物理第讲 信道编码循环码生成多项式和生成矩阵交织
循环码(7,3)码
循环码（7，3）码（生成多项式1)(234+++=x x xx g ）摘要：本报告详细给出了循环码的定义以及由生成多项式求解生成矩阵和系统生成矩阵的过程，并在Matlab 环境下写出了循环码的编码器和解码器代码，实现了编码和译码功能。
分析和讨论了 此码发现错误、纠正错误的能力，并讨论了其与线性分组码、Hamming 码等信道编码的区别与联系。
关键字：循环码 编码 译码 检错 纠错 Matlab信道编码：信道编码又称差错控制编码或纠错编码，它是提高信息传输可靠性的有效方法之一。
一类一类信道编码是对传输信号的码型进行变换，使之更适合于信道特性或满足接收端对恢复信号的要求，从而减少信息的损失；另一类信道编码是在信息序列中人为的增加冗余位，使之具有相关特性，在接收端利用相关性进行检错或纠错，从而达到可靠通信的目的。
1.1、循环码循环码是线性分组码中一个重要的分支。
它的检、纠错能力较强，编码和译码设备并不复杂，而且性能较好，不仅能纠随机错误，也能纠突发错误。
循环码是目前研究得最成熟的一类码，并且有严密的代数理论基础，故有许多特殊的代数性质，这些性质有助于按所要求的纠错能力系统地构造这类码，且易于实现，所以循环码受到人们的高度重视，在FEC 系统中得到了广泛应用。
1.1.1、循环码定义定义：一个线性分组码，若具有下列特性，则称为循环码。
设码字 )(0121c c c c c n n ⋅⋅⋅=-- （1.1.1） 若将码元左移一位，得 ())(10121--⋅⋅⋅=n n c c c c c （1.1.2）()1c也是一个码字。
由于（k n ,）线性分组码是n 维线性空间n V 中的一个k 维子空间，因此()k n ,循环码是n 维线性空间n V 中的一个k 维循环子空间。
注意：循环码并非由一个码字的全部循环移位构成。
1.1.2、循环码的特点循环码有两个数学特征： （1）线性分组码的封闭型；（2）循环性，即任一许用码组经过循环移位后所得到的码组仍为该许用码组集合中的一个码组。
第7讲 信道编码：循环码、典型矩阵、编码电路
gnk 0 G 0
g n k 1 gnk
g n k 1 0
g1 g nk
g0 g1 g n k 1
x k 1 g ( x) 0 0 k 2 x g ( x) g0 0 xg ( x) g1 g 0 g ( x)
xn-ku(x) = x4u(x) = x14 + x11 + x8 + x5 →( 10010010010 0000 )
r(x) = [x4u(x)]mod g(x) = x2 →(0100) c(x) = x4 u(x) + r(x) = x14 + x11 + x8 + x5 + x2
即：循环码组c = ( 10010010010 0100 )
用矩阵的形式表示上式：
[ x n-k u ( x)]mod g ( x ) uk 1 uk 2
[ x n 1 ]mod g ( x ) n2 [ x ]mod g ( x ) u0 r ( x) [ x n k ] mod g ( x )
g0 h0 + gn-k hk = 0
那么对于生成多项式所构成的生成矩阵G
g nk 0 G 0 g n k 1 g nk g n k 1 0 g1 g nk g0 g1 g n k 1 0 g0 0 g1 g 0 0
k ( n k ) r1,1 r1,2 r1,n k r2,1 r2,2 r2,n k rk ,1 rk ,2 rk ,n k
信道编码5
生成矩阵和监督矩阵
• 系统码的生成矩阵典型形式 • 非系统码 系统码
– 生成矩阵
G Ik
Q
1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 Q
– 监督矩阵
1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 G ( D) 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 Ik
0 0
hk g k 1 g 0 h1 g 1 h0 0 g 0 h2 g 1 h1 g 2 h0 0 ... g n k h0 g n k 1 h1 ... g 0 hn k 0 g n k h1 g n k 1 h2 ... g 0 hn k 1 0 ... g n k hk 1 g n k 1 hk 0
16
• 将任意k个信息码组用类似p100图9.3.1的编码器编成系 统码， • 得到一个长为 n k r 的码，这就是CRC。
17
Polynomial
CRC-64 CRC-32 CRC-24 CRC-16
Parity bits 64 32 24 16
x64 x 4 x3 x 1
x16 x15 x14 x11 x 6 x5 x 2 x 1
CRC-12
CRC-10 CRC-8 CRC-6 CRC-4
x12 x11 x3 x2 x 1
x12 x11 x10 x 9 x8 x 4 x 1
12
10
x10 x9 x8 x 7 x 6 x 4 x3 1
• 则监督矩阵为
0 ... 0 hk 0 ... ... ... ... h0 ... hk ( n k )n
信道编码中ppt课件
循环码：cyclic code 码多项式：code polynomial 生成多项式：generator polynomial 求模运算：modular arithmetic 系统码：systematic（regular）code 循环移位运算：cycle shift operation
上节回顾：线性分组码
烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的 健康皮 肤进行 自体移 植，但 对于大 面积烧 伤病人 来讲， 健康皮 肤很有 限，请 同学们 想一想 如何来 治疗该 病人
插件1：查表分解xn-1的方法
（1）并非所有的xn-1都具有r次的既约(不能再分解)的因式。 但只要满足n=2r-1，xn-1就具有r次的既约因式。因此 P194 页表4中只列出满足n=2m-1的xn-1的分解情况。
由对偶式 (1110011)2和187页表知m23(x)=x6+x5+x4+x+1； i=7：(111)8=(1001001)2，得知m7(x)=x6+x3+1；
对偶式还是自己。
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本节的主要内容
❖ 码多项式 ❖ 循环移位的数学表达 ❖ 循环码的生成多项式 ❖ 循环码的编码 ❖ 循环码的译码 ❖ 编、译码的电路实现
烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的 健康皮 肤进行 自体移 植，但 对于大 面积烧 伤病人 来讲， 健康皮 肤很有 限，请 同学们 想一想 如何来 治疗该 病人
数字通信原理(附答案)[1]
![数字通信原理(附答案)[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/d91e1a463c1ec5da50e27021.png)
1、已知一个4进制信号的码元速率为4800波特，则其对应的信息速率是( C )A.4800bit/sB.2400bit/sC.9600bit/sD.14400bit/s2、产生已抽样信号频谱混叠的原因是（ C ）A.f s≥f mB.f s=2f mC.f s<2f mD.f s≥2f m3、样值为301△，它属于A律13折线的（ B ）A.第5量化段B.第6量化段C.第7量化段D.第8量化段4、在同一条链路上可传输多路信号，利用的是各路信号之间的（ B ）A. 相似性B.正交性C. 一致性D. 重叠5、在光纤中采用的多路复用技术是（ C ）A.时分复用B. 频分复用C.波分复用D. 码分复用R=( ), 信1、在4进制系统中，每秒钟传递1000个4进制符号，此系统的码元速率B R( ).( A )息速率bA.1000Bd,2000b/sB.2000Bd,2000b/sC. 2000Bd,1000b/sD. 1000Bd,1000b/s2、满足抽样定理时低通型信号的抽样频率应选为（ D ）A.f s≥f mB.f s=2f mC.f s<2f mD.f s≥2f m3、设模拟信号s(t)的幅度在[-2,2]v内均匀分布，对它进行奈奎斯特速率抽样，并均匀量化后，编为2进制码。
量化间隔为1/64v，需要多少量化电平数？（ D ）A.64B.128C.192D.2564、消息码为：1010001110001，对应的AMI码为：（ A ）A. +10-1000+1-1+1000-1B. +10-00000-1+1000-1C. -10+1000+1-1+1000-1D. +10+1000-1-1+1000+15、PCM30/32的二次群速率为（ B ）A.64 kb/sB.8.448Mb/sC.384kb/sD.2.048Mb/s2、产生已抽样信号频谱混叠的原因是（ C ）A.f s≥f mB.f s=2f mC.f s<2f mD.f s≥2f m3、均匀量化的PCM系统中，编码位数每增加1位，量化信噪比可增加（ C ）dB.A.2B. 4C. 6D. 84、绝对码为：10010110，对应的相对码为：（ B ）A. 10100101B.11100100C. 11100110D. 110001105、SDH采用的数字复接方法一般为（ B ）A.异步复接B.同步复接C.异步复接或同步复接D.以上都不是1、出现概率越__小__ 的消息，其所包含信息量越大；2、模拟信号的数字化过程主要包括抽样、_量化 _和编码；3、数字复接的方式主要有按位复接、按字复接和按帧复接；4、为了减小相干载波的稳态相位误差，应减小带通滤波器带宽和增大锁相环的增益；5、分组码（n,k）的编码效率为_ k/n ；1、衡量数字通信系统可靠性的主要指标是___差错率；2、模拟信号的数字化过程主要包括抽样、量化和编码；3、数字复接的方式主要有按位复接、按字复接和按帧复接；4、匹配滤波器就是指在某一特定时刻，使滤波器的瞬时输出信噪比最大的线性滤波器；5、码组0011011与码组0011011之间的码距是_ 0 _；1、已知8进制数字信号的传输速率为1600波特，若信息速率保持不变，变换成2进制数字信号的传输速率为 4800 波特。
陈运-信息论与编码-第六章 信道编码
i 1, 2, , n
a x an 1 x n 1 an 2 x n 2 a1 x a0 ai 0,1 1 a x an 2 x n 1 an 3 x n 2 a1 x 2 a0 x an i a x an 1i x n 1 an 2i x n 2 a1 x i 1 a0 x i an 1 x i 1 an i
T T T
S可以指示差错的存在
25
6.4 线性分组码
s [ s0 s1 s2 ]T Hz T z0 z 1 0 z2 z 0 3 1 z4 z5 z 6
26
1 0 1
1 1 1
1 1 0
0 1 1
1 0 0
0 1 0
6.4 线性分组码
伴随式 错误 s0 s1 s2 位置 z0 101
111 110 011 z1 z2 z3 错误图样 1000000 0100000
s1 z0 z1 z2 z4 s2 z1 z2 z3 z5 s3 z0 z1 z3 z6
第 6 章 信道编码
6.1 概述
• 作用
提高信息传输时的抗干扰能力
• 目的
增加信息传输的可靠性
• 手段
增加信息冗余度
• 名称
信道码、数据传输码、差错控制码
2
6.1 概述
• 信道编码器在通信系统中的位置
信源
信源编码
加密
信道编码
信宿
信源译码
解密
信道译码
3
6.1 概述
• 分类
分 组 码 树 码 线 性 码 非 线 性 码 检 错 码 纠 错 码 抗 随 机 差 错 码 抗 突 发 差 错 码 代 几 组 数 何 合 码 码 码
信道编码汉明码译码电路循环码生成多项式生成矩阵
将矩阵u和g相乘：
ug
ug
u2g
u1
gu012ug01gg10xux22gggg0((00xx))00u1gu12x2
ux 12 g0(
gx(gx)(
x) u0g1
x)u1 xg (
x)
u0 g0
u0g
(
x)
0 0 gg(1x) g0 g(x)
(u2x2 u1x u0 )g(x) u(x)g(x)
式中计算，那个乘式为1S，2 就 S1表 S明0 是 1哪一个
图样
7个逻辑与门所进行的运算分别为：
S2 S1 S0 1, S2 S1 S0 1, S2 S1 S0 1 S2 S1 S0 1, S2 S1 S0 1, S2 S1 S0 1 S2 S1 S0 1
循环移位之后仍然在码组的集合中 数学定义：设C为某( n, k )线性分组码的码组集合，如果对C中
任意一个码组c = ( an-1 an-2 …… a1 a0 )，它的循环移位c(1) = ( an-2an3 … a1 a0 an-1 )也属于C，则称该( n, k )码为循环码 其中c(i )表示c码组循环移位i次 例如：某( 7, 4 )循环码组集合中的一个码组为( 1000101 )，向左循 环移位一次后的码组( 0001011 )仍为码组集合中第一个许用码组
当且仅当S2、S1、S0全为S12时 S成1 立S0，因1此：
保1证）其对乘每积一为校1正；子设计S一2 个 S1这 S样0 的 1乘式， 2）对于右表共设计7个S2乘 S式1 ，S0对应1 于7种
可能出现的错误图样； S2 S1 S0 1 3）当三位校正子确定S后2 ， S1代 S入0 到 17个乘
进行纠错，即实现等式：
5信道编码原理精品文档
第5章 信道编码原理
3. 错误译码概率Pej
当信道的输入符号是ai，在信道输出端接收到某符号 bj(j=1,2,…,s)后，错误译码的概率pej为信道输出端出现 bj(j=1,2,…,s)的前提下，推测信道输入的符号是除了ai以外 的其他任何可能的输入符号的后验概率，即
第5章 信道编码原理
注： （2） 不同的译码规则会引起不同的可靠程度。
例：若已知二进制对称信道传递矩阵为
01 P0 1 3
44 131
44
其信源符号“0”和“1”的正确传递概率均为p=1/4； “0”和“1”的错误传递概率均为p＝3／4。
第5章 信道编码原理
如采取译码规则(2)，F(0)=0,F(1)=1，则信道输出端出 现“0”和“1”的正确译码概率分别是：
符号种数r和s可相等，也可不等。
第5章 信道编码原理
基本离散信道的信道矩阵
要完整描述信道的传递特性必须测定r×s个条件概率，并 将r×s个条件概率排列成一个r×s阶矩阵
a1 P a2
ar
b1 p(b1 a1) p(b1 a2)
p(b1 ar)
b2
bs
p(b2 a1) p(bs a1)
p ej P X eY b j
式中：e表示除了F(bj)=ai以外的所有可能的输入符号的集合。
注：
p e j1 p r j1 p F ( b j) a ib j
第5章 信道编码原理
4. 平均错误译码概率Pe
s
s
P ep (b j)p e j p (b j)1 p F (b j) a ib j
第五章 信道编码 习题解答
第五章 信道编码 习题解答1．写出与10011的汉明距离为3的所有码字。
解：共有10个：01111，00101，00000，01010，01001，00110，11101，10100，11000，11110。
2． 已知码字集合的最小码距为d ，问利用该组码字可以纠正几个错误？可以发现几个错误？请写出一般关系式。
解：根据公式：(1)1d e ≥+ 可发现e 个错。
(2)21d t ≥+ 可纠正t 个错。
得出规律：（1）1d = ，则不能发现错及纠错。
（2）d 为奇数：可纠12d -个码元错或发现1d -个码元错。
（3）d 为偶数：可纠12d-个码元错，或最多发现1d -个码元错。
（4）码距越大，纠、检错能力越强。
3．试计算（8，7）奇偶校验码漏检概率和编码效率。
已知码元错误概率为410e p -=。
解：由于410e p -=较小，可只计算错两个码元（忽略错4或6个码元）的情况：228788!10 2.8106!2!e p C p --==⨯=⨯⨯ 787.5%8η==4．已知信道的误码率410e p -=，若采用“五三”定比码，问这时系统的等效（实际）误码率为多少？ 解：由于410e p -=较小，可只计算错两个码元的情况1125211283232(1)610e e e p C C p p C C p --=-≈=⨯5．求000000，110110，011101，101011四个汉明码字的汉明距离，并据此求出校正错误用的校验表。
解：先求出码字间距离：000000 110110 011101 101011000000 4 4 4 110110 4 4 4 011101 4 4 4 101011 4 4 4汉明距离为4，可纠一位错。
由于一个码字共有6个码元，根据公式：21617rn ≥+=+= 得 3r = 即每个码字应有3位监督码元，6-3=3位信息码元。
直观地写出各码字：123456000000110110011101101011x x x x x x 令456x x x 为监督码元，观察规律则可写出监督方程：413523612x x x x x x x x x=⊕⎧⎪=⊕⎨⎪=⊕⎩从而写出校验子方程：113422353126s x x x s x x x s x x x *********⎧=⊕⊕⎪=⊕⊕⎨⎪=⊕⊕⎩列出校验表：6．写出信息位6k =，且能纠正1个错的汉明码。
信道编码习题解答
第五章 信道编码 习题解答1．写出与10011的汉明距离为3的所有码字。
解：共有10个：01111，00101，00000，01010，01001，00110，11101，10100，11000，11110。
2． 已知码字集合的最小码距为d ，问利用该组码字可以纠正几个错误？可以发现几个错误？请写出一般关系式。
解：根据公式：(1)1d e ≥+ 可发现e 个错。
(2)21d t ≥+ 可纠正t 个错。
得出规律：（1）1d = ，则不能发现错及纠错。
（2）d 为奇数：可纠12d -个码元错或发现1d -个码元错。
（3）d 为偶数：可纠12d-个码元错，或最多发现1d -个码元错。
（4）码距越大，纠、检错能力越强。
3．试计算（8，7）奇偶校验码漏检概率和编码效率。
已知码元错误概率为410e p -=。
解：由于410e p -=较小，可只计算错两个码元（忽略错4或6个码元）的情况：228788!10 2.8106!2!e p C p --==⨯=⨯⨯ 787.5%8η==4．已知信道的误码率410e p -=，若采用“五三”定比码，问这时系统的等效（实际）误码率为多少？ 解：由于410e p -=较小，可只计算错两个码元的情况1125211283232(1)610e e e p C C p p C C p --=-≈=⨯5．求000000，110110，011101，101011四个汉明码字的汉明距离，并据此求出校正错误用的校验表。
解：先求出码字间距离：000000 110110 011101 101011000000 4 4 4 110110 4 4 4 011101 4 4 4 101011 4 4 4 汉明距离为4，可纠一位错。
由于一个码字共有6个码元，根据公式：21617rn ≥+=+= 得 3r = 即每个码字应有3位监督码元，6-3=3位信息码元。
直观地写出各码字：123456000000110110011101101011x x x x x x 令456x x x 为监督码元，观察规律则可写出监督方程：413523612x x x x x x x x x=⊕⎧⎪=⊕⎨⎪=⊕⎩从而写出校验子方程：113422353126s x x x s x x x s x x x *********⎧=⊕⊕⎪=⊕⊕⎨⎪=⊕⊕⎩列出校验表：6．写出信息位6k =，且能纠正1个错的汉明码。
信道编码-循环码
2013/8/21
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2. 循环码的生成多项式
g0=1，否则经 (n－1) 次左移循环后将得到低于 (n－k) 次的 码多项式。
g(x) 是惟一的 (n－k) 次多项式。
如果存在另一个 (n－k) 次码多项式，设为 g’’(x) ，根据线性 码的封闭性，则 g(x) + g’’(x) 也必为一个码多项式。由于 g(x) 和 g’’(x) 的次数相同，它们的和式的 (n－k) 次项系数为0，那 么 g(x) + g’’(x) 是一个次数低于 (n－k) 次的码多项式，前面 已证明 g(x) 的次数是最低的，因此 g’’(x) 不能存在，所以 g(x) 是惟一的 (n－k) 次码多项式。
73循环码循环码的生成多项式20134122549循环码的监督矩阵由等式两端同次项系数相等得将上面的方程组写成矩阵形式循环码的生成多项式20134122649上式中列阵的元素是生成多项式的系数是一个码字那么第一个矩阵则为73循环码的监督矩阵即循环码的生成多项式20134122749循环码监督矩阵的构成632可见监督矩阵的第一行是码的监督多项式的系数的反序排列第二三四行是第一行的移位
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2. 循环码的生成多项式
设信息组 m=(mk－1,mk－2,…,m0)，则相应的码字为
C(x)=mG(x)=(mk－1xk－1+mk－2 1xk－2+…+m0)g(x)= m(x)g(x)
C(x)≤n－1；
m(x) 是 2k 个信息多项式的表示式；
所以 C(x) 即为相应 2k 个码多项式的表示式。
2013/8/21
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2. 循环码的生成多项式
(3) 生成多项式和码多项式的关系
信道编码 循环码sPPT课件
也就是说码字循环位移得到新码字的校验子是 原校验子循环位移后除以生成多项式的余式，
即： s(i)(X) =Xis(X)-b(X)g(X)=ri(X)-c(X)g(X)，
s(i)(X) 的次数低于g(X)
18
译码
串行译码 每次只译一个接收比特,然后循环移位，继续译
其对偶码的生成多项式为Xkh(X-1)，也是一个
循环码 一个循环码被其校验矩阵唯一确定
13
例子
（7,4）循环码C，生成多项式g(X)=1+X+X3 其校验多项式为h(X)=Xn+1/g(X)=1+X+X2+X4 码C的对偶码的生成多项式为
X4h(X-1)=1+X2+X3+X4
14
循环码的编码
循环码和BCH码
1
简述
1957年开始研究 循环码的优点：
编码和校正子的计算容易实现 具有固定的代数结构，能找到很多实用的方法来译
码
2
循环码定义
对循右价一环做于i个移向次n位左移维，移位码得位，字到n得向-iv次到(量1)=vv((=iv)(=nv-1(0,v,vvn01-,i,…,…vn,-,viv+nn1--,21…))，做,v类一n-i似-次1)，，向等向右 循环码：一个(n,k)线性码C，若每个码字的循
从接受向量r(X)可以计算校正子s(X)，错误模 式e是未知的，故需要从s(X)去求e(X)。若e(X) 是标准阵的陪集首，则可用查表译码，由校正 子获得错误模式。
若e(X)是0，则s(X)=0；若e(X)是码多项式，则 e(X)是漏检错误模式。
第8讲 信道编码：循环码编码电路、CRC、BCH、卷积码
9; 0d 0 0 a 0 0 bc ' c d ' e 0 c ' 1d 1 1 +1
c ' bd ' c e a + u0 2 d × '' b ' c e
1 0 1 1 × '' b ' ce × d
例如：( 7, 4 )循环码的生成多项式为：g(x)=( x3 + x + 1 )，求其系统码的生成矩阵 )循环码的生成多项式为 循环码的生成多项式为： )， 例如： 1）n = 7，k = 4，因此生成矩阵阶数：4×7。其中单位阵Ik为4×4，Q矩阵4×3 7， 4，因此生成矩阵阶数： 其中单位阵I 矩阵4
2）求解[xn-i]mod g(x) ( i = 1, 2, …, k – 1 ) 求解[
x n −1 x 6 n−2 5 x = x I4 = M x4 n−k 3 x x
[x [x [x [x6]mod g(x)=x2 + 1, [x5]mod g(x)=x5 + x2 + x+ 1, [x4]mod g(x)=x4 + x2 + x, [x3]mod g(x)=x3 + x + 1 x6 + [ x6 ]
1 5 即： 5 x + [ x ]mod g ( x ) = 0 G = [ I 4Q ] = 4 x + [ x 4 ]mod g ( x ) 0 3 3 x + [ x ]mod g ( x ) 0
第九章信道编码（精品）
第九章差错控制编码主讲人：***主要内容信道编码的基本概念线性分组码循环码9.1 引言目的：改善数字通信系统的传输质量基本思路：根据一定的规律在待发送的信息码中加入一些人为多余的码元（冗余码，监督码），以保证传输过程可靠性,n=k+r。
任务：构造出以最小多余度代价换取最大抗干扰性能的“号码”又称差错控制编码信道编码的分类（1）按照信道编码的不同功能，可以将它分为检错码和纠错码。
（2）按照信息码元和监督码元之间的检验关系，可以将它分为线性和非线性码。
（3）按照信息码元和监督码元之间的约束方式不同，可以将它分为分组码和卷积码。
差错控制方式发发可以纠正错误的码(a) 前向纠错(FEC)收收发能够发现错误的码应答信号(b) 检错重发(ARQ)收可以发现和纠正错误的码应答信号(c) 混合纠错检错(HEC)1.检错重发方式--自动请求重传方式，ARQ(Automatic Repeat Request) •由发端送出能够发现错误的码，由收端判决传输中无错误产生，如果发现错误，则通过反向信道把这一判决结果反馈给发端，然后，发端把收端认为错误的信息再次重发。
•其特点是需要反馈信道，译码设备简单，对突发错误和信道干扰较严重时有效，但实时性差，主要在计算机数据通信中得到应用。
2. 前向纠错方式 前向纠错方式记作FEC(Forword Error Correction)。
发端发送能够纠正错误的码，收端收到信码后自动地纠正传输中的错误。
其特点是单向传输，实时性好，但译码设备较复杂。
纠错码发收3. 反馈校验方式•接收端将接收到的码元转发回发送端。
•发送端和源发送码逐一比较。
•发现不同——出错，重发•发现相同——正确，不重发•特点：简单，浪费资源4. 检错删除接收端收到的码元检查出错误后立即删除，并不要求重发。
适用存在大冗余量的通信系统。
9.2 差错控制编码的基本概念¾几个概念:¾码长n：码字中码元的数目；•在编码前先把信息序列分为k位一组（称为信息码），然后附加m位监督码，形成n = k + m位的码组。
第8章 信道编码(北京交通大学通信原理专业课 课堂资料)
第8章信道编码知识点基本内容：通过第1章了解信道特征和仙农信道容量公式基本概念基础上，主要介绍波形编码和分组码、循环码以及卷积码等的基本编解码方法及评价。
知识点及层次(1) 波形编码——主要认识基于正交的哈德玛正交码的特性。
(2) 基于汉明距离的差错控制定理（掌握）。
(3) 线性分组码(n，k)码的结构、编码方法、解码、检纠错计算（掌握）。
(4) 循环码的构成特征及编、解码方法（掌握），以及CRC、R-S、BCH码的特征（了解）。
(5) 卷积码的基本特征（熟悉概念），TCM（一般认识）。
第9章信道编码返回本章信道编码包括波形编码和差错控制码，都属于抗干扰码，目的在于提供较佳的信号设计，以匹配信道特性，减少误差概率，重点是分组码与卷积码两大类，同时也简单提出了编码与调制结合的TCM码。
1.正交（波形）编码本章给出了几种正交码规则及其特征，多数具有一定冗余位，因此具有一定抗干扰能力。
2.（n,k）分组码从奇、偶校验与差错控制定理入门，建立了（n,k）分组码编解码思路。
（1）一般信源编码k位信码事先给定（2）可根据信道特征提出误差率指标，由纠错定理和汉明界限，取得加入满足要求的冗余位r=n-k（3）谨慎设计n-k=r个独立线性方程，并均由信码模2加构成，然后抽出系数得到H（4）由H得到G，由信息码组与G计算，G中k行码字以外的其他码字。
（5）接收伴随式纠错3.(n,k)循环码是(n,k) 分组码的一个子类码，具有很多相同特点。
（1）编码，首先给出已知信码位数k，由目标与差错控制能力要求，可得适用的最小码长n。
（2）接收伴随多项式（3）循环码的几个子类码4.卷积码卷积码是已得到广泛应用的纠错编码，首先在卫星系统使用，中速modem最高位利用了（2，1）卷积码进行保护。
卷积码能力取决于约束长度N，使用中往往在速率与误比特率间权衡。
第八章差错控制返回8.10.1 差错控制概念8-2 BSC信道错误转移概率为，为了提高二元码传输可靠性，现采用重复码，接收时按“后验概率择大”规则判决。
信息论与编码第6章信道编码
素(既约)多项式
若 p( x) f ( x), deg( p( x)) 1且p( x)在F[ x] 中只有因式 c和cp( x) 则称 p( x) 为域F上的不可约多项式。
的集合
余类环
多项式剩余类环 n n1 f ( x) an x an1x ... a1x a ai Fq 用 Fq [ x] 或者 GF (q)[ x] 表示所有这样多项式
纠错码的分类
根据监督码元与信息组之间的关系 系统码 信息码元是否发生变化 非系统码 代数码 几何码 算术码 线性码 非线性码 分组码 卷积码
构造编码的数学方法
根据监督码元和信息码元的关系
根据码的功能
按纠误的类型
检错码 纠错码 纠删码 纠随机差错码 纠突发差错码 纠混合差错码 二元码 多元码 等保护纠错码 不等保护纠错码
3 3 2 2 3 2 3 2
x x , x x, x x 1, x 1, x ,
3 3 3 3
x x 1, x x, x 1, x , x 1, x,1, 0
2 2 2 2
4．有限域的性质和代数结构
1）有限域 Fq 的结构 对 a Fq , a 0, 满足 na 0, 的最小正整 数 n ，称为元素 a 的周期。 定理6-6：在有限域 Fq中 (1) ( Fq , ) 是循环加群，它的非零元素的周期等于其 域的特征； (2) ( Fq* , ) 是循环乘群，共有 (q 1) 个乘群的生成 元。 a 乘群 ( Fq* , ) 的生成元 a 称有限域 Fq 的本原元， 的阶为 q 1 ，即 a q 1 e ，且 F * a
q
本原元性质定理6-7
* F (1) q
的元素的阶都是 q 1 的因子， Fq* 的所 q 1 x e 0 的根。 有元恰是 (2) 若 a 是 Fq 的本原元，则当且仅当(k , q 1) 1 k k a 时， 也是本原元。非本原元 a 的阶是
第6章 信道编码(3)
所有非零码字重量都是2m－１ ，称为最大长度码、
等距码或单型码。
例１. (7,4)汉明码，其系统码
1 0 0 0 1 0 1 G 0 1 0 0 1 1 1
0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1
1 1 1 0 1 0 0 H 0 1 1 1 0 1 0
1 1 0 1 0 0 1
的倍式。 若 h(x) ≠f (x)g(x) , 则有如下欧几里德除法原理成立，
存在商式q (x) 和余式r(x)使 0 or(x) o f (x) h(x) ＝ q(x) f (x)+r(x) ,
称h(x)与r(x)模f (x)相等，r(x)称为h(x)模f (x)的余式。 h(x) ＝ r(x) mod f (x)
g1 g2
G2
g1
g3
,
g2 g3
G3 g1 g2 g3
本次课内容： ➢设计和构造编码方法：修正法。 ➢循环码
✓循环码的多项式描述 ✓循环码的生成矩阵
设计和构造编码方法：修正法。 ① 扩展。 ② 打孔（删余）。 ③ 增广。 ④ 删信。 ⑤ 延长。 ⑥ 缩短。 ⑦ 乘积。 ⑧ 级联。 ⑨ 交织。
定理2： g(x) 是(n , k)循环码的生成多项式，当且仅
当g(x) 是 xn 1的r = n － k 次因式。
证明：必要性证明。 g(x) 是(n , k)循环码的生成多项式，
则由欧几里德除法原理有
xk g(x) 1(xn 1) r(x) or(x) n
(5)
则 r(x) xk g(x) mod xn 1
, ,
an2 ) an1, a0
,
a1
,aaL1980
aa1910
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若所使得用到g(的x)的矩系阵数的组各成项矩恰阵好：与ug(x1 ) ·gg0(x)所然0 得后多将0 项上式式的的系数作为矩阵的第二行 系数相等，因此可用这种g 矩 阵0相乘g1代替g0两个0 多 项式 相乘，这一特性可用于构造循0环码0的生g1成矩g0阵
同时u(x)的系数组成矩阵: uu2 u1 u0 将矩阵u和g相u乘g：u u 2gg u1gu 012 ug 01 gg10xu x22 gggg 0((00 xx)) u 001 g u1 2x2gu x1 x(2g ggx)0 ((xx ))uu 10 xg g1 (x)u 0 ug 00 g(x)
c ( 1 ) ( x ) [ x c ( x ) ] m o d ( x n 1 ) , c ( i) ( x ) [ x ic ( x ) ] m o d ( x n 1 )
证明：码组c的多项式为：
相当于将多项式
则此它有定的：理 循说 环xc明 移(若 位x)cx (ic cx(( a )x是x n )-均) 1(nx为 , nk该) ( 循循a a 环n n 环- 2 码1 x 码x中n n - 的1 -1 的 码一a L 组n 个 ，2 码x 且a n 组- 12 这x ，些2L 则 a0a x1 1 x c(a x)0 循) 环移位一次
c(1)(x)
No ImageBiblioteka No Image循环码生成多项式
因为g(x)是n-k次的多项式，故xkg(x)为一个n次多项式
则定xkg义(x)：除记以xCn+(x1的)为商(必n,为k1)，循余环式码记的为b所(x)有码组对应的多项式的集合， 若即g：(xx)kg是(xC)=(1x•)中(xn除+10) +多b项(x)式以外次数最低的多项式，则称g(x)为这个 循表环示g码(x的)向生左成移动多k项次，式并且仍为许用码组，即：是g(x)的倍式，则有：
码多项式
码多项式是描述循环码的主要方法
对于任一长为n的码组
可用一多项式来表示：
c = ( an-1 an-2 …… a1 a0 )
c(x) = ( an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + …… + a1 x1 + a0 ) 此多项式称码多项式，式中每项的各分量an-1 , an-2 , …… , a1 , a0是多项式的系数 系数不为零的x的最高次数为多项式c(x)的次数，或称多项式的阶数，deg c(x) 例如：某码组( 1100101 )对应的码多项式可表示为
b(x) = u(x)g(x)
其则一xn+般1=形g(式x)[为xk +：u(gx)(]x=) h=(xx)rg+(x)gr-1 xr-1 + …… + g1 x1 + 1 g即(x证)具明有g(x以)为下xn性+1的质一：个因子 因1此），g这(x一)的性0质次也项就是指出1；了g(x)的求解方法，即对多项式xn+1进行分解：
码多项式都能是被模xxa nnn ++-1 11的整xn 一除个，a余n-2式xn-1La1x2 最a 高0此x1为na–n-1 1，小an于-1( xn +1 )
所以余an 数-1(为x0n1)c(1)(x)
的幂次，所以余数为c(1) (x)
[xc(x)]m od(xn1) [an1(xn1)c(1)(x)]m od(xn1)
0 0 gg(1x)g0 g(x)
(u2x2u1xu0)g(x)u(x)g(x)
码多项式的模运算
正整数的模运算 若一正整数M除以正整数N，所得到的商为Q，余数为R，可表示为
M NQ RN 0RN
其中Q为整数，则在模N运算下，上式的结果为：
M R(模 N ，记 为 mN o)d
多项式的模运算与正整数的模运算相同，一般利用长除法计算商式和余式 有两个多项式a(x)和p(x)，一定存在有唯一的多项式Q(x)和r(x)，使得：
c7(x) = 1·x6+1 ·x5+ 0 ·x4 + 0 ·x3 + 1 ·x2 + 0 ·x +1 = x6 + x5 + x2 +1
码多项式与码组的关系：本质上是一回事，仅是表示方法的不同而已
相当于将g(x)乘以x2 ，使得g(x)的次数
码多项式的加法与乘法
变 相当为3于，将即g(使x)g乘(x以)的x最，使高得次g与(xu)(的x)次·g(数x) 一 变样 为2：：
a (x) Q (x)p (x) r(x)
称Q(x)是a(x)除以p(x)的商式，r(x)是a(x)除以p(x)的余式，在模p(x)运算下
a(x)r(x)[mp o (x)d]
且有 0 d e g r(x ) d e gp (x )即：除到余式的次数小于除式为止，当能整除时次 数为0
定理：对于( n, k )循环码，若c(x)对应码组c = (an-1an-2 …… a1a0 )， c(1)的一次循 环移位c(1) = ( an-2an-3 …… a1a0 an-1 )及c(i )(x)对应的c码循环移位i次c(i )，则有：
信道编码
循环码
是线性分组码中最主要、最有用的一种码 与一般线性分组码相比，循环码具有循环特性，每个码组经任意
循环移位之后仍然在码组的集合中 数学定义：设C为某( n, k )线性分组码的码组集合，如果对C中
任意一个码组c = ( an-1 an-2 …… a1 a0 )，它的循环移位c(1) = ( an-2an3 … a1 a0 an-1 )也属于C，则称该( n, k )码为循环码 其中c(i )表示c码组循环移位i次 例如：某( 7, 4 )循环码组集合中的一个码组为( 1000101 )，向左循 环移位一次后的码组( 0001011 )仍为码组集合中第一个许用码组
有两个码多项式u(x) = u2 x2 + u1 x + u0；g(gx()x不)x=g变(gx1)：xx=2+gg(1gxx0)2=+gg10xx3 + g0 x2 相加： u(x) + g(x) = ( u2 + 0 ) x2 + ( u1 + g然1 )后xg将+(xu上)0=+式=g的100x系x23+数+gg0作1xx为2 +矩g阵0 x的第一行 相乘： u(x) ·g(x) = u2 g1x3 + ( u2g0+ u1g1然) 后x2 将+ (上u=1式g00的+x3系u+0g数01x)作2x+为+g1矩ux0g阵+0 g的0 第二行