物理第讲 信道编码循环码生成多项式和生成矩阵交织

码多项式
码多项式是描述循环码的主要方法
对于任一长为n的码组
可用一多项式来表示：
c = ( an-1 an-2 …… a1 a0 )
c(x) = ( an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + …… + a1 x1 + a0 ) 此多项式称码多项式，式中每项的各分量an-1 , an-2 , …… , a1 , a0是多项式的系数 系数不为零的x的最高次数为多项式c(x)的次数，或称多项式的阶数，deg c(x) 例如：某码组( 1100101 )对应的码多项式可表示为
a (x) Q (x)p (x) r(x)
称Q(x)是a(x)除以p(x)的商式，r(x)是a(x)除以p(x)的余式，在模p(x)运算下
a(x)r(x)[mp o (x)d]
且有 0 d e g r(x ) d e gp (x )即：除到余式的次数小于除式为止，当能整除时次 数为0
定理：对于( n, k )循环码，若c(x)对应码组c = (an-1an-2 …… a1a0 )， c(1)Hale Waihona Puke Baidu一次循 环移位c(1) = ( an-2an-3 …… a1a0 an-1 )及c(i )(x)对应的c码循环移位i次c(i )，则有：
c(1)(x)
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循环码生成多项式
因为g(x)是n-k次的多项式，故xkg(x)为一个n次多项式
则定xkg义(x)：除记以xCn+(x1的)为商(必n,为k1)，循余环式码记的为b所(x)有码组对应的多项式的集合， 若即g：(xx)kg是(xC)=(1x•)中(xn除+10) +多b项(x)式以外次数最低的多项式，则称g(x)为这个 循表环示g码(x的)向生左成移动多k项次，式并且仍为许用码组，即：是g(x)的倍式，则有：
b(x) = u(x)g(x)
其则一xn+般1=形g(式x)[为xk +：u(gx)(]x=) h=(xx)rg+(x)gr-1 xr-1 + …… + g1 x1 + 1 g即(x证)具明有g(x以)为下xn性+1的质一：个因子 因1此），g这(x一)的性0质次也项就是指出1；了g(x)的求解方法，即对多项式xn+1进行分解：
c ( 1 ) ( x ) [ x c ( x ) ] m o d ( x n 1 ) , c ( i) ( x ) [ x ic ( x ) ] m o d ( x n 1 )
证明：码组c的多项式为：
相当于将多项式
则此它有定的：理 循说 环xc明 移(若 位x)cx (ic cx(( a )x是x n )-均) 1(nx为 , nk该) ( 循循a a 环n n 环- 2 码1 x 码x中n n - 的1 -1 的 码一a L 组n 个 ，2 码x 且a n 组- 12 这x ，些2L 则 a0a x1 1 x c(a x)0 循) 环移位一次
码多项式都能是被模xxa nnn ++-1 11的整xn 一除个，a余n-2式xn-1La1x2 最a 高0此x1为na–n-1 1，小an于-1( xn +1 )
所以余an 数-1(为x0n1)c(1)(x)
的幂次，所以余数为c(1) (x)
[xc(x)]m od(xn1) [an1(xn1)c(1)(x)]m od(xn1)
0 0 gg(1x)g0 g(x)
(u2x2u1xu0)g(x)u(x)g(x)
码多项式的模运算
正整数的模运算 若一正整数M除以正整数N，所得到的商为Q，余数为R，可表示为
M NQ RN 0RN
其中Q为整数，则在模N运算下，上式的结果为：
M R(模 N ，记 为 mN o)d
多项式的模运算与正整数的模运算相同，一般利用长除法计算商式和余式 有两个多项式a(x)和p(x)，一定存在有唯一的多项式Q(x)和r(x)，使得：
有两个码多项式u(x) = u2 x2 + u1 x + u0；g(gx()x不)x=g变(gx1)：xx=2+gg(1gxx0)2=+gg10xx3 + g0 x2 相加： u(x) + g(x) = ( u2 + 0 ) x2 + ( u1 + g然1 )后xg将+(xu上)0=+式=g的100x系x23+数+gg0作1xx为2 +矩g阵0 x的第一行 相乘： u(x) ·g(x) = u2 g1x3 + ( u2g0+ u1g1然) 后x2 将+ (上u=1式g00的+x3系u+0g数01x)作2x+为+g1矩ux0g阵+0 g的0 第二行
若所使得用到g(的x)的矩系阵数的组各成项矩恰阵好：与ug(x1 ) ·gg0(x)所然0 得后多将0 项上式式的的系数作为矩阵的第二行 系数相等，因此可用这种g 矩 阵0相乘g1代替g0两个0 多 项式 相乘，这一特性可用于构造循0环码0的生g1成矩g0阵
同时u(x)的系数组成矩阵: uu2 u1 u0 将矩阵u和g相u乘g：u u 2gg u1gu 012 ug 01 gg10xu x22 gggg 0((00 xx)) u 001 g u1 2x2gu x1 x(2g ggx)0 ((xx ))uu 10 xg g1 (x)u 0 ug 00 g(x)
c7(x) = 1·x6+1 ·x5+ 0 ·x4 + 0 ·x3 + 1 ·x2 + 0 ·x +1 = x6 + x5 + x2 +1
码多项式与码组的关系：本质上是一回事，仅是表示方法的不同而已
相当于将g(x)乘以x2 ，使得g(x)的次数
码多项式的加法与乘法
变 相当为3于，将即g(使x)g乘(x以)的x最，使高得次g与(xu)(的x)次·g(数x) 一 变样 为2：：
信道编码
循环码
是线性分组码中最主要、最有用的一种码 与一般线性分组码相比，循环码具有循环特性，每个码组经任意
循环移位之后仍然在码组的集合中 数学定义：设C为某( n, k )线性分组码的码组集合，如果对C中
任意一个码组c = ( an-1 an-2 …… a1 a0 )，它的循环移位c(1) = ( an-2an3 … a1 a0 an-1 )也属于C，则称该( n, k )码为循环码 其中c(i )表示c码组循环移位i次 例如：某( 7, 4 )循环码组集合中的一个码组为( 1000101 )，向左循 环移位一次后的码组( 0001011 )仍为码组集合中第一个许用码组