点与直线、直线与直线的位置关系
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思维拓展 1.研究两直线的位置关系时,若直线方程的系数含有变量应注意什么? 提示:在利用斜率、截距研究两直线的位置关系时,若直线方程中y的 系数含有字母参数,则斜率可能有不存在的情况.此时,应对其按y的 系数为零(斜率不存在)和不为零(斜率存在)两种情况进行讨论.利用 斜率相等研究两条直线平行时,要注意重合的情形.
之间的距离d=
.பைடு நூலகம்
答案：②
|C1 C2 | A2 B2
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4.对称问题
(1)中点坐标公式
设A(x1,y1),B(x2,y2),则线段AB的中点坐标为
.
(2)中心对称
若点M(x1,y1)及N(x,y)关于P(a,b)对称,则由中点坐标公式得
.
答案： (1)
x1
2
x2
,
y1
2
就是两直线交点的坐标;若方程组无解,则l1与l2
个解,则l1与l2 . 答案：相交 平行 重合
;若方程组有无数
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3.有关距离
(1)两点间的距离
平面上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离|P1P2|=
.
(2)点到直线的距离
平面上一点P(x0,y0)到一条直线l:Ax+By+C=0的距离d=
1
C.2 D2.
答案：B
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5.求与直线x-y+2=0平行,且它们之间的距离为3 2的直线方程. 解:设与直线x-y+2=0平行的直线方程为x-y+m=0,根据平行线间的距 离公式,得=3⇒|2-m|=6⇒m=-4或m=8,即所求的直线方程为x-y-4=0, 或x-y+8=0.
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二、两直线的垂直
x1 x2 A
可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2,y2)(其中A≠0,x1≠x2).
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基础自测
1.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是 ( ).
A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0
C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 答案：A 2.点P在直线x+y-4=0上,O为坐标原点,则|OP|的最小值为( ).
对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,
l1∥l2⇔
.
对于直线l1:A1x+B1y+C1=0,
l2:A2x+B2y+C2=0,
l1∥l2⇔
.
答案： k1=k2,且b1≠b2 A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C1≠0
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(2)两直线垂直
对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2, l1⊥l2⇔k1·k2= . 对于直线l1:A1x+B1y+C1=0,
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一、两直线的平行 【例1】 直线l1:2x+(m+1)y+4=0与直线l2:mx+3y-2=0平行,则m的值为
( ).
A.2
B.-3
C.2或-3 D.-2或-3 答案： C
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解析:解法一:当m=-1时,l1:2x+4=0,l2:-x+3y-2=0显然l1与l2不平行;
.
答案： (1) (x2x1)2(y2y1)2
(2)
|
Ax0 By0 C | A2 B2
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(3)两平行线间的距离
已知l1,l2是平行线,求l1,l2间距离的方法:
①求一条直线上一点到另一条直线的距离; ②设l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0(C1≠C2),则l1与l2
l2:A2x+B2y+C2=0,
l1⊥l2⇔
.
答案：1 A1A2+B1B2=0
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2.两直线的交点
设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,将这两条直线的方程联立,
得方程组 A A 若12x方x程BB12组yy有CC1唯2一00,,解,则l1与l2
,此解
A. 1 3 B.2 2 C. 答案：B
6 D.2
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3.已知两条直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,则a=( ).
A.2 B.1 C.0 D.-1
答案：D
4.若三条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0和x+by=0相交于一点,则b=( ).
1
A.-1 B.- 2
9.2 点与直线、直线与直线的 位置关系
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基础梳理自测 考点探究突破
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基础梳理自测 ◎构建能力大厦的奠基石◎
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知识梳理
1.两直线的位置关系
平面内两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况.
(1)两直线平行
y2
(2)
x y
2a 2b
x1 , y1
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(3)轴对称
若两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0对称,则线段P1P2的中
点在对称轴l上,而且连接P1P2的直线垂直于对称轴l.由方程组
A
x1
x2 2
B
y1
2
y2
C
0,
y1 y2 B
当m≠-1时,因为l1∥l2,所以应满足-
m
2
=1-
m且3 - m 4≠ 1
,23 解得m=2
或m=-3.
解法二:若l1∥l2,需2×3-m(m+1)=0,解得m=-3或m=2. 当m=-3或2时,-2(m+1)-12≠0.
∴m=-3或2为所求.
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方法提炼1.判定两直线平行的方法: (1)判定两直线的斜率是否存在,若存在,可先化成斜截式,若k1=k2, 且b1≠b2,则两直线平行;若斜率都不存在,还要判定是否重合. (2)直接用以下方法,可避免对斜率是否存在进行讨论: 设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0且 B1C2-B2C1≠0. 2.与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0(m≠C),这 也是经常采用的解题技巧. 请做[针对训练]1
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2.运用距离公式时应注意什么? 提示:点到直线的斜率公式适用于任何形式的直线方程,在运用该公 式时,应首先把直线方程化为一般式;在运用两平行线间的距离公式 时,要注意先把两直线方程中x,y的系数化成相等的形式.
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考点探究突破 ◎拓展升华思维的加油站◎
思维拓展 1.研究两直线的位置关系时,若直线方程的系数含有变量应注意什么? 提示:在利用斜率、截距研究两直线的位置关系时,若直线方程中y的 系数含有字母参数,则斜率可能有不存在的情况.此时,应对其按y的 系数为零(斜率不存在)和不为零(斜率存在)两种情况进行讨论.利用 斜率相等研究两条直线平行时,要注意重合的情形.
之间的距离d=
.பைடு நூலகம்
答案：②
|C1 C2 | A2 B2
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4.对称问题
(1)中点坐标公式
设A(x1,y1),B(x2,y2),则线段AB的中点坐标为
.
(2)中心对称
若点M(x1,y1)及N(x,y)关于P(a,b)对称,则由中点坐标公式得
.
答案： (1)
x1
2
x2
,
y1
2
就是两直线交点的坐标;若方程组无解,则l1与l2
个解,则l1与l2 . 答案：相交 平行 重合
;若方程组有无数
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3.有关距离
(1)两点间的距离
平面上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离|P1P2|=
.
(2)点到直线的距离
平面上一点P(x0,y0)到一条直线l:Ax+By+C=0的距离d=
1
C.2 D2.
答案：B
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5.求与直线x-y+2=0平行,且它们之间的距离为3 2的直线方程. 解:设与直线x-y+2=0平行的直线方程为x-y+m=0,根据平行线间的距 离公式,得=3⇒|2-m|=6⇒m=-4或m=8,即所求的直线方程为x-y-4=0, 或x-y+8=0.
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二、两直线的垂直
x1 x2 A
可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2,y2)(其中A≠0,x1≠x2).
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基础自测
1.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是 ( ).
A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0
C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 答案：A 2.点P在直线x+y-4=0上,O为坐标原点,则|OP|的最小值为( ).
对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,
l1∥l2⇔
.
对于直线l1:A1x+B1y+C1=0,
l2:A2x+B2y+C2=0,
l1∥l2⇔
.
答案： k1=k2,且b1≠b2 A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C1≠0
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(2)两直线垂直
对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2, l1⊥l2⇔k1·k2= . 对于直线l1:A1x+B1y+C1=0,
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一、两直线的平行 【例1】 直线l1:2x+(m+1)y+4=0与直线l2:mx+3y-2=0平行,则m的值为
( ).
A.2
B.-3
C.2或-3 D.-2或-3 答案： C
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解析:解法一:当m=-1时,l1:2x+4=0,l2:-x+3y-2=0显然l1与l2不平行;
.
答案： (1) (x2x1)2(y2y1)2
(2)
|
Ax0 By0 C | A2 B2
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(3)两平行线间的距离
已知l1,l2是平行线,求l1,l2间距离的方法:
①求一条直线上一点到另一条直线的距离; ②设l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0(C1≠C2),则l1与l2
l2:A2x+B2y+C2=0,
l1⊥l2⇔
.
答案：1 A1A2+B1B2=0
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2.两直线的交点
设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,将这两条直线的方程联立,
得方程组 A A 若12x方x程BB12组yy有CC1唯2一00,,解,则l1与l2
,此解
A. 1 3 B.2 2 C. 答案：B
6 D.2
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3.已知两条直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,则a=( ).
A.2 B.1 C.0 D.-1
答案：D
4.若三条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0和x+by=0相交于一点,则b=( ).
1
A.-1 B.- 2
9.2 点与直线、直线与直线的 位置关系
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基础梳理自测 ◎构建能力大厦的奠基石◎
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知识梳理
1.两直线的位置关系
平面内两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况.
(1)两直线平行
y2
(2)
x y
2a 2b
x1 , y1
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(3)轴对称
若两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0对称,则线段P1P2的中
点在对称轴l上,而且连接P1P2的直线垂直于对称轴l.由方程组
A
x1
x2 2
B
y1
2
y2
C
0,
y1 y2 B
当m≠-1时,因为l1∥l2,所以应满足-
m
2
=1-
m且3 - m 4≠ 1
,23 解得m=2
或m=-3.
解法二:若l1∥l2,需2×3-m(m+1)=0,解得m=-3或m=2. 当m=-3或2时,-2(m+1)-12≠0.
∴m=-3或2为所求.
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方法提炼1.判定两直线平行的方法: (1)判定两直线的斜率是否存在,若存在,可先化成斜截式,若k1=k2, 且b1≠b2,则两直线平行;若斜率都不存在,还要判定是否重合. (2)直接用以下方法,可避免对斜率是否存在进行讨论: 设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0且 B1C2-B2C1≠0. 2.与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0(m≠C),这 也是经常采用的解题技巧. 请做[针对训练]1
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2.运用距离公式时应注意什么? 提示:点到直线的斜率公式适用于任何形式的直线方程,在运用该公 式时,应首先把直线方程化为一般式;在运用两平行线间的距离公式 时,要注意先把两直线方程中x,y的系数化成相等的形式.
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