几类排列组合问题.docx

一、小球放盒子问题（分组问题）

（ 1） 6 个不同的小球放到 6 个不同的盒子里。

解析：分步乘法计数原理，

每个小球都有六种放法

6

答案： 6 。

（2） 6 个不同的小球放到 6 个不同的盒子里，要求每个盒子只能放一个小球。

解析：思路一：分步乘法计数原理，

第一个小球有 6 种放法

第二个小球有 5 种放法

⋯⋯

第六个小球有 1 种放法

即6*5*4*3*2*1 ；

思路二：将小球按顺序摆放后，与不同的盒子相对应即可，即A66。

答案： 720。

（ 3） 6 个不同的小球平均放到 3 个相同的盒子里。

解析：平均分组的问题

因为盒子相同，相当于把小球等分成三堆，设想 6 个小球编号为ABCDEF，

首先从

6个球中选出

2

个，为62；

C

然后从剩下的 4 个球中选出 2 个，为 C42；

最后剩下

2个球，为22；

C

但是： C62取出 AB 球、 C42取出 CD球、剩 EF球；

C62取出 AB球、

C42取出 EF球、剩 CD球；

C62取出 CD球、

C42取出 AB球、剩 EF 球；

C62取出 CD球、

C42取出 EF球、剩 AB 球；

C62取出 EF球、

C42取出 AB球、剩 CD球；

C62取出 EF球、

C42取出 CD球、剩 AB 球；

得到的结果是一样的，故按照C62 C42 C22组合完成后还应除去A33，答案： C62 C42 C22 /A 33

（ 4） 6 个不同的小球平均放到 3 个不同的盒子里。

解析：平均分组后再分配的问题

平均分组得到的结果为C26 C24 C22 /A 33，分完组后三堆小球还要放到不同的盒

子里，即再进行一个

答案： C26 C24 C22

（ 5） 6 个不同的小球按1、2、 3 的数量，分别放到 3 个相同的盒子里。

解析：非平均分组的问题

因为盒子相同，相当于把小球分成数量不等的三堆，

首先从

6个球中选出

1

个，为61；

C

A33的排列

然后从剩下的 5 个球中选出2个，为 C52；

最后剩下

3个球，为33；

C

注意：因为这个问题是非平均分组，故不存在（3）中出现的重复的情况，

因此 C 61 C 52 C 33 即为最后结果，不需要再除以 A 33

答案： C 61 C 52 C 33

（ 6） 6 个不同的小球按 1、2、 3 的数量，分别放到

3 个不同的盒子里。

解析：非平均分组再分配的问题

非平均分组得到的结果为 C 61 C 52 C 33 /A 33 ，分完组后三堆小球还要放到不同的

盒子里，即再进行一个

A 33 的排列

答案： C 61 C 52 C 33 A 33

（ 7） 6 个不同的小球按

1、1、 1、 3 的数量，分别放到 4 个相同的盒子里。

解析：部分平均分组的问题

分成的四堆中，有三堆数量一样，设想

6 个小球编号为 ABCDEF ，

首先从

6 个球中选出

3个，为 63

；

C

然后从剩下的 3 个球中选出 1 个，为 C 31 ；

再从剩下的 2 个球中选出

1 个，为 C 21 ；

最后剩下 1 个球，为 1

；

C 1

但是： C 63 取出 ABC 球、

C 31 取出

D 球、 C 21 取出

E 球、剩

F 球； C

3 1 1

取出 F 球、剩 E 球； 6 取出 ABC 球、 C

取出 D 球、 C

3

2

C

3 取出 球、

31

取出

E

球、 21 取出

D 球、剩

F 球；

6

ABC C

C

C

3 取出

球、 31 取出 E 球、 21

取出 F 球、剩 D 球；

6

ABC C C

C

3 取出

球、 31 取出 F 球、 21 取出 D 球、剩 E 球；

6 ABC

C C

C

3 取出

球、 31

取出 F 球、 21 取出 E 球、剩 D 球；

6

ABC C C

得到的结果是一样的，故按照C 63 C 31 C 21 C 11 组合完成后还应除去 A 33 ，

答案： C 63 C 31 C 21 C 11 /A 33

（ 8） 6 个不同的小球按 1、1、 1、 3 的数量，分别放到

4 个不同的盒子里。

解析：部分平均分组再分配的问题

部分平均分组得到的结果为 C 36 C 13 C 12 C 11 /A 33 ，分完组后四堆小球还要放到

不同的盒子里，即再进行一个 A 44 的排列

答案： (C 36 C 13 C 12 C 11 /A 33 )A 44

（ 9） 6 个不同的小球按 1、1、 2、 2 的数量，分别放到 4 个相同的盒子里。

解析：部分平均分组再分配的问题 答案： C 26 C 24 C 12 / （ A 22 A 22 ）

（ 10）6 个不同的小球按 1、 1、 2、2 的数量，分别放到 4 个不同的盒子里。

解析：部分平均分组再分配的问题 答案： [C 26 C 24 C 12 / （ A 22 A 22 ） ]A 44

（ 11）6 个不同的小球放到

5 个不同的盒子里，要求每个盒子至少放一个。

解析：分类讨论分组再分配的问题，首先应该确定小球个数的分配方案，

5 个盒

子 6 个球，满足每盒至少一个，那么有且只有一个盒子放

2 个，其他盒子

放一个；即小球按照

2、1、1、1、1 的数量，分别放到 5 个不同的盒子中。 2 1 1 1 1 4 ） 6

答案：（ 6

4

3

2

1

4

6

C C C C C /A A