结构体系可靠度

2
（3）功能函数为非线性的情况
当功能函数为非线性函数时，可通过Taylor级数在 验算点X*处展开，并取一次式计算相关系数的近似 值(假定基本变量是不相关的)，可得Zi和Zj的协方 差为：
Z i C o v ( Z i， Z j ) k 1 x k X
n
*
PS min( PS 1 , PS 2 PSi PSn )
式中， Psi 为第i个构件可靠概率，若其失效概率为 Pfi，则有 Psi 1 P fi ，上式表示可靠度最小的构件 不破坏时，体系才不破坏，因各构件失效之间是完 全相关的。 (b)若各构件的抗力是相互独立的，并且作用效应 也是独立的，则有：
（1） 2个随机变量的情况
设与破坏模式i、j对应的功能函数Zi、Zj，功能函 数包含两个独立变量R和S，其均值和标准值为 μ R、μ S和σ R、σ S，则功能函数Zi、Zj 的表达 式为：
Z i a i R bi S ， Z
j
a jR bjS
(6-8)
－－功能函数为线性的，随机变量 之间是相互独立的
结构体系可靠度问题的基本类型
• 串联结构体系
静定桁架
串联结构体系的简化图示
2. 并联模型 若结构中所有单元失效，则该结构体系失效， 具有这种逻辑关系的结构系统可用并联模型表示， 如图6.2所示。 超静定结构的失效可用并联模型表示。
图6.2 并联体系
固端梁 多跨排架 如一个3跨的排架结构， 每个柱子都可以看成是 并联系统的一个元件， 只有当3柱子均失效后， 该结构体系失效。 两端固定的刚梁， 只有当梁两端和跨 中形成了塑性铰(塑 性铰截面当作一个 元件)，整个梁才失 效。
i 1
n
(6-19)
max Pfi ≤Pf ≤ Pfi
i 1
n
上述公式虽不能完全确定结构体系的失效概率， 但可以估计失效概率的上下限。 【例】 如图6.6所示，有10条完全一样的链用环串 联起来。受拉力为T，每一条链的失效概率为Pf i =10-4 ，试就链的各种相关条件讨论该串联体系的 失效概率。
对于由脆性元件组成的超静定结构，若超静定 程度不高，当其中一个构件失效而退出工作后，继 后的其他构件失效概率就会被大大提高，这类结构 的并联子系统可简化为一个元件，因而也可按串联 模型处理。
(a) 单层单跨刚架塑性铰结构
(b) 串-并联系统 图6.4 单层单跨刚架
6.3结构系统中功能函数的相关性
*

k
Z i xk X

*
k
Z j xk X
2
*
（4） 失效模式相关性的特点
在结构系统中，两种失效模式的相关性具有下 述特点： (1) 在同一结构系统中，来自同一个随机变量 的两种失效形式完全相关。设失效模式i和j的功能 函数为：
Z i aR c ， Z j bR d
Ⅰ宽界限法 宽界限法(一阶方法)，取两种极端状态作为上 下限，利用基本事件的失效概率来研究多种失效模 式结构体系的失效概率。 (a)若所考虑的各构件的抗力是完全相关的， 即ρ =1，体系的可靠概率为：
PS min( PS 1 , PS 2 PSi PSn )
(6-15)
图6.6 链环结构图
m a x P fi ≤ P f ≤ 1
(1 P
E j [ g j ( X ) 0]
E j [ g j ( X ) 0]
(6-3)
2.体系安全与体系失效 于是结构体系安全这一事件表示为：
E E1 E 2 E k
(6-4)
结构体系失效事件表示为：
E E1 E 2 E k
(6-5)
3.体系的可靠概率及失效概率
定义
0
Z， Z ≥ 0
i j
为高级相关； Z ， Z
i
j
0
为低级相
关。 为临界相关系数，可根据结构的重要性与经
济性修正，一般取
0 0 .7 ~ 0 .8
。
当 ， ≥ 时，可以用一种形式代替另一 种失效形式，这样就可使结构系统的可靠度分析简 化。 当 Z ， Z 0 时，必须考虑各种失效形式对 结构系统失效的影响。
图6.3 混联体系
如下图所示为单层单跨刚架，在荷载作用下，最终形成 塑性铰机构而失效。 失效的形态可能有3种，如下图。 只要其中一种情况 出现，就是结构体系失效。 但对每一种情况，截面破坏（塑性铰出现）的顺序又 不相同，当四个塑性铰相继全部出现时结构才最终破 坏。 因此这一结构是由并联子系统组成的串联系统，即串 -并联系统。
PS Psi (1 Pfi )
i 1 i 1
n
n
(6-16)
实际结构的抗力与作用效应既不会完全统计独 立，也不会完全相关，一般介于二者之间。式(615)、(6-16)可作为估计体系可靠概率PS的上下限， 即

i 1
n
Ps i ≤ Ps ≤ m in Ps i
n
(6-17)
式中， f ( x ) f 率密度函数。
X
2
( x2 ) f X n ( xn )
(6-7) 为各基本变量的联合概
可见，求解结构体系的可靠度需要计算多重积 分。对于大多数工程实际问题而言，不但各随机变 量的联合概率密度难以得到，而且计算这一多重积 分也非易事。所以，对于一般结构体系，并不直接 利用上述公式求其可靠度，而是采用近似方法计算。
Zi Z
j
0
i
j
6.4结构体系可靠度计算方法( 区间估计法)
对于实际结构，破坏模式很多，要精确计算其破坏 概率几乎是不可能的。 通常采用一些近似计算方法，其中常用的有区间估 计法。区间估计法中最有代表性的是A.Cornell提 出的宽界限法和Ditevsen提出的窄界限法。 区间估计法适于串联模型
i j
2 R
bi b j S
j
2
ZZ
i
j
Z i Z
(6-10)
Z， Z
i j
C o v ( Z i， Z j )
ZZ
i

a i a j
2 R
bi b j S
j
2
j
Z i Z
（2）多个随机变量的情况
上述结果可以推广到功能函数含有多个随机变 量的情况。功能函数Zi、Zj分别为：
构件的可靠度取决于其荷载效应和抗力。对于 实际的结构系统，构件的抗力与荷载之间并非孤立， 而是互相联系的（一个极限状态方程中，相关随机 变量的的可靠度问题前面已经讨论过）。 同时，由于各种失效形式的极限状态方程中都 包含上述随机变量，因此各失效形式之间也是相关 的。 所以在进行结构系统的可靠度分析时，必须考 虑这种相关性。考虑失效形式间的相关性，不仅可 以得出比较合理的可靠指标，同时又往往使问题简 单化。
g j ( X ) g j ( X 1， X 2，L ， X n ) ( j 1，2，L ， K )
(6.1) 式中，X
1
， X 2，L ， X n
为基本变量。
有关体系可靠度的几个名词 1.失效事件与安全事件
若用Ej表示第j个失效模式出现这一事件，则
有：
(6-2) Ej的逆事件为与第j个失效模式相应的安全事 件，则有：
对于并联系统，元件的脆性或延性性质将影响 系统的可靠度及其计算模型。脆性元件在失效后将 逐个从系统中退出工作，而延性元件在失效后仍将 在系统中维持原有的功能。因此在计算系统的可靠 度时，要考虑元件的失效顺序。
3. 混联模型 实际的超静定结构通常有多个破坏模式，每一 个破坏模式可简化为一个并联体系，而多个破坏模 式又可简化为串联体系，这就构成了混联模型，如 图6.3所示。

i 1
n
Ps i ≤ Ps ≤ m in Ps i
n
相应地，体系失效概率的Pf的上下限，即：
m a x P fi ≤ P f ≤ 1
n
(1 P
i 1
n
fi
)
如果Pf i很小，有
1

i 1
(1 P fi )

n
P fi
i 1
(6-18) ，则：
max Pfi ≤Pf ≤ Pfi
Zi
a
p
ip
Rp
b
m
im
Sm ， Z
j

a
p
jp
Rp
b
m
jm
Sm
(6-11)
则其相关系数为： a i p a jp
2 Rp

b
m Z
j
im
b jmBiblioteka 2 SmZ， Z i j
pj

Zi

(6-12)
C ov( Z i， Z j ) E ( Z i Z j ) E ( Z i ) E ( Z j ) a i a j R bi b j
Z j x k X
(6-13）
*
式中， x k
xk x
k

。
xk
相关系数为：
C ov(Z i , Z j )


k
Z， Z
i j
Z i Z j xk X xk X
ch6结构体系的可靠度计算
6.1问题的提出 6.2 结构系统的基本模型 6.3结构系统中功能函数的相关性 6.4结构体系可靠度计算方法 6.5结构体系失效概率计算实例
6.1问题的提出
前几节介绍的结构可靠度分析方法，计算的是结构某 一种失效模式、一个构件甚至是一个截面的可靠度，其极 限状态是唯一的。 实际工程中，结构是复杂的，由若干构件组成。 从力学的图式来看，有静定结构和超静定结构； 从结构构件组成的系统来看，有串联系统、并联系 统和混联系统等。 根据结构不同的力学图式、不同破坏形式、不同系统 等来研究它的体系可靠度，才能较真实地反映其可靠度。