f ; (3)值域R f 的范围：R f Ì Y .
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映射与函数
注记 X中每个元素x的像y是唯一的；
R f 中每个元素y的原像不一定是唯一的 ； R f Y，不一定R f Y .