数学物理方法 第六章
第6章保角变换-数学物理方法
f ( z0 ) 是经过映射Biblioteka f ( z ) 后通过点z0 的
的任何曲线C在 z0的伸缩率, 它与曲线C的形状及
方向无关. 所以这种映射又具有伸缩率的不变性.
5
2.共形映射（保角映射）
设函数w f ( z )在区域 D内解析, z0为 D内一点,
且 f ( z ) 0 , 那末映射w f ( z ) 在 z0 具有两个性 质: (1) 保角性; (2) 伸缩率不变性.
圆周的弧所围成的区域映射成一圆弧与一直线所 围成的区域. 3) 当二圆交点中的一个映射成无穷远点时, 这 二圆周的弧所围成的区域映成角形区域.
13
5. 几个初等函数所构成的映射
1) 幂函数 w z n ( n 2).
映射特点: 把以原点为顶点的角形域映射成以原
点为顶点的角形域, 但张角变成为原来的 n 倍.
故
b 1, a 1 i ,
(1 i ) z 1 ( i 1) z 1 所以 w 为所求. z (1 i ) z (1 i )
19
解3 利用典型区域映射公式
将所求映射设为 w e i
z z A , 1 z 1 z
保角变换
复变函数在几何意义上实际上相当于将平 面上的区域变成了平面上的另一个区域（简称 为映射）． 应用：利用复变函数（特别是解析函数）所构 成的映射来实现复杂区域的简单化，这将给实 际问题的研究带来很大的方便．而利用保角变 换法求解数学物理方程边值问题．
1
本章内容： 1）保角射的概念； 2）分式线性映射和几个初等函数所构成的 映射； 3）典型实例描述保角映射的应用． 重点： 分式线性变换及其映射特点 难点：
数学物理方法第6章
数学物理方法第6章第6章介绍了数学物理方法中的常用技术，包括泛函、分析和变换技术。
这些技术在数学物理领域中有着广泛的应用，可以帮助我们理解和解决复杂的物理问题。
首先介绍了泛函方法。
泛函是一个从一组函数到数域的映射，可以将一个函数空间中的函数映射到实数集合中。
泛函方法可以将物理问题转化为最小值或最大值问题，通过求解泛函的极值来获得系统的稳定状态或基本解。
泛函方法可以用于求解最小作用量原理、拉格朗日方程和哈密顿方程等问题。
在应用中，我们往往需要寻找适当的泛函形式和适当的变分条件来解决实际问题。
接下来介绍了分析方法。
分析方法是研究数学对象、函数和变量之间关系的方法。
在物理问题中，我们常常需要使用分析方法来处理不同变量之间的关系，并找到它们之间的相互作用。
分析方法常常包括微分方程、积分方程、级数展开和奇异性理论等技术。
这些方法可以帮助我们分析物理系统的稳定性、解决边值问题和求解特殊函数等。
最后介绍了变换方法。
变换方法是将一个数学对象转化为另一种形式的方法。
在物理问题中，我们常常需要使用变换方法来转化物理问题的表达式，从而更容易求解或进行分析。
常见的变换方法包括拉普拉斯变换、傅立叶变换和方程变换等。
这些变换方法可以帮助我们将原问题转化为更简单的问题，进而得到物理系统的解析解或近似解。
在实际应用中，我们常常需要将这些方法结合起来使用，通过分析物理问题的特点并选择合适的数学方法来解决。
数学物理方法的应用不仅可以帮助我们理解物理规律，还可以为物理学的进一步发展提供基础。
因此，学习和掌握数学物理方法对于从事物理学研究的学生和科研人员来说都具有重要意义。
总结起来，数学物理方法第6章介绍了泛函、分析和变换等常用技术。
这些技术在数学物理领域中有着广泛的应用，可以帮助我们理解和解决复杂的物理问题。
通过学习和应用这些方法，我们可以更好地理解数学与物理之间的关系，提高解决问题的能力，并为物理学的发展做出贡献。
数学物理方法讲义
《数学物理方法》（Methods of MathematicalPhysics）《数学物理方法》是物理类及光电子类本科专业学生必修的重要基础课，是在《高等数学》课程基础上的一门重要的应用数学类课程，为专业课程的深入学习提供所需的数学方法及工具。
课程内容：复变函数（18学时），付氏变换（20学时），数理方程（26学时）第一篇复变函数（38学时）绪论第一章复变函数基本知识4学时第二章复变函数微分4学时第三章复变函数积分4学时第四章幂级数4学时第五章留数定理及应用简介2学时第六章付里叶级数第七章付里叶变换第八章拉普拉斯变换第二篇数学物理方程（26学时）第九章数理方程的预备知识第十章偏微分方程常见形式第十一章偏微分方程的应用绪 论含 义使用数学的物理——（数学）物理 物理学中的数学——（应用）数学Mathematical Physics方 程1=x{222111c y b x a c y b x a =+=+()t a dtdx= ⎰=)(t a xdt常微分方程0222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x dt x d ω ()C t A x +=ωcos偏微分方程——数学物理方程0222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z y x ψψψ ()z y x ,,ψψ=12=x()ψψψψψz y x U zy x m h t h i ,,22222222+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂()t z y x ,,,ψψ=复 数1. 数的概念的扩充正整数（自然数） 1，2，…运算规则 ＋，－，×，÷，()2，－ 121-=-负 数 0，-1，-2，…整 数 …，-2，-1，0，1，2，…÷ 5.021= 333.031=有理数（分数） 整数、有限小数、无限循环小数414.12=无理数 无限不循环小数 实 数 有理数、无理数i =-1 虚 数y i复 数 实数、虚数、实数＋虚数 yi x y x +,,2. 负数的运算符号12-=xi x ±=i 虚数单位，作为运算符号。
《数学物理方法》第六章勒让德函数
《数学物理方法》第六章勒让德函数勒让德函数是数学物理方法中常用的一个函数类，在物理学中起到了非常重要的作用。
本文将主要介绍勒让德函数的定义、性质及其在物理学中的应用。
一、勒让德函数的定义勒让德函数是由法国数学家勒让德在18世纪末引入的一类特殊函数。
它定义为下面的级数形式：P(x)=(1/2^1*1!)-(1*3/2^3*3!)x^2+(1*3*5/2^5*5!)x^4-...其中x是实数，级数是一个无穷级数，并且级数的每一项都是有序的一系列多项式函数。
勒让德函数也可以通过勒让德方程的解来定义。
二、勒让德函数的性质1. 正交性：勒让德函数是正交的，即对于不同的n和m，有积分∫(-1,1) Pn(x) Pm(x) dx = 02. 归一性：勒让德函数可以通过归一化得到，即对于每个n，有∫(-1,1) Pn(x) Pn(x) dx = 2 / ( 2n + 1)3.递推关系：勒让德函数之间存在递推关系，即(n+1)Pn+1(x)=(2n+1)xPn(x)-nPn-1(x)。
这个关系可以用于计算勒让德函数的高阶项。
三、勒让德函数在物理学中的应用勒让德函数在物理学中有广泛的应用，下面介绍其中的几个重要应用：1.量子力学中的角动量：在量子力学中，勒让德函数可以用来描述角动量的量子态。
勒让德函数的特殊性质使其成为表示角动量本征态的一组完备的基函数。
2.球谐函数的展开：勒让德函数可以用来展开球谐函数，球谐函数在物理学中具有广泛的应用。
通过勒让德函数，我们可以得到球面上各点的球谐系数，从而描述球面上的物理量分布。
3.圆形波导中的电磁场分布：勒让德函数可以用来描述圆形波导中的电磁场分布。
圆形波导是一种常见的波导结构，在无线通信、微波技术等领域有着重要的应用。
总结：本文主要介绍了勒让德函数的定义、性质及其在物理学中的应用。
勒让德函数作为一种特殊的函数类，具有正交性、归一性和递推关系等重要的性质，广泛应用于量子力学、电磁场分布等领域。
数学物理方法 第六章 拉普拉斯变换
ω
p2 + ω2
1 (3)由于 2 ⇔ sin ωt , ⇔ e −( R L ) t p + ω2 p+R L 引用卷积定理完成反演， E0 t −( R L )( t −τ ) E0 −( R L ) t ( R L )τ ( R L) sin ωt − ω cos ωt t j (t ) = sin ωτdτ = {e [e ] |0 } 2 2 2 ∫0 e L L R L +ω E0 ( R L) sin ωt − ω cos ωt E0 ωe −( R L ) t = + 2 2 2 L R L +ω L R 2 L2 + ω 2
wuxia@
至于它在初始时刻之前的值，不关心，不妨 设f(t)=0 (t<0)。 为了获得宽松的变换条件，把f(t)加工为 g(t)=e-σt f(t). e-σt 是收敛因子，即，正实数σ 的值选的足够大，以保证g(t)在(-∞,∞)上绝 对可积。 于是，可以对g(t)做傅里叶变换，
− 3 2
wuxia@
−
（二）查表法
e −τp 例2：求 解： 1 1 查表得 , ⇔ πt p e −τp 1 再利用延迟定理 ⇔ p π (τ − t ) p 的原函数.
wuxia@
ω p+λ 例3：求 和 的原函数。 2 2 2 2 ( p + λ) + ω ( p + λ) + ω
t0 ∞ − p ( ξ + t0 )
dξ = e
− pt0
∫
∞
t0
f (ξ )e
− pξ
dξ = e
− pt0
−
f ( p)
数学物理方法第06章习题
第六章 习题答案6.1-1 求解下列本征值问题的本征值和本征函数。
（1）0=+''X X λ ()00=X ()0='l X（2）0=+''X X λ ()00='X ()0='l X （3）0=+''X X λ ()00='X ()0=l X （4）0=+''X X λ()0=a X()0=b X解：（1）0=λ时，()b ax x X +=，代入边界条件得 ()00==b X 和()0=='a l X 得到()0=x X ，不符合，所以0≠λ0>λ时，()x b x a x X λλsin cos +=，代入边界条件得()00==a X ，()()2224120sin ln l b l X nπλλ+=⇒==',2,1,0=n所以：()()21sin 2n n X x x lπ+=,2,1,0=n（2）0=λ时，()b ax x X +=，代入边界条件得 ()00=='a X 和()0=='a l X ，所以()b x X =存在。
0>λ时，()x b x a x X λλsin cos +=，代入边界条件得()000=⇒=='b b X λ，() ,2,10sin 222==⇒=-='n ln l a l X n πλλλ综合：本征值：222ln n πλ=,2,1,0=n本征函数：()x ln x X n πcos = ,2,1,0=n（3）0=λ时，()b ax x X +=，代入边界条件得 ()00=='a X 和()0==b l X ，()0=x X 不符合。
0>λ时，()x b x a x X λλsin cos +=，代入边界条件得()000=⇒=='b b X λ，()() ,2,1,04120cos 222=+=⇒==n ln l a l X nπλλ本征函数：()()21cos 2n n X x x lπ+= ,2,1,0=n（4）0=λ时，()d cx x X +=，代入边界条件得 ()0=+=d ca a X 和()0=+=d cb l X ，得到b a =，故0≠λ。
《数学物理方法》第六章_勒让德函数
《数学物理方法》第六章_勒让德函数勒让德函数（Legendre functions）是数学物理方法中的一种重要函数，它在数学物理领域中具有广泛的应用。
勒让德函数以法国数学家阿道夫·勒让德（Adrien-Marie Legendre）的名字命名，是勒让德微分方程的解。
勒让德函数是圆轴对尔雅多多\n（cylinder functions）和球贝塞尔函数（spherical Bessel functions）的特殊情况。
勒让德函数可以通过勒让德微分方程来定义，勒让德微分方程是一个著名的二阶微分方程，它可以用来描述线性介质中电场的分布、地球引力场势能和量子力学中的角动量问题等。
勒让德微分方程如下所示：$$(1-x^2)y'' - 2xy' + \lambda(\lambda + 1)y = 0$$其中，$y$是未知函数，$x$是自变量，$\lambda$是常数。
这个方程的解称为勒让德函数$P_\lambda(x)$。
勒让德函数具有许多重要的性质和关系，其中最重要的性质之一是正交性。
如果$\lambda_1 \neq \lambda_2$，则勒让德函数$P_{\lambda_1}(x)$和$P_{\lambda_2}(x)$在区间$[-1,1]$上是正交的，即满足下面的正交关系：$$\int_{-1}^{1}P_{\lambda_1}(x)P_{\lambda_2}(x)dx = 0$$另外，勒让德函数还具有归一化的性质，即满足下面的归一化条件：$$\int_{-1}^{1}(P_{\lambda}(x))^2 dx = \frac{2}{2\lambda + 1} $$勒让德函数在数学物理中的应用非常广泛，下面以一些具体的例子来说明。
首先是球坐标系中的边界条件问题。
在球坐标系中，勒让德函数可以用来描述径向部分的波函数。
例如，在氢原子中，电子的波函数可以表示为勒让德函数的线性组合，其中不同的勒让德函数对应不同的能级和角动量量子数。
数学物理方法课件：6-拉普拉斯变换
[ e p f2 ( )d ]e p f1( )d f1( p) f2 ( p)
00 15
例 在LR串联电路中加上一方形脉
冲电压E
E(t)
0E,0 ,
t
0
T
t
T
E (t )
求电路中的电流 i (t)，设 i (0)=0。
解
L di Ri E (t) dt
(1)
由(2)得 I ( p) 1 E( p)
f(t) f(t-t0)H(t-t0)
o
t0
t
14
(7)卷积定理 L [ f1(t) f2 (t)] f1( p) f2 ( p).
其中 L [ f1(t)] f1( p), L [ f2 (t)] f2 ( p),
t
τ
f1(t) * f2 (t) 0 f1( ) f2 (t )d
2. Laplace 变换即(6.1.3)式存在的条件
（1）在 0 t < 的任一有限区间上，除了有限个第一类间 断点外，函数 f(t) 及其导数是处处连续的，
（2） 存在常数 M>0 和 0，使对于任何t (0 t < ), 有
| f (t) | Me t
的下界称为收敛横标，以0 表示。大多数函数都满足这 个充分条件
L
L0
E0
R E0
R
Rt
(1 e L ),
RT
Rt
(e L 1)e L ,
0t T t T
16
本节作业： 第95页 （1，2，4）
17
§6.2 Laplace 变换的反演
反演：由像函数求原函数
（一）有理分式反演法
若像函数
f ( p) G( p) H ( p)
数学物理方法第六章-勒让德函数课件
重复应用式(6. 1. 9)，可证C2n+4, C2n+6, … 均为零。 y0(x)的最高次幂为x2n= xl．
根据物理量是有限的，舍去不合物理意义的 解，取常数C1 =0，则勒让德方程的解为
45
递推公式的证明方法: (1)母函数关系式为
对t求导得
两边乘以(1-2xt+t2), 再将母函数关系式代入 左边, 即有
两边比较 t l 的系数(l≥1), 即得式(6.2.13)
46
x Pl ( x)t l Pl ( x)t l1
l0
l0
lPl ( x)t l1 2 x Pl ( x)t l11 lPl ( x)t l12
§6.3.1 勒让德多项式的正交性与正交归一关系式 1. “正交性”与“正交归一关系式”浅析
(1)、三维欧几里得(Euclid)空间 三维欧几里得空间的基矢i，j，k如果用 ek 或
10
§6.1.2 勒让德方程的本征值问题
二阶线性齐次常微分方程
(1-x2)y"(x)-2xyʹ(x)-l(l+1)y(x)＝0
-1<x<1
(6.1.6)
称为勒让德方程.
方程中的 l(l+1)=l 是待定参数
y(x)是待求函数.
11
在x=0的邻域求勒让德方程的有界解. 在有界性条件下求解勒让德方程的问题又称
比较等式两边t l的系数, 即得式(6.2.14)
lPl (x)tl xPl(x)tl
Pl(x)tl1
l0
l0
l0
lPl (x)tl xPl(x)tl
数学物理方法第六章2010
dτ = H ( t − α )∫ e
α
1 dτ = (1 − e − b ( t −α ) ) H ( t − α ) b
黎曼－ 黎曼－梅林反演公式
1 f (t ) = i 2π
∫σ
σ + i∞
− i∞
f ( p)e pt dp
C 的圆周在直线Re(p)=a的左侧圆弧， 的左侧圆弧， 的左侧圆弧 推广的约当引理： R是半径为 的圆周在直线 推广的约当引理： 是半径为R的圆周在直线 |p|→∞时， ( p) 在Arg(p)∈[π/2-δ, 3π/2+δ]中一致趋 →∞时 f →∞ ∈ π δ π δ 中一致趋 于0， ， lim ∫ f ( p)e pt dp = 0, t > 0
=
π∫
1
∞
e − rt r
0
dr =
1
πt
1
π
∫
∞
0
e − pt 2 dt = t π
∫
∞
0
e − px dx =
2
1 p
直接验证
9
像函数导数的反演
d n f ( p) L-1 [ ] = ( − t )n f ( t ) dp n
∞ d n f ( p) = ∫ ( − t )n f ( t )e − pt dt , 0 dp n
思考： 思考：拉普拉斯变换法在求解常系数线性微分方程 的优点表现在哪些方面？ 的优点表现在哪些方面？ 12
∞ d d ∞ − pt f ( t )e dt = ∫ [ f ( t )e − pt ]dt 0 dp dp ∫ 0
f ( p ) 是解析函数
满足： 若函数 f ( p) 满足： 1°在 Re( p) = σ > σ 0 中解析，且|p|→∞时，一致趋于 ； ° 中解析， →∞时 一致趋于0； →∞ 2°对于所有的 Re( p) = σ > σ 0，沿直线 Re( p) = σ 的无穷积分
数学物理方法第六章Fourier变换
数学物理方法2010.02
-l
l
第一节 Fourier级数 级数
例子： 例子：
设 f(x) = x+x2, x (- , )，试将其展开成Fourier级 数． 并验证： 1 1 1 π2 1+ 2 + 2 +L+ 2 +L = 2 3 n 6
数学物理方法2010.02
第一节 Fourier级数 级数
第n次谐波
nπ −i x i nlπ x f ( x ) = c0 + ∑ cn e + c− n e l n =1 ∞
cn = c− n =
1 2 2 an + bn 2
数学物理方法2010.02
Jean Baptiste Joseph Fourier, 1768～1830 ～
第一节 Fourier级数 级数
有限区域上的函数周期化的处理方法
设 f(x) 是定义在 处理 处理1：将 f(x) 区域(a,b)内的函 转化为 (-l, l) 内 数，其中a和b是 的函数 有限数 2l ( x − a) − l ⇒ x b−a 处理2：周期化为整个实数 处理 轴上的以2l为周期的周期函 数
函数 f(x) 复形式的Fourier展开式
f ( x) =
n =−∞
∑ce
n
∞
i
nπ x l
nπ −i ξ 1 l cn = ∫ f (ξ ) e l d ξ 2l − l
nπ nπ f ( x ) = a0 + ∑ an cos x + bn sin x l l n =1
∞
0, n ≠ m x = l , n = m
《数学物理方法》第六章勒让德函数
①为了讨论系数的解析性质，以判定z0=0是方程的 常点、正则奇点还是非正则奇点，必须将p(x)及q(x) 分别延拓为
但为叙述与书写方便，仍采用x⇔z的记号
12
2. 系数递推公式 由此得系数递推公式
13
3. 由递推公式求系数，得通解
14
勒让德多项式 微分表达式-罗德里格斯(Rodrigues)公式; 母函数; 积分表达式—施列夫利公式和拉普拉斯
积分 递推公式．
6.2.1 勒让德多项式的微分表达式—罗德里格 斯公式 证明 从罗德里格斯公式右边出发来证明．
二项式展开定理为
32
对(x2-1)l求l阶导数后除以(2ll!)得到
为何求和指标的最大值为[l/2]，因为对于指 数(2l-2s)＜l的项，在求l 阶导数后均为零，故： 只含(2l-2s)≥l的项，即：s≤ l/2的项．这样当 l 为偶数时，l/2为最大值； l为奇数时，(l-1)/2 为最大值。用简写符号表示就是 [l/2]
证明 (1)在|t|<1内，将w(x,t)展开为泰勒级数
其中al为泰勒系数, C为在|t|<1内包围t=0点的回路
①奇点
的|t12|<1
36
(2)为证明al =Pl(x)，作变换(u为复变数)
37
代入al ，便有
其中u平面的曲线Cʹ是在式(6.2.5)的变换下t平面曲线 C的像．当t=0时，由式 (6.2.6)得到u=x.既然t=0在 曲线C的内部，因此u=x在曲线Cʹ的内部．
式(6.1.17)乘以任意常数仍为勒让德方程的解 历史上为了让这个多项式与函数(1-2xt+t2)-1/2
的展开系数一致，选择最高次幂项的系数Cl 为
数学物理方法1课件——第六章 拉普拉斯变换
f1(x) ∗ f2 (x) =
∞
−∞ f1(x −η) f2 (η)dη
简单的证明过程要掌握
¾ δ函数有两个重要的特征
（1） δ(x)函数在x=0处为无穷大，在其它处为0；
（2）
δ(x)是归一化的分布函数，即
∫∞ δ (x)dx −∞
=1
¾ δ(x)函数具有挑选性
∫∞ −∞
f
(x)δ (x −
x0 )dx
0
0
p −α
eαt U 1
p −α
其中要求Rep>Reα
例3 求函数f(t)=tn的拉普拉斯变换
∫ F ( p) = ∞ f (t)e− ptdt 0
解：按照拉普拉斯变换的定义
∫ F ( p) = ∞ tn ⋅ e− ptdt 0
当n=1时，
∫ ∫ ∫ 方法1
F( p) =
∞
t
⋅ e− pt dt
=
d2 dp2
∞ e− pt dt
0
=
d2 dp2
⎛ ⎜ ⎝
1⎞
p
⎟ ⎠
=
2 p3
类推，有
tn
U
n! p n +1
例4 求函数f(t)=teαt的拉普拉斯变换
∫ F ( p) = ∞ f (t)e− ptdt 0
解：按照拉普拉斯变换的定义
∫ ∫ F ( p) = ∞ teαt ⋅ e− pt dt = ∞ te−( p−α )tdt
∫ F( p) =
∞
1⋅
e−
pt
dt
=
−
1
e− pt
∞
=
1
0
p 0p
∫ F ( p) = ∞ f (t)e− ptdt 0
数学物理方法讲义
《数学物理方法》（Methods of MathematicalPhysics）《数学物理方法》是物理类及光电子类本科专业学生必修的重要基础课，是在《高等数学》课程基础上的一门重要的应用数学类课程，为专业课程的深入学习提供所需的数学方法及工具。
课程内容：复变函数（18学时），付氏变换（20学时），数理方程（26学时）第一篇复变函数（38学时）绪论第一章复变函数基本知识4学时第二章复变函数微分4学时第三章复变函数积分4学时第四章幂级数4学时第五章留数定理及应用简介2学时第六章付里叶级数第七章付里叶变换第八章拉普拉斯变换第二篇数学物理方程（26学时）第九章数理方程的预备知识第十章偏微分方程常见形式第十一章偏微分方程的应用绪 论含 义使用数学的物理——（数学）物理 物理学中的数学——（应用）数学Mathematical Physics方 程1=x{222111c y b x a c y b x a =+=+()t a dtdx= ⎰=)(t a xdt常微分方程0222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x dt x d ω ()C t A x +=ωcos偏微分方程——数学物理方程0222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z y x ψψψ ()z y x ,,ψψ=12=x()ψψψψψz y x U zy x m h t h i ,,22222222+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂()t z y x ,,,ψψ=复 数1. 数的概念的扩充正整数（自然数） 1，2，…运算规则 ＋，－，×，÷，()2，－ 121-=-负 数 0，-1，-2，…整 数 …，-2，-1，0，1，2，…÷ 5.021= 333.031=有理数（分数） 整数、有限小数、无限循环小数414.12=无理数 无限不循环小数 实 数 有理数、无理数i =-1 虚 数y i复 数 实数、虚数、实数＋虚数 yi x y x +,,2. 负数的运算符号12-=xi x ±=i 虚数单位，作为运算符号。
数学物理方法第二篇第6章
第六章 格林函数法本章利用高等数学中的格林(Green)公式导出调和函数的积分表达式，引进格林函数(又叫点源函数)，它是一种广义函数.利用格林函数求解稳态的边值问题，这种方法叫格林函数法，它是解数学物理问题时常用的方法之一.§2.6.1 格林（Green ）公式 调和函数的积分表达式2.6.1.1 格林公式设D 是以分片光滑的曲面S 为其边界的有界区域，函数P (x ,y ,z ), Q (x ,y ,z ), R (x ,y ,z )是在D 上连续，在区域D 内有连续偏导数的任意函数，则成立奥一高公式 V z R y Q x P D d )(∂∂+∂∂+∂∂⎰⎰⎰=⎰⎰++SS z n R y n Q x n P d )],cos(),cos(),cos([,这里d V 是体积元，n 是曲面S 的外法线方向，d S 为S 上的面积元.由此可以导出格林第二公式或格林公式：S nu v n v u V u v v u D S d d )()(⎰⎰⎰⎰⎰∂∂-∂∂=∆-∆. 事实上，设函数u (x ,y ,z ), v (x ,y ,z )以及它们的所有的一阶偏导数在闭区域S D D =上是连续的，u 、v 在D 内具有连续的二阶偏导数.令 P =x v u ∂∂, Q =yv u ∂∂, R =z v u ∂∂, 代入奥一高公式得到格林第一公式： V z v z u y v y u n v x u S n v uV v u DD S d d d )()(∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂-∂∂=∆⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰这里∆是三维拉普拉斯(Laplace)算子，n∂∂表示曲面S 的外法线方向导数.如果引进梯度算子＝∇k j zy i x ∂∂+∂∂+∂∂ ，那么格林第一公式缩写成 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∇⋅∇-∂∂=∆DS D V v u s n v uv v u d d d )()(，类似地，如果令 P =x u v ∂∂， Q =yu v ∂∂， R =z u v ∂∂，就有 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∇⋅∇-∂∂=∆DD S V u v S n u vV u v d d )()(d 注意到向量的数性积的可交换性，上两式相减，得格林第二公式(又叫格林公式)：S nu v n v uV u v v u D S d d )()∂∂-∂∂=∆-∆⎰⎰⎰⎰⎰（ . 2.6.1.2拉普拉斯方程的基本解在三维空间内，记),()()()(222N M r z y x r =-+-+-=ςηξ表示点M (x ，y ，z )、)(ςηξ，，N 之间的距离，利用复合函数求导的链式法则，对空间中任意固定的一点N ，函数r1除点N 外关于变量（x , y , z ）处处满足拉普拉斯方程0=∆u ；注意到函数r1的特征，同样对于任意固定的一点M (x , y , z ),函数r1除点M 外，关于变量),,(ςηξ处处满足拉普拉斯方程，即0)1(=∆r， （N M ≠）. 函数r1在求解拉普拉斯方程和泊松(Poisson)方程时有极重要的作用，通常把函数r1称为三维拉普拉斯方程或者泊松方程的基本解.同样，对于二维空间，函数),(1ln )()(1ln 1ln 22N M r y x r =-+-=ηξ 叫做二维拉普拉斯方程或泊松方程的基本解.2.6.1.3 调和函数的积分表达式仍以三维空间为例，利用格林公式不难得到三维空间调和函数的积分表达式.定理:（调和函数的积分表达式）设函数u (x , y , z )在闭区域D 上有连续的一阶偏导数，且u (x , y , z )在区域D 内调和（即0=∆u 在D 内成立），那么对于D 内任意固定的一点),,(0000z y x M 就有,1(1[41)(0S n r u n u r M u S d ∂∂-∂∂=⎰⎰π D M ∈0 ,这里M 为点(x , y , z )，并有2020200)()()(),(z z y y x x M M r r -+-+-== .事实上，设),,(0000z y x M 为区域D 内任意固定的一点，M (x ,y ,z )为D 上的一个动点，动点M 到定点M 0的距离2020200)()()(),(z z y y x x M M r r -+-+-== .注意到函数r1除点M 0外，处处调和，M 0挖去.M 0点为球心，充分小的正数（ρ>0)为半径作球体0M K ρ,用0M S ρ表示这个小球0M K ρ的球面.记区域D 1=D \0M K ρ (通常称区域D 内挖去点M 0).这时区域D 1的表面为S 0M S ρ.于是函数u , v =r1在闭区域011M S S D D ρ =上可用格林公式，就有⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=∆-∆S S n u r n r u D S n u r n r u V u r r u M S 01)1)1(()1)1((]1)1([ρd d d 因为在区域D 1内0)1(,0=∆=∆ru ，上式左边等于零，由此得 01)1()1)1((00=∂∂-∂∂+∂∂-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰S S n u r S S n r u S n u r n r u M M S ρρd d d 现在讨论上式左边的后两项积分.注意到，对区域D 1而言，小球面0M S ρ的外法线方向应指向球心M 0 , 与半径r 的方向刚好相反，因此在球面0M S ρ上有2211)1()1(ρ==∂∂-=∂∂r r r n r ，这样上式第二项积分有)(44)(1)1(1212200M u M u s S u S S n r u M M ππρρρρρ===∂∂⎰⎰⎰⎰d d , 这里用到积分中值定理，M 1为球面0M S ρ上的某一点.对于上式第三项积分，用积分中值定理有||22044112M n u M n u S n u r M S ∂∂⋅=∂∂⋅⋅=∂∂⎰⎰πρπρρρd这里M 2为0M S ρ上的某一点.因为nu ∂∂在M 0点的邻域内是有界的，让0→ρ，则M 1、M 2趋于球心M 0 ,所以第三项积分趋于零，由此得 0)(4)1)1((0=+∂∂-∂∂⎰⎰M u S n u r n r u Sπd . 从而得到有界区域D 内调和函数u 的积分表达式：S nr u n u r M u S d ))1(1(41)(0∂∂-∂∂=⎰⎰π, D M ∈0. 这个公式说明，调和函数u 在区域D 内任意一点M 0处的值可以由它的边界S 上的值和它在边界S 上的法向导数nu ∂∂的值来确定，这对解边值问题提供了方便.推论：若u 在有界区域D 内是二阶连续的可微函数，则有积分表达式⎰⎰⎰⎰⎰∆-∂∂-∂∂=DS V r u S n r u v u r M d d ππ41))1(1(41)(u 0，D M ∈0. 这是因为在闭区域1D 上用格林公式，有 S n u r S n r u S n u r n r u V u D r S M d d d )1)1(()1)1((101∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=∆-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ρ 类似上述的讨论，上式右端当0→ρ时，区域D D →1,其余都一样. 对于二维情形，由于基本解为r1ln ，所以不难得到在二维有界区域D 内调和的函数u 的积分表达式：S nr u n u r M u C d ])1(l n )1[l n (21)(0∂∂-∂∂=⎰π, D M ∈0. 这里C 为区域D 的边界.对一般的在区域D 内有二阶连续可微函数u ，则积分表达式为S u r l n r u n u r M u DC d d ∆-∂∂-∂∂=⎰⎰⎰)1(ln 21])1(ln )1[ln(21)(0ππ,D M ∈0. 这两个公式的证明作为习题留给读者自己去证明.§2.6.2 拉普拉斯（Laplace ）方程的狄里克雷问题2.6.2.1 边值问题的提法数学物理的不少问题都会归结为求拉普拉斯方程的解，根据边界条件的不同提法，可以把它的定解问题分为三类：第一边值问题，又称狄里克雷(Dirichlet)问题.求区域D 内调和，而在D 的边界S 上取已知值f 的函数u ，即狄里克雷问题的提法为：0=∆u ， 在D 内,u |s =f 1(M ) ， 在S 上.第二边值问题，又称诺伊曼(Neumann)问题，它的提法为： 0=∆u ， 在D 内,),(|2M f nu S =∂∂ S M ∈. 第三边值问题，又称洛平(Robin)问题，它的提法为： 0=∆u ， 在D 内,),(3M f u n u S=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∂∂βα S M ∈.这里α、β为已知常数，且不同时为零；)(1M f 、)(2M f 、)(3M f 为已知函数.如果以上的提法，针对求有界区域D 内的解，称为内问题，如果求区域的外部的解，称为外问题.对于狄里克雷问题、诺伊曼问题解的存在性，要用到积分方程的理论，由于已超出本书的范围，这里不再赘述，感兴趣的读者可以查阅相关的书籍，例如由沈乃录主编的《积分方程》一书，将会给你一个满意的解答.2.6.2.2 狄里克雷问题的格林函数 格林函数法我们重点来解狄里克雷问题.从调和函数u 的积分表达式出发，在区域D 内的调和函数u 的积分表达式为：S nr u n u r M u S d ⎰⎰∂-∂∂=))/1(1(41)(0π， D M ∈0. 这里由于狄里克雷问题0=∆u ， 在D 内,u |s =f (M ) ， 在∈M S 上.所以，积分表达式中的第二项u 在边界面S 上的值已知，用f (M )代替，就有S nr M f n u r M u S d ⎰⎰∂-∂∂=))/1()(1(41)(0π， D M ∈0, 这样求解的关键是如何从上式中消去带nu ∂∂（未知的）这一项. 由格林公式出发，要在区域D 内求一个函数g ，它在区域D 内调和（即0=∆g ），则格林公式为：S nu g n g uS d ⎰⎰∂∂-∂∂=)(0 用π41乘以上式，再和积分表达式相加，就有S n g r M f n u g r M u Sd ⎰⎰-∂-∂∂-=])/1()()1[(41)(0π， D M ∈0 如果上式中在边界面S 上有g r -1＝0，即=S g |r1，那末狄里克雷问题的解就是：S ng r M f M u S d ⎰⎰-∂-=])/1()([41)(0π， D M ∈0. 综上所述，欲解狄里克雷问题：0=∆u ， 在D 内,u |s =f(M) ， 在∈M S 上就转化为解另一个狄里克雷问题：0=∆g ， 在D 内,=S g |r1 ， ∈M S, 这里);(0M M r r =，);(0M M g g =，∈M S ，D M ∈0一般说来，函数);(0M M g 也不是好求的，它与边界曲面S 的形状有关，但是不管怎么讲，给出了一个解狄里克雷问题的思路，并且对于一些特殊的区域D ，例如球体、半空间、圆域、半平面等可以用初等的方法求出函数g (M ; M 0)来.为了更清楚，我们令函数 );();(1);(000M M g M M r M M G -= 注意到基本解的特征，);(10M M r g (M ；M 0)的要求，对于函数G (M ；M 0)有两个基本性质：(1)除点D M ∈0外，函数G (M ；M 0)在区域D 内调和，即 0);(0=∆M M G , M , M 0D ∈ 且0M M ≠ ;(2)在边界面S 上，0);(0=M M G ,∈M ,S D M ∈0 . 通常把函数G (M ；M 0)称为拉普拉斯方程0=∆u 关于区域D 的狄里克雷问题的格林函数.用求格林函数G (M ；M 0)的方法解狄里克雷问题称为格林函数法.如果格林函数G (M ；M 0)求得，那么狄里克雷问题的解也就有了，并且为S M M G nM f M u S d );()(41)(00⎰⎰∂∂-=π , D M ∈0. 对于二维的情形，完全类似地，可以得到S n G M f M u C d ⎰∂∂-=)(21)(0π , D M ∈0 为狄里克雷问题C D M M f u D M u C =∂∈=∈=∆),(,0|的解，这里格林函数 );(1ln );(00M M g rM M G -=，作为习题留给读者自己去证明.例1. 球的狄里克雷问题和球的格林函数球内狄里克雷问题的提法：0=∆u , 在球2222R z y x <++内 u=f (M ) , 在球面2222R z y x =++ 上 这里 M =(x , y , z ).解： 先求球 2222R z y x <++的格林函数设球内任一点),(00,00z y x M ，由此求);(0M M g 满足另一个球狄里克雷问题：0);(0=∆M M g , 在球内M1);(1);(0MMrMMg=, 在球面上对于球2222Rzyx<++而言，函数);(MMg可以用初等的方法求得.记222zyx++＝ρ，点M0RS的对称点为M1,显然点M1在球外，并在OM0的延长线上（如图），由对称点的定义知：21R＝ρρ⋅其中1ρ为OM1的长，即2121211zyx++＝ρ，),,(1111zyxM=，由调和函数的基本解，这个);(MMg应该是1rA这种形式，这里2121211)()()(zzyyxxr-+-+-=，A为待定常数.显然函数1rA在球内是调和的.问题是怎样确定常数A.由);(MMg的第二个条件在球面上应为r1.为区别起见，球面上的点记为),,(zyxM''''.由于21R=⋅ρρ，所以在MOM'∆与1MMO'∆中，O∠是公共角，且夹这角的两边成比例1OMMOMOOM'='，因此MOM'∆与1MMO'∆相似，从而有MOOMMMMM'=''10，亦即Rrrρ=1，这样在球面ORS上有rrR111=⋅ρ，可见常数202020z y x RRA ++==ρ，所求的101);(r R M M g ⋅=ρ，因此球的格林函数为2121212020202020201100)()()(1)()()(1);(1);(1);(z z y y x x z y x Rz z y y x x M M r R M M r M M G -+-+-⋅++--+-+-=⋅-=ρ得球内狄里克雷问题的解为 S nGM f M u RS d ∂∂'-=⎰⎰)(41)(00π, 球∈0M （2222R z y x <++）. 为了计算，还须将这公式化成便于积分的形式.采用球面坐标系.设点M '的球坐标为),,(ϕθ''R ，点M 0的球坐标为),,(00ϕθρ，将O ∠记为α，于是在球面OR S 上，nr nr ∂∂∂∂)1(,)1(1有 02022)(1grad 11)1()1(n n ⋅∂∂+∂∂+∂∂-=⋅-=∂∂-=∂∂⋅∂∂=∂∂z r yr x r r r r n r r n r r r n r 其中n 0是球面O R S 的外法线单位向量.在球面OR S 上, M '点的坐标为),,(z y x '''，由此r x x x r 0-'=∂∂ , ry y y r 0-'=∂∂ , r z z z r 0-'=∂∂ , 设r 0是r 方向上的单位向量，由此 ),cos(1)(1)1(200002n r r r z z r y y r x x r n r -=⋅-'+-'+-'-=∂∂n ,同理 ),c o s (1)1(1211n r r n r -=∂∂，这样),c o s (),c o s (1)1()1(12121n r r Rn r r n r n r R n G ρρ-=∂∂-∂∂=∂∂-为了简化上式，在M OM '∆0与1M M O '∆中用余弦定理得Rr r R n r 2),cos(222ρ-+= ， 12121212),cos(Rr r R n r ρ-+= ，注意到在球面OR S 上有rr R 11=ρ，并且21R =⋅ρρ，于是有 3221212),cos(),cos(1RrR n r r R n r r n G ρρ-=-=∂∂-, 从而球内狄里克雷问题的解化简为ϕθθραρρϕθπρπππ'''+--''=-'=⎰⎰⎰⎰d d d sin ]cos 2[),(4)(41)(2322222003220R R R f R S r R M f R M u ORS这也叫球的泊松积分.利用M 0的对称点M 1构造格林函数的方法，叫做镜像法，物理学中又叫静电源象法.例 2. 半空间的狄里克雷问题.半空间的狄里克雷问题就是求一个在上半空间0>z 内的调和函数u (x , y, z )，且在边界面z =0上满足u (x , y , 0)=f (x , y )，即⎪⎩⎪⎨⎧=>=∆=),(0,0|0y x f u z u z解：设在半空间在z >0内任意一点),(00,00z y x M ，这里z 0>0,那么M 0关于平面0=z 的对称点M 1就是 ),(00,0z y x -.所以函 数2020201)()()(11z z y y x x r ++-+-=是半空间0>z 内的调和函数，并且在边界面z =0上，显然有rr 111=，因此半空间z >0内的格林函数为20202020202010)()()(1)()()(111);(z z y y x x z z y y x x r r M M G ++-+---+-+-=-=对于半空间z >0，边界面z ＝0的外法线方向与z 轴的正向相反，于是z Gn G ∂∂-=∂∂，这个半空间z >0的狄里克雷问题的解为 S nG y x f z y x u z d ⎰⎰=∂∂-=0000),(41),,(π=S zG y x f z d ⎰⎰=∂∂0),(41π=y x z y y x x y x f z d d ⎰⎰+∞∞-+∞∞-+-+-232020200])()[(),(2π.§2.6.3 泊松方程的狄里克雷问题在研究有外力作用下的薄膜平衡和有热流的热平衡以及稳定电场的静电势等问题时，都会导出称谓泊松方程的数学物理方程.泊松方程的一般形式是),,(z y x F u u u u zz yy xx =++≡∆,其中F (x , y , z )为已知函数.泊松方程的狄里克雷问题的提法是),,(z y x F u =∆ （x , y , z ）D ∈, )(|M f u S= M 在D 的边界面S 上.对于在有界区域D 内有二阶连续的可微函数u (M ),有积分表达式V r uS n r u n u r M u DSd d ⎰⎰⎰⎰⎰∆-∂∂-∂∂=ππ41))1(1(41)(0, D M ∈0. 设);(0M M G 是区域D 的格林函数，就有);();(1);(000M M g M M r M M G -=这里函数);(0M M g 为区域D 内的调和函数，在边界面S 上有r g S1|=，对格林公式S n uv n v u V u v v u D Sd d )()(∂∂-∂∂=∆-∆⎰⎰⎰⎰⎰中用函数);(0M M g 替代v ，再两边乘以π41得 ⎰⎰⎰⎰⎰∆+∂∂-∂∂=DSV u g S n u r n g ud d ππ41)1(410将以上两等式相加，消去S n ur Sd ∂∂⎰⎰141π项就得泊松方程狄里克雷问题的解为⎰⎰⎰⎰⎰+∂∂-=DSV FG S n G fM u d d ππ4141)(0显然，上式第一项是定解问题0=∆u 在D 内，f u S=|的解；第二项是定解问题0,|==∆Su F u 的解对于二维泊松方程的狄里克雷问题可以类似地求解.。
数学物理方法课件
1 2
eix.k dk
sin x lim lim x 0 , f ( x) 0 按照 (x ) 函数的定义, 有 f ( x) , f ( x) 0 ( x) ( x a) ( x a) 2 2 可得性质： (ax) , (x a ) . a 2x 1e e 2ix
f ( x ) dx
存在(绝对可积)。
1 c(k ikx dx
f ( x)
c(k )e ikx dk
令 F ( k ) 2c ( k ), 得 Fourier 变换（最常用的形式）
F (k )
f ( x )e
ikx
nx kx l sin l sin l dx 0 ( n k ),
l
nx kx l cos l sin l dx 0
l
即其中任意两个函数的乘积在一个周期上的积分等于0
(x ) 函数最先由狄拉克在量子力学中引入的。其实，
它在经典物理中也极为有用。它反映了诸如点质量， 点电荷等集中分布的物理量这类客观实际。 (x ) 函数的定义是: 0, x 0 ，且 ( x)dx 1 ( x) , x 0 0, x x0 或者 ( x x0 ) ，且 ( x x0 )dx 1 , x x0
n 1
n
cn ein x / l
1
得 f ( x)
n
c n e inx / l ，这就是复数形式的 Fourier 级数.
l
上式两边乘 e inx / l 并积分,并注意到基本函数族的正交性,
数理方法第六章[横式]
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u (r ) v (r ) dS [ u (r ) v (r ) u (r )
T
2011/2/9 天津大学 物理系 2 2011/2/9 天津大学 物理系
2
v (r )] d .
第一格林公式(Green's First identity)
4
1
2011/2/9
2 G (r ; r0 ) (r r0 ) , (r , r0 T )
Robin Problem
G G (r ; r0 ) h 0, n r
2011/2/9
天津大学 物理系
9
2011/2/9
天津大学 物理系
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第一类边值问题的格林函数：
2 G (r ; r0 ) (r r0 ) , (r , r0 T )
第一类边值问题（Dirichlet Problem） 第二类边值问题（ Neumann Problem） 第三类边值问题（Robin Problem）
而
u(r) G(r; r ) d
2 0 T
u(r) (r r0 ) d
T
u(r0 )
(r , r0 T )
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其中， VT d .
T
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4
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注意：下面的格林函数是不存在的，
2 G (r ; r0 ) (r r0 ) , (r , r0 T )
Green函数的坐标对易性：
G n
0,
天津大学 物理系
6
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例1
解：设L[y(t)]=Y(p)，方程两边取Laplace变换，有
利用初始条件，得到
L-1{Y(p)}
拉普拉斯变换的定义
傅里叶变换要求进行变换的函数在无穷区间 有定义，在任一有限区间上满足狄利克雷条件，并要求 存在．这是一个比较苛刻的要求，一些常用的 函数，如阶跃函数 ，以及 等均不满足这
在物理、线性控制等实际应用中，许多以时间 些要求．另外， 为自变量的函数，往往当 时没有意义，或者不需要知道
的情况．因此傅里叶变换要求的函数条件比较强，这 就限制了傅里叶变换应用的范围．
第六章 拉普拉斯变换简介
拉普拉斯变换理论（又称为运算微积，或称为算子微积）
是在19世纪末发展起来的．首先是英国工程师亥维赛德(O.Heaviside)
发明了用运算法解决当时电工计算中出现的一些问题，但是缺乏严
密的数学论证．后来由法国数学家拉普拉斯(place)给出了严密 的数学定义，称之为拉普拉斯变换方法．
(t )
为了解决上述问题而拓宽应用范围，人们发现对于任意一
个实函数 条件． 首先将函数 乘以单位阶跃函数： ，可以经过适当地改造以满足傅氏变换的基本
得到
，则根据傅氏变换理论有
很显然通过这样的处理，当
时，
在没有定
义的情况下问题得到了解决．但是仍然不能回避
上绝对可积的限制．为此，我们考虑到当 时，衰减速度很快的函数，那就是指数函数 于是有
在
上式即可简写为
这是由实函数
通过一种新的变换得到的复变函数，
这种变换就是我们要定义的拉普拉斯变换．
定义
设 实函数
在
上有定义，且积分
（
为复参变量） 对复平面
上某一范围
收敛，则由这个积分所确定的函数 （8.1.1）
称为函数
的拉普拉斯变换，简称拉氏变换（拉氏逆变换
若满足式： ，我们称上式为
的拉普拉斯逆变换式，称为拉氏逆变换式．
举例：
例1： L 例2： L 例3： L 例4： L 例5： L 例6： L
Laplace变换的性质
性质1（导数性质） L 推论： 性质2（积分性质） L 性质3（相似性质） L 性质4（延迟性质） L 性质5（位移性质） L 性质6（卷积性质） L