等差数列前n项和优秀教案

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§2.3等差数列的前n 项和

一、教学目标

知识与技能:掌握等差数列前n 项和公式;会用等差数列的前n 项和公式解决问题。 过程与方法:通过公式的推导和公式的运用,使学生体会从特殊到一般,再从一般到特 殊的思维规律;通过公式推导的过程教学,扩展学生思维。

情感态度与价值观:通过公式的推导过程,使学生体会数学中的对称美,促进学生的逻 辑思维。 二、教学重点

等差数列n 项和公式的理解、推导及应用 三、教学难点

灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题 四、教学过程

[创设情景]

在200多年前,历史上最伟大的数学家之一,被誉为“数学王子”的高斯就曾经上演了迅速求出等差数列这么一出好戏。那时,高斯的数学老师提出了下面的问题:

1+2+3+……+100=?

据说,当其他同学忙于把100个数逐项相加时,10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案:(1+100)+(2+99)+……+(50+51)=101×50=5050.

[探索研究]

我们从高斯那里受到启发,于是用下面的这个方法计算1,2,3,…,n ,…的前n 项的和:

由 1 + 2 + … + n-1 + n n + n-1 + … + 2 + 1 (n+1)+(n+1)+ … +(n+1)+(n+1)

可知2

)1(...321n

n n ⨯+=

++++ 上面这种加法叫“倒序相加法”

请同学们观察思考一下:高斯的算法妙在哪里? 高斯的算法很巧妙,他发现了整个数列的第k 项与倒数第k 项的和与首项与尾项的和相等这个规律,并且把这个规律用于求和。这种方法可以推广到求一般等差数列的前n 项和。

[等差数列求和公式的推导]

一般地,称n a a a a ++++...321为数列}{n a 的前n 项的和,用n S 表示,即

n n a a a a S ++++=...321.

1.思考:受高斯的启示,我们这里可以用什么方法去求和呢?

思考后知道,也可以用“倒序相加法”进行求和。

],)1([...)2()(1111d n a d a d a a S n -+++++++=①

],)1([...)2()(d n a d a d a a S n n n n n --++-+-+=②

由①+②,得 2n S =1111n n n n a a a a a a a a ++++n 个

()+()+()+...+()

)(1n a a n +=

由此得到等差数列}{n a 的前n

对于这个公式,我们知道:只要知道等差数列首项、尾项和项数就可以求等差数列前n 项和了。

2.把1(1)n a a n d =+-代入1()

2

n n n a a S +=

对于这个公式,只要知道等差数列的首项、项数和公差,就可以求出等差数列的前n

项和。

引导学生思考这两个公式的结构特征得到:第一个公式反映了等差数列任意的第k 项与倒数第k 项的和等于首项与末项的和这个内在性质。第二个公式反映了等差数列的前n 项和与它的首项、公差之间的关系,而且是关于n 的“二次函数”,该公式可以变形为

2111

()22

n S dn a d n =+-,可以与二次函数进行比较。这两个公式的共同点都是知道1a 和

n ,不同点是第一个公式还需知道n a ,而第二个公式是要知道d ,解题时还需要根据已知条件决定选用哪个公式。

[例题分析]

例1、2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的统治》.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标:从2001年起用10年时间,在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算,2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施,计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2001年起的未来10年内,该市在“校校通”工程中的总投入是多少? ⑴、先阅读题目;

⑵、引导学生提取有用的信息,构造等差数列模型;

⑶、写这个等差数列的首项和公差,并根据首项和公差选择前n 项和公式进行求解。 解:根据题意,从2001-2010年,该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元.所以,可以建立一个等差数列{}n a ,表示从2001年起各年投入的资金,其中 1500a =, d=50. 那么,到2010年(n=10),投入的资金总额为

10101105005072502

n S ⨯-=⨯+⨯=()

(万元)

答:从2001~2010年,该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元.

例2.已知一个等差数列{}n a 前10项的和是310,前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的前n 项和的公式吗?

引导学生分析得到:等差数列前n 项和公式就是一个关于1n a a n d 1、、n或者a 、、的方程。若要确定其前n 项求和公式,则要确定d 1a 和的关系式,从而求得。

分析:将已知条件代入等差数列前n 项和的公式后,可得到两个关于1a 与d 的二元一次方程,由此可以求得1a 与d ,从而得到所求前n 项和的公式. 解:由题意知 10310S =, 201220S =, 将它们代入公式 112

n n n S na d -=+()

, 得到

111045310201901220

a d a d +=+=,

解这个关于1a 与d 的方程组,得到1a =4,d=6,

所以214632

n n n S n n n -=+

⨯=+()

另解: 110

10103102

a a S +=⨯=

得 11062a a +=; ① 120

202012202

a a S +=

⨯= 所以 120122a a +=; ② ②-①,得

1060d =,

所以 6d =

代入①得: 14a = 所以有 21132

n n n S a n d n n -=+

=+()

例题评述:此例题目的是建立等差数列前n 项和与解方程之间的联系.已知几个量,通过解方程,得出其余的未知量.

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