轴向载荷作用下杆件的材料力学

剪断！
拉断！ 横截面上 最大
轴向拉压
与轴线成45º斜面上 最大
拉伸
低碳钢 与轴线成45º斜面 剪断！ 铸铁 与轴线垂直
压缩
与轴线成45º斜面
剪断！ 拉断！ 低碳钢的特点：抗拉能力>抗剪能力 （常用于拉杆） 铸铁的特点：抗拉能力<抗剪能力<抗压能力 （常用于压杆）
五、简化的应力——应变曲线
通过材料的拉伸、压缩、扭转实验，测定材料的常规力学性能（应力应变曲线、 弹性模量、切变模量、泊松比等）。
低碳钢——塑性材料 两种典型材料 铸铁——脆性材料
1.低碳钢（塑性材料）的拉伸曲线
低碳钢拉伸实验：
低碳钢拉伸曲线的4个阶段、3个特征点 OB：弹性阶段（卸载可逆）

b
A：比例极限P
D E
FN ( x) Wx ( x) A Al
例题
例 题 2
3. 求B点位移 杆的总伸长量：
FN
A
W q l
W
EA
l
l
0
l Wx FN x dx Wl l dx 0 lEA EA 2 EA
Wl B l 2 EA
B
§2 常温静载下材料的力学性能
2. 低碳钢的压缩曲线
3. 铸铁（脆性材料）的拉伸曲线 特点：变形总量很小，断口垂直于轴线 无屈服及缩颈，应力与应变近似正比关系 特征点： 拉伸强度极限bt
铸铁压缩曲线 特点：断口沿45º斜面 特征点：压缩强度极限bc 远高于bt
低碳钢、铸铁拉伸、压缩曲线的比较
5. 轴向拉压破坏现象分析 观察拉、压破坏试件的断口方向： 拉伸 低碳钢 与轴线成45º斜面 剪断！ 铸铁 与轴线垂直 与轴线成45º斜面 压缩
2.轴向拉压时的变形
y


由广义胡克定律：
x z
FN x , y z x E EA
x
（11.3）
变形仅为沿杆轴的尺寸变化及横向尺寸变化 P P
l 杆件的纵向伸长量
l
FN dx l d (l ) x dx EA l l l
（11.4）
（2）纵向纤维互不挤压。 由此得出轴向拉压横截面正应力公式：
----单向受力假定。
FN A
若轴力或横截面积沿轴线变化FN=FN(x), A=A(x)
（11.1）
阶梯杆锥形 杆
FN ( x) ( x) A( x)

(11.2)
P
FN=A
P
P
拉压正应力公式的适用范围： 圣维南原理 轴向拉压单元体的应力分析： 面上的应力：
轴向载荷作用下杆件的材料力学
§1 轴向拉压的应力和变形
1.轴向拉压时的应力 F F
外力：沿杆件轴线作用的外力 轴向拉压 分布内力系的 等效
内力：横截面上的轴力FN
横截面上内力的分布如何？
观察实验：杆件拉伸时的变形

FN=A
轴向拉压时的平截面假设： （1）变形前的横截面变形后仍为平面，仍垂直于杆的轴线。
除集中力作用点附近


2



2
FN A
cos 2 cos2
当=0时，
当=45º时，
FN ,max , 0 A FN ,max , 45 2 2A
2
sin 2 sin cos
例 题 1
已知：
求
l AC
d 10mm l1 l 2 100mm
P 4KN E 210GPa
P A P
( FN )
2P
l1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
P
B l2
C
d
解：画轴力图 AB段轴力: AB段变形：
FN 1 P
P
FN 1l1 Pl1 4 103 10 2 l1 (伸长) 0.0024mm EA EA 3 210 10 10 2 4
E：断裂点
s e P
A
C B
= E t
C’
卸载后再加载曲线
屈服极限提高：冷作硬化

O
p
0
e

卸载曲线
拉伸试验获得的主要材料性能参数： E，P，s， b 塑性材料 >5% 延伸率
l l0 100% l0
脆性材料 <5% 塑性性能与之成 正比
截面收缩率
A0 A 100% A0
长 l, 重量为 W 的直杆 AB ，上端固定，杆的 EA已知，求自重作用下杆中的最大应力及 B点的位移 。
FN
A
W
EA
FN x
B
解：
1. 轴力方程，轴力图
l
W q l
x
W FN ( x) Wx qdx x l
B
Wx
max W A A
FN max W
2. 杆中应力
若沿整个杆件，FN=常数，EA=常数，则 FN l l FN
FN l l EA
（11.5）
EA——杆件的拉压刚度 若沿整个杆件FN或 E，A为分段常数 FN E1,A1
l 的符号与FN相同
E2 ,A2
E3 ,A3
FN
l1
l2
l3
FNi li l i Ei Ai
(11.6)
例题
1、理想弹塑性材料

s
s
2、线性强化材料


E
E
s

s
3、刚塑性材料

s s



4、强化材料，加载

c
n

§3 轴向拉压时的强度条件
断裂 强度失效 变形过大（出现塑性变形） 一点处失效的准则 ——构件中任意一点处的失效，即认为整个构件 失效
轴向拉压杆件的强度取决于：
（1）轴向拉压时杆件的工作应力
B：弹性极限e （两者很接近）
s e P
=E
A
C B
=E
C’
E=tan BC’：屈服阶段（出现塑 性变形） C：屈服极限s

O

C’D:强化阶段 D：强度极限b ，在C’D段内卸载曲线为弹性直线

b
e:弹性应变 ，p:塑性应变（不可逆的残余应变）
D
E
DE：缩颈阶段（局部收 缩阶段）
FN A
脆性0= b
塑性0= s
（2）杆件材料的特性——极限应力0
（3）安全因数 n
许用应力
对塑性材料

例题
例 题 1
P A
BC段轴力:
2P
l1
P
B l2
C
d
FN 2 P
P
( FN )
P
BC段变形：
由于
FNi li l Ei Ai
FN 2l2 Pl2 l2 (实际缩短) 0.0024mm EA EA
l AC l1 l2 0
例题
例 题 2