轴向载荷作用下杆件的材料力学
材料力学(机械类)第二章 轴向拉伸与压缩
二
章
拉伸压缩与剪切
1
பைடு நூலகம்
§2-1
轴向拉伸与压缩的概念和实例
轴向拉伸——轴力作用下，杆件伸长 （简称拉伸） 轴向压缩——轴力作用下，杆件缩短 （简称压缩）
2
拉、压的特点：
1.两端受力——沿轴线，大小相等，方向相反 2. 变形—— 沿轴线
3
§2-2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
1 、横截面上的内力
A3
2
l1 l2 y AA3 A3 A4 sin 30 tan 30 2 1.039 3.039mm
A
A A4
AA x2 y2 0.6 2 3.039 2 3.1mm
40
目录
例 2—5 截面积为 76.36mm² 的钢索绕过无摩擦的定滑轮 F=20kN，求刚索的应力和 C点的垂直位移。 （刚索的 E =177GPa，设横梁ABCD为刚梁）
16
§2-4
材料在拉伸时的力学性能
材料的力学性能是指材料在外力的作用下表现出的变 形和破坏等方面的特性。
现在要研究材料的整个力学性能（应力 —— 应变）：
从受力很小
破坏
理论上——用简单描述复杂
工程上——为（材料组成的）构件当好医生
17
一、 低碳钢拉伸时的力学性能 （含碳量<0.3%的碳素钢）
力均匀分布于横截面上，σ等于常量。于是有：
N d A d A A
A A
得应力：
N A
F
FN
σ
10
例题2-2
A 1
45°
C
2
重庆大学材料力学答案
重庆大学材料力学答案 The following text is amended on 12 November 2020.重庆大学材料力学答案题图所示中段开槽的杆件，两端受轴向载荷P 的作用，试计算截面1-1和2-2上的应力。
已知：P = 140kN ，b = 200mm ，b 0 = 100mm ，t = 4mm 。
题图解：(1) 计算杆的轴力(2) 计算横截面的面积 (3) 计算正应力(注：本题的目的是说明在一段轴力相同的杆件内，横截面面积小的截面为该段的危险截面)横截面面积A=2cm 2的杆受轴向拉伸，力P=10kN ，求其法线与轴向成30°的及45°斜截面上的应力ασ及ατ，并问m ax τ发生在哪一个截面 解：(1) 计算杆的轴力(2) 计算横截面上的正应力 (3) 计算斜截面上的应力 (4) m ax τ发生的截面∵0)2cos(==ασαταd d 取得极值∴ 0)2cos(=α 因此：22πα=， 454==πα故：m ax τ发生在其法线与轴向成45°的截面上。
（注：本题的结果告诉我们，如果拉压杆处横截面的正应力，就可以计算该处任意方向截面的正应力和剪应力。
对于拉压杆而言，最大剪应力发生在其法线与轴向成45°的截面上，最大正应力发生在横截面上，横截面上剪应力为零）题图所示阶梯直杆AC ，P =10kN ，l 1=l 2=400mm ，A 1=2A 2=100mm 2，E =200GPa 。
试计算杆AC 的轴向变形Δl 。
题图解：(1) 计算直杆各段的轴力及画轴力图 kN 101==P N （拉） kN 102-=-=P N （压）(2) 计算直杆各段的轴向变形mm 2.010010002004001000101111=⨯⨯⨯⨯==∆EA l N l （伸长） mm 4.05010002004001000102222-=⨯⨯⨯⨯-==∆EA l N l （缩短） (3) 直杆AC 的轴向变形m m 2.021-=∆+∆=∆l l l （缩短）(注：本题的结果告诉我们，直杆总的轴向变形等于各段轴向变形的代数和) 题图所示结构，各杆抗拉（压）刚度EA 相同，试求节点A 的水平和垂直位移。
材料力学材料的力学性能优质课件
卸载
第3章 轴向载荷作用下材料旳力学性能
结论与讨 论
再加载
第3章 轴向载荷作用下材料旳力学性能
结论与讨 论
将卸载再加载曲线与原来旳应力-应变曲线进行比较(图 中曲线OAKDE上旳虚线所示)，能够看出：K点旳应力数值远 远高于A点旳应力数值，即百分比极限有所提升；而断裂时旳 塑性变形却有所降低。这种现象称为应变硬化。工程上常利 用应变硬化来提升某些构件在弹性范围内旳承载能力。
延伸率和截面收缩率旳数值越大，表白材料旳韧性越 好。工程上一般以为δ>5％者为韧性材料； δ＜5％者为脆 性材料。
第3章 轴向载荷作用下材料旳力学性能
单向压缩时材料旳力学行为
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第3章 轴向载荷作用下材料旳力学性能
单向压缩时材料旳力学行为
材料压缩试验，一般采用短试样。低碳钢压 缩时旳应力-应变曲线。与拉伸时旳应力-应变曲 线相比较，拉伸和压缩屈服前旳曲线基本重叠， 即拉伸、压缩时旳弹性模量及屈服应力相同，但 屈服后，因为试样愈压愈扁，应力-应变曲线不断 上升，试样不会发生破坏。
试样旳变形将随之消失。
这表白这一阶段内旳变形都是
弹性变形，因而涉及线性弹性阶段
在内，统称为弹性阶段。弹性阶段 旳应力最高限
第3章 轴向载荷作用下材料旳力学性能
弹性力学性能
百分比极限与弹性极 限
大部分韧性材料百分比极限与弹性 极限极为接近，只有经过精密测量才干 加以区别。
第3章 轴向载荷作用下材料旳力学性能
单向压缩时材料旳力学行为
第3章 轴向载荷作用下材料旳力学性能
结论与讨论
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第3章 轴向载荷作用下材料旳力学性能
结论与讨 论
轴向受力杆件
第五章 轴向受力杆件工程中有许多结构中的杆件仅承受轴向拉伸或压缩载荷。
例如图5－1中起重机，其起重杆受轴向压力。
这一类杆件受力的特点是杆端外力的作用线与杆的轴线重合，称为轴力杆件。
建筑结构中的钢屋架，空间网架等都由细长杆件连接而成。
虽然杆件的连接处采用焊接或铆接，但受载时杆件产生的弯矩只局限在节点附近区域，杆件可以近似认为是轴力杆，结构可以看作是桁架。
这一章将分析轴力杆的应力、应变和变形，轴力杆的强度条件，连接件的强度条件，简单桁架的节点位移，以及拉压静不定问题。
109§5－1 拉压杆的应力与变形一、拉压杆的应力与变形 如图5－2a 和b 所示，等截面杆在作用于两端的轴向拉力F 作用下产生拉伸变形。
从分离体的平衡条件可知，截面上的轴力F N = F （图5－2c ）。
那么截面上的应力是怎么分布的？是不是均匀分布？我们需要作进一步的分析。
截面上应力分布与变形有关。
为此，考虑变形前等间距的一系列杆段‘ab ’、‘bc ’，…（图5－2d ），这些单元处于相同的受力条件，它们的变形也应相同。
假如单元‘ab ’的aa ′截面变形后成为向外凸起的形状（见图5－2d ），根据‘ab ’单元对自身中间截面的对称性，bb ′截面也应向外凸起。
‘bc ’单元的情况应该与‘ab ’相同。
可见变形后的几何协调条件被破坏。
由此推断，杆件横截面在变形后仍然保持为平面，并且与轴线垂直。
这一叙述在许多材料力学教材中称图5－1(d)F F N(c)(a)F (b)为平面截面假设（plane cross-section hypothesis ）。
在轴向拉压问题中杆件内各点都处于单向应力状态，x σ是唯一非零的应力分量。
根据平面截面的几何关系可以推断，截面上各点的轴向正应变为常数。
根据单向拉伸的胡克定律可知x x E σε=可见截面上应力也为常数，即截面上的正应力为均匀分布力，所以 Nx F Aσ=（5－1） 式中A 是截面面积。
材料力学第04章 杆件变形分析
例4-2 桁架是由1、2杆组成，
通过铰链连接，在节点A承受 铅垂载荷F=40kN作用。已知
杆1为钢杆，横截面面积
A1=960mm2，弹性模量 E1=200GPa，杆2为木杆，横 截面面积A2=2.5×104mm2， 弹性模量E2=10GPa，杆2的杆 长为1m。求节点A的位移。
M (x) EI 24
d2w/dx2与弯矩的关系如图所示，坐标轴w以向上为正。由
该图可以看出，当梁段承受正弯矩时，挠曲线为凹曲线，如
图（a）所示，d2w/dx2为正。反之，当梁段承受负弯矩时， 挠曲线为凸曲线，如图（b）所示，d2w/dx2为负。可见， d2w/dx2与弯矩M的符号一致。因此上式的右端应取正号，即
于梁的高度，剪力对梁的变形影响可以忽略不计，上式仍可
用来计算横力弯曲梁弯曲后的曲率，但由于弯矩不再是常量，
上式变为
1 M (x)
(x) EI
即挠曲线上任一点处的曲率与该点处横截面上的弯矩成正比，
而与该截面的抗弯刚度（flexural rigidity）EI成反比。
23
由高等数学可知，平面曲线w=w(x)上任一点的曲率为
15
对于扭矩、横截面或剪切弹性模量沿杆轴逐段变化的圆 截面轴，其扭转变形为
n
Tili
i1 Gi I Pi
式中，Ti、li、Gi与IPi分别为轴段i的扭矩、长度、剪切弹 性模量与极惯性矩，n为杆件的总段数。
16
2．圆轴扭转的刚度条件
在圆轴设计中，除考虑其强度问题外，在许多情况下对刚 度的要求更为严格，常常对其变形有一定限制，即应该满足 相应的刚度条件。
杆件的轴向受力与位移
杆件的轴向受力与位移杆件是工程结构中常见的构件之一，它承受着来自外部作用力的作用。
在工程分析中，了解杆件的轴向受力与位移是非常重要的。
本文将介绍杆件受力的基本原理以及计算方法。
一、杆件受力的基本原理杆件受力的基本原理是基于牛顿第三定律，即一个杆件受到的作用力等于其对外部其他物体的反作用力。
具体来说，当外部施加一个轴向力到杆件上时，杆件会同时施加一个相等大小、相反方向的反作用力。
这个反作用力将作用在外部物体上，进而使外部物体发生位移。
二、杆件受力的计算方法杆件受力的计算需要考虑杆件的几何形状、材料特性以及受力方式等因素。
下面将介绍常见的几种杆件受力计算方法。
1. 张力与压力杆件受力的最常见情况是受到拉力或压力。
当杆件处于拉伸状态时，受力方向与杆件轴线方向一致，我们称其为张力。
当杆件处于压缩状态时，受力方向与杆件轴线方向相反，我们称其为压力。
根据杆件的几何形状和受力特点，可以使用梁力学等方法计算杆件的张力或压力。
2. 杆件位移与伸长量杆件在受力作用下会发生位移，这是由于杆件的弹性变形所导致的。
根据胡克定律，杆件伸长量与受力成正比，与杆件材料的弹性模量和杆件的几何形状有关。
通常可以使用杆件的受力-位移关系来计算杆件的位移。
三、杆件受力分析的实际应用杆件受力与位移的分析在工程实践中有着广泛的应用。
以下是一些实际应用案例：1. 桥梁结构分析桥梁中的杆件起到支撑和承载的作用。
通过对桥梁杆件的受力与位移进行分析，可以评估桥梁的结构稳定性和安全性。
这对于桥梁的设计和施工至关重要。
2. 柱式建筑结构设计柱式建筑结构中的立柱是承受垂直荷载的重要组成部分。
通过对立柱受力与位移的分析，可以确定立柱的尺寸和材料，确保其能够承受设计荷载并保持结构的稳定性。
3. 机械设计中的轴承分析机械设备中的轴承承受着旋转部件的轴向受力与位移。
通过对轴承的受力与位移进行分析，可以评估轴承的工作状态和寿命，并选择合适的轴承型号和润滑方式来保证设备的正常运行。
工程力学-第7章-轴向拉压杆件的强度与变形计算
7
Guang Zhou Auto College
工程力学
第7章 轴向拉压杆件的强度与变形计算
广 州 汽
斜拉桥承受拉力的钢缆 车 学 院
8
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工程力学
第7章 轴向拉压杆件的强度与变形计算
广 州 汽 车 学 院9来自 7-1轴向拉压杆横截面上的应力
胡克定律
车
学
院
工程力学
17
轴向拉压的变形分析
P
P
A 细长杆受拉会变长变细，
P
B 受压会变短变粗
C 长短的变化，沿轴线方向， 称为纵向变形
l+Dl l
d-Dd d
D 粗细的变化，与轴线垂直，
称为横向变形
P
P
P
7-3轴向拉压杆的变形计算 胡克定律
工程力学
Guang Zhou Auto College
变形量的代数和：
汽
车
Δ
l
＝
FNi li FNi ADlEADA＋i
＝Dl AD DlDE DlEB Dl
FNDElDE ＋ FNEBlEB ＋ FNBClBC
BC
学
Ec AAD
Ec ADE
Es AEB
Es ABC
＝1.2106 m 0.6106 m 0.285106 m 0.428106 m
广
承受轴向载荷的拉（压）杆在工程中的
州
应用非常广泛。
汽
由汽缸、活塞、连
杆所组成的机构中，不
车
仅连接汽缸缸体和汽缸
盖的螺栓承受轴向拉力，
学
带动活塞运动的连杆由
工程力学(静力学与材料力学)习题及答案 - 静力学设计
习题13-4图 工程力学（静力学与材料力学）习题第13章 杆类构件的静力学设计13－1 关于低碳钢试样拉伸至屈服时，有如下结论：（A ）应力和塑性变形很快增加，因而认为材料失效；（B ）应力和塑性变形虽然很快增加，但不意味着材料失效；（C ）应力不增加塑性变形很快增加，因而认为材料失效；（D ）应力不增加塑性变形很快增加，但不意味着材料失效。
正确答案是 。
13－2 韧性材料应变硬化之后，材料的力学性能发生下列变化：（A ）屈服应力提高，弹性模量降低；（B ）屈服应力提高，韧性降低；（C ）屈服应力不变，弹性模量不变；（D ）屈服应力不变，韧性不变。
正确答案是 。
13－3 关于条件屈服应力有如下论述：（A ）弹性应变为0.2%时的应力值；（B ）总应变为0.2%时的应力值；（C ）塑性应变为0.2%时的应力值；（D ）弹性应变为0.2时的应力值。
正确答案是 。
13－4 螺旋压紧装置如图所示。
现已知工作所受的压紧力为F = 4kN ，旋紧螺栓螺纹的内径d 1 = 13.8mm ，固定螺栓内径d 2 = 17.3mm 。
两根螺栓材料相同，其许用应力][σ= 53.0MPa 。
试校核各螺栓之强度是否安全。
13－5 现场施工中起重机吊环的每一侧臂AB 和BC ，均由两根矩形截面杆组成，连接处A 、B 、C 均为铰链，如图所示。
已知起重载荷F P = 1200kN ，每根矩形杆截面尺寸比例为b /h = 0.3，材料的许用应力][σ= 78.5MPa 。
试设计矩形杆的截面尺寸b 和h 。
13－6 图示结构中BC 和AC 都是圆截面直杆，直径均为d = 20mm ，材料都是Q235钢，其许用应力][σ= 157 MPa 。
试求该结构的许可载荷。
（有人说：根据垂直方面的平衡条件，有P N N 45cos 30cos F F F AC BC =︒+︒，然后将])[4/(2N σπd F BC =，])[4/(2N σπd F AC =代入后即可得许可载荷，这种解法对吗？为什么？）习题13-5图习题13-7图 习题13-8图 习题13-9图13－7 图示汽缸内径D = 560mm ，内压p = 2.5MPa，活塞杆直径d = 100mm ，所以用材料的屈服应力s σ= 300MPa 。
复合材料力学答案
复合材料力学答案【篇一：材料力学】教程第二版 pdf格式下载单辉祖主编本书是单辉祖主编《材料力学教程》的第2版。
是根据高等工业院校《材料力学教学基本要求》修订而成。
可作为一般高等工业院校中、少学时类材料力学课程的教材，也可作为多学时类材料力学课程基本部分的教材，还可供有关工程技术人员参考。
内容简介回到顶部↑本教村是普通高等教育“十五”国家级规划教材。
. 本教材仍保持第一版模块式的特点，由《材料力学(Ⅰ)》与《材料力学(Ⅱ)》两部分组成。
《材料力学(Ⅰ)》包括材料力学的基本部分，涉及杆件变形的基本形式与组合形式，涵盖强度、刚度与稳定性问题。
《材料力学(Ⅱ)》包括材料力学的加深与扩展部分。
本书为《材料力学(Ⅱ)》，包括非对称弯曲与特殊梁能量法(二)、能量法(二)、静不定问题分析、杆与杆系分析的计算机方法、应力分析的实验方法、疲劳与断裂以及考虑材料塑性的强度计算等八章。
各章均附有复匀题与习题，个别章还安排了利用计算机解题的作业。
..与第一版相同，本教材具有论述严谨、文字精炼、重视基础与应用、重视学生能力培养、专业面宽与教学适用性强等特点，而且，在选材与论述上，特别注意与近代力学的发展相适应。
本教材可作为高等学校工科本科多学时类材料力学课程教材，也可供高职高专、成人高校师生以及工程技术人员参考。
以本教材为主教材的相关教学资源，尚有《材料力学课堂教学多媒体课件与教学参考》、《材料力学学习指导书》、《材料力学网上作业与查询系统》与《材料力学网络课程》等。
...作译者回到顶部↑本书提供作译者介绍单辉祖，北京航空航天大学教。
1953年毕业于华东航空学院飞机结构专业，1954年在北京航空学院飞机结构专业研究生班学习。
1992—1993年，在美国特拉华大学复合材料中心．从事合作研究。
.历任教育部工科力学教材编审委员、国家教委工科力学课程指导委员会委员、中国力学学会教育工作委员会副主任委员、北京航空航天大学校务委员会委员、校学科评审组成员与校教学指导委员会委员等。
材料力学课后答案范钦珊
材料力学课后答案范钦珊普通高等院校基础力学系列教材包括“理论力学”、“材料力学”、“结构力学”、“工程力学静力学材料力学”以及“工程流体力学”。
目前出版的是前面的3种“工程力学静力学材料力学”将在以后出版。
这套教材是根据我国高等教育改革的形势和教学第一线的实际需求由清华大学出版社组织编写的。
从2002年秋季学期开始全国普通高等学校新一轮培养计划进入实施阶段新一轮培养计划的特点是加强素质教育、培养创新精神。
根据新一轮培养计划课程的教学总学时数大幅度减少为学生自主学习留出了较大的空间。
相应地课程的教学时数都要压缩基础力学课程也不例外。
怎样在有限的教学时数内使学生既能掌握力学的基本知识又能了解一些力学的最新进展既能培养学生的力学素质又能加强工程概念。
这是很多力学教育工作者所共同关心的问题。
现有的基础教材大部分都是根据在比较多的学时内进行教学而编写的因而篇幅都比较大。
教学第一线迫切需要适用于学时压缩后教学要求的小篇幅的教材。
根据“有所为、有所不为”的原则这套教材更注重基本概念而不追求冗长的理论推导与繁琐的数字运算。
这样做不仅可以满足一些专业对于力学基础知识的要求而且可以切实保证教育部颁布的基础力学课程教学基本要求的教学质量。
为了让学生更快地掌握最基本的知识本套教材在概念、原理的叙述方面作了一些改进。
一方面从提出问题、分析问题和解决问题等方面作了比较详尽的论述与讨论另一方面通过较多的例题分析特别是新增加了关于一些重要概念的例题分析著者相信这将有助于读者加深对于基本内容的了解和掌握。
此外为了帮助学生学习和加深理解以及方便教师备课和授课与每门课材料力学教师用书lⅣ程主教材配套出版了学习指导、教师用书习题详细解答和供课堂教学使用的电子教案。
本套教材内容的选取以教育部颁布的相关课程的“教学基本要求”为依据同时根据各院校的具体情况作了灵活的安排绝大部分为必修内容少部分为选修内容。
每门课程所需学时一般不超过60。
范钦珊2004年7月于清华大学前言为了减轻教学第一线老师不必要的重复劳动同时也为了给刚刚走上材料力学教学岗位的青年教师提供教学参考资料我们将“材料力学”教材中全部习题作了详细解答编写成册定名为“材料力学教师用书”。
工程力学(张光伟)1-6章 (4)
第4章 轴向载荷作用下杆件的材料力学问题
除等直杆外，轴向拉、压小锥度直杆横截面上的应力也可 按公式(4.2)计算。
需要指出的是，当作用在杆件上的外力沿横截面均匀分布 时，杆横截面上的应力将均匀分布，公式(4.2)适用。而当作 用在杆件上的外力沿横截面非均匀分布时，外力作用点附近横 截面上的应力也是非均匀分布的，则相应区域横截面上的应力 不能用公式(4.2)计算。但是，大量理论计算和实验研究均表 明：如果杆端的两种外加载荷静力等效，则杆端部以外区域的 应力差异甚微。这一论断就是著名的“圣维南原理”。在工程 常规设计和计算中，一般不考虑端部加载方式的影响。对于拉、 压杆，只要外力合力的作用线沿杆轴线方向，即可应用式(4.2) 计算横截面上的应力。
第4章 轴向载荷作用下杆件的材料力学问题 图4.1
第4章 轴向载荷作用下杆件的材料力学问题
4.1 轴力和轴力图
1． 内力与截面法 内力是指物体内部各部分之间相互作用的力。物体在未受 外力作用时，其内部各质点之间本来就有力在相互作用。当物 体受到外力作用而变形时，其内部各质点之间的相对位置将有 变化，与此同时，各质点之间相互作用的力也有所改变。这种 原有内力的改变，是物体在外力作用下产生的附加内力。材料 力学中讨论和计算的只是这种附加内力，故通常简称其为内力。 这种内力既不同于物体中固有的内力，也不同于刚体系统中的 内力。前者是分子、原子等基本粒子相互作用产生的内力，后 者则是各个刚体相互机械作用产生的内力。变形体的内力则是 由宏观变形引起的内力。
(4.1b)
第4章 轴向载荷作用下杆件的材料力学问题
p称为m—m截面上C点的应力(又称为全应力)，它是分布内
力系在C点的集度，反映内力系在C点的强弱程度。
通常将 p 分解为两个分量，如图4.6(b)所示。其中,与截
第2章 轴向载荷作用下杆件的材料力学问题
刚性板
F´P B
1.2 m
FP B As Es
l l
铝制圆筒
刚性板
Aa Ea A
0.9 m
C FP F´P
FP
习题 2－3 图
解：1. 铝筒的压缩量： （其中 uA = 0）
l AB
2. 钢杆的伸长量：
FPl AB 60 103 1.2 0.935 mm Ea Aa 70 109 1.10 10 3
范钦珊教育教学工作室
FAN Qin-Shan’s Education & Teaching Studio
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材料力学习题详细解答
教师用书
(第 2 章 轴向载荷作用下杆件的材料力学问题)
2013-8-8
1
习题 2－1 习题 2－2 习题 2－3 习题 2－4 习题 2－5 习题 2－6 习题 2－7 习题 2－8 习题 2－9 习题 2－10 习题 2－11 习题 2－12 习题 2－13 习题 2－14 习题 2－15 习题 2－16 习题 2－17 习题 2－18 习题 2－19
FP
FP
B
2FN
2FN
1－1截面和2－2截面
(c)
(b) (a)
习题 2－5 图 5
解：1. 受力分析 根据受力的对称性（如图所示）,得 F y 0 ， 4 FN cos FP
FN FP 4 cos 1200 10 3 960 960 2 420 2 3.275 10 5 N
习题 2－9 图
解：当小车开到 A 点时，AB 杆的受力最大，此时轴力为 FNAB 。 1. 受力分析 确定 AB 杆的轴力 FNAB ，受力如图所示， 由平衡方程
材料力学_拉压1
拉、压杆的变形分析
♣ 相对变形 正应变
拉、压杆的变形分析
♣ 相对变形 正应变
FPl Δ =± l EA
对于杆件沿长度方向均匀变形的情形，其相对伸长量 ∆l/l 表示轴向变形的程度，是这种情形下杆件的正应变， 用 εx 表示。
εx =
Δl l
σ x = FP / A
FPl ∆l σ εx = ＝ EA = x l l E
第1章 最简单材料力学问题 最简单材料力学问题
第1章 最简单材料力学问题 最简单材料力学问题
斜拉桥承受拉力的钢缆
第1章 最简单材料力学问题 最简单材料力学问题
杆件在轴向载荷作用下的内力与应力 拉、压杆的变形分析 应力与变形算例 强度设计概述 拉伸和压缩时材料的应力一应变曲线 常温、静载下材料的力学性能 强度失效与失效控制 强度计算过程与算例 结论与讨论
o
1 2
1 2
应力与变形算例
例 题 1
解：2、计算杆的总伸长量 因为杆各段的轴力不等，且横截面面 积也不完全相同，因而必须分段计算各 段的变形，然后相加。 应用杆件承受轴向载荷时的轴向变形 公式
Δ =± l FPl EA
应力与变形算例
例 题 1
解：2、计算杆的总伸长量
Δ =± l FPl EA
计算各段杆的轴向变形分别为：
ε y = −νεx
ν为材料的另一个弹性常数，称为泊松比 泊松比(Poisson ratio),为无 泊松比
量纲量。
第1章 最简单材料力学问题 最简单材料力学问题
应力与变形算例
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应力与变形算例
例 题 1
已知: 已知 : 阶梯形直杆受力如图 示。材料的弹性模量E＝200GPa； 杆各段的横截面面积分别为 A1 ＝ A2 ＝2500mm2 ， A3 ＝1000mm2 ； 杆各段的长度标在图中。 试求： 1．杆AB、BC、CD段横截面 上的正 应力； 2 ． 杆 AB 段 上 与 杆 轴 线 夹 45°角 (逆时针方向)斜截面上 的正应力和切应力；杆的总伸 长量。
工程力学_张光伟_第4章-轴向载荷作用下杆件的材料力学问题
2.轴向拉压时的变形 轴向拉压时的变形 y 由广义胡克定律： 由广义胡克定律： σ σ σ x FN ） εx = = , ε y = ε z = −νε x （11.3） E EA x z 变形仅为沿杆轴的尺寸变化及横向尺寸变化 P l 杆件的纵向伸长量
FN dx ∆l = ∫ d (∆l ) = ∫ ε x dx = ∫ EA l l l
P
AB段变形： AB段变形： 段变形
FN1l1 Pl1 4 ×103 ×102 ∆l1 = = (伸长) = = 0.0024mm EA EA 3 π 210×10 × ×102 4
例题
例 题 1
P
2P
l1
P
A
BC段轴力: BC段轴力: FN 2 = − P 段轴力
B l2
C
d
P
( FN )
P
FN 2l2 − Pl2 BC段变形 段变形： BC段变形：∆l2 = = (实际缩短) = −0.0024mm EA EA
σα = τα = σ
2 + 2
τα
cos 2α = σ cos 2 α
σα
α FN σ=
A
FN 当α=0时， σ α ,max = σ α ,α =0 = σ = 时 A σ FN 当α=45º时， τ α ,max = τ α ,α = 45° = = 时 2 2A
2
sin 2α = σ sin α cos α
4. 铸铁压缩曲线 特点：断口沿 斜面 特点：断口沿45º斜面 特征点：压缩强度极限σ 远高于σ 特征点：压缩强度极限σbc 远高于σbt
低碳钢、铸铁拉伸、 低碳钢、铸铁拉伸、压缩曲线的比较
5. 轴向拉压破坏现象分析 观察拉、压破坏试件的断口方向： 观察、压破坏试件的断口方向： 拉伸 低碳钢 与轴线成45º斜面 与轴线成 斜面 剪断！ 剪断！ 与轴线垂直 与轴线成45º斜面 与轴线成 斜面 压缩
材料力学答案
第二章轴向拉压应力与材料的力学性能2-1试画图示各杆的轴力图.题2-1图解：各杆的轴力图如图2-1所示。
图2-12—2试画图示各杆的轴力图，并指出轴力的最大值。
图a与b所示分布载荷均沿杆轴均匀分布，集度为q。
题2—2图（a）解：由图2—2a(1)可知，)(qx=2F-qaxN轴力图如图2—2a（2）所示，qa F 2max ,N =图2-2a(b ）解:由图2—2b(2）可知， qa F =Rqa F x F ==R 1N )(22R 2N 2)()(qx qa a x q F x F -=--=轴力图如图2-2b(2)所示,qa F =max N,图2-2b2—3 图示轴向受拉等截面杆，横截面面积A =500mm 2，载荷F =50kN 。
试求图示斜截面m -m 上的正应力与切应力，以及杆内的最大正应力与最大切应力。
题2-3图解：该拉杆横截面上的正应力为100MPa Pa 1000.1m10500N 10508263=⨯=⨯⨯==－A F σ 斜截面m -m 的方位角， 50-=α故有MPa 3.41)50(cos MPa 100cos 22=-⋅== ασσαMPa 2.49)100sin(MPa 502sin 2-=-⋅== αστα杆内的最大正应力与最大切应力分别为MPa 100max ==σσMPa 502max ==στ 2-5 某材料的应力—应变曲线如图所示，图中还同时画出了低应变区的详图。
试确定材料的弹性模量E 、比例极限p σ、屈服极限s σ、强度极限b σ与伸长率δ,并判断该材料属于何种类型（塑性或脆性材料）。
题2-5解：由题图可以近似确定所求各量。
220GPa Pa 102200.001Pa10220ΔΔ96=⨯=⨯≈=εσEMPa 220p ≈σ， MPa 240s ≈σMPa 440b ≈σ， %7.29≈δ该材料属于塑性材料。
2—7 一圆截面杆，材料的应力-应变曲线如题2—6图所示。
材料力学B精选题10
材料力学B精选题10能 量 法1. 试就图示杆件的受载情况，证明构件内弹性应变能的数值与加载次序无关。
证：先加F 1后加F 2，则221212()/(2)/(2)/(2)V F a b EA F a EA F F a EA ε 1=+++先加F 2后加F 1，则222112/(2)()/(2)/(2)V F a EA F a b EA F F a EA ε 2=+++ 所以 V ε 1 = V ε 22. 直杆的支承及受载如图，试证明当F 1=2F /3时， 杆中应变能最小，并求出此时的应变能值。
解：1AC F F F =- ；1BC F F =-22221111()2/(2)/(2)(23/2)/()V F F l EA F l EA F FF F l EA ε=-+=-+1/0V F ε∂∂=： 1230F F -+= ， 12/3F F =2min /(3)V F l EA ε =3. 图示杆系的各杆EA 皆相同，杆长均为a 。
求杆系内的总应变能，并用功能原理求A 、B 两点的相对线位移∆AB 。
解： 25/(6)V F a EA ε=视CD 相对固定2⨯F ∆AB /4 = 5F 2a /(6EA )∆AB = 5Fa /(3EA ) ( 拉开 )4. 杆AB 的拉压刚度为EA ，求(a) 在F 1及F 2二力作用下，杆的弹性应变能； (b) 令F 2为变量，F 2为何值时，杆中的应变能最小？此时杆的应变能是多少？ 答： N 12AC F F F =-， N 2BC F F =-(a) 22122()2/(2)/(2)V F F l EA F l EA ε=-+221122(23/2)/()l F F F F EA =-+(b) 2/0V F ε∂∂=，12230F F -+=，212/3F F =ab1F 2F F 2l l EAB1F CAAFCaD aBFaaa 2llF 1F 2ACB此时 21min /(3)V F l EA ε= 5. 力F 可以在梁上自由移动。
材料力学第二章习题
习 题2.1试画出图示各杆的轴力图题2.1图2.2 图示中段开槽的杆件，两端受轴向载荷P 作用，试计算截面1 - 1和截面2 – 2上的正应力。
已知：，mm b20=，mm b 100=，mm t 4=。
题2.2图2.3图示等直杆的横截面直径mm d 50=，轴向载荷。
( 1 ) 计算互相垂直的截面AB 和BC 上正应力和切应力；( 2 ) 计算杆内的最大正应力和最大切应力。
2.4图示为胶合而成的等截面轴向拉杆，杆的强度由胶缝控制，已知胶的许用切应力[]τ为许用正应力[]σ的1/2。
问α为何值时，胶缝处的切应力和正应力同时达到各自的许用应力。
2．5图示用绳索起吊重物，已知重物,绳索直径。
许用应力,试校核绳索的强度。
绳索的直径应多大更经济。
，2.6冷镦机的曲柄滑块机构如图所示。
镦压工件时连杆接近水平位置，镦压力P=1100KN。
连杆矩形截面的高度h与宽度b之比为：h/b=1.4。
材料为45钢，许用应力【σ】=58MPa,试确定截面尺寸h及b。
2.7图示结构杆1与杆2由同一种材料制成，其许用应力[σ]=100MPa。
杆1横截面面积A1=300mm2,杆2横截面面积A2=200mm2，CE=0.5m, ED=1.5m。
试按杆1，杆2的强度确定许可载荷[F]。
2.8杆长，横截面积均相同的两杆，一为钢杆另一为灰铸铁杆。
欲组装成图示等边三角架。
已知杆长=0.5m，杆的横截面积A=400mm2,钢的许用应力【σ】=160MPa，灰铸铁的许用拉应力=30MPa,许用压应力=90MPa。
试问如何安装较为合理？求这时的最大许可载荷[F]。
2.9图示桁架，由圆截面杆1与杆2组成，并在节点A承受外力F=80kN作用。
杆1，杆2的直径分别为d1=30mm和d2=20mm,两杆的材料相同，屈服极限σs=320MPa，安全系数n s=2.0。
试校核桁架的强度。
题2.9图2.10油缸盖与缸体采用6个螺栓连接如图所示。
D=350mm, 油压p=1MPa,若螺栓材料的许用应力【σ】=40MPa，试确定螺栓的内径。
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FN A
脆性0= b
塑性0= s
（2）杆件材料的特性——极限应力0
（3）安全因数 n
许用应力
对塑性材料
（2）纵向纤维互不挤压。 由此得出轴向拉压横截面正应力公式：
----单向受力假定。
FN A
若轴力或横截面积沿轴线变化FN=FN(x), A=A(x)
（11.1）
阶梯杆锥形 杆
FN ( x) ( x) A( x)
(11.2)
P
FN=A
P
P
拉压正应力公式的适用范围： 圣维南原理 轴向拉压单元体的应力分析： 面上的应力：
若沿整个杆件，FN=常数，EA=常数，则 FN l l FN
FN l l EA
（11.5）
EA——杆件的拉压刚度 若沿整个杆件FN或 E，A为分段常数 FN E1,A1
l 的符号与FN相同
E2 ,Байду номын сангаас2
E3 ,A3
FN
l1
l2
l3
FNi li l i Ei Ai
(11.6)
例题
例 题 1
已知：
求
l AC
d 10mm l1 l 2 100mm
P 4KN E 210GPa
P A P
( FN )
2P
l1
P
B l2
C
d
解：画轴力图 AB段轴力: AB段变形：
FN 1 P
P
FN 1l1 Pl1 4 103 10 2 l1 (伸长) 0.0024mm EA EA 3 210 10 10 2 4
E：断裂点
s e P
A
C B
= E t
C’
卸载后再加载曲线
屈服极限提高：冷作硬化
O
p
0
e
卸载曲线
拉伸试验获得的主要材料性能参数： E，P，s， b 塑性材料 >5% 延伸率
l l0 100% l0
脆性材料 <5% 塑性性能与之成 正比
截面收缩率
A0 A 100% A0
通过材料的拉伸、压缩、扭转实验，测定材料的常规力学性能（应力应变曲线、 弹性模量、切变模量、泊松比等）。
低碳钢——塑性材料 两种典型材料 铸铁——脆性材料
1.低碳钢（塑性材料）的拉伸曲线
低碳钢拉伸实验：
低碳钢拉伸曲线的4个阶段、3个特征点 OB：弹性阶段（卸载可逆）
b
A：比例极限P
D E
除集中力作用点附近
2
2
FN A
cos 2 cos2
当=0时，
当=45º时，
FN ,max , 0 A FN ,max , 45 2 2A
2
sin 2 sin cos
剪断！
拉断！ 横截面上 最大
轴向拉压
与轴线成45º斜面上 最大
拉伸
低碳钢 与轴线成45º斜面 剪断！ 铸铁 与轴线垂直
压缩
与轴线成45º斜面
剪断！ 拉断！ 低碳钢的特点：抗拉能力>抗剪能力 （常用于拉杆） 铸铁的特点：抗拉能力<抗剪能力<抗压能力 （常用于压杆）
五、简化的应力——应变曲线
轴向载荷作用下杆件的材料力学
§1 轴向拉压的应力和变形
1.轴向拉压时的应力 F F
外力：沿杆件轴线作用的外力 轴向拉压 分布内力系的 等效
内力：横截面上的轴力FN
横截面上内力的分布如何？
观察实验：杆件拉伸时的变形
FN=A
轴向拉压时的平截面假设： （1）变形前的横截面变形后仍为平面，仍垂直于杆的轴线。
2. 低碳钢的压缩曲线
3. 铸铁（脆性材料）的拉伸曲线 特点：变形总量很小，断口垂直于轴线 无屈服及缩颈，应力与应变近似正比关系 特征点： 拉伸强度极限bt
铸铁压缩曲线 特点：断口沿45º斜面 特征点：压缩强度极限bc 远高于bt
低碳钢、铸铁拉伸、压缩曲线的比较
5. 轴向拉压破坏现象分析 观察拉、压破坏试件的断口方向： 拉伸 低碳钢 与轴线成45º斜面 剪断！ 铸铁 与轴线垂直 与轴线成45º斜面 压缩
例题
例 题 1
P A
BC段轴力:
2P
l1
P
B l2
C
d
FN 2 P
P
( FN )
P
BC段变形：
由于
FNi li l Ei Ai
FN 2l2 Pl2 l2 (实际缩短) 0.0024mm EA EA
l AC l1 l2 0
例题
例 题 2
2.轴向拉压时的变形
y
由广义胡克定律：
x z
FN x , y z x E EA
x
（11.3）
变形仅为沿杆轴的尺寸变化及横向尺寸变化 P P
l 杆件的纵向伸长量
l
FN dx l d (l ) x dx EA l l l
（11.4）
B：弹性极限e （两者很接近）
s e P
=E
A
C B
=E
C’
E=tan BC’：屈服阶段（出现塑 性变形） C：屈服极限s
O
C’D:强化阶段 D：强度极限b ，在C’D段内卸载曲线为弹性直线
b
e:弹性应变 ，p:塑性应变（不可逆的残余应变）
D
E
DE：缩颈阶段（局部收 缩阶段）
长 l, 重量为 W 的直杆 AB ，上端固定，杆的 EA已知，求自重作用下杆中的最大应力及 B点的位移 。
FN
A
W
EA
FN x
B
解：
1. 轴力方程，轴力图
l
W q l
x
W FN ( x) Wx qdx x l
B
Wx
max W A A
FN max W
2. 杆中应力
1、理想弹塑性材料
s
s
2、线性强化材料
E
E
s
s
3、刚塑性材料
s s
4、强化材料，加载
c
n
§3 轴向拉压时的强度条件
断裂 强度失效 变形过大（出现塑性变形） 一点处失效的准则 ——构件中任意一点处的失效，即认为整个构件 失效
轴向拉压杆件的强度取决于：
（1）轴向拉压时杆件的工作应力
FN ( x) Wx ( x) A Al
例题
例 题 2
3. 求B点位移 杆的总伸长量：
FN
A
W q l
W
EA
l
l
0
l Wx FN x dx Wl l dx 0 lEA EA 2 EA
Wl B l 2 EA
B
§2 常温静载下材料的力学性能