向量的加法及几何意义

但是这并不是竞技魅力的全部。奥林匹克运动会的发起人皮埃尔·德·顾拜旦曾说过：“奥运会重要的不是胜利而是参与，生 活的本质不是索取而是奋斗。在奥林匹克这个舞台上，有几万人在为自己的理想而奋斗，有几十万人，甚至几百万、几千万、 几亿人在为了来到这个舞台而不断超越着自我。他们中间的一些人可能最终也与金牌无缘，但一直在努力且永不放弃，应该赢 得社会的尊重和敬意”。其实，金牌并不是奥运会的全部。如果其光环被无限放大，也就背离了奥林匹克的本意。 天真的提醒。相差十岁开外，已经有一代的辈份了吧？怎么好叫哥哥呢？“是。叔、叔，要教～导、你——！”轻狂书生一发 咬上了牙。小童生打个寒噤，觉得叔叔好怪哦！满脸写满疑问，就被怪叔叔脚不沾地的拖走了。各人都两两分好了组，便各安 其位，每组自据一案，个个面壁，低声商议，推一人执笔，免得由笔迹泄露哪句是谁所作。“你来写吧。”宝音对刘晨寂轻声 道。她写字还不算特别顺，不敢献丑。刘晨寂也不推让，执起笔来，问：“你要什么韵？”宝音沉思好一会儿：“我只想出几 个字，别等我了。你喜欢用什么韵？”“我不妨。”刘晨寂道，“先尽着你罢。”宝音低低道：“期。花期的期。”刘晨寂点 头，算是记下了。他总不动笔，宝音想得了一联，怕时间不够，也不好等他了，赧然道：“我有一联。”刘晨寂便提笔。宝音 当他自己要写了，等他，他只静着，反在等宝音。宝音方悟，他提笔，是要她说句子，他好录，忙红着脸报给他：“野老闲与 朱鹭钓，娇娥笑对杏花期。”怕写得不好，被他笑，声如蚊蚋，有几个字，简直连自己都听不清。他录下来，一字不错，点点 头：“挺好。”又问：“这是颈联了。后头呢？”后头，宝音想不出怎么结尾。刘晨寂道：“那我先写前半首？”宝音点头。 刘晨寂舒袖展锋，并不思索，写道：“久梦桃夭始自知，江南已是落花时。半城红谢唐人卷，两处青余陌上词。”如在静默的 冬夜，捧起一盏清茶，齿颊留香。他这样好的文风，前一题，怎交白卷？因他不在乎丢脸，宝音在乎。他特来替宝音解围、与 宝音搭档，就不能叫宝音在众人目光之下，冷汗涔涔。他为何对宝音这样好？宝音被感动了。她感动的时候，往往脑袋就会变 成一团浆糊。明柯当时若不用私奔的故事来感动她，她也不会犯糊涂去盗出金像。可惜她糊涂的时候，就写不出诗了。时间已 快到，有的人已经交卷了。刘晨寂道：“还有尾联？”宝音知道还有尾联，但她哪里编得出来了。“你心事太重了。”刘晨寂 叹道。是，宝音除了感动之外，还在猜他为何对她好，是不是跟表 有什么渊源，又想到明柯私奔的故事里，会不会有什么真 情，还在想恩与怨、情与仇、前世与今生，孰取孰舍、何去何从。“交给我罢？”刘晨寂无奈道。“嗯。”宝音应道。恍惚间 她觉得把手里一切难解的题，都交给刘晨寂发付了。刘晨寂写下收句：“须知桃下少年好，得意时节正展眉。” 看了她一眼， 这是他对她的期许么？叫她放下一切，专心享受表 的人生？宝音满眼的疑问，刘晨寂低下头去收拾纸笔，似再无意愿跟宝音 交流，纸卷底下，却不动声色递过来一件东西？宝音手指触及，但觉是张很小的纸，叠成个包，不知里头装了什么东西，心头 狂跳。这是什么？“回家之前，找空
P93 课堂练习
１.如图,已知a、b，用向量加法的三角形法则作出a + b. (1) (3) b a (2) a a A b a b a+b (4) a b
b
a+b
2.如图，已知a、b，用向量加法的平行四边形法则作出a +
b. （1） b a
(2)
b a
b A a b
a
判断 | a + b | 与 | a | + | b | 的大小
位移的合成可以看作向量加法 三角形法则的物理模型。
B
还有没有其他的做法？
以同一点O为起点的两个已知向量 a、 b为邻边作 OACB，则以Ｏ为起点的对角线OC就是a与b 的和． B C
a
O
同起点的对角线
b
a b
A
o·
B
A
作法（1）在平面内任取一点O (2)作 OA = a ,OB = b (3)作 OC = a + b
求两个向量和的运算叫做向量的加法.
B
a
b
ab
O
b a
A
根据向量加法的定义得出的 求向量和的方法,称为向量
首尾顺次相连
加法的三角形法则。
起→终
已知向量a , b, 求作向量a + b
a b
o·
作法（1）在平面内任取一点O (2)作 OA = a , AB = b (3)作 OB = a + b A
（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度 间的夹角表示，精确到度）。 解：（1）如图2.2-13所示，AD表示船速，AB表示水速，以 AD、AB为邻边作 ABCD，则AC表示船实际航行的 速度。 D C
A
B
（2 ）在Rt ABC中， AB 2， BC 5，
位移的合成
上海 上海
b
c
台北 香港 香港
a
台北
探究
图2.2-2表示橡皮条在两个力的作用下，沿着 ＧＣ的方向伸长了ＥO；图2.2-3表示撤去F1和F2， 用一个力Ｆ作用在橡皮条上，使橡皮条沿着相同 的方向伸长相同的长度。
改变力Ｆ1与Ｆ2的大小和方向，重复以 上的实验你能发现Ｆ 与Ｆ1、Ｆ2之间的关系 吗？
为竞技比赛最大的魅力是竞赛结果的不确定性，以及运动员内在的健将风范。在竞技运动的比赛中，无论是两强相遇或是强弱 相对，其比赛结果都可能出人意料之外而使其充满悬念。由于体育运动竞赛是直接追求胜负、公开挑战极限、在规定的时间内 能及时看到结果的比赛形式，使人们在体育竞技中可以强烈地体验到胜利后的狂喜、失败后的悲伤，战胜自我的自豪，意志软 弱的羞愧。 ； http://www.bbtysl.com 猫先生官网 jyh17kae
请根据下图进行探索。
3.根据图示填空： （1）a + d = (2) c + b =
4.根据图示填空： (1) a + b = c (2) c + d = f (3) a + b + d = f (4) c + d + e = g
( 2) MA BN AC CB ________

| a + b |= | b | - | a |
一般地，我们有： ab a b
探究：数的加法满足交换律与结合律，即对任意
b∈R，有a+b=b+a， 任意向量
a，
(a+b)+c=a+(b+c)
a, b 的加法是否也满足交换律与结合律？
即有a b b a和(a b) c a (b c)
力的合成可以看作向量加法的 平行四边形法则的物理模型。
C
例1 如图2.2-7,已知向量a、b，求作向量a + b.
b a 图2.2-7
o
A
B
C
当向量a ,b 是共线向量时,a + b 又如何 作出来?
(1)向同
a
(2)反向
a
b
A
b
B
C B C A
AC = a + b
力F对橡皮条产生的效果,与力F1与F2共 同产生的效果相同,物理学中把力F叫做 F1与F2的合力. 由图2.2-4发现,力F在以力F1、F2为邻边的
图2.2-4
平行四边形的对角线上，并且大小等于平 行四边形的对角线的长。
力的合成
已知向量a和b, 在平面内任取一点O, 作OA a, AB b, 则向量OB叫做a和b的和, 记作a b.即a b=OA+ AB =OB
1、不共线
a b
o·
a
A
a+ b
b
B
| a+ b|< | a|+ |b|
判断 | a + b | 与 | a | + | b | 的大小 2、 共线 (1)向同 (2)反向
a
a+ b
b
a
b
a+ b
| a + b |= | a | + | b |
AC = a + b
规定： a + 0 = 0 + a = a
思考:当在数轴上表示两个共线向量时，它们的
加法与数的加法有什么关系？ 答:数轴上两个向量的加法与数的加法是类似的。
①两个数相加其结果是一个数，对应数轴上的
一个点。
②在数轴上的两个向量相加，它们的和仍是一个
向量，对应于数轴上的一条有向线段。
D A B
( A) AB AD ( B) BA DA (C)CB AB
(D)CD AD
P101 A组 1、2
C
a+ b = b+ a (a + b) + c = a + (b + c )
4 、 a b a b
作业：
课本P101 A组 3、4（1）（2）（3）
所以 AC AB
2
BC
2
5 因为 tan CAB , 由计算器得CAB 68 2
22 52 29 5.4
答：船实际航行速度的大小约为5.4km/h，方向与 水的流速间的夹角约为 68
思考题
Biblioteka Baidu1.在
B ABCD中， CA ____
向量的概念: 向量的表示方法： 零向量、单位向量概念： 平行向量定义： 相等向量定义： 共线向量与平行向量关系：
引入：
数能进行运算，有了运算而使数的作 用得以充分展现。与数的运算类比，向量 能否进行运算呢？
2.2 平面向量的线性运算
思考：由于大陆和台湾没有直航，要从台北乘飞机到上
海，须先从台北飞到香港，再从香港飞到上海，则飞机的 位移是多少?


e
5.化简 (1) AB CD BC ________ AD
MN ( 2) MA BN AC CB ________



例2 长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输,
如图2.2-12所示,一艘船从长江南岸A点出发,以5km/h的速 度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东２ km/h． （1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速 度（保留两个有效数字）；