上海交大版大学物理上册答案

习题

1-1. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为

r = R(cosωt i + sin ωt j) 其中ω 为常量．求：（1）质点的轨道；(2)速度和速率。

解：1）由r = R(cosωt i + sin ωt j) 知

x = R cos ωt

y = R sin ωt

消去t 可得轨道方程x 2 + y2 = R 2

2）v = d r

= -ωR sin ωt i + ωRcosωt j dt

v = [(-ωR sin ωt) 2+(ωR cos ωt) 2

1

] 2 = ωR

1-2. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为r = 4t 2 i + (3 + 2t) j ，式中r 的单位为m ，t 的单位为s .求：（1）质点的轨道；（2）从t = 0 到t = 1秒的位移；（3）t = 0 和t = 1秒两时刻的速度。解：1）

由r = 4t 2 i + (3 + 2t) j 可知

x = 4t 2

y = 3 + 2t

消去t 得轨道方程为：x = (y - 3)2

a 2

- a 2

t 2 t

2） v =

d r

= 8t i + 2 j dt

1

Δr = ⎰ 1

v dt = ⎰ (8t i + 2 j )dt = 4i + 2 j

3） v (0) = 2 j

v (1) = 8i + 2 j

1-3. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为 r = t 2

i + 2t j ，式中 r 的单位为

m ， t 的单位为 s .求：（1）任一时刻的速度和加速度；（2）任一时刻的切向加速

度和法向加速度。

解：1） v =

d r

= 2t i + 2 j

dt

a =

d v

= 2i dt

1

1

2） v = [(2t)2

+ 4] 2 = 2(t

+ 1) 2 a =

dv = 2t

dt t 2 + 1

2 a n = =

1-4. 一升降机以加速度 a 上升，在上升过程中有一螺钉从天花板上松落，升 降机的天花板与底板相距为 d ，求螺钉从天花板落到底板上所需的时间。

解：以地面为参照系，坐标如图，升降机与螺丝的运动方程分别为

y 1 = v 0t + 1

at 2

2

（1） 图 1-4

y = h + v t - 1

gt 2

（2） 2 0

2

y 1 = y 2

（3）

t 2 +1

v 2 x y + v 2 1 [v 2 + (gt )2 ] 2 0

解之

t

1-5. 一质量为 m 的小球在高度 h 处以初速度

v 0 水平抛出，求： （1）小球的运动方程；

（2）小球在落地之前的轨迹方程； d r d v d v （3）落地前瞬时小球的 ，

，

.

d t

d t

d t

解：（1） x = v 0 t

y = h - 1

gt 2

2

式（1）

式（2）

r (t) = v 0

t i + (h - 1 gt 2 ) j 2

gx 2

（2）联立式（1）、式（2）得

y = h -

2v

2

d r （3）

= v 0 dt

i - gt j

而 落地所用时间 t

所以

d r = v i - dt

v = = j d v

= -g j dt

dv =

g 2t dt (

1-6. 路灯距地面的高度为 h 1 ，一身高为 h 2 的人在路灯下以匀速 v 1 沿直线行 走。试证明人影的顶端作匀速运动，并求其速度 v 2 .

2gh v 2 + (-gt)2

证明：设人从O 点开始行走，t 时刻人影中足的坐标为x1，人影中头的坐标为x2 ，由几何关系可得图1-6

x

2

x 2 - x

1

=

h

1

h

2

而x1= v

t

所以，人影中头的运动方程为

x 2 =

h

h

1

x

1

-h=

h

1

t

v

h - h 0

1 2 1 2

人影中头的速度v

2

=

dx

2

dt

=

h

1v

h

1

- h

2

1-7. 一质点沿直线运动，其运动方程为x = 2 + 4t - 2t 2(m)，在t 从0 秒到

3 秒的时间间隔内，则质点走过的路程为多少？

解：v = dx

= 4 - 4t

dt

若v = 0 解的t = 1s

⊗x

1 = x

1

- x

= (2 + 4 - 2) - 2 = 2m

⊗x

3= x

3

-x

1

= (2 + 4 ⨯ 3 - 2 ⨯ 32 ) - (2 + 4 - 2) = -8m

⊗x = ⊗x

1 + ⊗x

2= 10 m

1-8. 一弹性球直落在一斜面上，下落高度

h = 20cm ，斜面对水平的倾角θ = 30o ，问它

第二次碰到斜面的位置距原来的下落点多远

(假设小球碰斜面前后速度数值相等，碰撞时人

射角等于反射角)。

图1-8