动量定理 质心运动定理
第十章-质心运动定理-动量定理
m1下降h时，假设m4向左水平移动S:
xC1
m1 x1
S
m2 x2
h m1
S m3 x3 hcos
m2 m3 m4
S
m4 x4
S
由
xC1
xC0
得
S
m2h m3hcos
m1 m2 m3 m4
例2:电动机重W1，外壳用螺栓固定在基础上，如图所示。另 有一均质杆，长l，重W2，一端固连在电动机轴上，并与机轴
（二）质心运动定理
对每个质点
mi
d 2ri dt 2
Fi
1
求和
左边
mi
d2 dt 2
d 2ri dt 2
mi ri
Fi
d2 dt 2
2
mrC
m
d 2rC dt 2
maC
右边
FiE FiI FiE FiI
系统外部对i质 点的合力
系统内部其它所有质 点对i质点的合力
vCx 0
又
dxC dt
vCx
0
xC const
例1：图示机构，地面光滑，初始时刻系统静止。问
m1下降h时，m4水平移动多少？
y
记四个物块的质心初始时刻坐标
分别为x1、 x2、 x3、 x4。
m3
m2
m4
m1
初x1 m2 x2 m1 m2
m3 x3 m4 x4 m3 m4
动，求螺栓和基础作用于电动机的最大总水平力及铅直力。
解：
maCx miaCix
aC3
W2 g
aC 2
s in t
W3 g
aC 3
s in t
aC2
W2 2W3 l2 sin t
质心运动定理
质心运动定理
质心运动定理是质点系动量定理的另一种形式,可由质点系动量定理直接导出。
即将P＝Mvc代入质点系动量定理dP/dt＝∑Fe，得：Mdvc/dt＝∑Fe或Mac ＝∑Fe——称为质心运动定理.(∵ac＝dvc/dt)
即：质点系的质量M与质心加速度ac的乘积等于作用于质点系所有外力的矢量和(外力主矢量)。
可见：只有外力才能改变质点系质心的运动。
定理的推论
根据这个定理可推知：
①质点系的内力不能影响它的质心的运动；例如跳水运动员自跳板起跳后，不论他在空中再做何种动作，采取何种姿势，由于外力(重力)并未改变，所以运动员的质心在入水前仍沿抛物线轨迹运动；
②如果作用于质点系上外力的矢量和始终为零，则质点系的质心作匀速直线运动或保持静止；
③若作用于质点系上外力的矢量和在某轴上的投影始终为零，则质点系质心在该轴上的坐标匀速变化或保持不变。
第十一章 质心运动定理动量定理
第十一章 质心运动定理 动量定理一、目的要求1．质点系（刚体、刚体系）是动力学的主要力学模型，解决质点系（刚体、刚体系）动力学问题的主要方法有三类：（1）达朗伯原理；（2）动力学基本定理；（3）动力学普遍方程和拉格朗日方程。
2．对质点系（刚体、刚体系）的质心、动量有清晰的理解，能熟练地计算质点系（刚体、刚体系）的动量，能熟练地应用质点系的动量定理、质心运动定理（包括相应的守恒定律）求解动力学问题。
二、基本内容1．基本概念质点系的质心、质点系（刚体、刚体系）的动量、2．主要公式（1）质点系（刚体、刚体系）质心的计算 1）矢径形式 M r m r i i c 或 Mr m r ic i c 2）直角坐标形式Mx m x i i c ，M y m y i i c ，M z m z i i c 其中 k z j y i x r i i i i 为第i 个质点到固定点O 的矢径。
k z j y i x r c c c c 为质点系的质心到固定点O 的矢径。
ic r 为第i 个刚体的质心到固定点O 的矢径。
m i 为第i 个质点的质量，i m M 为质点系（刚体、刚体系）的质量。
（2）质点系（刚体、刚体系）动量的计算1）矢径形式 c i i v M v m P2）投影形式ix i x v m p ，iy i y v m p ，iz i z v m p ，222z y x P P P P注意：动量是矢量，需要时还要计算动量的方向。
（3）动量定理（质心运动定理）n i (e)i F dt p d 1 )(1n i (e)i c F a M 式中 n i c i i v M v M p 1 ，是质点系某瞬时的动量， n i e i F 1)( 是质点系所受外力的主矢量。
c a 为质点系心的加速度。
三、重点和难点1．重点：（1）质点系（刚体、刚体系）质心、动量的计算。
（2）质点系动量定理、质心运动定理。
2．难点：质点系动量定理、质心运动定理的应用。
质点动量定理.pptx
1
Yc m
1 yCdm m
R
0 y边 (2x边dy边)
1 R
m
0
y边 (2
R2
y边2 dy边 )
4R 3π
dy边
yC
y边
即质心位置为
0,
4R 3π
。
8
第9页/共47页
(4) 多个规则形状物体组成系统的质心 多个规则形状物体组成系统的质心，可先找到每
个物体的质心，再用分立质点系质心的求法，求出公 共质心。
它们置于一质量也为 m 的槽的底部。槽置于光滑的水
平面上。释放后，球最终静止于槽的底部，问此时槽移
动了多远？
解：水平方向动量守恒,质心位置不变
xC0 xC
xC 0
2m 0 3m
mR
3mx xC 3m
解得： x 1 R 0 向右移动
3 27 第28页/共47页
例4.1.2-2 一物体在光滑水平面上以 5m/s的速度沿 x
由牛顿第二定律原始表达式：
对上式积分得：
F d(mv) dt
定义：
t t
Fdt mv(t t) mv(t) t P mv 称为质点的动量
tt
I Fdt
称为力在 t 时间内的冲量
t
质点的动量定理: 外力冲量等于质点动量的改变量
16
第17页/共47页
例4.2.1-1 一质量为 0.15 千克的棒球以 v0 40m/s 的
(3)
1
yc
mA yA mB yB mD yD mA mB mD
4mD (2) 2mD (1) mD (8) 4mD 2mD mD
2
zc
mA zA mB zB mD mA mB mD
3.2质点系的动量定理
v0
dm 时间内的火箭受喷射燃料的 火箭受喷射燃料的推进力 dt 时间内的火箭受喷射燃料的推进力 F = u dt
3.2 质点系的动量定理及动量守恒 3.2质点系的动量定理及动量守恒
神舟六号待命飞天
注：照片摘自新华网
3.2 质点系的动量定理及动量守恒 3.2质点系的动量定理及动量守恒
神舟六号点火升空
要增大v 需要提高火箭的质量比 要增大v：需要提高火箭的质量比 或增大喷气速度u 推动力：以喷出的燃料d 2 推动力：以喷出的燃料dm为研究对象 时间内的动量变化率为燃料受火箭力 dt 时间内的动量变化率为燃料受火箭力
dm[(υ − u ) − υ ] dm F= = −u dt dt
m0 火箭速度v v m dm ∫v0 d v = − u ∫m0 m
3.2 质点系的动量定理及动量守恒 3.2质点系的动量定理及动量守恒
6.当质点之间有相对运动时， 6.当质点之间有相对运动时，应运用伽利 当质点之间有相对运动时 略速度变换建立相对于同一惯性系的动量 定理。 定理。 7.质点系的动量守恒定律是自然界一切物理 7.质点系的动量守恒定律是自然界一切物理 质点系的动量守恒定律是 过程的基本定律， 最普遍、 过程的基本定律，是最普遍、最基本的定律 之一．在宏观和微观领域均适用。 之一．在宏观和微观领域均适用。
v v t′ 所以： 所以：I = ∫ ( ∑ Fi )dt = ∑
t i i
∫
t′
t
v v Fi dt = ∑ I i
i
质点所受外力的总冲量等于各分力冲量之和
3.2 质点系的动量定理及动量守恒 3.2质点系的动量定理及动量守恒
t2 r r 再看内力冲量之和 ∑∫ Fint,tdt = ∫ (∑Fint,t )dt i t1 t1 i r 因为内力之和为零： 因为内力之和为零：∑ Fint,t = 0 i t2 r 结论 内力的冲量之和为零 ∑ ∫ Fint,t dt = 0 t2
刚体质心运动的动量定理
刚体质心运动的动量定理
一、定义和概述
刚体质心运动是指刚体绕其质心进行的运动。
刚体质心运动的研究是刚体动力学中的重要部分，其研究的主要内容包括质心的位移、速度和加速度等。
而动量定理则是质心运动的基本定理之一，用于描述质心运动的动量变化和力矩之间的关系。
二、刚体质心运动的特点
刚体质心运动具有以下特点：
1.刚体的质心始终在同一直线上运动，即质心轨迹是一条直线或一个点。
2.刚体的角动量等于零，因为刚体绕质心的运动可以分解为质心的平动和相对于质心的旋转运动，而旋转运动的角动量为零。
3.刚体的动量等于质心的动量，因为刚体中任意一点的动量都与质心的动量相同。
三、动量定理在刚体质心运动中的应用
在刚体质心运动中，动量定理可以表述为：对于刚体绕其质心的运动，其动量的变化率等于作用在刚体上的外力对质心的力矩。
这个定理可以用来描述刚体在力矩作用下的质心运动规律。
具体来说，假设刚体的质量为m，质心的位置为r(t)，则刚体的动量为p=m*r(t)。
设外力F作用于刚体上，其作用点相对于质心的位置为f(t)，则外力对质心的力矩为M=F*f(t)。
根据动量定理，有dp/dt=M，即m*dr(t)/dt=M。
这个公式可以用来求解刚体在力矩作用
下的质心运动规律。
四、结论
综上所述，动量定理是刚体质心运动的基本定理之一，它可以用来描述刚体在力矩作用下的质心运动规律。
在具体的应用中，可以通过对动量定理进行变换和化简，求解出刚体在给定外力矩作用下的质心运动轨迹、速度和加速度等物理量。
质点系动量定理和质心运动定理.pptx
由上式所确定的空间点称质点系的质量中心(质心).
在直角坐标系质心坐标为
xc
mi xi m
yc
mi yi m
zc
mi zi m
对由两个质点组成的质点系，有
xc
m1x1m2x2 m1m2
yc
m1y1m2y2 m1m2
第10页/共19页
x2 xc m1 xc x1 m2
y2 yc m1 yc y1 m2
质心必位于m1与m2的连线上，且质心与各质点距离与质点质量 成反比.
第11页/共19页
[例题3] 一质点系包括三质点，质量为
m2 2单和位
m3
3，单 位置位坐标各为
求质心坐标.
m 1 ( 1 , 2 )m ,2 ( 1 ,1 ) 和 m 3 ( 1 ,2 )
m1 1单位
[解] 质心坐标
xc
m1x1m2x2m3x3 m1m2m3
d p vd tS v
由动量定理
dp vS vF
dt
F表示留在燃烧室内的燃烧物质对排出物质的作用力
Fx Sv2
向下
火箭所受推力，也等于
Sv 2
向上
第5页/共19页
[内例有题质2]量如为图表m0示的传煤送卸带出以，水传平送速带度顶部与将车煤厢卸底入板静v0高止度车差厢为内h。，每开单始位时时车间
第8页/共19页
§3.7.2 质心运动定理
1.质心
质点系动量定理
而
vi
dri dt
i F i d dt(
mivi)
有
i i
F i ddt22(
miri)
F i md dt22(
m iri) m
3-2 质点系动量定理和质心运动定理
解：
dm = 2xσdx
a/ 2
y a
三角形质心坐标x 三角形质心坐标 c是
xc
∫ xdm = ∫ = ∫ dm ∫
0
a/
0
2 a = 2 3 2σxdx
2σx dx
2
O x dx
x
这个结果和熟知的三角形重心位置一致。 这个结果和熟知的三角形重心位置一致。
11
三、质心运动定理 右边: 右边:
r d 据质点系动量定理: 据质点系动量定理 ∑ F = (∑m v ).
质点系动量定理：在一段时间内， 质点系动量定理：在一段时间内，作用于质点系的 外力矢量和的冲量等于质点系动量的增量. 外力矢量和的冲量等于质点系动量的增量
1
v d n v 微分形式） Fi = (∑mivi ) （微分形式） ∑ dt i=1 i=1
n
其分量式
Fixdt = ∑mi vix − ∑mi vi 0x ∫t0 ∑ t ∫t0 ∑Fiydt = ∑miviy − ∑mivi0 y t Fizdt = ∑mi viz − ∑mi vi 0z ∫t0 ∑
z
dm ( x , y , z )
体分布 面分布 线分布
dm = ρdV
r r
x o
M
dm = σdS dm = λdl
y
dm ρ= dτ dm σ= ds dm λ= dl
dm：宏观小，微观大 宏观小，
xc =
r rc =
∫ ∫
xdm M ydm M
注意： 注意：
1.质心的坐标值与坐标系的选取有关； 2.质量分布均匀、形状对称的实物，质 心位于其几何中心处； 3.不太大的实物，质心与重心相重合。
理论力学第11章(动量矩定理)
解：以系统为研究对象，系统所受的外力有小球的重力和轴承处的反
力，这些力对转轴之矩都等于零。所以系统对转轴的动量矩守恒，即
Lz1 Lz2
z
z
Lz1 2(ma0 )a 2ma20
质点系对任一固定点的动量矩 对时间的导数，等于作用在质 点系上所有外力对同一点之矩 的矢量和（外力系的主矩）。
将上式在通过固定点O的三个固定直角坐标轴上投影，得:
dLx dt
Mx(F(e))
,
dLy dt
M y(F(e))
,
dLz dt
Mz(F(e))
上式称为质点系对固定轴的动量矩定理。即质点系对任 一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有 外力对同一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）。
理论力学
9
将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得
d dt
M
x
(mv
)
M
x
(F
),
d dt
M
y
(mv )
M
y
( F ),
d dt
M
z
(mv )
M
z
(F
)
上式称质点对固定轴的动量矩定理，也称为质点动量矩定 理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数， 等于作用在质点上的力对同一轴之矩。
理论力学
14
[例3] 已知: PA PB ; P ; r 。求 。
解: 取整个系统为研究对象，
受力分析如图示。
运动分析： v =r
2_9质心与质心运动定理
例3 有质量为2m的弹丸，从地面斜抛出去，它的落 地点为xC 。如果它在飞行到最高点处爆炸成质量相 等的两碎片。其中一碎片铅直自由下落，另一碎片水 平抛出，它们同时落地。问第二块碎片落在何处。
解： 在爆炸的前后，质心始终
只受重力的作用，因此， 质心的轨迹为一抛物线， 它的落地点为xc 。
m1 x1 m2 x2 xC m1 m2 mx2 xC 2m
dV r 2 dz
而
r a sin z a cos , 2 dV a sin d a cos
a 1 cos d cos
3 2
r a sin
z
z a cos x
a
0 设 u cos ，则 v z dV zdV a 4 1 1 u2 udu 2 a 3 zc 0 3 V dV
x1c R
y
O
x
1 2 小圆板质量为 m1 R， 4 质心坐标为
2
3 余下的质量为 m2 R 2，质心坐标用 x 2 c表示，则 4
1 3 2 R R R 2 x2 c 2 4 0 4 2 R
R x2c 6
例2
求半径为a的均质半圆球的质心
解：如图，以球心O为原点建立坐标系.将半球体划 分为若干半径为r厚为dz的平板状薄圆，体积元为dV
令
m1r1 m2 r2 rc m1 m2
（2）n个质点系统
分量形式
xc
i
rc
mi ri
m
i
i i
i
i
m x m
i i i
i
3-2 质点系动量定理和质心运动定理讲解
求腰长为a 等腰直角三角形均匀薄板的质心位置。
求腰长为等腰直角三角形均匀薄板的质心位置。
解：dm = 2xσdx a/ 2 y a 三角形质心坐标x 三角形质心坐标c是xc ∫ xdm = ∫ = ∫ dm ∫ 0 a/ 0 2 a = 2 3 2σxdx 2σx dx 2 O x dx x 这个结果和熟知的三角形重心位置一致。
这个结果和熟知的三角形重心位置一致。
11三、质心运动定理右边: 右边: r d 据质点系动量定理: 据质点系动量定理∑ F = (∑m v . n n i=1 i dt i i=1 i i d d d r (∑m v = ∑m ( = ∑m r. dt d t ∑m dt n 2 n n i=1 i i i=1 i 2 i=1 n i 2 n i=1 i 2 c i=1 i r ∑m r n 上式第二步分子, 上式第二步分子, 分母均乘以 dt 故质点系动量定理: 故质点系动量定理 2 上式中, 上式中, r dr 2 ∑ m, i=1 i c r 质心的加速度, 为质点系质心的加速度,用 aC 表示, r ∑F n i =1 i r = ma C ______称为质心运动定理. ______称为质心运动定理. 称为质心运动定理 12r ∑F n i =1 i r = ma C 此式表示，此式表示，质点系质心的运动与这样一个质点的运动具有相同的规律，运动具有相同的规律，该质点的质量等于质点系的总质量，质量，作用于该质点的力等于作用于质点系的外力的质心运动定律。
矢量和。
这个结论称为质心运动定律矢量和。
这个结论称为质心运动定律。
表明: 表明不管物体的质量如何 Y 分布，分布，也不管外力作用在物体的什么位置上，体的什么位置上，质心的运动就象是物体的质量全部都集中于此，集中于此，而且所有外力也 C 都集中作用其上的一个质点 O X 的运动一样。
的运动一样。
质心运动反映了质点系的整体运动趋势。
动量定理 质心运动定理
动量定理 质心运动定理质点的动量定理可以表述为：质点动量的微分，等于作用于质点上力的元冲量。
用公式表达为 Fv =)(m dt d（17-7）dt m d F v =)( （17-8）设1t 时刻质点系的动量为1p ，2t 时刻质点系的动量为2p ，将（17-8）式积分，积分区间为从1t 到2t ，得⎰=-2112t t dtF p p （17-9）记IF =⎰21t t dt ，称为力F 在1t 到2t 时间间隔内的冲量。
式（17-9）为质点系动量定理的积分形式，它表明质点系在某时间间隔内的冲量的改变量，等于作用在质点系上的外力主矢在该时间间隔内的冲量。
对于质点系而言，设)(e i F 为质点i M 所受到的外力，)(i i F 为该质点所受到的质点系内力，根据牛顿第二定律得)(i i (e)ii i m F F a += 即)()(i i e i iidt d m F F v +=除了火箭运动等一些特殊情况，一般机械在运动中可以认为质量不变。
如果质点的质量i m 不变，则有 )()()(i i e i i i dt m d F F v +=上式对质点系中任一点都成立，n 个质点有n 个这样的方程，把这n 个方程两端相加，得∑∑∑===+=ni i i ni e ini i i dtm d 1)(1)(1)(F F v质点系的内力总是成对地出现，内力的矢量和∑=ni i iF1)(等于零。
上式中∑=ni e iF1)(是质点系上外力的矢量和，即外力系的主矢，记作)(e RF ，则上式可写为)(e R dt d F p= （17-10）这就是质点系动量定理的微分形式，它表明：质点系的动量对时间的导数等于作用在质点系上外力的矢量和。
将式（17-10）写成微分形式dt d e R )(F p =设1t 时刻质点系的动量为1p ，2t 时刻质点系的动量为2p ，上式从1t 到2t 积分，得⎰=-21)(12t t e R dtF p p I =（17-11）当外力主矢为零时，由上式可推出质点系的动量是一常矢量，即0p p =这表明当作用在质点系上的外力的矢量和为零时，质点系的动量保持不变，这就是质点系的动量守恒定理。
质点系的动量定理
t2
p2x p1x
X (e)dt
t1
t
(M m)v 0 F dt
0
t2
p2 y p1y
Y (e)dt
t
0 (mu) (N Mg mg) dt
0
(Mt1
m)v
F
t
F
m m
mu
N
t
(M
m)g
t
N
m m
(M
m)g
m m
解得：v
(M
Fm m)m
;
N (M m)g m u
本章将研究质点和质点系旳动量定理，建立了动量旳变化 与力旳冲量之间旳关系，并研究质点系动量定理旳另一主要形 式——质心运动定理。
3
§12-1 质点系旳质心 内力与外力
一.质点系旳质心 ⒈定义 质点系旳质量中心称为质心。
是表征质点系质量分布情况旳一
个主要概念。
⒉ 质心 C 点旳坐标公式
rC
mi
M
ri
p mvC1 mvC2 mvC3
px mvC1 sin mvC2 cos mvC3
PC2
5 2
l; AB
)
m[( 1 l sin 45 5 l cos 2l)
2
2
ml( 1 2 5 3 2) 2 2ml
2 2 2 10
8
py mvC1 cos mvC2 sin
在某一时间间隔内，质点系动量旳变化量等于作用在质点
系上旳全部外力在同一时间间隔内旳冲量旳矢量和。
14
⒉ 投影形式
dpx
dt
Xi (e )
dp y
dt
Yi (e)
dp z
第10章动量定理
冲量的单位： Ns kgm/s 2 s kgm/s
3
§10-2 动量定理
1．质点的动量定理
由
d
(mv)
F
dd(tmv)
Fdt
动量定理的微分形式
即：质点动量的增量等于作用在质点上的元冲量。
对m上v 式积m分v0，时间0t由Fd0t到t，速I 度由动v量0变定为理v，的得积分形式
即：在某一时间间隔内，质点动量的变化等于作用于
dri dt
d dt
mi ri
令 m mi
rC
mi ri m
为质心
则
p
d
dt
mi ri
d dt (mrC )
mvC
结论：质点系的动量等于质心速度与其全部质量的乘积
二．冲量
力与其作用时间的乘积称为力的冲量，冲量表示力 在其作用时间内对物体作用的累积效应的度量。
I
t2
Fdt
t1
质点系动量守恒定律
§10-2 质心运动定理
1．质心
rC
m i m
ri
mmi
xC
m ix m
i
,
yC
mi m
y
i
,
zC
m iz m
i
2.质心运动定理
由
d dt
(mvC
)
n
i 1
F (e) i
得
m dvC dt
n
F (e) i
i 1
n
或
maC
F (e) i
i 1
称为质心运动定理，即：质点系的质量与质心加速度的乘
则
vC
常矢量
若
F (e) x
0
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动量定理质心运动定理动量定理质心运动定理质点的动量定理可以表述为:质点动量的微分，等于作用于质点上力的元冲量。
用公式d(mv),Fdt表达为 (17-7)d(mv),Fdt (17-8)tptp2211设时刻质点系的动量为，时刻质点系的动量为，将(17-8)式积分，积分区tt21间为从到，得t2p,p,Fdt21,t 1 (17-9)t2Fdt,I,tttF211记，称为力在到时间间隔内的冲量。
式(17-9)为质点系动量定理的积分形式，它表明质点系在某时间间隔内的冲量的改变量，等于作用在质点系上的外力主矢在该时间间隔内的冲量。
(e)(i)MFFiii对于质点系而言，设为质点所受到的外力，为该质点所受到的质点系内力，根据牛顿第二定律得dv(e)(i)im,F，F(e)(i)iiima,F，Fdtiiii 即mi除了火箭运动等一些特殊情况，一般机械在运动中可以认为质量不变。
如果质点的质量不dmv()(e)(i)ii,F，Fiidt变，则有上式对质点系中任一点都成立，n个质点有n个这样的方程，把这n个方程两端相加，得ndm(v),iinn()()ei,1i,，FF,,iidt,1,1iinn(e)(i)FF,,iii,1i,1 质点系的内力总是成对地出现，内力的矢量和等于零。
上式中是质点dp(e),F(e)RFdtR系上外力的矢量和，即外力系的主矢，记作，则上式可写为(17-10)1这就是质点系动量定理的微分形式，它表明:质点系的动量对时间的导数等于作用在质点系上外力的矢量和。
(e)dp,Fdt 将式(17-10)写成微分形式 Rtptptt222111 设时刻质点系的动量为，时刻质点系的动量为，上式从到积分，得t2(e)p,p,Fdt21R,t,I1 (17-11)p,p0 当外力主矢为零时，由上式可推出质点系的动量是一常矢量，即这表明当作用在质点系上的外力的矢量和为零时，质点系的动量保持不变，这就是质点系的动量守恒定理。
由式(17-10)可知，动量定理在直角坐标轴的投影为ndp,(e)x,F,ix,dti,1,ndp,y(e)F,,,iydti,1,ndp,(e)zF,,iz,dti,1, (17-12) 如果外力的矢量和不为零，但在某个坐标轴上的投影为零，则质点系的动量并不守恒，n(e)F,0,ixpi,1x但在该轴上的投影守恒。
例如外力在x轴的投影为零，即，则为常量，这是质点系动量守恒的一种特殊情况。
h,1.5m例17-1 如图17-2所示，锤从高度处自由下落到受锻t,0.02s1压的工件上，工件发生变形，历时，已知锤的质量m,500kg，试求锤对工件的平均压力。
解将本题分二阶段处理:1.锤头自由下落;2.锤头打击工件12h,gt2令自由落体时间为t，由运动学知，所以2h2，1.5t,s,g9.8(1) =0.553s。
下落至接触工件前瞬时，v,gt,2gh,5.42m/s锤头具有向下的速度。
2mg(2) 锤头打击工件时，锤头受到重力和垂直向上的工件反作用力，因工件反作tF1用力在极短时间内迅速变化，作为工程近似，本题中用平均反力代替工件反作用力。
mv,mv,I2y1yy,取铅垂轴y向上为正，根据质点动量定理式(17,11)，有v,,v,,5.42m/sv,0t1y2y1按题意，锤头开始打击工件瞬时，;经过时间后，。
在此过Ft,mgt11程中，重力冲量的投影为，工件平均反作用力的冲量的投影为，mv500，(,5.42)1yF,mg,,500，9.8,N,140kNI,Ft,mgtt0.02y11,1，代入上式得到锤头对工件的平均压力与是作用与反作用关系，故两者大小相等，即锤头对工件的F平均压力也是140kN，是它自重的28.7倍。
，，Mr,mr,cii将式(17-3)对时间t求导数，得到，，rvrcCiM式中为质点系所有质点的质量和，为质点系的质心C速度，记作;为质点i的速nmv,Mv,p,iiCi,1度。
有即质点系的动量等于质点系的总质量与质心速度的乘积，根据式(17-10)，得()dMv(e)C,FRdtd(Mv)dvCC,M,MaCaCdtdt当质量m不变时，注意到，为质心加速度，因此得(e)Ma,FCR (17-13)上式称质心运动定理，它表明质点系的总质量与质心加速度的乘积等于作用在质点系上所有外力的矢量和。
n,(e)，，Mx,F, Cix,i,1,n ,(e)，，My,F,,Ciy i,1,n,(e) ，，MzF,,Ciz,i,1,质点系的运动相当于一个质点的运动，这个质点的质量等于质点系的总质量，并且作用有质点系的所有外力，其加速度等于质心加速度。
如果作用在质点系上的外力的矢量和为零时，质心运动定理也可投影到直角坐标轴上，(e)a,0vF,0CCR即，则，=常矢量，这说明质心静止，或作匀速直线运动。
如果作用在3质点系上的外力不为零，但在某轴上的投影为零，n(e)F,0ix,i,1例如在x轴上的投影为零，，那么，，vx,0Ccx，=常量，即质心速度在x轴上的投影保持不变。
以上两种情况都称作质心运动守恒定理。
以上讨论可以看到，内力既不影响质点系的动量，也不影响质心的运动，质心的运动完全取决于质点系的外力。
例如汽车、火车能够前进，就是依靠主动轮与地面或铁轨接触点的向前摩擦力(后轮驱动的汽车受力如图17,3所示)，否则车轮只能在原地空转。
雪地、冰冻路面，地面光滑摩擦力小，常在汽车轮子上绕防滑链，或在火车的铁轨上喷沙，这些都是为了增大主动轮与地面或铁轨的摩擦力。
车辆刹车时，制动闸与轮子间的摩擦力是内力，它不直接改变车辆质心的运动状态，但能够阻止车轮相对于车身的转动，如果没有车轮与地面的向后的摩擦力，即使闸块使车轮停止转动，车辆仍要向前滑行，不能减速。
又如土建、水利工程中的定向爆破施工方法，使爆破出来的土石块堆积到指定的地方(图17-4)。
我们知道，爆炸飞出的土石块的运动各不相同，情况十分复杂。
但是就飞出的土石块这个质点系整体而言，不计空气阻力时，土石块在运动过程中仅受到重力作用，其质心的运动可以利用质心运动定理，事先计算抛射部分的质心运动。
例17-2 在光滑轨道上有一小车，车上站立一人，如图17-5所示，开始时小车和人均处于静止。
已知小车的质量为600kg，人的质量为75kg，如果人在小车上走过的距离a=3m，求小车后退的距离b。
解考虑到人与小车组成的系统，在水平方向所受的外力为零，初始时系统处于静止。
所以当人走动时，必然引起小车后退，以保持系统质心不变。
由质心运动定理有m,x，m,x,01122,x,x12上式中、均为相对地面固定坐标系的坐标变化。
由于小车在后退，所以人相对地面,x,xa,b,ba,b12移动了，即=、=，代入上式得到m(,b)，m(a,b),012解得ma75，32b,,m,33cmm，m600，75124例17-3 如图17,6所示物体A放置在物体B的斜面上，物体B放置在光滑的地面上，不计摩擦，A、B物体的mmAB质量分别为、，初始静止，在重力作用下，物体A将沿斜面向下滑，试求当物体A相对斜面滑过距离l时物体B向左滑动的距离s。
解考虑A、B两物体构成的系统，受到的外力有物体A、B的重力，地面对物体B的约束力N，所有外力都沿y轴方向，所受外力在x轴上投影为零，根据动量定理，系统在xp,0p,00xx轴方向上动量守恒。
初始时物体静止，动量，所以任一时刻。
设物体A相vvrB对斜面的速度为，物体B向左运动的速度为，则物体A的绝对速度为v,v，vABrv,vcos,,vAxrB在x轴上的投影K,mv,mv,m(vcos,,v),mvxAAxBBArBBB系统的动量在x轴上的投影K,0m(vcos,,v),mv,0xArBBB根据上述讨论，，所以mAv,cos,,vBrm，mAB即tt11设物体A相对斜面滑动距离l所需时间为，将上式从时刻0到时刻对时间积分，可得ttm11mAAvdt,cos,vdts,cos,,lBr,,00，m，mmmABAB即例17-4 如图17-7所示，电动机的定子质m,24kgm,6kg12量，转子质量，转子的轴线通过定子的质心，转子有一偏心距n,1450r/minr,1mm，转速为。
现将电动机用螺栓固定在底座上，试求螺钉受到的合力。
5解取电动机定子、转子为研究的质点系，受到外力mg、mg，底座及螺栓的反力为12N、N，不考虑螺栓的预紧力。
xy取固连于基础的固定坐标系Oxy，其原点与定子质心重合，所以定子质心坐标为12n,,,x,0,y,0x,rcos,ty,rsin,t112260;转子质心O的坐标为:，，= 22，3.14，1450rad/s,152rad/s60。
由式(17-4)得到系统质心C的坐标为mx，6.00.001,,422,,,，xcos152t2.010cos152tc,，，,mm24.06.012,my，6.00.001,422,,,,，ysin152t2.010sin152tc,，，mm24.06.0,12 (1) 应用质心运动定理即式(17-13)得到，，(m，m)x,N12cx，，(m，m)y,N,mg,mg12cy12 (2) 结合(1)式，解(2)式得到2,,，，N,mx,,mrcost,,139cos152tx2222，，N,mg，mg，my,(m，m)g,mr,sin,t,294,139sin152ty122c122如果N>0，则螺栓不受力，只有底座受压力。
如果N<0，则螺栓受拉力。
所以在设计yy时要考虑螺栓工作中受到变化的作用力。
6。