§2 2.1 指数概念的扩充
北师大版必修1数学教学练习课件第三章指数函数和对数函数第二节指数扩充及其运算性质
第三章 指数函数和对数函数
〔跟踪练习 4〕 (1)设|x|<3，化简 x2－2x＋1－ x2＋6x＋9； (2)如果 m<－5，化简：|6－m|－|2m＋1|＋ m2＋10m＋25； (3)已知 y＝ 3x－2＋ 2－3x＋ 26，求实数 x 及 y 的值．
数 学 必 修 ① 北 师 大A 版
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A．－1
B．14
C．12 [解析]
因为 f(－2)＝2－2＝14，
D．32
数 学 必
所以 f[f(－2)]＝f(14)＝1－ 14＝1－12＝12，故答案选 C．
修
①
北 师 大A 版
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第三章 指数函数和对数函数
3．若 b－3n＝5m(m，n∈N＋)，则 b＝_5_－__3m_n___.
[解析] 若 bn＝am(m，n∈N＋，a>0，b>0)，则 b＝amn ，所以由 b－3n＝5m 知 b
数 学
3x－2≥0 2－3x≥0
，解得xx≥≤2323
.
必
修 ① 北
∴x＝23，从而 y＝ 26.
师
大A
版
返回导航
第三章 指数函数和对数函数
空间
典例 5 已知 x－82－ x－102＝2x－18 成立，求 x 的取值范围．
[错解] ∵ x－82＝x－8， x－102＝x－10，
∴原方程可转化为(x－8)－(x－10)＝2x－18.解得 x＝10.
数
∴原方程可化为(8－x)－(10－x)＝2x－18，解得 x x 的取值范围为 8≤x≤10.
北 师 大A 版
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·
第三章 指数函数和对数函数
『规律总结』 熟练掌握指数运算的性质及公式，是正确、迅速地化简、 求值的条件．
指数概念的扩充
解：（１） 3x 2 (2x 2 yz) (3 2)x 2 2 yz 6yz ；
1
（２） (x y)
4 y
1
4x
y
y 4xy 4x ．
必修1第三章第2节
n
m
幂，记作 b a n
必修1第三章第2节
有时我们把正分数指数幂写成根式形式，即
m
a n n am (a 0)
1
2
例如, 82 8 2 2 ， 273 3 272 9
必修1第三章第2节
正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义 相仿，即
m
a
n
1
m
(a
0, m, n
3.计算下列根式
（1） ( 2 3 2)4 （2） 18 3 2
解：（1） (
23
2)4
1
(2 2
1
23 )4
14
22
14
23
（2）
4
22 23
3 1
23
1
23 23
83
2
11
322 3
1
326
36
2
必修1第三章第2节
（能力提升）已知 x x 1 =3,求下列各式的值：
必修1第三章第2节
第二部分
指数运算的性质
必修1第三章第2节
整数指数幂的运算法则
am an amn (am )n amn (ab)n anbn
必修1第三章第2节
amn ,当m n时
新版高中数学北师大版必修1课件3.2.1指数概念的扩充
当堂检测
;
-9-
2.1 指数概念的扩充
探究一
探究二
探究三
首页 易错辨析
课前篇 自主预习
课课堂堂篇篇 探探究究学学习习
当堂检测
1.分数指数幂是一个正实数,即b=
������
������ ������
⇔bn=am,其中a,b均为正实
数,且m,n∈Z,m,n互素.
2.将bk=d中的正实数b改写成分数指数幂的形式时,主要根据分数
行计算.注意积累和记忆10以内的常用的正整数的幂值,这是快速、
准确进行幂值计算的关键.
-15-
2.1 指数概念的扩充
探究一
探究二
探究三
首页 易错辨析
课前篇 自主预习
课课堂堂篇篇 探探究究学学习习
当堂检测
变式训练 3813+36-12的值等于
.
解析:813+36-12 = 3 8 + 136=2+16 = 163.
【例 3】
计算下列各式的值:(1)823;(2)125-13;(3)
36 25
-32.
2
解:(1)83
=
3
82
=
3
64=4;
(2)125-13
=
1
1
1253
=
3
1 125
=
15;
(3)
36 25
-32 =
1 3=
36 2
25
1=
36 3 25
1
6
3
=
122156.
5
当堂检测
求指数幂的值时,首先要将指数幂转化为根式的形式,然后再进
(1)解析:由分数指数幂的意义知,应有 2x+1>0,
指数概念的扩充数学教案
指数概念的扩充数学教案一、教学目标1. 让学生理解指数概念的扩充，掌握指数的运算性质。
2. 培养学生运用指数知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生对数学的兴趣，培养学生的逻辑思维能力。
二、教学内容1. 指数的概念扩充2. 指数的运算性质3. 指数在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：指数的概念扩充，指数的运算性质。
2. 教学难点：指数在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探索指数的概念和运算性质。
2. 利用实例分析，让学生了解指数在实际问题中的应用。
3. 采用小组讨论法，培养学生的团队合作精神。
五、教学过程1. 导入：通过回顾幂的概念，引导学生思考指数的定义。
2. 新课讲解：讲解指数的概念扩充，引导学生理解指数的运算性质。
3. 实例分析：分析指数在实际问题中的应用，让学生感受指数的重要性。
4. 练习与讨论：布置练习题，让学生巩固所学知识；组织小组讨论，分享解题心得。
5. 总结与反思：对本节课的内容进行总结，引导学生思考指数概念的扩充在现实生活中的意义。
6. 作业布置：布置适量作业，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课后作业：收集学生的课后作业，检查学生对指数概念和运算性质的理解程度。
2. 课堂练习：观察学生在课堂练习中的表现，了解他们对指数知识的掌握情况。
3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的参与程度和合作能力。
七、教学反馈与调整1. 根据学生的作业和课堂表现，及时给予反馈，指出学生的错误并提供正确的指导。
2. 根据学生的掌握情况，调整教学进度和教学方法，确保学生能够充分理解指数概念。
3. 在后续的教学中，增加更多的实际例子，让学生更好地应用指数知识解决实际问题。
八、拓展与延伸1. 介绍指数在其他数学领域的应用，如对数、微积分等，激发学生的学习兴趣。
2. 引导学生探索指数与幂的关系，进一步加深对指数概念的理解。
3. 鼓励学生自主研究指数在自然科学和社会科学中的应用，培养学生的研究能力。
§2__2.1__指数概念的扩充
的过剩近似值 31.622 776 60… 26.302 679 91… 26.001 595 63… 25.959 719 76… 25.954 938 25
10
2
10 ,10
1.5
1.42
,10
1.415
,10
1.4143
,10
1.41422
,...
15
10
2
的不足近似值
2 的不足近似值
1.4 1.41
m an
(a 0,m,n N ,n 1)
11
例３.把下列各式写成分数指数幂的形式： （1） 5 a 2 (a 0) ； （2） b (b 0) ； （3） 4 c3 (c 0)
解： （１） a a ；
5 2
2 5
（２） b b
（３） c c
4 3
1 2
3 4
12
1.414
25.118 864 31… 25.703 957 82…
25.941 793 62…
25.953 743 00… 25.954 340 62…
…
1.414 2 1.414 21
…
1.414
10 ,10 ,10
1.4
1.41
,10
1.4142
,10
1.41421
,...
16
10 10
2.计算： （1） 8 ; （2） 27 .
1 解： （1） 2 1 （2） 9
19
1 3
2 3
18
１.把下列各式中的 b 写成分数指数幂的形式： （1） b
5 4 5 2n 3m （2） b 3 ; ； （3） b (m, n N ). 32; ；
高中数学北师大版必修一 3.2.1-2指数概念的扩充、指数运算的性质 课件(33张)
【解析】 (1) －23＝－2； 4 4 (2) －32＝ 32＝ 3； 8 (3) 3－π8＝|3－π|＝π－3； (4)原式＝ x－y2＋y－x＝|x－y|＋y－x. 当 x≥y 时，原式＝x－y＋y－x＝0； 当 x<y 时，原式＝y－x＋y－x＝2(y－x)． 0，x≥y， 所以原式＝ 2y－x，x<y.
2．1 指数概念的扩充 2．2 指数运算的性质
【课标要求】 1.理解分数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义. ]2.掌握分数指数幂与根式的互化. 3.掌握幂的运算性质. 4.能熟练地运用性质进行化简或求值．
自主学习 |新知预习| 1．分数指数幂 (1)定义：给定正实数 a，对于任意给定的整数 m，n(m，n 互素)， m n m 存在唯一的正实数 b，使得 b ＝a ，我们把 b 叫作 a 的 次幂，记作 b n ＝a .
n 【思路点拨】 根式与分数指数幂互化的依据是 a ＝ am(a>0， m，n∈N＋，且 n>1)．当所求根式含有多重根号时，由里向外用分数指 数幂写出，然后再利用运算性质化简．
m n
【解析】 (1)－ x＝－x 6
2
1 2 6 1 3
1 2
(x>0)；
3 4 1 －3 4
4 1 y ＝(|y| ) ＝－y (y<0)；x ＝(x ) ＝ x 3(x>0)； 1 3 1 1 1 x 3 ＝x 3 ＝ x(x≠0)．故选 C.
m n
(2)意义：
2.无理数指数幂 无理数指数幂 aα(a>0，α 是无理数)是一个确定的正实数． 3．指数运算性质： 当 a>0，b>0 时，对任意实数 m，n 满足以下三条运算性质： (1)am· an＝am＋n. (2)(am)n＝amn. (3)(ab)n＝anbn.
2020-2021学年北师大版必修1 第三章2.1 指数概念的扩充 课件(26张)
分数指数幂的求值 求值：(1)62543；(2)4－32；(3)1861－14. 【解】 (1)62543＝[(25)2]43＝54×34＝53 ＝125. (2)4－23＝(22)－23＝2－3＝213＝18. (3)1861－14＝234×－14＝32.
把 a±mn(m，n 互素且 n>1)化为(cn)±mn形式再计算求值．
义的条件)：
(1)底数 a 必须为正数，即 a>0；
m
(2)an及
a－mn 中的
m，n
均为整数，且
n>1.
1.把下列各式中的 b(b>0)写成负分数指数幂的形 式： (1)b－5＝32；(2)bห้องสมุดไป่ตู้4＝35.
解：根据分数指数幂的概念知 (1)b＝32－15＝(25)－15＝2－1. (2)b＝3－54.
化简： 3 （1＋ 2）3＋4 （1－ 2）4. 【解】 3 （1＋ 2）3＋4 （1－ 2）4＝(1＋ 2)＋|1－ 2|＝1 ＋ 2＋ 2－1＝2 2.
本题易出现 4 （1－ 2）4＝1－ 2而致误失分，此类问题要注 意分数指数幂定义中两个限制条件．
1．若 x5＝7，则 x＝( )
A．－5 7
B．5 7
C．±5 7
D．不确定
解析：选 B.由分数指数幂的定义得 x＝715＝5 7.
2．式子 912－70 的值等于( )
A．－4
B．－10
C．2
D．3
解析：选 C.912－70＝32×21－1＝3－1＝2.
3．若 a＝3 （3－π）3，b＝4 （2－π）4，则 a＋b 的值为( )
A．1
B．5
2.求值：(1)64－21；(2)823；(3)125－31. 解：(1)64－12＝82×(－12)＝8－1＝18. (2)832＝23×32＝22＝4. (3)125－31＝53×(－13)＝5－1＝15.
指数概念的扩充数学教案
指数概念的扩充数学教案第一章：引言1.1 教学目标：让学生了解指数概念扩充的必要性。
让学生理解指数概念扩充的基本思路。
1.2 教学内容：回顾指数的基本概念和性质。
引出指数概念扩充的原因和意义。
1.3 教学步骤：1. 复习指数的基本概念和性质，例如：指数的定义、指数的运算规则等。
2. 提出问题，引导学生思考指数概念扩充的必要性。
3. 通过实例展示指数概念扩充的意义和应用。
1.4 练习题：1. 解释为什么需要扩充指数概念。
2. 简述指数概念扩充的基本思路。
第二章：指数的扩充定义与性质2.1 教学目标：让学生掌握指数的扩充定义。
让学生熟悉指数扩充后的性质。
2.2 教学内容：介绍指数的扩充定义。
讲解指数扩充后的性质。
2.3 教学步骤：1. 引入指数扩充的定义，解释指数扩充的概念。
2. 通过示例演示指数扩充的运算规则。
3. 引导学生发现指数扩充后的性质，如：单调性、奇偶性等。
2.4 练习题：1. 请给出指数扩充的定义。
第三章：指数函数的扩充3.1 教学目标：让学生了解指数函数的扩充概念。
让学生掌握指数函数扩充后的性质。
3.2 教学内容：介绍指数函数的扩充概念。
讲解指数函数扩充后的性质。
3.3 教学步骤：1. 引入指数函数扩充的概念，解释指数函数扩充的意义。
2. 展示指数函数扩充后的性质，如：单调性、奇偶性等。
3. 通过实例演示指数函数扩充的应用。
3.4 练习题：1. 解释什么是指数函数的扩充。
第四章：指数方程的扩充4.1 教学目标：让学生了解指数方程的扩充概念。
让学生掌握指数方程扩充后的解法。
4.2 教学内容：介绍指数方程的扩充概念。
讲解指数方程扩充后的解法。
4.3 教学步骤：1. 引入指数方程扩充的概念，解释指数方程扩充的意义。
2. 展示指数方程扩充后的解法，如：代入法、消元法等。
3. 通过实例演示指数方程扩充的应用。
4.4 练习题：1. 解释什么是指数方程的扩充。
第五章：指数不等式的扩充5.1 教学目标：让学生了解指数不等式的扩充概念。
优品课件之指数概念的扩充
指数概念的扩充3.2.1指数概念的扩充【自学目标】 1.掌握正整数指数幂的概念和性质； 2.理解n次方根和n次根式的概念，能正确地运用根式表示一个正实数的算术根； 3.能熟练运用n次根式的概念和性质进行根式的化简与运算。
【知识要点】 1．方根的概念若，则称x是a 的平方根；若，则称x是a的立方根。
一般地，若一个实数x满足，则称x为a的n次实数方根。
当n是奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数n次实数方根是一个负数，这时a的n的次实数方根只有一个，记作；当n是偶数时，正数的n次实数方根有二个，它们是相反数。
这时a的正的n次实数方根用符号。
注意：0的n 次实数方根等于0。
2．根式的概念式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数。
求a的n次实数方根的运算叫做开方运算。
3．方根的性质（1）；（2）当n是奇数时，，当n是偶数时，【预习自测】例1．试根据n次方根的定义分别写出下列各数的n次方根。
⑴25的平方根；⑵ 27的三次方根；⑶－32的五次方根；⑷ 的三次方根．例2．求下列各式的值：⑴ ；⑵ ；例3．化简下列各式：⑴ ；⑵ ；⑶ ；例4．化简下列各式：⑴ ；⑵ 。
【课堂练习】 1．填空：⑴0的七次方根；⑵ 的四次方根。
2．化简：⑴ ；⑵ ；⑶ ；⑷ 。
3．计算：【归纳反思】 1．在化简时，不仅要注意n是奇数还是偶数，还要注意a的正负； 2．配方和分母有理化是解决根式的求值和化简等问题常用的方法和技巧，而分类讨论则是不可忽视的数学思想。
【巩固提高】 1．的值为（） A． B． C． D． 2．下列结论中，正确的命题的个数是（）①当a<0时，；② ；③函数的定义域为；④若与相同。
A．0 B．1 C．2 D．3 3．化简的结果是( ) A．1 B．2a －1 C．1或 2a－1 D．0 4．如果a，b都是实数，则下列实数一定成立的是（） A． B． C． D． 5．当8<x<10时，。
指数概念的扩充数学教案
指数概念的扩充数学教案第一章：指数概念的引入1.1 教学目标1. 理解指数的概念及其在数学中的重要性。
2. 掌握指数的基本性质和运算规则。
3. 能够应用指数概念解决实际问题。
1.2 教学内容1. 指数的概念：正整数幂的定义，指数的表示方法。
2. 指数的基本性质：指数的乘法规则，指数的除法规则，指数的乘方规则。
3. 指数的运算：同底数幂的加法，同底数幂的减法，幂的乘法，幂的除法。
4. 应用指数概念解决实际问题：计算利息，复合增长，指数函数模型。
1.3 教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，通过引导学生思考和探索，让学生主动发现指数的基本性质和运算规则。
2. 利用数学软件或图形计算器，进行指数运算的演示和验证，增强学生对指数概念的理解。
3. 提供实际问题情境，让学生应用指数概念解决问题，培养学生的应用能力。
1.4 教学评估1. 课堂练习：布置一些基础的指数运算题目，检查学生对指数概念的理解和运算能力。
2. 课后作业：设计一些应用性的题目，让学生独立完成，评估学生对指数概念的应用能力。
3. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，共同解决一个复杂的指数问题，评估学生的合作和沟通能力。
第二章：指数函数的性质2.1 教学目标1. 理解指数函数的定义和性质。
2. 掌握指数函数的图像和特点。
3. 能够应用指数函数解决实际问题。
2.2 教学内容1. 指数函数的定义：指数函数的表示方法，指数函数的定义域和值域。
2. 指数函数的性质：指数函数的单调性，指数函数的奇偶性，指数函数的周期性。
3. 指数函数的图像：指数函数的图像特点，指数函数的渐近线。
4. 应用指数函数解决实际问题：人口增长，放射性衰变，利息计算。
2.3 教学方法1. 利用数学软件或图形计算器，绘制指数函数的图像，让学生直观地感受指数函数的性质。
2. 通过具体的例子，引导学生发现指数函数的单调性和奇偶性，深化学生对指数函数性质的理解。
3. 提供实际问题情境，让学生应用指数函数解决问题，培养学生的应用能力。
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指数扩充及其运算性质
2.1 指数概念的扩充
1.理解分数指数幂的概念. 1.理解分数指数幂的概念. 理解分数指数幂的概念 2.掌握分数指数幂和根式之间的互化. 2.掌握分数指数幂和根式之间的互化. 掌握分数指数幂和根式之间的互化 3.培养学生观察、分析、抽象概括的能力， 3.培养学生观察、分析、抽象概括的能力，渗透转化 培养学生观察 的数学思想. 的数学思想.
10 ,10 ,10
1.4
1.41
,10
1.4142
பைடு நூலகம்,10
1.41421
,...
10 < 10
1.4
1.41
< 10
1.414
< 10
1.4142 1.42
< ... < 10 < 10
1.5
2
< ... < 10
1.4143
< 10
1.415
< 10
10 是一个实数
2
1 =1和 a
α
−α
1 = α ( a > 0) a
人生就是攀登！让我们背负着命运给予的 重载，艰苦跋涉，攀登上一个又一个品德、 情操、知识的高峰吧！
m n
a
−
=
1
m an
(a > 0, m, n ∈ N + , n > 1)
把下列各式写成分数指数幂的形式： 例 ３ .把下列各式写成分数指数幂的形式： 把下列各式写成分数指数幂的形式 （2） （3） （ 1） a ( a > 0) ； ） b (b > 0) ； ） c (c > 0) ） （ （
（ ２）因为 8 = 4 ， 所以 4 = 8 ．
2 3
1 3
3 2
有时我们把正分数指数幂写成根式形式， 有时我们把正分数指数幂写成根式形式，即
a = a (a > 0)
n m
m n
例如, 8 = 8 = 2 2 ， 27 = 27 =9
3 2
1 2
2 3
正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义 相仿， 相仿，即
5 2 4 3
解： １） a = a ； （
5 2
2 5
（ ２） b = b
（ ３） c = c
4 3
1 2
3 4
规定： 的正分数指数幂等于0 规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义; 的负分数指数幂无意义; 根式与分数指数幂是可以互化的; 根式与分数指数幂是可以互化的; 分数指数幂只是根式的一种新的写法，而不是 分数指数幂只是根式的一种新的写法，
指数扩大到了全体实数
注意： 一定大于０ 也大于０ 注意：指数幂 a 中， a 一定大于０， a 也大于０
α α
１.把下列各式中的 b 写成分数指数幂的形式： 写成分数指数幂的形式： （1 ） b
−5
= 32; ； 2） b −4 = 35 ; ； 3） b −2n = π3m (m, n ∈ N + ). （2 （3 （ （
a = a ⋅ a ⋅⋅⋅⋅⋅ a (a > 0).
m n 1 n 1 n 1 n
思考：无理指数幂有意义吗？ 思考：无理指数幂有意义吗？
2
的过剩近似值 1.5 1.42 1.415 1.414 3 1.414 22
的过剩近似值 60… 31.622 776 60 91… 26.302 679 91 26.001 595 63… 63 76… 25.959 719 76 25.954 938 25
− 1 5 − 5 4 − 3m 2n
解 ： 1） b = 32 ; （ 2） b = 3 ;（3） b = π （ ） ） （ ）
(m, n ∈ N + )
2.计算： （1 2.计算： 1） 8 ; （2） 27 . 计算 （
−
1 3
−
2 3
1 解 ： 1） （ 2
1 （2 ） 9
1.指数幂的运算性质适用于实数指数幂. 1.指数幂的运算性质适用于实数指数幂. 指数幂的运算性质适用于实数指数幂 2.对根式的运算，应先化为分数指数幂， 2.对根式的运算，应先化为分数指数幂，再根据运算性 对根式的运算 质进行计算，计算结果一般用分数指数幂表示. 质进行计算，计算结果一般用分数指数幂表示.
引入新课
细胞分裂中的正整数指数幂
复习： 复习：
a (a ≠ 0) =
0
1
m+n
a
−n
=
1 (a ≠ 0) n a
a ⋅a = a
m n
(a ) = amn
m n
(a ⋅ b)
n
= an ⋅bn
上述运算性质的范围？ 上述运算性质的范围？ 不一定是整数
如臭氧含量 Q 与时间 t 存 在指数关系， 在指数关系 ，当 t 是半年 个月时， 时 ，或 15 年零 3 个月时 ， 即指数是分数时， 即指数是分数时，情况 又怎么样？ 又怎么样？
10
2
10 ,10 ,10
1.5
1.42
1.415
,10
1.4143
,10
1.41422
,...
10
2
的不足近似值
2 的不足近似值
1.4 1.41 1.414 1.414 2 1.414 21 …
1.414
31… 25.118 864 31 82… 25.703 957 82 62… 25.941 793 62 25.953 743 00 00… 62… 25.954 340 62 …
5 4 5
−5n
= π3m (m, n ∈ N + ).
解 ： 1） b = 32 ; （ ） （ 2） b = 3 ; ） （ 3） b = π ）
− 3m 5n 5 4
1 5
(m, n ∈ N + )
例 2.计算 计算 （ 1） 27 ； （ 2） 4 ． ） ）
1 3
3 2
33 = 27 ，所以 27 = 3 ； 解 ： １ ）因为 （
大气中的臭氧含量还有多少呢? 大气中的臭氧含量还有多少呢?
分数指数幂
给定正实数 a ，对于任意给定的整数 m, n 互素） ，存在唯一的正实数 （ m, n 互素） 存在唯一的正实数 b ， ，
m 使得 b = a ，我们把 b 叫做 a 的 次 n
n m
幂，记作 b = a
m n
例 1.把下列各式中的 b （ b＞0）写成分数指数幂的形式： 把下列各式中的 ＞ ）写成分数指数幂的形式： （2） （3） （ 1） b = 32; ； ） b = 3 ; ； ） b ） （ （