基本平面图形---培优题库2

基本平面图形培优题库21．（1）观察思考：如图，线段AB上有两个点C、D，请分别写出以点A、B、C、D为端点的线段，并计算图中共有多少条线段；（2）模型构建：如果线段上有m个点（包括线段的两个端点），则该线段上共有多少条线段？请说明你结论的正确性；（3）拓展应用：某班45名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握1次手问好，那么共握多少次手？请将这个问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题．2．如图，已知∠AOC＝90°，∠COB＝50°，OD平分∠AOB，求∠COD等于多少度？3．如图，已知线段AB的长为x，延长线段AB至点C，使BC＝AB．（1）用含x的代数式表示线段BC的长和AC的长；（2）取线段AC的中点D，若DB＝3，求x的值．4．如图，∠AOB＝20°，∠AOE＝110°，OB平分∠AOC，OD平分∠AOE．（1）求∠COD的度数；（2）若以点O为观察中心，OA为正东方向，求射线OD的方位角；（3）若∠AOE的两边OA，OE分别以每秒5°和每秒3°的速度，同时绕点O按逆时针方向旋转，当OA回到原处时，OA，OE停止运动，则经过多少秒时，∠AOE＝30°？5．已知：射线OC在∠AOB的外部．（1）如图1，∠AOB＝90°，∠BOC＝40°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．①请在图1中补全图形；②求∠MON的度数．（2）如图2，∠AOB＝α，∠BOC＝β（α＞90°且α+β＜180°），仍然作∠AOC的平分线OM，∠BOC的平分线ON，则∠MON＝．6．如图，延长线段AB到点F，延长线BA到点E，点M、N分别是线段AE、BF的中点，若AE：AB：BF＝1：2：3，且EF＝18cm，求线段MN的长．7．如图，已知∠AOB＝∠COD＝90°，OC是∠AOB的平分线，∠BOD＝3∠DOE．求∠COE的度数．8．如图，已知线段AB和CD的公共部分为BD，且BD＝AB＝CD，线段AB、CD的中点E、F之间距离是20，求AB、CD的长．9．如图，点C为线段AB的中点，点E为线段AB上的点，点D为线段AE的中点．（1）若线段AB＝a，CE＝b，且|a﹣15|+（b﹣4.5）2＝0，求a，b的值．（2）在（1）的条件下，求线段CD的长．10．如图，∠AOC：∠BOC＝1：4，OD平分∠AOB，且∠COD＝36°，求∠AOB度数．11．如图，点C是线段AB上一点，点M，N，P分别是线段AC，BC，AB的中点．（1）若AB＝12cm，则MN的长度是；（2）若AC＝3cm，CP＝1cm，求线段PN的长度．12．如图，点O为直线AB上一点，∠AOC＝110°，OM平分∠AOC，∠MON＝90°（1）求∠BOM的度数；（2）ON是∠BOC的角平分线吗？请说明理由．13．如图，O为直线AB上一点，∠AOC＝50°，OD平分∠AOC．（1）填空：∠BOD＝度；（2）当∠DOE＝90°，请说明OE平分∠BOC．14．如图，直线EF与MN相交于点O，∠MOE＝30°，将一直角三角尺的直角顶点与O重合，直角边OA与MN重合，OB在∠NOE内部．操作：将三角尺绕点O以每秒3°的速度沿顺指针方向旋转一周，设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，直角边OB恰好平分∠NOE？此时OA是否平分∠MOE？请说明理由；（2）若在三角尺转动的同时，直线EF也绕点O以每秒9°的速度顺时针方向旋转一周，当一方先完成旋转一周时，另一方同时停止转动．①当t为何值时，EF平分∠AOB？②EF能否平分∠NOB？若能请直接写出t的值；若不能，请说明理由．15．如图，每个小正方形的边长均为1个长度单位的网格中，有一个△ABC，三角形的三个顶点均在网格的顶点上．（1）在图中画线段CD，使CD＝CB，点D在网格的格点上，并能组成四边形ABCD．（2）连接AD，请求出四边形ABCD的面积．16．已知∠AOB内部有三条射线，其中OE平分∠BOC，OF平分∠AOC．（1）如图1，若∠AOB＝90°，∠AOC＝30°，求EOF的度数；（2）如图2，若∠AOB＝α，求∠EOF的度数（用含α的式子表示）；（3）若将题中的“OE平分∠BOC，OF平分∠AOC”的条件改为“∠EOB＝∠BOC，∠COF＝∠AOC”，且∠AOB＝α，求∠EOF的度数（用含α的式子表示）17．阅读解答过程，回答问题：如图，OC在∠AOB内，∠AOB和∠COD都是直角，且∠BOC＝30°，求∠AOD的度数．解：过O作射线OM，使点M，O，A在同一直线上，因为∠MOD+∠BOD＝90°，∠BOC+∠BOD＝90°，所以∠BOC＝∠MOD，所以∠AOD＝180°﹣∠MOD＝180°﹣∠BOC＝180°﹣30°＝150°．（1）如果∠BOC＝60°，那么∠AOD等于多少度？如果∠BOC＝n°，那么∠AOD等于多少度？（2）如果∠AOB＝∠DOC＝x°，∠AOD＝y°，求∠BOC的度数．18．如图，B是线段AD上一动点，沿A→D以2cm/s的速度运动，C是线段BD的中点，AD＝10cm，设点B 运动时间为t秒．（1）当t＝2时，①AB＝cm．②求线段CD的长度．（2）在运动过程中，若AB的中点为E，则EC的长是否变化？若不变，求出EC的长；若发生变化，请说明理由．19．如图，点C在线段AB上，AC＝8 cm，CB＝6 cm，点M、N分别是AC、BC的中点．（1）求线段MN的长；（2）若C为线段AB上任一点，满足AC+CB＝a cm，其它条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说明理由；（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC＝bcm，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由；（4）你能用一句简洁的话，描述你发现的结论吗？20．知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面．下面就两个情景请你作出评判．情景一：从教室到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题．情景二：A、B是河流l两旁的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向两村供水，问抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？请在图中表示出抽水站点P的位置，并说明你的理由：你赞同以上哪种做法？你认为应用数学知识为人类服务时应注意什么？21．已知：∠AOD＝160°，OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线．（1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD．当OB绕点O在∠AOD内旋转时，求∠MON的大小；（2）如图2，若∠BOC＝20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．当∠BOC绕点O在∠AOD内旋转时求∠MON的大小；（3）在（2）的条件下，若∠AOB＝10°，当∠BOC在∠AOD内绕着点O以2°/秒的速度逆时针旋转t秒时，∠AOM：∠DON＝2：3，求t的值．22．已知如图1，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．（1）如果∠AOB＝70°，∠BOC＝30°，那么∠EOF是多少度？（2）如果∠AOB＝α，∠BOC＝β，那么∠EOF是多少度？（3）通过（1）、（2）的计算，你发现了什么？（4）拓展：如图2，已知点E是AC的中点，点D是BC的中点，试判断线段DE与线段AB的数量关系，并说明理由．23．如图，点C在线段AB上，AC＝6cm，MB＝10cm，点M、N分别为AC、BC的中点．（1）求线段BC、MN的长；（2）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC＝6cm，M、N分别是线段AC、BC的中点，求MN的长度．24．已知∠AOB，求作∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB，并证明作法：①在射线OA上取点C，以O为圆心，的长为半径画弧交OB于D②画一条射线O′A′，以O′为圆心，的长为半径画弧交O′A′于点C′③以点C′为圆心，的长为半径画弧与第②步中所画弧交于点D′④过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．25．如图，在直线MN上找一点C点，使AC＝BC．（不写作法，保留作图痕迹）26．已知：∠BAC，求作：（1）∠BAC的平分线AM．（2）在AM上任取一点P，过P作AC的垂线PE，垂足为E．（保留作图痕迹）27．如图，A点在B处的北偏东40°方向，C点在B处的北偏东85°方向，A点在C处的北偏西45°方向，求∠BCA及∠BAC的度数．28．已知∠AOB＝90°，∠BOC是锐角，ON平分∠BOC，OM平分∠AOB．（1）如图1若∠BOC＝30°，求∠MON的度数？（2）若射线OC绕着点O运动到∠AOB的内部（如图2），在（1）的条件下求∠MON的度数；（3）若∠AOB＝α（90°≤α＜180°），∠BOC＝β（0°＜β＜90°），请用含有α，β的式子直接表示上述两种情况∠MON的度数．29．已知∠AOB＝100°，∠COD＝40°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．（1）如图1，当OB，OC重合时，求∠EOF的度数；（2）如图2，当∠COD从图1所示位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜90）时，∠AOE﹣∠BOF的值是否为定值？若是定值，求出∠AOE﹣∠BOF的值；若不是，请说明理由．30．（1）已知线段AB＝8cm，在线段AB上有一点C，且BC＝4cm，M为线段AC的中点，求线段AM的长？若点C在线段AB的延长线上，AM的长度又是多少呢？（2）如图，AD＝DB，E是BC的中点，BE＝AC＝2cm，求DE的长．31．将一副三角板ABC和三角板BDE（∠ACB＝∠DBE＝90°，∠ABC＝60°）按不同的位置摆放．（1）如图1，若边BD、BA在同一直线上，则∠EBC＝；（2）如图2，若∠EBC＝165°，那么∠ABD＝；（3）如图3，若∠EBC＝120°，求∠ABD的度数．32．画图并计算已知线段AB＝6cm，（1）延长AB到点C，使得BC＝2cm，（2）找出线段AC的中点O，并计算线段BO的长度．33．（1）如图，AB＝5cm，BC＝3cm，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点，求线段MN的长．（2）如图（1）中，AB＝a，BC＝b，其他条件不变，求MN的长，你发现了什么规律？请把它写出来．34．下列各小题中，都有OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．（1）如图①，若点A、O、B在一条直线上，∠EOF＝；（2）如图②，若点A、O、B不在一条直线上，∠AOB＝140°，则∠EOF＝；（3）由以上两个问题发现：当∠AOC在∠BOC的外部时，∠EOF与∠AOB的数量关系是∠EOF＝；（4）如图③，若OA在∠BOC的内部，∠AOB和∠EOF还存在上述的数量关系吗；请简单说明理由；35．已知：O为直线AB上的一点，OC⊥OE于点O，射线OF平分∠AOE．（1）如图1，若∠BOE＝70°，则∠COF的度数是．（2）如果将∠COE绕点O旋转至图2的位置，请探究∠COF和∠BOE之间的数量关系？请你说明理由．（3）如果将∠COE绕点O旋转至图3的位置，请你继续探究∠COF和∠BOE之间的数量关系并说明理由．36．如图，∠AOB是直角，OP平分∠AOB，OQ平分∠AOC，∠POQ＝70°，求∠AOC的度数．37．如图，C、D为线段AB上的两点，M是AC的中点，N是BD的中点．如果MN＝a，CD＝b，求线段AB的长（用a、b的代数式表示）．38．如图，以∠AOB的顶点O为端点画一条射线OC，OM，ON分别是∠AOC和∠BOC的角平分线．（1）如图①，若∠AOC＝50°，∠BOC＝30°，则∠MON的度数是；（2）如图②，若∠AOB＝100°，∠BOC＝30°，则∠MON的度数是；（3）根据以上解答过程，完成下列探究：探究一：如图③，当射线OC位于∠AOB内部时，请写出∠AOB与∠MON的数量关系，并证明你的结论；探究二：如图④，当射线OC位于∠AOB外部时，请写出∠AOB与∠MON的数量关系，并证明你的结论．39．已知：如图，点A、B分别是∠MON的边OM、ON上两点，OC平分∠MON，在∠CON的内部取一点P（点A、P、B三点不在同一直线上），连接PA、PB．（1）探索∠APB与∠MON、∠PAO、∠PBO之间的数量关系，并证明你的结论；（2）设∠OAP＝x°，∠OBP＝y°，若∠APB的平分线PQ交OC于点Q，求∠OQP的度数（用含有x、y的代数式表示）．40．已知线段AB，在AB的延长线上取一点C，使BC＝2AB，在BA的延长线上取一点D，使DA＝AB，取AB 中点E，若DE＝7.5cm，求DC的长．41．如图，点O在直线AB上，∠1＝∠BOC，OC是∠AOD的平分线；（1）求：∠2的度数；（2）试说明：OD⊥AB．42．如图，OB是∠AOC内的一条射线，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，其中∠BOC是锐角．（1）若∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，求∠MON的度数．（2）若∠AOB＝x，∠BOC＝30°，求∠MON的度数．（3）若∠AOB＝90°，∠BOC＝y，直接写出∠MON的度数．（4）由（1）、（2）、（3）的结果，你能得出什么规律？（直接写出你的结论，不用说明理由．43．如图所示，已知线段AB＝2cm，点p是线段AB外一点．（1）按要求画图：①作射线PA，作直线PB；②延长线段AB至点C，使得BC＝AB，再反向延长AC至点D，使得AD＝AC．（2）求出线段BD的长度．44．已知点O在直线AB上，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC．（1）若OC⊥AB于点O，如图1，直接写出∠DOE的度数为；OD与OE的位置关系是；（2）若OC与AB不垂直，如图2，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请说明你的猜想是正确的；若不成立，请说明理由；（3）如图2，若∠AOD＝40°，请你利用（2）中得到的结论，求∠BOE的度数．45．定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成1：2的两个角的射线，叫做这个角的三分线，显然，一个角的三分线有两条，例如：如图1，若∠BOC＝2∠AOC，则OC是∠AOB的一条三分线．（1）已知：如图1，OC是∠AOB的一条三分线，且∠BOC＞∠AOC，若∠AOB＝60°，求∠AOC的度数．（2）已知：∠AOB＝90°，如图2，若OC，OD是∠AOB的两条三分线．①求∠COD的度数．②现以O为中心，将∠COD顺时针旋转n度得到∠C′OD′，当OA恰好是∠C′OD′的三分线时，求n的值．46．如图，平面上有四个点A，B，C，D，按照以下要求完成问题：（1）连接AB并延长AB至E，使BE＝AB；（2）作射线BC；（3）过点C作直线AD的垂线，垂足为F；（4）在直线BD上确定点G，使得AG+GC最短．47．已知如图：线段AB＝16cm，点C是AB的中点，点D在AC的中点，求线段BD的长．48．如图，已知线段AB＝a，延长BA至点C，使AC＝AB，D为线段BC的中点．（1）求CD的长；（2）若AD＝3cm，求a的值．49．填空，完成下列说理过程：如图，点A，O，B在同一条直线上，OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC．（1）求∠DOE的度数；（2）如果∠COD＝65°，求∠AOE的度数．解：（1）如图，因为OD是∠AOC的平分线，所以∠COD＝∠AOC，又因为OE是∠BOC的平分线所以＝∠BOC．所以∠DOE＝∠COD+ ＝（∠AOC+∠BOC）＝∠AOB＝．（2）由（1）可知，∠BOE＝∠COE＝﹣∠COD＝．所以∠AOE＝∠AOB﹣∠BOE＝．50．已知∠AOB＝100°，射线OC在∠AOB的内部，射线OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线．（1）如图1，若∠AOC＝30°，求∠EOF的度数；（2）请从下面A，B两题中任选一题作答，我选择题．A．如图2，若射线OC在∠AOB的内部绕点O旋转，则∠EOF的度数为．B．若射线OC在∠AOB的外部绕点O旋转（旋转中∠AOC、∠BOC均是指小于180°的角），其余条件不变，请借助图3探究∠EOF的大小，直接写出∠EOF的度数参考答案1．（1）观察思考：如图，线段AB上有两个点C、D，请分别写出以点A、B、C、D为端点的线段，并计算图中共有多少条线段；（2）模型构建：如果线段上有m个点（包括线段的两个端点），则该线段上共有多少条线段？请说明你结论的正确性；（3）拓展应用：某班45名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握1次手问好，那么共握多少次手？请将这个问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题．【分析】（1）从左向右依次固定一个端点A，C，D找出线段，最后求和即可；（2）根据数线段的特点列出式子化简即可；（3）将实际问题转化成（2）的模型，借助（2）的结论即可得出结论．【解答】解：（1）∵以点A为左端点向右的线段有：线段AB、AC、AD，以点C为左端点向右的线段有线段CD、CB，以点D为左端点的线段有线段DB，∴共有3+2+1＝6条线段；（2）设线段上有m个点，该线段上共有线段x条，则x＝（m﹣1）+（m﹣2）+（m﹣3）+…+3+2+1，∴倒序排列有x＝1+2+3+…+（m﹣3）+（m﹣2）+（m﹣1），∴2x＝mm+m+…+m＝m（m﹣1），∴x＝m（m﹣1）；（3）把45位同学看作直线上的45个点，每两位同学之间的一握手看作为一条线段，直线上45个点所构成的线段条数就等于握手的次数，因此一共要进行×45×（45﹣1）＝990次握手．【点评】此题主要考查了线段的计数问题，解本题的关键是找出规律，此类题目容易数重或遗漏，要特别注意．2．如图，已知∠AOC＝90°，∠COB＝50°，OD平分∠AOB，求∠COD等于多少度？【分析】先根据题意得出∠AOB的度数，再由OD平分∠AOB得出∠AOD的度数，根据∠COD＝∠AOC﹣∠AOD 即可得出结论．【解答】解：∵∠AOC＝90°，∠COB＝50°，∴∠AOB＝∠AOC+∠COB＝140°，∵OD平分∠AOB，∴∠AOD＝∠AOB＝70°，∴∠COD＝∠AOC﹣∠AOD＝90°﹣70°＝20°．【点评】本题考查的是角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．3．如图，已知线段AB的长为x，延长线段AB至点C，使BC＝AB．（1）用含x的代数式表示线段BC的长和AC的长；（2）取线段AC的中点D，若DB＝3，求x的值．【分析】（1）根据BC＝AB可求BC的长，根据线段和差，可以求出线段AC．（2）根据DB＝DC﹣BC，列出方程求解．【解答】解：（1）∵AB＝x，BC＝AB，∴BC＝x，∵AC＝AB+BC，∴AC＝x+x＝x．（2）∵AD＝DC＝AC，AC＝x，∴DC＝x，∵DB＝3，BC＝x，∵DB＝DC﹣BC，∴3＝x﹣x，∴x＝12．【点评】本题考查的是两点间的距离以及中点的性质，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．4．如图，∠AOB＝20°，∠AOE＝110°，OB平分∠AOC，OD平分∠AOE．（1）求∠COD的度数；（2）若以点O为观察中心，OA为正东方向，求射线OD的方位角；（3）若∠AOE的两边OA，OE分别以每秒5°和每秒3°的速度，同时绕点O按逆时针方向旋转，当OA回到原处时，OA，OE停止运动，则经过多少秒时，∠AOE＝30°？【分析】（1）根据图示得到∠AOC＝40°；然后由角平分线的定义得到∠AOD＝55°，进而得出∠COD的度数；（2）根据方向角的表示方法，可得答案；（3）设经过x秒，∠AOE＝30°，依据题意列出方程并解答即可．【解答】解：（1）因为OB平分∠AOC，∠AOB＝20°，所以∠AOC＝40°，因为OD平分∠AOE，∠AOE＝110°，所以∠AOD＝55°，因为∠COD＝∠AOD﹣∠AOC，所以∠COD＝55°﹣40°＝15°；（2）因为90°﹣55°＝35°，所以射线OD的方位角是北偏东35°；（3）设经过x秒时，∠AOE＝30°，①如图1所示，当OA未追上OE时，依题意，得 5x﹣110＝3x﹣30，解得，x＝40；②如图2所示，当OA超过OE时，依题意，得5x﹣110＝3x﹣305x﹣110＝3x+30，解得，x＝70．【点评】本题考查了角平分线的性质，角的和差，方向角的表示方法等．用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边．5．已知：射线OC在∠AOB的外部．（1）如图1，∠AOB＝90°，∠BOC＝40°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．①请在图1中补全图形；②求∠MON的度数．（2）如图2，∠AOB＝α，∠BOC＝β（α＞90°且α+β＜180°），仍然作∠AOC的平分线OM，∠BOC的平分线ON，则∠MON＝．【分析】（1）①补全图形；②先根据角平分线的定义可得∠MOC和∠1的度数，根据角的差可得∠MON的度数；（2）用α、β表示∠MOC，∠NOC，根据∠MON＝∠MOC﹣∠NOC得到．【解答】（1）①补全图形，如图1．…（1分）②如图1：∵∠AOB＝90°，∠BOC＝40°（已知），∴∠AOC＝90°+40°＝130°，∵OM平分∠AOC（已知），∴（角平分线定义）…（2分）∵ON平分∠BOC（已知），∴（角平分线定义）…（3分）∴∠MON＝∠MOC﹣∠1＝65°﹣20°＝45°．…（4分）（2）∵∠AOB＝α，∠BOC＝β（已知），∴∠AOC＝α+β，∵OM平分∠AOC（已知），∴∠MOC＝（α+β）（角平分线定义），∵ON平分∠BOC（已知），∴∠NOC＝∠BOC＝β（角平分线定义），∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝﹣＝．故答案为：．…（6分）【点评】本题考查角的和差定义、角平分线的定义，利用∠MON＝∠MOC﹣∠NOC是解决问题的关键．6．如图，延长线段AB到点F，延长线BA到点E，点M、N分别是线段AE、BF的中点，若AE：AB：BF＝1：2：3，且EF＝18cm，求线段MN的长．【分析】设EA＝xcm，则AB＝2xcm，BF＝3cm，EF＝6xcm，根据点M，N分别是线段EA，BF的中点可得出MA ＝xcm、BN＝xcm，将其代入MN＝MA+AB+BN中可得出MN＝4xcm，根据EF＝6x＝18可求出x值，将其代入MN＝4x中可求出线段MN的长．【解答】解：设EA＝xcm，则AB＝2xcm，BF＝3xcm，EF＝6xcm．∵点M，N分别是线段EA，BF的中点，∴EM＝MA＝xcm，BN＝NF＝xcm．∵AB＝2xcm，∴MN＝MA+AB+BN＝4xcm．∵EF＝18cm，∴6x＝18，解得：x＝3，∴MN＝4x＝12cm．【点评】本题考查了两点间的距离、一元一次方程的应用以及线段的中点，解题的关键是根据线段间的关系找出MN＝4xcm．7．如图，已知∠AOB＝∠COD＝90°，OC是∠AOB的平分线，∠BOD＝3∠DOE．求∠COE的度数．【分析】依据∠AOB＝90°，OC是∠AOB的平分线，即可得到∠BOC＝45°，再根据∠COD＝90°，即可得出∠BOD的度数，再根据∠BOD＝3∠DOE，即可得到∠BOE的度数，根据∠COE＝∠BOC+∠BOE进行计算即可．【解答】解：∵∠AOB＝90°，OC是∠AOB的平分线，∴∠BOC＝45°，又∵∠COD＝90°，∴∠BOD＝90°﹣∠BOC＝90°﹣45°＝45°．又∵∠BOD＝3∠DOE．∴∠BOE＝∠BOD＝30°，∴∠COE＝∠BOC+∠BOE＝45°+30°＝75°．【点评】本题主要考查了角的计算以及角平分线的定义的运用，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．8．如图，已知线段AB和CD的公共部分为BD，且BD＝AB＝CD，线段AB、CD的中点E、F之间距离是20，求AB、CD的长．【分析】根据线段中点的性质，可得AE＝AB，CF＝CD，根据线段的和差，可得AC的长、EF的长，根据解方程，可得x的值．【解答】解：设BD＝x，则AB＝3x，CD＝4x．∵点E、点F分别为AB、CD的中点，∴AE＝AB＝1.5x，CF＝CD＝2x，AC＝AB+CD﹣BD＝3x+4x﹣x＝6x．∴EF＝AC﹣AE﹣CF＝6x﹣1.5x﹣2x＝2.5x．∵EF＝20，∴2.5x＝20，解得：x＝8．∴AB＝3x＝24，CD＝4x＝32．【点评】本题考查了两点间的距离，利用BD＝AB＝CD得出BD＝x，则AB＝3x，CD＝4x，AC＝6x是解题关键．9．如图，点C为线段AB的中点，点E为线段AB上的点，点D为线段AE的中点．（1）若线段AB＝a，CE＝b，且|a﹣15|+（b﹣4.5）2＝0，求a，b的值．（2）在（1）的条件下，求线段CD的长．【分析】（1）由|a﹣15|+（b﹣4.5）2＝0，根据非负数的性质即可推出a、b的值；（2）根据（1）所推出的结论，即可推出AB和CE的长度，根据图形即可推出AC＝7.5，然后由AE＝AC+CE，即可推出AE的长度，由D为AE的中点，即可推出DE的长度，再根据线段的和差关系可求出CD的长度．【解答】解：（1）∵|a﹣15|+（b﹣4.5）2＝0，∴|a﹣15|＝0，（b﹣4.5）2＝0，∵a、b均为非负数，∴a＝15，b＝4.5，（2）∵点C为线段AB的中点，AB＝15，CE＝4.5，∴AC＝AB＝7.5，∴AE＝AC+CE＝12，∵点D为线段AE的中点，∴DE＝AE＝6，∴CD＝DE﹣CE＝6﹣4.5＝1.5．【点评】本题主要考查线段中点的性质，关键在于正确的进行计算，熟练运用数形结合的思想推出相关线段之间的数量关系．10．如图，∠AOC：∠BOC＝1：4，OD平分∠AOB，且∠COD＝36°，求∠AOB度数．【分析】根据题意可以用∠AOB表示出∠AOC和∠AOD，然后根据∠COD＝36°，即可求得∠AOB的度数．【解答】解：∵∠AOC：∠BOC＝1：4，OD平分∠AOB，且∠COD＝36°，∴∠AOC＝，∠AOD＝，∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝，∴，解得，∠AOB＝120°，即∠AOB的度数是120°．【点评】本题考查角平分线的定义，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．11．如图，点C是线段AB上一点，点M，N，P分别是线段AC，BC，AB的中点．（1）若AB＝12cm，则MN的长度是6cm ；（2）若AC＝3cm，CP＝1cm，求线段PN的长度．【分析】（1）利用线段中点的定义得到MC＝AC，CN＝BC，则MN＝MC+CN＝AB＝6cm；（2）由已知条件可以求得AP＝AC+CP＝4cm，因为P是AB的中点，所以AB＝2AP＝8cm，BC＝AB﹣AC＝5cm，根据N为BC的中点，可求得CN＝BC＝2.5cm，所以PN＝CN﹣CP＝1.5cm．【解答】解：（1）∵M、N分别是AC、BC的中点，∴MC＝AC，CN＝BC，∴MN＝MC+CN＝AC+BC＝（AC+BC）＝AB＝6cm．故答案为6cm；（2）∵AC＝3cm，CP＝1cm，∴AP＝AC+CP＝4cm，∵P是线段AB的中点，∴AB＝2AP＝8cm．∴CB＝AB﹣AC＝5cm，∵N是线段CB的中点，CN＝CB＝2.5cm，∴PN＝CN﹣CP＝1.5cm．【点评】本题主要考查两点间的距离，线段的计算，正确理解线段中点的定义是解题的关键．12．如图，点O为直线AB上一点，∠AOC＝110°，OM平分∠AOC，∠MON＝90°（1）求∠BOM的度数；（2）ON是∠BOC的角平分线吗？请说明理由．【分析】（1）根据角的平分线的定义求得∠AOM的度数，然后根据邻补角的定义求得∠BOM的度数；（2）首先根据∠MON＝90°，∠AOB＝180°，得出∠MOC+∠CON＝90°，∠AOM+∠BON＝90°，又∠AOM＝∠MOC，根据等角的余角相等即可得到ON是∠BOC的角平分线．【解答】解：（1）∵OM平分∠AOC，∴∠AOM＝∠AOC＝55°，∴∠BOM＝∠AOB﹣∠AOM＝180°﹣55°＝125°；（2）ON是∠BOC的角平分线．理由如下：∵∠MON＝90°，∠AOB＝180°，∴∠MOC+∠CON＝90°，∠AOM+∠BON＝90°，又由（1）可知∠AOM＝∠MOC，∴∠CON＝∠BON，即ON是∠BOC的角平分线．【点评】本题考查了角度的计算，理解角平分线的定义以及互余的定义是解题的关键．13．如图，O为直线AB上一点，∠AOC＝50°，OD平分∠AOC．（1）填空：∠BOD＝155 度；（2）当∠DOE＝90°，请说明OE平分∠BOC．【分析】（1）根据∠BOD＝∠DOC+∠BOC，首先利用角平分线的定义和邻补角的定义求得∠DOC和∠BOC即可；（2）根据∠COE＝∠DOE﹣∠DOC和∠BOE＝∠BOD﹣∠DOE分别求得∠COE与∠BOE的度数即可说明．【解答】解：（1）∵∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，∴∠DOC＝∠AOC＝25°，∠BOC＝180°﹣∠AOC＝130°，∴∠BOD＝∠DOC+∠BOC＝155°；（2）∵∠DOE＝90°，∠DOC＝25°，∴∠COE＝∠DOE﹣∠DOC＝90°﹣25°＝65°．又∵∠BOE＝∠BOD﹣∠DOE＝155°﹣90°＝65°，∴∠COE＝∠BOE，∴OE平分∠BOC．故答案为：155．【点评】本题主要考查了角的度数的计算，正确理解角平分线的定义，以及邻补角的定义是解题的关键．14．如图，直线EF与MN相交于点O，∠MOE＝30°，将一直角三角尺的直角顶点与O重合，直角边OA与MN重合，OB在∠NOE内部．操作：将三角尺绕点O以每秒3°的速度沿顺指针方向旋转一周，设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，直角边OB恰好平分∠NOE？此时OA是否平分∠MOE？请说明理由；（2）若在三角尺转动的同时，直线EF也绕点O以每秒9°的速度顺时针方向旋转一周，当一方先完成旋转一周时，另一方同时停止转动．①当t为何值时，EF平分∠AOB？②EF能否平分∠NOB？若能请直接写出t的值；若不能，请说明理由．【分析】（1）根据：角度＝速度×时间进行计算，由等量关系：直角边OB恰好平分∠NOE，列出方程求解即可．（2）①由于OE的旋转速度快，需要考虑2种情形列方程解决．②通过计算分析OE，OB的位置，需要考虑2种情形列方程解决．【解答】解：（1）∵当直角边OB恰好平分∠NOE时，∠NOB＝∠NOE＝（180°﹣30°）＝75°，∴90°﹣3°t＝75°，解得：t＝5．此时∠MOA＝3°×5＝15°＝∠MOE，∴此时OA平分∠MOE．（2）①OE平分∠AOB，依题意有30°+9°t﹣3°t＝90°÷2，解得t＝2.5；OF平分∠AOB，依题意有30°+9°t﹣3°t＝180°+90°÷2，解得t＝32.5．故当t为2.5s或32.5s时，EF平分∠AOB②OB在MN上面，依题意有180°﹣30°﹣9°t＝（90°﹣3°t）÷2，解得t＝14；OB在MN下面，依题意有9t﹣（360°﹣30°）＝（3°t﹣90°）÷2，解得t＝38．故EF能平分∠NOB，t的值为14或38s．【点评】本题目考查了角平分线的定义，旋转的速度，角度，时间的关系，应用方程的思想是解决问题的关键，还需要通过计算进行初步估计位置，掌握分类思想，注意不能漏解．15．如图，每个小正方形的边长均为1个长度单位的网格中，有一个△ABC，三角形的三个顶点均在网格的顶点上．（1）在图中画线段CD，使CD＝CB，点D在网格的格点上，并能组成四边形ABCD．（2）连接AD，请求出四边形ABCD的面积．【分析】（1）把CB绕点C顺时针旋转90度可得到CD；（2）利用一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积去计算四边形ABCD的面积．【解答】解：（1）如图，线段CD和四边形ABCD为所作；（2）四边形ABCD的面积＝7×4﹣×3×4﹣×3×4﹣×2×1＝15．【点评】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．16．已知∠AOB内部有三条射线，其中OE平分∠BOC，OF平分∠AOC．（1）如图1，若∠AOB＝90°，∠AOC＝30°，求EOF的度数；（2）如图2，若∠AOB＝α，求∠EOF的度数（用含α的式子表示）；（3）若将题中的“OE平分∠BOC，OF平分∠AOC”的条件改为“∠EOB＝∠BOC，∠COF＝∠AOC”，且∠AOB＝α，求∠EOF的度数（用含α的式子表示）【分析】（1）首先求得∠BOC的度数，然后根据角的平分线的定义和角的和差可得∠EOF＝∠EOC+∠COF即可求解；（2）根据角的平分线的定义和角的和差可得∠EOF＝∠EOC+∠COF＝∠BOC+∠AOC＝（∠BOC+∠AOC），即可求解；（3）根据角的等分线的定义可得∠EOF＝∠EOC+∠COF＝∠BOC+∠AOC＝（∠BOC+∠AOC）＝∠AOB，即可求解．【解答】解：（1）∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝90°﹣30°＝60°，∵OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，∴∠EOC＝∠BOC＝×60°＝30°，∠COF＝∠AOC＝×30°＝15°，∴∠EOF＝∠EOC+∠COF＝30°+15°＝45°；（2）∵OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，∴∠EOC＝∠BOC，∠COF＝∠AOC，∴∠EOF＝∠EOC+∠COF＝∠BOC+∠AOC＝（∠BOC+∠AOC）＝∠AOB＝a；（3）∵∠EOB＝∠BOC，∴∠EOC＝∠BOC，又∵∠COF＝∠AOC，∴∠EOF＝∠EOC+∠COF＝∠BOC+∠AOC＝（∠BOC+∠AOC）＝∠AOB＝a．【点评】本题考查了角度的计算，理解角的平分线的定义以及角度的和、差之间的关系是关键．17．阅读解答过程，回答问题：如图，OC在∠AOB内，∠AOB和∠COD都是直角，且∠BOC＝30°，求∠AOD的度数．解：过O作射线OM，使点M，O，A在同一直线上，因为∠MOD+∠BOD＝90°，∠BOC+∠BOD＝90°，所以∠BOC＝∠MOD，所以∠AOD＝180°﹣∠MOD＝180°﹣∠BOC＝180°﹣30°＝150°．（1）如果∠BOC＝60°，那么∠AOD等于多少度？如果∠BOC＝n°，那么∠AOD等于多少度？（2）如果∠AOB＝∠DOC＝x°，∠AOD＝y°，求∠BOC的度数．【分析】（1）利用角的和与差，即可解答；（2）利用角的和与差，即可解答．【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，∠BOC＝60°．∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝30°．∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝30°+90°＝120°．若∠BOC＝n°，则∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝（90﹣n）°．∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝（90﹣n）°+90°＝（180﹣n）°．（2）∵∠AOB＝x°，∠AOD＝y°．∴∠BOD＝∠AOD﹣∠AOB＝（y﹣x）°．∴∠BOC＝∠DOC﹣∠BOD＝x°﹣（y﹣x）°＝（2x﹣y）°．【点评】本题考查了角的计算，解决本题的关键是利用角的和与差进行计算，即可解答．18．如图，B是线段AD上一动点，沿A→D以2cm/s的速度运动，C是线段BD的中点，AD＝10cm，设点B 运动时间为t秒．（1）当t＝2时，①AB＝ 4 cm．②求线段CD的长度．（2）在运动过程中，若AB的中点为E，则EC的长是否变化？若不变，求出EC的长；若发生变化，请说明理由．【分析】（1）①根据AB＝2t即可得出结论；②先求出BD的长，再根据C是线段BD的中点即可得出CD的长；（2）直接根据中点公式即可得出结论．【解答】解：（1）①∵B是线段AD上一动点，沿A→D以2cm/s的速度运动，∴当t＝2时，AB＝2×2＝4cm．故答案为：4；②∵AD＝10cm，AB＝4cm，∴BD＝10﹣4＝6cm，∵C是线段BD的中点，∴CD＝BD＝×6＝3cm；（2）不变；∵AB中点为E，C是线段BD的中点，∴EB＝AB，BC＝BD，∴EC＝EB+BC＝（AB+BD）＝AD＝×10＝5cm．【点评】本题考查了两点间的距离，根据已知得出各线段之间的等量关系是解题关键．19．如图，点C在线段AB上，AC＝8 cm，CB＝6 cm，点M、N分别是AC、BC的中点．（1）求线段MN的长；（2）若C为线段AB上任一点，满足AC+CB＝a cm，其它条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说明理由；（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC＝bcm，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由；（4）你能用一句简洁的话，描述你发现的结论吗？【分析】（1）根据M、N分别是AC、BC的中点，我们可得出MC、NC分别是AC、BC的一半，那么MC、CN的和就应该是AC、BC和的一半，也就是说MN是AB的一半，有了AC、CB的值，那么就有了AB的值，也就能求出MN的值了；（2）方法同（1）只不过AC、BC的值换成了AC+CB＝a cm，其他步骤是一样的；（3）当C在线段AB的延长线上时，根据M、N分别是AC、BC的中点，我们可得出MC、NC分别是AC、BC的一半．于是，MC、NC的差就应该是AC、BC的差的一半，也就是说MN是AC﹣BC即AB的一半．有AC﹣BC 的值，MN也就能求出来了；（4）综合上面我们可发现，无论C在线段AB的什么位置（包括延长线），无论AC、BC的值是多少，MN都恒等于AB的一半．【解答】解：（1）∵M、N分别是AC、BC的中点，∴MC＝AC，CN＝BC，∵MN＝MC+CN，AB＝AC+BC，∴MN＝AB＝7cm；（2）MN＝，∵M、N分别是AC、BC的中点，∴MC＝AC，CN＝BC，又∵MN＝MC+CN，AB＝AC+BC，∴MN＝（AC+BC）＝；（3）∵M、N分别是AC、BC的中点，∴MC＝AC，NC＝BC，又∵AB＝AC﹣BC，NM＝MC﹣NC，∴MN＝（AC﹣BC）＝；（4）如图，只要满足点C在线段AB所在直线上，点M、N分别是AC、BC的中点．那么MN就等于AB的一半．【点评】利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键。