二分法的思维导图(李伟希)
亚宝药业思维课程及培训心得(李伟希)
思维导图课程收益课程PPT设计手稿系统思考决断力思维方法破局系统性思考训练决策达成模型训练论1，思维是多样性的通人大脑终其一生也只能其中的5大部分还在沉睡！问题，却只花不到10%的时间学习如何思考。
思维束缚权威思维束缚惰性思维束缚惰性思维做唯一的你！1，唉，今天又是扯皮会！2，到吃饭时间了，我们做3，我都不知道你到底说的传统思维误区传统思维：我们总是同时考虑很多的因素，在同一时刻既考察信息、形成自己的观点，又要评判其他人的观点。
平行思维人脑= 电脑它为什么能这样做？这样做会得到什么利益？它为什么不能这样做？这样做会存在什么危险？我告诉你，这些方案都行不通我感觉好像这几个方案都差不多直觉思维导图营销思维导图课程收益课程PPT设计手稿分析问题的系统思维，思维是容易被干扰的，思维是可以被唤醒的语文：《清明》《画》《江雪》《天净沙秋思》《梅花》客户对于公司产品的欲望与恐惧。
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逻辑思维3逻辑思维3•今天，一位同事因故没有参加今天的培训，请你使用 5 W 2 H 逻辑方法予以描述•什么是问题？确认问题产生的人与地方分析根本原因Why?Why?Why?Why?Why?根本原因跟踪验证•目的：确保所实施的措施是有效的。
•如果无效，那么就要重新进行问题解决的步骤营销你问我答。
4.5.2 用二分法求解方程的近似解课件高中数学人教A版(2019)必修第一册(共30张PPT)
结论
可使用二分法：设电线两端分别为A、B,他首先从中点C查,用随身
带的话机向两端测试时,发现AC段正常,断定故障在BC段,再到BC中
点D,发现BD正常,可见故障在CD段,再到CD中点E来看,这样每查一
次,就可以把待查线路长度缩减为一半,故经过7次查找,就可以将故
障发生的范围缩小到50—100m左右,即在一两根电线杆附近.这样就
再取区间 (1，1.5) 的中点 x2 1.25 ，用信息技术算得 f (1.25) 0.87 . 因为 f (1.25) f (1.5) 0 ，所以 x0 (1.25，1.5) . 同理可得， x0 (1.375，1.5) ， x0 (1.375，1.4375) . 由于|1.375 1.437 5 | 0.062 5 0.1 ， 所以原方程的近似解可取为1.375.
课堂巩固
1.用二分法求函数 f (x) ln(x 1) x 1 在区间0,1 上的零点,要求精确度为 0.01 时，
C 所需二分区间的次数最少为( )
A.5
B.6
C.7
D.8
解析：开区间0,1 的长度等于 1,每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，
经过
n
此操作后,区间长度变为
1 2n
，
用二分法求函数 f x ln x 1 x 1在区间0,1 上近似解，要求精确度 0.01,
通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围
取区间（2，3）的中点2.5，用计算器算得 f 2.5 0.084 ，因为 f 2.5 f 3 0 ，
所以零点在区间（2.5，3）内；
再取区间（2.5，3）的中点2.75，用计算器算得 f 2.75 0.512 ，因为 f 2.5 f 2.75 0 ，所以零点在区间（2.5，2.75）内.
2024年新高一数学初升高衔接《用二分法求方程的近似解》含答案解析
第19讲用二分法求方程的近似解模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件；2．了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助计算器用二分法求方程的近似解；3．会用二分法求一个函数在给定区间内的零点，从而求得方程的近似解.知识点1二分法1、二分法的定义：对于区间[],a b 上图象连续不断且()()0⋅<f a f b 的函数()f x ，通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到近似值的方法．2、二分法要点辨析：（1）二分法的求解原理是函数零点存在定理；（2）函数图象在零点附近连续不断；（3）用二分法只能求变号零点，即零点在左右两侧的函数值的符号相反，比如2=y x ，该函数有零点0，但不能用二分法求解．知识点2二分法求零点近似值1、给定精确度ε，用二分法求函数()=y f x 零点0x 的近似值的步骤（1）确定零点0x 的初始区间[],a b ，验证()()0⋅<f a f b ；（2）求区间(),a b 的中点c ；（3）计算()f c ，进一步确定零点所在的区间：①若()0=f c （此时0=x c ），则c 就是函数的零点；②若()()0⋅<f a f c （此时()0,∈x a c ），则令=b c ；③若()()0⋅<f c f b （此时()0,∈x c b ），则令=a c .（4）判断是否达到精确度ε：若-<a b ε，则得到零点近似值a （或b ）；否则重复（2）~（4）【注意】初始区间的确定要包含函数的变号零点．2、关于精确度（1）“精确度”与“精确到”不是一回事，这里的“精确度”是指区间的长度达到某个确定的数值ε，即-<a b ε；“精确到”是指某讴歌数的数位达到某个规定的数位，如计算213-，精确到0.01，即0.33（2）精确度ε表示当区间的长度小于ε时停止二分；此时除可用区间的端点代替近似值外，还可选用该区间内的任意一个数值作零点近似值．考点一：判断二分法的适用条件例1．（23-24高一上·天津·月考）下列函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是下图中的（）A ．B ．C ．D ．【变式1-1】（22-23高一上·陕西咸阳·月考）已知函数()y f x =的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求其零点近似值的个数分别是（）A ．4，4B ．3，4C ．4，3D ．5，4【变式1-2】（23-24高一上·吉林延边·期末）下列函数中，不能用二分法求零点的是（）A ．()2f x x =B ．()22f x x =++C ．()13f x x x=+-D ．()ln 3f x x =+【变式1-3】（23-24高一上·广东东莞·月考）（多选）下列方程中能用二分法求近似解的为（）A ．ln 0x x +=B ．e 30x x -=C ．3310x x -+=D ．2450x -+=考点二：二分法的具体步骤例2.（23-24高一下·江苏扬州·月考）用二分法研究函数53()81f x x x =+-的零点时，第一次经过计算得(0)0f <，(0.5)0>f ，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（）A ．(0,0.5)，(0.125)fB ．(0,0.5)，(0.25)fC ．(0.5,1)，(0.75)f D ．(0,0.5)，(0.375)f 【变式2-1】（23-24高一上·湖南长沙·期末）设()28x f x x =+-，用二分法求方程280x x +-=在[1,5]上的近似解时，经过两次二分法后，可确定近似解所在区间为（）A ．[]1,2或[]2,3都可以B ．[]2,3C ．[]1,2D ．不能确定【变式2-2】（23-24高一上·浙江丽水·期末）已知增函数()y f x =的图象在[,]a b 上是一条连续不断的曲线，在用二分法求该函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为[,]a b ，[,]2a ba +，1[,33ba +，则b a -的值是（）A ．1B ．43C ．23-D ．23【变式2-3】（23-24高一上·湖南·期末）用二分法求函数()e 2xf x x =--的一个正零点的近似值（精确度为0.1)时，依次计算得到如下数据；()()()()10.28, 1.50.98, 1.250.24, 1.1250.04f f f f ≈-≈≈≈-，关于下一步的说法正确的是（）A ．已经达到精确度的要求，可以取1.1作为近似值B ．已经达到精确度的要求，可以取1.125作为近似值C ．没有达到精确度的要求，应该接着计算()1.1875fD ．没有达到精确度的要求，应该接着计算()1.0625f 考点三：二分法次数的确定例3.（23-24高一上·湖北襄阳·期末）已知函数()ln 26f x x x =+-在区间()2,3内存在一个零点，用二分法求方程近似解时，至少需要求（）次中点值可以求得近似解（精确度为0.01）.A ．5B ．6C ．7D ．8【变式3-1】（23-24高一上·河北石家庄·月考）已知函数()y f x =为[]0,1上的连续函数，且()()010f f ⋅<，使用二分法求函数零点，要求近似值的精确度达到0.1，则需对区间至少二分的次数为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【变式3-2】（23-24高一上·湖南株洲·期末）用二分法求函数在区间[]1,3的零点，若要求精确度0.01<，则至少进行次二分.【变式3-3】（23-24高一上·江西抚州·期末）在用二分法求方程23x =的正实数跟的近似解（精确度0.001）时，若我们选取初始区间是[]1,7,1,8，为达到精确度要求至少需要计算的次数是．考点四：用二分法求零点近似值例4.（23-24高一上·江苏苏州·期末）若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：(1)2f =-(1.5)0.625f =(1.25)0.984≈-f(1.375)0.260f ≈-(1.4375)0.162≈f (1.40625)0.054≈-f 那么方程32220x x x +--=的一个近似根(精确度为0.05)可以是（）A ．1.25B ．1.39C ．1.41D ．1.5【变式4-1】（23-24高一上·浙江温州·期末）（多选）设()()22log 12xh x x =++-，某同学用二分法求方程()0h x =的近似解(精确度为0.5)，列出了对应值表如下：x 0.5-0.1250.43750.752()h x 1.73-0.84-0.42-0.032.69依据此表格中的数据，方程的近似解0x 不可能为（）A ．00.125x =-B ．00.375x =C ．00.525x =D ．0 1.5x =【变式4-2】（23-24高一上·湖北黄冈·月考）（多选）某同学求函数()ln 2 6.5f x x x =+-的零点时,用计算器算得部分函数值如表所示:()2 1.807f ≈-()30.599f ≈()2.50.584f ≈-()2.750.012f ≈()2.6250.285f ≈-()2.68750.136f ≈-则方程ln 2 6.50x x +-=的近似解(精确度0.1)可取为（）A ．2.72B ．2.69C ．2.61D ．2.55【变式4-3】（23-24高一上·江苏·课后作业）已知函数()()211xx f x a a x -=+>+.(1)求证：()f x 在(1),-+∞上为增函数.(2)若3a =，求方程()0f x =的正根（精确度为0.01）.一、单选题1．（223-24高一上·浙江杭州·月考）设函数()348f x x x =+-，用二分法求方程3480x x +-=近似解的过程中，计算得到()()10,30f f <>，则方程的近似解落在区间（）A ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3,22⎛⎫⎪⎝⎭C ．52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．5,32⎛⎫ ⎪⎝⎭2．（23-24高一上·江西吉安·期末）用二分法研究函数()231=+-f x x x 的零点时，第一次经过计算发现()00f <，()0.50f >，可得其中一个零点()00,0.5x ∈，则第二次还需计算函数值（）A ．()1fB ．()0.5f -C ．()0.25fD ．()0.125f 3．（23-24高一上·上海虹口·期末）若在用二分法寻找函数212(1)1xx y x x +=->-零点的过程中，依次确定了零点所在区间为41[,],,234a b a b b a b +⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,,，则实数a 和b 分别等于（）A ．35,22B ．2，3C ．3,22D ．6552,4．（23-24高一上·云南昆明·期末）若函数()y f x =的一个正零点用二分法计算，零点附近函数值的参考数据如下：(1)2f =-，(1.25)0.984f =-，(1.375)0.260f =-，(1.40625)0.054f =-，(1.4375)0.162f =，(1.6)0.625f =，那么方程()0f x =的一个近似根（精确度0.1）为（）A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.55．（23-24高一上·安徽·月考）已知函数()31f x x x =+-在()0,1内有一个零点，且求得()f x 的部分函数值如下表所示：x 010.50.750.6250.56250.68750.656250.671875()f x 1-10.375-0.17190.1309-0.2595-0.012450.06113-0.02483-若用二分法求()f x 零点的近似值（精确度为0.1），则对区间()0,1等分的最少次数和()f x 零点的一个近似值分别为（）A ．4，0.7B ．5，0.7C ．4，0.65D ．5，0.656．（23-24高一上·湖北恩施·期末）下列方程中，不能用二分法求近似解的为（）A ．2log 0x x +=B ．e 0x x +=C ．2210x x -+=D ln 0x =二、多选题7．（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）在用“二分法”求函数()f x 零点的近似值时，若第一次所取区间为[]2,4-，则第二次所取区间可能是（）A ．[]2,1--B ．[]2,1-C ．[]2,4D ．[]1,48．（23-24高一上·广东广州·期末）教材中用二分法求方程2370x x +-=的近似解时，设函数()237x f x x =+-来研究，通过计算列出了它的对应值表x 1.25 1.375 1.406251.422 1.4375 1.5()f x 0.87-0.26-h0.05-0.020.33分析表中数据，则下列说法正确的是：（）A ．0h >B ．方程2370x x +-=有实数解C ．若精确度到0.1，则近似解可取为1.375D ．若精确度为0.01，则近似解可取为1.4375三、填空题9．（23-24高一下·四川眉山·开学考试）用“二分法”研究函数()33f x x x =+-的零点时，第一次经计算可知()()020f f <，说明该函数在区间()0,2内存在零点0x ，下一次应计算()1f x ，则1x =．10．（23-24高一上·上海·期末）若函数()31f x x x =--在区间[]1,1.5的一个零点的近似值用二分法逐次计算列表如下：()10f <()1.50f >()1.250f <()1.3750f >()1.31250f <()1.343750f >那么方程310x x --=的一个近似解为x =（精确到0.1）11．（23-24高一上·山东临沂·期末）用二分法求函数()ln 26f x x x =+-在区间()2,3内的零点近似值，至少经过次二分后精确度达到0.1.四、解答题12．（23-24高一上·江西萍乡·期末）已知函数1()3f x x x=+-．(1)判断函数()f x 在区间()1,+∞上的单调性，并用定义证明；(2)用二分法求方程()0f x =在区间()1,+∞上的一个近似解（精确度为0.1）．13．（23-24高一上·山东青岛·月考）已知()()ln 2,e xf x x xg x x =+-=+.(1)通过二分法且满足精确度为0.5，求方程()0f x =的近似解（精确到0.1）(2)设()()120,0f x g x ==，求证：12e x x ⋅>-.第19讲用二分法求方程的近似解模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件；2．了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助计算器用二分法求方程的近似解；3．会用二分法求一个函数在给定区间内的零点，从而求得方程的近似解.知识点1二分法1、二分法的定义：对于区间[],a b 上图象连续不断且()()0⋅<f a f b 的函数()f x ，通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到近似值的方法．2、二分法要点辨析：（1）二分法的求解原理是函数零点存在定理；（2）函数图象在零点附近连续不断；（3）用二分法只能求变号零点，即零点在左右两侧的函数值的符号相反，比如2=y x ，该函数有零点0，但不能用二分法求解．知识点2二分法求零点近似值1、给定精确度ε，用二分法求函数()=y f x 零点0x 的近似值的步骤（1）确定零点0x 的初始区间[],a b ，验证()()0⋅<f a f b ；（2）求区间(),a b 的中点c ；（3）计算()f c ，进一步确定零点所在的区间：①若()0=f c （此时0=x c ），则c 就是函数的零点；②若()()0⋅<f a f c （此时()0,∈x a c ），则令=b c ；③若()()0⋅<f c f b （此时()0,∈x c b ），则令=a c .（4）判断是否达到精确度ε：若-<a b ε，则得到零点近似值a （或b ）；否则重复（2）~（4）【注意】初始区间的确定要包含函数的变号零点．2、关于精确度（1）“精确度”与“精确到”不是一回事，这里的“精确度”是指区间的长度达到某个确定的数值ε，即-<a b ε；“精确到”是指某讴歌数的数位达到某个规定的数位，如计算213-，精确到0.01，即0.33（2）精确度ε表示当区间的长度小于ε时停止二分；此时除可用区间的端点代替近似值外，还可选用该区间内的任意一个数值作零点近似值．考点一：判断二分法的适用条件例1．（23-24高一上·天津·月考）下列函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是下图中的（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据零点存在定理可知，能用二分法求零点的函数，在零点左右两侧的函数值应该是正负符号相反，对于A ，0x =两侧函数值符号相反，故可用二分法求交点横坐标；对于B ，1x =两侧函数值符号相反，故可用二分法求交点横坐标；对于C ，图象与x 轴有交点，图象在x 轴及其上方，0x =两侧函数值符号相同，故不可用二分法求交点横坐标；对于D ，0x =两侧函数值符号相反，故可用二分法求交点横坐标；故选：C【变式1-1】（22-23高一上·陕西咸阳·月考）已知函数()y f x =的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求其零点近似值的个数分别是（）A ．4，4B ．3，4C ．4，3D ．5，4【答案】C【解析】图象与x 轴有4个交点，所以零点的个数为4，左右函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的个数为3.故选：C【变式1-2】（23-24高一上·吉林延边·期末）下列函数中，不能用二分法求零点的是（）A ．()2f x x =B ．()22f x x =++C ．()13f x x x=+-D ．()ln 3f x x =+【答案】B【解析】不能用二分法求零点的函数，要么没有零点，要么零点两侧同号；对于A ，()2f x x =有唯一零点0x =，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点；对于B ，()(222f x x x =++=+有唯一零点x =但(20y x =≥恒成立，故不可用二分法求零点；对于C ，()13f x x x =+-有两个不同零点32x =，且在每个零点左右两侧函数值异号，故可用二分法求零点；对于D ，()ln 3f x x =+有唯一零点3x e -=，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点.故选：B.【变式1-3】（23-24高一上·广东东莞·月考）（多选）下列方程中能用二分法求近似解的为（）A ．ln 0x x +=B ．e 30x x -=C ．3310x x -+=D ．2450x -+=【答案】ABC【解析】对于A 项，设()ln f x x x =+，则22221111ln 20e e e e f ⎛⎫=+=-+< ⎪⎝⎭，()110f =>，所以，()2110e f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，且()f x 的图象是一条连续不断的曲线.根据零点的存在定理可知，121,1e x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()10f x =，故A 正确；对于B 项，设()e 3xg x x =-，则()010g =>，()1e 30g =-<，所以，()()010g g <，且()g x 的图象是一条连续不断的曲线..根据零点的存在定理可知，()20,1x ∃∈，使得()20g x =，故B 正确；对于C 项，设()331h x x x =-+，则()010h =>，()113110h =-+=-<，所以，()()010h h <，且()h x 的图象是一条连续不断的曲线..根据零点的存在定理可知，()30,1x ∃∈，使得()30h x =，故C 正确；对于D 项，设()245k x x =-+，因为()(220k x x =≥恒成立，不存在函数值异号区间，所以不满足二分法的条件，故D 错误.故选：ABC.考点二：二分法的具体步骤例2.（23-24高一下·江苏扬州·月考）用二分法研究函数53()81f x x x =+-的零点时，第一次经过计算得(0)0f <，(0.5)0>f ，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（）A ．(0,0.5)，(0.125)fB ．(0,0.5)，(0.25)fC ．(0.5,1)，(0.75)fD ．(0,0.5)，(0.375)f 【答案】B【解析】因为(0)(0.5)0f f <，由零点存在性知：零点()00,0.5x ∈，根据二分法，第二次应计算00.52f +⎛⎫⎪⎝⎭，即()0.25f .故选：B.【变式2-1】（23-24高一上·湖南长沙·期末）设()28x f x x =+-，用二分法求方程280x x +-=在[1,5]上的近似解时，经过两次二分法后，可确定近似解所在区间为（）A ．[]1,2或[]2,3都可以B ．[]2,3C ．[]1,2D ．不能确定【答案】B【解析】(1)2821850x f x =+-=+-=-<，55(5)258230f =+-=->，第一次取11532x +==，有3(3)23830f =+-=>，故第二次取21322x +==，有2(2)22820f =+-=-<，故此时可确定近似解所在区间为[]2,3.故选：B.【变式2-2】（23-24高一上·浙江丽水·期末）已知增函数()y f x =的图象在[,]a b 上是一条连续不断的曲线，在用二分法求该函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为[,]a b ，[,]2a ba +，1[,33ba +，则b a -的值是（）A ．1B ．43C ．23-D ．23【答案】B【解析】因为依次确定了零点所在区间为[,]a b ，[,]2a b a +，1[,]33ba +，可得231223a b b a b a a +⎧=⎪⎪⎨++⎪=+⎪⎩，即3043a b b a +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得1,13a b =-=.所以14133b a ⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭.故选：B.【变式2-3】（23-24高一上·湖南·期末）用二分法求函数()e 2xf x x =--的一个正零点的近似值（精确度为0.1)时，依次计算得到如下数据；()()()()10.28, 1.50.98, 1.250.24, 1.1250.04f f f f ≈-≈≈≈-，关于下一步的说法正确的是（）A ．已经达到精确度的要求，可以取1.1作为近似值B ．已经达到精确度的要求，可以取1.125作为近似值C ．没有达到精确度的要求，应该接着计算()1.1875fD ．没有达到精确度的要求，应该接着计算()1.0625f 【答案】C【解析】由二分法的定义，可得正零点所在区间不断缩小，()()()1,1.51,1.25 1.125,1.25→→时的区间长度为1.125 1.250.1250.1-=>，故没有达到精确的要求，应该接着计算()1.125 1.25 1.18752f f +⎛⎫= ⎪⎝⎭的值.故选：C考点三：二分法次数的确定例3.（23-24高一上·湖北襄阳·期末）已知函数()ln 26f x x x =+-在区间()2,3内存在一个零点，用二分法求方程近似解时，至少需要求（）次中点值可以求得近似解（精确度为0.01）.A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C【解析】由所给区间()2,3的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n 次操作后，区间长度变为12n，故需10.012n≤，解得7n ≥，所以至少需要操作7次.故选：C【变式3-1】（23-24高一上·河北石家庄·月考）已知函数()y f x =为[]0,1上的连续函数，且()()010f f ⋅<，使用二分法求函数零点，要求近似值的精确度达到0.1，则需对区间至少二分的次数为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】区间[]0,1的长度为1，没经过一次操作，区间长度变成原来的一半，经过n 次后，区间长度变成12n ，则10.12n≤，即4n ≥，n *∈N 故对区间只需要分4次即可．故选：C.【变式3-2】（23-24高一上·湖南株洲·期末）用二分法求函数在区间[]1,3的零点，若要求精确度0.01<，则至少进行次二分.【答案】8【解析】根据题意，原来区间[]1,3的长度等于2，每经过二分法的一次操作，区间长度变为原来的一半，则经过n 次操作后，区间的长度为111222n n -⨯=，若110.012n -<，即8n ≥，故最少为8次.故答案为：8.【变式3-3】（23-24高一上·江西抚州·期末）在用二分法求方程23x =的正实数跟的近似解（精确度0.001）时，若我们选取初始区间是[]1,7,1,8，为达到精确度要求至少需要计算的次数是．【答案】7【解析】设至少需要计算n 次，则n 满足1.8 1.70.0012n-<，即2100n >，由于67264,2128==，故要达到精确度要求至少需要计算7次.故答案为：7考点四：用二分法求零点近似值例4.（23-24高一上·江苏苏州·期末）若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：(1)2f =-(1.5)0.625f =(1.25)0.984≈-f (1.375)0.260f ≈-(1.4375)0.162≈f (1.40625)0.054≈-f 那么方程32220x x x +--=的一个近似根(精确度为0.05)可以是（）A ．1.25B ．1.39C ．1.41D ．1.5【答案】C【解析】因为(1)0f <，(1.5)0f >，所以(1)(1.5)0f f ⋅<，所以函数在(1,1.5)内有零点，因为1.510.50.05-=>，所以不满足精确度为0.05;因为(1.25)0f <，所以(1.25)(1.5)0f f ⋅<，所以函数在(1.25,1.5)内有零点，因为1.5 1.250.250.05-=>，所以不满足精确度为0.05;因为(1.375)0f <，所以(1.375)(1.5)0f f ⋅<，所以函数在(1.375,1.5)内有零点，因为1.5 1.3750.1250.05-=>，所以不满足精确度为0.05;因为(1.4375)0f >，所以(1.4375)(1.375)0f f ⋅<，所以函数在(1.375,1.4375)内有零点，因为1.4375 1.3750.06250.05-=>，所以不满足精确度为0.05;因为(1.40625)0f <，所以(1.40625)(1.4375)0f f ⋅<，所以函数在(1.40625,1.4375)内有零点，因为1.4375 1.406250.031250.05-=<，满足精确度为0.05，所以方程32220x x x +--=的一个近似根(精确度为0.05)可以是区间(1.40625,1.4375)内任意一个值(包括端点值).故选：C.【变式4-1】（23-24高一上·浙江温州·期末）（多选）设()()22log 12xh x x =++-，某同学用二分法求方程()0h x =的近似解(精确度为0.5)，列出了对应值表如下：x 0.5-0.1250.43750.752()h x 1.73-0.84-0.42-0.032.69依据此表格中的数据，方程的近似解0x 不可能为（）A ．00.125x =-B ．00.375x =C ．00.525x =D ．0 1.5x =【答案】ABD【解析】由题中参考数据可得根在区间()0.43750.75，内，故通过观察四个选项，符合要求的方程近似解0x 可能为0.525，0x 不可能为ABD 选项．故选：ABD ．【变式4-2】（23-24高一上·湖北黄冈·月考）（多选）某同学求函数()ln 2 6.5f x x x =+-的零点时,用计算器算得部分函数值如表所示:()2 1.807f ≈-()30.599f ≈()2.50.584f ≈-()2.750.012f ≈()2.6250.285f ≈-()2.68750.136f ≈-则方程ln 2 6.50x x +-=的近似解(精确度0.1)可取为（）A ．2.72B ．2.69C ．2.61D ．2.55【答案】AB【解析】由函数()ln 2 6.5f x x x =+-在()0,∞+上单调递增，要使得精确度为0.1，结合表格可知：()2.68750.1360f ≈-<，()2.750.0120f ≈>，此时2.75 2.68750.0650.1-=<，所以方程ln 2 6.50x x +-=的近似解在区间()2.6875,2.75内.故选：AB.【变式4-3】（23-24高一上·江苏·课后作业）已知函数()()211xx f x a a x -=+>+.(1)求证：()f x 在(1),-+∞上为增函数.(2)若3a =，求方程()0f x =的正根（精确度为0.01）.【答案】(1)证明见解析；(2)0.2734375【解析】（1）证明：设121x x -<<，12()()f x f x ∴-=121212*********()11(1)(1)x xx x x x x x a a a a x x x x ----+-=-+++++，121x x -<< ，110x ∴+>，210x +>，120x x -<，∴12123()0(1)(1)x x x x -<++；121x x -<< ，且1a >，12ax ax ∴<，∴120-<x x a a ，12()()0f x f x ∴-<，即12()()f x f x <，∴函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数；（2）由（1）知，当3a =时，2()31xx f x x -=++在(1,)-+∞上为增函数，故在(0,)+∞上也单调递增，因此()0f x =的正根仅有一个，以下用二分法求这一正根，由于(0)10f =-<，(1)f 502=>，∴取(0,1)为初始区间，用二分法逐次计算，列出下表：区间中点中点函数值(0,1)0.50.732(0,0.5)0.250.084-(0.25,0.5)0.3750.322(0.25,0.375)0.31250.124(0.25,0.3125)0.281250.021()0.25,0.281250.2656250.032-()0.265625,0.281250.27343750.00543-()0.2734375,0.28125由于0.27343750.281250.00781250.01-=<，∴原方程的根的近似值为0.2734375，即()0f x =的正根约为0.2734375.一、单选题1．（223-24高一上·浙江杭州·月考）设函数()348f x x x =+-，用二分法求方程3480x x +-=近似解的过程中，计算得到()()10,30f f <>，则方程的近似解落在区间（）A ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3,22⎛⎫⎪⎝⎭C ．52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．5,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由函数()348f x x x =+-，且()()10,30f f <>，可得3(70,(2)2602f f =>=>，所以3(1)()02f f ⋅<，根据零点的存在性定理，可得方程3480x x +-=的近似解落在区间为31,2⎛⎫⎪⎝⎭.故选：A.2．（23-24高一上·江西吉安·期末）用二分法研究函数()231=+-f x x x 的零点时，第一次经过计算发现()00f <，()0.50f >，可得其中一个零点()00,0.5x ∈，则第二次还需计算函数值（）A ．()1fB ．()0.5f -C ．()0.25f D ．()0.125f 【答案】C【解析】由题意，第一次经过计算发现()00f <，()0.50f >，可得其中一个零点()00,0.5x ∈，由于()100.50.252+=，则第二次需计算()0.25f ，故选：C ．3．（23-24高一上·上海虹口·期末）若在用二分法寻找函数212(1)1xx y x x +=->-零点的过程中，依次确定了零点所在区间为41[,],,234a b a b b a b +⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,,，则实数a 和b 分别等于（）A ．35,22B ．2，3C ．3,22D ．6552,【答案】A【解析】由函数()2122332222111xx x x x f x x x x +-+=-=-=-----，根据指数函数与反比例函数的性质，可得函数()f x 在(1,)+∞上为单调递增函数，所以函数()f x 在(1,)+∞至多有一个零点，又由依次确定了零点所在区间为41[,],,,,234a b a b b a b +⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，可得4231224a b aa b b b +⎧=⎪⎪⎨++⎪=-⎪⎩，即5301a b b a -=⎧⎨-=⎩，解得35,22a b ==.故选：A.4．（23-24高一上·云南昆明·期末）若函数()y f x =的一个正零点用二分法计算，零点附近函数值的参考数据如下：(1)2f =-，(1.25)0.984f =-，(1.375)0.260f =-，(1.40625)0.054f =-，(1.4375)0.162f =，(1.6)0.625f =，那么方程()0f x =的一个近似根（精确度0.1）为（）A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.5【答案】C【解析】因为1.6 1.43750.16250.1-=>，所以不必考虑端点1.6；因为1.40625 1.250.156250.1-=>，所以不必考虑端点1.25和1；因为(1.4375)0f >，(1.375)0f <，所以(1.4375)(1.375)0f f <，所以函数()f x 在(1.375,1.4375)内有零点，因为1.4375 1.3750.06250.1-=<，所以满足精确度0.1；所以方程()0f x =的一个近似根（精确度0.1）是区间(1.375,1.4375)内的任意一个值（包括端点值），根据四个选项可知：1.4[1.375,1.4375]∈.故选：C.5．（23-24高一上·安徽·月考）已知函数()31f x x x =+-在()0,1内有一个零点，且求得()f x 的部分函数值如下表所示：x 010.50.750.6250.56250.68750.656250.671875()f x 1-10.375-0.17190.1309-0.2595-0.012450.06113-0.02483-若用二分法求()f x 零点的近似值（精确度为0.1），则对区间()0,1等分的最少次数和()f x 零点的一个近似值分别为（）A ．4，0.7B ．5，0.7C ．4，0.65D ．5，0.65【答案】C【解析】由题意可知，对区间(01),内，设零点为0x ，因为()00f <，()10f >，(0.5)0f <，所以()00.5,1x ∈，精确度为10.50.50.1-=>，又0.510.752+=，(0.75)0f >，()00.5,0.75x ∈，精确度为0.750.50.250.1-=>，又0.50.750.6252+=，(0.625)0f <，()00.625,0.75x ∈，精确度为0.750.6250.1250.1-=>又0.6250.750.68752+=，(0.6875)0f >，()00.625,0.6875x ∈，精确度为0.68750.6250.06250.1-=<，需要求解(0.5)(0.75)(0.625)(0.6875),,,f f f f 的值，然后达到()f x 零点的近似值精确到0.1，所以零点的近似解为0.65，共计算4次.故选：C6．（23-24高一上·湖北恩施·期末）下列方程中，不能用二分法求近似解的为（）A ．2log 0x x +=B ．e 0x x +=C ．2210x x -+=D ln 0x =【答案】C【解析】对于A ，()2log f x x x =+在()0,∞+上单调递增，且()1110,11022f f ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，可以使用二分法，故A 错误；对于B ，()e xf x x =+在R 上连续且单调递增，且()()1010,1e 10f f -=>-=-<，可以使用二分法，故B 错误；对于C ，()222110x x x -+=-≥，故不可以使用二分法，故C 正确；对于D ，()ln f x x =+在()0,∞+上单调递增，且()110,110e f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可以使用二分法，故D 错误.故选：C二、多选题7．（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）在用“二分法”求函数()f x 零点的近似值时，若第一次所取区间为[]2,4-，则第二次所取区间可能是（）A ．[]2,1--B ．[]2,1-C ．[]2,4D ．[]1,4【答案】BD【解析】由题知第一次所取区间为[]2,4-，取中间值2412-+=，则第二次所取区间可能是[]2,1-或[]1,4.故选：BD.8．（23-24高一上·广东广州·期末）教材中用二分法求方程2370x x +-=的近似解时，设函数()237x f x x =+-来研究，通过计算列出了它的对应值表x 1.25 1.375 1.406251.422 1.4375 1.5()f x 0.87-0.26-h0.05-0.020.33分析表中数据，则下列说法正确的是：（）A ．0h >B ．方程2370x x +-=有实数解C ．若精确度到0.1，则近似解可取为1.375D ．若精确度为0.01，则近似解可取为1.4375【答案】BC【解析】∵2x y =与37y x =-都是R 上的单调递增函数，∴()237xf x x =+-是R 上的单调递增函数，∴()f x 在R 上至多有一个零点，由表格中的数据可知：()1.4220f <，()1.43750f >，∴()f x 在R 上有唯一零点，零点所在的区间为()1.422,1.4375，∴0h <，A 错误；方程2370x x +-=有实数解，B 正确；(1.375)0.260(1.4375)0.020f f =-=，，1.4375 1.3750.06250.1-=<，即精确度到0.1，则近似解可取为1.375，C 正确；(1.422)0.050(1.4375)0.020f f =-=，，1.4375 1.4220.01550.01-=>，即精确度为0.01，则近似解不可取为1.4375，D 错误.故选：BC.三、填空题9．（23-24高一下·四川眉山·开学考试）用“二分法”研究函数()33f x x x =+-的零点时，第一次经计算可知()()020f f <，说明该函数在区间()0,2内存在零点0x ，下一次应计算()1f x ，则1x =．【答案】1【解析】第一次经计算可知()()020f f <，说明该函数在区间()0,2内存在零点0x ，下次计算()1f x ，10212x =+=.故答案为：110．（23-24高一上·上海·期末）若函数()31f x x x =--在区间[]1,1.5的一个零点的近似值用二分法逐次计算列表如下：()10f <()1.50f >()1.250f <()1.3750f >()1.31250f <()1.343750f >那么方程310x x --=的一个近似解为x =（精确到0.1）【答案】1.3【解析】由表格中的数据，可得函数()31f x x x =--的零点在区间(1.3125,1.3475)之间，结合题设要求，可得方程310x x --=的一个近似解为 1.3x =.故答案为：1.3.11．（23-24高一上·山东临沂·期末）用二分法求函数()ln 26f x x x =+-在区间()2,3内的零点近似值，至少经过次二分后精确度达到0.1.【答案】4【解析】()2ln 220f =-<，()3ln 30f =>，()()230f f ⋅<，所以()02,3x ∃∈，满足()00f x =，开区间()2,3的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n 此操作后，区间长度变为12n，故有10.12n ≤，即210n ≥，则4n ≥，所以至少需要操作4次.故答案为：4.四、解答题12．（23-24高一上·江西萍乡·期末）已知函数1()3f x x x=+-．(1)判断函数()f x 在区间()1,+∞上的单调性，并用定义证明；(2)用二分法求方程()0f x =在区间()1,+∞上的一个近似解（精确度为0.1）．【答案】(1)()y f x =在()1,∞+单调递增，证明见解析；(2)2.6（()2.5625,2.625内任意一个实数都是对应方程符合精确度要求的一个近似解）【解析】（1）()y f x =在()1,+∞单调递增；证明如下：任取()12,1,x x ∈+∞，不妨设12x x <，211221212112()(1)11()()x x x x f x f x x x x x x x ---=-+-=，因为121x x <<，则210x x ->，1210x x ->，120x x >，可得21()()0f x f x ->，即21()()f x f x >，所以()y f x =在()1,+∞上单调递增.（2）因为函数1()3f x x x=+-在区间()1,+∞上是连续且单调的，可知其在区间()1,+∞上的零点即为方程()0f x =在区间()1,+∞上的解，且()20f <，()30f >，可得()f x 在()1,+∞内有且仅有一个零点()02,3x ∈，在区间()1,+∞上利用二分法列表如下：区间中点0x 中点函数值()0f x 区间长度()2,352.52=502f ⎛⎫< ⎪⎝⎭15,32⎛⎫⎪⎝⎭112.754=1104f ⎛⎫> ⎪⎝⎭12511,24⎛⎫ ⎪⎝⎭212.6258=2108f ⎛⎫> ⎪⎝⎭14521,28⎛⎫ ⎪⎝⎭412.562516=41016f ⎛⎫< ⎪⎝⎭18此时解在区间4121,168⎛⎫⎪⎝⎭，此区间长度为116，111610<，满足精确度为0.1，故区间4121,168⎛⎫⎪⎝⎭，即()2.5625,2.625内任意一个实数都是对应方程符合精确度要求的一个近似解，比如2.6是方程()0f x =在()1,+∞上的一个近似解．13．（23-24高一上·山东青岛·月考）已知()()ln 2,e xf x x xg x x =+-=+.(1)通过二分法且满足精确度为0.5，求方程()0f x =的近似解（精确到0.1）(2)设()()120,0f x g x ==，求证：12e x x ⋅>-.【答案】(1)1.5；(2)证明见解析.【解析】（1）由解析式知：()f x 在(0,)+∞上递增，()1ln11210f +-=-<=，()2ln 222ln 20f +-=>=，12322x +==，则33331ln 2ln 022222f ⎛⎫=+-=-==< ⎪⎝⎭，327224x +==，则1ln 2ln ln ln 0477774444f ⎛⎫=+-=-= ⎪⎝⎭，又7310.5424-=<，且|ln |ln ln ==216e 2401181256e <<，所以32x =更接近于零点，故方程()0f x =的近似解为1.5.（2）由题设21111222ln 2ln 2e 0ln()x x x x x x x x +==-⎧⎧⇒⎨⎨+=-=⎩⎩，故121212ln ln()ln()2x x x x x x +-=-=-+，且20x <，要证12e x x ⋅>-，只需1221x x -+<，即211x x <-，由（1）知137(,)24x ∈，显然211x x <-成立，综上，12e x x ⋅>-，得证.。
高中必修高二数学PPT课件二分法17页PPT
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始Байду номын сангаас存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
程序框图的画法(二分法)
重复步骤2至步骤4，直到查找 成功或查找区间为空（即所求 值不存在于查找区间内）。
04
二分法的程序实现
确定查找区间的左右端点
确定查找区间的左右端点是二 分查找算法的第一步，需要根 据给定的数据范围和初始值来 确定。
通常情况下，查找区间的左端 点为数据范围的起始位置，右 端点为数据范围的结束位置。
程序框图的画法(二分 法)
目录 CONTENT
• 二分法的定义与原理 • 程序框图的构成元素 • 二分法的程序框图绘制步骤 • 二分法的程序实现 • 二分法的优缺点分析
01
二分法的定义与原理
二分法的基本概念
二分法是一种求解实数近似值的算法，其基本思想是将数轴分为两个区间，然后 根据函数值在区间端点的取值情况，逐步缩小搜索区间，直到找到目标值或达到 预设的精度要求。
03
对异常处理较弱
如果列表中有异常值（如重复值、 空值等），二分法可能会出现查 找错误或无法查找的情况。
如何扬长避短
先对列表排序
在使用二分法之前，可以先对列 表进行排序，满足二分法的前提 条件。
结合其他查找算法
对于数据量小的列表，可以使用 顺序查找算法；对于异常值较多 的列表，可以使用其他查找算法 进行辅助。
02
如果中点的值等于目标值，则说明查找成功，返回 中点的位置。
03
如果中点的值不等于目标值，则说明目标值存在于 中点左侧或右侧，需要继续查找。
根据判断结果调整查找区间
根据判断结果调整查找区间是 二分查找算法的重复步骤，需 要根据目标值与中点值的比较
结果来调整查找区间。
如果目标值小于中点值，则说 明目标值存在于中点左侧，将
输出框
用于表示程序执行后的结果或输 出，通常位于程序框图的下方。
2.5.2二分法_ppt
ac
___2____
4.判(3)断若1是f.的二(c否数分) f达学法(b到思)的精想理0度,？则 论零依，点据x是0 什_(么_c_,？b__)体_,现且了中点什么 _样c_2__b___
若 | a2.b能|否用,则二零分点法x0求任_a_或何__函b_;数否零则点，重的复近第似解3，4？步骤。
概念拓展 挖掘内涵
(1)x2 2x 1 0
x1,2 1 2
(2) lg x x 3
x0≈?
问题探究
问题2：你能确定方程 lg x x 3 根的大概
范围吗？ 分析：转化为求函数 f (x) lg x x 3的零点的
大概范围。
f (x) lg x x 3
0
1
234
x0 (2,3)
走进生活 体验数学
∴原方程的近似解为x≈2.6
形成概念
二分法的定义：
对于在区间a,b上连续不断且f (a) f (b) 0的函数
y f (x), 通过不断的把函数f (x)的零点所在区间
一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点
，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
f (x) lg x x 3
2.5625
2.5
有根区间是（2，2.5）.
巩固提高
3.已知某函数f(x)=ex-x-2一个零点所在的区间是（ C ）
x
-1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72 7.39 20.09
x2 1
2
3
4
5
A .(-1,0) B.(0,1)
C.(1,2)
D.(2,3)
4.方程lnx+2x=6的根必定属于区间（ C ）
二分法PPT教学课件
ATP的形成：
ADP+Pi + 电能
酶
ATP
光能转换成电能
NADPH 、ATP ADP+Pi
C5的再生：
酶
2C3
NADPH
、 ATP
C5 ADP+Pi
再变成活跃的化学能
活跃的化学能变成稳
（ATP、NADPH中）
定的化学能
光反应为碳反应提供NADPH和ATP
联系 碳反应为光反应提供NADP+和ADP和Pi
四、归纳总结
2、不断二分解所在的区间
若 x1 (a,b), 不妨设f (a) 0, f (b) 0
（1）若
f (a b) 0，由
2
f (a) 0 ，则
x1
(a,
a
2
b
)
（2）若
f ( a b) 0 ，由
2
f
(b)
0，则
x1
(
a
2
b
,
b)
（3）若 f (a b) 0 ，则
2
x1
NADPH
• 在电子传递过程中还形成了什么物质？ 写出其反应式。
ADP + Pi + 能量(电能) 酶 ATP
• 电能转换成的活跃的化学能，贮存在什么 物质中？
贮存在NADPH 和 ATP 中
• 活跃的化学能意味着什么?
意味着能量很容易释放，供碳反应阶 段合成有机物利用。
• NADPH除了是携带一定能量的物质外， 还具有什么性质？ NADPH是强还原剂。
练习： １求方程x3+3x-1=0的一个近似解(精确到 0.01)
２下列函数的图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求其 零点的是（Ｃ）
《金字塔原理与公文写作》李伟希
• 请找出以上公文存在的问题
标题
• • • • • • 通知 工程部关于调整计件工资方案的通知 请示 市场部关于增设数据分析岗位的请示 报告 中国移动2012年5月GSM市场分析报告
标题？镖题！
双标题 = 标题 + 镖题
“镖题”的主要技巧
• • • • • • • 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
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落地支撑–原创文章 落地支撑 李伟希作品 - 博客
•
《“B”思维的唤醒》
我忽然发现，在网络社会，好像几个“B”可 以回答所有的问题，例如：SB、NB、2B、装B、苦 B......从此，人人都在“B”中转。这些“B”代表 了人的一种直觉与情绪表达，用六顶思考帽的水平 思维表达，“B”思维的标准特征就是：30秒以内给 出结论，典型的红帽。 • 我后来又发现，那些被骂成“SB”“装B”的芙 蓉、凤姐都火了，成名人了，更厉害的是芙蓉现在 开始转型为当代国内励志女神了，为什么边骂边火 呢？这个问题的答案继续使用专业的表达：实现了 有效的思维唤醒。思维唤醒有很多种，最常见如： 性、愤怒、幽默、自我丑化、互动、图形、色 彩......举例说明一二： • 性 „„
【主讲老师】思维架构RCC认证培训教练：李伟希 【课程提纲】
一、《金字塔原理与公文写作》课程导入 （一）思维与逻辑 （二）公文写作与金字塔原理的关系 二、金字塔原理 （一）为什么要用金字塔结构 1.归类分组，将思想组织成金字塔 2.自上而下表达，结论先行 3.自下而上思考，总结概括 （二）金字塔内部的结构
李伟希作品 落地支撑 –原创文章 《二分法的思维导图决策》
在课上，有很多学员朋友问到基于人性欲望与 恐惧衍生的二分法的思维导图呈现思维后，如何 实现后续的有效决策。对于这个问题，我用一篇 文章做统一的回复。 • 有三种方法可以帮助我们的思维进行决策，以 下以“我真的喜欢他吗？”这样很常见的男女情 感主题作为案例，从三个方面予以分析说明： • 1，层级指引。经过思维导图的呈现后，“我” 能够看到对于“他”的“喜欢”和“不喜欢”的 所有分支与层次，这就是“我”此刻的最真实的 想法，根据这两种状态的数量与层级，“我”已 经可以做出定性的决策。尤其“我”的思维处于 “情人眼中出西施”的状态，那么我”看到的将 是更大比例的“喜欢”； • 2，直觉指引„„
二分法的思维导图(李伟希)
二分法的思维导图
@李伟希培训师
在课上，有很多学员朋友问到关于二分法的思维导图呈现思维后，如何实现后续的有效决策。
对于这个问题，我用一篇文章做统一的回复。
当我们采用二分法的思维导图实现思维呈现后，我们就已经在纸面上实现了思维的顺序梳理、状态分布和关系对应。
这个时候，有三种方法可以帮助我们的思维进行决策，以下以“我真的喜欢他吗？”这样一个很常见的男女情感的中心主题作为案例，从三个方面予以分析说明：
1，量级指引。
经过思维导图的呈现后，“我”能够看到对于“他”的“喜欢”和“不喜欢”的所有分支与层次，这就是“我”此刻的最真实的想法，根据这两种状态的数量与层级，“我”已经可以做出定性的决策。
尤其“我”的思维处于“情人眼中出西施”的状态，那么我”看到的将是更大比例的“喜欢”；
2，直觉指引。
第一个呈现的分支就是“我”关于“他”的最重要的信息，甚至属于直觉的第一反应，这个分支一般会出现在思维导图的右上角，对于这个分支，值得“我”在决策前必须一而再，再而三的审慎考虑；
3，数值指引。
如果上述两点还无法做出决策，开始第三步：将“我真的喜欢他吗？”这张思维导图的所有分支的关键词予以编号，按“我”认为的重要程度从“1，2，3，4，5......”由此类推，当所有的分支关键词编号完毕后，
将所有处于“喜欢”分支下的编号全部相加可以得到一个数值，将所有处于“不喜欢”分支下的编号全部相加也可以得到一个数值，这两个数值的比较，“我”可以实现决策。
世间万物，运用二分法的逻辑，架构在思维导图上予以呈现，一切清晰无比。
百度一下：李伟希。
高中数学人教版必修一《第三章3.1.2用二分法求方程的近似解》课件
2＋4 f(2)·f(4)<0，取区间(2,4)的中点 x1＝ 2 ＝3，计算得 f(2)·f(x1)<0，则此
时零点 x0 所在的区间是( B )
A.(2,4) C.(3,4)
B.(2,3) D.无法确定
答案
1.二分就是平均分成两部分.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二， 使区间的两个端点逐渐靠近零点，直至找到零点邻近足够小的区间，根 据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点. 2.二分法求方程近似解的适用范畴：在包含方程解的一个区间上，函数 图象是连续的，且两端点函数值异号.
答案 ①取区间(2,3)的中点2.5. ②运算f(2.5)的值，用运算器算得f(2.5)≈－0.084.由于f(2.5)·f(3)<0，所 以零点在区间(2.5,3)内.
二分法的概念：
对于在区间[a，b]上连续不断且 f(a)·f(b)<0 的 函 数 y ＝ f(x) ， 通 过 不
断地把函数f(x)的零点所在的区间 一分为二
3.1.2
用二分法求方 程的近似解
数学人教版 高中数学
1.理解二分法的原理及其适用条件； 2.掌控二分法的实行步骤； 3.体会二分法中包蕴的逐渐靠近与程序节课，我们已经知道f(x)＝ln x＋2x－6的零点在区间(2,3)内， 如何缩小零点所在区间(2,3)的范畴？
a＋b (a，b)上有一个零点 x0，且 f(a)f(b)<0，用二分法求 x0 时，当 f( 2 )＝0
时，则函数 f(x)的零点是( B )
A.(a，b)外的点
a＋b B.x＝ 2
a＋b a＋b C.区间(a， 2 )或( 2 ，b)内的任意一个实数
D.x＝a 或 b
《思维导图与精准表达》2014版(李伟希)
—————————————————————————————————————---- 思维课程： 《思维导图》、《创新思维》、《问题分析与解决》、《平行思维》、《金字塔原理》 思维导图与精准表达—— 闪电一样的思维，匕首一样的表达【课程介绍】您有没有遇到这样的情况：1. 面见一个重要的客户，能得到的时间就是一同下电梯的30秒，如何表达？2. 准备了100页的市场营销报告，领导只给5分钟的阐述时间，怎么办？3. 一个书面的商业策划书，如何让顾客产生购买的冲动与欲望?4. 激励团队的演讲结束了，能确定下属听明白了，并会付诸行动吗？5. 面对微时代的90后， 如何同步使用碎片式的微博/微信实现精准表达？如果您遇到过上述的问题，就请带着这些问题来到我们的《思维导图与精准表达》课程，我们将告诉您闪电一样的思维，匕首一样的表达。
—————————————————————————————————————---- 思维课程： 《思维导图》、《创新思维》、《问题分析与解决》、《平行思维》、《金字塔原理》 【课程收益】1．深度开发大脑潜能，实现高效全脑思维；2．熟练掌握使用思维导图整理与记录思维；3．瞬间构建思维导图与视觉思维的表达模型；4．实现模型化、系统化、结构化的魅力表达。
【课程特色】1．案例实战：课程全程使用大量实战型的案例进行剖析与训练；2．模型优化：课程将提供各种具体类型的优化思维工具与模型；3．落地支撑：课程提供互联网的自媒体交流平台实现长期学习。
【课程时间】2天【主讲老师】思维导图MindV 授权认证培训师思维体系RCC 认证培训教练： 李 伟 希【课程提纲】一、 《思维导图与精准表达》课程背景（一）清晰的逻辑思维的背景（二）左右脑冰山开发的背景—————————————————————————————————————---- 思维课程： 《思维导图》、《创新思维》、《问题分析与解决》、《平行思维》、《金字塔原理》 （三）关键词简约化的时代背景二、 思维导图的绘制与思维分析（一）思维导图机理与效用拆解（二）思维导图的绘制技巧1. 创意图形的达意绘制2. 关键词的精准提取3. 逻辑架构的快速梳理4. 关联思维的有效表达(训练)（三）思维导图的绘制注意事项此处：第1天上午总结（四）思维导图与记忆强化1. 高效记忆的7大核心法则2. 高效记忆的2种图形技术3. 思维导图达成记忆的3大要领(训练)三、 思维导图与逻辑架构（一）思维导图与电梯法则1. 电梯法则的思维导图精准提取2. 少就是多的思维导图化简呈现3. 基于管理模型的思维导图表达(训练)（二）思维导图与逻辑归纳1. 思维的极限2. 结构分类的MECE 法则3. 有效MECE 的3大模型4. 逻辑归纳的3种顺序（三）魅力表达基础模型1. 演绎三段论2．思维二分法3. 钩子 — 梯子 — 桩子—————————————————————————————————————---- 思维课程： 《思维导图》、《创新思维》、《问题分析与解决》、《平行思维》、《金字塔原理》 4. 背景 — 冲突 — 答案5. 输入 — 处理 — 输出6. P — M — I (训练)（四）思维导图软件与呈现此处：第1天下午总结及全天总结四、魅力表达的技巧（一）魅力表达风格技巧1．主动目标的转化2．正式指数的判断3．游说矩阵的设定(训练)4．层次结构的选择（二）魅力表达情感技巧1．运用情感指数2．实现表达的信服力(训练)3．进行有效的反馈4．增加表达的紧迫性5．增加表达的可信度此处：第2天上午总结五、精准表达应用（一）WORD 商务写作的魅力表达(训练)（二）网络商务写作的魅力表达1．邮件 / 网站2．博客 / 微博 / 微信（三）商务PPT 设计与呈现1．魅力表达与PPT 设计2．PPT 的 模板 / 文字 / 图片 / 表格 / 颜色 / 页面 / 标题3．精准表达与呈现技巧(训练)此处：第2天下午总结及全部课程总结。
巧思维，妙应用——二分法
ʏ晏 江二分法,又称分半法,是求方程的近似解的常用方法㊂二分法简便而又应用广泛,对函数没有要求,任何方程都可以用二分法求相应的近似解,这就为函数知识的拓展与应用提供了一个更好的㊁更新的必需工具㊂一㊁求方程的近似解问题例1 已知函数f (x )=x 3+x 2-2x -2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如表1所示㊂表1f (1)=-2f (1.5)=0.625f (1.25)ʈ-0.984f (1.375)ʈ-0.260f (1.438)ʈ0.165f (1.4065)ʈ-0.052 那么方程x 3+x 2-2x -2=0的一个近似解(精确度为0.05)为( )㊂A.1.5 B .1.375C .1.438D .1.25分析:先利用函数零点的存在定理确定零点所在的区间,再结合零点所在区间的精确度确定零点区间的端点即为方程的近似解㊂解:因为f (1.4065)=-0.052<0,f (1.438)=0.165>0,所以f (1.4065)㊃f (1.438)<0㊂根据函数零点的存在定理知零点在区间(1.4065,1.438)内,即该方程的根在区间(1.4065,1.438)内㊂因为|1.4065-1.438|=0.0315<0.05,所以方程的近似解为1.4065或1.438㊂应选C ㊂利用二分法求方程近似解时,首先需要有初始区间,即一个存在解的区间(要用到此区间的两端点),其次需要有迭代,即循环运算的过程,具体表现在不断 二分 区间,最后需要有一个运算结束的标志,即当最终区间的两端点的精确度均满足题设要求时(两端点的近似值相同),运算终止㊂二㊁零点的应用问题例2 图1是函数f (x )的图像,它与x 轴有4个不同的公共点㊂给出的下列四个区间之中,存在不能用二分法求出的零点,该零点所在的区间是( )㊂图1A.[-2.1,-1]B .[4.1,5]C .[1.9,2.3]D .[5,6.1]分析:利用二分法,确定零点所在区间的两个端点所对应的函数值必须异号,由此判断函数的零点所在的区间㊂解:结合图像,可知选项A ,B ,D 中每个区间的两个端点的函数值异号,可用二分法求出零点㊂选项C 中区间的两个端点的函数值同号,不能用二分法求零点㊂应选C ㊂利用二分法求函数零点的依据是函数零点的存在定理,这也是利用二分法解决问题的必备条件㊂只有在满足函数零点的存在定理的前提下,才能利用二分法求函数的零点或方程的近似解㊂三㊁次数的判断问题例3 2是我们熟悉的无理数,在用二分法求2的近似值的过程中,可以构造函数f (x )=x 2-2(x >0),我们知道f (1)㊃f (2)<0,所以2ɪ(1,2)㊂要使2的近似值满足精确度为0.1,则对区间(1,2)至少二等分的次数为( )㊂A.3 B .4 C .5 D .6分析:利用二分法求二等分次数时,每次91知识结构与拓展高一数学 2023年11月二等分后的区间长度为原来的12,借助近似值满足的精确度,合理构建相应的不等式,从而求得二等分的次数㊂解:设对区间(1,2)至少二等分n 次,此时区间长为1㊂第1次二等分后区间长为12,第2次二等分后区间长为122,第3次二等分后区间长为123, ,第n 次二等分后区间长为12n ,n ɪN *㊂依题意可得,12n <0.1,即2n>10,所以n ȡ4㊂故n =4即为所求㊂应选B㊂利用二分法解决问题时,每经过一次操作,区间长度就变为原来的一半㊂借助二分法解决问题的思想方法,对于解决一些数学问题㊁现实生活问题等,都有很好的帮助与指导意义㊂四㊁实际应用问题例4 华罗庚是上世纪我国伟大的数学家,以华氏命名的数学科研成果有 华氏定理 华氏不等式 华王方法 等㊂除了数学理论研究,他还在生产一线大力推广了 优选法 和 统筹法 ㊂ 优选法 是指研究如何用较少的试验次数,迅速找到最优方案的一种科学方法㊂在防疫取得重要进展的时刻,为应对机场带来的境外输入,某机场海关在对入境人员进行检测时采用了 优选法 提高检测效率:每16人为一组,把他们的鼻咽拭子分泌物混合检查,如果为阴性则全部放行;若为阳性,则对该16人再次抽检确认感染者㊂某组16人中恰有一人感染(鼻咽拭子样本检验将会是阳性),若逐一检测可能需要15次才能确认感染者㊂现在先把这16人均分为2组,选其中一组8人的样本混合检查,若为阴性则认定感染者在另一组;若为阳性,则认定感染者在本组㊂继续把认定的这组的8人均分为2组,选其中一组4人的样本混合检查 以此类推,最终从这16人中认定那名感染者需要经过的检测次数为( )㊂A.3 B .4 C .6 D .7分析:根据题设条件,由16人进行二分法处理减少到8人,逐步减少到4人,2人,最后确定感染者㊂解:先把这16人均分为2组,选其中一组8人的样本混合检查,若为阴性则认定在另一组;若为阳性,则认定在本组,此时进行了1次检测;继续把认定的这组的8人均分为2组,选其中一组4人的样本混合检查,若为阴性则认定在另一组;若为阳性,则认定在本组,此时进行了2次检测;继续把认定的这组的4人均分为2组,选其中一组2人的样本混合检查,若为阴性则认定在另一组;若为阳性,则认定在本组,此时进行了3次检测;选认定的这组的2人中一人进行样本检查,若为阴性,则认定是另一个人;若为阳性,则认定为此人,此时进行了4次检测㊂所以最终从这16人中认定那名感染者需要经过4次检测㊂应选B㊂二分法体现了现代信息技术与数学知识的整合,将数学知识与信息技术紧密结合,恰当渗透算法思想和科学型计算器等,可以解决现实生活中的一些实际应用问题㊂函数f (x )=l n x -2x的零点所在的大致区间是( )㊂A .(1,2) B .(2,3)C .1e,1ɣ(3,4) D .(e ,+ɕ)提示:因为f (1)=-2<0,f (2)=l n 2-1<0,又f (x )在(0,+ɕ)上是单调增函数,所以在(1,2)上f (x )无零点㊂同理,可以判断在区间1e,1ɣ(3,4)和(e ,+ɕ)上f (x )无零点㊂因为f (3)=l n 3-23>0,所以f (2)㊃f (3)<0,所以f (x )在(2,3)上有一个零点㊂应选B ㊂作者单位:江苏省兴化市第一中学(责任编辑 郭正华)2 知识结构与拓展 高一数学 2023年11月。
分享七种结构化思维模型
分享七种结构化思维模型01.金字塔结构金字塔结构：该结构的根本目的是表达者在阐述观点时，方便读者理解和记忆的思维模型。
1、纵向来看，金字塔遵循两个原则：1）结论先行：开头就是结论。
让读者聚焦重点，先知道结论，更容易理解观点2）以上统下：上层是结论，下层是理由，下层要支撑上层，并且做到主语一致2、横向来看，金字塔也要遵循两个原则：1）归类分组：人的大脑接收信息时，喜欢把信息分类，这样有利于理解和吸收。
分组要符合mece 原则，做到不重不漏，而且分组要在同一水平上。
mece 原则介绍：二分法（A和非A），矩阵法（两个维度做交叉），流程法（事前事中事后），结构法（将事物拆分成不同的构成部分），公式法（按公式要素分类）2 ）逻辑递进：每项信息之间有顺序，如时间顺序、空间顺序（结构顺序）、重要性顺序、演绎顺序（三段式和常见式）3、附加说明：结论先行其实是有适用场景的，不是所有情况都要结论先行：1）结论先行的情况：信息量较大或结论符合对方预期时；2）结论后行的情况：信息量较少或对方不接受结论，适合逐步推导时。
02.认知圈思维认知圈模型：该结构是用来认识事物的思维框架。
1、是什么（what）：1）先界定是什么事物，给事物定性；2）然后分析事物的适用范围，包括时间、空间、对象、目标；3）最后需要用通俗易懂的话描述事物和适用范围。
尽量用短句、非专业术语、通俗概念、类比的方式描述；一句话总结：认知事物需要做到：A是什么，适合谁在什么情况下使用，达到什么目标。
2、为什么（why）：“为什么”是一种驱动力三种问法：1）第一，为什么存在？即询问一个事物的由来；2）第二，为什么选择？换句话就是，你为什么做出这个选择？3）第三，为什么重要？3、如何做（how）：目标拆解法：拆解目标，找到关键因素，然后推导解决方案对症下药法：找到关键问题，然后推导解决方案03.故事思维故事思维：运用故事思维阐述观点，会让人更容易接受，因为故事更加形象、生动。
二分法
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四、归纳总结
用二分法求方程f(x)=0（或g(x)=h(x)）近似解基本步骤： 1、寻找解所在区间
（1）图象法
先画出y=f(x)图象，观察图象与x轴交点横坐标 所处的范围；或画出y=g(x)和y=h(x)的图象，观察 两图象的交点横坐标所处的范围。 （2）函数性态法 把方程均转换为f(x)=0 的形式，再利用函数 y=f(x)的有关性质（如单调性），来判断解所在 的区间。
1 1
2.375 2.5
-+
2.375 2.4375
+
3
f(2.375)<0,f(2.4375)>0
2.375< x <2.4375
1
2
因为2.375及2.4375精确到0.1的近似值都为2.4 ， 所以原方程的近似解为x1≈ 2.4
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三、自行探究
利用计算器，求方程
x
的近似解(精确到0.1)
解:(法一) 画出 f ( x) 2 x 4 的图象，观察图象得， x f ( x ) 2 x 4 有惟一解，记为x1 ，且这个解在 方程 区间(1 , 2)内。
如何利用Excel来帮助研究方程的近似解？
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六、课堂练习
利用计算器求方程 x 2 2 x 2 0的较小的根的近似解 (精确到0.1)
14 12 10 8 6 4 2 0 -2 0 -4 f(x)=x^2-2x-2 1 2 3 4 5 6
李伟希：思维导图之 95% Vs 5%
思维导图之95%Vs5%李伟希作为《思维导图》精英训练课程的落地系统之一，我将左侧的这些图形放在了我的微博。
微博内容是：请根据思维导图的绘制规则与要素，判断这些图形中，哪些不属于真正的思维导图？为什么？引来了包括学员朋友及江湖高手在内的诸多人士的一起互动讨论。
详在我的微博@李-伟希培训师可见。
对于这些图形，我的回答是这样：1，思维是多样性的，思维没有最好，只有最不坏。
如果仅仅涉及个人思维的自我呈现，这些图也许可行吧；2，思维导图的绘制规则设计，很大原因是源于对脑神经元的一种仿生。
关于仿生有多么重要，我们来看达尔文的一段话：生物的形态经过大自然的严峻考验，必然尤其道理，足够值得我们敬畏，也值得我们在造物时反复参研；3，这些图形从关键词，中心扩散，词线等长，分支渐变，色彩归类等诸多思维导图的特征可以判断，第1图，第3图肯定不是思维导图。
至于第2图是由软件制作，主题-附注-浮动主题这样的结构，MindM、MindV都可以做到，但也不是思维导图，是典型的东尼.博赞所说的“95%以上”的那一类：思维图；他们的差别就是一个“导”字，“导”意味着什么？！“导”意味着什么？这种不是思维导图的“思维图”会出现什么问题呢？1，随着图的衍生发展，最终会可能出现：所有的思维其实是一个层级面的，图在延展，思维并没有延展；2，回形闭路的图形绘制，其实并没有充分实现条理清晰、重点突出、联想丰富；3，这种以星阵图和蜘蛛图为典型代表的思维图，很多时候表达的是一种不自知的混乱、单调与无序。
答案就是问题，没有“导”？！所以，我的课程，我一定要按照严谨、标准的思维导图的模式与技法进行授课，因为，我必须确保，来到课上要成为吃过猪肉的5%，而不是看过猪毛的95%。
再次唠叨：95%以上的所谓的“思维导图”不是真正的思维导图。
李伟希培训师李伟希老师简介倍效管理导师聚焦管理答案【专业资历】OBE三效执行力专家思维导图MindV授权认证培训师《中国经济时报》撰稿人《和讯》商学院核心讲师华南理工大学MBA【工作经历】当纳利RRD（中国）有限公司人力资源总监香港Hucai集团有限公司企业文化中心经理深圳创维多媒体有限公司《创维多媒体》主编【简要介绍】李老师于1974年11月出生，有15年的管理实战经验。
高中数学北师大版必修3第二章《二分法》ppt课件
第二步:取区间 a,b
将区间一分为二;
的பைடு நூலகம்点
x0
ab 2
,
第三步:若f(x0)=0,则x0就是所求函数的 零点,输出x*= x0,结束;否则判断x*在x0 的左侧还是右侧;若f(a)f(x0)>0,则x*属 于(x0,b),a= x0;若f(a)f(x0)<0则x*属于
(a,x0), b= x0;
x=4 y=1 z=1
在函数的应用部分,我们学习了用二
分法求方程f(x)=0的近似解.如图所
示
二分法的基本思想是:
将方程的有解区间分
y
为两个小区间,然后判
断解在哪个小区间;继
a O x* b x
续把有解的区间一分 为二进行判断,如此周
而复始,直到求出满足
精度要求的近似解.
1.确定有解区间 a, b (f(a)f(b)<0).
设计一个算法,解方程组 x+y+z=6
的正整数解
2x-3y+z=6
解:(1)因为x 6,所以, x可能 为,1,2,3,4,5,6
(2)就x的6种情况进行讨论,
a. x=1,问题变为求 y+z=5
的正整数解;
-3y+z=4
b.x=2时,问题变为求 y+z=4 的整数解 -3y+z=2
……按照上述步骤讨论完x的情 形,就得到方程组的的所有正整 数解
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
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二分法的思维导图
@李伟希培训师
在课上，有很多学员朋友问到关于二分法的思维导图呈现思维后，如何实现后续的有效决策。
对于这个问题，我用一篇文章做统一的回复。
当我们采用二分法的思维导图实现思维呈现后，我们就已经在纸面上实现了思维的顺序梳理、状态分布和关系对应。
这个时候，有三种方法可以帮助我们的思维进行决策，以下以“我真的喜欢他吗？”这样一个很常见的男女情感的中心主题作为案例，从三个方面予以分析说明：
1，量级指引。
经过思维导图的呈现后，“我”能够看到对于“他”的“喜欢”和“不喜欢”的所有分支与层次，这就是“我”此刻的最真实的想法，根据这两种状态的数量与层级，“我”已经可以做出定性的决策。
尤其“我”的思维处于“情人眼中出西施”的状态，那么我”看到的将是更大比例的“喜欢”；
2，直觉指引。
第一个呈现的分支就是“我”关于“他”的最重要的信息，甚至属于直觉的第一反应，这个分支一般会出现在思维导图的右上角，对于这个分支，值得“我”在决策前必须一而再，再而三的审慎考虑；
3，数值指引。
如果上述两点还无法做出决策，开始第三步：将“我真的喜欢他吗？”这张思维导图的所有分支的关键词予以编号，按“我”认为的重要程度从“1，2，3，4，5......”由此类推，当所有的分支关键词编号完毕后，
将所有处于“喜欢”分支下的编号全部相加可以得到一个数值，将所有处于“不喜欢”分支下的编号全部相加也可以得到一个数值，这两个数值的比较，“我”可以实现决策。
世间万物，运用二分法的逻辑，架构在思维导图上予以呈现，一切清晰无比。
百度一下：李伟希。