理论力学第十二章 动能定理

结论：在理想约束下，且内力作功之和等于零，则质点 系动能的改变仅与主动力作功有关。
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第十二章 动能定理
[例12-4] 卷扬机
已 知 鼓 轮 ： 常 力 偶 M ， R1 ， m1( 分布于轮缘)；圆柱：R2，m2(均 匀分布)，作纯滚动。设斜面倾
角为 ，系统从静止开始运动。
P
求圆柱中心C经过路程s时的速度。 解：（1）取鼓轮和圆柱体组成的整个系统作为研究对象
(Fx
d
x

Fy
d
y

Fz d z（) 直角坐标形式）
——解析表达式 4
第十二章 动能定理
三、几种常见力作的功
1. 重力的功 质点
质点重力作功为
W12
M2 M1
(Fx
d
x

Fy
d
y

Fz
d
z)
z2 mg d z z1
Fx 0, Fy 0, Fz mg
mg(z1 z2 )
W12 mg(zC1 zC2 )
可见：质点系重力作功也与质心运动轨迹的形状无关。
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第十二章 动能定理
2. 弹性力的功 设质点受到弹性力作用，轨迹
如图所示。在弹性极限内，有
FF kk(rk(rl0)le0r)
W12

k 2
(ห้องสมุดไป่ตู้12


2 2
)
式中 1,2 分别为质点在起点及终点处弹簧的变形量。
（3）分析运动，计算质点系在起点和终点的动能； （4）应用质点系动能定理建立方程，求解未知量。
28
第十二章 动能定理
29
第十二章 动能定理
30
第十二章 动能定理
W12
C2 C1
FR
d rC

2 1
MC
d
可见：平面运动刚体上力系的功就等于力系向质心简化
所得的力和力偶作功之和。
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第十二章 动能定理
§12-2 质点和质点系的动能
一、质点的动能 1 mv2 2
• 正标量，与速度方向无关； • 量纲与功相同，单位也是焦耳（J）； • 与动量的比较
夹角为 ，滑块A速度为vA。
求：系统的动能。
A
vA
解： 滑块A作直线平移，有
TA

1 2
m1vA2
杆AB作平面运动，以A
为基点，则B点速度为
vB vA vBA vBA l l

l
vBA
B vA
vBx vA vBA cos
vA l cos
16
第十二章 动能定理
1 4
(2m1

3m2
)vC2
0
M
s R1
m2g sin s
解得
vC 2
(M m2gR1 sin )s
R1(2m1 3m2 )
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第十二章 动能定理
应用动能定理的解题步骤： （1）选取研究对象；（ 一般取整个系统） （2）分析受力，计算力的功；
区分主动力与约束力 在理想约束情况下约束力不做功 考虑内力作功和是否为零
W (P) mg(zC1 zC2 )
309.81.2 352.8(J)
W (F)

k 2
(12
22 )
1 3000 [02 (2.4 1.2 2)2] 741.2(J)
2
8
第十二章 动能定理
3. 定轴转动刚体上作用力的功
力F 的元功为
δW F d r Ft d s Ft R d
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第十二章 动能定理
δWi Fi d rC MC (Fi ) d
力系元功：δW δWi Fi d rC MC (Fi ) d
d riC
Fi
d
Mi
d rC C
FR d rC MC d
作用于刚体上力系作功为
FR —力系主矢 M C—力系对质心主矩
可见：重力作功仅与质点运动开始和终了位置的高度差
有关，而与运动轨迹的形状无关。
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第十二章 动能定理
质点系 设质点i的质量为mi，运动始末的高度差为(zi1-zi2)，
则所有质点重力做功之和为
W12 mi g(zi1 zi2 ) 由质心坐标公式，有 mzC mi zi
可得质点系重力作功为
同： 均是机械运动强弱程度的一种度量； 异： 动能与质点速度平方成正比，为标量；
动量与质点速度一次方成正比，为矢量。
12
第十二章 动能定理
二、质点系的动能
——质点系内各质点动能的算术和。
？ T
12mi vi 2

1 2
mvC2
T

1 2
mvC 2

12mivir2 ——柯尼希定理
即：质点系的动能（绝对运动动能），等于系统随质心

1 2
m2l
22
系统的动能：T＝ 1 2
(m1

m2 )vA2

m2lvAcos

1 2
m2l 22
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第十二章 动能定理
[思考] 质量为m的均质细圆环半径为R，其上固结一个 质量也为m的质点 A。细圆环在水平面上作纯滚动，图
示瞬时角速度为，则系统的动能为（ ）。
① T 1 mR2 2
rB
FA (drA drB )
O
x
y
FA d(rA rB )
FA drBA FA drAB 21
第十二章 动能定理
δW FA drAB
(1) drAB 0
δW 0
即当两点之间距离改变时，内力作功之和不等于零。
例如： 汽车发动机的内力；
机器中轴和轴承之间的摩擦力。
元功：δW F cos d s Ft d s
F dr
Fx d x Fy d y Fz d z
变力的功：（在曲线路程M1M2上）
W
δW
s2 F cos d s
s1
s2 s1
Ft
d
s（自然形式）
M2 F d r （矢量形式） M1

M2 M1
2
第十二章 动能定理
§12-1 力的功 W
——力沿运动路程累积效应的度量
一、常力的功
F
W FS cos
M1 M
M2
F S
S
• 代数量
2 2 2
W 0 正功 W 0 W 0 负功
• 单位：焦耳（J） 1J 1N1m 3
第十二章 动能定理
二、变力的功
Ft R M z (F ) M z
δW Mz d
当刚体从
1到
的转动过程
2
中力F 所作的功为
W12
2 1
M
z
d
上式也适用于力偶，其中
M
z
为力偶矩矢在z轴上的投影。 9
第十二章 动能定理
4. 平面运动刚体上力系的功 刚体上任一力Fi作用点Mi
的无限小位移为
d ri d rC d riC 式中： d riC MiC d
Wi
对i 求和：
d(
1 2
mi
vi
2
)

δWi
d(
1 2
mi
vi
2
)

δWi
dT δWi ——质点系动能定理的微分形式
即：质点系动能的增量，等于作用于质点系的全部力所 作元功的和。
T2 T1 Wi ——质点系动能定理的积分形式
即：质点系在某一段运动过程中，始末两点动能的改变 量，等于作用于质点系全部力在这段过程中所作功的和。
20
第十二章 动能定理
讨论：
dT δWi T2 T1 Wi
1. 计算作功时，不仅要考虑质点系的外力，还要考虑 质点系的内力，因有些情况下内力作功和不等于零。
z
A
d rA
内力FA 和FB 所作元功之和：
FA
d rB
δW FA drA FB drB
rA
FB
B
FA drA (FA) drB
(2) drAB 0
δW 0
即当两点之间距离保持不变时，内力作功之和等于零。
例如： 刚体内力；
不可伸长的绳索等。
22
第十二章 动能定理
2. 关于理想约束 ——约束力作功或作功之和等于零的约束。
常见的理想约束有： 光滑固定面和滚动支座
约束力垂直于力作用点的位移，约束力不做功。
光滑铰链支座、向心轴承及固定端 因约束力作用点位移恒等
于零，故约束力不做功。 刚性二力杆 与刚体内力一样，作功之
和恒等于零。 23
第十二章 动能定理
联结两个刚体的光滑铰链 两个刚体相互间的约束力
大小相等、方向相反，它们在 铰链中心 O点的微小位移 dr上 作功之和等于零。
物体沿固定面作纯滚动 此时，滑动摩擦力不作功。但一般情况下，滑动摩
擦力与物体相对位移方向相反，作负功，非理想约束。
第十二章 动能定理
理 论 力 学(I)
第三部分 动 力 学
第十二章 动能定理
2019年9月16日
1
具体内容：
第十二章 动能定理
§12-1 力的功 §12-2 质点和质点系的动能 §12-3 动能定理 §12-4 功率 ·功率方程 ·机械效率 §12-5 势力场 ·势能 ·机械能守恒定律 §12-6 普遍定理的综合应用举例
dt
2
m d v2 d( 1 mv2 )
2
2
d( 1 mv2 ) δW ——质点动能定理的微分形式
2
（某一瞬时）
1 2
mv22

1 2
mv12

W12
——质点动能定理的积分形式 （某一运动过程） 19
第十二章 动能定理
二、质点系的动能定理
对质点系中任一质点i：
d(
1 2
mi
vi
2
)

δ
力Fi 作的元功为
d riC Fi
d Mi
d rC C
d rC —质心无限小位移
d —刚体无限小转角
δWi Fi d ri Fi d rC Fi d riC
其中： Fi d riC Fi cos d riC Fi cos MiC d
MC (Fi ) d
（2）受力分析，并计算力的功
主动力： M , m1g, m2g
约束力： FOx , FOy , FN , Fs
均为理想约束，且内力作功之和为零。 25
第十二章 动能定理
主动力的功为
s
W12 M R1 m2g sin s
（3）运动分析，并计算动能
T1 0
P
T2

1 2
J1O12
2
② T 3 mR2 2
2
③ T mR22
√④ T 2mR22
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第十二章 动能定理
§12-3 动能定理
一、质点的动能定理
由质点的运动微分方程
mdv F dt
两边点乘 d r，得
m d v d r Fd r dt
m d v d r md v v m d(v v)

1 2
J
2
P
2 2
其中：J1O m1R12
J2P

J2C
m2R22

1 2
m2
R22
m2R22

3 2
m2
R22
设圆柱中心C的速度为vC，则由运动学关系有 26
第十二章 动能定理
1

vC R1
,
2

vC R2

T2

1 4
(2m1

3m2 )vC2
（4）应用质点系动能定理
P
T2 T1 W12
TA

1 2
m1vA2
vBx vA l cos
vBy vBA sin l sin
A
vA

l
vBA
TB

1 2
m2vB 2

1 2
m2 (vBx2

vBy2 )
B vA

1 2
m2
(vA

lcos
)2

(lsin
)2

1 2
m2v
2 A

m2lv Acos
平移的动能（牵连运动动能）与相对于质心平移坐标系
运动的动能（相对运动动能）之和。
注意：这一结论只有以质心为基点时是正确的，而对于
其它点为基点的情形，上述结论一般是不正确的。
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第十二章 动能定理
三、刚体的动能
1. 平移刚体
T
1 2
mivi2

1 2
mvC2
2. 定轴转动刚体
T
1 2
位置时杆的角速度为0 ，求系统的总动能。
解： 杆OA作定轴转动，故有
T杆

1 2
(1 3
m1l 2 )02
由盘相对于质心的动量矩
定理，可知盘作平移，故有
O
0
A ?
A A
T盘

1 2
m2vA2

1 2
m2 (0l)2
T系统 T杆 T盘
15
第十二章 动能定理
[例12-3] 已知滑块A的质量为 m1，质点B的质量为m2 ， 杆AB长度为 l ，质量不计，可绕A点转动，且与铅垂线
mivi2

1 2
mi (ri )2

1 2
J z 2
3. 平面运动刚体
T

1 2
mvC
2

1 2
JC 2

1 2
J P 2
14
第十二章 动能定理
[例12-2] 质量为m1的均质细杆OA绕水平轴O转动，其 另一端有一均质圆盘，可绕A轴转动。已知：OA= l，圆
盘质量为m2 ，半径为 R。初始时两者静止，下落至图示
可见：弹性力作功仅与弹簧在起始和终了位置的变形量
有关，而与质点的轨迹形状无关。
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第十二章 动能定理
[例12-1] 如图所示，均质杆OA质量为30kg，杆在铅垂 位置时弹簧处于自然状态，弹簧刚度系数 k = 3kN/m。 当杆由铅直位置OA转到水平位置OA'时，重力和弹性力 分别作功多少？
解：研究杆OA