2013届高考数学一轮复习讲义：13[1].5 数学归纳法

1 1 1 1 1 1 又 1＋ ＋ ＋„＋ k＋ k ＋ k ＋„＋ k k 2 3 2 2 ＋1 2 ＋2 2 ＋2 1 1 k 1 < ＋k＋2 ·k＝ ＋(k＋1)， 2 2 2 即 n＝k＋1 时，命题成立．
由(1)(2)可知，命题对所有 n∈N*都成立．
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探究提高
(1)用数学归纳法证明与 n 有关的不等式一般有两种具体形 式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个 式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对 n 取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后 猜出从某个 n 值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明． (2)用数学归纳法证明不等式的关键是由 n＝k 时成立得 n＝k ＋1 时成立，主要方法有：①放缩法；②利用基本不等式； ③作差比较法等．
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用数学归纳法证明等式
nn＋12n＋1 例 1 求证：1 ＋2 ＋„＋n ＝ . 6 证明 (1)当 n＝1 时，左边＝1， 1· 1＋12＋1 右边＝ ＝1，左边＝右边，等式成立； 6 (2)假设 n＝k (k∈N*)时，等式成立， kk＋12k＋1 2 2 2 即 1 ＋2 ＋„＋k ＝ ， 6 则当 n＝k＋1 时， kk＋12k＋1 2 2 2 2 1 ＋2 ＋„＋k ＋(k＋1) ＝ ＋(k＋1)2 6 k＋1[k＋1＋1][2k＋1＋1] ＝ 6
＋ －
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则当 n＝k＋1 时， ak 2＋(a＋1)2k 1＝a·k 1＋(a＋1)2(a＋1)2k a
＋ ＋ ＋ －1
＝a·k＋1＋a· a (a＋1)2k－1＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1 ＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1，
由假设可知 a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]能被 a2＋a＋1 整除， (a2＋a＋1)(a＋1)2k－1 也能被 a2＋a＋1 整除， ∴ak 2＋(a＋1)2k 1 也能被 a2＋a＋1 整除，
1 1 1 1 即 ak＋1＝ ak＋1＋a － k－ k－1＋ 2 2 k－ k－1 k＋1 1 1 ＝ ak＋1＋a － k， 2 k＋1
2 ∴ak＋1＋2 kak＋1－1＝0，
[9 分]
∴ak＋1＝ k＋1－ k.
即 n＝k＋1 时猜想成立． 由①②知，an＝ n－ n－1 (n∈N*)．
(2)猜想 an＝ n－ n－1 (n∈N*) 证明：①当 n＝1 时，a1＝1＝ 1－ 0，猜想成立．
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②假设当 n＝k (k∈N*)时猜想成立， 即 ak＝ k－ k－1，
则当 n＝k＋1 时，ak＋1＝Sk＋1－Sk 1 1 1 1 ＝ ak＋1＋a － ak＋a ， 2 2 k＋1 k
假设当 n＝k (k∈N*)时结论成立，即 ak> 2k＋1. 1 那么当 n＝k＋1 时， 由函数 f(x)＝x＋x (x>1)的单调递增性和
归纳假设，
1 1 知 ak＋1＝ak＋a > 2k＋1＋ k 2k＋1 2k＋1＋1 2k＋2 ＝ ＝ 2k＋1 2k＋1 4k2＋8k＋4 2k＋32k＋1 ＝ > 2k＋1 2k＋1 ＝ 2k＋3＝ 2k＋1＋1.
解
Hale Waihona Puke 主页由①②③解得 a＝3，b＝11，c＝10， 于是，对于 n＝1,2,3 都有 nn＋1 2 1· ＋2· ＋„＋n(n＋1) ＝ 2 3 (3n ＋11n＋10)(*)式 12
2 2 2
成立．
下面用数学归纳法证明：对于一切正整数 n，(*)式都成立． (1)当 n＝1 时，由上述知，(*)式成立．
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∴当 n＝k＋1 时，结论成立． ∴an> 2n＋1对一切正整数 n 均成立． an＋1 n＋1 bn＋1 1 n 1＋ 2 · (2)解 ∵ b ＝ a ＝ an n＋1 n n n 1 2n＋1 n n <1＋2n＋1· ＝ n＋1 2n＋1 n＋1 1 2 1 n＋ － 2 nn＋1 2 4 ＝ ＝ <1. 1 2n＋1 n＋ 2
(2)假设当 n＝k (k∈N*)时命题成立，即 k 1 1 1 1 1＋ ≤1＋ ＋ ＋„＋ k≤ ＋k， 2 2 3 2 2
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则当 n＝k＋1 时， 1 1 1 1 1 1 1＋ ＋ ＋„＋ k＋ k ＋ k ＋„＋ k k 2 3 2 2 ＋1 2 ＋2 2 ＋2 k＋1 k 1 k >1＋ ＋2 ·k k＝1＋ . 2 2 2 ＋2
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失误与防范
1．数学归纳法仅适用于与正整数有关的数学命题． 2．严格按照数学归纳法的三个步骤书写，特别是对初始值的 验证不可省略，有时要取两个(或两个以上)初始值进行验 证；初始值的验证是归纳假设的基础． 3．注意 n＝k＋1 时命题的正确性． 4．在进行 n＝k＋1 命题证明时，一定要用 n＝k 时的命题， 没有用到该命题而推理证明的方法不是数学归纳法．
一轮复习讲义
数学归纳法
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要点梳理
数学归纳法
忆一忆知识要点
一般地，对于某些与正整数有关的数学命题，我们可以用数 学归纳法：如果 (1)当 n 取第一个值 n0 (n0∈N*)时，结论正确； (2)假设当 n＝k (k∈N*，且 n≥n0)时结论正确，证明当 n＝k ＋1 时结论也正确． 那么，命题对于从 n0 开始的所有正整数 n 都成立．
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[难点正本
疑点清源]
1．数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与 正整数有关的数学问题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可， 步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据． 2．在用数学归纳法证明时，第(1)步验算 n＝n0 的 n0 不一定 为 1，而是根据题目要求，选择合适的起始值．第(2)步， 证明 n＝k＋1 时命题也成立的过程，一定要用到归纳假 设，否则就不是数学归纳法．
由此可知，当 n＝k＋1 时，(*)式也成立．
综上所述，当 a＝3，b＝11，c＝10 时题设的等式对于一切正 整数 n 都成立．
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用数学归纳法证明不等式
例 2 用数学归纳法证明： n 1 1 1 1 1＋ ≤1＋ ＋ ＋„＋ n≤ ＋n (n∈N*)． 2 2 3 2 2
利用假设后，要注意不等式的放大和缩小． 1 1 证明 (1)当 n＝1 时，左边＝1＋ ，右边＝ ＋1， 2 2 3 1 3 ∴ ≤1＋ ≤ ，即命题成立． 2 2 2
那么当 n＝k＋1 时， 1 1 2 2 ak＋1＝ak＋ 2＋2>2k＋3＋ 2>2(k＋1)＋1. ak ak ∴当 n＝k＋1 时，ak＋1> 2k＋1＋1成立． 主页
方法一
当 n＝1 时，a1＝2> 2×1＋1，不等式
综上，an> 2n＋1对一切正整数 n 都成立．
方法二 当 n＝1 时，a1＝2> 3＝ 2×1＋1，结论成立．
即 n＝k＋1 时命题也成立， 由(1)(2)知，对任意 n∈N*原命题成立．
＋ ＋
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探究提高
证明整除问题的关键是“凑项”，而采用增项、减项、拆项和 因式分解等手段，凑出 n＝k＋1 时的情形，从而利用归纳假设 使问题获证．
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变式训练 3
求证：(3n＋1)×7n－1 (n∈N*)能被 9 整除．
由归纳假设知，以上三项均能被 9 整除． 则由(1)、(2)可知，命题对任意 n∈N*都成立．
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思想与方法
纳、猜想、证明——从特殊到一般的思维能力
(14 分)在各项为正的数列{an}中，数列的前 n 项和 Sn 满足 Sn 1 1 ＝ an＋a . 2 n (1)求 a1，a2，a3； (2)由(1)猜想数列{an}的通项公式，并且用数学归纳法证明你 的猜想．
(2)假设 n＝k (k∈N*)时，(*)式成立， 即 1·2＋2·2＋„＋k(k＋1)2 2 3 kk＋1 2 ＝ (3k ＋11k＋10)， 12
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那么当 n＝k＋1 时， 1·2＋2·2＋„＋k(k＋1)2＋(k＋1)(k＋2)2 2 3 kk＋1 2 ＝ (3k ＋11k＋10)＋(k＋1)(k＋2)2 12 k＋1k＋2 2 ＝ (3k ＋5k＋12k＋24) 12 k＋1k＋2 ＝ [3(k＋1)2＋11(k＋1)＋10]， 12
∵an>0，∴a1＝1， 1 1 由 S2＝a1＋a2＝ a2＋a ， 2 2
2 得 a2＋2a2－1＝0，∴a2＝ 2－1.
[2 分]
1 1 又由 S3＝a1＋a2＋a3＝ a3＋a 2 3
2 得 a3＋2 2a3－1＝0，∴a3＝ 3－ 2.
[3 分]
[5 分] [7 分]
[12 分]
[14 分]
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批阅笔记
(1)本题运用了从特殊到一般的探索、归纳、猜想及证明的思 维方式去探索和发现问题，并证明所得结论的正确性，这是 非常重要的一种思维能力． (2)本题易错原因是，第(1)问求 a1，a2，a3 的值时，易计算错 误或归纳不出 an 的一般表达式．第(2)问想不到再次利用解方 程的方法求解，找不到解决问题的突破口．
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变式训练 1
是否存在常数 a，b，c 使得等式 1·2＋2·2＋„＋n(n＋1)2＝ 2 3 nn＋1 2 (an ＋bn＋c)对于一切正整数 n 都成立？并证明你的 12 结论．
假设存在符合题意的常数 a，b，c， nn＋1 2 2 2 2 在等式 1· ＋2· ＋„＋n(n＋1) ＝ 2 3 (an ＋bn＋c)中， 12 1 令 n＝1，得 4＝ (a＋b＋c) ① 6 1 令 n＝2，得 22＝ (4a＋2b＋c) ② 2 令 n＝3，得 70＝9a＋3b＋c ③
故 bn＋1<bn.
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用数学归纳法证明整除问题
例 3 用数学归纳法证明 an 1＋(a＋1)2n 1(n∈N*)能被 a2＋a ＋1 整除．