八年级数学上册 第1章 勾股定理 1.3 勾股定理的应用作业课件 (新版)北师大版
2024八年级数学上册第一章勾股定理3勾股定理的应用习题课件新版北师大版
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10. 【新考法·对称法】如图是长方体的玻璃鱼缸，假设其
长 AD ＝80 cm，高 AB ＝60 cm，水深 AE ＝40 cm.在水
面上紧贴内壁点 G 处有一鱼饵，点 G 在水面线 EF 上，
且 EG ＝60 cm，一小虫想从鱼缸外的点 A 沿壁爬进鱼缸
内点 G 处吃鱼饵，求小虫爬行的最短路程.(鱼缸厚度忽
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150 cm.
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7. 【新考向·数学文化】我国古代有这样一道数学问题：
“枯木一根直立地上，高三丈，周八尺，有葛藤自根缠绕
而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图
所示，把枯木看作一个圆柱体，该圆柱的高为3丈(一丈等
于10尺)，底面周长为8尺，有葛藤自点 A 处缠绕而上，绕
－ AE )＝60＋(60－40)＝80 (cm)， EG ＝60 cm，
所以A'G2＝A'E2＋ EG2＝10 000.
所以A'G＝100 cm.即小虫爬行的最短路程为100 cm.
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11. 【社会热点情境·噪声影响】如图，公路 MN 和公路 PQ
在点 P 处交会，在公路 PQ 上的点 A 处有一所学校，点 A
到公路 MN 的距离 AB ＝80 m，现有一拖拉机在公路 MN
上以18 km/h的速度沿 PN 方向行驶，拖拉机行驶时周围
北师大版八年级数学上册《1-3 勾股定理的应用》课堂教学课件PPT初中公开课
NEPQR12北师大版 数学 八年级 上册在同一平面内，两点之间,线段最短从行政楼A 点走到教学楼B 点怎样走最近？教学楼行政楼BA你能说出这样走的理由吗？导入新知素养目标3.培养学生的空间想象力，并增强数学知识的应用意识.2. 运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题.1. 灵活会用勾股定理求解立体图形上两点之间的最短距离问题.以小组为单位,研究蚂蚁在圆柱体的A 点沿侧面爬行到B 点的问题.讨论 1.蚂蚁怎样沿圆柱体侧面从A 点爬行到B 点？2.有最短路径吗？若有，哪条最短？你是怎样找到的？BA我要从A 点沿侧面爬行到B 点，怎么爬呢？大家快帮我想想呀！知识点 1BAdABA'ABBAO想一想蚂蚁走哪一条路线最近？A'蚂蚁A→B的路线若已知圆柱体高为12 cm ，底面周长为18 cm ，则:BArO12侧面展开图1218÷2AB小结：立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线.A'A'AB 2=122+(18÷2)2 所以AB =15.例1 有一个圆柱形油罐，要以A 点环绕油罐建梯子，正好建在A 点的正上方点B 处，问梯子最短需多少米?(已知油罐的底面半径是2m ，高AB 是5m ，π取3）ABABA'B'解：油罐的展开图如图，则AB '为梯子的最短距离. 因为AA '=2×3×2=12, A 'B '=5m ,所以AB '=13m . 即梯子最短需13米.素养考点 1利用勾股定理解决圆柱体的最短路线问题数学思想：立体图形平面图形转化展开如图所示,一个圆柱体高20cm ,底面半径为5cm ,在圆柱体下底面的A 点处有一只蜘蛛,它想吃到上底面与A 点相对的B 点处的一只已被粘住的苍蝇,这只蜘蛛从A 点出发,沿着圆柱体的侧面爬到B 点,最短路程是多少?(π取3)变式训练解:如图所示,将圆柱侧面沿AC 剪开并展平,连接AB ,则AB 的长即为蜘蛛爬行的最短路程.根据题意得AC =20 cm ,BC =12×2×π×5=15(cm ).在△ABC 中,∠ACB =90°,由勾股定理得AB 2=BC 2+AC 2=152+202=252,所以AB =25 cm ,最短路程是25cm .B牛奶盒A例2 学习了最短问题，小明灵机一动，拿出了牛奶盒，把小蚂蚁放在了点A 处，并在点B 处放上了点儿火腿肠粒，你能帮小蚂蚁找到完成任务的最短路程吗？6cm8cm 10cm素养考点 2利用勾股定理解决长方体的最短路线问题长方体爬行路径A BFEH GA BCDE FGH前（后）上（下）A BCDE FGHB CGFE H A BCDE FGH右（左）上（下）前（后）右（左）B CAE F G分析BB 18AB 2610B 3AB 12=102 +（6+8）2=296AB 22= 82 +（10+6）2=320AB 32= 62 +（10+8）2=360因为360＞320＞296所以AB 1 最短.A B点A和点B分别是棱长为10cm的正方体盒子上相对的两点,一只蚂蚁在盒子表面由A处向B处爬行,所走最短路程的平方是多少？前上A BAB左上AB前右变式训练ABC解:如图所示在Rt△ABC中,利用勾股定理可得，AB2=AC2+BC2=20 2+102=500101010所以AB2=500.李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD 边和BC 边是否分别垂直于底边AB ，但他随身只带了卷尺.（1）你能替他想办法完成任务吗？解:连接对角线AC ，只要分别量出AB 、BC 、AC 的长度即可.AB 2+BC 2=AC 2△ABC 为直角三角形知识点2（2）量得AD长是30cm，AB长是40 cm，BD长是50 cm. AD边垂直于AB边吗？解:AD2+AB2=302+402=502=BD2，得∠DAB=90°，AD边垂直于AB边.（3）若随身只有一个长度为20 cm的刻度尺，能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？解:在AD上取点M,使AM=9,在AB上取点N使AN=12,测量MN是否是15，是，就是垂直；不是，就是不垂直.例 如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB =DC =8m ，AD =BC =6m ，AC =9m ，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？解：因为AB =DC =8m ，AD =BC =6m ， 所以AB 2+BC 2=82+62=64+36=100. 又因为AC 2=92=81，所以AB 2+BC 2≠AC 2，∠ABC ≠90°， 所以该农民挖的不合格．素养考点 1利用勾股定理的逆定理解答测量问题有一个高为1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边壁的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5米，问这根铁棒最长是多少米？解:图形可简化为左下图，设伸入油桶中的长度为 x 米,即AB =x 米，而AC =2米，BC =1.5米， 有x 2=1.52+22 ,x =2.5故，最长是2.5+0.5=3(米)答:这根铁棒的最长3米，最短2米.故，最短是1.5+0.5=2(米)当最短时:x =1.5ACB最短是多少米？变式训练巩固练习如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC 水平放置，则刚好与AB 一样长.已知滑梯的高度CE=3m ，CD =1m ，试求滑道AC 的长.故滑道AC 的长度为5m .解：设滑道AC 的长度为x m ，则AB 的长也为x m ，AE 的长度为（x -1）m .在Rt △ACE 中，∠AEC =90°，由勾股定理得AE 2+CE 2=AC 2，即（x -1）2+32=x 2，解得x =5.例知识点 3探究新知甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先出发，他以6km/h 的速度向正东行走，1小时后乙出发，他以5km/h 的速度向正北行走.上午10：00，甲、乙两人相距多远？解:如图:已知A 是甲、乙的出发点，10:00甲到达B 点,乙到达C 点.则:AB =2×6=12(千米),AC =1×5=5(千米).在Rt △ABC 中,所以BC =13(千米)即甲乙两人相距13千米.BC 2=AC 2+AB 2 =52+122=169=132巩固练习解：连接BD .在Rt △ABD 中,由勾股定理得 BD 2=AB 2+AD 2，所以BD =5cm .又因为CD =12cm ，BC =13cm ,所以BC 2=CD 2+BD 2，所以△BDC 是直角三角形.所以S 四边形ABCD =S Rt △BCD -S Rt △ABD =12BD •CD -12AB •AD =12 ×(5×12-3×4)=24 (cm 2)．CBA D 例 如图，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，已知AD =3cm ，AB =4cm ，CD =12cm ，BC =13cm ，求四边形ABCD 的面积.素养考点 1利用勾股定理的逆定理解答面积问题探究新知如图，在四边形ABCD 中，AC ⊥DC ，△ADC 的面积为30 cm 2，DC =12 cm ，AB =3cm ，BC =4cm ，求△ABC 的面积.解:因为S △ACD =30 cm 2，DC =12 cm. 所以AC =5 cm.又因为AB 2+BC 2=32+42=52=AC 2,所以△ABC 是直角三角形, ∠B 是直角. 所以D C BA 变式训练S △ACD =12CD •AC =12×12× AC =30（ cm 2 ）S △ABC =12AB •BC =12×3× 4=6（ cm 2 ）巩固练习如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为____cm（杯壁厚度不计）．解析：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离， A′B=A′2+B2=162+122=故答案为20．2020（cm）连接中考基础巩固题1.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他D们摆成两个直角三角形，其中摆放方法正确的是（ ）A. B.C. D.2.如图是医院、公园和超市的平面示意图，超市在医院的南偏东25°的方向，且到医院的距离为300 m ，公园到医院的距离为400 m ，若公园到超市的距离为500 m ，则公园在医院的 ( )A.北偏东75°的方向上B.北偏东65°的方向上C.北偏东55°的方向上D.无法确定B 基础巩固题3.如图，某探险队的A 组由驻地O 点出发，以12km/h 的速度前进，同时，B 组也由驻地O 出发，以9km/h 的速度向另一个方向前进，2h 后同时停下来，这时A ，B 两组相距30km ．此时，A ，B 两组行进的方向成直角吗？请说明理由.解：因为出发2小时，A 组行了12×2=24(km )， B 组行了9×2=18(km )，又因为A ，B 两组相距30km ，且有242+182=302，所以A ，B 两组行进的方向成直角．基础巩固题AO B4.在城市街路上速度不得超过70千米/时，一辆小汽车某一时刻行驶在路边车速检测仪的北偏东30°距离30米处，过了2秒后行驶了50米，此时小汽车与车速检测仪间的距离为40米. 问：2秒后小汽车在车速检测仪的哪个方向?这辆小汽车超速了吗?车速检测仪小汽车30米30°北60°解：小汽车在车速检测仪的南偏东60°方向或北偏西60°方向.25米/秒=90千米/时>70千米/时所以小汽车超速了.2秒后50米40米基础巩固题如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13,求四边形ABCD的面积.分析：连接AC，把四边形分成两个三角形.先用勾股定理求出AC的长度，再利用勾股定理的逆定理判断△ACD是直角三角形.A DB C341312能力提升题解：连接AC .在Rt △ABC 中，AC =A 2+B 2=32+42=5,在△ACD 中，AC 2+CD 2=52+122=169=AD 2，所以△ACD 是直角三角形，且∠ACD =90°.所以S 四边形ABCD =S Rt △ABC +S Rt △ACD =6+30=36.能力提升题A DBC341312如图，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒2cm的速度移动，点Q从点C沿CB边向点B以每秒1cm的速度移动，如果同时出发，则过3s时，求PQ的长．拓广探索题PC BAQ解：设AB 为3x cm ，BC 为4x cm ，AC 为5x cm ，因为周长为36cm ，即AB +BC +AC =36cm ，所以AB =9cm ，BC =12cm ，AC =15cm.因为AB 2+BC 2=AC 2，所以△ABC 是直角三角形，过3秒时，BP =9-3×2=3(cm )，BQ =12-1×3=9(cm )，在Rt △PBQ 中，由勾股定理得PQ =32+92=310 (cm ).拓广探索题所以3x +4x +5x =36，解得x =3.PC BAQ勾股定理及逆定理的应用应用最短路径问题方法认真审题,画出符合题意的图形,熟练运用勾股定理及其逆定理来解决问题解决不规则图形面积问题测量问题课堂小结作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习课后作业谢谢观看 Thank You。
勾股定理的应用教学课件北师大版八年级数学上册
再见
1．如图，在棱长为10 cm的正方体的一个顶点A处有一只蚂蚁，现 要向顶点B处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是1 cm/s，且速度保持不 变，问蚂蚁能否在20 s内从A爬到B？ 解：如图，在Rt△ABC中： ∵500＞202 ． ∴不能在20 s内从A爬到B．
典型例题
2．如图，长方体的高为3 cm，底面是正方形，边长为2 cm.现有绳子从点D 出发，沿长方体表面到达点B′，问：绳子最短是多少厘米？
典型例题
5． 如图,长方形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折
叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于
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.
随堂练习
1．有一个边长为1米的正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这
个洞口，则圆形盖的半径至少为
1 2
米．
2．如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固
有 C 90 .
3．已知∣x-12∣+(y-13)2+z2-10z+25=0，试判断以 x、y 、z为三边的三角
形的形状.
直角三角形
探究新知
探究圆柱上两点之间最短距离
如图：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物
在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A
处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？
第一章勾股定理
3.勾股定理的应用
学习目标
1．能运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的 实际问题 2．能在实际问题中构造直角三角形，进一步深化对图形 的理解和辨析能力
复习回顾
1．在△ABC中，a、b、c分别为其三边，若∠C=90°，则
有 a2 b2 c2.
2.在△ABC中，a、b、c分别为其三边，若a2+b2=c2，则
第1章第1课时 探索勾股定理PPT课件(北师大版)
2．(2018·山东滨州)在直角三角形中，若勾为 3，股
为 4，则弦为( A )
A．5
B．6
C．7
D．8
3．在一个直角三角形中，两直角边长分别为 3 和 4，
下列说法正确的是( C )
A．斜边长为 25
B．该三角形的周长为 25
C．斜边长为 5
D．该三角形的面积为 20
4．如图，在由边长均为 1 个单位长度的小正方形组 成的网格中，点 A，B 都是格点，则线段 AB 的长为( A )
1．下列说法正确的是( D ) A．若 a，b，c 是△ABC 的三边，则 a2＋b2＝c2 B．若 a，b，c 是 Rt△ABC 的三边，则 a2＋b2＝c2 C．若 a，b，c 是 Rt△ABC 的三边，∠A＝90°， 则 a2＋b2＝c2 D．若 a，b，c 是 Rt△ABC 的三边，∠C＝90°，则 a2＋b2＝c2
变式 3 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一 个男孩头顶上方 3 km 处，过了 20 s，飞机距离这个男孩 头顶 5 km(如图)．这一过程中飞机飞行的速度是每秒多 少千米？
解：在 Rt△ABC 中，BC2＝52－32＝16. 因为 BC＞0，所以 BC＝4(km)． 4÷20＝0.2(km/s)． 答：这一过程中飞机飞行的速度是每秒 0.2 千米．
A．5 C．7
B．6 D．25
5．已知在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A，∠B， ∠C 的对应边分别为 a，b，c.
(1)若 a＝3，b＝4，则 c＝____5____； (2)若 a＝40，b＝9，则 c＝___4_1____； (3)若 a＝6，c＝10，则 b＝____8____； (4)若 c＝25，b＝15，则 a＝___2_0____．
2022秋八年级数学上册 第一章 勾股定理1 探索勾股定理第2课时勾股定理的验证与应用课件北师大版
*8.(中考·绍兴)如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠 在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7 m，顶端距离地 面2.4 m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙 时，顶端距离地面2 m，则小巷的宽度为( )
A．0.7 m B．1.5 m C．2.2 m D．2.4 m
【点拨】如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，BC＝0.7 m，AC＝2.4 m， 所以AB2＝0.72＋2.42＝6.25. 在Rt△A′BD中，∠A′DB＝90°，A′D＝2 m， 所以BD2＋22＝6.25，即BD2＝2.25. 所以BD＝1.5 m. 所以CD＝BC＋BD＝0.7＋1.5＝2.2(m)． 【答案】C
3．(2019·咸宁)勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之 一”，我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周 髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为 “赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学家大会选它作 为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是( B )
4．在Rt△ABC中，a，b是两直角边，c为斜边，如果已知a， b，那么c2＝__a_2＋__b_2____；如果已知a，c，那么b2＝ __c_2_－__a_2___；如果已知b，c，那么a2＝__c_2_－__b_2 ___．当 不能直接运用勾股定理求线段长度时，则设所求线段的 长度为x，并选择一个合适的直角三角形，根据勾股定理， 列出含___x_____的方程．
6．(中考·荆州)《九章算术》中的“折竹抵地”问题(如图)：
今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？
意思是：一根竹子，原高一丈(一丈＝10尺)，一阵风将
竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，
问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度
北师版八年级数学上册作业课件(BS) 第一章 勾股定理 勾股定理的应用
8．(2020·锦州期末)如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦9米处(车 尾到大厦墙面)，升起云梯到火灾窗口，已知云梯长15米，云梯底部距地面2米，问： 发生火灾的住户窗口距离地面多高？
解：∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°.在Rt△ABC中，根据勾股定理，得BC2＝AB2 －AC2＝152－92＝144，∴BC＝12米，∴BD＝12＋2＝14(米).答：发生火灾的住户窗 口距离地面14米
A．5≤a≤2 B．5≤a≤13 C．12≤a≤13 D．12≤a≤15
11．(2020·迎泽月考)一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形 DEFH的边长为2米，∠B＝90°，AB＝8米，BC＝6米．当正方形DEFH运动到什么 位置，即当AE＝( C )米时，有DC2＝AE2＋BC2.
数学 八年级上册 北师版
第一章 勾股定理
1．3 勾股定理的应用
1．如图，正方体的边长为1，一只蚂蚁从正方体的一个顶点A爬行到另一个顶点B， 则蚂蚁爬行的最短距离的平方是( ) D
A.2 B．3 C．4 D．5
2．(2020·沈河期中)如图，圆柱的底面周长为16，BC＝12，动点P从A点出发，沿 着圆柱的侧面移动到BC的中点S，则移动的最短距离为( A )
17．为筹备元旦晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色涂成白色，然后缠绕 彩纸(彩纸宽度忽略不计)．如图，已知圆筒高108 cm，其截面周长为36 cm，如果在 表面上缠绕彩纸4圈，应剪多长的彩纸？
解：将圆筒展开，可得长方形，整个彩纸也随之分成相等的4段，如图，只需求出 每一段所需的彩纸的长度AC即可，在Rt△ABC中，AB＝36 cm，BC＝108÷4＝ 27(cm)，由勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2＝362＋272＝2 025，所以AC＝45 cm，故 整个彩纸的长为45×4＝180(cm)
2017_2018学年八年级数学上册第一章勾股定理3勾股定理的应用课件新版北师大版
课堂讲练
解：如答图1-3-3所示，连接AC， 在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=72+242=625，
在△CAD中，AD2+CD2=400+225=625=AC2，
所以△ADC为直角三角形. 所以∠ADC=90°. 所以S四边形ABCD=S△BAC+S△ADC= ×7×24+ AB·BC+ AD·DC=
课后作业
5. 如图1-3-9所示，一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的
长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所行的最
短路线的长是多少？ 解：如答图1-3-5①所示， AB2=AC2+BC2=32+(3+8)2=130.
如答图1-3-5②所示，
AB2=AC2+BC2=62+82=100.
因为130>100，AB=10,所以它所行的最短线路的现下端刚好接触地面，你能帮
他算出来吗？若能，请你计算出AC的长. 解：设AC=x m，则AB=(x+1)m， 在Rt△ACB中，由勾股定理，得 （x+1）2=x2+25.解得x=12.
答：旗杆的高AC为12 m.
课堂讲练
模拟演练
1. 如图1-3-4，圆柱形无盖玻璃容器，高18 cm，底面周
课后作业
6. 如图1-3-10是某沿江地区交通平面图，其中，MN⊥ON，
OP⊥QP. 为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M，
O，Q三个城市的沿江高速公路，已知该沿江高速公路的
建设成本是100万元/km，那么该沿江高速公路的造价预
计是多少？
课后作业
解：由题意，得MO2=MN2+NO2，解得MO=50（km）.
八年级数学上册 第一章 勾股定理 3 勾股定理的应用例题与讲解素材 (新版)北师大版
3 勾股定理的应用1．长方体(或正方体)面上的两点间的最短距离长方体(或正方体)是立体图形，但它的每个面都是平面．假设计算同一个面上的两点之间的距离比较容易，假设计算不同面上的两点之间的距离，就必须把它们转化到同一个平面内，即把长方体(或正方体)设法展开成为一个平面，使计算距离的两个点处在同一个平面中，这样就可以利用勾股定理加以解决了．所以立体图形中求两点之间的最短距离，一定要审清题意，弄清楚到底是同一平面中两点间的距离问题还是异面上两点间的距离问题．谈重点 长方体外表上两点间最短距离因为长方体的展开图不止一种情况，故对长方体相邻的两个面展开时，考虑要全面，不要有所遗漏．不过要留意展开时的多种情况，虽然看似很多，但由于长方体的对面是相同的，所以归纳起来只需讨论三种情况——前面和右面展开，前面和上面展开，左面和上面展开，从而比较取其最小值即可．【例1－1】 如图①是一个棱长为3 cm 的正方体，它的6个外表都分别被分成了3×3的小正方形，其边长为1 cm.现在有一只爬行速度为2 cm/s 的蚂蚁，从下底面的A 点沿着正方体的外表爬行到右侧外表上的B 点，小明把蚂蚁爬行的时间记录了下来，是2.5 s ．经过简短的思考，小明先是脸上露出了惊讶的表情，然后又露出了欣赏的目光．你知道小明为什么会佩服这只蚂蚁的举动吗？解：如图②，在Rt△ABD 中，AD ＝4 cm ，BD ＝3 cm.由勾股定理，AB 2＝BD 2＋AD 2＝32＋42＝25，AB ＝5 cm ，∴蚂蚁的爬行距离为5 cm.又知道蚂蚁的爬行速度为2 cm/s ，∴它从点A 沿着正方体的外表爬行到点B 处，需要时间为52＝2.5 s. 小明通过思考、判断，发现蚂蚁爬行的时间恰恰就是选择了这种最优的方式，所以他感到惊讶和佩服．【例1－2】 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的外表爬到对角顶点C 1处(三条棱长如下列图)，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？解：蚂蚁由A点沿长方体的外表爬行到C1点，有三种方式，分别展成平面图形如下：如图①，在Rt△ABC1中，AC21＝AB2＋BC21＝42＋32＝52＝25.故AC1＝5.如图②，在Rt△ACC1中，AC21＝AC2＋CC21＝62＋12＝37.如图③，在Rt△AB1C1中，AC21＝AB21＋B1C21＝52＋22＝29.∵25＜29＜37，∴沿图①的方式爬行路线最短，最短的路线是5.点技巧巧展长方体求解此类问题时只需对长方体进行局部展开，画出局部的展开图，假设将长方体全部展开，不仅没有必要反而会扰乱视线．2．圆柱体(或圆锥体)面上的两点间的最短距离圆柱体(或圆锥体)是立体图形，从其外表看两点之间的连线绝大局部是曲线，那么怎样确定哪一条是最短的呢？解决问题的方法是将圆柱(或圆锥)的侧面展开，转化为平面图形，应用勾股定理解决，而不能盲目地凭感觉来确定．【例2】如图①所示，一只蚂蚁在底面半径为20 cm，高为30π cm的圆柱下底的点A 处，发现自己正上方圆柱上边缘的B处有一只小昆虫，便决定捕捉这只小昆虫，为了不引起这只小昆虫的注意，它成心不走直线，而绕着圆柱，沿一条螺旋路线，从背后对小昆虫进行突然袭击，结果蚂蚁偷袭成功，得到了一顿美餐．根据上述信息，请问蚂蚁至少爬行多少路程才能捕捉到小昆虫？分析：解此题的关键是把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短和勾股定理作答．解：假设将圆柱体的侧面沿AB剪开铺平如图②，那么对角线AB即为蚂蚁爬行的最短路线．在Rt△ACB中，AC＝40π cm，BC＝30π cm.由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝(40π)2＋(30π)2＝(50π)2，∴AB＝50π cm.∴蚂蚁至少爬行50π cm才能捕捉到小昆虫．谈重点圆柱体两点间的最短距离此题文字表达较多，要求在阅读的根底上提炼有用的信息，具体解题时先将圆柱沿AB 剪开，将侧面展开成一矩形，会发现对角线AB即为蚂蚁爬行的最短路线，再运用勾股定理即可求得．3．生活中两点间的最短距离用勾股定理解决实际问题的关键是从实际问题中构建数学模型——直角三角形，再正确利用两点之间线段最短解答．【例3】如图①是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为5 dm,3 dm和1 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点的最短路程是多少？分析：由于蚂蚁是沿台阶的外表由A爬行到B，故需把三个台阶展开成平面图形(如图②)．解：将台阶展开成平面图形后，可知AC＝5 dm，BC＝3×(3＋1)＝12 dm，∠C＝90°.在Rt△ABC中，∵AB2＝AC2＋BC2，∴AB2＝52＋122＝132，∴AB＝13 dm.故蚂蚁爬到B点的最短路程是13 dm.4．如何正确利用勾股定理及其逆定理解决生活中的问题利用勾股定理及其逆定理解决生活中的实际问题，重要的是将实际问题转化成数学模型(直角三角形模型)，将实际问题中的“数〞转化为定理中的“形〞，再转化为“数〞．解题的关键是深刻理解题意，并画出符合条件的图形．解决几何体外表上两点之间的最短距离问题的关键是要设法把立体图形转化为平面图形，具体步骤是：(1)把立体图形展成平面图形；(2)确定点的位置；(3)确定直角三角形；(4)分析直角三角形的边长，用勾股定理求解．【例4】 如图①，圆柱形玻璃容器的高为18 cm ，底面周长为60 cm ，在外侧距下底1 cm 的点S 处有一只蜘蛛，在与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口1 cm 的点F 处有一只苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛需要爬行的最短距离是__________cm.解析：将圆柱的侧面展开得到它的侧面展开图(如图②)，CD ∥AB ，且AD ＝BC ＝12底面周长，BS ＝DF ＝1 cm.那么蜘蛛所走的最短路线的长度即为线段SF 的长度．过S 点作SM ⊥CD ，垂足为M ，由条件知，SM ＝AD ＝12×60＝30 cm ，MC ＝SB ＝DF ＝1 cm ，所以MF ＝18－1－1＝16 cm ，在Rt△MFS 中，由勾股定理得SF 2＝162＋302＝342，所以SF ＝34 cm.故蜘蛛需要爬行的最短距离是34 cm.答案：345．勾股定理与方程相结合的应用方程思想是一种重要的数学思想．所谓方程思想是指从分析问题的数量关系入手，将问题中的量和未知量之间的数量关系通过适当设元建立起方程(组)，然后通过解方程(组)使问题得到解决的思维方式．而勾股定理反映的直角三角形三边的关系正是构建方程的根底．故勾股定理的许多问题的解决都要跟方程相结合．方程思想是勾股定理中的重要思想．【例5】 如图，有一张直角三角形状纸片ABC ，两直角边AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？解：设CD＝x cm，由题意知DE＝x cm，BD＝(8－x) cm，AE＝AC＝6 cm，在Rt△ABC中，由勾股定理得AB＝AC2＋BC2＝10 cm.于是BE＝10－6＝4 cm.在Rt△BDE中，由勾股定理得42＋x2＝(8－x)2，解得x＝3.故CD的长为3 cm.。
北师大版八年级数学上册第一章全部课件
勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的 关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼 图，补拼是要无重叠，叠合是要无空隙；而用面积法 验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、 正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从 而达到验证的目的．
（来自《点拨》）
知1－练
1 用四个边长均为a，b，c的直角三角板，拼成如
（来自《典中点》）
知2－导
知识点 2 勾股定理的应用
例2 我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一 辆敌方汽车在公路上疾驰.他赶紧拿出红外测距仪，测得 汽车与他相距400m，10s后，汽车与他相距500m,你能 帮小王计算敌方汽车的速度吗？
分析：根据题意，可以画出右图， 其中点A表示小王所在位置， 点C、点B表示两个时刻敌方 汽车的位置.
弦 勾
股 图1
北师大版八年级数学上册
C A
B C
图2-1
A
B
图2-2
(图中每个小方格代表一个单位面积)
知1－导
(1)观察图2-1 正方形A中含有 9 个 小方格，即A的面积 是 9 个单位面积. 正方形B的面积是 9 个单位面积.
正方形C的面积是 18 个单位面积.
北师大版八年级数学上册
C A
B C
（来自《点拨》）
知1－讲
总结
勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的 关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼 图，补拼是要无重叠，叠合是要无空隙；而用面积法 验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、 正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从 而达到验证的目的．
（来自《点拨》）
知1－讲
1 课堂讲解 2 课时流程
八年级数学上册1《勾股定理的应用》课件 2022年北师大版八上数学PPT+
9．一个木工师傅测量了一个等腰三角形木板的腰、底边和高的长，
但他把这三个数据与其他的数据弄混了，请你帮助他找出来为( C )
A．13，12，12
B．12，12，8
C．13，10，12
D．5，8，4
10．如图，王大伯家屋后有一块长12 m，宽8 m的矩形空地，他在以
长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴A处的一棵树上，
思路探究:除了截短法和延长法外,在等腰三角形中,我们通常作底边的中线或高或顶角平分 线,以便使用等腰三角形的性质(三线合一).
第一章 三角形的证明 复习
回顾 思考1
“原名〞 知多少
公理:公认的真命题称为公理(axiom). 证明:除了公理外,其它真命题的正确性都通过推理的方法证实.
推理的过程称为证明. 定理:经过证明的真命题称为定理(theorem). 推论:由一个公理或定理直接推出的定理,叫做这个公理或定理的推论(corollary).推 论可以当作定理使用.
第8题图
第9题图
15．(8分)在一棵树的10 m高处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树 20 m的池塘，而另一只爬向树顶后直扑池塘，如果两只猴子经过的距 离相等，问这棵树有多高？ 解：如图，点B为树顶，D处有两只猴子，那么AD＝10 m，C为池塘， 那么AC＝20 m．设BD的长为x m，那么树的高度为(10＋x) m．因为 AC＋AD＝BD＋BC，所以BC＝20＋10－x＝(30－x)m.在△ACB中， ∠A＝90°，所以AC2＋AB2＝BC2.即202＋(10＋x)2＝(30－x)2，解得 x＝5，所以x＋10＝5＋10＝15，即这棵树高为15 m
结论4: 等腰三角形腰上的高线与底边的夹角等于顶 角的一半.
结论5:等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离 之和等于一腰上的高.
八年级数学上册第1章勾股定理1探索勾股定理第2课时勾股定理的验证及简单应用预学新版北师大版
长分别是 a ， b ， c ，将它们拼成如图②的大正方形.
1
2
3
4
(1)观察：图②中，大正方形的面积可以用( a ＋ b )2表示，也
可以用含 a ， b ， c 的代数式表示为 2 ab ＋ c2 ，那么可
以得到等式： ( a ＋ b )2＝2 ab ＋ c2 .整理后，得到 a ，
解： (2)如图.(答案不唯一)
1
2
3
4
知识点1
验证勾股定理
如图是边长为1的正方形网格，下面是勾股定理的探索与
验证过程，请补充完整：
因为 S1＝
4
＝
S3.
)2＋(
BC
所以 S1＋ S2
即(
笔记：
AC
， S2＝
9
， S3＝ 13
)2＝(
AB
)2.
，
变式1【教材P7读一读变式】意大利著名画家达·芬奇用如图
的面积.
解： 根据勾股定理得，斜边长为10 cm，
所以圆的半径为5 cm.所以 S圆＝π×52＝25π(cm2).
1
2
1. 勾股定理的验证方法很多，有测量法、数格子法、割补法
面积
(拼图法)、面积法(通过
的不同表示方法得到验
证，也叫等面积法或等积法)等.
1
2
3
4
直角
2. 勾股定理的适用范围仅限于
所示的方法证明了勾股定理.图①中的空白部分是由两个正
方形和两个全等的直角三角形组成的.若设图①中空白部分
的面积为 S1，图③中空白部分的面积为 S2，则下列表示 S1，
S2的等式成立的是( B )
北师大版八年级上册1.3勾股定理的应用 课件(共15张ppt)
试一试
中国人民的聪明智 慧真的让人叹服！
例3 在我国古代数学著作《九章算术》中记载 了一道有趣的问题，“今有池方一丈，葭生其中央， 出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各 几何？”这个问题的意思是：有一个水池，水面是 一个边长为10尺的正方形.在水池正中央有一根新生 的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向 岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池 的深度和这根芦苇的长度各为多少？
解：设水池的深度为x尺，则芦苇的长度为
x+1尺。由勾股定理得
5
x2 +52=(x+1)2 x2 +25= x2+2x+1
x x+1
24= 2x
x=12
x+1=13（尺）
答：水池的深度为12尺，芦苇的长度为13尺
小试牛刀
练习2
如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水 平放置，则刚好与AB一样长。已知滑梯 的高度ＣＥ＝３ｍ，ＣＤ＝１ｍ，试求滑 道ＡＣ的长
（2）量得AD长是30厘米，AB 长是40厘米，BD长是50厘米。 AD边垂直于AB边吗？
（3)如果李叔叔随身只有一个长 度为20厘米的刻度尺，能有办法 检验AD边是否垂直于AB边吗？ 边BC与边AB呢？
议一议
勾股定理与它的逆定理在应用上有什么区别？
勾股定理主要应用于在直角三角形中求线段 的长度，甚至周长或面积。
如果将圆柱侧面剪开展开成 一个长方形,从A点到B 点的最短路 线是什么?你画对了吗?
例题解析
h 12
C
B
A
解：由题意得展开图，知AB即为最短路径，其中 AC 12, BC 1 18 9 2 在RtABC 中，有 ＡＣ２＋ＢＣ２＝１２２＋９２＝２２５＝ＡＢ２ ＡＢ＝１５ 故最短路径是15cm。
1.1验证勾股定理(第2课时)(教学课件)-2024-2025学年八年级数学上册(北师大版)
段丈量,那么怎样才能得到关于天地的高度呢?"
商高回答说:"数的产生来源于对方和圆这些形体的认识.其中有一条原理:当直角三角形的一条
直角边'勾'等于3,另一条直角边'股'等于4的时候,那么它的斜边'弦'就必定是5.
八年级北师大版数学上册
第一章
1.1 探索勾股定理
第二课时
验证勾股定理
勾股定理
学习目标
1.掌握用面积法验证勾股定理，并能应用勾股定理解决一
些实际问题.（重点）
2.学习勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特
殊到一般的思想.（重点，难点）
情景导入
中国最早的一部数学著作--《周髀算经》的开章,记载着一段周公向商高请教数学知识的对话:
P点，连BP.
则AP＋BP＝AP＋PB′＝AB′，
易知P点即为到点A，B距离之和最短的点．
过点A作AE⊥BB′于点E，
则AE＝A1B1＝8km，B′E＝AA1＋BB1＝2＋4＝6(km)．
由勾股定理，得B′A2＝AE2＋B′E2＝82＋62，
∴AB′＝10(km)．即AP＋BP＝AB′＝10km，
故出口P到A，B两村庄的最短距离和是10km.
A
130
?
C
120
B
C.100米
D.130米
2.如图,太阳能热水器的支架AB
A
长为90 cm,与AB垂直的BC长为
120 cm.太阳能真空管AC有多长?
解：在Rt△ABC中,由勾股定理,
得
AC2=AB2+BC2，
八年级数学上册第1章《勾股定理的应用》例题与讲解(北师大版)
3 勾股定理的应用1．长方体(或正方体)面上的两点间的最短距离长方体(或正方体)是立体图形，但它的每个面都是平面．若计算同一个面上的两点之间的距离比较容易，若计算不同面上的两点之间的距离，就必须把它们转化到同一个平面内，即把长方体(或正方体)设法展开成为一个平面，使计算距离的两个点处在同一个平面中，这样就可以利用勾股定理加以解决了．所以立体图形中求两点之间的最短距离，一定要审清题意，弄清楚到底是同一平面中两点间的距离问题还是异面上两点间的距离问题．谈重点 长方体表面上两点间最短距离因为长方体的展开图不止一种情况，故对长方体相邻的两个面展开时，考虑要全面，不要有所遗漏．不过要留意展开时的多种情况，虽然看似很多，但由于长方体的对面是相同的，所以归纳起来只需讨论三种情况——前面和右面展开，前面和上面展开，左面和上面展开，从而比较取其最小值即可．【例1－1】 如图①是一个棱长为3 cm 的正方体，它的6个表面都分别被分成了3×3的小正方形，其边长为1 cm.现在有一只爬行速度为2 cm/s 的蚂蚁，从下底面的A 点沿着正方体的表面爬行到右侧表面上的B 点，小明把蚂蚁爬行的时间记录了下来，是2.5 s ．经过简短的思考，小明先是脸上露出了惊讶的表情，然后又露出了欣赏的目光．你知道小明为什么会佩服这只蚂蚁的举动吗？解：如图②，在Rt △ABD 中，AD ＝4 cm ，BD ＝3 cm.由勾股定理，AB 2＝BD 2＋AD 2＝32＋42＝25，AB ＝5 cm ，∴蚂蚁的爬行距离为5 cm.又知道蚂蚁的爬行速度为2 cm/s ，∴它从点A 沿着正方体的表面爬行到点B 处，需要时间为52＝2.5 s.小明通过思考、判断，发现蚂蚁爬行的时间恰恰就是选择了这种最优的方式，所以他感到惊讶和佩服．【例1－2】如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处(三条棱长如图所示)，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？解：蚂蚁由A点沿长方体的表面爬行到C1点，有三种方式，分别展成平面图形如下：如图①，在Rt△ABC1中，AC21＝AB2＋BC21＝42＋32＝52＝25.故AC1＝5.如图②，在Rt△ACC1中，AC21＝AC2＋CC21＝62＋12＝37.如图③，在Rt△AB1C1中，AC21＝AB21＋B1C21＝52＋22＝29.∵25＜29＜37，∴沿图①的方式爬行路线最短，最短的路线是5.点技巧巧展长方体求解此类问题时只需对长方体进行部分展开，画出局部的展开图，若将长方体全部展开，不仅没有必要反而会扰乱视线．2．圆柱体(或圆锥体)面上的两点间的最短距离圆柱体(或圆锥体)是立体图形，从其表面看两点之间的连线绝大部分是曲线，那么怎样确定哪一条是最短的呢？解决问题的方法是将圆柱(或圆锥)的侧面展开，转化为平面图形，应用勾股定理解决，而不能盲目地凭感觉来确定．【例2】如图①所示，一只蚂蚁在底面半径为20 cm，高为30π cm的圆柱下底的点A处，发现自己正上方圆柱上边缘的B处有一只小昆虫，便决定捕捉这只小昆虫，为了不引起这只小昆虫的注意，它故意不走直线，而绕着圆柱，沿一条螺旋路线，从背后对小昆虫进行突然袭击，结果蚂蚁偷袭成功，得到了一顿美餐．根据上述信息，请问蚂蚁至少爬行多少路程才能捕捉到小昆虫？分析：解此题的关键是把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短和勾股定理作答．解：假设将圆柱体的侧面沿AB剪开铺平如图②，则对角线AB即为蚂蚁爬行的最短路线．在Rt△ACB中，AC＝40π cm，BC＝30π cm.由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝(40π)2＋(30π)2＝(50π)2，∴AB＝50π cm.∴蚂蚁至少爬行50π cm才能捕捉到小昆虫．谈重点圆柱体两点间的最短距离本题文字叙述较多，要求在阅读的基础上提炼有用的信息，具体解题时先将圆柱沿AB剪开，将侧面展开成一矩形，会发现对角线AB即为蚂蚁爬行的最短路线，再运用勾股定理即可求得．3．生活中两点间的最短距离用勾股定理解决实际问题的关键是从实际问题中构建数学模型——直角三角形，再正确利用两点之间线段最短解答．【例3】如图①是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为5 dm,3 dm 和1 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点的最短路程是多少？分析：由于蚂蚁是沿台阶的表面由A爬行到B，故需把三个台阶展开成平面图形(如图②)．解：将台阶展开成平面图形后，可知AC＝5 dm，BC＝3×(3＋1)＝12 dm，∠C ＝90°.在Rt△ABC中，∵AB2＝AC2＋BC2，∴AB2＝52＋122＝132，∴AB＝13 dm.故蚂蚁爬到B点的最短路程是13 dm.4．如何正确利用勾股定理及其逆定理解决生活中的问题利用勾股定理及其逆定理解决生活中的实际问题，重要的是将实际问题转化成数学模型(直角三角形模型)，将实际问题中的“数”转化为定理中的“形”，再转化为“数”．解题的关键是深刻理解题意，并画出符合条件的图形．解决几何体表面上两点之间的最短距离问题的关键是要设法把立体图形转化为平面图形，具体步骤是：(1)把立体图形展成平面图形；(2)确定点的位置；(3)确定直角三角形；(4)分析直角三角形的边长，用勾股定理求解．【例4】如图①，圆柱形玻璃容器的高为18 cm，底面周长为60 cm，在外侧距下底1 cm的点S处有一只蜘蛛，在与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口1 cm的点F处有一只苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛需要爬行的最短距离是__________cm.解析：将圆柱的侧面展开得到它的侧面展开图(如图②)，CD ∥AB ，且AD ＝BC ＝12底面周长，BS ＝DF ＝1 cm.则蜘蛛所走的最短路线的长度即为线段SF 的长度．过S 点作SM ⊥CD ，垂足为M ，由条件知，SM ＝AD ＝12×60＝30 cm ，MC＝SB ＝DF ＝1 cm ，所以MF ＝18－1－1＝16 cm ，在Rt △MFS 中，由勾股定理得SF 2＝162＋302＝342，所以SF ＝34 cm.故蜘蛛需要爬行的最短距离是34 cm.答案：345．勾股定理与方程相结合的应用方程思想是一种重要的数学思想．所谓方程思想是指从分析问题的数量关系入手，将问题中的已知量和未知量之间的数量关系通过适当设元建立起方程(组)，然后通过解方程(组)使问题得到解决的思维方式．而勾股定理反映的直角三角形三边的关系正是构建方程的基础．故勾股定理的许多问题的解决都要跟方程相结合．方程思想是勾股定理中的重要思想．【例5】 如图，有一张直角三角形状纸片ABC ，两直角边AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？解：设CD ＝x cm ，由题意知DE ＝x cm ，BD ＝(8－x ) cm ，AE ＝AC ＝6 cm ，在Rt △ABC 中，由勾股定理得AB ＝AC 2＋BC 2＝10 cm.于是BE ＝10－6＝4 cm.在Rt △BDE 中，由勾股定理得42＋x 2＝(8－x )2，解得x ＝3.故CD 的长为3 cm.。