理论力学第十二章 动能定理
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理论力学 第十二章 动能定理
2009年12月8日第十二章动能定理具体内容：6 普遍定理的综合应用举例一、常力的功••运动路程SF ⋅W2π正功2π负功2πFM 1M 2M Sθ二、变力的功元功：WδrF d⋅变力的功：∫=WWδM M上）⋅d rF （自然形式）（矢量形式）（直角坐标形式）解析表达式三、几种常见力作的功mgF F F z y x −===,0,0质点重力作功可见：开始终了高度差与运动轨迹的形状无关i (z i 1-z i 2)由质心坐标公式，有)(2112C C z z mg W−=∑质点系重力作功可见：与质心运动轨迹的形状无关弹性力δk F =)(0l r k −=弹性极限)(2222112δδ−=k W 21,δδ可见：起始终了变形量与质点的轨迹形状无关r0)(e l r k −−=[例12-1]解：)(21)(C C P z z mg W−=)(22221)(δδ−=k W F 23. 定轴转动刚体上作用力的功元功F 力F 所作的功1ϕ2ϕ∫=21d 12ϕϕϕz M W 力偶z M r F d ⋅4. 平面运动刚体上力系的功无限小位移=i r d C r d iCr d +iF iM CCr d ϕd iC r d θϕd d ⋅=C M r i iC C r d ϕd 元功r F d ⋅r F d ⋅r F d ⋅=⋅iC i r F d θcos ⋅C M F i i ϕd )(⋅=i C F MiF iM CCr d ϕd iCr d r F d ⋅F 力系元功⋅r F d F r F d ⋅′力系作功∫∫+⋅′=2121d d R 12ϕϕϕC C C C M r F W R F ′主矢C M 质心主矩可见：力系向质心简化所得的力和力偶作功之和一、质点的动能221mv •••动量异：同：平方标量一次方矢量二、质点系的动能T质点系内各质点动能的算术和。
m柯尼希定理Cmmv∑+即：质心平移坐标系注意：以质心为基点？三、刚体的动能平移221Cmv =定轴转动221ωz J =平面运动221C mv 221ωC J +221ωP J =[例12-2]质心平移解：(定轴转动盘杆系统T T T +=AωOA?=A ωBl v AAθ平移平面运动解：v v v +=BAv Av [例12-3]系统的动能：221cos )(θθ&lv m v m m A A +++22cos θθ&lv m v m A A ++Bl v AAθBAv Av[思考]√一、质点的动能定理d F v =v d F r d ⋅r d ⋅r d =⋅r tvm d d d v v m ⋅d )d(2v v m ⋅=2d 2v m =)21d(2mv =)21d(2mv Wδ=微分形式21222121mv mv −12W =积分形式（某一瞬时）（某一运动过程）二、质点系的动能定理i ∑=iW δ质点系动能定理的微分形式∑=−iW T T 12质点系动能定理的积分形式i d(T d 即：即：∑=i W T δd ∑=−iW T T 12讨论：质点系的内力，因有些情况下内力作功和不等于零。
理论力学第12章动能定理
合力之功定理
合力所作的元功等于各分力的元功的代数和；合力在质点
任一段路程中所作的功，等于各分力在同一路段中所作的功的 代数和。
W
M2 M1
FR
dr
M2 M1
Fi
dr
Wi
5
四、几种常见力的功
1、重力的功
Fx Fy 0
W12
z2 z1
mgdz
mg(z1
z2 )
Fz mg
W 12 mgh
即: dT Wi 质点系动能定理的微分形式
T2 T1
W 12
质点系动能定理的积分形式
质点系动能的改变量，等于作用于质点系上的所有力在同一运 动过程中所作的功的代数和。——质点系积分形式动能定理
16
关于功的讨论
1．质点系内力的功
W
F drA F'drB
F drA F drB
vi vC vir
于是有：
T
1 2
mvC2
12mivi2r
质点系的动能等于质点系随同质心C的平动的动能与质点系相对于 质心C运动的动能之和。——柯尼希定理。
13
三．刚体的动能
1．平动刚体
T
1 2
mi
vi
2
1M 2
vC 2
2．定轴转动刚体
T
1 2
mi vi 2
1 2
(
miri2 ) 2
V k 2 δ 为质点在位置M时的弹簧的变形量。
2
三. 机械能守恒定律
T1 V1 T2 V2 机械能守恒.T+V称为机械能
质点系在仅有势力作用下运动时，其机械能保持不变。
质点系在非有势力作用下运动，机械能不守恒。在质点系的 运动过程中，机械能和其他形式的能量之和仍保持不变，这 就是能量守恒定律。
理论力学12—动能定理
2
ω ϕ
vB B
vB = O1 B ⋅ ω AB = 2a sin ϕ ⋅ ω = 3aω
1 3ma ω 2 TB = mB vB = 2 2
2 2
O
对于曲柄OC：
I O = mOC a 2 = ma 2
1 3
vA A O1
TOC = I Oω 2 = ma 2ω 2
1 2 1 6
规尺作平面运动，用绕速度瞬心转动的公 式求动能：
因此F在整个过程中所作的功为
1 1 2 2 2 2 WF = k (δ1 − δ 2 ) = 0.5(5 − 25 ) = −150 N⋅ cm 2 2
因此所有力的功为
W = WT + WF = 200 − 150 = 50 N⋅ cm
12.2 质点和质点系的动能
1. 质点的动能 设质点的质量为m，速度为v，则质点的动能为
1 2 2 W12 = k (δ 1 − δ 2 ) 2
弹性力作的功只与弹簧在初始和末了位置的变形量有 关，与力的作用点A的轨迹形状无关。
常见力的功
3) 定轴转动刚体上作用力的功
设作用在定轴转动刚体上A点的力为F, 将该力分解为Ft、Fn和Fb， 当刚体转动时，转角ϕ与弧长s的关系为
z F
Ft = F cos θ
第12章 动能定理
• • • • •
力的功 质点和质点系的动能 动能定理 普遍定理的综合应用举例 功率·功率方程·机械效率
引言
前两章是以动量和冲量为基础，建立了质点或质 点系运动量的变化与外力及外力作用时间之间的关系。 本章以功和动能为基础，建立质点或质点系动能的改 变和力的功之间的关系，即动能定理。不同于动量定 理和动量矩定理，动能定理是从能量的角度来分析质 点和质点系的动力学问题，有时是更为方便和有效的。 同时，它还可以建立机械运动与其它形式运动之间的 联系。 在介绍动能定理之前，先介绍有关的物理量：功 与动能。
ω ϕ
vB B
vB = O1 B ⋅ ω AB = 2a sin ϕ ⋅ ω = 3aω
1 3ma ω 2 TB = mB vB = 2 2
2 2
O
对于曲柄OC：
I O = mOC a 2 = ma 2
1 3
vA A O1
TOC = I Oω 2 = ma 2ω 2
1 2 1 6
规尺作平面运动，用绕速度瞬心转动的公 式求动能：
因此F在整个过程中所作的功为
1 1 2 2 2 2 WF = k (δ1 − δ 2 ) = 0.5(5 − 25 ) = −150 N⋅ cm 2 2
因此所有力的功为
W = WT + WF = 200 − 150 = 50 N⋅ cm
12.2 质点和质点系的动能
1. 质点的动能 设质点的质量为m，速度为v，则质点的动能为
1 2 2 W12 = k (δ 1 − δ 2 ) 2
弹性力作的功只与弹簧在初始和末了位置的变形量有 关，与力的作用点A的轨迹形状无关。
常见力的功
3) 定轴转动刚体上作用力的功
设作用在定轴转动刚体上A点的力为F, 将该力分解为Ft、Fn和Fb， 当刚体转动时，转角ϕ与弧长s的关系为
z F
Ft = F cos θ
第12章 动能定理
• • • • •
力的功 质点和质点系的动能 动能定理 普遍定理的综合应用举例 功率·功率方程·机械效率
引言
前两章是以动量和冲量为基础，建立了质点或质 点系运动量的变化与外力及外力作用时间之间的关系。 本章以功和动能为基础，建立质点或质点系动能的改 变和力的功之间的关系，即动能定理。不同于动量定 理和动量矩定理，动能定理是从能量的角度来分析质 点和质点系的动力学问题，有时是更为方便和有效的。 同时，它还可以建立机械运动与其它形式运动之间的 联系。 在介绍动能定理之前，先介绍有关的物理量：功 与动能。
理论力学--第十二章 动能定理
由
M z Ft R
W M z d
从角 1 转动到角 2 过程中力
F 的功为
W12 M z d
1
2
若
Mz
常量
则 W12
M z ( 2 1 )
4. 平面运动刚体上力系的功 力系全部力的元功之和为
W Wi
当质心由 C1 ~ C2 ,转角由 1
2、弹性力的功 弹簧刚度系数k(N/m)
弹性力
F k (r l0 )er
A2
弹性力的功为
W12
A1
A2
F dr
k (r l0 )er dr
A1
因
1 r 1 er dr dr d(r r ) d(r 2 ) dr r 2r 2r
例3 均质细杆长为l，质量为m，上端B靠在光滑的墙上， 下端A用铰与质量为M半径为R且放在粗糙地面上的圆 柱中心相连，在图示位置圆柱作纯滚动，中心速度为 v，
杆与水平线的夹角=45o，求该瞬时系统的动能。
B C
v
A
T总 TA TAB
3 TA Mv 2 4
I为AB杆的瞬心
P
B
C
v PA
S
W=0
N
dW F1 dr1 F dr2
' 2
F1 φ 1 dr1 dr2
F2
F1( dr1cos1 dr2cos2 )
0
约束力做功之和等于零。
φ2
(3)光滑铰链支座
(4)固定端约束
}
约束力不作功
F
dr
F’
(5)光滑铰链(中间铰链)
12理论力学动能定理2
mg
T1 TA TB TC TD
7 M 10m 2 v0 4
A速度增大一倍时的动能为
2 T2 (7M 10m)v0
7 M 10 m 2 T1 v0 4
mg
FS FN
由 T2 T1 W12 得
3 2 (7 M 10m)v0 M (1 2 f )m hg 4 2 Mg 3v0 (7M 10m) h 解得 4 g M (1 2 f )m FT D
初始时刻： T1 0
mg
O
F
mg
A
vA
OA运动到水平位置时：
1 1 2 1 2 2 T2 J 0 m v J AB F ox 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2 m1vB J B B ml 2 2 3
m1 g
B
vB
FS FN
A B
vB
F oy
运动学关系： AB杆的速度瞬心为 B点
vA B 4r
vA A r
1 1 2 2 J A mr J B m(4r ) 2 2
2 T2 2mvA
mg
mg
mg Fs2
T2 T1 W 12
Fs1
2mv Fs
2 A
N1
外力功：
N2
Fs vA 2m
W
12
Fs
v A 1 Fs A r r 2m
A mg
FCy B
C
FCx Mg
例： 在对称连杆的A点，作用一铅垂方向的常 力 F，开始时系统静止，如图。求连杆 OA运动 到水平位置时的角速度。设连杆长均为 l，质量 均为m，均质圆盘质量为m1，且作纯滚动。
理论力学课件 动能定理
mv 2
T 1 9M 4mv2
12
23
例题：已知行星齿轮半径为 r ，质量为 m1，可看作均质圆盘； 曲柄 OA 的质量为 m2 ，可看作均质杆；中心齿轮节圆半径 为 R 。若曲柄以匀角速度 转动，试求此机构的动能。
R O
Ar
24
R O
Ar
解：机构由 中心齿轮，行星齿轮，曲柄 组成。
O
A I
TOA
1 2
1 3
M
R
r 2
1 6
M R
r 2
TA
1 2
mvA2
1 2
1 2
m
r 2
1 mR r2
2
1 mR r
4
3 mR r2
4
T 1 2M 9mR r 2
12 18
例题：图示椭圆规尺 AB 的质量 为 2m1 ,曲柄 OC 的质量为 m1 , 而滑块 A 和 B 的质量均为 m2 。 已知 OC = AC = CB = l , 曲柄和尺 的质心分别在其中点上 , 曲柄绕O 轴 转动的角速度 为常量 . 求图示 瞬时系统的动能。
38
阅读材料和作业
1.阅读材料: (1)P286----P292;
P301----P304.
2.作业: (1)12---2; 12---4
3.预习内容 (1)P292---P298 ; P304---P306
39
例题. 物体A和B质量分别为M =14Kg和m = 6Kg,刚 性系数为k=100N/m的弹簧与物体连接如图,=30o; l=(8/9)m物体B由静止下滑 不计摩擦. 求两物体发生 完全非弹性碰撞后下滑的最大距离s.
理论力学第十二章 动能定理
解:
2υC ω= = CP l cosθ
υC
T = 0, 1
成 θ 角时
1 1 1 1 2 2 2 T2 = mυC + JCω = m1+ υC 2 2 2 2 3cos θ
1 1 2 l mg (1− sin θ ) = m1+ υ 2 C 2 2 3cos θ
压力角为
20o
M − mraA 1 F 1 x = 0.364 O r M − mraA 1 F 1y = m g − O 1 r
′ = tan 20o ⋅ P′ = 0.364P′ P n t t
F 1 x + P′ = 0 O n
F 1 y + P′− m g = 0 O t 1
研究物块A 研究物块
解:
1 1 3 2 2 2 T = m C + JCω = m C υ υ 2 2 4
重力的功率
ds r r ds r r r ds r P = mg ⋅υ = mg ⋅ τ = m g ⋅τ = m ( −g sinθ ) dt dt dt ds = −mg sinθ dt
例5 已知： 为弹簧原长， 为常力偶 为常力偶. 已知：m，R， k， CA=2R为弹簧原长，M为常力偶 为弹簧原长 无初速度由最低点到达最高点时， 处约束力 处约束力. 求:圆心C无初速度由最低点到达最高点时，O处约束力 圆心 无初速度由最低点到达最高点时
A
其中
利用
1 dh = rdϕ 2 dT = ∑δW dt rα1 α1 aA = ,α2 = 2 2
M
2(2M − mAgr) a A= (2mA + 4m1 + 4m2 + m3 ) r
理论力学课件 第十二章 动能定理
FRO
r1 r2 O
mg
解：取整体为研究对象，受力分析如图所示。 v1
A
v2
B
系统对O点的动量矩为
m1 g
m2 g
LO m1v1r1 m2v2r2 J0 (m1r12 m2r22 JO )
系统所受全部外力对O点的动量矩为
MO (F e ) m1gr1 m2gr2
质点系的动量矩定理为 dLO dt
WFN 0
WF F s fmgs cos 30 8.5 J
WF
1 2
k
(12
2 2
)
100 (0 0.52) 2
12.5 J
W Wi 24.5 0 8.512.5 3.5 J
12.2 质点和质点系的动能
12.2.1 质点的动能
设质量为m的质点，某瞬时的速度为v，则质点质量与其速度平方乘积的
路径无关。若质点下降，重力的功为正；若质点上升，重力的功为负。
对于质点系，重力的功等于各质点的重力功的和，即
上式也可写为
W12 mi g(zi1 zi2) W12 mg(zC1 zC2 )
2．弹力的功
设有一根刚度系数为k，自由长为l0的弹 簧, 一端固定于点O, 另一端与物体相连接，
如图所示。求物体由M1移动到M2过程中，弹 力F所做的功。
W12
M2 M1
(Fx
d
x
Fy
d
y
Fz
d
z)
12.1.3 常见力的功
1．重力的功
z M1 M
mg
设质点M的重力为mg，沿曲线由M1运动到
M2
M2，如图所示。因为重力在三个坐标轴上的
投影分别为Fx=Fy=0,Fz=-mg，故重力的功为
理论力学第十二章 动能定理
§12－1 力的功
II. 弹性力的功
一端固定的弹簧与一质点M相连接，弹簧的原始长 度为l0,在弹性变形范围内，弹簧弹性力F的大小与其 变形量δ成正比，即
F=kδ
当质点M由M运动时，弹性力的功仍按上式计算，即弹性力的功也 只决定于弹簧初始位置与终了位置的变形量，而与质点的运动轨迹无关。
由于功只有正负值， 不具有方向意义，所 以功是代数量。
§12－1 力的功
II. 变力的功
设质点M在变力F作用下作曲线运动，当质点从M1 沿曲线运动到M2时,力F所做的功的计算可处理为： (1)整个路程细分为无数个微段dS；(2)在微小路程上, 力 F 的 大 小 和 方 向 可 视 为 不 变 ； (3)dr 表 示 相 应 于 dS 的微小位移，当dS足够小时,∣dr∣=dS。根据功的 定义，力F在微小位移dr上所做的功(即元功)为
直角坐标形式为
力F在曲线路程 上所做的功等于该力在各微段的元功之和，即
§12－1 力的功
Ⅲ. 合力的功
合力在任一路程上所做的功等于各分力在同一路程上所作功的代数和。即
常见力的功
I. 重力的功
设有一重力为G的质点,自位置M1沿某曲线运动至M2 ,
上式表明,重力的功等于质点的重量与其起始位置与终了位置 的高度差的乘积,且与质点运动的轨迹形状无关.
第十二章 动能定理
主要研究内容
力的功 功率与机械效率 动能 动能定理
§12－1 力的功
功的概念
功是度量力的作用的一个物理量。它反映的是力在一段路程上对物体作用 的累积效果，其结果是引起物体能量的改变和转化。力的功包含力和路程 两个因素。
I. 常力的功
设有大小和方向都不变的力F作用在物体上，力的 作用点向右作直线运动。则此常力F在位移方向的投 影Fcosα与位移的大小S的乘积称为力F在位移S上所 做的功，用W表示，即 W=S·Fcosa 。可知，当a<90 度时，功W为正值，即力F做正功；当a>90度时，功 W为负值，即力F做负功；当a=90度时，功为零，即 力与物体的运动方向垂直，力不做功。
理论力学第12章 动能定理
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理论力学
第十二章 动能定理
4. 任意运动刚体上力系的功
无论刚体作何运动，力系的功总等于力系中所有力作功
的代数和。
对刚体而言，力系的简化和等效原理对动力学也适用。
将力系向刚体上任一点简化，一般简化为一个力和一个力
偶。由力系的等效原理，这个力和力偶所作的元功等于力
系中所有力所作元功的和，有
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第十二章 动能定理
§12-1 力的功
力的功是力沿路程累积效应的度量。路程是指 力其作用点的物体的路程。 一．常力的功
W FS cos
F S
力的功是代数量。
2
时,正功；
2
时,功为零；
2
时,负功。
单位：焦耳（Ｊ）； 1J1N1m
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第十二章 动能定理
例12-5 已知:均质圆盘R ,m ,F=常量,且很大,使O 向右运动, f ,初静止。
求:O 走过S 路程时ω， 。
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第十二章 动能定理
解: 圆盘速度瞬心为C
T1 0 v0 R
T2
1 2
mv02
1 2
mR2 (
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理论力学
解: 轮C与轮O共同作为一个质点系
第十二章 动能定理
W12 M m2gs sin T1 0
T2
1 2
(m1R12 )12
1、质点的动能
T 1 m 2
2
单位：J（焦耳），或 N m (牛顿米)
理论力学基础 动能定理
第 一 节 力 的 功
由
Mz = Ft R
W = ∫ Mzdϕ 12
ϕ2 ϕ1
得
δ w = Mzdϕ
从角 ϕ1转动到角 ϕ2过程中力
F 的功为
若
Mz = 常量
W = Mz (ϕ2 −ϕ1) 12
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理论力学
第十二章 动能定理
六、平面运动刚体上力系的功 结论1 平面运动刚体上力系的功， 结论1：平面运动刚体上力系的功，等于刚体 上所受各力作功的代数和。 上所受各力作功的代数和。
K
vA
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第十二章 动能定理
第 三 节 动 能 定 理
量和半径均为Q 量和半径均为 及r，滚子沿倾角为α 的斜面向 ， 下滚动而不滑动，借跨过滑轮B的不可伸长的绳 下滚动而不滑动，借跨过滑轮 的不可伸长的绳 索提升重P的物体 同时带动滑轮B绕 轴转动 的物体， 轴转动， 索提升重 的物体，同时带动滑轮 绕O轴转动， 求滚子质心C从静止开始下降 从静止开始下降s距离后的速度和 求滚子质心 从静止开始下降 距离后的速度和 加速度。 加速度。
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第十二章 动能定理
一、常力在直线运动中的功
W = F cosθ ⋅ s = F ⋅ s
第 一 节 力 的 功
功是代数量
焦耳） 单位 J（焦耳） 1 J = 1 N·m
二、变力在曲线运动中的功
元功: 元功
δw = F ⋅ cos θ ⋅ ds
M2 M1
平面运动刚体 W = 12 上力系的功
∫
C2
C1
′ FR ⋅ drC +∫ MCdϕ
由
Mz = Ft R
W = ∫ Mzdϕ 12
ϕ2 ϕ1
得
δ w = Mzdϕ
从角 ϕ1转动到角 ϕ2过程中力
F 的功为
若
Mz = 常量
W = Mz (ϕ2 −ϕ1) 12
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第十二章 动能定理
六、平面运动刚体上力系的功 结论1 平面运动刚体上力系的功， 结论1：平面运动刚体上力系的功，等于刚体 上所受各力作功的代数和。 上所受各力作功的代数和。
K
vA
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第十二章 动能定理
第 三 节 动 能 定 理
量和半径均为Q 量和半径均为 及r，滚子沿倾角为α 的斜面向 ， 下滚动而不滑动，借跨过滑轮B的不可伸长的绳 下滚动而不滑动，借跨过滑轮 的不可伸长的绳 索提升重P的物体 同时带动滑轮B绕 轴转动 的物体， 轴转动， 索提升重 的物体，同时带动滑轮 绕O轴转动， 求滚子质心C从静止开始下降 从静止开始下降s距离后的速度和 求滚子质心 从静止开始下降 距离后的速度和 加速度。 加速度。
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第十二章 动能定理
一、常力在直线运动中的功
W = F cosθ ⋅ s = F ⋅ s
第 一 节 力 的 功
功是代数量
焦耳） 单位 J（焦耳） 1 J = 1 N·m
二、变力在曲线运动中的功
元功: 元功
δw = F ⋅ cos θ ⋅ ds
M2 M1
平面运动刚体 W = 12 上力系的功
∫
C2
C1
′ FR ⋅ drC +∫ MCdϕ
理论力学 十二 动能定理
例12-2
均质杆OA＝l，重P，圆盘重Q，半径r，可绕A轴自 由旋转，初始时，杆垂直，系统静止，设OA杆无 初速度释放。求：杆转至水平位置时，杆的角速度、 角加速度。 解： 受力分析 运动分析：OA杆定轴 转动，圆盘平动。
Q
对系统从初始位置到 OA杆转过 的过程应用 动能定理:
Fy
Fx
应用动能定理
r W F d r k (r lO ) d r r r r r2 因为 r d r d( ) d( ) rdr 2 2
1 2 2 W k ( 1 2 ) 2
代入
W k (r lO )dr
W12
则有
r2
r1
1 k (r lO )dr k[( r1 lO ) 2 (r2 lO ) 2 ] 2
3. 定轴转动刚体上作用力的功
Fz
F
d
W F d r F ds Fτ rd
于是
F
Fr
Fi
Mi
ds
W M z d
W12
2
1
M z d
d dric
drc C
4.平面运动刚体上力系的功 取质心C为基点，当刚体有无限小位移时，任一力 Fi作用点的位移为 dr dr dr
P | 90 Q 2
1 P Q P 2Q 3g 3 g l g l P 3Q 2l
例12-3
已知：OA杆质量 m＝40kg，l＝1m，cz＝0.5m，小 车质量M＝200kg，h＝1.5m， ＝ 0 ＝60时系统静 止。力偶L＝1046Nm 求：小车在＝90时的加速度。 解：受力分析 运动分析 由速度合成定理
第十二章 动能定理
③ 作用在纯滚轮上的摩擦力的功 接触点为瞬心，滑动摩擦力 作用点没动，此时滑动摩擦 力也不做功。
W F d rp 0
如果不是纯滚动，有相对滑 动，则摩擦力作负功。
13
§13 - 2 质点和质点系的动能 1 质点的动能
T
2 2
1 2
mv
2
动能是恒正的标量，
单位:
是瞬时量。
2
kg m / s kg m / s m N m J
( mi ri )
2
所以，刚体定轴转动的动能为:
Jz
T
1 2
J z
2
15
(3) 平面运动刚体的动能
设刚体作平面运动，如图。
C
由定轴转动刚体动能的公式
T
1 2
1
J p
2
rc p
2 C
由平行轴定理，有: 所以:
2
J p JC m r
1 2
2 C 2
T J C m r
m2g
2
d T [] 2vB d vB
Wi m3 g d s
2
vB
ds
m3g
d vB ds 两边同除d t，得: []v m3 g B dt dt m3 所以: a g B []
29
例 3
已知：两相同均质杆, m, l , 水平面光滑。初始静 止，高为h。设杆在铅垂 面内落下。 求：铰链D与地面接触时 的速度。
1
FDy
vo
F
m1g
FDx m2g m3g
2
vB
FN
受力如图。 求加速度可用动能定理的微分形式。
计算一般位置的动能
理论力学第12章(动能定理)
2 2 2 1 2 2 1 1 1 m ( v l l v cos j ) ( ml ) A A 2 4 2 12 2 1 2 2 1 m ( v A 2 3 l l v A cos j )
理论力学
20
§12-3
动能定理
一、质点的动能定理： dv m F 牛顿定律 dt dv dr F dr 两边点乘以 dr ，有 m dt
3.刚体沿固定面作纯滚动 4.联接刚体的光滑铰链（中间铰）
dW F
R
dr FR dr FR dr 0 dr FR
5.柔索约束（不可伸长的绳索） 拉紧时，内部拉力的元功之和恒等于零。
理论力学 10
[ 例 1] 如图所示滑块重 P ＝ 9.8 N ，弹 簧刚度系数 k ＝ 0.5 N/cm ，滑块在 A 位置时弹簧对滑块的拉力为 2.5 N， 滑块在 20 N 的绳子拉力作用下沿光 滑水平槽从位置 A 运动到位置 B，求 作用于滑块上所有力的功的和。
理论力学
1 2
3 2
1 6
4 3
7 2
19
[例5]滑块A以速度 vA在滑道内滑动，其上铰接一质量 为m，长为l的均质杆AB，杆以角速度 绕A转动，如 A 图。试求当杆AB与铅垂线的夹角为j 时，杆的动能。
解：AB杆作平面运动，其质心C的速度为
vA
j
l
vC v A vCA
速度合成矢量图如图。由余弦定理
AB
O1
AB作平面运动，用绕速度瞬心转动的公式 求动能：
J O1 J C mAB O1C 2
1 2m (2a)2 12
vC
8 3
C
2m a 2 ma 2
理论力学
20
§12-3
动能定理
一、质点的动能定理： dv m F 牛顿定律 dt dv dr F dr 两边点乘以 dr ，有 m dt
3.刚体沿固定面作纯滚动 4.联接刚体的光滑铰链（中间铰）
dW F
R
dr FR dr FR dr 0 dr FR
5.柔索约束（不可伸长的绳索） 拉紧时，内部拉力的元功之和恒等于零。
理论力学 10
[ 例 1] 如图所示滑块重 P ＝ 9.8 N ，弹 簧刚度系数 k ＝ 0.5 N/cm ，滑块在 A 位置时弹簧对滑块的拉力为 2.5 N， 滑块在 20 N 的绳子拉力作用下沿光 滑水平槽从位置 A 运动到位置 B，求 作用于滑块上所有力的功的和。
理论力学
1 2
3 2
1 6
4 3
7 2
19
[例5]滑块A以速度 vA在滑道内滑动，其上铰接一质量 为m，长为l的均质杆AB，杆以角速度 绕A转动，如 A 图。试求当杆AB与铅垂线的夹角为j 时，杆的动能。
解：AB杆作平面运动，其质心C的速度为
vA
j
l
vC v A vCA
速度合成矢量图如图。由余弦定理
AB
O1
AB作平面运动，用绕速度瞬心转动的公式 求动能：
J O1 J C mAB O1C 2
1 2m (2a)2 12
vC
8 3
C
2m a 2 ma 2
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dt
2
m d v2 d( 1 mv2 )
2
2
d( 1 mv2 ) δW ——质点动能定理的微分形式
2
（某一瞬时）
1 2
mv22
1 2
mv12
W12
——质点动能定理的积分形式 （某一运动过程） 19
第十二章 动能定理
二、质点系的动能定理
对质点系中任一质点i：
d(
1 2
mi
vi
2
)
δ
Ft R M z (F ) M z
δW Mz d
当刚体从
1到
的转动过程
2
中力F 所作的功为
W12
2 1
M
z
d
上式也适用于力偶，其中
M
z
为力偶矩矢在z轴上的投影。 9
第十二章 动能定理
4. 平面运动刚体上力系的功 刚体上任一力Fi作用点Mi
的无限小位移为
d ri d rC d riC 式中： d riC MiC d
10
第十二章 动能定理
δWi Fi d rC MC (Fi ) d
力系元功：δW δWi Fi d rC MC (Fi ) d
d riC
Fi
d
Mi
d rC C
FR d rC MC d
作用于刚体上力系作功为
FR —力系主矢 M C—力系对质心主矩
rB
FA (drA drB )
O
x
y
FA d(rA rB )
FA drBA FA drAB 21
第十二章 动能定理
δW FA drAB
(1) drAB 0
δW 0
即当两点之间距离改变时，内力作功之和不等于零。
例如： 汽车发动机的内力；
机器中轴和轴承之间的摩擦力。
于零，故约束力不做功。 刚性二力杆 与刚体内力一样，作功之
和恒等于零。 23
第十二章 动能定理
联结两个刚体的光滑铰链 两个刚体相互间的约束力
大小相等、方向相反，它们在 铰链中心 O点的微小位移 dr上 作功之和等于零。
物体沿固定面作纯滚动 此时，滑动摩擦力不作功。但一般情况下，滑动摩
擦力与物体相对位移方向相反，作负功，非理想约束。
平移的动能（牵连运动动能）与相对于质心平移坐标系
运动的动能（相对运动动能）之和。
注意：这一结论只有以质心为基点时是正确的，而对于
其它点为基点的情形，上述结论一般是不正确的。
13
第十二章 动能定理
三、刚体的动能
1. 平移刚体
T
1 2
mivi2
1 2
mvC2
2. 定轴转动刚体
T
1 2
同： 均是机械运动强弱程度的一种度量； 异： 动能与质点速度平方成正比，为标量；
动量与质点速度一次方成正比，为矢量。
12
第十二章 动能定理
二、质点系的动能
——质点系内各质点动能的算术和。
？ T
12mi vi 2
1 2
mvC2
T
1 2
mvC 2
12mivir2 ——柯尼希定理
即：质点系的动能（绝对运动动能），等于系统随质心
夹角为 ，滑块A速度为vA。
求：系统的动能。
A
vA
解： 滑块A作直线平移，有
TA
1 2
m1vA2
杆AB作平面运动，以A
为基点，则B点速度为
vB vA vBA vBA l l
l
vBA
B vA
vBx vA vBA cos
vA l cos
16
第十二章 动能定理
力Fi 作的元功为
d riC Fi
d Mi
d rC C
d rC —质心无限小位移
d —刚体无限小转角
δWi Fi d ri Fi d rC Fi d riC
其中： Fi d riC Fi cos d riC Fi cos MiC d
MC (Fi ) d
W (P) mg(zC1 zC2 )
309.81.2 352.8(J)
W (F)
k 2
(12
22 )
1 3000 [02 (2.4 1.2 2)2] 741.2(J)
2
8
第十二章 动能定理
3. 定轴转动刚体上作用力的功
力F 的元功为
δW F d r Ft d s Ft R d
（2）受力分析，并计算力的功
主动力： M , m1g, m2g
约束力： FOx , FOy , FN , Fs
均为理想约束，且内力作功之和为零。 25
第十二章 动能定理
主动力的功为
s
W12 M R1 m2g sin s
（3）运动分析，并计算动能
T1 0
P
T2
1 2
J1O12
第十二章 动能定理
理 论 力 学(I)
第三部分 动 力 学
第十二章 动能定理
2019年9月16日
1
具体内容：
第十二章 动能定理
§12-1 力的功 §12-2 质点和质点系的动能 §12-3 动能定理 §12-4 功率 ·功率方程 ·机械效率 §12-5 势力场 ·势能 ·机械能守恒定律 §12-6 普遍定理的综合应用举例
可见：弹性力作功仅与弹簧在起始和终了位置的变形量
有关，而与质点的轨迹形状无关。
7
第十二章 动能定理
[例12-1] 如图所示，均质杆OA质量为30kg，杆在铅垂 位置时弹簧处于自然状态，弹簧刚度系数 k = 3kN/m。 当杆由铅直位置OA转到水平位置OA'时，重力和弹性力 分别作功多少？
解：研究杆OA
1 2
m2l
22
系统的动能：T＝ 1 2
(m1
m2 )1 2
m2l 22
17
第十二章 动能定理
[思考] 质量为m的均质细圆环半径为R，其上固结一个 质量也为m的质点 A。细圆环在水平面上作纯滚动，图
示瞬时角速度为，则系统的动能为（ ）。
① T 1 mR2 2
1 4
(2m1
3m2
)vC2
0
M
s R1
m2g sin s
解得
vC 2
(M m2gR1 sin )s
R1(2m1 3m2 )
27
第十二章 动能定理
应用动能定理的解题步骤： （1）选取研究对象；（ 一般取整个系统） （2）分析受力，计算力的功；
区分主动力与约束力 在理想约束情况下约束力不做功 考虑内力作功和是否为零
结论：在理想约束下，且内力作功之和等于零，则质点 系动能的改变仅与主动力作功有关。
24
第十二章 动能定理
[例12-4] 卷扬机
已 知 鼓 轮 ： 常 力 偶 M ， R1 ， m1( 分布于轮缘)；圆柱：R2，m2(均 匀分布)，作纯滚动。设斜面倾
角为 ，系统从静止开始运动。
P
求圆柱中心C经过路程s时的速度。 解：（1）取鼓轮和圆柱体组成的整个系统作为研究对象
(2) drAB 0
δW 0
即当两点之间距离保持不变时，内力作功之和等于零。
例如： 刚体内力；
不可伸长的绳索等。
22
第十二章 动能定理
2. 关于理想约束 ——约束力作功或作功之和等于零的约束。
常见的理想约束有： 光滑固定面和滚动支座
约束力垂直于力作用点的位移，约束力不做功。
光滑铰链支座、向心轴承及固定端 因约束力作用点位移恒等
1 2
J
2
P
2 2
其中：J1O m1R12
J2P
J2C
m2R22
1 2
m2
R22
m2R22
3 2
m2
R22
设圆柱中心C的速度为vC，则由运动学关系有 26
第十二章 动能定理
1
vC R1
,
2
vC R2
T2
1 4
(2m1
3m2 )vC2
（4）应用质点系动能定理
P
T2 T1 W12
2
② T 3 mR2 2
2
③ T mR22
√④ T 2mR22
18
第十二章 动能定理
§12-3 动能定理
一、质点的动能定理
由质点的运动微分方程
mdv F dt
两边点乘 d r，得
m d v d r Fd r dt
m d v d r md v v m d(v v)
(Fx
d
x
Fy
d
y
Fz d z（) 直角坐标形式）
——解析表达式 4
第十二章 动能定理
三、几种常见力作的功
1. 重力的功 质点
质点重力作功为
W12
M2 M1
(Fx
d
x
Fy
d
y
Fz
d
z)
z2 mg d z z1
Fx 0, Fy 0, Fz mg
mg(z1 z2 )
可见：重力作功仅与质点运动开始和终了位置的高度差
有关，而与运动轨迹的形状无关。
5
第十二章 动能定理