§2 2.1 指数概念的扩充

5 4 5
−5n
= π3m (m, n ∈ N + ).
解 ： 1） b = 32 ; （ ） （ 2） b = 3 ; ） （ 3） b = π ）
− 3m 5n 5 4
1 5
(m, n ∈ N + )
例 2.计算 计算 （ 1） 27 ； （ 2） 4 ． ） ）
1 3
3 2
33 = 27 ，所以 27 = 3 ； 解 ： １ ）因为 （
（ ２）因为 8 = 4 ， 所以 4 = 8 ．
2 3
1 3
3 2
有时我们把正分数指数幂写成根式形式， 有时我们把正分数指数幂写成根式形式，即
a = a (a > 0)
n m
m n
例如, 8 = 8 = 2 2 ， 27 = 27 =9
3 2
Baidu Nhomakorabea
1 2
2 3
正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义 相仿， 相仿，即
m n
a
−
=
1
m an
(a > 0, m, n ∈ N + , n > 1)
把下列各式写成分数指数幂的形式： 例 ３ .把下列各式写成分数指数幂的形式： 把下列各式写成分数指数幂的形式 （2） （3） （ 1） a ( a > 0) ； ） b (b > 0) ； ） c (c > 0) ） （ （
大气中的臭氧含量还有多少呢? 大气中的臭氧含量还有多少呢?
分数指数幂
给定正实数 a ，对于任意给定的整数 m, n 互素） ，存在唯一的正实数 （ m, n 互素） 存在唯一的正实数 b ， ，
m 使得 b = a ，我们把 b 叫做 a 的 次 n
n m
幂，记作 b = a
m n
例 1.把下列各式中的 b （ b＞0）写成分数指数幂的形式： 把下列各式中的 ＞ ）写成分数指数幂的形式： （2） （3） （ 1） b = 32; ； ） b = 3 ; ； ） b ） （ （
§2
指数扩充及其运算性质
2.1 指数概念的扩充
1.理解分数指数幂的概念. 1.理解分数指数幂的概念. 理解分数指数幂的概念 2.掌握分数指数幂和根式之间的互化. 2.掌握分数指数幂和根式之间的互化. 掌握分数指数幂和根式之间的互化 3.培养学生观察、分析、抽象概括的能力， 3.培养学生观察、分析、抽象概括的能力，渗透转化 培养学生观察 的数学思想. 的数学思想.
10 ,10 ,10
1.4
1.41
,10
1.4142
,10
1.41421
,...
10 < 10
1.4
1.41
< 10
1.414
< 10
1.4142 1.42
< ... < 10 < 10
1.5
2
< ... < 10
1.4143
< 10
1.415
< 10
10 是一个实数
2
1 =1和 a
α
−α
1 = α ( a > 0) a
引入新课
细胞分裂中的正整数指数幂
复习： 复习：
a (a ≠ 0) =
0
1
m+n
a
−n
=
1 (a ≠ 0) n a
a ⋅a = a
m n
(a ) = amn
m n
(a ⋅ b)
n
= an ⋅bn
上述运算性质的范围？ 上述运算性质的范围？ 不一定是整数
如臭氧含量 Q 与时间 t 存 在指数关系， 在指数关系 ，当 t 是半年 个月时， 时 ，或 15 年零 3 个月时 ， 即指数是分数时， 即指数是分数时，情况 又怎么样？ 又怎么样？
10
2
10 ,10 ,10
1.5
1.42
1.415
,10
1.4143
,10
1.41422
,...
10
2
的不足近似值
2 的不足近似值
1.4 1.41 1.414 1.414 2 1.414 21 …
1.414
31… 25.118 864 31 82… 25.703 957 82 62… 25.941 793 62 25.953 743 00 00… 62… 25.954 340 62 …
a = a ⋅ a ⋅⋅⋅⋅⋅ a (a > 0).
m n 1 n 1 n 1 n
思考：无理指数幂有意义吗？ 思考：无理指数幂有意义吗？
2
的过剩近似值 1.5 1.42 1.415 1.414 3 1.414 22
的过剩近似值 60… 31.622 776 60 91… 26.302 679 91 26.001 595 63… 63 76… 25.959 719 76 25.954 938 25
5 2 4 3
解： １） a = a ； （
5 2
2 5
（ ２） b = b
（ ３） c = c
4 3
1 2
3 4
规定： 的正分数指数幂等于0 规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义; 的负分数指数幂无意义; 根式与分数指数幂是可以互化的; 根式与分数指数幂是可以互化的; 分数指数幂只是根式的一种新的写法，而不是 分数指数幂只是根式的一种新的写法，
− 1 5 − 5 4 − 3m 2n
解 ： 1） b = 32 ; （ 2） b = 3 ;（3） b = π （ ） ） （ ）
(m, n ∈ N + )
2.计算： （1 2.计算： 1） 8 ; （2） 27 . 计算 （
−
1 3
−
2 3
1 解 ： 1） （ 2
1 （2 ） 9
1.指数幂的运算性质适用于实数指数幂. 1.指数幂的运算性质适用于实数指数幂. 指数幂的运算性质适用于实数指数幂 2.对根式的运算，应先化为分数指数幂， 2.对根式的运算，应先化为分数指数幂，再根据运算性 对根式的运算 质进行计算，计算结果一般用分数指数幂表示. 质进行计算，计算结果一般用分数指数幂表示.
人生就是攀登！让我们背负着命运给予的 重载，艰苦跋涉，攀登上一个又一个品德、 情操、知识的高峰吧！
指数扩大到了全体实数
注意： 一定大于０ 也大于０ 注意：指数幂 a 中， a 一定大于０， a 也大于０
α α
１.把下列各式中的 b 写成分数指数幂的形式： 写成分数指数幂的形式： （1 ） b
−5
= 32; ； 2） b −4 = 35 ; ； 3） b −2n = π3m (m, n ∈ N + ). （2 （3 （ （