连续时间傅立叶变换与离散时间傅里叶变换之间的关系

连续时间傅立叶变换与离散时间傅里叶变换之间的关系

对于连续限带（B ）的时间信号x (t)，在满足奈奎斯特抽样定理的条件下进行抽样（抽样频率f s =1/T s = 2B'>2B ），其样点为x n =x (nT s )。可以由样点序列进行内插来恢复原始信号x (t)：

()()()sin 2')s

n

x t x nT

c B t n =

-∑ (1)

证明：

抽样采用理想冲击脉冲串：()()s

T s

t t nT δδ=

-∑

()()()s s T x t x t t δ=

()()s

s

n

x nT t nT δ=

-∑ (2)

其中2B'=1/T s 。由傅里叶变换的频域卷积性质，理想抽样信号x s (t)的傅里叶变换为：

1()()s k

s

s k X f X f f T T δ⎛⎫

=*

-

⎪⎝⎭

∑ (3) 其中*表示连续的卷积运算。于是得到

()1s

k

s

s k X f X f T T ⎛⎫=

- ⎪⎝

⎭∑

s k s k f X f T ⎛⎫

=- ⎪⎝

⎭∑ (4)

即理想抽样信号在频域是原信号x (t)傅里叶变换（频谱密度）的周期性位移，周

期为1/T s 。其中更详细的原理请参看经典课本：奥本海姆（《信号与系统》）/樊昌信先生（《通信原理》）/周炯盘先生（《通信原理》）。本文目的是架起连续时间傅里叶变换和离散时间傅里叶变换的桥梁，这在很多课本中都是省略掉的；对抽样定理不再赘述。

在频域k=0处对抽样信号进行理想低通滤波，滤波器带宽为B'>B 。理想低通滤波器的频率响应为矩形窗函数H(f)=(

)2'

f B ∏，它对应的时域单位冲激响应函数

h(t)=2B'sinc(2B't)为内插函数。其中内插函数sinc 函数的定义为：

()()

sin sin x c x x

ππ=

(5)

于是有

()()1()s

s

X f X f H f f =

(6)

对上式作傅立叶反变换，利用变换的卷积性质，以及h (t)的定义，得

()()()s s x t T x t h t =* (7)

把T s h(t)作为新的h'(t)，即h'(t)=2B'T s sinc(2B't)= sinc(2B't)，则

()()()'s x t x t h t =* (7')

代入x s (t)的表达式(2)，以及h'(t)的表达式，到(7)中，得

()()()'()s s n x t h t x nT t nT δ⎡⎤

=*-⎢⎥⎣⎦

∑

()()()2'sinc 2B 't *s s n B T x nT t nT δ⎡⎤

=-⎢⎥⎣⎦

∑

()s

n

x nT =

∑()()sin 2's

c B t nT -

()

()s i n 2's n

x n T c B t n =-∑ （8） ()'()

s s n

x nT h t nT =-∑ (8’) （8）式即为内插公式。同（1）。证毕。

对（8’）式进行傅里叶变换，得

()2()'()j ft s s n

X

f x nT h t nT e dt π∞

--∞⎡⎤=-⎢⎥⎣

⎦

∑⎰

2()'()j ft

s s n

x nT h t nT e

dt π∞--∞

=

-∑⎰

2'()()j ft

s s

n

x nT h t nT e

dt

π∞--∞

-=

⎰

∑

n 21

2'2'()

s j fT s n

f B B T e x n π-⎛⎫ ⎪⎝⎭

=

∏∑

（时延性质）

n 221(),2

s

j T s s fTs

n

s

f x nT e

f f πωπ-==

≤

∑

(9)

(

)

1(),2

j j n

s n s

X e

f x n e

f f ω

ω-=

≤

∑

(10)

而（10）式中的后面的和项就是离散序列x(n)的离散时间傅里叶变换（DTFT ）。其中2,[,]s fT ωπωππ=∈-。

而在用快速傅里叶变换FFT 算法计算时，计算的是()j X e ω，所以算出结果来之后根据(10)要除以f s 。于是在[-fs/2, fs/2]这个范围内，得到的便是X(f)的频谱密度

所在的范围。