中考数学复习指导：构造轴对称图形解题方法
【2014中考复习方案】(人教版)中考数学复习权威课件 ：31 轴对称与中心对称(21张ppt,含13年试题)
3. 因为BP＋PE＝CE＝AD＝ 3 ；
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第31课时┃轴对称与中心对称
(2)实践运用
︵ 如图 31－6①：已知⊙O 的直径 CD 为 2，AC 的度数为 ︵ 60°，点 B 是AC的中点，在直径 CD 上作出点 P，使 BP＋ ．． AP 的值最小，则 BP＋AP 的最小值为________．
第31课时┃轴对称与中心对称
(2)△A2B2C2如图所示，A2(－2，4)．
方法点析
此类作图问题的关键是根据轴对称与中心对称坐标特征
求出对称点的坐标．
考点聚焦 归类探究 回归教材
第31课时┃轴对称与中心对称
回 归 教 材
“输气管线路最短”问题的拓展创新 教材母题 如图31－4，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、 B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管
中心对称 的性质
的两个图形________ 全等
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第31课时┃轴对称与中心对称
归 类 探 究
探究一 轴对称图形与中心对称图形的概念
命题角度： 1. 轴对称的定义，轴对称图形的判断； 2. 中心对称的定义，中心对称图形的判断．
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第31课时┃轴对称与中心对称
(2)若A、B在l的异侧，则直接连接．
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第31课时┃轴对称与中心对称
中考预测 (1)观察发现 如图31－5①：若点A、B在直线m的同侧，在直线m上 找一点P，使AP＋BP的值最小，做法如下：作点B关于直线 m的对称点B′，连接AB′，与直线m的交点就是所求的点P，
中考数学备考专题复习 图形的对称(含解析)(2021年整理)
2017年中考数学备考专题复习图形的对称（含解析）2017年中考数学备考专题复习图形的对称（含解析）编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017年中考数学备考专题复习图形的对称（含解析））的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1图形的对称一、单选题（共12题;共24分）1、当你看到镜子中的你在用右手往左梳理你的头发时，实际上你是( ）A、右手往左梳B、右手往右梳C、左手往左梳D、左手往右梳2、线段MN在直角坐标系中的位置如图所示，线段M1N1与MN关于y 轴对称，则点M的对应的点M1的坐标为( ）A、（4,2）B、(－4,2）C、（－4，－2)D、(4，－2）3、如图,ΔABC与ΔA'B’C’关于直线l对称，则∠B的度数为( ）A、30°B、50°C、90°D、100°4、下面有４个汽车标志图案，其中是轴对称图形的是( ）A、②③④B、①③④C、①②④D、①②③25、如图，将半径为6的⊙O沿AB折叠,弧AB与AB垂直的半径OC交于点D且CD=2OD，则折痕AB的长为（）A 、B 、C、6D 、6、若A（m－1，2n＋3)与B（n－1，2m＋1）关于y轴对称，则m与n的值分别为( ）A、，B 、，C、－1，－1D、－1, 17、（2016•济宁)如图，在4×4正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形,现在任意选取一个白色的小正方形并涂黑，使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是（)A 、B 、C 、D 、8、（2016•苏州）矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4）,D是OA的中点,点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（)A、(3，1）B、（3, )C、(3，）D、（3，2）39、(2016•义乌）我国传统建筑中，窗框（如图1）的图案玲珑剔透、千变万化，窗框一部分如图2,它是一个轴对称图形，其对称轴有（ )A、1条B、2条C、3条D、4条10、（2016•曲靖）如图，C，E是直线l两侧的点，以C为圆心，CE长为半径画弧交l于A，B两点，又分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧,两弧交于点D，连接CA,CB，CD，下列结论不一定正确的是（）A、CD⊥lB、点A，B关于直线CD对称C、点C，D关于直线l对称D、CD平分∠ACB11、如图，在平面直角坐标系中，点P(﹣1，2）关于直线x=1的对称点的坐标为（）A、（1,2)B、（2，2）C、（3，2）D、(4，2）12、如图，C，E是直线l两侧的点,以C为圆心,CE长为半径画弧交l于A，B两点，又分别以A，B为圆心,大于AB的长为半径画弧，两弧交于点D，连接CA,CB，CD，下列结论不一定正确的是（）4A、CD⊥lB、点A,B关于直线CD对称C、点C，D关于直线l对称D、CD平分∠ACB二、填空题（共5题;共6分)13、在同一直角坐标系中，A（a＋1，8)与B(－5,b－3)关于x轴对称,则a＝________，b＝________．14、(2016•娄底）从“线段，等边三角形，圆，矩形,正六边形”这五个圆形中任取一个，取到既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是________．15、数学在我们的生活中无处不在,就连小小的台球桌上都有数学问题．如图所示，∠1=∠2，若∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时,必须保证∠1等于________．16、(2016•张家界)如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处,点D落在E处，EQ与BC相交于F．若AD=8cm，AB=6cm，AE=4cm．则△EBF的周长是________cm ．17、（2016•义乌）如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=2，E是AB的中点,直线l平行于直线EC,且直线l与直线EC之间的距离为2，点F 在矩形ABCD边上，将矩形ABCD沿直线EF折叠,使点A恰好落在直线l上，则DF的长为________．三、解答题(共1题；共5分）18、（2016•荆州）请用割补法作图,将一个锐角三角形经过一次或两次分割后,重新拼成一个与原三角形面积相等的平行四边形（只要求用一种方法画出图形，把相等的线段作相同的标记）．四、综合题（共5题;共55分)19、（2016•自贡）抛物线y=﹣x2+4ax+b（a＞0）与x轴相交于O、A两点（其中O为坐标原点），过点P(2，2a）作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B,点B关于抛物线对称轴的对称点为C（其中B、C5不重合），连接AP交y轴于点N,连接BC和PC．(1）a= 时，求抛物线的解析式和BC的长；（2）如图a＞1时,若AP⊥PC，求a的值．20、（2016•齐齐哈尔）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，0）,C（0，0）(1）画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；（2）画出将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到△A2B2O; (3）在x轴上存在一点P，满足点P到A1与点A2距离之和最小，请直接写出P点的坐标．21、（2016•义乌）对于坐标平面内的点,现将该点向右平移1个单位，再向上平移2的单位，这种点的运动称为点A的斜平移，如点P （2,3）经1次斜平移后的点的坐标为(3，5），已知点A的坐标为(1，0）．(1)分别写出点A经1次，2次斜平移后得到的点的坐标．（2）如图，点M是直线l上的一点，点A关于点M的对称点的点B，点B关于直线l的对称轴为点C．①若A、B、C三点不在同一条直线上，判断△ABC是否是直角三角形?请说明理由．②若点B由点A经n次斜平移后得到，且点C的坐标为（7，6）,求出点B的坐标及n的值．22、如图，△ABC中,A点坐标为（2，4）,B点坐标为（﹣3,﹣2)，C 点坐标为（3，1）．6(1)在图中画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′(不写画法）,并写出点A′，B′，C′的坐标．(2)求△ABC的面积．23、在棋盘中建立如图所示的平面直角坐标系，三颗棋子A，O,B的位置如图所示，它们的坐标分别是（﹣1，1），（0，0）和（1,0）(1）如图，添加棋子C，使A,O,B，C四颗棋子成为一个轴对称图形，请在图中画出该图形的对称轴;(2）在其他个点位置添加一颗棋子P，使A，O，B，P四颗棋子成为一个轴对称图形，请直接写出棋子P的位置坐标（写出2个即可)．7答案解析部分一、单选题【答案】D【考点】生活中的轴对称现象，轴对称图形【解析】【解答】根据镜面对称的性质，当镜子中的像在用右手往左梳理你的头发时，实际上是左手往右梳．故选D．【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称．【答案】D【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标,坐标与图形变化—对称【解析】【解答】根据坐标系可得M点坐标是（—4，-2），故点M的对应点M′的坐标为（4，-2)，故选:D．【分析】此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握关于y轴对称点的坐标的变化特点．根据坐标系写出点M的坐标,再根据关于y轴对称的点的坐标特点：纵坐标相等,横坐标互为相反数，即可得出M′的坐标．【答案】D【考点】三角形内角和定理，轴对称的性质【解析】【解答】∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∴∠A=∠A′=50°，∠C=∠C′=30°；∴∠B=180°-80°=100°．故选D【分析】本题主要考查了轴对称的性质与三角形的内角和是180度由已知条件，根据轴对称的性质可得∠C=∠C′=30°，利用三角形的内角和等于180°可求答案．【答案】D【考点】生活中的轴对称现象,轴对称图形【解析】【解答】根据轴对称图形的定义，即可分析出可以看成轴对称图形的汽车标志图案.由轴对称图形的定义可得可以看成轴对称图形的汽车标志图案有①②③,故选D.【分析】解答本题的根据是掌握好轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形.【答案】B【考点】勾股定理,垂径定理，翻折变换（折叠问题）【解析】【解答】延长CO交AB于E点，连接OB，∵CE⊥AB，8∴E为AB的中点，∵OC=6，CD=2OD，∴CD=4，OD=2，OB=6，∴DE=(2OC-CD)=（6×2-4)=×8=4,∴OE=DE—OD=4—2=2，在Rt△OEB中，∵OE2+BE2=OB2∴∴AB=2BE=故选B.【分析】根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键。
初中数学辅助线添加技巧：轴对称
初中数学辅助线添加技巧：轴对称方法总结1．图形的折叠是指某个图形或其部分沿某直线翻折，这条直线为对称轴．在近年来全国各地的中考题中，图形折叠问题渐渐成了考查的热点模型．思路：图形的折叠问题分为两类题型：一是考察图形折叠的不变性：只需抓住不变量，即对应边相等，对应角相等；二是考察图形折叠的折痕：只需抓住折痕垂直平分对应点所连的线段且平分对应边所成的夹角．2．轴对称变换是作点、线、图形关于某一直线的对称图形，从而使图形中隐藏条件凸显出来或将分散条件集中起来，从而达到解题目的．那么，我们在什么情况下应该想到用或作轴对称呢？以下给出几种常见考虑要用或作轴对称的基本图形．（1）线段或角度存在2倍关系时，可考虑对称；（2）有互余、互补关系的图形，可考虑对称；（3）角度和或差存在特殊角度的，可考虑对称；（4）路径最短问题，基本上运用轴对称，将分散的线段集中到两点之间，从而运用两点之间线段最短，来实现最短路径的求解．所以最短路径问题，需要考虑轴对称．几何最值问题的几种中考题型及解题作图方法如下所示．3．轴对称的基本模型（1）（2）（3）（4）典例精析例1．如图，在△ABC中，∠B=22.5°，边AB的垂直平分线交BC于点D，DF⊥AC于点F，交BC边上的高AE于点G，求证：EG=EC．GFED CBA证明：连接AD．21GFEDCBA∵点D 为AB 垂直平分线上一点， ∴DA DB =，∴22.5BAD B ∠=∠=︒， 又AE BC ⊥，∴45DAE ADE ∠=∠=︒， ∴DE AE =， ∵DF AC ⊥ ∴290C ∠+∠=︒， 又∵190C ∠+∠=︒， ∴12∠=∠， ∴AEC DEG △≌△， ∴EG GC =．点拨：本题用到了基本模型（4），线段的垂直平分线“模型”是典型的轴对称基本模型． 例2．（1）如图1，把矩形ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在边AD 上的点B'处，点A 落在点A'处．若AE =a ，AB =b ，BF =c ，请写出a ，b ，c 之间的一个等量关系 ．（2）如图2，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =50°，，将其折叠，使点A 落在边CB 上A'处，折痕为CD ，则∠A'DB =（ ）A ．40°B ．30°C ．20°D ．10°（3）如图3，等边△ABC 的边长为1cm ，D 、E 分别是AB 、AC 边上的点，将△ADE 沿直线DE 折叠，点A 落在A'处，且点A'在△ABC 外部，则阴影部分图形的周长为 cm ．（4）如图，正方形纸片ABCD 的边长为1，M 、N 分别是AD 、BC 边上的点，将纸片的一角沿过点B 的直线折叠，使A 落在MN 上，落点记为A ′，折痕交AD 于点E ,若M 、N 分别是AD 、BC 边的中点，则A ′N = ; 若M 、N 分别是AD 、BC 边的上距DC 最近的n 等分点（2n ≥,且n 为整数），则A ′N = （用含有n 的式子表示）图4图3图2图1N MABCDE ABCDEF ABCDA解（1）222c a b =+（提示B'E =BF =FB =c ） （2）D ；（3）3；（4（n ≥2，且n 为整数）． 点拨：本例中几个题都是折叠问题，折叠与轴对称是密不可分的，对于折叠问题，我们的思路通常是确定对应边、对应角及折痕，折叠前后的图形全等，且折痕是对应点连线的垂直平分线，求线段长通常确定一个直角三角形或两个相似三角形，利用勾股定理和相似三角形的性质求解．例3．如图，将边长为8cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在F 处，折痕为MN ，求折痕MN 的长度．NM A BCDEF解：方法一：过点M 作MHAD 交CD 于点H ，连接DE ．H NM A BCD EF∵正方形ABCD ，MN 是折痕，∴,MN DE MH AD ⊥=， ∵E 是BC 中点， ∴4BE CE ==， 易证MHN DCE △≌△， ∴MN DE =，在Rt DCE △中，CD =8，EC =4，∴DE ==，∴MN =．方法二：延长NE 交AB 的延长线于点H ，由题意可知EN =DN ，CE =4．K HN M A B CDEF在Rt NEC △中，设DN =x ， ∵222EN EC CN =+， ∴()22248x x =+- ∴5x =，∴5,3DN CN ==．易证,5,10NEC HEB HE NE HN ===△≌△， ∵ABCD ，∴DNM HMN ∠=∠． ∵DNM HNM ∠=∠， ∴HMN HNM ∠=∠． ∴10MH NH ==． 作NK AB ⊥于K ，∴3KB NC BH ===． ∴4MK =． ∵8KN =，∴MN ==点拨：本例是一道典型的考查折痕的问题，方法一应用了折痕垂直平分对应点所连线段，再用正方形中一个经典模型：并将MN 转化；方法运用了折痕平分对应边所成的夹角，和平行线一起构成等腰三角形．例4．在四边形ABCD 中，AB =30，AD =48，BC =14，CD =40，90ABD BDC ∠+∠=︒，求四边形ABCD 的面积．40144830A B CD解：作BD 的垂直平分线l ，以l 为对称轴，作ABD △关于l 的轴对称图形A'DB △．l A'40144830A B CD∴,30,48,ABD A'DB S S A'D AB A'B AD A'DB ABD =====∠=∠△△． ∴90A'DC A'DB BDC ABD BDC ∠=∠+∠=∠+∠=︒． ∴A'DC △是直角三角形．∴50A'C ，在A'BC △中，50,48,14A'C A'B AD BC ====． 而22222214481962304250050BC A'B A'C +=+=+===， ∴由勾股定理逆定理可知90A'BC =∠︒． ∴A'BC A'DC ABCD A'BCD S S S S ==+△△四边形四边形 1111481430403366009362222A'B BC A'D CD =+=⨯⨯+⨯⨯=+=． 点拨：题目给出两角互余，考虑直接将两角挪在一起，构成直角，进而得到特殊三角形，特殊图形具有特殊性质，便于我们做题．而此题我们利用轴对称达到这一目的．应用了基本模型（1），因此说互余、互补关系的图形与轴对称有着很奇妙的关系，也是轴对称的应用．例5．在四边形ABCD 中，连接AC ，BC =CD ，60BAC ACD ∠-∠=︒，求证：AD CD AB +≥．ABCD证明：以AC 所在直线为对称轴将ADC △翻折到AD'C △的位置，连接BD'．D'ABCD则,CD'CD BC ACD ACD'==∠=∠．∵60BCD'BAC ACD'BAC ACD ∠=∠-∠=∠-∠=︒， ∴D'BC △为等边三角形．∴AD CD AD'D'B AB +=+≥，等号成立时AC 平分BAD ∠．点拨：本题中出现角度差为特殊角60°，提示我们可以进行对称变换“构造”出60°角．例6．问题：已知△ABC 中，∠BAC =2∠ACB ，点D 是△ABC 内一点，且AD =CD ，BD =BA .探究∠DBC 与∠ABC 度数的比值.请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明. （1）当∠BAC =90°时，依问题中的条件补全右图. 观察图形，AB 与AC 的数量关系为________________；当推出∠DAC =15°时，可进一步推出∠DBC 的度数为_________； 可得到∠DBC 与∠ABC 度数的比值为_______________.（2）当∠BAC ≠90°时，请你画出图形，研究∠DBC 与∠ABC 度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明.ABC解：（1）图形补全如下图所示，ABCD①当∠BAC =90°时， ∵∠BAC =2∠ACB ， ∴∠ACB =45°，在△ABC 中，∠ABC =180°－∠ACB －∠BAC =45°， ∴∠ACB =∠ABC ， ∴AB =AC （等角对等边）； ②当∠DAC =15°时， ∠DAB =90°－15°=75°，∵BD =BA ，∴∠BAD =∠BDA =75°， ∴∠DBA =180°－75°－75°=30°，∴∠DBC =45°－30°=15°，即∠DBC =15°， ∴∠DBC 的度数为15°； ③∵∠DBC =15°，∠ABC =45°， ∴∠DBC =15°：∠ABC =45°=1：3， ∴∠DBC 与∠ABC 度数的比值为1：3．（2）猜想：∠DBC 与∠ABC 度数的比值与（1）中结论相同．证明：如图，作∠KCA =∠BAC ，过B 点作BK ∥AC 交CK 于点K ，连接DK ．654321l K ABCD E∴四边形ABKC 是等腰梯形， ∴CK =AB ， ∵DC =DA ， ∴∠DCA =∠DAC ， ∵∠KCA =∠BAC ， ∴∠KCD =∠3， ∴△KCD ≌△BAD ， ∴∠2=∠4，KD =BD ， ∴KD =BD =BA =KC ． ∵BK ∥AC ， ∴∠ACB =∠6，∵∠BAC =2∠ACB ，且∠KCA =∠BAC ， ∴∠KCA =2∠ACB ， ∴∠5=∠ACB ，∴∠5=∠6， ∴KC =KB ， ∴KD =BD =KB ， ∴∠KBD =60°，∵∠ACB =∠6=60°－∠1， ∴∠BAC =2∠ACB =120°－2∠1，∵∠1+（60°－∠1）+（120°－2∠1）+∠2=180°， ∴∠2=2∠1，∴∠DBC 与∠ABC 度数的比值为1：3．点拨：本题出现倍角关系，又有轴对称的基本模型（2）、（3），所以很容易想到用对称解决问题．本题的难点在于轴对称的选择．例7．（1）在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，2CM =，点P 是BD 上一动点，则PM PC +的最小值是 ．（2）若将（1）中的正方形换成菱形且60ABC ∠=︒，其它条件不变，则PM PC +的最小值是 ．(2)(1)M CDPAB PABCDM解：（1）2）点拨：求线段和最小时，可以利用对称性求解． 例8．阅读下列材料：问题：如图1，在四边形ABCD 中，M 是BC 边的中点，且90AMD ∠=︒，试判断AB ＋CD 与AD 之间的大小关系。
【中考备战策略】2014中考数学总复习 第27讲 轴对称与中心对称课件 新人教版
A．△ ABD≌△ ACD B． AF 垂直平分 EG C．直线 BG， CE 的交点在 AF 上 D．△ DEG 是等边三角形
解析： 因为风筝图案关于直线 AF 对 称，所以 △ ABD≌△ ACD.AF 垂直平分 EG，点 B 和点 C 关于 直线 AF 对称，点 E 和点 G 关于直线 AF 对称，连接 BG， CE，则 BG 和 CE 关于直线 AF 对称．所以直线 BG， CE 的交点在 AF 上．故选 D.
2． (2013· 烟台 )以下是回收、绿色包装、节水、低 碳四个标志，其中是中心对称图形的是( B )
解析：由中心对称图形、轴对称图形的定义可知， A 和 D 既不是中心对称图形， 也不是轴对称图形；B 是 中心对称图形； C 是轴对称图形，但不是中心对称图 形．故选 B.
3． (2013· 汕头 )下列四个几何体中，俯视图为四边 形的是 ( D )
考点训练
一、选择题 (每小题 4 分，共 48 分 ) 1 ． (2013· 德 州 ) 民 族图案是 数学文化 中的一块 瑰 宝．下列图案中，既不是中心对称图形也不是轴对称图 形的是 ( C )
解析： A 选项是中心对称图形， 但不是轴对称图形； B 选项既是中心对称图形，也是轴对称图形；D 选项是 轴对称图形，但不是中心对称图形；只有 C 花瓣个数 为奇数，既不是中心对称图形，也不是轴对称图形．故 选 C.
解析：等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图 形；菱形既是轴对称图形又是中心对称图形；函数 1 y＝ 的图象是一对双曲线，既是轴对称图形又是中心对 x 称图形；函数 y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，既是轴 对称图形又是中心对称图形．故选 D.
4．如图是一个风筝的图案，它是以直线 AF 为对 称 轴 的 轴 对称 图 形， 下 列 结论 中 不一 定 成 立的 是 ( D )
中考数学一轮复习：图形的轴对称与中心对称
A．3
B．4
C．5
D．6
解析：由折叠知 BE＝EF＝3，则 EC＝5.故 CF＝ EC2－EF2＝4.设 AB＝x，则 AF＝x， AC＝x＋4，∴x2＋82＝(x＋4)2.∴x＝6.
答案：D
二、填空题 3． 如图， D 是AB边上的中点，将△ABC 沿过D 的直线折叠，使点A 落在BC上的F 处．若∠B＝50°，则∠BDF＝________.
解析：由题意得AD＝DF，又AD＝DB，∴DB＝DF，∴∠DBF＝∠DFB＝50°， ∴∠BDF＝80°.
答案：80°
4．如图，△ABC 的顶点都在正方形网格格点上，点 A 的坐标为(－1,4)．将△ABC 沿 y 轴翻折到第一象限，则点 C 的对应点 C′的坐标是(3,1)．
三、解答题 5．如图，在 10× 10 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1，网格中有一个格点 △ABC(即三角形的顶点都在格点上 )．
解析：∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠ABC＝90° .由轴对称可知：∠DBF＝∠CBF， 1 ∠ABE＝∠DBE，∴∠EBF＝ ∠ABC＝45° . 2
答案：C
一、选择题 1． 如图，在下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(
)
答案：B
2.如图，在矩形纸片 ABCD 中，已知 AD＝8，折叠纸片使 AB 边与对角线 AC 重合，点 B 落在 F 处，折痕为 AE，且 EF＝3，则 AB 的长为( )
知识点二
中心对称图形和中心对称
1．在平面内，一个图形绕某个点旋转 180° ，能与原来的图形重合，这个图形叫做中心 对称图形，这个点叫做它的对称中心，旋转前后图形上能够重合的点叫做对称点． 2．在平面内，一个图形绕某一定点旋转 180° ，它能够与另一个图形重合，就说这两个 图形关于这个点成中心对称， 这个点叫做对称中心， 旋转后两个图形上能够重合的点叫做关 于对称中心的对称点． 3．中心对称与中心对称图形的区别与联系 区别：(1)中心对称是指两个图形的位置关系，而中心对称图形是指具有某种性质的一 类图形；(2) 成中心对称的两个图形的对称点分别在两个图形上，而中心对称图形的对称点 在同一个图形上． 联系：若把中心对称图形的两部分看成两个图形，则它们成中心对称；若把成中心对称 的两个图形看成一个整体，则成为中心对称图形．
图形的变化——轴对称备战2023年中考数学考点微专题
考向5.2 图形的变化——轴对称[知识要点] 1、定义把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，该直线叫做对称轴。
2、性质（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形。
（2）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。
（3）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。
3、判定如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
4、轴对称图形把一个图形沿着某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。
例题1．在ABC 中，90ACB ∠=︒，ACm BC=，D 是边BC 上一点，将ABD △沿AD 折叠得到AED ，连接BE ．（1）特例发现：如图1，当1m =，AE 落在直线AC 上时， ①求证：DAC EBC ∠=∠； ②填空：CDCE的值为______； （2）类比探究：如图2，当1m ≠，AE 与边BC 相交时，在AD 上取一点G ，使ACG BCE ∠=∠，CG 交AE 于点H ．探究CGCE的值（用含m 的式子表示），并写出探究过程； （3）拓展运用：在（2）的条件下，当22m =，D 是BC 的中点时，若6EB EH ⋅=，求CG 的长．解：（1）①证明：延长AD 交BE 于点F ．由折叠得90AFB ACB ∠=︒=∠．∴90DAC ADC BDF EBC ∠+∠=∠+∠=︒． ∵ADC BDF ∠=∠， ∴DAC EBC ∠=∠． ②当1m =，即1ACBC=时， 可知AC =BC ， 在ACD △和BCE 中， 90DAC EBC ACD BCE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ∴ACD ≌BCE (AAS )， ∴CD CE =， ∴1CDCE=． 故答案为：1； （2）解：CGm CE=． 理由：延长AD 交BE 于点F ，由折叠得90AFB ACB ∠=︒=∠．∴90ADC DAC BDF CBE ∠+∠=∠+∠=︒， ∵ADC BDF ∠=∠，∴DAC CBE ∠=∠， ∵ACG BCE ∠=∠， ∴ACG BCE △∽△， ∴CG ACm CE BC==． （3）解：由折叠得90AFB ∠=︒，BF FE =， ∵D 是BC 的中点， ∴//DF CE ，∴90BEC BFD ∠=∠=︒，AGC ECG ∠=∠，GAH CEA ∠=∠， 由（2）知ACG BCE △∽△， ∴90AGC BEC ∠=∠=︒， 22AG CG AC m BE CE BC ====， D 是BC 的中点，2,BC CD ∴=∴2ACCD=， ∴1tan 2CG DC GAC AG AC =∠==， 设CG x =，则2AG x =，2CE x =，2BE x =， ∴AG CE =，,,GAH HEC AHG CHE ∠=∠∠=∠∴AGH ECH ≌△△， ∴AH EH =，GH CH =， ∴12GH x =， 在Rt AGH 中，由勾股定理得2232AH AG GH x EH =+==， ∵6EB EH ⋅=， ∴3262x x ⋅=，解得2x =±（负值舍去）， ∴2CG =． 【点拨】本题．1、轴对称图形和折叠的关系：折叠形成的图形就是轴对称图形，其中折痕所在的直线就是对称轴；2、“对称点的连线被对称轴垂直平分”这个知识点常常是解题的突破口；3、 本题为三角形综合题，考查折叠的性质，全等三角形判定与性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，根据折叠性质找到角度之间的关系是解题的关键一、单选题1．（2022·重庆·模拟预测）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2021·甘肃兰州·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点()3,4A -关于y 轴对称的点B 的坐标是（ ） A ．()3,4-B ．()3,4--C ．()3,4-D ．()3,43．（2021·山东青岛·中考真题）如图，在四边形纸片ABCD 中，//AD BC ，10AB =，60B ∠=︒．将纸片折叠，使点B 落在AD 边上的点G 处，折痕为EF ．若45BFE ∠=︒，则BF 的长为（ ）A ．5B ．35C ．53D 34．（2021·山东滨州·中考真题）在四张反面无差别的卡片上，其正面分别印有线段、等边三角形、平行四边形和正六边形．现将四张卡片的正面朝下放置，混合均匀后从中随机抽取两张，则抽到的卡片正面图形都是轴对称图形的概率为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．345．（2018·四川内江·中考真题）如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在F 处，BF 交AD 于点E ．若∠BDC ＝62°，则∠DEF 的度数为（ ）A ．31°B ．28°C ．62°D ．56°6．（2021·山东潍坊·中考真题）如图，某机器零件的三视图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．主视图B ．左视图C ．俯视图D ．不存在7．（2021·四川凉山·中考真题）如图，ABC 中，90,8,6ACB AC BC ∠=︒==，将ADE 沿DE 翻折，使点A 与点B 重合，则CE 的长为（ ）A ．198B ．2C ．254 D ．748．（2011·甘肃天水·中考真题） 把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠，EM 、FM 为折痕，折叠后的C 点落在B′M 或B′M 的延长线上，那么∠EMF 的度数是( )A ．85°B ．90°C ．95°D ．100°9．（2020·山东济南·中考真题）如图，在ABC 中，AB ＝AC ，分别以点A 、B 为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E ，F ，作直线EF ，D 为BC 的中点，M 为直线EF 上任意一点．若BC ＝4，ABC 面积为10，则BM +MD 长度的最小值为（ ）A ．52B ．3C ．4D ．5二、填空题10．（2021·四川内江·中考真题）有背面完全相同，正面分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形的卡片5张，现正面朝下放置在桌面上，将其混合后，并从中随机抽取一张，则抽中正面的图形一定是轴对称图形的卡片的概率为 __．11．（2021·河南·中考真题）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，1AC =．第一步，在AB 边上找一点D ，将纸片沿CD 折叠，点A落在A '处，如图2，第二步，将纸片沿CA '折叠，点D 落在D 处，如图3．当点D 恰好在原直角三角形纸片的边上时，线段A D ''的长为__________．12．（2014·贵州黔西·中考真题）如图．将长方形纸片ABCD 折叠，使边AB 、CB 均落在对角线BD 上，得折痕BE 、BF ，则∠EBF 的大小为_____ .13．（2021·湖南湘西·中考真题）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB 、CD ，若//CD BE ，1=20∠︒，则2∠的度数是____．14．（2021·湖南株洲·中考真题）《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图（蜨，同“蝶”），它的基本组件为斜角形，包括长斜两只、右半斜两只、左半斜两只、闺一只、小三斜四只、大三斜两只，共十三只（图①中的“様”和“隻”为“样”和“只”）．图②为某蝶几设计图，其中ABD △和CBD 为“大三斜”组件（“一様二隻”的大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形），已知某人位于点P 处，点P 与点A 关于直线DQ 对称，连接CP 、DP ．若24ADQ ∠=︒，则DCP ∠= ___________度．15．（2014·四川德阳·中考真题）如图，△ABC 中，∠A=60°，将△ABC 沿DE 翻折后，点A 落在BC 边上的点A′处．如果∠A′EC=70°，那么∠A′DE 的度数为___．16．（2017·山东泰安·中考真题）如图，30BAC ∠=︒，M 为AC 上一点，2AM =，点P 是AB 上的一动点，PQ AC ⊥，垂足为点Q ，则PM PQ +的最小值为_________．17．（2015·四川内江·中考真题）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C=90°，E 为CD 上一点，分别以EA ，EB 为折痕将两个角（∠D ，∠C ）向内折叠，点C ，D 恰好落在AB 边的点F 处．若AD=2，BC=3，则EF 的长为____．18．（2012·山东潍坊·中考真题）点P 在反比例函数ky x= (k ≠0)的图象上，点Q (2，4)与点P 关于y 轴对称，则反比例函数的解析式为____ 三、解答题19．（2021·湖北武汉·二模）如图，在下列88⨯的网格中，横、纵坐标均为整点的数叫做格点，ABC 的顶点的坐标分别为()3,0A ，()0,4B ，()4,2C ．（1）直接写出ABC 的形状；（2）要求在下图中仅用无刻度的直尺作图：将ABC 绕点B 逆时针旋转角度2α得到11A BC ，其中ABC α=∠，A ，C 的对应点分别为1A ，1C ，请你完成作图；（3）在网格中找一个格点G ，使得1C G AB ⊥，并直接写出G 点的坐标； （4）作点1C 关于BC 的对称点D ．20．（2021·北京东城·二模）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，直线l过点A．点B与点D 关于直线l对称，连接AD，CD．求证：∠ACD=∠ADC．21．（2017·山东威海·中考真题）如图，四边形为一个矩形纸片，，，动点自点出发沿方向运动至点后停止.以直线为轴翻折，点落到点的位置.设，与原纸片重叠部分的面积为.（1）当为何值时，直线过点？（2）当为何值时，直线过的中点？（3）求出与的函数关系式.一、单选题1．（2021·湖北荆门·中考真题）下列图形既是中心对称又是轴对称的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2021·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，在Rt ABC 中，90,8,6ACB AC BC ∠=︒==，将边BC 沿CN 折叠，使点B 落在AB 上的点B ′处，再将边AC 沿CM 折叠，使点A 落在CB '的延长线上的点A '处，两条折痕与斜边AB 分别交于点N 、M ，则线段A M '的长为（ ）A ．95B ．85C ．75D ．653．（2021·黑龙江绥化·中考真题）已知在Rt ACB 中，90,75C ABC ∠=︒∠=︒，5AB =．点E 为边AC 上的动点，点F 为边AB 上的动点，则线段FE EB +的最小值是（ ）A 53B ．52C 5D 34．（2021·江苏苏州·中考真题）如图，在平行四边形ABCD 中，将ABC 沿着AC 所在的直线翻折得到AB C '，B C '交AD 于点E ，连接B D '，若60B ∠=︒，45ACB ∠=︒，6AC =则B D '的长是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．625．（2021·湖北湖北·中考真题）若抛物线2y x bx c =++与x 轴两个交点间的距离为4．对称轴为2x =，P 为这条抛物线的顶点，则点P 关于x 轴的对称点的坐标是（ ） A ．()2,4B ．()2,4-C ．()2,4--D ．()2,4-6．（2021·内蒙古·中考真题）如图，在ABC 中，AB AC =，DBC △和ABC 关于直线BC 对称，连接AD ，与BC 相交于点O ，过点C 作CE CD ⊥，垂足为C ，与AD 相交于点E ．若8AD =，6BC =，则2+OE AEBD的值为（ ）A ．43B ．34C ．53D ．547．（2021·河北·中考真题）如图，直线l ，m 相交于点O ．P 为这两直线外一点，且 2.8OP =．若点P 关于直线l ，m 的对称点分别是点1P ，2P ，则1P ，2P 之间的距离可能．．是（ ）A ．0B ．5C ．6D ．78．（2021·湖北武汉·中考真题）如图，AB 是O 的直径，BC 是O 的弦，先将BC 沿BC 翻折交AB 于点D ．再将BD 沿AB 翻折交BC 于点E ．若BE DE =，设ABC α∠=，则α所在的范围是（ ）A ．21.922.3α︒<<︒B ．22.322.7α︒<<︒C ．22.723.1α︒<<︒D ．23.123.5α︒<<︒9．（2021·四川宜宾·中考真题）如图，在矩形纸片ABCD 中，点E 、F 分别在矩形的边AB 、AD 上，将矩形纸片沿CE 、CF 折叠，点B 落在H 处，点D 落在G 处，点C 、H 、G 恰好在同一直线上，若AB ＝6，AD ＝4，BE ＝2，则DF 的长是（ ）A ．2B ．74C ．322D ．3二、填空题10．（2021·山东青岛·中考真题）已知正方形ABCD 的边长为3，E 为CD 上一点，连接AE 并延长，交BC 的延长线于点F ，过点D 作DG AF ⊥，交AF 于点H ，交BF 于点G ，N 为EF 的中点，M 为BD 上一动点，分别连接MC ，MN ．若14DCG FCE S S =△△，则MN MC +的最小值为__________．11．（2021·青海西宁·中考真题）如图，ABC 是等边三角形，6AB =，N 是AB 的中点，AD 是BC 边上的中线，M 是AD 上的一个动点，连接,BM MN ，则BM MN +的最小值是________．12．（2021·辽宁鞍山·中考真题）如图，90POQ ∠=︒，定长为a 的线段端点A ，B 分别在射线OP ，OQ 上运动（点A ，B 不与点O 重合），C 为AB 的中点，作OAC 关于直线OC 对称的OA C '，A O '交AB 于点D ，当OBD 是等腰三角形时，OBD ∠的度数为_____________．13．（2021·广东广州·中考真题）如图，在ABC 中，AC BC =，38B ∠=︒，点D 是边AB 上一点，点B 关于直线CD 的对称点为B '，当//B D AC '时，则BCD ∠的度数为________．14．（2021·贵州毕节·中考真题）如图，在菱形ABCD 中，2BC =，120C ∠=︒，Q 为AB 的中点，P 为对角线BD 上的任意一点，则AP PQ +的最小值为_____________．15．（2021·辽宁大连·中考真题）如图，在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，点E 在边BC 上，将ABE △沿直线AE 翻折180°，得到'AB E △，点B 的对应点是点B '若AB BD '⊥，2BE =，则BB '的长是__________．16．（2021·辽宁营口·中考真题）如图，40MON ∠=︒，以O 为圆心，4为半径作弧交OM 于点A ，交ON 于点B ，分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧在MON ∠的内部相交于点C ，画射线OC 交AB 于点D ，E 为OA 上一动点，连接BE ，DE ，则阴影部分周长的最小值为_________．17．（2021·山东聊城·中考真题）有四张大小和背面完全相同的不透明卡片，正面分别印有等边三角形、平行四边形、菱形和圆，将这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张卡片，所抽取的卡片正面上的图形都既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是__________． 18．（2021·四川广安·中考真题）如图，将三角形纸片ABC 折叠，使点B 、C 都与点A 重合，折痕分别为DE 、FG .已知15ACB ∠=︒，AE EF =，3DE =，则BC 的长为_______．19．（2021·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，已知正方形ABCD 的边长为6，点F 是正方形内一点，连接,CF DF ，且ADF =DCF ∠∠，点E 是AD 边上一动点，连接,EB EF ，则EB EF +长度的最小值为___________．三、解答题20．（2021·辽宁阜新·中考真题）下面是小明关于“对称与旋转的关系”的探究过程，请你补充完整．（1）三角形在平面直角坐标系中的位置如图1所示，简称G ，G 关于y 轴的对称图形为1G ，关于x 轴的对称图形为2G ．则将图形1G 绕____点顺时针旋转____度，可以得到图形2G ．（2）在图2中分别画出．．．．G 关于 y 轴和直线1y x =+的对称图形1G ，2G ．将图形1G 绕____点（用坐标表示）顺时针旋转______度，可以得到图形2G ．（3）综上，如图3，直线1:22l y x =-+和2:l y x =所夹锐角为α，如果图形G 关于直线1l 的对称图形为1G ，关于直线2l 的对称图形为2G ，那么将图形1G 绕____点（用坐标表示）顺时针旋转_____度（用α表示），可以得到图形2G ．21．（2021·山东济宁·中考真题）研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题． （1）阅读材料立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相交所成的角． 例如，正方体ABCD A B C D ''''-（图1）．因为在平面AA C C ''中，//CC AA ''，AA '与AB 相交于点A ，所以直线AB 与AA '所成的BAA '∠就是既不相交也不平行的两条直线AB 与CC '所成的角． 解决问题如图1，已知正方体ABCD A B C D ''''-，求既不相交也不平行的两条直线BA '与AC 所成角的大小．（2）如图2，M ，N 是正方体相邻两个面上的点．①下列甲、乙、丙三个图形中，只有一个图形可以作为图2的展开图，这个图形是 ； ②在所选正确展开图中，若点M 到AB ，BC 的距离分别是2和5，点N 到BD ，BC 的距离分别是4和3，P 是AB 上一动点，求PM PN +的最小值．22．（2021·湖北荆门·中考真题）如图，抛物线2y ax bx c =++交x 轴于(1,0)A -，(3,0)B 两点，交y 轴于点(0,3)C -，点Q 为线段BC 上的动点． （1）求抛物线的解析式； （2）求||||QO QA +的最小值；（3）过点Q 作//PQ AC 交抛物线的第四象限部分于点P ，连接P A ，PB ，记PAQ △与PBQ △的面积分别为1S ，2S ，设12S S S =+，求点P 坐标，使得S 最大，并求此最大值．1．C【解析】【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：C【点拨】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．2．D【解析】【分析】根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，可得答案．【详解】解：点A（-3，4）关于y轴对称的点的坐标是（3，4），【点拨】本题考查了关于y 轴对称的点的坐标，明确关于y 轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等是解题的关键 3．C 【解析】【分析】过点A 作AH BC ⊥ 于H ，由折叠知识得：90BFG ∠=︒ ，再由锐角三角函数可得53AH =，然后根据//AD BC ，可证得四边形AHFG 是矩形，即可求解．【详解】解：过点A 作AH BC ⊥ 于H ，由折叠知：BF =GF ，∠BFE =∠GFE ，45BFE ∠=︒， 90BFG ∴∠=︒ ，在Rt ABH 中，10AB =，60B ∠=︒， 3sin sin 60101053AH B AB =⨯=︒⨯==， //AD BC ，90GAH AHB ∴∠=∠=︒ ， 90GAH AHB BFG ∴∠=∠=∠=︒ ，∴ 四边形AHFG 是矩形， 3FG AH ∴==， 3BF GF ∴==．故选：C ．【点拨】本题主要考查了折叠变换，解直角三角形，矩形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 4．A 【解析】【分析】首先判断各图形是否是轴对称图形，再根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽到卡片上印有的图案都是轴对称图形的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．解：∵线段是轴对称图形，等边三角形是轴对称图形，平行四边形不是轴对称图形，正六边形是轴对称图形，分别用A 、B 、C 、D 表示线段、等边三角形、平行四边形和正六边形，∴随机抽取两张，则抽到的卡片正面图形都是轴对称图形的概率为612=12， 故选：A ．【点拨】本题考查概率公式、轴对称图形，解答本题的关键是写出题目中的图形是否为轴对称图形，明确两张都是轴对称图形是同时发生的． 5．D 【解析】【分析】先利用互余计算出∠BDE ＝28°，再根据平行线的性质得∠CBD ＝∠BDE ＝28°，接着根据折叠的性质得∠FBD ＝∠CBD ＝28°，然后利用三角形外角性质计算∠DEF 的度数，于是得到结论． 【详解】解：∵四边形ABCD 为矩形， ∴AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，∵90906228BDE BDC ∠︒-∠︒-︒︒＝＝＝， ∵AD ∥BC ，∴∠CBD ＝∠BDE ＝28°， ∵矩形ABCD 沿对角线BD 折叠， ∴∠FBD ＝∠CBD ＝28°，∴∠DEF ＝∠FBD +∠BDE ＝28°+28°＝56°． 故选：D ．【点拨】本题考查了矩形的性质，平行线和折叠的性质，综合运用以上性质是解题的关键． 6．C 【解析】【分析】根据该几何体的三视图，结合轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形及中心对称的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形进行判断即可．【详解】解：该几何体的三视图如下：三视图中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是俯视图，故选：C．【点拨】本题考查简单几何体的三视图，中心对称、轴对称，理解视图的意义，掌握简单几何体三视图的画法以及轴对称、中心对称的意义是正确判断的前提．7．D【解析】【分析】先在RtABC中利用勾股定理计算出AB=10，再利用折叠的性质得到AE=BE，AD=BD=5，设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，在Rt△BCE中根据勾股定理可得到x2=62+（8-x）2，解得x，可得CE．【详解】解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB22AC BC+，∵△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，∴AE=BE，AD=BD=12AB=5，设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，在Rt△BCE中∵BE2=BC2+CE2，∴x2=62+（8-x）2，解得x=254，∴CE=2584-=74，故选：D．【点拨】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图象全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了勾股定理．8．B 【解析】【分析】根据折叠性质可得∠EMB′=∠EMB＝12∠BMC′，∠FMB′＝∠FMC＝12∠CMC′，再根据平角定义即可解答．【详解】解：∠EMF＝∠EMB′＋∠FMB′＝12∠BMC′＋12∠CMC′＝12×180°＝90°，故选：B．【点拨】本题考查折叠的性质、平角定义，熟练掌握折叠的性质求角度是解答的关键．9．D【解析】【分析】由基本作图得到得EF垂直平分AB，则MB＝MA，所以BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，如图，利用两点之间线段最短可判断MA+MD的最小值为AD，再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然后利用三角形面积公式计算出AD即可．【详解】解：由作法得EF垂直平分AB，∴MB＝MA，∴BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，如图，∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号），∴MA+MD的最小值为AD，∵AB＝AC，D点为BC的中点，∴AD⊥BC，∵110,2ABCS BC AD==∴1025,4AD⨯==∴BM+MD长度的最小值为5．故选：D．【点拨】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，利用轴对称求线段和的最小值，三角形的面积，两点之间，线段最短，掌握以上知识是解题的关键．10．45【解析】【分析】卡片中，轴对称图形有等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形，再根据概率公式P =满足条件的样本个数÷总体的样本个数，可求出最终结果．【详解】解：卡片中，轴对称图形有等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形，根据概率公式，P （轴对称图形）45=． 故答案为：45． 【点拨】本题主要考查概率问题，属于基础题，掌握轴对称图形的性质以及概率公式是解题关键．11．12或2【解析】【分析】因为点D 恰好在原直角三角形纸片的边上，所以分为当D 落在AB 边上和BC 边上两种情况分析，勾股定理求解即可．【详解】解：当D 落在AB ：设DD '交AB 于点E ，由折叠知：60EA D A '∠=∠=︒, AD A D A D '''==,DD A E ''⊥,A C AC '=90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，1AC =2,AB BC ∴==设AD x =，则在Rt A ED '中，12A E x '=在Rt ECB 中，12EC BC ==A C AC '=112x ∴=即2x =当D 落在BC 边上时，如图（2）因为折叠，30,ACD A CD A CD '''∠=∠=∠=︒∴ 11,122A D A C A B A C A B AC ''''''===== 12AD A D ''∴==．故答案为：12或23【点拨】本题考查了轴对称变换，勾股定理，直角三角形中30的性质，正确的作出图形是解题的关键．12．45°【解析】【分析】根据折叠的性质可以得出∠EBD=12∠ABD, ∠FBD=12∠CBD,即可求出∠EBF.【详解】解：将长方形纸片ABCD 折叠，使边AB 、CB 均落在对角线BD 上，得折痕BE 、BF 得到∠EBD=∠ABE=12∠ABD, ∠FBD=∠CBF=12∠CBD∵ ∠ABC=90°∴∠EBF=∠EBD+∠FBD=12∠ABD+12∠CBD=12∠ABC=45°故答案为：45°【点拨】本题主要考查了折叠的性质及角度的计算，掌握概念是解题的关键.13．40°【解析】【分析】如图，由折叠的性质可得1=20BAF ∠=∠︒，进而可得40CHB HAB HBA ∠=∠+∠=︒，然后易得四边形CHBD 是平行四边形，最后根据平行四边形的性质可求解．【详解】解：如图所示：∵1=20∠︒，由折叠的性质可得1=20BAF ∠=∠︒，∵//CD BE ，∴20HBA BAF ∠=∠=︒，∴40CHB HAB HBA ∠=∠+∠=︒，∵//CH BD ，∴四边形CHBD 是平行四边形，∴240CHB ∠=∠=︒；故答案为40°．【点拨】本题主要考查平行四边形的性质与判定、平行线的性质及折叠的性质，熟练掌握平行四边形的性质与判定、平行线的性质及折叠的性质是解题的关键．14．21【解析】【分析】由题意易得四边形ABCD 是正方形，进而根据轴对称的性质可得AD =DP ，24PDQ ADQ ∠=∠=︒，则有CD =DP ，然后可得138CDP ∠=︒，最后根据等腰三角形的性质可求解．【详解】解：∵CBD ABD ≌，且都为等腰直角三角形，∴四边形ABCD 是正方形，∴90,CDA CD AD ∠=︒=，∵点P 与点A 关于直线DQ 对称，24ADQ ∠=︒，∴24PDQ ADQ ∠=∠=︒，AD =DP ，∴CD =DP ，48ADP ∠=︒，∴138CDP ∠=︒， ∴180212CDP DCP DPC ︒-∠∠=∠==︒， 故答案为21．【点拨】本题主要考查正方形的判定与性质、轴对称的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握正方形的判定与性质、轴对称的性质及等腰三角形的性质是解题的关键．15．65°．【解析】【详解】试题分析：：∵∠AEA′=180°﹣∠A′EC=180°﹣70°=110°，又∵∠A′ED=∠AED=12∠AEA′=55°，∠DA′E=∠A=60°，∴∠A′DE=180°﹣∠A′ED ﹣∠DA′E=180°﹣55°﹣60°=65°．故答案是65°．考点：翻折变换（折叠问题）．16． 【解析】【详解】试题分析：作点M 关于AB 的对称点N ，过N 作NQ ⊥AC 于Q 交AB 于P ，则NQ 的长即为PM+PQ 的最小值，连接MN 交AB 于D ，则MD ⊥AB ，DM=DN ，∵∠NPB=∠APQ ，∴∠N=∠BAC=30°，∵∠BAC=30°，AM=2，∴MD=AM=1，∴MN=2，∴NQ=MN•cos∠N=2×=，故答案为．考点：轴对称﹣最短路线问题17．6．【解析】【详解】试题分析：先根据折叠的性质得DE=EF，CE=EF，AF=AD=2，BF=CB=3，则DC=2EF，AB=5，再作AH⊥BC于H，由于AD∥BC，∠B=90°，则可判断四边形ADCH为矩形，所以AH=DC=2EF，HB=BC﹣CH=BC﹣AD=1，然后在Rt△ABH中，利用勾股定理计算出AH=2，所以EF=．考点：翻折变换（折叠问题）．.18．8yx=-．【解析】【分析】根据轴对称的定义，利用点Q（2，4），求出P点坐标，将P点坐标代入解析式，即可求出反比例函数解析式．【详解】解：∵点Q（2，4）和点P关于y轴对称，关于y轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变，横坐标互为相反数∴P点坐标为（－2，4）．将（－2，4）解析式kyx=得，k=xy=－2×4=－8．∴函数解析式为8yx=-．故答案为：8yx=-．【点拨】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟悉待定系数法是解题的关键．19．（1）ABC 是直角三角形；（2）见解析；（3）图见解析，()0,3G ；（4）见解析【解析】【分析】（1）利用勾股定理以及勾股定理的逆定理解决问题即可．（2）利用数形结合的思想解决问题即可．（3）利用数形结合的思想解决问题即可．（4）取格点T ，作直线1TC ，取格点P ，连接OP 交1TC 于点D ，点D 即为所求作．【详解】解：（1）∵()3,0A ，()0,4B ，()4,2C ， ∴22345AB =+=，22521AC =+=，224225BC =+=，∴222AB AC BC =+，∴90ACB ∠=︒，∴ABC 是以AB 为斜边的直角三角形．（2）11A BC 如图所示．先将AB 绕点B 逆时针旋转2α到达1BA ，点1(5,4)A ；再将CB 绕点B 逆时针旋转2α到达1BC ，点1(4,6)C ， 连接11A C ，即可得到11A BC ；（3）如图，过点1C 作直线1C G AB ⊥ 交y 轴于点G ，由图可知：点()0,3G ． （4）如图，取格点T （1，0），作直线1TC ，取格点P （4，-2），连接OP 交1TC 于点D ，点D 即为所求作．【点拨】本题考查作图-旋转变换，轴对称，勾股定理以及逆定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．20．证明见解析【解析】【分析】要证明∠ACD=∠ADC，只需证明AD=AC，又AB=AD，AB=AC，等量代换即可．【详解】证明：∵点B与点D关于直线l对称，∴AB=AD，又∵AB=AC，∴AD=AC．∴∠ACD=∠ADC．【点拨】本题考查的是等腰三角形的相关定理，能根据要求进行条件的等量转换是解题关键．21．（1）当x=时，直线AD1过点C（2）当x=时，直线AD1过BC的中点E（3）当0＜x≤2时，y=x；当2＜x≤3时，y=【解析】【详解】试题分析：（1）根据折叠得出AD=AD1=2，PD=PD1=x，∠D=∠AD1P=90°，在Rt△ABC中，根据勾股定理求出AC，在Rt△PCD1中，根据勾股定理得出方程，求出即可；（2）连接PE，求出BE=CE=1，在Rt△ABE中，根据勾股定理求出AE，求出AD1=AD=2，PD=PD1=x，D1E=﹣2，PC=3﹣x，在Rt△PD1E和Rt△PCE中，根据勾股定理得出方程，求出即可；（3）分为两种情况：当0＜x≤2时，y=x；当2＜x≤3时，点D1在矩形ABCD的外部，PD1交AB于F，求出AF=PF，作PG⊥AB于G，设PF=AF=a，在Rt△PFG中，由勾股定理得出方程（x﹣a）2+22=a2，求出a即可．试题解析：（1）如图1，∵由题意得：△ADP≌△AD1P，∴AD=AD1=2，PD=PD1=x，∠D=∠AD1P=90°，∵直线AD1过C，∴PD1⊥AC，在Rt△ABC中，AC=，CD1=﹣2，在Rt△PCD1中，PC2=PD12+CD12，即（3﹣x）2=x2+（﹣2）2，解得：x=，∴当x=时，直线AD1过点C；（2）如图2，连接PE，∵E为BC的中点，∴BE=CE=1，在Rt△ABE中，AE==，∵AD1=AD=2，PD=PD1=x，∴D1E=﹣2，PC=3﹣x，在Rt△PD1E和Rt△PCE中，x2+（﹣2）2=（3﹣x）2+12，解得：x=，∴当x=时，直线AD1过BC的中点E；（3）如图3，当0＜x≤2时，y=x，如图4，当2＜x≤3时，点D1在矩形ABCD的外部，PD1交AB于F，∵AB∥CD，∴∠1=∠2，∵∠1=∠3（根据折叠），∴∠2=∠3，∴AF=PF，作PG⊥AB于G，设PF=AF=a，由题意得：AG=DP=x，FG=x﹣a，在Rt△PFG中，由勾股定理得：（x﹣a）2+22=a2，解得：a=，所以y==，综合上述，当0＜x≤2时，y=x；当2＜x≤3时，y=．考点：1、勾股定理，2、折叠的性质，3、矩形的性质，4、分类推理思想1．C【解析】【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．【详解】解：A、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意．B 、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；C 、此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项符合题意；D 、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意．故选：C ．【点拨】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．2．B【解析】【分析】利用勾股定理求出AB =10，利用等积法求出CN ＝245，从而得AN ＝325，再证明∠NMC ＝∠NCM ＝45°，进而即可得到答案．【详解】解：∵90,8,6ACB AC BC ∠=︒==∴AB 10，∵S △ABC ＝12×AB ×CN ＝12×AC ×BC∴CN ＝245，∵AN 325=， ∵折叠∴AM ＝A'M ，∠BCN ＝∠B'CN ，∠ACM ＝∠A'CM ，∵∠BCN +∠B'CN +∠ACM +∠A'CM =90°，∴∠B'CN +∠A'CM ＝45°，∴∠MCN ＝45°，且CN ⊥AB ，∴∠NMC ＝∠NCM ＝45°，∴MN ＝CN ＝245， ∴A'M ＝AM ＝AN −MN ＝325-245=85． 故选B ．【点拨】本题考查了翻折变换，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键．3．B【解析】【分析】作点F关于直线AB的对称点F’，如下图所示，此时EF+EB=EF’+EB，再由点到直线的距离垂线段长度最短求解即可．【详解】解：作点F关于直线AB的对称点F’，连接AF’，如下图所示：由对称性可知，EF=EF’，此时EF+EB= EF’+EB，由“点到直线的距离垂线段长度最小”可知，当BF’⊥AF’时，EF+EB有最小值BF0，此时E位于上图中的E0位置，由对称性知，∠CAF0=∠BAC=90°-75°=15°，∴∠BAF0=30°，由直角三角形中，30°所对直角边等于斜边的一半可知，BF0=12AB=15522⨯=，故选：B．【点拨】本题考查了30°角所对直角边等于斜边的一半，垂线段最短求线段最值等，本题的核心思路是作点F关于AC的对称点，将EF线段转移，再由点到直线的距离最短求解．4．B【解析】【分析】利用平行四边形的性质、翻折不变性可得△AEC为等腰直角三角形，根据已知条件可得CE得长，进而得出ED的长，再根据勾股定理可得出B D'；【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD∠B=∠ADC=60°，∠ACB＝∠CAD由翻折可知：BA＝AB′＝DC，∠ACB＝∠AC B′=45°，∴△AEC为等腰直角三角形。
2022年最新中考数学知识点梳理 考点19 图形的轴对称、平移与旋转(教师版)
2022年最新中考数学知识点梳理考点总结+真题演练涵盖近年来的中考真题和中考模拟考点19 图形的轴对称、平移与旋转考点总结一、轴对称图形与轴对称如果一个图形沿着某条直线对折如果两个图形对折后，这两个图形1．常见的轴对称图形: 等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆．2．折叠的性质:折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．【注意】凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量．解决折叠问题时，首先清楚折叠和轴对称能够提供我们隐含的且可利用的条件，分析角之间、线段之间的关系，借助勾股定理建立关系式求出答案，所求问题具有不确定性时，常常采用分类讨论的数学思想方法．3．作某点关于某直线的对称点的一般步骤1）过已知点作已知直线（对称轴）的垂线，标出垂足；2）在这条直线另一侧从垂足除法截取与已知点到垂足的距离相等的线段，那么截点就是这点关于该直线的对称点．4．作已知图形关于某直线的对称图形的一般步骤1）作出图形的关键点关于这条直线的对称点；2）把这些对称点顺次连接起来，就形成了一个符合条件的对称图形．二、图形的平移1．定义：在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做平移．平移不改变图形的形状和大小．2．三大要素：一是平移的起点，二是平移的方向，三是平移的距离．3．性质：1）平移前后，对应线段平行且相等、对应角相等；2）各对应点所连接的线段平行(或在同一条直线上)且相等；3）平移前后的图形全等．4．作图步骤：1）根据题意，确定平移的方向和平移的距离；2）找出原图形的关键点；3）按平移方向和平移距离平移各个关键点，得到各关键点的对应点；4）按原图形依次连接对应点，得到平移后的图形．三、图形的旋转1．定义：在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度，这样的图形运动叫旋转．这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角．2．三大要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度．3．性质：1）对应点到旋转中心的距离相等；2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；3）旋转前后的图形全等．4．作图步骤：1）根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角；2）找出原图形的关键点；3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点；4）按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形．【注意】旋转是一种全等变换，旋转改变的是图形的位置，图形的大小关系不发生改变，所以在解答有关旋转的问题时，要注意挖掘相等线段、角，因此特殊三角形性质的运用、锐角三角函数建立的边角关系起着关键的作用．四、中心对称图形与中心对称如果一个图形绕某一点旋转180°后能与如果一个图形绕某点旋转180°后平行四边形、矩形、菱形、正方形、正六边形、圆等．注意：图形的“对称”“平移”“旋转”这些变化,是图形运动及延伸的重要途径,研究这些变换中的图形的“不变性”或“变化规律”.真题演练一．选择题（共10小题）1．（2021•保定模拟）如图，将平行四边形ABCD折叠，使点D与点B重合，折痕为EF．若平行四边形ABCD周长为20，则△ABE周长为（）A．1 B．5 C．10 D．20【分析】由平行四边形ABCD是周长为20，推出AB+AD＝10，利用翻折变换的性质，推出△ABE的周长等于AB+AD，即可解决问题．【解答】解：∵平行四边形ABCD是周长为20，∴AB+AD＝10，由翻折可知：EB＝DE，∴△ABE的周长＝AB+AE+EB＝AB+AE+ED＝AB+AD＝10，故选：C．2．（2021•河北模拟）点D、点E分别是△ABC边AB、AC（AB＞AC）的中点，沿直线DE将△ABC折叠若点A的对应点为A'，则（）A．A'点落在△ABC内B．A'点落在△ABC外C．A'点落在BC边上，且A'B＞A'CD．A'点落在BC边所在的直线上，且A'B＞A'C【分析】由三角形中位线定理可得DE∥BC，AD=12AB，可证△ADE∽△ABC，可得点A到BC的距离点A到DE的距离=ABAD=2，由折叠的性质可得点A到DE的距离＝点A'到DE的距离，A'B'＝AB，A'C'＝AC，即可求解．【解答】解：∵点D、点E分别是△ABC边AB、AC（AB＞AC）的中点，∴DE∥BC，AD=12AB，∴△ADE∽△ABC，∴点A到BC的距离点A到DE的距离=ABAD=2，∵沿直线DE将△ABC折叠若点A的对应点为A'，∴点A到DE的距离＝点A'到DE的距离，A'B'＝AB，A'C'＝AC∴点A'在直线BC上，A'B'＞A'C'，故选：D．3．（2021•海港区模拟）图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是轴对称图形，并且只有一条对称轴，这个位置是（）A．①B．②C．③D．④【分析】根据轴对称图形的概念对各图形分析判断即可得解．【解答】解：A．是轴对称图形，但有两条对称轴，故本选项不合题意；B．不是轴对称图形，故本选项不合题意；C．是轴对称图形，并且只有一条对称轴，故本选项符合题意；D．不是轴对称图形，故本选项不合题意．故选：C．4．（2021•路南区二模）如图为大众汽车的图标，是轴对称图形，则下列关于对称轴条数的说法中，正确的是（）A．有无数条B．有4条C．有2条D．有1条【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．【解答】解：该图案只有1条纵向的对称轴．故选：D．5．（2021•河北模拟）如图，用平移三角尺的方法可以检验出图中平行线共有（）A．3对B．4对C．5对D．6对【分析】根据平移的性质：对应点所连的线段平行且相等．【解答】解：如图，由平移的性质得，AD∥BE，AD∥CF，BE∥CF，AB∥DE，BC∥EF，AC∥DF，共六对．故选：D．6．（2020•台州）如图，把△ABC先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到△DEF，则顶点C（0，﹣1）对应点的坐标为（）A．（0，0）B．（1，2）C．（1，3）D．（3，1）【分析】利用平移规律进而得出答案．【解答】解：∵把△ABC先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到△DEF，顶点C （0，﹣1），∴F（0+3，﹣1+2），即F（3，1），故选：D．7．（2013•宽甸县二模）已知点A（﹣1，0）和点B（1，2），将线段AB平移至A′B′，点A′与点A对应．若点A′的坐标为（1，﹣3），则点B′的坐标为（）A．（3，0）B．（3，﹣1）C．（﹣3，0）D．（﹣1，3）【分析】根据平移的性质，结合已知点A，B的坐标，知点A的横坐标加上了4，纵坐标减小了1，所以A点的平移方法是：先向右平移4个单位，再向下平移1个单位，则B的平移方法与A点相同，即可得到答案．【解答】解：∵A（﹣1，0）平移后对应点A′的坐标为（1，﹣3），∴A点的平移方法是：先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，∴B点的平移方法与A点的平移方法是相同的，∴B（1，2）平移后B′的坐标是：（3，﹣1）．故选：B．（2021•石家庄模拟）如图，一块含30°角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到△A'B'C，8．当B，C，A'在一条直线上时，三角板ABC的旋转角度为（）A．150°B．120°C．60°D．30°【分析】直接利用旋转的性质得出对应边，再根据三角板的内角的度数得出答案．【解答】解：∵将一块含30°角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到△A'B'C，∴BC与B'C是对应边，∴旋转角∠BCB'＝180°﹣30°＝150°．故选：A．9．（2021•开平区一模）如图，正方形ABCD的边长为2cm，正方形CEFG的边长为1cm，若正方形CEFG绕点C旋转，则点F到点A的距离最小值为（）A．3 B．2√2C．3√2D．√2【分析】首先根据题意找到点F到点A的距离最小值时点F的位置，然后利用正方形的性质求解即可．【解答】解：当点F在正方形的对角线AC上时，由三角形三边关系可知AF＝AC﹣CF，当点F不在正方形的对角线AC上时，由三角形三边关系可知AC﹣CF＜AF＜AC+CF，∴当点F在正方形的对角线AC上时，点F到点A距离最小值，∵正方形ABCD的边长为2cm，正方形CEFG的边长为1cm，∴AC＝2√2cm，CF=√2cm，∴AF＝AC﹣CF=√2cm，故选：D．10．（2021•河北模拟）如图，正方形ABCD在平面直角坐标系中．点A的坐标为（﹣6，4），点B，C在x轴上．将正方形ABCD平移后，点O成为新正方形的对称中心，则正方形ABCD 的平移过程可能是（）A．向右平移6个单位长度，再向下平移4个单位长度B．向右平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度C．向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度D．向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度【分析】根据要求作出图形，判断即可．【解答】解：如图，观察图象可知，向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度后点O成为新正方形的对称中心．故选：D．二．填空题（共5小题）11．（2021•南皮县一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，P是AC边上一点，连接PB，将△PBC绕点B顺时针旋转，得到△DBE，点C，P的对应点分别是点E，D，点E在AB边上．（1）若P是AC的中点，则DB＝√7；（2）若PC＝1，则点D到AC的距离为√32+1 ．【分析】（1）利用勾股定理求出PB，可得结论．（2）过点D作DH⊥AC于H，交AB于点F．分别求出FH，DF，可得结论．【解答】解：（1）∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，∴AB＝2BC＝4，AC=√3BC＝2√3，∵P是AC的中点，∴CP=12AC=√3，∴BP=√BC2+CP2=√22+(√3)2=√7，由旋转的性质可知，BD＝BP=√7，故答案为：√7．（2）如图，过点D作DH⊥AC于H，交AB于点F．∵∠EDF＝∠A＝30°，DE＝PC＝1，∴EF＝DE•tan30°=√33，DF＝2EF=2√3 3，∴AF＝AB﹣BE﹣EF＝4﹣2−√33=2−√33，∵DH∥BC，∴HF BC=AF AB ， ∴HF 2=2−√334， ∴HF ＝1−√36．∴DH ＝HF +DF =√32+1，故答案为：√32+1． 12．（2021•路北区二模）如图，△ABC 中，∠A ＝30°，∠ACB ＝90°，BC ＝2，D 是AB 上的动点，将线段CD 绕点C 逆时针旋转90°，得到线段CE ，连接BE ．（1）点C 到AB 的最短距离是 √3 ；（2）BE 的最小值是 √3−1 ．【分析】（1）如图，过点C 作CK ⊥AB 于K ，解直角三角形求出CK ，可得结论．（2）将线段CK 绕点C 逆时针旋转90°得到CH ，连接HE ，延长HE 交AB 的延长线于J ．首先证明四边形CKJH 是正方形，推出点E 在直线HJ 上运动，求出BJ ，根据垂线段最短解决问题即可．【解答】解：（1）过点C 作CK ⊥AB 于K ，在Rt △CBK 中，∵BC ＝2，∠ABC ＝60°，∴CK ＝BC •sin60°=√3，∴点C 到AB 的最短距离是√3．故答案为：√3．（2）如图，将线段CK 绕点C 逆时针旋转90°得到CH ，连接HE ，延长HE 交AB 的延长线于J ．∵∠DCE ＝∠KCH ＝90°，∴∠DCK ＝∠ECH ，∵CD ＝CE ，CK ＝CH ，∴△CKD≌△CHE（SAS），∴∠CKD＝∠H＝90°，∵∠CKJ＝∠KCH＝∠H＝90°，∴四边形CKJH是矩形，∵CK＝CH，∴四边形CKJH是正方形，∴点E在直线HJ上运动，当点E与J重合时，BE的值最小，∵BK＝BC•cos60°＝1，∴KJ＝CK=√3，∴BJ＝KJ﹣BK=√3−1，∴BE的最小值为√3−1，故答案为：√3−1．13．（2021•路北区一模）如图，边长为1的正方形ABCD在等边长的正六边形外部做顺时针滚动，滚动一周回到初始位置时停止．第一次滚动时正方形旋转了150 °，点A在滚动过程中到出发点的最大距离是√3+√2．【分析】如图，点A的运动轨迹是图中红线．延长AE交红线于H，线段AH的长，即为点A在滚动过程中到出发点的最大距离．【解答】解：第一次滚动正方形旋转了240°﹣90°＝150°．如图，点A的运动轨迹是图中红线．延长AE交红线于H，线段AH的长，即为点A在滚动过程中到出发点的最大距离．易知EH＝EA2=√12+12=√2，在△AEF中，∵AF＝EF＝1，∠AFE＝120°，∴AE=√3，∴AH＝AE+EH=√3+√2．∴点A在滚动过程中到出发点的最大距离为√3+√2．故答案为：150，√3+√214．（2021•迁西县模拟）如图，将长为6cm，宽为4cm的长方形ABCD先向右平移2cm，再向下平移1cm，得到长方形A′B′C′D′，则阴影部分的面积为24 cm2．【分析】利用平移的性质求出空白部分矩形的长，宽即可解决问题．【解答】解：由题意，空白部分是矩形，长为（6﹣2）cm，宽为（4﹣1）cm，∴阴影部分的面积＝6×4×2﹣2×（6﹣2）（4﹣1）＝24（cm2），故答案为：24．15．（2021•保定模拟）对平面上任意一点（a，b），定义f，g两种变换：f（a，b）＝（﹣a，b），如f（1，2）＝（﹣1，2）；g（a，b）＝（b，a），如g（1，2）＝（2，1），据此得g[f（5，﹣9）]＝（﹣9，﹣5）．【分析】根据f，g两种变换的定义解答即可．【解答】解：由题意得，f（5，﹣9）]＝（﹣5，﹣9），∴g[f（5，﹣9）]＝g（﹣5，﹣9）＝（﹣9，﹣5），故答案为：（﹣9，﹣5）．三．解答题（共3小题）16．（2021•河北模拟）已知在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°绕点A旋转一定的角度a （0°＜a＜180°）得到△AB′C′．（1）如图1，边B′C′交边AC于点D．①求证：BB′＝CC′；②当B′C′恰好垂直AC时，点B走过的路径长为43π；（2）如图2，边B′C′与边BC交于点P，AB′与BC交于点E，B′，C′与AC交于点F．若a＝90°，求∠APB的度数．【分析】（1）①由旋转的性质可得AB＝AB'，AC＝AC'，∠BAC＝∠B'AC'＝120°，可得∠BAB'＝∠CAC'，由“SAS”可证△ABB'≌△ACC'，可得BB'＝CC'；②由等腰三角形的性质可求∠B'AD＝∠C'AD＝60°，由弧长公式可求解；（2）由“AAS”可证△ABE≌△AC'F，△B'EP≌△CFP，可得AE＝AF，EP＝PF，由“SAS”可证△APE≌△APF，可得∠APF＝∠APB＝45°．【解答】（1）①证明：∵△ABC绕点A旋转一定的角度a（0°＜a＜180°）得到△AB′C′，∴AB＝AB'，AC＝AC'，∠BAC＝∠B'AC'＝120°，∴∠BAB'＝∠CAC'，∵AB＝AC，∴AB＝AB'＝AC＝AC'，∴△ABB '≌△ACC '（SAS ），∴BB '＝CC '；②∵B ′C ′垂直AC ，AB '＝AC '，∴∠B 'AD ＝∠C 'AD ＝60°，∴∠BAB '＝60°，∴点B 走过的路径长=60×π×4180=43π， 故答案为43π． （2）∵AB ＝AB '＝AC ＝AC '，∴∠B ＝∠B '＝∠C ＝∠C '＝30°，∵a ＝90°，∴∠BAE ＝∠C 'AF ＝90°，∴∠AEB ＝∠AFC ＝60°，∴△ABE ≌△AC 'F （AAS ），∴AE ＝AF ，∴B 'E ＝CF ，∵∠B 'EP ＝∠AEB ＝∠AFC '＝∠CFP ＝60°，∴∠B 'PE ＝∠CPF ＝90°＝∠BPC '，∠AEP ＝∠AFP ＝120°，∵∠C ＝∠B '，∠B 'PE ＝∠CPF ＝90°，B 'E ＝CF ，∴△B 'EP ≌△CFP （AAS ），∴EP ＝PF ，又∵∠AEP ＝∠AFP ＝120°，AE ＝AF ，∴△APE ≌△APF （SAS ），∴∠APF ＝∠APB ＝45°．17．（2021•海港区模拟）如图，C 、D 、E 三点在线段AB 上，且AC ＝CE ＝ED ＝DB ＝1，将线段AC 绕点C 按顺时针方向旋转α度（0＜α＜180），点A 的对应点为点A 1.同时将线段DB 绕点D 按逆时针方向旋转β度（0＜β＜360），点B 的对应点为点B 1，连接A 1D 和B 1C ．（1）若β＝α（如图1），A 1D 和B 1C 的交点为F ．①求证：△A 1CD ≌△B 1DC ．②求证：△FCD 为等腰三角形．（2）若β＝2α，当△A 1CD ≌△B 1DC 时，α＝ 120° ．【分析】（1）①通过SAS 即可证明△A 1CD ≌△B 1DC ；②由△A 1CD ≌△B 1DC ，得∠A 1DC ＝∠B 1CD ，从而△FCD 为等腰三角形；（2）由全等可知∠A 1CD ＝∠B 1DC ，得180°﹣α＝β﹣180°，再由β＝2α，代入即可．【解答】（1）证明：①∵β＝α即∠ACA 1＝∠BDB 1，∵∠ACA 1+∠A 1CD ＝∠BDB 1+∠B 1DC ＝180°，∴∠A 1CD ＝∠B 1DC ，在△A 1CD 和△B 1DC 中，{A 1C =B 1D∠A 1CD =∠B 1DC CD =DC，∴△A 1CD ≌△B 1DC （SAS ）；②∵△A 1CD ≌△B 1DC ，∴∠A 1DC ＝∠B 1CD ，∴FC ＝FD ，∴△FCD 为等腰三角形；（2）解：根据题意，若β＝2α，当△A 1CD ≌△B 1DC 时，如图，∴∠A1CD＝∠B1DC，∴180°﹣α＝β﹣180°，∵β＝2α，∴180°﹣α＝2α﹣180°，∴α＝120°，故答案为：120°．18．（2021•桥东区二模）如图，在等边△ABC中，AC＝6，将AC绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜120°）到线段AM的位置，连接BM，BM与AC交于点N，点P为BM上一点，且BP：MP＝1：2，连接PC．（1）若α＝40°，则∠ABM＝40 °；（2）当α＝60°时，请判断△AMN与△CBN是否全等，并求此时PN的长度；（3）在AC绕点A逆时针旋转的过程中，PC的长是否存在最小值？若存在，则直接写出这个最小值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由旋转的性质和等边三角形的性质可知∠BAM＝100°，AB＝AM，从而得出∠ABM的度数；（2）通过AAS可证△AMN≌△CBN，得BN＝MN，从而证明AN⊥BM，可求出BM＝6√3，由BP：MP＝1：2，即可求出PN的长；（3）在AB上取一点O，使BO＝2，连接OP，OC，过点O作OH⊥BC于H，通过△OBP∽△ABM，得OP=13AM＝2，求出OC的长，利用三角形的三边关系即可解决问题．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC ＝60°，AC ＝AB ，∵∠MAN ＝α＝40°，∴∠BAM ＝∠BAC +∠MAN ＝60°+40°＝100°，∵AM ＝AC ，∴AM ＝AB ，∴∠ABM =12×(180°−100°)=40°， 故答案为：40；（2）∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB ＝60°，AC ＝BC ＝AB ＝6，∵α＝∠NAM ＝60°，∴∠NAM ＝∠NCB ，∵AM ＝AC ，∴AM ＝BC ，在△AMN 和△CBN 中，{∠ANM =∠CNB∠NAM =∠NCB AM =CB，∴△AMN ≌△CBN （AAS ），∴BN ＝MN ，∴AN ⊥BM ，∵∠BAC ＝60°，∴∠ABN ＝90°﹣60°＝30°，∴AN =12AB =12×6=3，在Rt △ANB 中，BN =√AB 2−AN 2=√6−32=3√3，∴BM ＝2BN ＝6√3，∵BP MP =12，∴BP BM =13，∴BP =13BM =6√3×13=2√3，∴PN ＝BN ﹣BP ＝3√3−2√3=√3；（3）如图，在AB 上取一点O ，使BO ＝2，连接OP ，OC ，过点O 作OH ⊥BC 于H ，∵BO AB =BP BM =13，∠OBP ＝∠ABM ， ∴△OBP ∽△ABM ，∴OP =13AM ＝2，在Rt △OBH 中，BH ＝1，OH =√3，∴CH ＝5，由勾股定理得OC =√OH 2+CH 2=2√7，∵PC ≥OC ﹣OP ，∴PC 的最小值为2√7−2，∴PC 的长存在最小值，最小值为2√7−2．。
“图形的轴对称、平移和旋转”中考专题复习教学设计
收稿日期：2021-01-16作者简介：曹自由（1979—），男，高级教师，主要从事中学数学教育研究.“图形的轴对称、平移和旋转”中考专题复习教学设计曹自由摘要：图形的变化是发展空间观念的内容抓手，也是研究图形的基本方法，是发现和构造不变量和不变关系的重要途径.学生在新授课阶段分别学习了轴对称、平移和旋转，在中考第二轮复习中需要建立它们之间的关联，进行整体复习.通过四个课时的复习教学，分别引导学生感受运动变化、理解运动变化、运用运动变化、整合运动变化，有效发展学生的空间观念、几何直观和推理能力.文章将第1课时设计整理成文，以供研讨.关键词：图形的变化；中考复习；教学设计一、内容和内容解析1.内容图形的变化（轴对称、平移、旋转）．2.内容解析初中阶段学习的几何图形的变化包括轴对称、平移、旋转和相似（位似）的概念、性质和应用.本节课复习的内容是图形的全等变换——轴对称、平移和旋转.图形的全等变换可以看作是图形的刚体运动，用全等变换的思想研究图形的性质和关系是“图形与几何”领域重要的学习内容.在义务教育阶段，图形之间最重要的关系就是全等，全等可以用图形重合的方式直观获得，而“图形重合”需要通过图形的运动来实现，这种运动就是图形的轴对称、平移和旋转.图形的变化是理解图形空间结构的基本方法，也是空间观念的核心要素.抽象轴对称、平移和旋转的基本性质，用逻辑的方法理解图形的全等变换是从定性到定量研究图形的变化的桥梁.从小学直观认识图形的轴对称、平移和旋转到初中的逻辑研究、坐标表示再到后续的矩阵表示，是图形的全等变换的定性到定量发展的三个重要阶段.基于以上分析，确定本节课的教学重点是：建立三种图形的变化相关知识的逻辑体系，并用图形变化的观点认识几何图形.二、目标和目标解析1.目标（1）理解轴对称、平移、旋转之间的联系，加深对运动变化的认识，落实画图和识图的能力，渗透几何直观能力.（2）在问题探究的过程中，逐步形成用图形的变化思考、解决问题的意识，渗透图形变化思想.2.目标解析达成目标（1）的标志：能够从运动变化的角度描述两个已知图形之间的关系，能够根据图形变化（轴对称、平移、旋转）的概念和性质画出运动变化后的图形，通过梳理建立三种变化相关知识的逻辑体系.达成目标（2）的标志：能够以运动的视角观察图形，用变化的思想分析图形特征．三、教学问题诊断分析近几年北京中考试卷中的几何综合题都考查了图形的变化的相关内容，并且不是单一的，而是从一种变化到另一种变化的综合考查.但是学生学习时，知识是零散的、分割开的，先学习了平移，然后是轴对称和旋转，没有形成三种变化相关知识的逻辑体系.同时，图形的变化是一种观察图形的视角，培养这种“视角”与培养“知识与技能”同样重要.基于以上分析，可以确定本节课的教学难点是：三种图形的变化之间的转化．四、教学过程设计1.课前学习题目如图1，在平面直角坐标系xOy中，△AOB 可以看作是△OCD经过若干次图形的变化（轴对称、平移、旋转）得到的，写出一种由△OCD得到△AOB 的过程：．图1思考问题：什么是轴对称、平移、旋转？它们各有什么性质？它们之间有什么联系？【设计意图】此题为2017年中考北京卷第15题，学生在课前复习轴对称、平移、旋转的相关知识，关注知识的形成过程及知识之间的内在联系，在应用中不断深化认识.通过解决中考试题回顾思考涉及的知识和思想方法，进一步提升能力.2.交流梳理环节1：交流课前学习成果.（1）平移：如图2，平移前后的两个图形全等（从图形形状、大小关系来看）；对应线段平行且相等，两对应点连线互相平行（共线）且相等（从图形位置变化来看）.图2CC′BAA′B′（2）轴对称：如图3，关于某直线对称的两个图形全等（从图形形状、大小关系来看）；对应线段相等，两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线（从图形位置变化来看）.图3B′A′ABCNMC′（3）旋转：如图4，旋转前后的两个图形全等（从图形形状、大小关系来看）；每两对对应点连线所形成的角都等于旋转角（从图形位置变化来看）；对应点到旋转中心的距离相等（从图形位置变化来看）.BCAA′C′（1）OB′ABCC′A′（2）图4（4）轴对称、平移、旋转三者的关系：如图5，两条对称轴平行的轴对称复合⇔一次平移；两条对称轴相交的轴对称复合⇔一次旋转.2（3）2（1）2（2）图5轴对称在三种变化中起到桥梁作用，轴对称与另外两种全等变换在地位上是有区别的，它是更加基础的一种变化，所有平移、旋转都可以用轴对称变化来解释.【设计意图】学生先回答思考问题，借此梳理三种变化的性质，明确各自的画图方法及依据，明确三种变化之间的关系.环节2：问题引导深入思考.思考：只用一种变化可不可以操作？如何操作？用两种变化如何操作？哪种方法容易快速想到？为什么？【设计意图】课上让学生先交流自己的结果.而学生在交流结果时一定是无序的，这时教师可以引导学生进行有序思考.问题1：对于题目，只用两种变化有哪些方法？学生活动：交流使用两种变化的情况.（1）旋转+平移.思路1：将△COD绕点C顺时针旋转90°后，再向左平移两个单位得到△AOB.思路2：将△COD绕点O顺时针旋转90°后，再向上平移两个单位得到△AOB.思路3：将△COD向左平移两个单位后，再绕点C 顺时针旋转90°得到△AOB.思路4：将△COD向上平移两个单位后，再绕点A 顺时针旋转90°得到△AOB.（2）旋转+轴对称.思路5：将△COD先关于x轴对称，再以点C为旋转中心顺时针旋转90°，再作关于直线x=1的对称得到△AOB.追问：采用“平移+轴对称”的方式可以吗？归纳：对应顶点排列的顺序一致——旋转；与目标图形的方向一致——平移.问题2：用一种变化有哪些方法？追问：两个全等的三角形通过某种运动方式一定能重合吗？若能重合，如何运动？归纳：对应顶点排列顺序一致，经过一次旋转能重合．学生活动：对于题目，展示只通过旋转或只通过轴对称完成任务的方法，并说明自己的画图方法和画图依据.方法1：（旋转）根据旋转的性质，确定旋转中心、旋转方向和旋转角.思路6：将△COD绕点()1，1顺时针旋转90°得到△AOB.思路7：将△COD先绕点()1，-1逆时针旋转90°后，再绕点O旋转180°得到△AOB.方法2：（轴对称）两条对称轴相交的轴对称复合⇔一次旋转.思路8：先将△COD沿直线x=1对称后，再沿直线y=x对称得到△AOB.思路9：先将△COD沿直线y=1对称后，再沿直线y=-x+2对称得到△AOB.【设计意图】题目难度不大，且学生具备直接识别运动变化的能力，但是学生自己描述运动变化的经验还是比较少的，而且运动的方式是不唯一的，给出运动前后的图形，描述运动变化要素，这对学生的要求实际上是提高了很多的.因此，要关注这三种运动变化之间的联系，通过这个过程深化学生对于运动变化的认识.3.变式练习变式1：如图6，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD的中点，试类比上一个问题的探究过程，说出△ABE经过怎样的图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到△BCF？图6B E CFDA图7B E CDA变式2：如图7，在等边三角形ABC中，AD=BE，试类比上一个问题的探究过程，说出△ABE经过怎样的图形的变化（轴对称、平移、旋转）得到△CAD？学生活动：展示所画图形的变化过程，并用语言描述这个过程.学生可能想到如下情况.（1）旋转+平移（如图8和图9）.D图8图9（2）两次轴对称（如图10）.图10（3）一次旋转（如图11）.图11【设计意图】将任务探究的思维过程结构化，形成解决问题的方法思路.同时渗透用运动变化的眼光观察图形的思想方法.满足特定条件下的图形的变化可能有多种情况，培养思维的有序性、多样性.4.归纳与提升总结、归纳本节课的教学流程如图12所示.运动的眼光，变换的思想ìíîïï图形的平移图形的轴对称图形的旋转图12【设计意图】归纳方法、提升能力，形成用运动的眼光、变换的思想看待两个图形之间的关系的能力，渗透运动变换思想.5.布置作业（1）如图13，在平面直角坐标系xOy中，△O′A′B′可以看作是△OAB经过若干次图形的变化（轴对称、平移、旋转）得到的，写出一种由△OAB得到△O′A′B′的过程：.图13（2）如图14，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为A()-4，1，B()-1，3，经过两次变化（平移、轴对称、旋转）得到对应点A″，B″的坐标分别为A″()1，0，B″()3，-3，则由线段AB得到线段A′B′的过程是：，由线段A′B′得到线段A″B″的过程是：．图14（3）如图15，在正方形网格中，线段A′B′可以看作是线段AB经过若干次图形的变化（轴对称、平移、旋转）得到的，写出一种由线段AB得到线段A′B′的过程：．图16图15ABA′B′（4）如图16，在平面直角坐标系xOy中，△ABC可以看作△DEF是经过若干次图形的变化（轴对称、平移、旋转）得到的，写出一种由△DEF得到△ABC的过程：．五、教学反思本节课是“图形的轴对称、平移和旋转”中考第二轮专题复习课，内容属于“图形的变化”.希望通过一系列数学活动，帮助学生在已有知识基础上对图形变换思想进行相应的概括和应用.同时，在落实“四基”、培养“四能”的过程中，促进学生数学学科核心素养的形成和发展.1.感受运动变化，建立逻辑体系学生通过亲身经历课前的数学操作活动后，体验的水平停留在“感觉”阶段，还没有对活动过程进行深入的思考，没有深刻认识到三种全等变换之间内在的逻辑关系.在此基础上，学生在课堂上通过交流及反思性观察将获得的体验进行抽象，梳理三种全等变换各自的性质及它们之间的联系，形成解决该类问题的一般思维模式.图形的变化是一种观察图形的视角，培养这种“视角”与培养“知识与技能”同样重要.在关注联系的基础上，通过问题引导，使学生能够进行知识的归纳梳理，并能够主动利用经验的迁移去研究其他问题.通过本节课的教学，进一步帮助学生感受运动变化，学会以运动变化的视角分析图形，也为后续进一步主动运用图形变化视角认识几何图形，运用图形变换思想解决综合性问题奠定基础. 2.培养思维的有序性、多样性满足特定条件下的图形的变化可能有多种情况，开放性问题有助于学生体验解决问题方法的多样性.与此同时，通过增加限定条件，从两种图形变化的组合，到只用一种图形变化，将任务探究的思维过程结构化，形成解决问题的方法思路.同时，渗透用运动变化的眼光观察图形的思想方法.本节课的教学目标定位在落实画图和识图能力，渗透几何直观能力，理解轴对称、平移、旋转之间的联系，加深对运动变化的认识；在问题探究的过程中，逐步形成用图形的变化视角思考解决问题的意识，渗透图形变化思想.在实际授课过程中，知识与技能落实得比较到位，而思想性体现不够充分，还需要深入研究，在思想性上多做文章.参考文献：［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.［2］教育部基础教育课程教材专家工作委员会.《义务教育数学课程标准（2011年版）》解读［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.［3］章建跃.章建跃数学教育随想录［M］.杭州：浙江教育出版社，2017.［4］任华中，傅海伦，邵亚娜.初中数学基本活动经验的教学目标层次划分［J］.中国数学教育（初中版），2018（6）：30-32.。
中考数学轴对称知识点归纳
中考数学轴对称知识点归纳
轴对称是中考数学中的一个重要知识点，它涉及到图形的对称性，是
几何学的一个基本概念。
以下是对中考数学轴对称知识点的归纳：
首先，我们需要了解轴对称的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后，直线两旁的部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直
线叫做对称轴。
接下来，我们探讨轴对称的性质：
1. 对称轴是一条直线，且对称轴上的点到图形上任意一点的距离相等。
2. 轴对称图形的对称点关于对称轴是等距离的。
3. 轴对称图形的对称点连线与对称轴垂直。
在中考数学中，轴对称的应用主要体现在以下几个方面：
1. 判断图形是否为轴对称图形。
2. 确定图形的对称轴。
3. 利用轴对称性质解决几何问题，如求图形的面积、周长等。
4. 利用轴对称进行图形的变换，如图形的平移、旋转等。
在解题过程中，我们需要注意以下几点：
- 观察图形的特点，判断是否存在对称轴。
- 利用对称轴将图形划分为对称的部分，简化问题。
- 在需要求图形面积或周长时，可以利用对称性将问题转化为求对称
部分的面积或周长，再进行计算。
最后，通过练习典型的轴对称问题，可以加深对轴对称概念的理解和
应用。
例如，解决一些常见的轴对称问题，如计算对称图形的面积，
或者通过对称性简化复杂的几何图形问题。
结束语：轴对称是中考数学中一个基础而重要的概念，掌握其定义、性质和应用对于解决几何问题至关重要。
通过不断的练习和思考，可以提高解决轴对称问题的能力。
2021年中考数学复习讲义：第五章 轴对称 模型(二十)——婆罗摩笈多模型
第五章.轴对称模型（二十）——婆罗摩笈多模型一、垂直中点【结论1】如图，△ABC和△DBE是等腰直角三角形，MN经过点B，若MN⊥CE，则①点N是AD的中点，②SCBE∆＝SABD∆，③CE＝2BN. 【证明】如图，（知垂直得中点，一线三垂直）②如图，由①知，SCBM∆＝SBAP∆，SEBM∆＝SBDQ∆，SAPN∆＝SDQN∆∴SABD∆＝SABN∆＋SDBN∆＝SBAP∆＋SAPN∆＋SBDQ∆－SDQN∆模型讲解＝SBAP∆＋SBDQ∆＝SCBM∆＋SEBM∆＝SCBE∆,即SCBE∆＝SABD∆，得证.③如图，由①得，PN＝QN，∴CE＝CM＋EM＝BP＋BQ＝BN－NP＋BN＋QN＝2BN，得证.二、中点垂直【结论2】如图，△ABC和△DBE是等腰直角三角形，点P是CE的中点，PB的延长线交AD于点Q，则①PQ⊥AD，②SCBE∆＝SABD∆,③AD=2BP【证明】如图，（知中点得垂直，倍长中线）②如图，由①知SCBE∆＝SCBP∆＋SEBP∆＝SEMP∆＋SEBP∆＝SMEB∆＝SABD∆,得证.③如图，由①知AD＝MB＝2BP，得证。
婆罗摩笈多定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边。
这个定理有另一个名称，叫做“布拉美古塔定理”（又译《卜拉美古塔定理”）。
如图，△AOB和△COD是等腰直角三角形，MN过点O，⑴若MN⊥AD，则点M是BC的中点，②SAOD∆＝SBOC∆，③AD＝2OM.⑵若M是BC的中点，则①MN⊥AD，②SAOD∆＝SBOC∆，③AD＝2OM.如图，△AOB和△COD是等腰三角形，∠AOB＋∠COD=180º，MN过点O.N在AD延长线上.拓展拓展⑴若∠ANM＝∠AOB，则M是BC的中点，②SAOD∆＝SBOC∆，③AD＝2OM.⑵若M是BC的中点，则②∠ANM＝∠AOB，②SAOD∆＝SBOC∆，③AD＝2OM.如图，△AOB≌△COD且∠AOB＝∠COD=180º，MN过点O.⑴若M是BC的中点，则①AD＝2OM，②SAOD∆＝SBOC∆.⑵若N是AD的中点，则①BC＝2ON，②SAOD∆＝SBOC∆.如图，在△AOB、△COD中，DOCOBOAO=，且∠AOB＋∠COD=180º，则SAOD∆＝SBOC∆.拓展拓展典例秒杀典例1 ☆☆☆☆☆如图，AB=AE，AB⊥AE，AD=AC，AD⊥AC，点M为BC的中点，求证∶DE=2AM.BN.【解析】如图，延长 AM至点N，使 MN=AM，连接Array∵点 M为 BC 的中点，∴CM=BM.在△AMC和△NMB中，AM=MN, ∠AMC=∠NMB, CM= BM,∴△NMB≌△AMC（SAS），∴AC=BN,∠C=∠NBM.∵AB⊥AE，AD⊥AC，∴∠EAB=∠DAC=90°, ∴∠EAD+∠BAC=180°,∴∠ABN=∠ABC+∠C=180°-∠BAC=∠EAD.在△EAD和△ABN中， AE=AB, ∠EAD=∠ABN, AD= BN,∴△EAD≌△ABN（SAS），∴DE=AN=2AM.典例2 ☆☆☆☆☆定义：如图1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC＝AD＝AE，当∠BAC＋∠DAE＝180º时，我们称△ABC与△DAE互为“顶补等腰三角形”，△ABC的边BC上的中线AM叫做△ADE的“顶心距”.特例感知∶⑴在图2、图3中，△ABC与△DAE互为“顶补等腰三角形”，AM， AN 分别是“顶心距”.①如图2，当∠BAC=90°时，AM与DE 之间的数量关系为AM=_____DE;②如图3，当∠BAC=120°，BC=6时，AN的长为__________.猜想论证∶⑵在图1中，当∠BAC为任意角时，猜想AM与DE 之间的数量关系，并给予证明。
2020中考数学专题复习：图形和变换(轴对称、轴对称图形)(共29张PPT)
3- 2
例题6．
A O
Q
F
B E
综合提优
①求证：DQ＝AE；②推断:GF:AE的值；
D
G
C
综合提优
A
D BC:AB＝k(k为常数)．探究GF与AE之间的数量
关系，并说明理由；
MO
F
B
E
G P
C
A
5X
O2 10 F 3 10 x
4X 5X
拓展应用：在(2)的条件下，连接CP,当k＝ 2 D 时，若tan∠CGP＝ 3 ,GF＝2 10 ，求CP的长．3
2. 下列图形中，为轴对称图形的是（ D ）
基础训练
3.(2017黑龙江哈尔滨)下列图形中,既是轴对称图形
又是中心对称图形的是 ( D )
基础训练
4.如图所示,在Rt△ABC中，
∠C= 90°,以顶点A为圆心,适当
长为半径画弧，分别交AC,AB
于点M、N,再分别以点M,N为
圆心,大于0.5MN的长为半径画
例题讲解
∵以△ADE、△AD′E，关于直线AE 成轴对称图形∴AD＝AD′， ∵在△ABD和△ACD′中
∴△ABD≌△ACD′（sss）
（2）解：∵△ABD≌△ACD′，∴∠BAD＝∠CAD′， ∴∠BAC＝∠DAD′＝120°， ∵以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形 △AD′E， ∴∠DAE＝∠D′AE＝ ∠DAD′＝60°，即∠DAE＝60°
E是边CD上一点,连接AE.折叠该纸片,使点A落在AE
上的G点,并使折痕经过点B,得到折痕BF,点F在AD上.
若DE=5,则GE的长为
.
例题讲解
12
由折叠及轴对称的性质可知， △ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，
中考数学复习微专题：构造轴对称图形解题方法
构造轴对称图形解题我们在解(证)几何问题时，常常可利用轴对称性质构造出一个轴对称图形，这样能使解题过程更加简捷.下面举例说明.例1 如图1，ABC 中，60BAC ∠=︒，2AB AC =，D 是ABC 内一点，满足3AD =，5BD =，2CD =，求ABC 的面积.分析 把ACD 、CDB 、ADB 分别AC 、CB 、AB 作轴对称变换，把分散的线段，集中在EGF 中，以找到求面积的思路.解 把ACD 以AC 为对称轴往外翻折得到ACE ，把CDB 以CB 为对称轴往外翻折得到CFB ，把ADB 以AB 为对称轴往外翻折得到AGB .则有3AE AG ==,2120EAG CAB ∠=∠=︒,∴EAG 是一个边长为3，顶角为120︒的等腰三角形，334EAGS=. 同理，GBF 是一个边长为5的等边三角形，2534BGFS =. ∵2180ECF ACB ∠=∠=︒, ∴E 、C 、F 三点共线.∴EGF 是一个边长为3，4，5的的直角三角形，6EGFS =.∴AEGGEFGBFAEFBG S SSS=++五边形673=+.2673ABCS=+ ∴7332ABCS=+. 说明 遇到正方形中分散的线段，构造轴对称图形，集中到同一个图形，利用勾股定理，方程等方面解决问题.例2 在Rt BAC 中，90BAC ∠=︒，P 是BC 的中点，M 、N 在AB 、AC 上，PN PM ⊥，求证:222MN BM CN =+.分析 要证222MN BM CN =+，联想到勾股定理，作MPN 以MP 为对称轴的'MPN ，将分散线段MN ，MB ，CN 转移同一个直角三角形来解决. 证明 如图2，延长NP 至点'N ，使'N P NP =，连结'BN ，'MN∵'MPN 与MPN 是关于以MP 为轴的对称图形，∴'MPN PMN ≅. 'MN MN ∴=，'PN NP =.又∵PB PC =，'BPN NPC ∠=∠, ∴'BPN CPN ≅.'BN CN ∴=，'N BP C ∠=∠. //'AC BN ∴.由90BAC ∠=︒，得'MBN 是直角三角形,∴222''MN BM CN =+.222MN BM CN =+.说明 遇到勾股数的线段，构造轴对称变换，再用三角形全等，把对应线段转化同一个三角形促使问题解决.例3 如图3所示，ABC 中，6AB =，3AC =，120BAC ∠=︒，BAC ∠的平分线交BC 于D ，求AD 的长.分析 由于AD 平分BAC ∠，因此我们可以作AD 为轴的对称变换.证明 取AB 中点'C ，连结'CC ，交AD 于O 点，易知AOC 和'AOC 关于AD 对称，'AO CC ⊥.由于30AOC ∠=︒，3AC =，∴32AO =. 延长AC 至点'B ，使'6AB =，连结'BB 交AD 延长线于E .显然，ABE 和'AB E关于AE 对称，且'AE BB ⊥.由于OC 是ABC 的中位线,32AO OE ∴==，11'22OC EB BE ==. OC OD BE DE =，12OD DE ∴=,332OD ∴=，12OD ∴=.于是，31222AD =+=.说明 遇到特殊角的三角形，构造轴对称图形，利用特殊的30︒直角三角形性质或三角形中位线性质，使线段成比例，分段求解线段的长.例4 已知等边ABC ，E 在BC 的延长线上，CF 平分ACE ∠，点P 在射线BC 上，点Q 为CF 上一点，连结AP ，PQ .若AP PQ =，APQ ∠是多少度.分析 本题关键是构造PCQ 关于BE 的轴对称图形PCR ，则AP PQ =，于是转化为AP PR =，且有PAR PRA ∠=∠，从而找到解题的途径. 解如图4，作点Q 关于BE 的对称点R ，交BE 于点H ，从而可得QCH RCH ≅,60QCH RCH ∠=∠=︒.由A ，C ，R 在同一直线上，易证PCQ PCR ≅,从而QPH RPH ∠=∠,PR PQ =，PQC PRC ∠=∠.又由于AP PQ =，从而AP PR =,∴PRA PAR ∠=∠.∴BAP PAC PQC QPC ∠+∠=∠+∠. ∴BAP QPC ∠=∠.即BAP B QPC APQ ∠+∠=∠+∠, ∴60APQ ∠=︒.说明 等腰(等边)三角形是轴对称图形，充分利用轴对称性质求解，是解决问题的关键. 例5 如图5，在正方形ABCD 中，E 在BC 上，2BE =，1CE =，P 在BD 上，求PE 与PC 的长度和的最小值.分析 利用BD 是正方形的对称轴，连结AP ，AP 就是PC 的对称线段，把所求PE 与PC 的长度和的最小值转化为求AP PE +的最小 值.解 因为ABCD 为正方形，所以A 、C 是关于BD 所在直线对称的对称点，连结AP ，AE ，由对称性知，AP PC =，则PC PE +的最小值为AP PE +的最小值而AP PE +，由三角形三边关系，知AP PE AE +> 即最小值就是AE 在Rt ABE 中，22AE AB BE =+222313=+=所以AP PE +13 说明 遇到最短距离问题，一般都要利用轴对称的知识，在将问题转化两点线段最短来解决.例6 如图6，四边形ABCD 的对角线AC 与BD ，它们相交于点O ，AC BD ⊥，OA OC >，OB OD >，试说明线段BC AD AB CD +>+的理由.分析 题中BC AD +，AB CD +相对较分散，难以比较.注意到AC BD ⊥，OA OC >，OB OD >，于是可以分别以BD ，AC 为对称轴，作出对称点'D 与'C ，连结'AD ，'BC ，''C D ，这样就可以把有关线段相对集中到ABC 中.解 分别以AC 与BD 为对称轴，作出对称点'D 与'C ，连结'AD ，'BC ，''C D ，则'AD AD =，'BC BC =，''CD C D =. 在ABE 中，BE AE AB +>,在''C D E 中，''''C E D E C D +>, 所以''''BC AD AB C D +>+. 故BC AD AB CD +>+. 说明 遇到线段不等的问题，通常考虑运用轴对称图形的知识，将分散的线段相对集中，在利用三角形的两边之和大于第三边来解决.。
中考数学轴对称知识点归纳
中考数学轴对称知识点归纳在中考数学中，轴对称是一个重要的概念。
轴对称是指图形对称于一个轴线，即图形的一半可以通过轴线进行翻折得到另一半。
在本文中，我们将逐步介绍轴对称的相关知识点。
1. 轴对称的定义轴对称是指图形可以通过某个轴线进行对称，使得图形的一半与另一半完全重合。
轴对称的图形可以分为轴对称图形和轴对称字母。
轴对称图形是指图形可以通过某个轴线进行对称，并且对称之后的图形与原图形完全重合，例如正方形、长方形等。
轴对称字母是指字母可以通过某个轴线进行对称，并且对称之后的字母与原字母完全重合，例如字母“A”、“H”等。
2. 轴对称图形的性质轴对称图形具有一些特殊的性质，包括：•轴对称图形的对称轴上的点保持不变。
也就是说，对称轴上的任意一点关于对称轴的对称点仍然是该图形的一个点。
•轴对称图形的任意两个点关于对称轴的对称点都在该图形中。
也就是说，对称轴上的任意一点关于对称轴的对称点都在该图形中。
3. 轴对称图形的判断判断一个图形是否为轴对称图形的方法主要有两种：•观察法：观察图形是否有明显的对称性，例如正方形、长方形等。
•对称性判断法：通过观察图形上的点，判断这些点是否关于对称轴对称。
如果对称轴上的点关于对称轴的对称点也在图形中，则说明该图形是轴对称图形。
4. 轴对称字母的判断判断一个字母是否为轴对称字母的方法主要有两种：•观察法：观察字母是否有明显的对称性，例如字母“A”、“H”等。
•对称性判断法：通过观察字母上的点，判断这些点是否关于对称轴对称。
如果对称轴上的点关于对称轴的对称点也在字母内部，则说明该字母是轴对称字母。
5. 轴对称图形的绘制绘制一个轴对称图形可以按照以下步骤进行：1.选择一个适当的轴对称轴。
2.在轴对称轴上选取一些点。
3.将这些点关于轴对称轴进行对称得到的对称点连接起来。
4.根据需要，可以使用尺子、直角尺等工具细化图形的形状。
6. 轴对称与平移的关系轴对称和平移是数学中两个重要的概念，它们之间存在一定的关系。
中考数学知识点考点复习指导利用轴对称求最值
中考数学知识点考点复习指导利用轴对称求最值利用轴对称求最值是高中数学中的一个重要的知识点，也是中考数学中经常考察的内容之一、下面我将从以下几个方面为你详细介绍如何利用轴对称求最值。
1.轴对称性的概念轴对称性是指对于平面上的一个图形，如果沿条直线旋转180度后，旋转后的图形与原图形重合，那么我们就说这个图形具有轴对称性。
轴对称的直线称为轴线。
轴对称的图形的特点是：图形的任意一点关于轴线对称的点也在图形内部。
2.利用轴对称求最值的一般步骤求解最值的一般步骤为：首先明确最值是指最大值还是最小值，然后利用轴对称性把问题转化为一个等价的问题，利用已知条件求解这个等价问题，最后还原到原问题中，得到最值。
3.利用轴对称求最值的具体方法在具体的问题中，可以根据实际的情况，运用合适的方法进行求解。
下面是常见的一些方法：(1)利用轴对称线上的点求最值：对于轴对称的图形，如果可以确定图形上的其中一点关于轴线的对称点是最值点，那么这个最值点的横坐标就可以作为最值的解。
(2)利用轴对称图形的特点求最值：对于具有轴对称性的图形，如果能够找到一些特殊的点，使得这些点关于轴线对称，而且能够确定这些点是最值点，那么这个最值点就可以作为最值的解。
(3)利用轴对称图形的性质求最值：对于轴对称的图形，如果能够利用对称性与其他已知条件建立等式或不等式，然后求解这个等式或不等式的解，就可以得到最值的解。
(4)利用轴对称折线的特点求最值：对于轴对称的折线图，可以利用折线图的性质，比如单调性，交点等，将问题转化为求解折线的最值的问题，然后利用已知条件求解最值。
4.练习题示例为了更好地理解和掌握利用轴对称求最值的方法，我们可以通过一些练习题来加深印象。
下面是一些练习题的示例：(1)求函数y=2x^2-3x+1在区间[-1,2]上的最大值和最小值。
解：首先，求函数的极值点，对应的x值是-1/4、然后，将-1/4代入函数，得到y=-1/8、所以在[-1,2]上，最大值为1，最小值为-1/8(2)求函数y=x^3-3x^2+3x的最大值和最小值。
中考复习 轴对称与图案设计(含答案)
中考系列复习之（1）轴对称一、基础知识梳理（一）主要概念1．轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，•直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴．2．线段的垂直平分线：线段是轴对称图形，•它的一条对称轴垂直于这条线段并且平分它，这样的直线叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）．3．等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（二）主要性质1．角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．2．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．3．等腰三角形是轴对称图形等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴．等腰三角形的两个底角相等．4．两个图形关于某条直线成轴对称，•则对应点所连的线段被对称轴垂直平分．对应线段相等，对就角相等．二、考点与命题趋向分析（一）能力1．通过具体实例认识轴对称，探索它的基本性质，•理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质．2．能够按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；•探索简单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴．3．探索基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、•圆）的轴对称性及其相关性质．4．欣赏现实生活中的轴对称图形，•结合现实生活中典型实例了解并欣赏物体的镜面对称，能利用轴对称进行图案设计．5．了解角平分线及其性质．6．了解线段垂直平分线及其性质．7．了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握等腰三角形的性质．（二）命题趋向分析1．中考中常在拼图中考查轴对称的有关概念，考查学生动手操作能力．【例1】（2001年福建省福州市）两个全等的三角板，•可以拼出各种不同的图形，图中已画出其中一个三角形，请你分别补出另一个与其全等的三角形，使每个图形分别成不同的轴对称图形（所画三角形可与原三角形有重叠部分）．【思路分析】只要对轴对称图形的概念清楚，弄清题意，本题还是很容易完成的，现举几例如下．【解】2．有些找规律题也利用轴对称图形出题．【例2】（2004年烟台市）把26个英文字母按规律分成5组，现在还有5•个字母D、M、Q、X、Z，请你按原规律补上，其顺序依次为（）①F R P J L G □；②H I O □③N S □；④B C K E □⑤V A T Y W U □A．Q X Z W D B．D M Q Z X C．Z X M D Q D．Q X Z D M 【思路分析】第①组不是中心对称图形，也不是轴对称图形，应填Q；第②组既是中心对称图形，也是轴对称图形，应填X；第③组是中心对称图形，不是轴对称图形，应填Z；第④组不是中心对称图形，仅是轴对称图形，并且对称轴为一条水平线，应填D；第⑤组也不是中心对称图形，仅是轴对称图形，并且对称轴为一条竖线，应填M．【解】选D三、解题方法与技巧方法1：转化方法【例1】如图所示，已知等腰三角形ABC ，AB 边的垂直平分线交AC 于D ，AB=•AC=8，BC=6，求△BDC 周长．【解】∵DE 是AB 的垂直平分线∴点B 、A 关于BD 轴对称∴AD=BD∴△BCD 的周长=BC+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC ∵AC=8，BC=6∴△BCD 周长=8+6=14．【规律总结】本题的思路主要是将线段转化代换，把三角形周长转代为已知线段的和，这种转化的思想是解决数学问题的重要思想方法．【例2】如图所示，在公路a 同侧有两个居民小区A 、B ，•现需要在公路旁建一个液化气站，要求到A 、B 的距离之和最短，这个液化气站应建在哪一个地方？【解】已知直线a 和a 的同侧两点A 、B ，如同所示．求作：点C ，使C 在直线a 上，并且使AC+BC 最小．作法：1．作A 点关于直线a 的对称点A ′．2．连结A ′B 交直线a 于点C ，则C 就是所求作的点． 【规律总结】本题通过作点A 关于直线a 的对称点A 把AC+BC 的和最短问题转化为A ′、B 两点之间线段最短的问题．方法2：分类讨论法【例3】如图所示，在四个正方形拼接的图形中，以这十个点中任意三点为顶点，共能组成________个等腰直角三角形，你愿意把得到上述结论的探究方法与他人交流吗？请在下面简要写出你的探究过程．______________________________________________________________________________________________________。
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构造轴对称图形解题
我们在解(证)几何问题时，常常可利用轴对称性质构造出一个轴对称图形，这样能使解题过程更加简捷.下面举例说明.
例1 如图1，ABC V 中，60BAC ∠=︒，2AB AC =，D 是ABC V 内一点，满足
AD =5BD =，2CD =，求ABC V 的面积.
分析 把ACD V 、CDB V 、ADB V 分别AC 、CB 、AB 作轴对称变换，把分散的线段，集中在EGF V 中，以找到求面积的思路.
解 把ACD V 以AC 为对称轴往外翻折得到ACE V ，把CDB V 以CB 为对称轴往外翻折得到CFB V ，把ADB V 以AB 为对称轴往外翻折得到AGB V .则有
AE AG ==2120EAG CAB ∠=∠=︒,
∴EAG V 120︒的等腰三角形，EAG S =V .
同理，GBF V 是一个边长为5的等边三角形，BGF S =
V ∵2180ECF ACB ∠=∠=︒,
∴E 、C 、F 三点共线. ∴EGF V 是一个边长为3，4，5的的直角三角形，6EGF S =V .
∴AEG GEF GBF AEFBG S S S S =++V V V 五边形
6=+
26ABC S =+V
∴3ABC S =V 说明 遇到正方形中分散的线段，构造轴对称图形，集中到同一个图形，利用勾股定理，方程等方面解决问题.
例2 在Rt BAC V 中，90BAC ∠=︒，P 是BC 的中点，M 、N 在AB 、AC 上，
PN PM ⊥，求证:222MN BM CN =+.
分析 要证222
MN BM CN =+，联想到勾股定理，作MPN V 以MP 为对称轴的'MPN V ，将分散线段MN ，MB ，CN 转移同一个直角三角形来解决.
证明 如图2，延长NP 至点'N ，使'N P NP =，连结'BN ，'MN
∵'MPN V 与MPN V 是关于以MP 为轴的对称图形，∴'MPN PMN ≅V V .
'MN MN ∴=，'PN NP =.
又∵PB PC =，'BPN NPC ∠=∠,
∴'BPN CPN ≅V V .
'BN CN ∴=，'N BP C ∠=∠.
//'AC BN ∴.
由90BAC ∠=︒，得'MBN V 是直角三角形,
∴222
''MN BM CN =+. 222MN BM CN =+.
说明 遇到勾股数的线段，构造轴对称变换，再用三角形全等，把对应线段转化同一个三角形促使问题解决.
例3 如图3所示，ABC V 中，6AB =，3AC =，120BAC ∠=︒，BAC ∠的平分线交BC 于D ，求AD 的长.
分析 由于AD 平分BAC ∠，因此我们可以作AD 为轴的对称变换.
证明 取AB 中点'C ，连结'CC ，交AD 于O 点，易知AOC V 和'AOC V 关于AD 对称，'AO CC ⊥.
由于30AOC ∠=︒，3AC =，∴32
AO =
. 延长AC 至点'B ，使'6AB =，连结'BB 交AD 延长线于E .显然，ABE V 和'AB E V
关于AE 对称，且'AE BB ⊥.
由于OC 是ABC V 的中位线,
32AO OE ∴==，11'22
OC EB BE ==. OC OD BE DE =Q ，12
OD DE ∴=, 332OD ∴=，12
OD ∴=. 于是，31222
AD =+=. 说明 遇到特殊角的三角形，构造轴对称图形，利用特殊的30︒直角三角形性质或三角形中位线性质，使线段成比例，分段求解线段的长.
例4 已知等边ABC V ，E 在BC 的延长线上，CF 平分ACE ∠，点P 在射线BC 上，点Q 为CF 上一点，连结AP ，PQ .若AP PQ =，APQ ∠是多少度.
分析 本题关键是构造PCQ V 关于BE 的轴对称图形PCR V ，则AP PQ =，于是转化为AP PR =，且有PAR PRA ∠=∠，从而找到解题的途径.
解如图4，作点Q 关于BE 的对称点R ，交BE 于点H ，从而可得
Q C H R C H ≅V V ,
60QCH RCH ∠=∠=︒.
由A ，C ，R 在同一直线上，易证
P C Q
P C R ≅V V , 从而QPH RPH ∠=∠,
PR PQ =，PQC PRC ∠=∠.
又由于AP PQ =，从而AP PR =,
∴PRA PAR ∠=∠.
∴BAP PAC PQC QPC ∠+∠=∠+∠.
∴BAP QPC ∠=∠.
即BAP B QPC APQ ∠+∠=∠+∠,
∴60APQ ∠=︒.
说明 等腰(等边)三角形是轴对称图形，充分利用轴对称性质求解，是解决问题的关键. 例5 如图5，在正方形ABCD 中，E 在BC 上，2BE =，1CE =，P 在BD 上，求PE 与PC 的长度和的最小值.
分析 利用BD 是正方形的对称轴，连结AP ，AP 就是PC 的对称线段，把所求PE 与PC 的长度和的最小值转化为求AP PE +的最小
值.
解 因为ABCD 为正方形，所以A 、C 是关于BD 所在直线对称的对称点，连结AP ，AE ，由对称性知，AP PC =，则PC PE +的最小值为AP PE +的最小值
而AP PE +，由三角形三边关系，知
AP PE AE +>
即最小值就是AE
在Rt ABE V 中，
AE =
所以AP PE + 说明 遇到最短距离问题，一般都要利用轴对称的知识，在将问题转化两点线段最短来解决.
例6 如图6，四边形ABCD 的对角线AC 与BD ，它们相交于点O ，AC BD ⊥，OA OC >，OB OD >，试说明线段BC AD AB CD +>+的理由.
分析 题中BC AD +，AB CD +相对较分散，难以比较.注意到AC BD ⊥，OA OC >，OB OD >，于是可以分别以BD ，AC 为对称轴，作出对称点'D 与'C ，连结'AD ，'BC ，''C D ，这样就可以把有关线段相对集中到ABC V 中.
解 分别以AC 与BD 为对称轴，作出对称点'D 与'C ，连结'AD ，'BC ，''C D ，则'AD AD =，'BC BC =，''CD C D =.
在ABE V 中，BE AE AB +>,
在''C D E V 中，''''C E D E C D +>,
所以''''BC AD AB C D +>+.
故BC AD AB CD +>+.
说明 遇到线段不等的问题，通常考虑运用轴对称图形的知识，将分散的线段相对集中，在利用三角形的两边之和大于第三边来解决.。