数学物理方法 第六章
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若满足式： ，我们称上式为
的拉普拉斯逆变换式，称为拉氏逆变换式．
举例：
例1： L 例2： L 例3： L 例4： L 例5： L 例6： L
Laplace变换的性质
性质1（导数性质） L 推论： 性质2（积分性质） L 性质3（相似性质） L 性质4（延迟性质） L 性质5（位移性质） L 性质6（卷积性质） L
拉普拉斯变换的定义
傅里叶变换要求进行变换的函数在无穷区间 有定义，在任一有限区间上满足狄利克雷条件，并要求 存在．这是一个比较苛刻的要求，一些常用的 函数，如阶跃函数 ，以及 等均不满足这
在物理、线性控制等实际应用中，许多以时间 些要求．另外， 为自变量的函数，往往当 时没有意义，或者不需要知道
的情况．因此傅里叶变换要求的函数条件比较强，这 就限制了傅里叶变换应用的范围．
例1
解：设L[y(t)]=Y(p)，方程两边取Laplace变换，有
利用初始条件，得到
L-1{Y(p)}
在
上式即可简写为
这是由实函数
通过一种新的变换得到的复变函数，
这种变换就是我们要定义的拉普拉斯变换．
定义
设 实函数
在
上有定义，且积分
（
为复参变量） 对复平面
上某一范围
收敛，则由这个积分所确定的函数 （8.1.1）
称为函数
的拉普拉斯变换，简称拉氏变换（或称为
像函数），记为
拉普拉斯逆变换概念
定义 拉氏逆变换
第六章 拉普拉斯变换简介
拉普拉斯变换理论（又称为运算微积，或称为算子微积）
是在19世纪末发展起来的．首先是英国工程师亥维赛德(O.Heaviside)
发明了用运算法解决当时电工计算中出现的一些问题，但是缺乏严
密的数学论证．后来由法国数学家拉普拉斯(P.S.Laplace)给出了严密 的数学定义，称之为拉普拉斯变换方法．
(t )
为了解决上述问题而拓宽应用范围，人们发现对于任意一
个实函数 条件．wk.baidu.com首先将函数 乘以单位阶跃函数： ，可以经过适当地改造以满足傅氏变换的基本
得到
，则根据傅氏变换理论有
很显然通过这样的处理，当
时，
在没有定
义的情况下问题得到了解决．但是仍然不能回避
上绝对可积的限制．为此，我们考虑到当 时，衰减速度很快的函数，那就是指数函数 于是有
的拉普拉斯逆变换式，称为拉氏逆变换式．
举例：
例1： L 例2： L 例3： L 例4： L 例5： L 例6： L
Laplace变换的性质
性质1（导数性质） L 推论： 性质2（积分性质） L 性质3（相似性质） L 性质4（延迟性质） L 性质5（位移性质） L 性质6（卷积性质） L
拉普拉斯变换的定义
傅里叶变换要求进行变换的函数在无穷区间 有定义，在任一有限区间上满足狄利克雷条件，并要求 存在．这是一个比较苛刻的要求，一些常用的 函数，如阶跃函数 ，以及 等均不满足这
在物理、线性控制等实际应用中，许多以时间 些要求．另外， 为自变量的函数，往往当 时没有意义，或者不需要知道
的情况．因此傅里叶变换要求的函数条件比较强，这 就限制了傅里叶变换应用的范围．
例1
解：设L[y(t)]=Y(p)，方程两边取Laplace变换，有
利用初始条件，得到
L-1{Y(p)}
在
上式即可简写为
这是由实函数
通过一种新的变换得到的复变函数，
这种变换就是我们要定义的拉普拉斯变换．
定义
设 实函数
在
上有定义，且积分
（
为复参变量） 对复平面
上某一范围
收敛，则由这个积分所确定的函数 （8.1.1）
称为函数
的拉普拉斯变换，简称拉氏变换（或称为
像函数），记为
拉普拉斯逆变换概念
定义 拉氏逆变换
第六章 拉普拉斯变换简介
拉普拉斯变换理论（又称为运算微积，或称为算子微积）
是在19世纪末发展起来的．首先是英国工程师亥维赛德(O.Heaviside)
发明了用运算法解决当时电工计算中出现的一些问题，但是缺乏严
密的数学论证．后来由法国数学家拉普拉斯(P.S.Laplace)给出了严密 的数学定义，称之为拉普拉斯变换方法．
(t )
为了解决上述问题而拓宽应用范围，人们发现对于任意一
个实函数 条件．wk.baidu.com首先将函数 乘以单位阶跃函数： ，可以经过适当地改造以满足傅氏变换的基本
得到
，则根据傅氏变换理论有
很显然通过这样的处理，当
时，
在没有定
义的情况下问题得到了解决．但是仍然不能回避
上绝对可积的限制．为此，我们考虑到当 时，衰减速度很快的函数，那就是指数函数 于是有