伽罗瓦理论
抽象代数中的伽罗瓦扩张判别准则
抽象代数中的伽罗瓦扩张判别准则伽罗瓦理论是抽象代数中的一项重要内容，它研究了一个域的扩张与该域上的自同构之间的关系。
其中，伽罗瓦扩张是指一个域的扩张域是该域的一个伽罗瓦域，并且两个域上的自同构之间存在一一对应的关系。
在伽罗瓦理论中，伽罗瓦扩张判别准则是判断一个域扩张是否为伽罗瓦扩张的方法之一。
下面，我们将介绍抽象代数中的伽罗瓦扩张判别准则。
一、基本概念在介绍伽罗瓦扩张判别准则之前，我们首先需要了解一些基本概念。
在抽象代数中，一个域的扩张是指在原有域的基础上添加新的元素所得到的域。
域扩张一般表示为拓展域F/F0，其中F为扩张域，F0为原有域。
扩张域中的元素称为域扩张的生成元。
域扩张F/F0如果满足以下条件，即存在F到F0的映射$f:F\to F0$：1. 映射f为保持基本四则运算的同态映射，即对任意$a, b\in F$，有$f(a+b)=f(a)+f(b)$，$f(a\cdot b)=f(a)\cdot f(b)$。
2. 映射f为双射，即域F中的每个元素与域F0中的某个元素相对应。
二、伽罗瓦扩张判别准则伽罗瓦扩张判别准则是判断一个域扩张是否为伽罗瓦扩张的重要方法之一。
它依赖于伽罗瓦群的性质，即一个域的伽罗瓦扩张等价于该域的伽罗瓦群是一个正规子群。
根据伽罗瓦扩张判别准则，一个域扩张F/F0是伽罗瓦扩张的充要条件是满足以下两个条件：1. F/F0是一个代数扩张，即F中的每个元素是F0上的某个方程的根。
也就是说，对于任意$a\in F$，都存在一个关于$a$的多项式$f(x)\in F_0[x]$，使得$f(a)=0$。
2. F/F0中的每个F0上的自同构都可以扩展为F上的自同构，即对于任意F0上的自同构$\sigma$，存在F上的自同构$\Sigma$，满足$\Sigma|_{F_0}=\sigma$。
根据伽罗瓦扩张判别准则，我们可以通过判断一个域扩张是否满足以上两个条件，来确定该域扩张是否为伽罗瓦扩张。
伽罗瓦计算
伽罗瓦计算伽罗瓦计算，又称为伽罗瓦理论，是数学中的一个重要分支，它以法国数学家埃瓦里斯特·伽罗瓦的名字命名。
伽罗瓦计算主要研究的是数的代数性质以及方程的解法。
通过伽罗瓦计算，我们可以深入了解方程的根式解以及无理数的性质，从而拓展了数学的边界。
伽罗瓦计算的核心思想是通过研究方程的对称性来推导方程的解法。
伽罗瓦理论的基本概念是群论，它描述了一种代数结构的性质。
群论的研究对象是集合以及在集合上定义的一种运算，它要求这种运算满足封闭性、结合律、单位元和逆元等性质。
通过群论的研究，我们可以描述方程的根之间的对称关系，从而推导出方程的解法。
伽罗瓦计算的一个重要应用是求解方程的根式解。
在数学中，我们经常遇到高次方程，如二次方程、三次方程、四次方程等。
对于一些特殊的方程，我们可以通过开方、立方根等方法求解根式解。
然而，对于一般的高次方程，根式解是无法求得的。
伽罗瓦计算的一个重要结果是，对于五次及以上的方程，一般无法用根式表示其解。
这个结论被称为“伽罗瓦对可解方程的刻画”。
伽罗瓦计算为我们提供了一种判定方程是否有根式解的方法。
除了求解方程的根式解外，伽罗瓦计算还有其他重要的应用。
例如，伽罗瓦计算可以用来研究多项式的因式分解问题。
在数论中，我们经常需要找到一个整数的因子，这就涉及到多项式的因式分解。
伽罗瓦计算提供了一种判定多项式是否可约的方法，从而帮助我们找到多项式的因子。
伽罗瓦计算还可以应用于密码学中。
在现代密码学中，我们经常使用一些复杂的数学算法来保护数据的安全性。
伽罗瓦计算提供了一种分析密码算法强度的方法，从而帮助我们设计更安全的密码算法。
伽罗瓦计算是数学中的一个重要分支，它通过研究方程的对称性来推导方程的解法。
伽罗瓦计算在数论、密码学等领域都有重要的应用。
通过伽罗瓦计算，我们可以深入理解数的代数性质，拓展数学的边界。
伽罗瓦计算的研究不仅为数学领域带来了新的思想和方法，也为其他学科的发展提供了重要的参考。
galois定理
galois定理伽罗瓦理论（Galois Theory）是数学的一个重要分支，主要研究域扩张和自同构群的关系。
以下是关于伽罗瓦定理的详细介绍。
首先，伽罗瓦定理描述了一个多项式的根与该多项式在某个域上的分裂关系。
具体来说，如果一个多项式在某个域上可因式分解为若干个线性因子，那么这些线性因子对应的根就是这个多项式的根。
也就是说，一个多项式在某个域上的因式分解与其根之间存在一一对应关系。
其次，伽罗瓦定理还指出了域扩张和自同构群之间的关系。
对于一个给定的域扩张，存在一个与其相关的自同构群，这个自同构群就是这个域扩张的自同构群。
也就是说，任何给定的域扩张都与一个自同构群相关联。
这个定理在代数中具有广泛的应用，可以用来研究各种代数结构和性质。
此外，伽罗瓦定理还可以用来解决一些著名的数学问题。
例如，费马大定理就是通过伽罗瓦定理得以解决的。
费马大定理是指一个整数幂不可能被分解为两个大于1的整数幂的和。
尽管费马声称自己已经证明了这一定理，但他的证明一直未被找到。
直到1994年，英国数学家安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）利用伽罗瓦定理证明了费马大定理，这一证明被广泛接受并被认为是最终的证明。
除了在数论中的应用，伽罗瓦定理还在其他数学领域中有着广泛的应用。
例如，在几何学中，伽罗瓦定理可以用来研究曲线和曲面在某个域上的性质和结构；在代数学中，它可以用来研究各种代数结构和性质；在组合数学中，它可以用来研究组合问题和图论问题等。
总之，伽罗瓦理论是一个非常重要的数学分支，它不仅在数论和代数中有广泛的应用，还对整个数学的发展产生了深远的影响。
通过深入研究和探索伽罗瓦理论的各种应用和性质，我们可以更好地理解和掌握数学的内在规律和本质，推动数学科学的发展和进步。
走向抽象——伽罗瓦理论
走向抽象——伽罗瓦理论最古老的数学问题在数学史上，一个最古老也最自然的问题是：求解一元多项式的根。
二次多项式的根可以很容易地写成，我们每个人在中学都见过其系数的根号表达式。
二次多项式的解最早可以追溯到古巴比伦时期，而三次和四次多项式的情形直到16世纪才被解决。
求解五次及以上的多项式的情形则复杂得多，几百年间有无数人试图解决它，然而得到的结果都被证明有错误。
在那个年代这一问题看来似乎遥不可及，甚至连高斯都不相信它能被解答，以至于当他收到阿贝尔宣称证明存在五次多项式不可解的信时将其弃之一旁，只留下一句这又是那种怪物的评论。
阿贝尔的工作揭示了高次方程与低次方程的根本不同，寻找一般的系数根号表达式的解的努力成为幻影，然而仍然存在一些特殊的高次多项式能够用根式求解，如何区分能够求解的和不能求解的多项式仍然是一个未决的问题。
直到伽罗瓦的出现，才给出了这一问题的完全解答，彻底地解决了这一有着数千年历史的难题。
然而，伽罗瓦的贡献远远超过了这一问题本身，他为了解决它所发展出来的方法要远比问题本身更重要。
历史上许多曾经盛行一时的理论和思想都渐渐淹没在历史的尘埃中被人遗忘，而那些大浪淘沙留下的东西却往往历久弥新，在今天依然闪闪发光。
现在我们称之为伽罗瓦理论的方法是数学发展的一个里程碑，它的意义和影响在其之后的历史中不断深化，指引我们走向某些最深刻的东西。
不安分的数学天才伽罗瓦于1811年生于法国，他很早就显现出了数学天赋，同时还有他不安分的性格。
传闻他曾在大学入学面试中将黑板擦扔向考官，只因为无法忍受对方的理解缓慢。
他在政治上也十分活跃，并曾被赶出学校甚至被捕入狱。
伽罗瓦在18岁时便发现了后来以他名字命名的理论，并解决了多项式是否可解的问题，然而他的论文因为太过超前未被当时人们理解并被拒绝发表。
他于20岁时便死于一场传闻是与情敌间的决斗。
在决斗的前夜，他似乎就预感到了自己的死亡，因此他将他的数学思想连夜写下来寄给了一位朋友，而这些思想在他死后几十年才渐渐地被人们吸收。
的证明伽罗瓦对五次方程不可解白
伽罗瓦理论是现代数学中的一个重要分支，它探讨了数论中的一个经典问题：五次方程不可解。
该问题在数学史上曾经引起了巨大的争议和困惑，直到19世纪初，法国数学家埃瓦里斯特·伽罗瓦建立了现代群论和伽罗瓦理论，才最终解决了这一难题。
在本文中，我们将深入探讨伽罗瓦如何证明了五次方程的不可解性，并对其理论进行全面的评估和解读。
1. 伽罗瓦理论的概念和基本原理伽罗瓦理论是群论的一个重要应用领域，它主要研究了有限域与多项式方程的根之间的关系。
在伽罗瓦的理论中，一个多项式方程的可解性与其对应的有限域的结构密切相关。
通过研究方程的对称性和置换群的结构，伽罗瓦理论建立了方程可解性的准则，从而证明了五次及以上的一般多项式方程的不可解性。
2. 伽罗瓦对五次方程不可解的证明伽罗瓦最重要的工作之一是对五次方程不可解性的证明。
他首先通过传统的代数方法证明了五次方程的一般解不存在，并进一步利用了群论的概念，分析了五次方程的置换群，证明了其不可约性和不可解性。
这一成果极大地推动了数学领域的发展，为代数基本定理的证明奠定了坚实的基础。
3. 伽罗瓦理论的深度和广度伽罗瓦理论不仅解决了五次方程不可解性的经典问题，更深刻地影响了数学领域的发展。
它在代数、几何、数论等领域都有着重要的应用，并且从根本上改变了数学家们对可解性和不可解性的认识。
伽罗瓦理论的深度和广度超出了人们的想象，成为了现代数学中不可或缺的一部分。
4. 个人观点和理解作为一个数学爱好者，我对伽罗瓦理论深深着迷。
它不仅解决了一个经典的数学难题，更重要的是，它改变了人们对数学可解性的认识，开拓了数学领域的新视野。
伽罗瓦理论的严谨性和美妙性让我深有感触，我相信它将继续在数学领域发挥重要作用，激发数学家们不断探索未知领域的激情。
总结回顾伽罗瓦理论的证明伽罗瓦对五次方程不可解的经典成果，标志着现代代数学的发展达到了一个新的高度。
通过对多项式方程的深入研究和对称性的探讨，伽罗瓦理论揭示了方程可解性的本质，为数学领域带来了革命性的变革。
抽象代数中的伽罗瓦域扩张理论
抽象代数中的伽罗瓦域扩张理论在抽象代数中，伽罗瓦域扩张理论是一项重要的研究领域。
伽罗瓦域扩张理论通过研究域的扩张性质，揭示了数学中的许多深刻的结构和性质。
本文将从伽罗瓦域的基本概念入手，介绍伽罗瓦域扩张理论的核心理论和应用。
伽罗瓦域扩张理论起源于19世纪初的数论研究，由法国数学家伽罗瓦提出并发展起来。
伽罗瓦域是指在一个给定域中添加某些元素，形成的扩张域。
伽罗瓦理论研究了域扩张的自同构群与中间域之间的关系，从而揭示了扩张域的结构和性质。
在伽罗瓦理论中，中心概念是伽罗瓦扩张的自同构群，即伽罗瓦群。
伽罗瓦群是一个描述域扩张的对称性质的代数结构，它的元素是域扩张中的自同构映射。
伽罗瓦理论通过研究伽罗瓦群的结构与性质，揭示了域扩张的许多重要性质。
伽罗瓦理论的核心理论是伽罗瓦对应定理。
该定理建立了伽罗瓦群与中间域之间的一一对应关系，从而将中间域与伽罗瓦扩张的自同构群联系起来。
伽罗瓦对应定理为研究伽罗瓦域的结构和性质提供了强有力的工具。
在伽罗瓦域扩张理论中，有两个重要的基本定理，即伽罗瓦理论的基本定理和主定理。
伽罗瓦理论的基本定理给出了伽罗瓦群的结构与中间域的对应关系。
主定理则描述了有限伽罗瓦扩张的结构，即有限伽罗瓦域扩张是可解扩张。
这两个定理在伽罗瓦理论中具有重要的地位，为研究伽罗瓦域扩张提供了基本框架和方法。
伽罗瓦域扩张理论不仅在理论研究中有着广泛的应用，而且在许多领域具有重要的实际意义。
例如，在代数方程求根问题中，伽罗瓦域扩张理论可以用来研究方程的可解性和求解方法。
在密码学中，伽罗瓦域扩张理论可以用来构造强大的加密算法。
在编码理论中，伽罗瓦域扩张理论可以用来研究纠错码的构造与性质。
总之，伽罗瓦域扩张理论是抽象代数中的重要理论，它通过研究域的扩张性质，揭示了许多数学结构和性质。
伽罗瓦域扩张理论的核心理论包括伽罗瓦群、伽罗瓦对应定理等，它们为研究伽罗瓦域的结构和性质提供了强有力的工具。
伽罗瓦域扩张理论不仅在理论研究中有广泛的应用，而且在实际问题中也具有重要的意义。
数学史上的一座丰碑——伽罗瓦创立群论
数学史上的⼀座丰碑——伽罗⽡创⽴群论⽅程求解中的难题⽅程论是古典代数的中⼼课题。
早在公元3世纪的希腊数学家丢番图和9世纪的阿⾥·花拉⼦⽶，均求得⼀元⼆次⽅程ax^2+bx+c=0的解。
到了16世纪，意⼤利数学家卡丹和他的学⽣费拉⾥相继发表了⽤根式求解三次⽅程和四次⽅程的⽅法。
这个被后来数学界称为卡丹公式的三次⽅程求解公式，实际是公元1500年左右波仑亚的数学家⾮尔洛最先研究出的，后来⼏经转折被塔塔利亚掌握，卡丹保证保密后，塔塔利亚告诉给卡丹，但6年后，卡丹给出证明发表了。
由于不超过四次的⽅程都能通过根式求得它的⼀般解，那么⾼于四次的⽅程能否⽤根式求解，便成为⼈们关注的重⼤问题。
很多数学家争相研究和寻找根式求解五次⽅程的公式。
从16世纪后半叶直到19世纪初，许多数学家和数学爱好者，都把它作为检验⾃⼰才能的试⾦⽯，可是毫⽆例外的都失败了。
根式解法虽然没有找到，但⼈们却积累了经验和知识。
1799年，年仅22岁的⾼斯在作博⼠论⽂时，他没有去计算⽅程的根，⽽是证明它的存在性。
他把⽅程与曲线联系起来，通过对曲线作定性研究，证明了每⼀个实系数多项式⾄少有⼀个实根或⼀个复根，这个结论被称为代数学基本定理。
⾼斯的⽅法开创了探讨数学中整个存在问题的新途径。
接着，他研究了分圆⽅程，于1801年证明了这种⽅程可⽤根式求解，这表明某些⾼于四次的⽅程能⽤根式解出。
那么，可⽤根式求解的是所有的⾼次⽅程，还是部分⾼次⽅程？这便成为摆在数学家⾯前的⼀个难题。
阿贝尔的成果轰动了世界就在⾼斯证明了代数学基本定理3年后的1802年，⼜⼀数学新星阿贝尔在挪威的芬诺诞⽣了。
阿贝尔有着较优裕的家庭，更幸运的是，他在中学时代遇上了⼀位杰出的教师霍姆伯。
霍姆伯是挪威天⽂学家汉斯顿的助教，他使阿贝尔第⼀次感受了数学的意义和乐趣。
霍姆伯也看到了阿贝尔不寻常的才能，给他找来欧拉、拉格朗⽇、拉普拉斯等⼤师们的原著，⼀起讨论疑难问题，使阿贝尔迅速了解当代数学的前沿课题。
伽罗瓦理论
伽罗瓦理论：人类至今无解的五次方程用汗水和生命浇灌出来的理论之花，困扰人类300多年的高阶谜团1832年，自知必死的伽罗瓦奋笔疾书，写出了一篇几乎半个世纪都没人看懂、只有32页纸的论文，并时不时在一旁写下“我没有时间”，第二天他毅然决然参与决斗并身亡，一个瘦弱而极富激情的天才就这样走了，最后闪现出的是绝世才华，他的生命只有21岁！群论、数学质变的前夕为什么数学家对五次方程如此迷恋，因为在五次方程的求解过程中，数学家们第一次凿开了隐藏在冰山下的现代科学，将数学带入了精妙绝伦的现代群论。
群论的出现，直接奠定了20世纪的物理基础，从此，统治人类近200年的牛顿机械宇宙观开始迈入随机和不确定性的量子世界和广袤无垠的时空相对论。
一场空前伟大的科学革命如疾风骤雨般来临。
在这次暴风雨的前夜，历史上最伟大的数学家们悉数登场，他们为五次方程的求解而苦苦思索。
在五次方程获得求解之前，一元三、四次方程在数学大神塔尔塔利亚、卡尔达诺、费拉里的努力下，顺利得到了解决，然而到了五次方程，再传统地以根用系数的代数式求解却始终行不通。
在各大高手尝试失败后，它很快成了数学家心中的顶尖难题，这是属于神的命题，与人类无关。
在这条解方程的漫漫长路上，最先为五次方程求解提供了新思路的是上帝之子欧拉，他通过一个巧妙的变换把任何一个全系数的五次方程转化为具有“x+ax+b=0”的形式。
出于对这一优美表达的倾心喜爱，欧拉自以为是地认为可以找出五次方程的通解表达式。
与此同时，数学天才拉格朗日也在为寻找五次方程的解而废寝忘食。
很快，他便欣喜地发现了一种特别的方法，若将四次方程降阶为三次方程，就能找到一种求解四次方程的简单方法。
但遗憾的是，同样的变换却将五次方程升阶为六次方程。
此后，五次方程的进展一度陷入迷局。
当时五次方程的焦点主要集中在两大问题上，第一个问题是，对N次方程，至少都有一个解吗？第二个问题则更进一步：N次方程如果有解，那么它会有多少个解呢？人类历史上另一伟大数学家高斯挥动如椽巨笔，成功解决了这两大问题，证明了分圆多项式-1+xp（p为素数）可以用根式求解，但拨开迷雾之后，一个更加狰狞的难题仍然浮现在眼前，五次方程是否可以用根式求解的难题依旧困扰着人类，挥之不去.数学本无种，业余民科遭歧视为了求解五次方程，欧洲大陆的数学家正紧锣密鼓地开展深入研究。
抽象代数中的伽罗瓦理论应用评价
抽象代数中的伽罗瓦理论应用评价抽象代数是数学中的一个重要分支，它研究一般的代数结构和运算规律。
在抽象代数中，伽罗瓦理论是一项重要的成果，它给了我们以很多有价值的应用。
本文将针对抽象代数中的伽罗瓦理论进行评价。
一、背景介绍伽罗瓦理论是法国数学家伽罗瓦提出的一种数学理论，它主要研究有限域与代数方程的解之间的关系。
伽罗瓦理论通过研究多项式方程的根与对应的扩域之间的关系，建立了代数理论与数论之间的联系，为代数学的发展起到了重要的促进作用。
二、伽罗瓦理论的应用1. 密码学伽罗瓦理论在密码学中有着广泛的应用。
通过利用伽罗瓦群的性质，可以设计出高度安全的密码算法，保护信息的安全性。
例如，RSA公钥密码算法以及椭圆曲线密码算法等，都是基于伽罗瓦理论中的抽象代数原理构建而成的。
2. 数据传输与编码在数据传输与编码领域，伽罗瓦理论也发挥着重要作用。
通过利用伽罗瓦扩域的代数结构，可以设计出具有良好纠错能力的编码方案，提高数据传输的可靠性。
例如，Reed-Solomon编码就是一种基于伽罗瓦扩域的编码方案，被广泛应用于光纤通信和无线通信中。
3. 数和数论伽罗瓦理论与数论有着密切的联系。
通过研究代数方程的解与对应的域之间的关系，伽罗瓦理论为数论提供了新的视角与工具。
例如，费马大定理的证明中就运用了伽罗瓦理论的思想。
4. 计算机科学在计算机科学领域，伽罗瓦理论也有着广泛的应用。
通过利用伽罗瓦群的性质，可以设计出高效的算法，解决各种复杂的计算问题。
例如，在错误检测与纠错、图像处理、编译器优化等领域，伽罗瓦理论都发挥着重要作用。
三、伽罗瓦理论的价值评价伽罗瓦理论作为抽象代数的重要成果，为数学的发展做出了重要贡献。
它不仅极大地拓展了代数学的范畴，而且在众多领域中都有着实际应用。
伽罗瓦理论的提出不仅为密码学、数据通信、编码理论等应用领域提供了重要的理论基础，而且为计算机科学、数论等学科的发展带来了重要的启示。
总之，伽罗瓦理论在抽象代数中的应用是极其重要而有价值的。
【抽象代数】09-伽罗瓦理论
【抽象代数】09-伽罗⽡理论1. 正规扩域 在研究域F的代数扩张E时，⾸要的前提是扩域E是存在的，其次还要让所有扩域在同⼀个空间，即它们之间是可运算的。
满⾜这样条件的空间便是F的代数闭包，使⽤集合论的语⾔，代数闭包可以描述成所有多项式的分裂域之并。
这个定义合法性其实还是需要推敲的，你可以结合代数扩域的性质⾃⾏讨论，这⾥就先假定它的存在性。
其次，不同的闭包之间并不⼀定是互通的，下⾯的讨论将回避这种“平⾏世界”的讨论，将范围限制在某个选定的代数闭包\Omega中。
即使只在某个闭包中，满⾜特定条件的扩域总也有多种选择的⽅法，这种将域对应到闭包中的映射⼀般称为域的嵌⼊，不同的嵌⼊之间称为共轭域。
它不仅给域找到了统⼀的闭包，还是研究扩域结构的重要⽅法（共轭域当然都保持F完全不变）。
在前⾯构造单扩域时，你可能已经发现，构造出的扩域其实与根的选取⽆关，它们互为共轭域。
如果将单扩域嵌⼊到闭域中，每⼀种嵌⼊⽅法正好对应f(x)的⼀个根，这些共轭域之间可能有互异元素，也可能元素相同但嵌⼊的⽅法不同。
以上出现互异元素是因为，可能不是所有根都在同⼀个单扩域中，我们⾃然要问：那么不同的分裂域嵌⼊还会有互异元素吗？更⼀般地，考察多项式集合S\subseteq F[x]的分裂域E，假设E同构于另⼀个分裂域E'且同构映射为\sigma。
因为任何f(x)=(x-a_1)\cdots (x-a_n)\in S的系数在F中，所以总有\sigma(f(x))=f(x)，所以(\sigma(a_1),\cdots,\sigma(a_n))只是(a_1,\cdots,a_n)的⼀个置换。
由此若设S的所有根为R，则有以下推导过程，也就是说E'是E的⾃同构。
E'=\sigma(E)=\sigma(F(R))=F(\sigma(R))=F(R)=E\tag{1} 只有⾃同构共轭的域叫⾃共轭域，像分裂域这种保持F不变的域被称为F-⾃共轭域。
2024年考研数学群论与伽罗瓦理论题目解析与答案
2024年考研数学群论与伽罗瓦理论题目解析与答案伽罗瓦理论和群论是数学中重要的分支，也是考研数学中的一大难点。
本文将对2024年考研数学中涉及到的群论与伽罗瓦理论题目进行解析并提供详细答案，帮助考生更好地理解和应用该知识点。
一、群论题目解析与答案1. 题目：设G={a, b, c, d}是一个群，且对于任意的a, b属于G，有(ba)^2=b^{-1}a^{-1}ba。
求证：G是二阶群。
解析：要证明G是二阶群，需要证明G中的任意元素a均满足a^2 = e（e为单位元），即每个元素的平方都等于单位元。
首先，根据题目中给出的条件，令a=b，则有(aa)^2 = a^{-1}a^{-1}aa。
由群的封闭性可知，(aa)^2属于G，即一定存在于G中的某个元素。
假设(aa)^2 = d，则有d = a^{-1}a^{-1}aa。
将d代入等式中，得到d^2 = (a^{-1}a^{-1}aa)^2，经过展开化简后可得d^2 = e，即d为单位元。
另一方面，如果(aa)^2 = c，同样可以得出c为单位元。
综上所述，G中的所有元素的平方均等于单位元，即G是二阶群。
2. 题目：设G是一个群，且对于任意的a, b属于G，有bab^{-1}=a^2。
证明：G是可解群。
解析：要证明G是可解群，需要证明G的每个子群均为正规子群。
首先，根据题目中给出的条件，对于任意的a, b属于G，有bab^{-1}=a^2。
我们将上述等式两边同时左乘b^{-1}，得到 b^{-1}bab^{-1}=b^{-1}a^2。
再将等式两边同时右乘b，得到bab^{-1}b=b^{-1}a^2b。
由于G是一个群，故a^2和b^{-1}a^2b均属于G，根据群的封闭性，bab^{-1}也属于G，即必存在于G中的某个元素。
假设bab^{-1}=c，则有c=b^{-1}a^2b，将b^{-1}a^2b代入等式中，得到c^2 = (b^{-1}a^2b)^2。
伽罗瓦理论到底有多伟大？千年数学难题直接沦为简单推论
伽罗⽡理论到底有多伟⼤？千年数学难题直接沦为简单推论历史回顾⼀元⼆次⽅程的解法是我们再熟悉不过的数学知识，但⼀元三次⽅程的解法似乎并不⼴为⼈知，⽽了解四次⽅程解法的就更少了。
当然，解三次和四次⽅程都是有判断法则和求根公式的，这和⼆次⽅程是类似的。
那么⼀个⾃然的问题是次数⾼于四次的⼀般代数⽅程有没有求根公式呢？也就是能不能利⽤系数把解表⽰出来呢？对于⼗六世纪的代数学⽽⾔，解三次和四次⽅程就是最⼤的难题，这⼀问题最终由意⼤利数学家塔尔塔利亚和卡尔达诺所解决。
他们解四次⽅程的思想是通过变量替换获得⼀个三次⽅程，通过解这个三次⽅程就能获得原四次⽅程的解，于是很多数学家都想通过模仿这⼀⽅法来获得⾼次⽅程的根式解。
欧拉，⾼斯，拉格朗⽇这样当时最伟⼤的数学家都做过尝试，但最终都失败了。
拉格朗⽇甚⾄发表了长篇⼤论，详细分析了三四次⽅程的解法，指出这种⽅法不可能适⽤于⾼次⽅程，最后拉格朗⽇惊叹：“⾼次⽅程的根式解是不可能解决的数学问题之⼀，这是在向⼈类的智慧挑战！”在拉格朗⽇之后，意⼤利数学家鲁菲尼开始猜测⾼次⽅程没有根式解，但他终其⼀⽣也没能取得突破，只是得到了猜测：如果⽅程有根式解，那么这⼀根式必定是⽅程的根和单位根的有理多项式。
阿贝尔第⼀个真正取得突破的数学家是来⾃挪威的年轻⼈阿贝尔（1802~1829），他发展了拉格朗⽇关于“根的置换”的数学思想，并且提出了“域”和“不可约多项式”的概念。
利⽤⾃⼰的理论，阿贝尔修正了鲁菲尼的猜测，并最终严格证明了：如果⼀个⽅程有根式解，则这个表达式中的每⼀个根式都是⽅程的根和某些单位根的有理函数。
利⽤这个重要的结论，阿贝尔最终证明了⾼于四次的⼀般⽅程没有根式解！不仅如此，阿贝尔还成功构造出了任意次数的代数可解的特殊⽅程，但他还是遗留了⼀个问题，那就是如何判断⼀个给定的⽅程是否根式可解，例如⾼斯曾经证明过⽅程X^p－1=0有根式解，其中p为素数。
但天妒英才，阿贝尔在仅仅27岁之时，便因贫困交加⽽抱憾离世。
抽象代数中的伽罗瓦域扩张
抽象代数中的伽罗瓦域扩张伽罗瓦域扩张是抽象代数中的重要概念之一，它在数学领域有着广泛的应用。
本文将从伽罗瓦理论的基本原理、伽罗瓦域扩张的定义与性质以及实际应用等方面进行探讨。
一、伽罗瓦理论的基本原理伽罗瓦理论是基于法国数学家伽罗瓦在19世纪提出的一套理论体系。
它研究的是域与域之间的扩张关系，并通过群论的方法来分析这种扩张。
伽罗瓦理论的基本原理包括以下几点：1. 伽罗瓦对应原理：域扩张与子群的对应关系；2. 扩张字段的次数与子群的指数相等；3. 伽罗瓦扩张的定理：如果一个扩张是伽罗瓦扩张，那么它的中间域一定是它的正规扩张；4. 素子群与不变子域的对应关系。
二、伽罗瓦域扩张的定义与性质伽罗瓦域扩张是指在伽罗瓦理论中，从定义域到目标域的域扩张。
在伽罗瓦域扩张中，常见的定义与性质包括：1. 伽罗瓦扩张的定义：一个域扩张是伽罗瓦扩张，当且仅当它是一个伽罗瓦扩张，并且满足扩张域和定义域的伽罗瓦群相等；2. 伽罗瓦扩张的基本性质：伽罗瓦扩张的基本性质包括保持代数运算、保持次数和保持正规性等；3. 伽罗瓦扩张的简化性质：如果一个伽罗瓦扩张有一个简化多项式，那么它的伽罗瓦群是一个置换群；4. 伽罗瓦扩张的正规性质：一个伽罗瓦扩张是正规的，当且仅当它的中间域是一个正规扩张。
三、伽罗瓦域扩张的实际应用伽罗瓦域扩张在实际应用中有着广泛的应用，特别是在密码学、编码理论、有限域和代数方程求解等领域。
下面列举一些实际应用案例：1. RSA加密算法：RSA加密算法是一种基于大数分解的加密算法，其中涉及到有限域的运算，而有限域是伽罗瓦域扩张的研究对象之一；2. 编码理论：在通信系统中，通过伽罗瓦域扩张可以构造出循环码、卷积码等编码方式，提高通信系统的可靠性；3. 代数方程求解：通过伽罗瓦理论中的群论方法，可以解决一些代数方程的求解问题，例如求解五次及以上的代数方程。
总结：伽罗瓦域扩张是抽象代数中的重要概念，它通过研究域与域之间的扩张关系，使我们能够更深入地理解数学的本质以及其在实际应用中的价值。
伽罗瓦理论的理解
要点：Galois关于代数方程根式可解等价于它的Galois群可解这一定理的证明思路。
（1）存在性证明与数的计算相分离；如极限值、代数学基本定理、方程的根；（2）三次方程根的置换群和五次方程根的置换群有什么不同？3个根共有3!=6个可能的置换，5个根共有5!=120个可能的置换。
为什么说方程的可解性可以在根的置换群的某些性质中有所反映？（3）方程的对称性质与有无求根公式有关系吗？（4）GALOIS定理是通过研究根式扩张和根对称性得出来的结果.问题是怎样求一个多项式方程的GALOIS群？怎样判断GALOIS群是否可解？为什么一般的五次以上方程GALOIS群不可解，但是某些特殊的五次以上方程有根式解？x^n-1=0可用根式解，它的n个根是？（5）假设一个多项式方程有根式解,发现了有根式的情况下,各个根的对称性要满足一定关系.五次以上的方程这个关系不一定满足.那么这个关系是什么呢？（6）阿贝尔定理：如果一个代数方程能用根式求解，则出现在根的表达式中的每个根式，一定可以表成方程诸根及某些单位根的有理函数．（7）怎样构造任意次数的代数可解的方程？怎样判定已知方程是否可用根式求解？怎样全部刻画可用根式求解的方程的特性？（8）一个方程究竟有多少个根？如何预知方程的正、负、复根的个数？方程的根与系数的关系如何？方程是否一定有根式解存在？（9）方程本身蕴涵的代数结构：方程根的置换群中某些置换组成的子群被伽罗瓦称之为方程的群（伽罗瓦群），伽罗瓦群就是由方程的根的置换群中这样一些置换构成的子群。
那么某些置换是哪些置换呢？四次方程x^4+p*x^2+q=0的四个根的系数在方程的基本域F中有两个关系成立：x1+x2=0,x3+x4=0.在方程根的所有24=4!个可能置换中，下面8个置换E=(1),E1=(12),E2=(34),E3=(12)(34),E4=(13)(24),E5=(1423),E6=(1324),E7= (14)(23)都能使上述两个关系在F中保持成立，并且这8个置换是24个置换中，使根之间在域F中的全部代数关系都保持不变的仅有的置换。
抽象代数中的伽罗瓦域理论
抽象代数中的伽罗瓦域理论抽象代数是一门研究代数结构的数学学科，其中伽罗瓦理论是其重要分支之一。
伽罗瓦理论主要研究数学对象的对称性，特别是对称性与方程求解之间的关系。
在本文中，我们将深入探讨抽象代数中的伽罗瓦域理论。
1. 伽罗瓦域的概念伽罗瓦域是指一个包含一个基域（通常是有限域或有理数域）的域扩张。
域扩张是指将一个域F中的元素a通过一系列代数运算得到一个新的域E，记作E/F。
伽罗瓦域在伽罗瓦理论中扮演着重要的角色，对于研究方程的可解性和对称性具有重要意义。
2. 伽罗瓦群与域自同构伽罗瓦理论的核心概念是伽罗瓦群与域自同构。
伽罗瓦群是指一个域扩张E/F中的所有F-自同构构成的群，记作Gal(E/F)。
其中，F-自同构是指保持基域F不变的域E上的自同构。
伽罗瓦群描述了域扩张E/F 的对称性，其群操作与域扩张的代数运算之间有密切关系。
3. 伽罗瓦扩张与方程的可解性伽罗瓦理论的一个重要应用是研究方程的可解性。
给定一个方程f(x)=0，若能找到一个包含其解的伽罗瓦扩张E/F，其中E是F的扩张域，那么这个方程就是可解的。
伽罗瓦理论提供了一种通过研究方程的对称性来确定其可解性的方法，为解决代数方程的问题提供了有力的工具。
4. 主伽罗瓦域与最小多项式对于给定的域扩张E/F，主伽罗瓦域是指E中所有元素的最小多项式的分裂域。
最小多项式是指使得其取值为零的最低次数的多项式。
主伽罗瓦域是伽罗瓦理论中的一个重要概念，它与域扩张的对称性紧密相关。
5. 伽罗瓦理论的应用伽罗瓦理论在数学和其他学科中有广泛的应用。
在密码学中，伽罗瓦理论用于设计和分析加密算法。
在代数几何学中，伽罗瓦理论与代数曲线的研究相结合，为解决几何问题提供了新的方法。
在计算机科学中，伽罗瓦理论被广泛应用于编码和解码技术等领域。
总结：抽象代数中的伽罗瓦域理论是一门研究数学对象的对称性的重要分支，其核心概念包括伽罗瓦群、域自同构以及伽罗瓦扩张与方程的可解性等。
伽罗瓦理论在数学和其他学科中有广泛的应用，为解决代数方程及其他领域的问题提供了强大的数学工具。
伽罗瓦解一元三次方程
伽罗瓦解一元三次方程
【原创版】
目录
一、伽罗瓦与一元三次方程
二、一元三次方程的求解方法
三、伽罗瓦理论的应用
四、结论
正文
一、伽罗瓦与一元三次方程
伽罗瓦（Evariste Galois）是一位法国数学家，他在数学领域做出
了许多重要的贡献。
其中，他对一元三次方程的研究和求解方法的提出，对数学的发展产生了深远的影响。
一元三次方程是指形如
ax3+bx2+cx+d=0 的方程，其中 a、b、c、d 是已知系数，x 是未知数。
二、一元三次方程的求解方法
一元三次方程的求解方法可以分为两类：一类是直接解法，另一类是间接解法。
直接解法指的是通过代数运算直接求解方程，而间接解法则是
通过一些几何或代数的变换来求解方程。
在一元三次方程的求解过程中，伽罗瓦提出了一种新的方法，即通过引入代数元素来求解一元三次方程。
这种方法被称为伽罗瓦理论，它是基于代数的一种求解方法。
伽罗瓦理论的核心思想是将一元三次方程转化为一个关于代数元素的方程，然后通过解这个方程来求解原方程。
三、伽罗瓦理论的应用
伽罗瓦理论的应用不仅仅局限于一元三次方程，它还可以应用于其他类型的代数方程。
例如，在一元二次方程 ax2+bx+c=0 中，当 b2-4ac<0 时，方程没有实数解。
然而，通过引入代数元素，我们可以将这个方程转化为
一个关于代数元素的方程，从而求解这个方程。
四、结论
伽罗瓦理论是一种重要的代数方法，它为我们求解一元三次方程和其他类型的代数方程提供了一种新的思路。
伽罗瓦理论
要把r扩充到r1，需在r中构造一个预解式，则预解式的根，添加到r中得到一个新域r1，于是可证明原方程（3）关于域r1的群是h1，h1={e，e1，e2，e3}，并发现预解式的次数等于子群h1在母群g中的指数8÷4=2（即指母群的阶除以子群的阶）。
第二步，构造第二个预解式，解出根，于是在域r1中添加得到域r2，同样找出方程（3）在r2中的群h2，h2={e，e1}，此时，第二个预解式的次数也等于群h2在h1中的指数4÷2=2。
第三步，构造第三个预解式，得它的根，把添加到r2中得扩域r3，此时方程（3）在r3中的群为h3，h3={e}，即h3=i，则r3是方程（3）的根域，且该预解式的次数仍等于群h3在h2中的指数2÷1=2。
在这个特殊的四次方程中，系数域到根域的扩域过程中每次添加的都是根式，则方程可用根式解。
这种可解理论对于一般的高次方程也同样适用，只要满足系数域到根域的扩域过程中每次都是添加根式，那么一般的高次方程也能用根式求解。
现仍以四次方程（3）为例，伽罗瓦从中发现了这些预解式实质上是一个二次的二项方程，既然可解原理对高次方程也适用，那么对于能用根式求解的一般高次方程，它的预解式方程组必定存在，并且所有的预解式都应是一个素数次p的二项方程xp=a。
由于高斯早已证明二项方程是可用根式求解的。
因此反之，如果任一高次方程所有的逐次预解式都是二项方程，则能用根式求解原方程。
于是，伽罗瓦引出了根式求解原理，并且还引入了群论中的一个重要概念“正规子群”。
他是这样给正规子群下定义的：设h是g的一个子群，如果对g中的每个g都有gh=hg，则称h为g的一个正规子群，其中gh表示先实行置换g，然后再应用h的任一元素，即用g的任意元素g乘h的所有置换而得到的一个新置换集合。
定义引入后，伽罗瓦证明了当作为约化方程的群(如由g 约化到h1)的预解式是一个二项方程xp=a (p为素数)时，则h1是g的一个正规子群。
伽罗瓦理论
伽罗瓦理论伽罗瓦图册经过两个多世纪，一些著名的数学家，如欧拉、旺德蒙德、拉格朗日、鲁菲尼等，都做了很多工作，但都未取得重大的进展。
19世纪上半叶，阿贝尔受高斯处理二项方程 (p为素数)的方法的启示，研究五次以上代数方程的求解问题，终于证明了五次以上的方程不能用根式求解。
他还发现一类能用根式求解的特殊方程。
这类方程现在称为阿贝尔方程。
阿贝尔还试图研究出能用根式求解的方程的特性，由于他的早逝而未能完成这项工作。
伽罗瓦从1828年开始研究代数方程理论(当时他并不了解阿贝尔的工作)，他试图找出为了使一个方程存在根式解，其系数所应满足的充分和必要条件。
到1832年他完全解决了这个问题。
在他临死的前夜，他将结果写在一封信中，留给他的一位朋友。
1846年他的手稿才公开发表。
伽罗瓦完全解决了高次方程的求解问题，他建立于用根式构造代数方程的根的一般原理，这个原理是用方程的根的某种置换群的结构来描述的，后人称之为“伽罗瓦理论”。
伽罗瓦理论的建立，不仅完成了由拉格朗日、鲁菲尼、阿贝尔等人开始的研究，而且为开辟抽象代数学的道路建立了不朽的业绩。
[1]思想建立/伽罗瓦理论编辑在几乎整整一个世纪中，伽罗瓦的思想对代数学的发展起了决定性的影响。
伽罗瓦理论被扩充并推广到很多方向。
戴德金曾把伽罗瓦的结果解释为关于域的自同构群的对偶定理。
随着20世纪20年代拓扑代数系概念的形成，德国数学家克鲁尔推广了戴德金的思想，建立了无限代数扩张的伽罗瓦理论。
伽罗瓦理论发展的另一条路线，也是由戴德金开创的，即建立非交换环的伽罗瓦理论。
1940年前后，美国数学家雅各布森开始研究非交换环的伽罗瓦理论，并成功地建立了交换域的一般伽罗瓦理论。
伽罗瓦理论还特别对尺规作图问题给出完全的刻画。
人们已经证明：这种作图问题可归结为解有理数域上的某些代数方程。
这样一来，一个用直尺和圆规作图的问题是否可解，就转化为研究相应方程的伽罗瓦群的性质。
[2]内容介绍/伽罗瓦理论编辑1、域的正规可分扩张定义为伽罗瓦扩张。
从伽罗瓦、戴德金、诺特看抽象代数200年发展史
从伽罗瓦、戴德金、诺特看抽象代数200年发展史抽象代数是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学科。
是现代数学理论三大支柱之一，抽象代数学对于全部现代数学和一些其它科学领域都有重要的影响。
并且随着数学中各分支理论的发展和应用需要而得到不断的发展。
今天我们就来聊聊抽象代数的发展史。
伽罗瓦理论——抽象代数的诞生伽罗瓦于1811年出生， 16 岁时候才接触数学，他在一年的时间里，自学了法国著名数学家勒让德尔的《几何原理》、那末拉克朗日的《论数值方程解法》、《解析函数论》、《函数演算讲义》，还逐渐熟悉了欧拉、高斯、雅科比的著作。
影视作品里的伽罗瓦后来，他曾经多次向科学院投稿，然而柯西遗漏了他的论文、傅立叶接到论文之后暴毙、泊松直接看不懂。
经历三次挫折的伽罗瓦投身政治，抗议国王的专制统治，以“企图暗杀国王罪”不幸被捕在狱中，更加不幸的是，在监狱里他还染上了霍乱。
电影中的伽罗瓦形象刚出狱的伽罗瓦想把自己的数学成果发表，又被人陷害再次入狱。
这个时候他在监狱里爱上了一个烟花女子，偏偏这个烟花女子的情敌还是一个军官，伽罗瓦为了心上人答应了和情敌比枪。
伽罗瓦画像1832年5月30日晚上，第二天将要去决斗的伽罗瓦知道自己必死无疑，他想要将自己短暂一生的研究成果都给记录下来，据说遗稿空白处还写着“我没有时间了，我没有时间了。
”。
伽罗瓦手稿第二天，伽罗瓦在决斗中一枪被军官直接被打穿了肠子。
他的朋友Chevalier 遵照伽罗瓦的遗愿，将他的数学遗稿寄给高斯与雅科比，但是都石沉大海。
直到10年之后，法国著名数学家刘维尔看到了伽罗瓦的手稿，经过严密计算，最终肯定伽罗瓦结果之正确、独创与深邃，他还花了很久的时间对其进行阐释说明，1846年最后将其发表在极具有影响力的《纯粹与应用数学杂志》上，并向数学界推荐。
刘维尔由此，伽罗瓦这份手稿上的“伽罗瓦群理论”才得以在数学界大放异彩。
“伽罗瓦群理论”中最华彩的部分就是天才般地提出了“群论”这个概念。
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伽罗瓦理论用群论的方法来研究代数方程的解的理论。
在19世纪末以前，解方程一直是代数学的中心问题。
早在古巴比伦时代，人们就会解二次方程。
在许多情况下，求解的方法就相当于给出解的公式。
但是自觉地、系统地研究二次方程的一般解法并得到解的公式，是在公元9世纪的事。
三次、四次方程的解法直到16世纪上半叶才得到。
从此以后、数学家们转向求解五次以上的方程。
经过两个多世纪，一些著名的数学家，如欧拉、旺德蒙德、拉格朗日、鲁菲尼等，都做了很多工作，但都未取得重大的进展。
19世纪上半叶，阿贝尔受高斯处理二项方程(p为素数)的方法的启示，研究五次以上代数方程的求解问题，终于证明了五次以上的方程不能用根式求解。
他还发现一类能用根式求解的特殊方程。
这类方程现在称为阿贝尔方程。
阿贝尔还试图研究出能用根式求解的方程的特性，由于他的早逝而未能完成这项工作。
伽罗瓦从1828年开始研究代数方程理论(当时他并不了解阿贝尔的工作)，他试图找出为了使一个方程存在根式解，其系数所应满足的充分和必要条件。
到1832年他完全解决了这个问题。
在他临死的前夜，他将结果写在一封信中，留给他的一位朋友。
1846年他的手稿才公开发表。
伽罗瓦完全解决了高次方程的求解问题，他建立于用根式构造代数方程的根的一般原理，这个原理是用方程的根的某种置换群的结构来描述的，后人称之为“伽罗瓦理论”。
伽罗瓦理论的建立，不仅完成了由拉格朗日、鲁菲尼、阿贝尔等人开始的研究，而且为开辟抽象代数学的道路建立了不朽的业绩。
在几乎整整一个世纪中，伽罗瓦的思想对代数学的发展起了决定性的影响。
伽罗瓦理论被扩充并推广到很多方向。
戴德金曾把伽罗瓦的结果解释为关于域的自同构群的对偶定理。
随着20世纪20年代拓扑代数系概念的形成，德国数学家克鲁尔推广了戴德金的思想，建立了无限代数扩张的伽罗瓦理论。
伽罗瓦理论发展的另一条路线，也是由戴德金开创的，即建立非交换环的伽罗瓦理论。
1940年前后，美国数学家雅各布森开始研究非交换环的伽罗瓦理论，并成功地建立了交换域的一般伽罗瓦理论。
伽罗瓦理论还特别对尺规作图问题给出完全的刻画。
人们已经证明：这种作图问题可归结为解有理数域上的某些代数方程。
这样一来，一个用直尺和圆规作图的问题是否可解，就转化为研究相应方程的伽罗瓦群的性质。
在伽罗瓦死去14年后的1846年，法国数学家刘维尔整理出版了伽罗瓦的手稿，人们才逐渐理解了伽罗瓦的思想。
伽罗瓦运用他的理论彻底解决了方程的根式可解问题，他的主要结论可以归结为：一个方程根式可解当且仅当他的伽罗瓦群是可解群。
诚然，对于伽罗瓦的时代来说，群论无疑太过于超前了，当时的数学家们要么完全不能理解，以至于在几十年之后，当一位大数学家看到了他的理论后，苦苦思索了3个月，才能够理解其含义；当时的数学家们要么出于某种偏见，不给予他正确的评价，短视蒙蔽了他们，使得英才早逝。
伽罗瓦的生命永远的停留在了21岁，我们不敢去想象，如果他的生命再长一点，他会给我们这个世界做出多么大的贡献。
天才总是和孤寂相伴，孤寂的伽罗瓦没有亲人，孤寂的伽罗瓦没有爱人，孤寂的伽罗瓦甚至找不到一个可以在思想上和自己对话的人。
如果非说有的话，也只有一个早他3年死去和他同样不得意的阿贝尔，可惜的是，这两个天才从未蒙面。
高处不胜寒，站在一个空前的高度俯视着这个世界，他的孤寂可想而知。
伽罗瓦是不幸的，伽罗瓦又是幸运的。
伽罗瓦的不幸是因为他同时代的人没有理解他那超前的思想，他没有目睹群论强盛时的景象，一颗明星在本该最绚烂的时刻戛然而止，可怜无知音，弦断有谁听？我们不能不为之扼腕叹息；同时，伽罗瓦又是幸运的，因为他的理论最终得到了承认，不！是他们不得不接受他的理论！他开创的新科学不断发展壮大。
伽罗瓦在他21岁时离开了他热爱的数学，21岁的伽罗瓦永远是科学的孩子，21岁的伽罗瓦永远也不会长大，21岁的伽罗瓦，他冲动，他会把黑板擦砸向老师的头上；他不够成熟，他会为了坚持自己的想法不屈从于权贵。
21岁的伽罗瓦年轻、有激情，21岁的他敢冲敢做，21岁的他可以为了自己的爱去决斗，21岁的他可以为了自己的理想无所畏惧。
伽罗瓦，他永远地停留在了21岁的那个春天，青春的梦想，不老的传奇。
200年过去了，21岁的伽罗瓦风采依然，提笔挥洒的身影，依稀可见：群、环、域、多项式环、分裂域、内自同构、域链、根式可解。
彻底解决了代数方程可解性的群论已经足够强大，可是群论的魅力还不止于此。
由于群论的出现，一门新的数学分支产生了——抽象数学。
在此指引下，人们在数学上开始更注重于结构性，对称性，整体的把握。
群论更重要的意义在于他突破了原先的思维模式，提供了一种全新的理念。
如果非得做出个比较的话，那么群论的意义和微积分、解析几何、非欧几何、集合论那些最具有开创性的工作具有同等的地位。
甚至更要高深，因为有些可以通过不断努力积累得到，有的理论则是思维层面和思想高度的问题，无法通过后天的努力得到哪怕是一丁点的提高。
伽罗瓦的理论犹如天外飞仙，超尘脱俗，犹如羚羊挂角，无迹可寻。
因为，他的理论是抽象的！他的理论是方法论！是思想！从理论上说，所有的数学分支甚至是所有的社会科学、自然科学都可以通过代数结构联系在一起。
一、伽罗瓦群论产生的历史背景从方程的根式解法发展过程来看，早在古巴比伦数学和印度数学的记载中，他们就能够用根式求解一元二次方程ax2+bx+c=0，给出的解相当于+，，这是对系数函数求平方根。
接着古希腊人和古东方人又解决了某些特殊的三次数字方程，但没有得到三次方程的一般解法。
这个问题直到文艺复兴的极盛期（即16世纪初）才由意大利人解决。
他们对一般的三次方程x3+ax2+bx+c=0，由卡丹公式解出根x= + ，其中p = ba2，q = a3，显然它是由系数的函数开三次方所得。
同一时期，意大利人费尔拉里又求解出一般四次方程x4+ax3+bx2+cx+d=0的根是由系数的函数开四次方所得。
用根式求解四次或四次以下方程的问题在16世纪已获得圆满解决，但是在以后的几个世纪里，探寻五次和五次以上方程的一般公式解法却一直没有得到结果。
1770年前后，法国数学家拉格朗日转变代数的思维方法，提出方程根的排列与置换理论是解代数方程的关键所在，并利用拉格朗日预解式方法，即利用1的任意n次单位根（n =1）引进了预解式x1+ x2+ 2x3+…+ n-1xn，详细分析了二、三、四次方程的根式解法。
他的工作有力地促进了代数方程论的进步。
但是他的这种方法却不能对一般五次方程作根式解，于是他怀疑五次方程无根式解。
并且他在寻求一般n次方程的代数解法时也遭失败，从而认识到一般的四次以上代数方程不可能有根式解。
他的这种思维方法和研究根的置换方法给后人以启示。
1799年，鲁菲尼证明了五次以上方程的预解式不可能是四次以下的，从而转证五次以上方程是不可用根式求解的，但他的证明不完善。
同年，德国数学家高斯开辟了一个新方法，在证明代数基本理论时，他不去计算一个根，而是证明它的存在。
随后，他又着手探讨高次方程的具体解法。
在1801年，他解决了分圆方程xp-1=0（p为质数）可用根式求解，这表明并非所有高次方程不能用根式求解。
因此，可用根式求解的是所有高次方程还是部分高次方程的问题需进一步查明。
随后，挪威数学家阿贝尔开始解决这个问题。
1824年到1826年，阿贝尔着手考察可用根式求解的方程的根具有什么性质，于是他修正了鲁菲尼证明中的缺陷，严格证明：如果一个方程可以根式求解，则出现在根的表达式中的每个根式都可表示成方程的根和某些单位根的有理数。
并且利用这个定理又证明出了阿贝尔定理：一般高于四次的方程不可能代数地求解。
接着他进一步思考哪些特殊的高次方程才可用根式解的问题。
在高斯分圆方程可解性理论的基础上，他解决了任意次的一类特殊方程的可解性问题，发现这类特殊方程的特点是一个方程的全部根都是其中一个根（假设为x）的有理函数，并且任意两个根q1(x)与q2(x)满足q1q2(x)=q2q1(x)，q1，q2为有理函数。
现在称这种方程为阿贝尔方程。
其实在对阿贝尔方程的研究中已经涉及到了群的一些思想和特殊结果，只是阿贝尔没能意识到，也没有明确地构造方程根的置换集合（因为若方程所有的根都用根x1来表示成有理函数qj(x1)，j=1,2,3,…,n，当用另一个根xi代替x1时，其中1〈i≤n ，那么qj(xi)是以不同顺序排列的原方程的根，j=1,2,…,n。
实际上应说根xi=q1(xi),q2(xi),…,qn(x i)是根x1,x2,…,xn的一个置换），而仅仅考虑可交换性q1q2(x)=q2q1(x)来证明方程只要满足这种性质，便可简化为低次的辅助方程，辅助方程可依次用根式求解。
阿贝尔解决了构造任意次数的代数可解的方程的问题，却没能解决判定已知方程是否可用根式求解的问题。
法国数学家伽罗瓦正是处在这样的背景下，开始接手阿贝尔未竞的事业。
二.伽罗瓦创建群理论的工作伽罗瓦仔细研究了前人的理论，特别是拉格朗日、鲁菲尼、高斯、阿贝尔等人的著作，开始研究多项式方程的可解性理论，他并不急于寻求解高次方程的方法，而是将重心放在判定已知的方程是否有根式解。
如果有，也不去追究该方程的根究竟是怎样的，只需证明有根式解存在即可。
峰 1.伽罗瓦群论的创建伽罗瓦在证明不存在一个五次或高于五次的方程的一般根式解法时，与拉格朗日相同，也从方程根的置换入手。
当他系统地研究了方程根的排列置换性质后，提出了一些确定的准则以判定一个已知方程的解是否能通过根式找到，然而这些方法恰好导致他去考虑一种称之为“群”的元素集合的抽象代数理论。
在1831年的论文中，伽罗瓦首次提出了“群”这一术语，把具有封闭性的置换的集合称为群，首次定义了置换群的概念。
他认为了解置换群是解决方程理论的关键，方程是一个其对称性可用群的性质描述的系统。
他从此开始把方程论问题转化为群论的问题来解决，直接研究群论。
他引入了不少有关群论的新概念，从而也产生了他自己的伽罗瓦群论，因此后人都称他为群论的创始人。
对有理系数的n次方程x+axn-1+a2xn-2+…+an-1x+an=0 （1）假设它的n个根x1,x2,…,xn的每一个变换叫做一个置换，n个根共有n!个可能的置换，它们的集合关于置换的乘法构成一个群，是根的置换群。
方程的可解性可以在根的置换群的某些性质中有所反映，于是伽罗瓦把代数方程可解性问题转化为与相关的置换群及其子群性质的分析问题。
现在把与方程联系起的置换群（它表现了方程的对称性质）称为伽罗瓦群，它是在某方程系数域中的群。
一个方程的伽罗瓦群是对于每一个其函数值为有理数的关于根的多项式函数都满足这个要求的最大置换群，也可以说成对于任一个取有理数值的关于根的多项式函数，伽罗瓦群中的每个置换都使这函数的值不变。