高等几何2.1节(新稿)
高等几何课件上课版PPT课件
• 2、已知仿射变换
x/ 2x y 1
• 求点 P1(1, 0), P2 (1, 0)
y/
x
y
3
• 的像点，及直线 x y 2 0的像直线。
29
4、特殊的仿射变换
正交变换
x'
y'
a11x a21x
a12 y a13 a22 y a23
称为透视仿射对应。 注：透视仿射对应与L的方向无关。若a与b相交，交 点称为自对应点。
14
两条直线间的透视仿射对应
a
C B A
o L
A/ B/ C/
b
特征：对应点的连线互相平行
15
两个平面间的透视仿射对应
A1 B1
C1
1
M对应点的连线互相平行
16
第一章、仿射坐标与仿射变换
2、单比
31
例1 证明：两平行直线经过仿射变换后仍变为平行直线
• 证明：设变换为：T:
x' y'
A
x y
a b
,
直线l1
:u
u1
u2
,l2
:
v
v1
v2
l1
//
l2
u
v即
u1 u2
v1 v2
u1' u2'
A
u1 u2
A
v1 v2
A
v1 v2
•且
o', e1' , e2' 在{o;e1, e2}下的坐标分别为： （a13, a23), (a11, a21), (a12, a22 )
26
平比行不四变边，形 故POP' 在x P坐Py变标为系平{O行';四e1' ,边e2' }形中O的'P坐x'P标P，y为' 且(保x,y)持单
高等几何第一章-朱维宗
仿射性：对边平行， 仿射性：对边平行，对角线互相平行 仿射量：对边相等，对角相等，面积之比 仿射量：对边相等，对角相等，
例2.在仿射变换下，菱形的什么性质保持不变？什么性 2.在仿射变换下，菱形的什么性质保持不变？ 在仿射变换下 质可能被破坏？ 质可能被破坏？
T = T2T1 : A a A′; B a B′ ( AA1 A′) //( BB1 B′)
π1
B1
l1
l2
A a B A′ a′ B′
──说明平面 ──说明平面 π 内的透视 仿射存在。 仿射存在。
平面内透视仿射的确定：定理： 平面内透视仿射的确定：定理：平面内的透视仿射 由对应轴与其外一对对应点完全确定。 由对应轴与其外一对对应点完全确定。 作图：已知：对应轴 g , T : A a A′ 作图：已知： 求作： 求作：一点B 的象
(2)图形面积的比 (2)图形面积的比 推论1 推论1 定理1.5 定理1.5 平行四边形 推论2 推论2 仿射图形 梯形 仿射不变性 仿射不变量
7
Ex1.3
线段中点在仿射变换下不变 Ex1.5； Ex2.18(7)； Ex1.5； Ex2.18(7)； Ex1.12
高等几何──朱维宗 高等几何 朱维宗
A
B B′′ = T 2 (B) Z X
Y
g
A′
B′′′ = T 3 (B) B′ = T (B)
20：连 AB′交轴g于点Y，连 A′Y与 BB′交于 B′′点，则 B′′ = T ( B′) = T (T ( B)) = T 2 ( B ) 30：连 AB′′交轴g于点Z，连 A′Z与 BB′交于 B′′′点，则 B′′′ = T ( B′′) = T (T 2 ( B)) = T 3 ( B)
高等几何教案与课后答案
高等几何教案与课后答案教案章节：第一章绪论教学目标：1. 了解高等几何的基本概念和发展历程。
2. 掌握空间解析几何的基本知识。
3. 理解高等几何在数学和物理学中的应用。
教学内容：1. 高等几何的基本概念点的定义向量的定义线和面的定义2. 发展历程古典几何的发展微积分与解析几何的兴起高等几何的发展和应用3. 空间解析几何坐标系和坐标变换向量空间和线性变换行列式和矩阵运算教学重点与难点：1. 重点：高等几何的基本概念，发展历程，空间解析几何。
2. 难点：空间解析几何中的坐标变换和线性变换。
教学方法：1. 采用讲授法，系统地介绍高等几何的基本概念和发展历程。
2. 通过示例和练习，让学生掌握空间解析几何的基本知识。
3. 利用图形和实物，帮助学生直观地理解高等几何的概念。
教学准备：1. 教案和教材。
2. 多媒体教学设备。
教学过程：1. 引入新课：通过简单的几何图形，引导学生思考高等几何的基本概念。
2. 讲解：按照教材的顺序，系统地介绍高等几何的基本概念和发展历程。
3. 示例：通过具体的例子，讲解空间解析几何的基本知识。
4. 练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点和难点。
课后作业：1. 复习本节课的内容，整理笔记。
2. 完成教材中的练习题。
教学反思：在课后对教学效果进行反思，根据学生的反馈调整教学方法和内容。
教案章节：第二章向量空间教学目标：1. 掌握向量空间的基本概念。
2. 理解线性变换和矩阵运算。
3. 学会运用向量空间解决实际问题。
教学内容：1. 向量空间向量的定义和运算向量空间的性质向量空间的基底和维度2. 线性变换线性变换的定义和性质线性变换的矩阵表示线性变换的图像3. 矩阵运算矩阵的定义和运算矩阵的逆矩阵矩阵的秩教学重点与难点：1. 重点：向量空间的基本概念，线性变换和矩阵运算。
2. 难点：线性变换的矩阵表示和矩阵的秩。
教学方法：1. 采用讲授法，系统地介绍向量空间的基本概念。
高等几何
第五章高等几何第一节课程概论1、本课程的起源与发展早自欧洲文艺复兴时期，由于绘图和建筑等的需要，透视画的理论逐步形成，以后便建立了画法几何。
法国数学家蒙日(GaspardMonge，1746-1818)在1768到1799年之间和1809年分别出版了画法几何和微分几何两部经典著作，由于画法几何理论的发展，他的学生彭色列（JeanPoncelet，1788-1867)继承了这两部著作中的综合思想，于1822年写了一本书，它是射影几何方面最早的专者。
继彭色列之后，法国人沙尔(Michel Chasles，1793-1880) 等对射影几何的研究都做出了重要贡献。
出生于德国数学家史坦纳(Jacob Steiner，1796-1863)改进了射影几何的研究工具，并且把它们应用到各种几何领域，因而得到了丰硕结果。
到了19世纪上半叶，几何学的发展经历了它的黄金时代。
在这期间，古典的欧几里得几何学不再是几何学的唯一对象，射影几何学正式成为一门新学科。
英国人凯莱（Cayley，1821-1895）和德国人克莱因（Christian Felix Klein，1849-1925）等人用变换群的方法研究了这个分支，射影几何便成为完整独立的学科。
射影几何的诞生诱发于透视理论，一个射影平面就是由欧几里得平面添加所谓无穷远直线而得到的。
克莱因对于几何学理论的统一性有着执著的追求，他在成功地把几种度量几何统一于射影几何之后，就立即在更深层次上寻求统一各种几何学理论的基础。
在19世纪，人们开始把几何中图形的一些性质看作是一种“变换”运动的结果。
如正方形的“中心对称性”，就是将正方形绕其两条对角线的交点O“旋转”180°后仍重合的结果。
正方形的“轴对称性”，就是将正方形绕过O点的水平轴“反射”（即翻转）180°后仍重合的结果。
这里的“旋转”、“反射”就可以分别被看作是一种“变换”。
更为重要的是，数学家们进一步发现，这个正方形上的所有旋转、反射、平移等变换所构成的集合，满足群的条件，因而构成一个“变换群”。
高等几何(第六章)
0 0
二阶曲线 秩为2
（实、虚、平行、相交、普通直 线、无穷远直线等5种情况）
秩为1
一对重合的普通直线：x12
0
一对重合的无穷远直线：x32 0
5 11
§4 二次曲线的度量性质
➢我们在引入了复元素的仿射平面上讨 论二次曲线的度量性质。
➢在讨论二次曲线的仿射性质时，仿射 不变图形无穷远直线起了至关重要的作 用，那么正交变换下保持不变的元素除 了无穷远直线外还有什么？
➢为什么要讨论圆点呢？ ➢定理4.2 正交变换保持圆点不变。
x'
y'
x x
cos sin
y y
sin cos
a13 a23
或
x' y'
x cos -x sin -
y y
sin cos
a13 a23
前者I(1,i,0)，J(1,-i,0)保持不变， 后者I(1,i,0)，J(1,-i,0)分别变为J，I.
➢定理2.1 双曲线、椭圆各有唯一的中 心，且为普通点，抛物线的中心为无穷 远点。
二次曲线的中心坐标：
A11 A12
A21 A22
A31 0 A31 A32 0 A32
A13 A23 A33 1 A33
➢例1. 判定二次曲线：x12-2x1x2+x222x1x3+x2x3-x32=0的类型，并求出它的 中心。
直径与共轭直径的关系是相互的。
一直径的方向与该直径的共轭直径的方向(该直 径的极点的方向)称为一对共轭方向。注意抛物线 的情形。
例：过一直径两端点的切线平行于该直径的共轭 直径。
P
✓过一直径两端点的切线的交点为该直径 的极点即为一个无穷远点。
大学高等几何课件第二讲
定理1.7 给定平面内的两个三角形，至多利用三回透视仿射可 使一个三角形变为另一个三角形。
经过仿射变换可以相互转换的图形称为是仿射等价的。 所以任意两个三角形是仿射等价的。直线、四边形也是仿 射等价的。
平面仿射几何基本定理：设P1,
P 2
,
P 是平面内不共线的 3
中心投影：设 f : 是平面到平面 的一一点对应, 且满足对应点的连线通过一个定点,则称 f 是从平面 到 平面 的中心投影.
问题：中心投影是不是数学意义下的一一对应？ 分析：当照射光线OP0与l平行时, P0在l上的投影不存在,而引 起P0的投影不存在的原因是平行没有交点这一约定. 解决办法: 取消平行线没有交点的限制,在直线上引进"新点".
(1) 空间中任何一组平行直线有且仅有一个公共的点 无穷远点.
(2) 一直线与它的平行平面交于一个无穷远点. (3) 一组平行平面相交于一条无穷远直线.
仿射直线与射影直线 仿射直线(平面):引入了无穷远点的欧氏直线(平面)称为
仿射直线(平面). 射影直线(平面): 将仿射直线(平面)上的无穷远点与通常的
无穷远元素 规定1: 在平面内对任何一组平行线引进唯一一点叫做无穷远 点(记作P )与之对应,此点在组中的每一直线上,而不在组外的 任何直线上. 规定2: 平面内无穷远点的集合是一条无穷远直线,记作l. 规 定 3 : 空间中所有无穷远点的集合是一个平面,叫做无穷远平
面, 记做 .
在这些规定下, 可以证明 :
a
2经过伸缩变换
y
b a
(a y,
0, b
高等几何第二章2013
§ 2.1 交比
一、点列中四点的交比 1. 定义
2. 性质 3. 特殊情况 定理2.3 共线四点的交比值出现0, 1, 三者之一这四点中有 某二点相同. 证明 根据定理2.1，令P1=P2或P2=P3或P3=P4或P4=P1直接验证. 此时, 上述6个不同的交比值又只有3组：0, 1, .
§ 2.1 交比
一、点列中四点的交比 1. 定义
4. 调和比 5. 交比的计算 (1) 由坐标求交比 例2 已知P1(3,1,1), P2(7,5,1), Q1(6,4,1), Q2(9,7,1). 求(P1 P2, Q1 Q2). 解 第一步. 验证四点共线. 第二步. 以P1, P2为基点, 参数表示Q1, Q2. 令 iQi P i P2 . i=1,2. 1 对于i=1, 利用P.34例1.3, 有1 3. 对于i=2, 同理求得 2 3. 于是， 2. 性质 3. 特殊情况
而 于是
1 ( p1 p2 , p3 p4 ) ( P P2 , P3 P4 ). 1 2
§ 2.1 交比
二、线束中四直线的交比
1. 线束的参数表示 则 2. 定义 3. 交比为射影不变量
定理2.6 设线束S(p)中四直线pi被直线s截于四点Pi(i=1,2,3,4).
( p1 p2 , p3 p4 ) ( P P2 , P3 P4 ). 1
( PP2 , P P4 ) k , 1 3
(k 0,1, )
和其中三点的坐标. 则第四点的坐标可唯一确定.
§ 2.1 交比
一、点列中四点的交比 1. 定义
4. 调和比 5. 交比的计算 (2) 由交比求坐标 例3 已知P1, P2分别是x轴、y轴上的无穷远点, P3是斜率为1的 方向上的无穷远点, 且(P1P2,P3P4)=r. 求P4的坐标. 解：由题设知P1, P2, P3的坐标分别为(1,0,0), (0,1,0), (1,1,0). 设
《高等几何》 教学大纲
《高等几何》教学大纲一、课程名称《高等几何》（Projective Geometry）二、课程性质数学与应用数学专业限选课。
它跟初等几何、解析几何、高等代数等课程有紧密的联系；它对未来中学数学教师在几何方面基础的培养、观点的提高、思维的灵活、方法的多样起着重要作用，从而大有助于中学数学教学质量的提高和科研能力的培养。
本课程的主旨在于拓展读者的几何空间知识，学习了解变换群观点，进而达到训练理性思维的能力，提高数学修养的目的。
本课程包括了许多著名的定理，奇妙的图形。
通过本课程的学习，可以有效地提高数学审美意识。
本大纲要求本课程的内容处理上实行解析法与综合法并用，以解析法为主。
前修课程包括：初等几何、解析几何、数学分析、高等代数、近世代数。
三、课程教学目的通过本课程的学习，使学生掌握射影几何的基本内容和处理几何问题的方法，同时也认识射影几何、仿射几何、欧氏几何的内在联系，以及在初等几何和解析几何中的应用，并为学习数学的其他分支打好基础。
尤其是对无穷远元素的认识和理解，以开拓同学们的思维方式和视野，使同学们能以居高临下的观点来处理初等数学问题。
四、课程教学原则和方法1、理论与实践相结合的原则；2、《高等几何》知识与高等数学中的其它知识相结合原则；3、《高等几何》知识与初等几何知识相结合的原则；4、在课堂教学中使用传统的讲解法，并适当采用教具演示的方法相结合的原则；5、讲解法与自学相结合的原则。
五、课程总学时72学时，习题课占1/5。
六、教学内容要点及建议学时分配课程教学内容要点及建议学时分配第一章仿射坐标与仿射变换（计划学时6）一、本章教学目标：通过本章的学习，掌握透视仿射对应(变换)，仿射对应(变换)以及其代数表达式等。
二、本章主要内容：第一节透视仿射对应1、弄清共线三点的单比和透视仿射对应的基本概念。
2、熟练掌握透视仿射对应的四个性质---保持同素性、结合性、共线三点的单比和平行性。
第二节仿射对应与仿射变换1、掌握平面上的透视链、二直线间和二平面间的仿射对应与仿射变换的概念。
【三维设计】高中数学 第一部分 第二章§2 2.1 圆的标准方程配套课件 北师大版必修2
即圆心为(－1，－2)． r＝|CA|＝ －1－22＋－2＋32＝ 10. 故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
法二：设所求圆的圆心坐标为(a，b)，半径为r，
则方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
由已知条件得－2－2－a2a＋2＋－－3－5－b2b＝2＝r2，r2， a－2b－3＝0，
即aa22＋ ＋bb22－ ＋44aa＋ ＋61b0＝ b＝r2r－2－132， 9， a－2b－3＝0.
a＝－1， ∴b＝－2，
r2＝10.
∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
法三：设圆心C为(2b＋3，b)， 因为有|AC|＝|BC|， 所以 2b＋3－22＋b＋32 ＝ 2b＋3＋22＋b＋52. 解得b＝－2，所以圆心为(－1，－2)， 半径r＝|AC|＝ 10. 故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
3．△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1)，B(7，－3)， C(2，－8)，求它的外接圆的方程． 解：设所求圆的方程是 (x－a)2＋(y－b)2＝r2，① 因为A(5,1)，B(7，－3)，C(2，－8)都在圆上，所以它 们的坐标都满足方程①.于是
57－ －aa22＋ ＋1－－3b－2b＝2r＝2，r2， 2－a2＋－8－b2＝r2，
(3)原方程可化为(x－3)2＋(y－0)2＝b2(b≠0)． 所以圆心为(3,0)，半径r＝|b|. (4)原方程化为[x－(－3)]2＋[y－(－4)]2＝(2 3)2. 所以圆心为(－3，－4)，半径r＝2 3.
2．写出下列圆的标准方程．
(1)圆心在C(－3,4)，半径长是 5.
(2)圆心在C(8，－3)，且经过点M(5,1)． 解：(1)代入圆的标准方程得 (x＋3)2＋(y－4)2＝5. (2)∵半径r＝ 8－52＋－3－12＝5. 所以圆的标准方程为： (x－8)2＋(y＋3)2＝25.
大学高等几何课件第二讲
x2 y2 例 . 求 圆 2 + 2 =1的 积 题 椭 面 。 a b
′ b x = x 2 2 ： 取 射 换 椭 变 圆 2 解 选 仿 变 a 将 圆 成 x′ + y′ = b . y′ = y S椭圆 S∆OAB 因 面 之 是 射 变 ， 为 积 比 仿 不 量 故 = , S圆 S∆OA′B ab 所 S椭圆 = 2 ⋅πb2 = π ab. 以 b
推论1 仿 变 下 何 对 应 边 面 之 等 推论1 在 射 换 , 任 一 对 多 形 积 比 于 数换 话 , 任 两 多 形 积 比 仿 不 常 . 句 说 意 个 边 面 之 是 射 变 量 . 推论2 仿 变 下 意 条 闭 曲 所 成 面 推论2 在 射 换 , 任 两 封 凸 线 围 的 积 比 仿 不 量 之 是 射 变 .
α1 β1
α2 a1 − a0 = b − b0 β2 1
a2 − a0 b2 − b0
≠ 0.
最 一 等 不 于 是 为 共 的 点 后 个 式 等 零 因 不 线 三 ′ 不 线 O, E , E2的 O′, E′, E2也 共 。 像 1 1
射 换 特 仿 变 的 例 x′ = ax, 1. 位 变 (a ≠ 0) 似 换 y′ = ay x′ = x, 2. x轴 的 匀 缩 换 (a > 0). 上 均 伸 变 y′ = ay 当 =1 为 等 换 a 时 恒 变 . x′ = x, 过 缩 换 例 ， x2 + y2 = a2经 伸 变 如 圆 b (a > 0, b > 0)后 y′ = a y, x′2 y′2 变 椭 为 圆 2 + 2 =1. a b 3. 运 变 （ 移 旋 或 移 旋 的 统 为 动 动 换 平 ， 转 平 与 转 积 称 运 ） x′ = x cosθ − y sinθ +α0 y′ = x sinθ + y cosθ + β0 x′ = x 4. 关 x轴 反 于 的 射 y′ = −y
高等几何2.1
§ 2.1 交比
若(P1P2, P3P4)= –1且P4=P , 由交比的初等几何意义
(P 1P 2, P 3P ) ( PP 1 2P 3 ),
得到
( PP 1 2P 3 ) 1,
这表示P3为P1P2的中点, 从而有: 推论3 设P1, P2, P 为共线的通常点, P∞为此直线上的无穷远点, 则P为P1P2的中点 ( PP 1 2 , PP ) 1. 注: 本推论建立了线段的中点、调和比以及直线的平行性之 间的联系.
特别地, 若( p1 p2, p3 p4)= –1, 则称这四条直线为调和直线组.
§ 2.1 交比
3. 交比为射影不变量 定理6 设线束S(p)中四直线pi被直线s截 于四点Pi (i=1, 2, 3, 4). 则 ( p1 p2 , p3 p4 ) ( P 1P 2, P 3P 4 ). 证明 设直线p1, p2, p3, p4的齐次坐标分别为a, b, a+1b, a +2b, 直线s的齐次坐标为c. 则可以求出点Pi的坐标分别为
பைடு நூலகம்
1 ( p1 p2 , p3 p4 ) (P 1P 2, P 3P 4 ). 2
§ 2.1 交比
注1: 定理6也可看作：设Pi为点列l(P) 中四点, Pi与不在l上的定点S 连线依次为 pi (i=1, 2, 3, 4). 则 (P 1P 2, P 3P 4 ) ( p1 p2 , p3 p4 ).
定理3 构成交比的四点中有某二点相同这四点的交比值 出现 1, 0, ∞三者之一.
例 设1, 2, 3, 4 为四个相异的共线点. 证明: 若 (12, 34) = (14, 32), 则 (24, 13) = –1.
2.1高等几何
§ 1 射影直线与射影平面
理解约定1.1(1), (2) 理解约定
1、对应平面上每一方向，有惟一无穷远点. 平行的直线交于同 一无穷远点；交于同一无穷远点的直线相互平行. 2、每一条通常直线上有且仅有一个无穷远点. 3、平面上添加的无穷远点个数＝过一个通常点的直线数. 4、不平行的直线上的无穷远点不同. 因而，对于通常直线： 平 行 无穷远点 两直线 不平行 交于惟一 有穷远点 平面上任二直线总相交
§ 1 射影直线与射影平面
一、中心射影
1、平面上两直线间的中心射影 定义1.1
ϕ : l → l' ϕ :π → π '
2、平面到平面的中心射影 定义1.2
}
均不是双射
中心射影不是双射的原因：存在影消点、影消线 存在影消点、影消线的原因：平行的直线没有交点 如何使得中心射影成为一个双射？
给平行线添加交点！
§ 1 射影直线与射影平面
一、中心射影
1、平面上两直线间的中心射影 定义1.1 定义
ϕ : l → l'
O 投射中心(O ∉ l ∪ l ') OP 投射线 P' l 上的点P在l'上的像 P l' 上的点P'在l上的像 因此 ，φ–1: l' → l是 l' 到 l 的中心射影 三个特殊点： X=l∩l' 自对应点(不变点) OU与l'不相交， U为l上的影消点 影消点 OV'与l不相交， V'为l'上的影消点 影消点 影消点的存在，导致两直线间的中心射影不是一个双射 双射
D esargues定 理 画 图 过 程 演 示
提示：从现在起，画图要预先设计、思考，否则天大的 纸也摆不下一张图！真尴尬耶！
南京师范大学《高等几何》课程教学大纲
南京师范大学《高等几何》课程教学大纲课程名称：高等几何（Higher Geometry）课程编号：06100020学分：3学时：90先修课程：解析几何, 高等代数(I), 数学分析(I)替代课程：无一、课程教学目的本课程是大学数学类专业的主干基础课程之一。
本课程在学生具备初等几何、解析几何、高等代数、数学分析知识的基础上，系统地学习射影几何的基本知识，使学生能用变换群的观点来看待几何学，加深对几何学的理解，拓展几何空间概念。
通过本课程利用商空间思想研究亏格为零不可定向的闭曲面上的几何学的训练，一方面使得学生拓宽眼界，扩大知识领域，提高抽象思维、理性思维能力，为进一步的数学学习打下基础；另一方面使得学生加深对中学几何特别是解析几何的理论与方法的理解，从而获得用高观点来处理中学几何问题的能力，为未来的中学几何教学打下基础；第三，本课程包括了许多著名的定理，奇妙的图形，匪夷所思的处理技巧，通过本课程的学习，可以有效地提高数学审美意识。
概括来说，学习本课程后，要使得学生有如下收获：（1）空间不只是平直的，除欧氏空间外，还有很多其他的空间。
即让学生在空间观念上有一个提升；（2）进一步让学生了解处理几何问题不只是可以用综合法，还可以用解析法；（3）深刻理解对偶原理，认识到射影几何是与欧氏几何完全不同的几何学；（4）深刻理解射影变换及其性质，认识到射影几何是研究射影图形在射影变换下的不变性和不变量的一门科学；（5）深刻理解Klein的变换群观点，即研究某空间中的图形在它的某变换群作用下不变的性质和数量的科学就称为一门几何学；（6）深刻了解一些平面射影图形的射影性质。
如：点列，线束，完全n点（线）形，二次曲线的射影性质。
（7）学会构造射影图形。
因为我们的纸张是欧氏平面，所以在其上构造射影图形还是有很多技巧，学生要深刻领会这些技巧。
二、教学任务通过课堂教学、课外辅导等多个教学环节，教师主要完成下列教学任务：1、完成上述教学目的。
高等几何讲义(第2章)
高 等 几 何 ( Higher Geometry )
§1. 扩大仿射平面 一般地，记 a、b所连直线为 a b，其坐标方程为 x1 x2 x3 a1 a2 a3 0． b1 b2 b3 其参数方程为：
x1 a1 b1 x2 a2 b2，、 R 且 2 2 0． x3 a3 b3
高 等 几 何 ( Higher Geometry )
§2. 射影平面
故又可写成分解式： (x1, x2, x3) (x1/1)(1, 0, 0) (x2/2)(0, 2, 0) (x3/3)(0, 0, 3)， (2.2) 代数形式上，(x1/1, x2/2, x3/3) 与 (x1, x2, x3) 应 表示同一点的坐标．
高 等 几 何 ( Higher Geometry )
§1. 扩大仿射平面
2. 点的齐次仿射坐标
定义 设 = [O; e1, e2 ]是平面仿射坐标系．在 之下，满足下述条件的有序实数组 (x1, x2, x3) (0, 0, 0) 称为平面上点的齐次仿射坐标： 1．若 0，则 ( x1, x2, x3) 与 (x1, x2, x3)为同 一点的齐次仿射坐标； 2．若 x3 0，则 (x1, x2, x3)是(非齐次)仿射坐标为 x = x1/x3 , y = x2/x3 的普通点的齐次仿射坐标； 3．齐次仿射坐标为(x1,x2,0)的点称为无穷远点． 注意：条件 2 给出了普通点的(非齐次)仿射坐标 与齐次仿射坐标之间互化的方法．
3. 点 c 与直线 ab 的结合对应于由 (c) 生成的一
维子空间包含在由 (a) 和 (b) 生成的二维子空间．
高 等 几 何 ( Higher Geometry )
高等几何2.2节(新稿)
由此可见，用矢量表示，则直线a (即a x 0) 和直线b(即b x 0)交点的坐标为x a b
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2.2 齐次坐标
齐次坐标(一般形式) 特定一组
P 1 (0,0,1) P2 (1,0,1)
2.二维齐次点坐标
例1 (1). 求下列各点的齐次坐标.
P 1 (0,0) P2 (1,0)
为了学习线几何学，引进线坐标概念。
主要困难 来自根深蒂固的点几何学传统观念的干扰。
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2.2 齐次坐标
3
二、齐次线坐标
1. 定义 将直线l： ui xi 0 中的系数称为l的齐次线坐标，记作
i 1
Hale Waihona Puke [u1 , u2 , u3 ].
注1 齐次线坐标与齐次点坐标有完全相同的代数结构和性质。
三、有关齐次坐标的基本结论
(3) 相异三点a,b,c共线
a1 秩 b1 c 1 a2 b2 c2 a3 b3 2. c3
证：显然秩<3，由相异得秩为2.
上述给出的3对重要的基本结论。到第2.3节将会看到，这 注 种结论成对出现的现象恰是射影几何中的一个重要规律。 即对偶原理。
(1) x轴上的无穷远点 (1,0,0) u1 0.
(2) y轴上的无穷远点 (0,1,0) u2 0. (3) 原点 (4) 点
(0,0,1) u3 0.
(1,2,2) u1 2u2 2u3 0.
1 的无穷远点 (3,1,0) 3u1 u2 0. 3 (6) 无穷远直线上的点 ( x1 , x2 ,0) x1u1 x2u2 0.
（6）斜率为k 的直线y=kx+b的齐次坐标方程是 x2 kx1 bx3 , 和无穷远线 x3 0联立求解， 可得交点坐标为 x︰ ︰x3 1 ︰k ︰o, 所以， 1 x2 斜率为k的直线上的无穷远点是（1，k,0）.
高等几何
实椭圆( x 2 y 2 1) 虚椭圆( x 2 y 2 1) 双曲线( x 2 y 2 1)
在射影仿射平面上, 有心二阶曲线总可化为上述标准方程之一.
§ 4.7 二次曲线的仿射分类
二、 无心二阶曲线的射影仿射分类
取中心(无穷远切点)为A1', 取一直径与 的有 穷远交点为A3', A3'处的切线上无穷远点取作为 A2'. 以三点形A1'A2'A3'为坐标三点形, 适当选取单位点 E' 建立新 的仿射坐标系, 则 : S = 0 可以化为
综上讨论, 在射影仿射平面上, 二阶曲线共分为11个等价类. 任 何二阶曲线总可通过适当选取射影仿射坐标系化为上述11种射影 仿射标准方程之一.
§ 4.7 二次曲线的仿射分类
例 求射影仿射坐标变换, 将二阶曲线 : x1x2 x1x3 x2 x3 0 () 化为射影仿射标准方程. 由|A|≠0知 为一条非退化二阶曲线, 又由A33 <0 知 为 一条双曲线. 第一步, 选取以中心为第三个顶点的自极三点形. 第二步, 求射影仿射坐标变换的逆式. 第三步, 化为射影仿射标准方程.
§ 4.7 二次曲线的仿射分类
一、 有心二阶曲线的射影仿射分类
取中心为 A3', 任取一对相异的共轭直径, 它们与l∞的交点分别取作A1', A2'. 则三点形 A1'A2'A3'为 的一个自极三点形. 以 A1'A2'A3'为坐标三点形, 适当选取单位点 E', 建立新的 射影仿射坐标系. 则 : S =0 可以化为
2 2 S x12 x2 x3 0.
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2.1中心投影(透视)与理想元素
二、无穷远元素
约定1 (1) 在每一条直线上添加惟一一个点，此点不是该直 线上原有的点. 称为无穷远点(理想点)，记作P∞ (2) 相互平行的直线上添加的无穷远点相同, 不平行的直线上 添加的无穷远点不同.
区别起见，称平面上原有的点为 通常点，记作P
约定2 (3) 按约定(1), (2)添加无穷远点之后，平面上全体无 穷远点构成一条直线，称为无穷远直线(理想直线)，记作l∞ 区别起见，称平面上原有的直线为通常直线，记作l 总结：在平面上添加无穷远元素之后，没有破坏点与直线 的结合关系，同时使得中心射影成为双射.
不平行
普通点
5.任一直线与其平行平面交于惟一无穷远点.
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2.1中心投影(透视)与理想元素
理解约定2
1.无穷远直线为无穷远点的轨迹. 无穷远直线上的点均为无穷远 点；平面上任何无穷远点均在无穷远直线上.
2.每一条通常直线与无穷远直线有且仅有一个交点且为该直线 上的无穷远点.
3.每一平面上有且仅有一条无穷远直线. 4.每一组平行平面有且仅有一条交线为无穷远直线；过同一条 无穷远直线的平面相互平行. 因而，对于通常平面： 平 行 无穷远直线 两平面 交于惟一 不平行 普通直线
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高等几何第二章2.1节完
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高等几何（第二版 朱德祥 朱维宗编）
第二章
欧氏平面的拓广
2.1中心投影(透视)与理想元素 云南师范大学数学学院
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提
纲
• 本章教材分析 一、中心射影 二、无穷远元素 三、拓广平面 四、射影直线、射影平面的基本 性质及模型 五、射影观点与仿射观点
2
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第二章 欧氏平面的拓广
从中心投影引进平面内的理想元 素，由此拓广欧氏平面，作为建 立射影几何的基础。
定义中心投影，引入齐次坐标， 学习对偶原理以及复元素。 排除传统习惯干扰，尽量 掌握基本概念。
本章教材分析
本章地位
本章内容
学习注意
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2.1中心投影(透视)与理想元素
一、中心射影
1.平面上两直线间的中心射影 定义
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2.1中心投影(透视)与理想元素
理解约定1
1.对应平面上每一方向，有惟一无穷远点. 平行的直线交于同一 无穷远点；交于同一无穷远点的直线相互平行. 2.每一条直线上有且仅有一个无穷远点.
3.平面上添加的无穷远点个数＝过一个普通点的直线数.
4.不平行的直线上的无穷远点不同. 因而，对于普通直线： 两直线 平 行 交于惟一 无穷远点 平面上任二直线总相交
没影线的存在，导致两平面间的中心射影不是一个双射。
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2.1中心投影(透视)与理想元素
一、中心射影
思考：平面上两直线间的中心射影 定义
: l l'
平面到平面的中心射影
定义
: '
}
均不是满单射
中心射影不是双射的原因：存在没影点、没影线
存在没影点、没影线的原因：平行的直线没有交点
(iii) 叠合赤道上对径 点的半球面
(iv) 叠合周界上对径 点的圆盘
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2.1中心投影(透视)与理想元素
Mö bius带
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五、射影观点与仿射观点 • 如果把理想元素与普通元素看作没有任何区 别，这种观点称为射影观点，相应的平面是 射影平面，射影平面上没有无穷远元素，平 行线不存在。 • 如果将新补充的元素另眼看待，给他们保留 特殊的身份和名称，这种观点称为仿射观点， 相应的平面是仿射平面，仿射平面上有无穷 远元素，平行线存在相交于无穷远处。 • 欧氏平面上没有无穷远元素，平行线存在而 不相交。
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2.1中心投影(透视)与理想元素
一、中心射影
2.平面到平面的中心射影 定义
: '
O投射中心(O ')
OP 投射线 P' π 上的点P 在π'上的像 图2.4 P π' 上的点P'在π上的像 因此 ， 1 : ' 是π'到π的中心射影 三条特殊的直线： x ' 自对应直线(不变直线) u , U u, OU // ' ， u为由没影点构成的没影线 v' ' , V ' v' , OV ' // ， v‘为由没影点构成的没影线
在射影平面上，可 以证明：
I，II为同一区域
III，IV为同一区域
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2.1中心投影(透视)与理想元素
四、射影直线、射影平面的基本性质及模型
2.射影平面
(1) 射影平面的封闭性(从两个方面理解) (2) 射影平面的拓扑模型 (i) 叠合对径点的球面 (ii) 欧氏空间过原点的 直线的集合
•引入无穷远点以后，平行射影成了中心射影的一个特例。
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2.1中心投影(透视)与理想元素
四、射影直线、射影平面的基本性质及模型 1. 射影（仿射）直线
(1) 射影直线的封闭性
欧氏直线：向两个方向无限伸展 射影直线：向两方前进最终都到达同一个无穷远点
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2.1中心投影(透视)与理想元素
空间中任二平面必相交于唯一直线
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2.1中心投影(透视)与理想元素
三、拓广平面 添加了理想元素的欧氏平面称作拓广平面. 约定：普通点和无穷远点统称为点； 添加无穷远点后的直线和无穷远直线统称为射影（仿 射）直线； 添加无穷远直线后的平面称为射影（仿射）平面. 注意：在射影平面上, 点与直线的结合关系成立. (1) 两个相异的点确定惟一一条射影直线； (2) 两条相异的射影直线确定惟一一个点.
如何使得中心射影成为一个满单射？
给平行线添加交点！
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2.1中心投影(透视)与理想元素
二、无穷远元素
目标：
途径： 要求：
改造空间，使得中心射影成为满单射
给平行直线添加交点 不破坏下列两个基本关系
两条相异直线确定惟一一个点(交点)
}
两个相异点确定惟一一条直线(连线)
点与直线的结合关系
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(2) 射影直线的拓扑模型
(i) 欧氏平面上的圆以O为束心的 线束与直线l上的点构成一一 对应，由于线束无边缘直线， 所以，要把射影直线看作闭 合的。
(ⅱ) 射影平面上的射影直线其拓扑模型为一个圆。
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2.1中心投影(透视)与理想元素
(3) 射影直线上点的顺序关系 欧氏直线：一点区分直线为两个部分。 射影直线：一点不能区分直线为两个部分。 欧氏直线：两点确定直线上的一条线段。
射影直线：两点不能确定直线上的一条线段。
点偶A,B分隔点偶C,D
点偶A,B不分隔点偶C,D
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四、射影直线、射影平面的基本性质及模型
2.射影平面
(1) 射影平面的封闭性(从两个方面理解) (i) 任一直线划分欧氏平面为两个不同的区域 任一直线不能划分射影平面为两个不同的区域 (ii) 两条相交直线划分欧氏平面为四个不同的区域 两条相交直线划分射影平面为两个不同的区域
: l l'
O投射中心(O l l ') Q A R B OA、OB ：投射线 图2.1 A’ 、 B’ l 上的点A、B在l'上的像 A、 B l '上的点A' 、 B'在l上的原像 因此 ，φ–1: l‘ → l亦是 l' 到 l 的中心射影 三个特殊的点： R=l×l' 自对应点(不变点) OP与l‘不相交， P为l上的没影点 OQ'与l不相交， Q'为l'上的没影点 没影点的存在，导致两直线间的中心射影不是一个双射