苏教版数学高二必修五教学案25线性规划二
高中数学简单线性规划教案
高中数学简单线性规划教案
目标：学生能够理解和应用简单线性规划概念，解决实际问题
一、引入
1. 引导学生回顾线性规划的基本概念：目标函数、约束条件等。
2. 引导学生思考以下问题：什么是线性规划？线性规划在生活中有哪些应用？
二、知识点讲解
1. 线性规划的定义：将问题转化为目标函数和约束条件的最优化问题。
2. 线性规划的基本步骤：确定目标函数、列出约束条件、求解最优解等。
3. 简单线性规划的例子：例如生产某种产品时的最优生产数量、销售某种商品时的最大利润等。
三、练习与应用
1. 让学生通过实际例子练习简单线性规划的求解过程。
2. 给学生一个生活中的实际问题，让他们尝试用线性规划方法解决。
四、总结与反思
1. 总结本节课所学的内容，强调线性规划的重要性和应用价值。
2. 让学生思考如何将线性规划应用到更复杂的实际问题中，并鼓励他们多做练习。
五、作业
1. 布置相关练习题和应用题作为作业，巩固本节课所学的知识。
2. 提醒学生在做作业时要注意思考问题的建模和求解方法。
六、拓展
1. 可以邀请专业人士或相关领域的学者给学生讲解线性规划在实际中的应用和发展趋势。
2. 可以组织学生参加线性规划竞赛或实践活动，增强他们的动手能力和实际应用能力。
必修5配套课件：3.3.3 简单的线性规划问题(二)
x－2y＋1≤0， 【例 3】 若变量 x，y 满足2x－y≥0，
x≤1，
则点 P(2x－y，
x＋y)表示区域的面积为( )
3
4
A.4
B.3
1
C.2
D.1
解析：由x2＋x－y＝y＝b，a， 可得xy＝ ＝a2＋ b3－ 3b， a. 代入 x，y 的关系式，得aa－ ≥b0＋ ，1≤0，
a＋b－3≤0. 如图 D16，易得阴影面积 S＝12×2×1＝1. 答案：D
7
3
4
3
A.3
B.7
C.3
D.4
易错分析：直线在 y 轴上的截距与目标函数 y＝kx＋43取值 的关系上出错.没有正确的思维，同顶点，同高是关键.
解析：不等式表示的平面区域如图 D17 所示的阴影部分 △AB 得 A(1,1)，又 B(0,4)，C0，43， ∴S△ABC＝12×4－43×1＝43. 设 y＝kx＋43与 3x＋y＝4 的交点为 D，则由 S△BCD＝12S△ABC ＝23可知：xD＝12， ∴yD＝52.∴52＝k×12＋43，k＝73.故选 A.
x＋2y≤24， 3x＋2y≤36， 0≤x≤10， 0≤y≤11.
思维突破：把所求问题看成区域上的点与点(－1，－1)连 线的斜率.
解：作出不等式组表示的可行域如图 D14.
图 D14 当把 z 看作常数时，它表示点(x，y)与点(－1，－1)所在直 线的斜率，点(x，y)在可行域内.因此当点(x，y)是点 A 时，斜率 z 最大.
思维突破：把 z＝ x2＋y＋12看成区域内的点到点(0，－1) 的距离.
解：作出不等式组所表示的可行域如图 D15.
图 D15 把z当作常数时，它表示点(x，y)到点(0，－1)的距离， 点(x，y)在可行域内.由图D15可知：z的最小值为点(0，－1) 到直线2x＋5y＝15的距离. 即 zmin＝|2×0＋52×2＋－521－15|＝202929.
苏教版数学高二苏教版必修5学案 简单的线性规划问题(二)
3．3.3简单的线性规划问题(二)明目标、知重点 1.准确利用线性规划知识求解目标函数的最值.2.掌握线性规划实际问题中的常见类型.3.会求一些简单的非线性函数的最值．1．用图解法解线性规划问题的步骤：(1)确定线性约束条件；(2)确定线性目标函数；(3)画出可行域；(4)利用线性目标函数(直线)求出最优解．2．在线性规划的实际问题中的题型主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小．探究点一生活实际中的线性规划问题例1要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小规格类型钢板类型A规格B规格C规格第一种钢板211第二种钢板123今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？解设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张．共需要这两张钢板共z张，则约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧2x＋y≥15x＋2y≥18x＋3y≥27x≥0，y≥0.作出可行域如图(阴影部分)目标函数为z ＝x ＋y ，作出一族平行直线x ＋y ＝z ，其中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，经过直线x ＋3y ＝27和直线2x ＋y ＝15的交点M ⎝⎛⎭⎫185，395，直线方程为x ＋y ＝575.由于185和395都不是整数，而最优解(x ，y )中，x ，y 必须都是整数，所以可行域内点M ⎝⎛⎭⎫185，395不是最优解．经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x ＋y ＝12，经过的整点是B (3,9)和C (4,8)，它们都是最优解．答 要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种：第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张．两种方法都最少要截两种钢板共12张．反思与感悟 在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)，而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用枚举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解．最优整数解有时并非只有一个，很可能是许多个，应具体情况具体分析．跟踪训练1 某工厂有甲、乙两种产品，按计划每天各生产不少于15吨，已知生产甲产品1吨需煤9吨，电力4千瓦，劳动力3个(按工作日计算)；生产乙产品1吨需煤4吨，电力5千瓦，劳动力10个；甲产品每吨价7万元，乙产品每吨价12万元；但每天用煤量不得超过300吨，电力不得超过200千瓦，劳动力只有300个，当每天生产甲产品________吨，乙产品______吨时，既能保证完成生产任务，又能使工厂每天的利润最大． 答案 20 24解析 设每天生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，总利润为S 万元，依题意约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧9x＋4y≤3004x＋5y≤2003x＋10y≤300x≥15y≥15，目标函数为S＝7x＋12y，可行域如图所示，从图中可以看出，当直线S＝7x＋12y经过点A时，直线的纵截距最大，所以S也取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x＋5y－200＝03x＋10y－300＝0，得A(20,24)，故当x＝20，y＝24时，S max＝7×20＋12×24＝428(万元)．例2一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4 t，硝酸盐18 t；生产1车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐1 t，硝酸盐15 t．现库存磷酸盐10 t，硝酸盐66 t，在此基础上生产这两种混合肥料．若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10 000元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5 000元，那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？解设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，能够产生利润z万元．则约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧4x＋y≤10，18x＋15y≤66，x≥0，y≥0.目标函数为z＝x＋0.5y.可行域如图所示．把z＝x＋0.5y变形为y＝－2x＋2z，得到斜率为－2，在y轴上的截距为2z，随z变化的一族平行直线．由图可以看出，当直线y＝－2x＋2z经过可行域上的点M时，截距2z最大，即z最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧18x＋15y＝66，4x＋y＝10得M的坐标为(2,2)．所以z max＝x＋0.5y＝3.答生产甲、乙两种肥料各2车皮，能够产生最大的利润，最大的利润为3万元．反思与感悟线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得．如果顶点不是整数点，不符合实际问题的需要，适当调整最优解．若目标函数的最大值、最小值在可行域的边界上取得，则满足条件的最优解有无数多个．跟踪训练2医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲种原料每10 g含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质．试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？解将已知数据列成下表：原料/10 g蛋白质/单位铁质/单位费用/元甲5103乙742设甲、乙两种原料分别用10x g和10y g，总费用为z，那么⎩⎪⎨⎪⎧5x＋7y≥35，10x＋4y≥40，x≥0，y≥0，目标函数为z＝3x＋2y，作出可行域如图所示：把z＝3x＋2y变形为y＝－32x＋z2，得到斜率为－32，在y轴上的截距为z2，随z变化的一族平行直线．由图可知，当直线y＝－32x＋z2经过可行域上的点A时，截距z2最小，即z最小．由⎩⎪⎨⎪⎧10x＋4y＝40，5x＋7y＝35，得A(145，3)，∴z min＝3×145＋2×3＝14.4.∴甲种原料145×10＝28 (g)，乙种原料3×10＝30 (g)，费用最省．探究点二非线性目标函数的最值问题问题一些非线性目标函数的最值可以赋予几何意义，利用数形结合的思想加以解决，例如：①z ＝x 2＋y 2表示可行域中的点(x ，y )与原点(0,0)距离的平方；②z ＝(x －a )2＋(y －b )2表示可行域中的点(x ，y )与点(a ，b )距离的平方；③z ＝y －b x －a表示可行域内的点(x ，y )与定点(a ，b )连线的斜率；④z ＝ay ＋b cx ＋d (ac ≠0)，可以先变形为z ＝ac ·y －⎝⎛⎭⎫－b a x －⎝⎛⎭⎫－d c ，可知z 表示可行域内的点(x ，y )与定点⎝⎛⎭⎫－d c ，－b a 连线斜率的a c倍；⑤z ＝|ax ＋by ＋c | (a 2＋b 2≠0)，可以化为z ＝a 2＋b 2·|ax ＋by ＋c |a 2＋b 2的形式，可知z 表示可行域内的点(x ，y )到直线ax ＋by ＋c ＝0距离的a 2＋b 2倍． 例3 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，(1)试求z ＝y ＋1x ＋1的最大值和最小值；(2)试求z ＝x 2＋y 2的最大值和最小值． 解 (1)由于z ＝y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)，所以z 的几何意义是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率，因此y ＋1x ＋1的最值就是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率的最值，如图所示，直线MB 的斜率最大，直线MC 的斜率最小， 又∵B (0,2)，C (1,0)，∴z max ＝k MB ＝3；z min ＝k MC ＝12.∴z 的最大值为3，最小值为12.(2)z ＝x 2＋y 2，则它表示可行域内的点到原点的距离的平方，结合图形知，原点到点A 的距离最大，原点到直线BC 的距离最小． 故z max ＝OA 2＝13，z min ＝⎝⎛⎭⎫|OB |·|OC ||BC |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2×152＝45. 反思与感悟 当斜率k ，两点间的距离，点到直线的距离与可行域相结合求最值时，注意数形结合思想方法的灵活运用．跟踪训练3已知x，y满足约束条件同例题，求下列函数z的最值：(1)z＝y＋1x＋2；(2)z＝|x＋2y－4|.解(1)将z＝y＋1x＋2化为z＝y－(－1)x－(－2)，问题化归为求可行域内的点M(x，y)与点P(－2，－1)连线斜率的最值．由图(1)可知z min＝k PB＝13，z max＝k PC＝32.(2)将目标函数化为z＝5·|x＋2y－4|12＋22，问题化归为求可行域内的点(x，y)到直线x＋2y－4＝0的距离的5倍的最大值．观察图(2)，点C(0,2)到直线x＋2y－4＝0的距离最小，为0；点A(2,3)到直线x＋2y－4＝0的距离最大，为45.所以z max＝4，z min＝0.1．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘．根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有________种．答案7解析设购买软件x片，磁盘y盒．则⎩⎪⎨⎪⎧60x＋70y≤500x≥3，x∈N*y≥2，y∈N*，画出线性约束条件表示的平面区域，如图所示．落在阴影部分(含边界)区域的整点有(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)共7个整点．2．已知点P(x，y)的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≤4，y≥x，x≥1，则x2＋y2的最大值为________．答案 10解析 画出不等式组对应的可行域如右图所示： 易得A (1,1)，OA ＝2，B (2,2)， OB ＝22， C (1,3)，OC ＝10.∴(x 2＋y 2)max ＝OC 2＝(10)2＝10. 3．若x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，x ≤4，y ≤4，则z ＝y －1x －1的最大值是________．答案 3解析 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包括边界)．z ＝y －1x －1可看作可行域上的点(x ，y )与定点B (1,1)连线的斜率．由图可知z ＝y －1x －1的最大值为k AB ＝3.4．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ≤1，x ＋y ≥1，则z ＝x 2＋y 2的最小值为________．答案 12解析 实数x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，则z 的最小值为原点到直线AB 的距离的平方，故z min ＝⎝⎛⎭⎫122＝12.[呈重点、现规律]1．画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范．2．在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用枚举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解．最优整数解有时并非只有一个，应具体情况具体分析．一、基础过关1．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为________元．答案 2 200解析设需使用甲型货车x辆，乙型货车y辆，运输费用z元，根据题意，得线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧20x＋10y≥100，0≤x≤4，0≤y≤8，求线性目标函数z＝400x＋300y的最小值，解得当⎩⎪⎨⎪⎧x＝4，y＝2时，z min＝2 200(元)．2．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的23倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为________万元．答案31.2解析设投资甲项目x万元，投资乙项目y万元，可获得利润为z万元，则⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≤60，x≥23y，x≥5，y≥5，z＝0.4x＋0.6y.由图象知，目标函数z＝0.4x＋0.6y在A点取得最大值．∴y max＝0.4×24＋0.6×36＝31.2(万元)．3．某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料耗费工时6小时，可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产的计划为下列哪一个________．(填序号)①甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱②甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱③甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱④甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱答案②解析设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≤70，10x＋6y≤480，x≥0，y≥0.甲、乙两车间每天总获利为z＝280x＋200y.画出可行域如图所示．点M(15,55)为直线x＋y＝70和直线10x＋6y＝480的交点，由图象知在点M(15,55)处z取得最大值．4．已知O是坐标原点，点A(－1,1)，若点M(x，y)为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≥2，x≤1，y≤2上的一个动点，则OA→·OM→的取值范围是________．答案[0,2]解析作出可行域，如图所示，因为OA→·OM→＝－x＋y.所以设z＝－x＋y，作l0：x－y＝0，易知，过点B(1,1)时z有最小值，z min＝－1＋1＝0；过点C(0,2)时z有最大值，z max＝0＋2＝2，∴OA→·OM→的取值范围是[0,2]．5．某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为________元．答案 2 300解析设需租赁甲种设备x台，乙种设备y台，则⎩⎪⎨⎪⎧5x＋6y≥50，10x＋20y≥140，x∈N*，y∈N*.目标函数为z＝200x＋300y.作出其可行域，易知当x＝4，y＝5时，z＝200x＋300y有最小值2 300元．6．A，B两仓库各有麻袋50万个、30万个，现需调运到甲地40万个，乙地20万个，已知从A仓库调运到甲、乙两地的运费分别为120元/万个，180元/万个，从B仓库调运到甲、乙两地的运费分别为100元/万个，150元/万个，怎样安排调运，能使总运费最少？最少总运费为多少？解设从A仓库调运x万个到甲地，y万个到乙地，则从B仓库调40－x个到甲地，20－y个到乙地，总运费记为z元，则有⎩⎨⎧x＋y≤5040－x＋20－y≤300≤x≤400≤y≤20，z＝120x＋180y＋100(40－x)＋150(20－y)，即z＝20x＋30y＋7 000，作出可行域及直线l0：20x ＋30y＝0，经平移知直线经可行域上点M(30,0)时与原点距离最小，即x＝30，y＝0时，z有最小值，z min＝20×30＋30×0＋7 000＝7 600(元)，即从A仓调运30万个到甲地，从B仓调运10万个去甲地，20万个到乙地总运费最小，其最小值为7 600元．7．某家具厂有方木料90 m3，五合板600 m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3，五合板2 m2，生产每个书橱需要方木料0.2 m3，五合板1 m2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元．(1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？(2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？(3)怎样安排生产可使所得利润最大？解由题意可画表格如下：方木料(m3)五合板(m2)利润(元)书桌(张)0.1280书橱(个)0.21120(1)设只生产书桌x张，可获得利润z元，则⎩⎨⎧0.1x≤902x≤600z＝80x⇒⎩⎪⎨⎪⎧x≤900x≤300⇒x≤300.所以当x＝300时，z max＝80×300＝24 000(元)，即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24 000元．(2)设只生产书橱y个，可获得利润z元，则⎩⎨⎧0.2y≤901·y≤600z＝120y⇒⎩⎪⎨⎪⎧y≤450y≤600⇒y≤450.所以当y＝450时，z max＝120×450＝54 000(元)，即如果只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54 000元．(3)设生产书桌x张，书橱y个，利润总额为z元，则⎩⎨⎧0.1x＋0.2y≤902x＋y≤600x≥0y≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y≤900，2x＋y≤600，x≥0，y≥0.z＝80x＋120y.在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域．作直线l ：80x ＋120y ＝0，即直线l ：2x ＋3y ＝0.把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，此时z ＝80x ＋120y 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝900，2x ＋y ＝600 解得点M 的坐标为(100,400)． 所以当x ＝100，y ＝400时， z max ＝80×100＋120×400 ＝56 000(元)．因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大． 二、能力提升8．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z ＝________元． 答案 4 900解析 设当天派用甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆，由题意得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧2x ＋y ≤19，x ＋y ≤12，10x ＋6y ≥72，0≤x ≤8，0≤y ≤7，x ，y ∈N .设每天的利润为z 元，则z ＝450x ＋350y . 画出可行域如图阴影部分所示．由图可知z ＝450x ＋350y ＝50(9x ＋7y )，经过点A 时取得最大值．又由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝12，2x ＋y ＝19得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝5， 即A (7,5)． ∴当x ＝7，y ＝5时，z 取到最大值，z max ＝450×7＋350×5＝4 900(元)． 9．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≤0，则ω＝y －1x ＋1的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎦⎤－1，13 解析 如图，画出满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≤0的解(x ，y )构成的可行域△ABO ，求得B (2,2)，根据目标函数的几何意义是可行域上一点与点(－1,1)连线的斜率，可求得目标函数的最小值－1，最大值13.故ω的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，13.10．某工厂要制造A 种电子装置45台，B 种电子装置55台，需用薄钢板给每台装置配一个外壳，已知薄钢板的面积有两种规格：甲种薄钢板每张面积2 m 2，可做A 、B 的外壳分别为3个和5个，乙种薄钢板每张面积3 m 2，可做A 、B 的外壳分别为6个和6个，求两种薄钢板各用多少张，才能使总的面积最小．解 设用甲种薄钢板x 张，乙种薄钢板y 张，则可做A 种产品外壳3x ＋6y 个，B 种产品外壳5x ＋6y 个，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋6y ≥45，5x ＋6y ≥55，x ≥0，y ≥0，所有的薄钢板的总面积是z ＝2x ＋3y .可行域为如图所示的阴影部分，其中l 1：3x ＋6y ＝45；l 2：5x ＋6y ＝55，l 1与l 2的交点为A (5，5)，因目标函数z ＝2x ＋3y 在可行域上的最小值在区域边界的A (5,5)处取得，此时z 的最小值为2×5＋3×5＝25.即甲、乙两种薄钢板各5张，能保证制造A 、B 的两种外壳的用量，同时又能使用料总面积最小． 11．已知⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，求：(1)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值； (2)z ＝2y ＋1x ＋1的取值范围．解 (1)作出可行域如图所示，A (1,3)，B (3,1)，C (7,9)．z ＝x 2＋(y －5)2表示可行域内任一点(x ，y )到点M (0,5)的距离的平方， 过M 作AC 的垂线，易知垂足在AC 上， 故MN ＝|0－5＋2|1＋(－1)2＝32＝322.∴MN 2＝⎝⎛⎭⎫3222＝92，∴z 的最小值为92.(2)z ＝2·y －⎝⎛⎭⎫－12x －(－1)表示可行域内点(x ，y )与定点Q ⎝⎛⎭⎫－1，－12连线斜率的2倍， ∵k QA ＝74，k QB ＝38，∴z 的取值范围是⎣⎡⎦⎤34，72. 三、探究与拓展12．两类药片有效成分如下表所示，若要求至少提供12毫克阿司匹林，70毫克小苏打，28 成分种类阿司匹林 小苏打 可待因 每片价格(元)A(毫克/片)2510.1B(毫克/片)1760.2解设A，B两种药品分别为x片和y片，则有⎩⎪⎨⎪⎧2x＋y≥125x＋7y≥70x＋6y≥28x≥0，y≥0，两类药片的总数为z＝x＋y，两类药片的价格和为k＝0.1x＋0.2y.如图所示，作直线l：x＋y＝0，将直线l向右上方平移至l1位置时，直线经过可行域上一点A，且与原点最近．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x＋y＝125x＋7y＝70，得交点A坐标为⎝⎛⎭⎫149，809.由于A不是整点，因此不是z的最优解，结合图形可知，经过可行域内整点且与原点距离最近的直线是x＋y＝11，经过的整点是(1,10)，(2,9)，(3,8)，因此z的最小值为11.药片最小总数为11片．同理可得，当x＝3，y＝8时，k取最小值1.9，因此当A类药品3片、B类药品8片时，药品价格最低．。
高中数学 简单的线性规划问题(2)教案 苏教版必修5
简单的线性规划问题（2）【三维目标】：一、知识与技能1.巩固图解法求线性目标函数的最大、最小值的方法；2.会用画网格的方法求解整数线性规划问题．3.培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力二、过程与方法引导学生如何使用网格法三、情感、态度与价值观1.培养学生学数学、用数学的意识，并进一步提高解决问题的的能力2.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新【教学重点与难点】：重点：用画网格的方法求解整数线性规划问题．难点：用画网格的方法求解整数线性规划问题．【学法与教学用具】：1. 学法：学生在建立数学模型中，应主要分清已知条件中，哪些属于约束条件，哪些与目标函数有关，列出正确的不等式组。
可采用分组讨论，各组竞争，自主总结，部分同学示范画图等方式，让学生更切身地在活动中探索出建模的一般规律，并在交流中找到自己的思维漏洞2.教学方法：讲授法，多媒体直观教学3.教学用具：直角板、投影仪【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1.什么是目标函数？线形目标函数？线形规划？可行解？可行域？2.当,x y 满足不等式组1101x y y x ⎧-≤⎪≥⎨⎪≤+⎩时，目标函数t x y =+的最大值是二、研探新知，质疑答辩，排难解惑，发展思维例1 设,,x y z 满足约束条件组1320101x y z y z x y ++=⎧⎪+≥⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩，求264u x y z =++的最大值和最小值。
解：由1x y z ++=知1z x y =--+，代入不等式组消去z 得210101y x x y -≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，A xy O B 1 1代入目标函数得224u x y =-++，作直线0l ：0x y -+=，作一组平行线l ：x y u -+=平行于0l ，由图象知，当l 往0l 左上方移动时，u 随之增大，当l 往0l 右下方移动时，u 随之减小，所以，当l 经过(0,1)B 时，max 202146u =-⨯+⨯+=，当l 经过(1,1)A 时，min 212144u =-⨯+⨯+=，所以，max 6u =，min 4u =．例2 已知,x y 满足不等式组230236035150x y x y x y -->⎧⎪+-<⎨⎪--<⎩，求使x y +取最大值的整数,x y ．解：不等式组的解集为三直线1l ：230x y --=，2l ：2360x y +-=，3l ：35150x y --=所围成的三角形内部（不含边界），设1l 与2l ， 1l 与3l ，2l 与3l 交点分别为,,A B C ，则,,A B C 坐标分别为153(,)84A ，(0,3)B -，7512(,)1919C -，作一组平行线l ：x y t +=平行于0l ：0x y +=，当l 往0l 右上方移动时，t 随之增大，∴当l 过C 点时x y +最大为6319，但不是整数解，又由75019x <<知x 可取1,2,3， 当1x =时，代入原不等式组得2y =-， ∴1x y +=-； 当2x =时，得0y =或1-， ∴2x y +=或1；当3x =时，1y =-， ∴2x y +=， 故x y +的最大整数解为20x y =⎧⎨=⎩或31x y =⎧⎨=-⎩．说明：最优整数解常有两种处理方法，一种是通过打出网格求整点，关键是作图要准确；另一种是本题采用的方法，先确定区域内点的横坐标范围，确定x 的所有整数值，再代回原不等式组，得出y 的一元一次不等式组，再确定y 的所有相应整数值，即先固定x ，再用x 制约y ．例2 某运输公司向某地区运送物资，每天至少运送180吨．该公司有8辆载重为6吨的A 型卡车与4辆载重为10吨的B 型卡车，有10名驾驶员．每辆卡车每天往返的次数为A 型车4次，B 型车3次．每辆卡车每天往返的成本费为A 型车320元，B 型车为504元．试为该公司设计调配车辆的方案，使公司花费的成本最低．解：设每天调出A 型车x 辆，B 型车y 辆，公司花费成本z 元，AC xy O 1l 3l 2l则约束条件为*10463101800804,x y x y x y x y N ⎧+≤⎪⨯+⨯≥⎪⎪≤≤⎨⎪≤≤⎪⎪∈⎩，即*1045300804,x y x y x y x y N⎧+≤⎪+≥⎪⎪≤≤⎨⎪≤≤⎪⎪∈⎩，目标函数为320504z x y =+．作出可行域（图略，见课本第80页图3-3-11），当直线320504z x y =+经过直线4530x y +=与x 轴的交点(7.5,0)时，z 有最小值．但(7.5,0)不是整点．由图可知，经过可行域内的整点，且与原点距离最近的直线是3205042560x y +=，经过的整点是(8,0)，它是最优解．因此，公司每天调出A 型车8辆时，花费成本最低．四、巩固深化，反馈矫正1.设,,x y z 满足约束条件组1320102x y z y z x y ++=⎧⎪+≥⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩，求364F x y z =++的最大值和最小值； 五、归纳整理，整体认识1.本节课主要内容：（1）巩固图解法求线性目标函数的最大值、最小值的方法；（2）用画网格的方法求解整数线性规划问题。
高中数学 3.3.3 简单的线性规划问题(第2课时)教案 苏教版必修5
第2课时简单的线性规划的应用(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)巩固图解法求线性目标函数的最大、最小值的方法；(2)会用画网格的方法求解整数线性规划问题；(3)能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能给出解答；(4)培养学生的数学应用意识和解决问题的能力，培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力．2.过程与方法(1)引导学生学会如何使用网格法；(2)通过讲解实例，让学生感受线性规划中的建模问题，培养学生应用数学的能力．3．情感、态度与价值观(1)培养学生学数学、用数学的意识，并进一步提高解决问题的能力；(2)结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新．●重点、难点重点：将实际问题转化为线性规划问题，并通过最优解的判断予以解决．难点：如何把实际问题转化为简单的线性规划问题，并准确给出解答．解决重点、难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解．为突出重点，突破难点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法将实际问题数学化、数学问题几何化．(教师用书独具)●教学建议1．为了激发学生学习的主体意识，应面向全体学生，使学生在获取知识的同时，各方面的能力得到进一步的培养．根据本节课的内容特点，建议采用启发引导、讲练结合的教学方法，着重于培养学生分析、解决实际问题的能力以及良好的学习品质．2．学生在建立数学模型时，应主要分清已知条件中，哪些属于约束条件，哪些与目标函数有关，列出正确的不等式组．可采用分组讨论、各组竞争、自主总结、部分同学示范画图等方式，让学生更切身地在活动中探索出建模的一般规律，并在交流中找到自己的思维漏洞．●教学流程错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!错误!(对应学生用书第59页)课标解读1.能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．(重点)2.培养应用线性规划的知识，解决实际问题的能力．(难点)实际应用问题的最优解对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点．用线性规划解决实际问题的一般步骤整数线性规划要求变量取整数的线性规划称为整数线性规划.(对应学生用书第59页)收益最大问题某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需消耗一级子棉2吨、二级子棉1吨，生产乙种棉纱需消耗一级子棉1吨，二级子棉2吨．每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨．甲、乙两种棉纱应各生产多少吨，才能使利润总额最大？【思路探究】 由已知数据可列表如下：产品消耗量 资源甲种棉纱(1吨)乙种棉纱(1吨)资源限额(吨)一级子棉(吨) 2 1 300 二级子棉(吨) 1 2 250 利润(元)600900【自主解答】 设生产甲、乙两种棉纱分别为x 吨、y 吨， 那么利润总额z ＝600x ＋900y 元， 线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤300，x ＋2y ≤250，x ≥0，y ≥0.作出其可行域如图所示．把z ＝600x ＋900y 变形为平行直线系l ：y ＝－23x ＋z900.由图可知当直线l 经过可行域上的点M 时，截距z900最大，即z取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝300，x ＋2y ＝250，得交点M (3503，2003)．所以应生产甲种棉纱3503吨，乙种棉纱2003吨．1．利用线性规划求最大值，主要是收益最大、效率最高、利润最大等问题，要将求最值的变量设为z ，将z 表示成其它变量的函数，求其最大值．2．对于线性规划问题，由于题干太长，数据太多，为便于理清数据间的关系，不妨用列表法．某公司计划在今年内同时出售某种多功能电子琴和一种智能型洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力等)确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大，已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查得到关于这两种产品的有关数据如下表：资金单位产品所需资金(102元)月资金供应量(102元)电子琴 洗衣机成本 30 20 300 劳动力(工资) 5 10 110 单位利润68【解】 设月供应电子琴x 架、洗衣机y 台，依题意得：⎩⎪⎨⎪⎧30x ＋20y ≤300，5x ＋10y ≤110，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .目标函数为z ＝6x ＋8y ，不等式组表示的平面区域如图所示．作直线l ：6x ＋8y ＝0，即作直线l ：3x ＋4y ＝0.把直线l 向右上方平移，当直线l 经过可行域中的点M 时，z 取得最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧30x ＋20y ＝300，5x ＋10y ＝110，得点M 的坐标为(4,9)，将M (4,9)代入z ＝6x ＋8y ，得z ＝6×4＋8×9＝96.所以当月供应量为电子琴4架、洗衣机9台时，才能使总利润最大，最大总利润为9600元.耗费最小问题营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075 kg 的碳水化合物，0.06 kg 的蛋白质，0.06 kg 的脂肪.1 kg 食物A 含有0.105 kg 碳水化合物，0.07 kg 蛋白质，0.14 kg 脂肪，且食物A 的价格为28元/kg ；而1 kg 食物B 含有0.105 kg 碳水化合物，0.14 kg 蛋白质，0.07 kg 脂肪，且食物B 的价格为21元/kg.为了满足营养专家指出的日常饮食要求．同时使花费最低，需要同时食用多少食物A 和食物B?【思路探究】 将已知数据列成下表：食物/kg碳水化合物/kg蛋白质/kg 脂肪/kg A 0.105 0.07 0.14 B0.1050.140.07【自主解答】 设每天食用x kg 食物A ，y kg 食物B ，总成本为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧0.105x ＋0.105y ≥0.075，0.07x ＋0.14y ≥0.06，0.14x ＋0.07y ≥0.06，x ≥0，y ≥0，①目标函数为z ＝28x ＋21y . 二元一次不等式组①等价于⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋7y ≥5，7x ＋14y ≥6，14x ＋7y ≥6，x ≥0，y ≥0.②作出二元一次不等式组②所表示的平面区域(如图所示)，即为可行域．考虑z ＝28x ＋21y ，将它变形为y ＝－43x ＋z 21，这是斜率为－43且随z 变化的一族平行直线，z 21是直线在y 轴上的截距，当z21取最小值时，z 的值最小．当然直线要与可行域相交，即求在满足约束条件时目标函数z ＝28x ＋21y 的最小值．由图可知当直线z ＝28x ＋21y 经过可行域上的点M 时，截距z21最小，即z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧14x ＋7y ＝6，7x ＋7y ＝5，得M (17，47)．所以为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用17kg 食物A 和47kg 食物B .1．利用线性规划求最小值，可以用来解决许多实际问题，诸如省钱，省工，省材料等问题．2．利用线性规划解决实际问题，建立约束条件往往是关键的一步，设出未知数后，应特别注意文字语言与符号语言的转换，以免因审题不细或表达不当而出现错误．医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲种原料每10 g 含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g 含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质．试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？【解】 设甲、乙两种原料分别用10x g 和10y g ，总费用为z ， 那么⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ≥35，10x ＋4y ≥40，x ≥0，y ≥0，目标函数为z ＝3x ＋2y ，作出可行域如图．把z ＝3x ＋2y 变形为y ＝－32x ＋z 2，得到斜率为－32，在y 轴上的截距为z2，随z 变化的一族平行直线．由图可知，当直线y ＝－32x ＋z 2经过可行域上的点A 时，截距z2最小，即z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋4y ＝40，5x ＋7y ＝35，得A (145，3)，∴z min ＝3×145＋2×3＝14.4.∴甲种原料145×10＝28(g)，乙种原料3×10＝30(g)，费用最省.简单的整数线性规划问题要将两种大小不同的钢板截成A ，B ，C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：规格类型钢板类型 A 规格 B 规格 C 规格第一种钢板 2 11 第二种钢板123今需要A ，B 需的三种规格的成品，且使所用钢板的张数最少？【思路探究】 设截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张．【自主解答】 设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，共使用钢板z 张，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥15x ＋2y ≥18，x ＋3y ≥27，x ≥0，y ≥0，且x ，y 都是整数，求使目标函数z ＝x ＋y 取最小值时的x ，y . 作可行域如图所示，平移直线z ＝x ＋y ， 可知直线经过点(185，395)时z 取最小值，此时x ＋y ＝575，但185与395都不是整数，所以可行域内的点(185，395)不是最优解．因为非整点最优解为(185，395)，z ＝575，所以z ≥12.令x ＋y ＝12，则y ＝12－x ，代入约束条件整理得3≤x ≤92，所以x ＝3或x ＝4，这时最优整点为(3,9)和(4,8)．故有以下两种截法：第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张； 第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张． 最少要截两种钢板共12张．1．当变量为车辆、产品个数、钢板块数等数量时，应为整数，利用线性规划求最值，最优解也应为整数．2．若按常规方法求出的不是整数解，可按以下方法调整：(1)平移直线法：先在可行域中画网格，再描整点，平移直线l 0，最先经过或最后经过的整点坐标就是最优解．(2)调整优值法：先求非整点最优解，再借助于不定方程知识调整最优值，最后筛选出整点最优解．预计用2 000元购买单价为50元的桌子和单价为20元的椅子，希望使桌子、椅子的总数尽可能多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，则买桌子、椅子各多少才行？【解】 设买桌子x 张、买椅子y 把．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ≤y ，y ≤1.5x ，50x ＋20y ≤2 000，x ，y ∈N ，目标函数为z ＝x ＋y ，满足以上不等式组的可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1.5x ，50x ＋20y ＝2000，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝752，∴点B 的坐标为(25，752)．作直线l ：x ＋y ＝0，将直线向右上方平移， 当直线l 经过可行域中的点B 时，z 取得最大值． ∵x ，y ∈N ，∴y ＝37.∴应买桌子25张、椅子37把.(对应学生用书第61页)可行域内整点寻找错误有一批钢管，长度都是4000 mm ，要截成500 mm 和600 mm 两种毛坯，且这两种毛坯数量比大于13，要使钢管截得的毛坯最多，怎样截最合理？【错解】 设每根钢管截500 mm 的毛坯x 根，600 mm 的毛坯y 根， 则x ，y 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧500x ＋600y ≤4000，x y ＞13，x＞0，y ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ≤40，y ＜3x ，x ＞0，y ＞0，其中x ，y 均为正整数． 作出可行域，如图所示．目标函数为z ＝x ＋y .作一族平行线y ＝－x ＋z ，经过可行域内的点且和原点距离最大的直线为过A 点的直线，求出A 点的坐标．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，5x ＋6y ＝40，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝11723，y ＝5523.所以A (11723，5523)由于x ，y 均为正整数，故调整为x ＝2，y ＝5. 所以x ＋y ＝7.经检验，满足条件，所以每根钢管截500 mm 的毛坯两根，600 mm 的毛坯五根最合理． 【错因分析】 本题错误的原因是：①没能准确作出一族平行直线y ＝－x ＋z ；②可行域内的整点寻找不准确．【防范措施】 准确作图，充分考虑实际问题的特殊性．当图上的整点不好分辨时，应将几个有可能符合题意的整点的坐标都求出来然后逐一检验，而不能采取“四舍五入”的办法．【正解】 设每根钢管截500 mm 的毛坯x 根，600 mm 的毛坯y 根．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧500x ＋600y ≤4000，x y ＞13，x ＞0，y ＞0，且x ，y 均为正整数．作出可行域，如图3－3－62所示．目标函数为z ＝x ＋y ，作一族平行直线y ＝－x ＋z ，经过可行域内的点且和原点距离最大的直线必为过点B (8,0)的直线，这时x ＋y ＝8.因为x ，y 均为正整数，所以(8,0)不是最优解．在可行域内找整点，使x ＋y ＝7.经验证，可知点(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)均为最优解．答：每根钢管截500 mm 的毛坯两根，600 mm 的毛坯五根，或截500 mm 的毛坯三根，600 mm 的毛坯四根，或截500 mm 的毛坯四根，600 mm 的毛坯三根，或截500 mm 的毛坯五根，600 mm 的毛坯两根，或截500 mm 的毛坯六根，600 mm 的毛坯一根最合理．1．基础知识：(1)实际应用问题的最优解； (2)整数线性规划；(2)用线性规划解决实际问题的一般步骤． 2．基本技能： (1)收益最大问题； (2)耗费最小问题；(3)简单的整数线性规划问题． 3．思想方法： (1)数形结合思想； (2)转化与化归思想； (3)函数思想.(对应学生用书第62页)1．有5辆载重6吨的汽车，4辆载重4吨的汽车，要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为________．【解析】 设6吨的有x 辆，4吨的有y 辆，运送货物吨数为z ，则z ＝6x ＋4y . 【答案】 z ＝6x ＋4y2．某厂生产甲产品每千克需用原料A 和原料B 分别为a 1 kg ，b 1 kg ，生产乙产品每千克需用原料A 和原料B 分别为a 2 kg ，b 2 kg ，甲、乙产品每千克可获得的利润分别为d 1元，d 2元，月初一次性购进原料A ，B 各c 1 kg ，c 2 kg ，本月要生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大；在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x kg ，y kg ，月利润总额为z 元，那么，用于求使总利润最大的数学模型中，约束条件为________．【解析】 对原料A 的限制：a 1x ＋a 2y ≤c 1，对原料B 的限制：b 1x ＋b 2y ≤c 2，另外甲、乙两种产品产量x ≥0，y ≥0.【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋a 2y ≤c1b 1x ＋b 2y ≤c2x ≥0y ≥03．某著名品牌汽车零件生产企业生产甲、乙两种汽车配件，已知生产每万件甲种配件要用A 原料3吨，B 原料2吨，生产每万件乙种配件要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每件甲种配件可获得利润5元，每件乙种配件可获得利润3元．已知该企业在一年内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨，那么该企业在一年内可获得的最大利润是________．【解析】 设生产甲种配件x 万件，生产乙种配件y 万件，利润为z 万元．则根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，目标函数为z ＝5x ＋3y .作出可行域如图所示，则可知A(133，0)，B (0,6)，C (3,4)．由图形可知，目标函数在点C (3,4)处取得最大值，最大值为5×3＋3×4＝27.【答案】 27万4．甲、乙两个居民小区的居委会组织本小区的中学生利用双休日去市郊的敬老院参加献爱心活动，两个小区都有同学参加．已知甲区的每位同学往返车费是3元，每人可为5位老人服务，乙区的每位同学在返车费是5元，每人可为3位老人服务，如果要求乙区参与活动的同学比甲区的同学多，且去敬老院的往返总车费不超过37元，怎样安排甲、乙两区参与活动同学的人数，才能使受到服务的老人最多？受到服务的老人最多是多少？【解】 设甲、乙两区参与活动的人数分别为x ，y ，受到服务的老人的人数为z ，则z ＝5x ＋3y ，应满足的约束条件是⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≥1，3x ＋5y ≤37，x ≥1，y ≥1，x ，y ∈N .根据上述不等式组，作出表示可行域的平面区域中的整点，如图所示阴影部分中的点所示．画直线l 0：5x ＋3y ＝0，平行移动l 0到直线l 的位置，使l 过可行域内的点M ，该点到直线l 0的距离最大，则这一点的坐标使目标函数取得最大值，解方程⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，3x ＋5y ＝37，得点M (4,5)．因此当x ＝4，y ＝5时，z 取得最大值，并且z max ＝5×4＋3×5＝35.答：甲、乙两区参与活动的同学人数分别为4人和5人时，受到服务的老人最多，受到服务的老人最多是35人.(对应学生用书第98页)一、填空题1．车间有男工25人，女工20人，要组织甲、乙两种工作小组，甲组有5名男工，3名女工，乙组有4名男工，5名女工，并且要求甲种组数不少于乙种，乙种组数不少于1，求各自最多组成的工作小组数．要建立的数学模型中，约束条件为________．【解析】 设组成甲种组x 组，乙种组y 组，则对男工人数的限制为5x ＋4y ≤25，对女工人数的限制为3x ＋5y ≤20，组数限制x ≥y ≥1，故约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤25，3x ＋5y ≤20，1≤y ≤x ..【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤25，3x ＋5y ≤20，1≤y ≤x .2．某同学拿50元钱买纪念邮票，票面8角的每套5张，票面2元的每套4张，如果每种至少买两套，共有________种买法．【解析】 设票面8角的买x 套，票面2元的买y 套．由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ∈N *，y ≥2，y ∈N *，0.8×5x ＋2×4y ≤50，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，y ≥2，2x ＋4y ≤25，x ，y ∈N *.画出如右图平面区域得y ＝2时，x ＝2,3,4,5,6,7,8； y ＝3时，x ＝2,3,4,5,6； y ＝4时，x ＝2,3,4； y ＝5时，x ＝2.共有7＋5＋3＋1＝16. 【答案】 163．实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元，在满足需要的条件下，最少要花费________．【解析】 设购买每袋35千克的x 袋，购买每袋24千克的y 袋，则⎩⎪⎨⎪⎧35x ＋24y ≥106，x ≥0，y ≥0.求z ＝140x ＋120y 的最小值，作出可行域知，当x ＝1，y ＝3时费用最少．此时要花费：z ＝140×1＋120×3＝500元．【答案】 500元4．一批长400 cm 的条形钢材，需要将其截成518 mm 与698 mm 的两种毛坯，则钢材的最大利用率为________．【解析】 设518 mm 和698 mm 的毛坯个数分别为x ，y ，最大利用率为z ，则z ＝51.8x ＋69.8y400。
(教师用书)高中数学 3.3.3 简单的线性规划问题(第1课时)教案 苏教版必修5
3．3.3 简单的线性规划问题第1课时简单的线性规划问题(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决；(2)了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念，会根据条件建立线性目标函数；(3)了解线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大(小)值；(4)培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合、等价转化的数学思想．2.过程与方法(1)本节课是以二元一次不等式(组)表示的平面区域的知识为基础，将实际生活问题通过数学中的线性规划问题来解决；(2)考虑到学生的知识水平和消化能力，教师可通过激励学生探究入手，讲练结合，真正体现数学的工具性，同时，借助计算机的直观演示可使教学更富趣味性和生动性．3．情感、态度与价值观(1)结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新；(2)渗透集合、数形结合、化归的数学思想，培养学生“数形结合”的应用数学的意识，激发学生的学习兴趣.●重点、难点重点：线性规划问题的图解法，寻求线性规划问题的最优解．难点：利用图解法求最优解．为突出重点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法，将实际问题数学化，代数问题几何化．解决难点的方法是精确作图，利用数形结合的思想将代数问题几何化．(教师用书独具)●教学建议从内容上看，简单的线性规划问题是在学习了不等式、直线方程的基础上展开的，它是对二元一次不等式的深化和再认识、再理解．它是用数学知识解决实际问题，属于数学建模，是初等数学中较抽象的，对学生要求较高，又是必须予以掌握的内容．考虑到学生的认知水平和理解能力，建议教师可以通过激励学生探究入手，讲练结合，培养学生对本节内容的学习兴趣，培养学生数形结合的意识，让学生体味数学的工具性作用．另外，教师还可借助计算机直观演示利用图解法求最优解的过程，增强教学的趣味性和生动性．●教学流程创设问题情境，引导学生了解线性约束条件、线性目标函数、可行域、线性规划问题等概念.⇒结合教材让学生掌握线性规划问题的图解法.⇒通过例1及其变式训练使学生巩固掌握利用图解法求最优解的步骤.⇒通过例2及其变式训练使学生掌握利用线性规划研究字母参数的方法.⇒通过例3及其变式训练使学生掌握求非线性目标函数的最值的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双达达标，巩固所学知识，并进行反馈矫正.(对应学生用书第56页)约束条件所表示的平面区域，称为可行域求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，通常称为线性规划问题，上述只含两个变量的简单线性规划问题可用图解法解决.(对应学生用书第56页)设z ＝3x ＋5y ，式中变量x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ≥3，7x ＋10y ≥17，x ≥0，y ≥0.求z 的最小值．【思路探究】【自主解答】 画出约束条件表示的点(x ，y )的可行域，如图所示的阴影部分(包括边界直线)．把z ＝3x ＋5y 变形为y ＝－35x ＋z 5，得到斜率为－35，在y 轴上的截距为z 5，随z 变化的一族平行直线．作直线l ：3x ＋5y ＝0，把直线向右上方平行移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，此时l 1：3x ＋5y －z ＝0的纵截距最小，同时z ＝3x ＋5y 取最小值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝3，7x ＋10y ＝17，得M (1,1)． 故当x ＝1，y ＝1时，z min ＝8.1．由本例可以看出，解线性规划问题时，一定要注意最优解的对应点是最大值点，还是最小值点．对于目标函数z ＝ax ＋by ，当b >0时，直线截距最大时，z 有最大值，截距最小时，z 有最小值；当b <0时，则相反．2．图解法是解决线性规划问题的有效方法，其关键是利用z 的几何意义求解．平移直线ax ＋by ＝0时，看它经过哪个点(哪些点)时最先接触可行域和最后离开可行域，则这样的点即为最优解，最优解一般是在可行域的边界取得．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最小值分别为多少． 【解】 作可行域如图所示，解⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋2＝0，x ＋y －8＝0得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝5，∴A (3,5)．解⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －8＝0，x －5y ＋10＝0得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5，y ＝3，∴B (5,3)．平移直线3x －4y ＝z 可知，直线过A 点时，z 取最小值，过B 点时，z 取最大值． ∴z min ＝3×3－4×5＝－11，z max ＝3×5－4×3＝3.已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x －4y ＋3≤0，3x ＋5y ≤25，x ≥1，设z ＝ax ＋y (a ＞0)，若当z 取最大值时，对应的点有无数多个，求a 的值．【思路探究】【自主解答】 作出可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋5y ＝25，x －4y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5，y ＝2，∴点A 的坐标为(5,2)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，3x ＋5y ＝25，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝4.4，∴点C 的坐标为C (1,4.4)．当直线z ＝ax ＋y (a ＞0)平行于直线AC ，且直线经过线段AC 上任意一点时，z 均取得最大值，此时有无数多点使z 取得最大值，而k AC ＝－35， ∴－a ＝－35，即a ＝35.1．本题中，z 取最值时对应的点有无数多个，故这无数多个对应点构成平面区域的一段边界．2．解线性规划问题时一般要结合图形(平面区域)及目标函数的几何意义解题．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围是________． 【解析】 作出可行域，让目标函数所表示的直线过定点，观察斜率的范围，构建不等式求参数范围．如图所示，约束条件所表示的平面区域为三角形，目标函数z ＝ax ＋2y ，即y ＝－a 2x ＋z 2仅在点(1,0)处取得最小值，故其斜率应满足－1＜－a 2＜2，即－4＜a ＜2.故填(－4,2)．【答案】 (－4,2)已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ 7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(1)求u ＝x 2＋y 2的最大值和最小值；(2)求z ＝y x ＋5的最大值和最小值． 【思路探究】【自主解答】 画出不等式组所表示的平面区域，如图所示．(1)∵u ＝x 2＋y 2，∴u 为点(x ，y )到原点(0,0)的距离，结合不等式组所表示的平面区域可知，点B 到原点的距离最大，而当(x ，y )在原点时，距离为0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 7x －5y －23＝0，4x ＋y ＋10＝0得点B 的坐标为(－1，－6)， ∴(x 2＋y 2)max ＝(－1)2＋(－6)2＝37，(x 2＋y 2)min ＝0.(2)z ＝y x ＋5＝y －0x －－，所以求z 的最大值和最小值，即是求可行域内的点(x ，y )与点(－5,0)连线斜率的最大值和最小值．设点M 的坐标为(－5,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋7y －11＝0，4x ＋y ＋10＝0得点C 的坐标为(－3,2)，由(1)知点B 的坐标为(－1，－6)，∴k max ＝k MC ＝2－0－3－－＝1，k min ＝k MB ＝－6－0－1－－＝－32， ∴yx ＋5的最大值是1，最小值是－32.1．本题中，(1)x 2＋y 2是平面区域内的点(x ，y )到原点的距离的平方；(2)yx ＋5＝y －0x －－可看成平面区域内的点(x ，y )与点(－5,0)连线的斜率．2．解决此类问题，应先准确作出线性约束条件表示的平面区域，然后弄清非线性目标函数的几何意义．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0.(1)求z ＝x 2＋y 2＋2x －2y ＋2的最小值；(2)求z ＝|x ＋2y －4|的最大值．【解】 (1)作出可行域，如图所示，∵z ＝(x ＋2＋y －2)2， ∴z 可看作是可行域内任意一点(x ，y )到点M (－1,1)的距离的平方． 由图可知z min 等于原点到直线x ＋y －4＝0的距离的平方，∴z min ＝(|－4|2)2＝8. (2)∵z ＝|x ＋2y －4|＝5·|x ＋2y －4|5， ∴z 可看作是可行域内任意一点(x ，y )到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍． 由图可知点C 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0得点C (7,9)，∴z max ＝|7＋2×9－4|5×5＝21.(对应学生用书第58页)直线的倾斜程度判断不准致误已知⎩⎪⎨⎪⎧11x ＋4y ≤44，7x ＋5y ≤35，6x ＋7y ≤42，x ≥0，y ≥0，求z ＝x ＋y 的最大值．【错解】 作出可行域，如图所示．作出直线l 0：x ＋y ＝0，将它移至点B ，则点B 的坐标是可行域中的最优解，它使z 达到最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧11x ＋4y ＝44，7x ＋5y ＝35，得点B 的坐标为(8027，7727)．所以z max ＝8027＋7727＝15727.【错因分析】 将直线l 0向上移动时，最后离开可行域的点不是点B 而是点A ，这是由于直线倾斜程度不准确引起的，由于三条边界直线的斜率依次是－67，－75，－114，而目标函数z ＝x ＋y 的斜率为－1，它夹在－67与－75之间，故经过点B 时，直线x ＋y ＝z 必在点A 的下方，即点B 不是向上平移直线时最后离开可行域的点，而是点A .【防范措施】 解决线性规划问题时，可行域一定要准确，关键点的位置不能画错，若数据比较大，不易画图，也可用斜率分析法确定关键点或取得最值点．【正解】 作出二元一次不等式组所表示的平面区域如上图．作出直线l ′0：x ＋y ＝0，将它向上平移，当它经过点A 时，z 取得最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋5y ＝35，6x ＋7y ＝42，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3519，y ＝8419，故z max ＝3519＋8419＝119191．基础知识： (1)可行域； (2)线性规划． 2．基本技能： (1)解线性规划问题；(2)利用线性规划求字母参数的值(或范围)； (3)求非线性目标函数的最值． 3．思想方法： (1)数形结合思想； (2)函数思想； (3)转化思想．(对应学生用书第58页)1．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ≤3，x ＋y ≥0，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为________．【解析】 画出不等式组表示的平面区域，由图可知目标函数在点(3，－3)处取得最小值－3.【答案】 －3图3－3－72．给出平面区域(包含边界)如图3－3－7所示，若使目标函数z ＝ax ＋y (a ＞0)取得最大值的最优解有无数多个，则a 的值为________．【解析】 由题意知－a ＝k AC ＝－35，∴a ＝35.【答案】 353．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＜0，x ＞1，x ＋y －7＜0，则yx的取值范围是________．【解析】 目标函数y x 是可行域上的动点(x ，y )与原点连线的斜率，最小值是k OC ＝95，最大值是k AO ＝6，又可行域边界取不到，∴95＜yx＜6.【答案】 (95，6)4．已知x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0，求z ＝4x －3y 的最值．【解】 原不等式组表示的平面区域如图所示：其中A (4,1)、B (－1，－6)、C (－3,2)． 作与4x －3y ＝0平行的直线l ：4x －3y ＝t ， 即y ＝43x －t3，则当l 过C 点时，t 最小； 当l 过B 点时，t 最大．∴z max ＝4×(－1)－3×(－6)＝14，z min ＝4×(－3)－3×2＝－18.(对应学生用书第97页)一、填空题1．(2013·微山高二检测)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，y ≤x ，y ≥－2，则z ＝3x ＋y 的最大值为________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示：把z ＝3x ＋y 变形为y ＝－3x ＋z 得到斜率为－3，在y 轴截距为z 的一族平行直线，由图当直线l ：y ＝－3x ＋z 过可行域内一点M 时，在y 轴截距最大，z 也最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2，即M (3，－2)．∴当x ＝3，y ＝－2时，z max ＝3×3＋(－2)＝7. 【答案】 72．(2013·苏州高二检测)变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥12，2x ＋9y ≥36，2x ＋3y ≥24，x ≥0，y ≥0，则使得z ＝3x ＋2y 的值最小的(x ，y )是________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示：把z ＝3x ＋2y 变形为y ＝－32x ＋z 2，作与直线l 0：y ＝－32x 平行的直线l ，显然当l 经过可行域内点M 时在y 轴上截距最小，z 也最小．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝12，2x ＋3y ＝24，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝6，即M (3,6)时，z ＝3x ＋2y 的值最小． 【答案】 (3,6)3．设z ＝2y －2x ＋4，式中的x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1，则z 的取值范围是________．【解析】 作出满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1的可行域(如图所示)，作直线2y －2x ＝0，并将其平移，由图象可知当直线经过点A (0,2)时，z max ＝2×2－2×0＋4＝8； 当直线经过点B (1,1)时，z min ＝2×1－2×1＋4＝4. 所以z 的取值范围是[4,8]． 【答案】 [4,8]4．(2013·连云港检测)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，2y －3≤0，则yx的最大值是________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示：又y x ＝y －0x －0表示过平面区域内一点(x ，y )与原点(0,0)的直线的斜率，由图知(x ，y )在平面区域内A 点处时直线斜率最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，2y －3＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝32，∴A (1，32)，∴y x 的最大值为32.【答案】 325．(2013·无锡检测)二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，y ＜0，x ＋y ＋4＞0表示的平面区域内，使得x ＋2y 取得最小值的整点坐标为________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示：∵平面区域不包括边界，∴平面区域内的整点共有(－1，－1)，(－1，－2)，(－2，－1)三个． 代入检验知，整点为(－1，－2)时x ＋2y 取得最小值． 【答案】 (－1，－2)6．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ≥－1，且u ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8，则u 的最小值为________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示，由已知得(x －2)2＋(y －2)2＝(u )2，则(u )min ＝|2＋2－1|1＋1＝32，u min ＝92.【答案】 927．已知变量x ，y 满足约束条件1≤x ＋y ≤4，－2≤x －y ≤2.若目标函数z ＝ax ＋y (其中a ＞0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为________．【解析】 由题设知可行域为如图所示的矩形，要使目标函数z ＝ax ＋y 在点(3,1)处取得最大值，结合图形可知a ＞1.【答案】 (1，＋∞)8．如果点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0内，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，那么|PQ |的最小值为________．【解析】 首先作出不等式组表示的平面区域和曲线x 2＋(y ＋2)2＝1，如图所示，从而可知点P 到Q 的距离最小值是可行域上的点到(0，－2)的最小值减去圆的半径1，由图可知|PQ |min ＝12＋－2－1＝5－1。
高中数学必修五苏教版课件3.3.3 简单的线性规划问题(2)精选ppt课件
得A点的坐标为：
x
y
13 4 5 2
所以Smin＝3x＋2y＝14.75
由此可知，,生产A产品325t，生产B产品250m时，获利最大， 且最大利润为1475万元．
例3 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水 化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化 合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1食物B含有0.105kg碳 水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元。为了满足营养专家 指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B 多少kg？
（2）设：设出变量，确定约束条件，建立目标函数；
（3）画：画出线性约束条件所表示的可行域，作出目标 函数线；
（4）移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用 平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最 小的直线；
（5）求：通过解方程组求出最优解；
（6）答：回答实际问题．
（三）对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是
x
0
20
y 0
o
20
30
40 x
设收取的学费总额为Z万元，则目标函数 Z＝0.16×45x＋0.27×40y＝7.2x＋10.8y.
Z＝7.2x＋10.8y变形为 y 2 x 5z
它表示斜率为 2
3 54 的直线系，Z与这条直线的截距有关.
3
y
由图可以看出，当直线Z＝7.2x 30 ＋10.8y经过可行域上的点M时，截
分析：将已知数据列成表格
食物／kg A B
成人日常需要
苏教版高中数学(必修5)3.3《二元一次不等式组与简单线性规划问题》word教案3篇
第 5 课时：§3.3.1 二元一次不等式表示的平面区域（1）【三维目标】：一、知识与技能1.从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，掌握简单的二元线性规划问题的解法，培养学生的数学应用意识和解决实际问题的能力；4.会用“选点法”确定二元一次不等式表示的平面区域． 二、过程与方法1.本节课首先借助一个实例提出二元一次不等式组的相关概念，通过例子说明如何用二元一次不等式（组）来表示的平面区域。
始终渗透“直线定界，特殊点定域”的思想，帮助学生用集合的观点和语言来分析和描述结合图形的问题，使问题更清晰和准确。
教学中也特别提醒学生注意0>++C By Ax (或0<)表示区域时不包括边界，而0(Ax By C ++≥≤或0)则包括边界2.经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程，提高数学建模的能力；三、情感、态度与价值观1. 通过本节课的学习，体会数学来源与生活，提高数学学习兴趣。
2. 培养学生数形结合、化归、集合的数学思想 【教学重点与难点】：重点：用二元一次不等式表示平面区域；难点：二元一次不等式表示的平面区域的确定，即如何确定不等式0>++C By Ax (或0<)表示0Ax By C ++=的哪一侧区域【学法与教学用具】：1. 学法：启发学生观察图象，循序渐进地理解掌握相关概念。
以学生探究为主，老师点拨为辅。
学生之间分组讨论，交流心得，分享成果，进行思维碰撞。
同时可借助计算机等媒体工具来进行演示。
2. 教学用具：直角板、投影仪（多媒体教室） 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】： 一、创设情景，揭示课题1.情境：下表给出了,,x y z 三种食物的维生素含量及成本：A 及40000单位的维生素B ，设X 、Y 这两种食物各取x kg 、y kg ，那么,x y 应满足怎样的关系？解答：∵X 、Y 这两种食物分别为x kg 、y kg ，∴食物Z 为100x y --kg ，则有300500300(100)35000700100300(100)40000x y x y x y x y ++--≥⎧⎨++--≥⎩，即25250y x y ≥⎧⎨-≥⎩，又∵,0x y ≥，∴252500,0100y x y x y x y ≥⎧⎪-≥⎪⎨>>⎪⎪+<⎩（介绍二元一次不等式的概念），如果进一步要求,x y 如何取值时总成本W 最小呢？如何解决该问题． 问题转化为在以上不等式组约束下，求543(100)2300W x y x y x y =++--=++（介绍目标函数概念）的最大值问题．要解决以上问题，我们首先要来了解二元一次不等式的几何意义． 2.问题：坐标满足二元一次方程20x y +-=的点组成的图形是一条直线l ．怎样才能快速准确地画出直线l 呢？（学生答：描两点连成线．例如：该直线经过点(2,0)A 和(0,2)B ，画出经过,A B 两点的直线即为所求）．教师问：怎样判断点(1,3)在不在直线l 上呢？结论：点的坐标满足直线的方程，则点在直线上；点的坐标不满足直线方程，则点不在直线上．坐标满足不等式20x y +->的点是否在直线l 上呢？这些点在哪儿呢？与直线l 的位置有什么关系呢？ 二、研探新知通过代特殊点的方法检验满足不等式20x y +->的点的位置，并猜 想出结论：坐标满足不等式20x y +->的点在直线20x y +-=的上方．如图，在直线20x y +-=上方任取一点(,)P x y ，过P 作平行于y 轴的直线交直线20x y +-=于点(,2)A x x -+，∵点P 在直线上方， ∴点P 在点A 上方，∴2y x >-+，即20x y +->，∵点P 为直线20x y +-=上方的任意一点，所以，直线20x y +-=上方任意点(,)x y ，都有2y x >-+，即20x y +->；同理，对于直线20x y +-=左下方任意点(,)x y ，都有2y x <-+，即20x y +-<．又∵平面上任意一点不在直线上即在直线上方或直线下方．因此，满足不等式20x y +->的点在直线的上方，我们称不等式20x y +->表示的是直线20x y +-=上方的平面区域；同样，不等式20x y +->表示的是直线20x y +-=下方的平面区域．学生练习：判断不等式230x y -+>表示的是直线230x y -+=上方还是下方的平面区域？（下方）结论：①一般地, 在直角坐标系中,二元一次不等式0>++C By Ax 表示0=++C By Ax 某侧所有点组成的平面区域.我们把直线画成虚线,表示区域不包括边界.而不等式0≥++C By Ax 表示区域时则包括边界,把边界画成实线. ②一般地，直线y kx b =+把平面分成两个区域（如图）：y kx b >+表示直线上方的平面区域； y kx b <+表示直线下方的平面区域．说明：（1）y kx b ≥+表示直线及直线上方的平面区域；y kx b ≤+表示直线及直线下方的平面区域．（2）对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．三、质疑答辩，排难解惑，发展思维例1（教材73P 例1）画出下列不等式所表示的平面区域：（1）21y x >-+；（2）20x y -+>． 解：（1）（2）两个不等式所表示的平面区域如下图所示：xy O下半平面y k x b<+上半平面y kx b >+y kx b =+20x y +-=2 2x y O(,)P x y ∙例2 判断下列不等式所表示的平面区域在相应直线的哪个区域？（用“上方”或“下方”填空） （1）不等式32x y >-+表示直线32xy =-+ 的平面区域； （2）不等式230x y +->表示直线230x y +-= 的平面区域； （3）不等式20x y ->表示直线20x y -= 的平面区域； （4）不等式0x y +<表示直线0x y += 的平面区域．说明：二元一次不等式0Ax By C ++>在平面直角坐标系中表示0Ax By C ++=某一侧所有点组成的平面区域．可以用“选点法”确定具体区域：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式．若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域．例3（1）若点(2,)t -在直线2360x y -+=下方区域，则实数t 的取值范围为 ． （2）若点(0,0)在直线320x y a -+=的上方区域，则点(1,3)在此直线的下方还是上方区域？解：（1）∵直线2360x y -+=下方的点的坐标满足223y x <+，∴22(2)233t <⨯-+=． （2）∵直线320x y a -+=的上方区域的点的坐标满足322ay x >+，∵点(0,0)在直线320x y a -+=的上方区域，∴02a <，∴0a <．又∵3313022a a -⨯+-=<，∴点(1,3)在此直线的上方区域． 例4（教材74P 例2） 将下列各图中的平面区域（阴影部分）用不等式表示出来（其中图（1）中区域不包括y 轴）：解：（1）0x >；（2）6522x y +≤；（3）y x >．例5 原点和点(1,1)在直线0x y a +-=的两侧，则实数a 的取值范围是 ． 提示：将点(0,0)和(1,1)的坐标代入x y a +-的符号相反，即(2)0a a -⋅-<，∴02a <<．例6 用平面区域表示.不等式组3122y x x y<-+⎧⎨<⎩的解集。
苏教版高中数学必修五教案简单的线性规划问题
简单的线性规划问题（1）【三维目标】：一、知识与技能1.从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决；2.了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念；会根据条件建立线性目标函数3.了解线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大（小）值4.培养学生观察、联想以及作图的能力；渗透集合、化归、数形结合、等价转化的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力，培养学生应用数学的意识。
二、过程与方法1.本节课是以二元一次不等式表示的平面区域的知识为基础，将实际生活问题通过数学中的线性规划问题来解决。
2.考虑到学生的知识水平和消化能力，教师可通过激励学生探究入手，讲练结合，真正体现数学的工具性。
同时，可借助计算机的直观演示可使教学更富趣味性和生动性三、情感、态度与价值观1.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新2.渗透集合、数形结合、化归的数学思想，培养学生“数形结合”的应用数学的意识；激发学生的学习兴趣【教学重点与难点】：重点：线性规划的图解法难点：从实际情景中抽象出一些简单的二元线形规划问题；寻求线性规划问题的最优解【学法与教学用具】：1. 学法：通过让学生观察、讨论、辨析、画图，亲身实践，调动多感官去体验数学建模的思想；学生要学会用“数形结合”的方法建立起代数问题和几何问题间的密切联系2. 教学用具：直角板、投影仪，计算机辅助教材【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1. 在生活、生产中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排的等问题，本节课就学习此方面的应用2.问题：在约束条件4104320x yx yxy+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩下，如何求目标函数2P x y=+的最大值？二、研探新知1. 基本概念 对于在约束条件410432000x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩下，若2P x y =+，式中变量x 、y 满足上面不等式组，则不等式组叫做变量x 、y 的约束条件 ，2P x y =+叫做目标函数；又因为这里的2P x y =+是关于变量x 、y 的一次解析式，所以又称为线性目标函数。
苏教版高中数学必修五教案二元一次不等式组与简单的线性规划问题
1．已知y x ，满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≥+222y x y x ，则22y x +的最小值是__________．2．设实数y x ，满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥≥--4102x y y x ，则x y 的最大值是__________． 3．已知y x ，满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+113y x y x ，则11+-x y 的最大值是__________． 例题剖析例1 投资生产A 产品时，每生产t 100需要资金200万元，需场地2200m ，可获利润300万元；投资生产B 产品时，每生产m 100需资金300万元，需场地2100m ，可获利润200万元，现某单位可使用资金1400万元，场地2900m ，问：应作怎样的组合投资，可使获利最大？例2 某运输公司向某地区运送物资，每天至少运送t 180．该公司有8辆载重为t 6的A 型卡车与4辆载重为t 10的B 型卡车，有10名驾驶员．每辆卡车每天往返次数为A 型车4次，B 型车3次．每辆卡车每天往返的成本费A 型车为320元，B 型车为504元．试为该公司设计调配车辆方案，使公司花费的成本最低．巩固练习1．要将两种大小不同的钢板截成C B A 、、三种规格，每张钢板可同时截得三种规格可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少．将实际问题抽象概括为线性规划问题并解决之．一 基础题1．一家饮料厂生产甲、乙两种果汁饮料，甲种饮料主要西方是每3份李子汁加1份苹果汁，乙种饮料的西方是李子汁和苹果汁各一半．该厂每天能获得的原料是L 2000李子汁和L 1000苹果汁，又厂方的利润是生产L 1甲种饮料得3元，生产L 1乙种饮料得4元．那么厂方每天生产甲、乙两种饮料各多少，才能获利最大？2．有粮食和石油两种物资，可用轮船与飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机运输效现在要在一天内运输2000吨粮食和1500吨石油，需至少安排多少艘轮船和多少架飞机？二 提高题3．若点P 满足)03)(12(≥+--+y x y x ，求P 到原点的最小距离．4．设实数y x ，满足不等式组⎩⎨⎧+≤-≤--≤+≤232241y x y y x ．（1）求作此不等式组表示的平面区域；（2）设1->a ，求函数ax y y x f -=)(，的最大值和最小值．。
高中数学 3.3.3 简单的线性规划问题(2) 教案 苏教版必修5
3.3.3 简单的线性规划问题（2）教学目标：一、知识与技能1．能将实际问题转化为数学问题，从实际情景中抽象解决一些简单的线性规划应用问题的基本思路和主要方法；2. 在应用中培养分析能力、判断能力、作图能力、计算能力；3.通过对线性规划方法的实际应用，进一步加深对线性规划有关知识的理解；4.正确进行多种数学语言的转译，增强学生应用数学的意识．二、过程与方法经历从实际情境中抽象出不等式模型的过程，培养学生数学建模的能力以及数学应用意识．三、情感、态度与价值观1. 通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，体会不等式对于刻画不等关系的意义和价值；2.体会线性规划的基本思想，借助几何直观解决一些简单的线性规划问题；3.通过实例，体验数学与日常生活的联系，感受数学的实用价值，增强应用意识，提高实践能力，培养学生理论联系实际的观点．教学重点：线性规划问题的图解法，即根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，并利用图解法求得最优解的主要步骤和基本思路；教学难点：把实际问题转化为数学问题，即如何根据实际问题的条件，转化为线性约束条件；如何把实际问题中要的结果转化为线性目标函数；如何根据实际问题的要求确定最优解．教学方法：应用多媒体辅助教学，增强动感和直观性，增大教学容量，提高教学效果和教学质量．采取先师生共同分析、探究解决一两个范例，给学生提供良好有效的解决问题的思路方法以及完整规范的解题格式和程序，再让学生进行模仿练习，在模仿中加深对求解线性规划应用题的思路方法的理解和掌握，逐步提高分析问题、解决问题的能力．教学过程：一、 问题情景1. 提高企业的经济效益是现代化管理的根本任务，各个领域中的大量问题都可以归结为线性规划问题，根据美国《财富》杂志对全美前500家大公司的调查表明，有0085的公司频繁地使用线性规划，并取得了提高经济效益的显著效果．在实际生活中，我们也经常遇到需要合理安排资源，以得到最大效益的问题，如：（多媒体显示）．某校办工厂有方木料390m ，五合板6002m ，正准备为外校新生加工新桌椅和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料301m ⋅，五合板22m ，生产每个书橱需要方木料302m ⋅，五合板12m ，出售一张书桌可获利润80元，出售一张书橱可获利润120元．（1）假设你是工厂的生产科长，请你按要求设计出工厂的生产方案．（2）设生产书桌x 张，书橱y 张，利润z 元，写出x ，y 应满足的条件以及z 与x ，y 之间的函数关系式．（3）如果你是厂长，为使工厂原料充分利用，问怎么安排能够使资源最大限度的利用，且可获得最大利润？二、学生活动1. 让学生思考上面的问题，探究解决这一问题的方案．生甲：若只生产书桌，用完五合板，可生产书桌300张，可获得利润80×300＝24000元，但方木料没有用完．生乙：若只生产书橱，用完方木料，可生产450张书橱，可获得利润120×450＝54000元，但五合板没有用完．师：在上面两种情况下，原料都没有充分利用，造成了资源浪费，那么该怎么安排能够使资源最大限度的利用，且可获得最大利润？生丙：设生产书桌x 张，书橱y 张，利润z 元，利用线性规划． 师：x y 应满足什么约束条件呢？目标函数是什么？0.1x+0.2y=90y2x+y=600OxA （100,400）生丙：约束条件为0.10.2902600x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨∈⎪⎪∈⎩，，Ｎ，Ｎ．目标函数为y x z 12080+=，这个问题转化为求目标函数的最大值问题．师：能用前面学过的知识解决这一问题吗？ 生丁：作出可行域，作出一组平行直线t y x =+32， 当直线经过点()400,100A 时，直线的纵截距最大， 即合理安排生产，生产书桌100张，书橱400张， 有最大利润为5600012040010080max =⨯+⨯=z 元．师：解决本题的关键在哪儿？生：根据题意，找出线性约束条件和线性目标函数，利用线性规划图解法求解． 师：哪些应用题可以用线性规划来处理？生：（讨论，再次观察例题，总结，教师补充）一是人力、物力、财力等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务．（即“少投入，多产出”）三、建构数学1. 线性规划问题的求解步骤：（1）审：审题（将题目中数据列表），将实际问题转化为数学问题； （2）设：设出变量，确定约束条件，建立目标函数；（3）画：画出线性约束条件所表示的可行域，作出目标函数线；（4）移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；（5）求：通过解方程组求出最优解； （6）答：回答实际问题．2. 对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点，因此，确定其最优解，往往只需考虑在各个顶点的情形，通过比较，即可得最优解．四、数学运用y xOx+2y-8=02 4 y =32468 x =4 1. 例题.例1 某工厂用A ，B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 配件耗时1h ，每生产一件乙产品使用4个B 配件耗时2h ，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天工作8h 计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？若生产一件甲产品可获利润2万元，生产一件乙产品可获利润3万元，则如何安排日生产，可使工厂所获利润最大？解 设甲、乙两种产品的产量分别为x ，y 件，工厂所获利润z 万元，约束条件为284164120,0x y x y x y +≤⎧⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥≥⎩，，，．，目标函数是y x z 32+=．作出可行域（如图所示），可行域内的每一个整点就代表所有可能的日生产安排．将目标函数变形为332zx y +-=，这是斜率为32-，在y 轴上的截距为3z ，随着3z 变化的直线族．当3z最大时，z 最大，但直线要与可行域相交．当直线经过两条直线0824=-+=y x x 与的交点()2,4M 时，直线在y 轴上的截距最大，最大值为314，因此，每天生产甲产品4件、乙产品2件时，工厂可得最大利润14万元． 例2 投资生产A 产品时，每生产一百吨需要资金200万元，需场地200 m 2，可获利润300万元；投资生产B 产品时，每生产一百米需要资金300万元，需场地100m 2，可获利润200万元．现某单位可使用资金1400万元，场地900 m 2，问 应作怎样的组合投资，可获利最大？ 分析：资金（百万元） 场地（百平方米） 利润（百万元） A 产品（百吨） 2 2 3 B 产品（百米）3 1 2 限制149解 设生产A 产品x 百吨，生产B 产品y 百米，利润为S 百万元，则约束条件为：y2x +y =923142900x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，，，．目标函数为y x S 23+=，作出可行域（如图所示），将目标函数变形为223Sx y +-=，这是斜率为23-，在y 轴上的截距为2S ，随着2S 变化的直线族．当2S最大时，S 最大，但直线要与可行域相交．当直线经过两条直线143292=+=+y x y x 与的交点⎪⎭⎫⎝⎛25413，A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时75.145.2225.33=⨯+⨯=S ,因此，生产A 产品325t ，生产B 产品250m 时，获利最大，且最大利润为1475万元．例3 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg 的碳水化合物，0.06kg 的蛋白质，0.06kg 的脂肪，1kg 食物A 含有0.105kg 碳水化合物，0.07kg 蛋白质，0.14kg 脂肪，花费28元；而1kg 食物B 含有0.105kg 碳水化合物，0.14kg 蛋白质，0.07kg 脂肪，花费21元．为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A 和食物B 多少千克？分析 解 设每天食用x kg食物A ，y kg 食物B ，总成本为z 元，则线性约束条件为：0.1050.1050.0750.070.140.060.140.070.0600x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎪+≥⎨⎪≥⎪≥⎪⎩，，，，．①， 目标函数为：y x z 2128+=28x ＋21不等式①等价于7757146147600x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎪+≥⎨⎪≥⎪≥⎪⎩，，，，． ②，作出可行域如图：考虑y x z 2128+=可变形为2834zx y +-=，这是斜率为34-、随z 变化的一组平行直线，28z 是直线在y 轴上的截距，当28z取最小值时，z 的值最小，且直线要与可行域相交，由上图可见，当直线y x z 2128+=经过可行域上的点M 时，截距28z最小，即z 最小．解方程组⎩⎨⎧=+=+6714577y x y x ，得M 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛7471，，所以162128min =+=y x z ．由此可知，每天食用A 食物143g ，食物B 约571g ，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元．2. 练习．（1）某工厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3千元、2千元．甲、乙产品都需要在A ，B 两种设备上加工，在每台A ，B 上加工一件甲所需工时分别为1小时、2小时，加工一件乙所需工时分别为2小时、1小时，A ，B 两种设备每月有效使用台数分别为400小时/台和500小时/台．如何安排生产可使收入最大？ 解 设甲、乙两种产品的产量分别为x ，y 件，约束条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+00500424002y x y x y x ，目标函数是y x z 23+=． 作出可行域（如图所示） 将目标函数变形为223zx y +-=，这是斜率为23-，在y 轴上的截距为2z ，随着2z 变化的直线族．当2z 最大时，z 最大，但直线要与可行域相交．当直线经过两条直线40025002=+=+y x y x 与的交点()100,200A 时，直A （200,100）y2x +y =500xOx +2y =400Ox20 30 40y 2030 10 M10x ＋y ＝20 x ＋y ＝30x ＋2y ＝407.2x ＋10.8y ＝0线在y 轴上的截距最大，最大值为800千元，因此，甲、乙两种产品的每月产量分别为200,100件时，工厂可得最大收入800千元．（2）某人准备投资1200万元兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为单位）： 学段 班级学生数 配备教师数 硬件建设（万元） 教师年薪（万元） 初中 45 2 26/班 2/人 高中40354/班2/人若根据有关部门的规定，初中每人每年可收取学费1600元，高中每人每年可收取学费2700元．因生源和环境等条件限制，办学规模以20至30个班为宜（含20个与30个），那么开设初中班和高中班各多少个，每年收取的学费总额最多？解 设开设初中班x 个，高中班y 个，收取学费的总额为z 万元．满足的约束条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≥+0,04023020y x y x y x y x ，目标函数为y x z 4027.04516.0⨯+⨯=，可行域如图，把z x y y x z 545328.102.7+-=+=变形为，得到斜率为32-，在y 轴上的截距为54z ，随着54z变化的直线族．当54z最大时，z 最大，但直线要与可行域相交．当直线经过可行域上的点M 时，直线在y 轴上的截距最大，z 最大．解方程组30,240x y x y +=⎧⎨+=⎩()20,10,M 得的坐标为所以252108.10202.7max =⨯+⨯=z ．由此可知，开设20个初中班和10个高中班，收取的学费最多，为252万元．五、要点归纳与方法小结： 本节课学习了以下内容： 1. 线性规划问题的求解步骤：（1）审：审题（将题目中数据列表），将实际问题转化为数学问题；（2）设：设出变量，确定约束条件，建立目标函数；（3）画：画出线性约束条件所表示的可行域，作出目标函数线；（4）移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；（5）求：通过解方程组求出最优解；（6）答：回答实际问题．2. 对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点，因此，确定其最优解，往往只需考虑在各个顶点的情形，通过比较，即可得最优解．3. 本节课学习的数学思想：化归思想、数形结合思想．。
高中数学必修五《简单的线性规划问题》优秀教学设计
简单的线性规划问题学案【 知识要点】1．二元一次不等式(组)表示的平面区域确定的方法二元一次不等式(组)表示的平面区域，有三种方法判定：第一种：若用b kx y +=表示的直线将平面分成上下两部分联系：将Ax ＋By ＋C ＝0表示的直线转化成b kx y +=形式即是第一种．窍门：符号定方向：看y 的系数B 与不等号的方向：同号 ；异号 。
第三种：选特殊点判定(如原点)，取一点坐标代入二元一次不等式(组)，若成立，则平面区域包括该点，反之，则不包括．(1)一般地，二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0在平面直角坐标系中表示直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧所有点组成的 ．(2)由于对在直线Ax ＋By ＋C ＝0同一侧的所有点),(y x ，把它的坐标),(y x 代入Ax ＋By ＋C ，所得到实数的符号都 ，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点),(00y x ，从C By Ax ++00的 即可判断Ax ＋By ＋C >0表示直线哪一侧的平面区域．窍门：特殊点定区域：若），可取点（000≠C ；若），可取点（010=C ），或（10。
2．线性规划求目标函数在 下的最大值或 的问题，统称为 问题，满足线性约束条件的解),(y x 叫做 ，由所有可行解组成的集合叫做 ．分别使目标函数),(y x f z =取得 和最小值的可行解叫做这个问题的 ． 3．利用图解法解决线性规划问题的一般步骤(1) 作;作出可行域．将约束条件中的每一个不等式当作等式，作出相应的直线，并确定原不等式的区域，然后求出所有区域的交集．(2) 移：作出目标函数的等值线(等值线是指目标函数过原点的直线)．(3) 求：求出最终结果．在可行域内平行移动目标函数等值线，从图中能判定问题有唯一最优解，或者是有无穷最优解，或是无最优解． 【基础练习】1．下列命题中正确的是( ) A ．点(0，0)在区域x ＋y ≥0内 B ．点(0，0)在区域x ＋y ＋1<0内 C ．点(1，0)在区域y >2x 内D ．点(0，1)在区域x －y ＋1>0内 2．不等式组表示以点A (1，4)，B (－3，0)，C (－2，－2)为顶点的三角形内部区域(不含边界)，则不等式组应是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≥02x ＋y ＋6≥02x －y ＋2≤0B.⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3＜02x ＋y ＋6＜02x －y ＋2＞0C.⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3＞02x ＋y ＋6＞02x －y ＋2＜0D.⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3＞02x ＋y ＋6＜02x －y ＋2＜03．(课本习题改编)点A (1,1)，B (－1，b )位于直线2x －3y ＋4＝0的同侧，则实数b 的取值范围是________．4．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥400y x y x 所表示的平面区域的面积为________．【典型例题】例1 画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x 表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出y x ,的取值范围； (2)平面区域内有多少个整点？ (3)求所围平面区域的面积．例2 已知y 、x 满足(1)若y x z +=2,求z 的最值. (2)若y x z -=2,求z 的最值.(3)若22y x z +=,求z 的最值. (4)若xyz =求z 的最值.(5)若),0(>+=m y mx z 在可行域内取得最大值的最优解有无数个, 求m 的值.【拓展练习】1．已知y x 、满足,00022≥≥≤-+⎪⎩⎪⎨⎧y x y x （1）求22)1()1(-+-y x 的最值； （2）求12--x y 的取值范围。
高中数学 3.3.3 简单的线性规划问题(第1课时)教案 苏教版必修5 (2)(1)
3．3.3 简单的线性规划问题第1课时简单的线性规划问题(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决；(2)了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念，会根据条件建立线性目标函数；(3)了解线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大(小)值；(4)培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合、等价转化的数学思想．2.过程与方法(1)本节课是以二元一次不等式(组)表示的平面区域的知识为基础，将实际生活问题通过数学中的线性规划问题来解决；(2)考虑到学生的知识水平和消化能力，教师可通过激励学生探究入手，讲练结合，真正体现数学的工具性，同时，借助计算机的直观演示可使教学更富趣味性和生动性．3．情感、态度与价值观(1)结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新；(2)渗透集合、数形结合、化归的数学思想，培养学生“数形结合”的应用数学的意识，激发学生的学习兴趣.●重点、难点重点：线性规划问题的图解法，寻求线性规划问题的最优解．难点：利用图解法求最优解．为突出重点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法，将实际问题数学化，代数问题几何化．解决难点的方法是精确作图，利用数形结合的思想将代数问题几何化．(教师用书独具)●教学建议从内容上看，简单的线性规划问题是在学习了不等式、直线方程的基础上展开的，它是对二元一次不等式的深化和再认识、再理解．它是用数学知识解决实际问题，属于数学建模，是初等数学中较抽象的，对学生要求较高，又是必须予以掌握的内容．考虑到学生的认知水平和理解能力，建议教师可以通过激励学生探究入手，讲练结合，培养学生对本节内容的学习兴趣，培养学生数形结合的意识，让学生体味数学的工具性作用．另外，教师还可借助计算机直观演示利用图解法求最优解的过程，增强教学的趣味性和生动性．●教学流程创设问题情境，引导学生了解线性约束条件、线性目标函数、可行域、线性规划问题等概念.⇒结合教材让学生掌握线性规划问题的图解法.⇒通过例1及其变式训练使学生巩固掌握利用图解法求最优解的步骤.⇒通过例2及其变式训练使学生掌握利用线性规划研究字母参数的方法.⇒通过例3及其变式训练使学生掌握求非线性目标函数的最值的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双达达标，巩固所学知识，并进行反馈矫正.(对应学生用书第56页)课标解读 1.了解目标函数、约束条件、可行域、最优解等基本概念．2.掌握线性规划问题的求解过程，特别是确定最优解的方法．(重点、难点)可行域约束条件所表示的平面区域，称为可行域.线性规划求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，通常称为线性规划问题，上述只含两个变量的简单线性规划问题可用图解法解决.(对应学生用书第56页)线性规划问题设z＝3x＋5y，式中变量x、y满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y≥3，7x＋10y≥17，x≥0，y≥0.求z的最小值．【思路探究】【自主解答】画出约束条件表示的点(x，y)的可行域，如图所示的阴影部分(包括边界直线)．把z ＝3x ＋5y 变形为y ＝－35x ＋z 5，得到斜率为－35，在y 轴上的截距为z5，随z 变化的一族平行直线．作直线l ：3x ＋5y ＝0，把直线向右上方平行移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，此时l 1：3x ＋5y －z ＝0的纵截距最小，同时z ＝3x ＋5y 取最小值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝3，7x ＋10y ＝17，得M (1,1)．故当x ＝1，y ＝1时，z min ＝8.1．由本例可以看出，解线性规划问题时，一定要注意最优解的对应点是最大值点，还是最小值点．对于目标函数z ＝ax ＋by ，当b >0时，直线截距最大时，z 有最大值，截距最小时，z 有最小值；当b <0时，则相反．2．图解法是解决线性规划问题的有效方法，其关键是利用z 的几何意义求解．平移直线ax ＋by ＝0时，看它经过哪个点(哪些点)时最先接触可行域和最后离开可行域，则这样的点即为最优解，最优解一般是在可行域的边界取得．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最小值分别为多少．【解】 作可行域如图所示，解⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，x ＋y －8＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5，∴A (3,5)．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －8＝0，x －5y ＋10＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3，∴B (5,3)．平移直线3x －4y ＝z 可知，直线过A 点时，z 取最小值，过B 点时，z 取最大值． ∴z min ＝3×3－4×5＝－11，z max ＝3×5－4×3＝3.利用线性规划求字母参数的值(或范围)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y ≤25，x ≥1，设z ＝ax ＋y (a ＞0)，若当z 取最大值时，对应的点有无数多个，求a 的值．【思路探究】【自主解答】 作出可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5y ＝25，x －4y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，∴点A 的坐标为(5,2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋5y ＝25，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4.4，∴点C 的坐标为C (1,4.4)．当直线z ＝ax ＋y (a ＞0)平行于直线AC ，且直线经过线段AC 上任意一点时，z 均取得最大值，此时有无数多点使z 取得最大值，而k AC ＝－35，∴－a ＝－35，即a ＝35.1．本题中，z 取最值时对应的点有无数多个，故这无数多个对应点构成平面区域的一段边界．2．解线性规划问题时一般要结合图形(平面区域)及目标函数的几何意义解题．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围是________．【解析】 作出可行域，让目标函数所表示的直线过定点，观察斜率的范围，构建不等式求参数范围．如图所示，约束条件所表示的平面区域为三角形，目标函数z ＝ax ＋2y ，即y ＝－a 2x ＋z 2仅在点(1,0)处取得最小值，故其斜率应满足－1＜－a2＜2，即－4＜a ＜2.故填(－4,2)．【答案】 (－4,2)求非线性目标函数的最值已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(1)求u ＝x 2＋y 2的最大值和最小值； (2)求z ＝yx ＋5的最大值和最小值． 【思路探究】【自主解答】 画出不等式组所表示的平面区域，如图所示．(1)∵u ＝x 2＋y 2，∴u 为点(x ，y )到原点(0,0)的距离，结合不等式组所表示的平面区域可知，点B 到原点的距离最大，而当(x ，y )在原点时，距离为0.由⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23＝0，4x ＋y ＋10＝0得点B 的坐标为(－1，－6)，∴(x 2＋y 2)max ＝(－1)2＋(－6)2＝37，(x 2＋y 2)min ＝0.(2)z ＝yx ＋5＝y －0x －－5，所以求z 的最大值和最小值，即是求可行域内的点(x ，y )与点(－5,0)连线斜率的最大值和最小值．设点M 的坐标为(－5,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋7y －11＝0，4x ＋y ＋10＝0得点C 的坐标为(－3,2)，由(1)知点B 的坐标为(－1，－6)，∴k max ＝k MC ＝2－0－3－－5＝1，k min ＝k MB ＝－6－0－1－－5＝－32，∴yx ＋5的最大值是1，最小值是－32.1．本题中，(1)x 2＋y 2是平面区域内的点(x ，y )到原点的距离的平方；(2)y x ＋5＝y －0x －－5可看成平面区域内的点(x ，y )与点(－5,0)连线的斜率．2．解决此类问题，应先准确作出线性约束条件表示的平面区域，然后弄清非线性目标函数的几何意义．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0.(1)求z ＝x 2＋y 2＋2x －2y ＋2的最小值； (2)求z ＝|x ＋2y －4|的最大值． 【解】 (1)作出可行域，如图所示，∵z ＝(x ＋12＋y －12)2，∴z 可看作是可行域内任意一点(x ，y )到点M (－1,1)的距离的平方． 由图可知z min 等于原点到直线x ＋y －4＝0的距离的平方， ∴z min ＝(|－4|2)2＝8.(2)∵z ＝|x ＋2y －4|＝5·|x ＋2y －4|5， ∴z 可看作是可行域内任意一点(x ，y )到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍． 由图可知点C 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0得点C (7,9)，∴z max ＝|7＋2×9－4|5×5＝21.(对应学生用书第58页)直线的倾斜程度判断不准致误已知⎩⎪⎨⎪⎧11x ＋4y ≤44，7x ＋5y ≤35，6x ＋7y ≤42，x ≥0，y ≥0，求z ＝x ＋y 的最大值．【错解】 作出可行域，如图所示．作出直线l 0：x ＋y ＝0，将它移至点B ，则点B 的坐标是可行域中的最优解，它使z 达到最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧11x ＋4y ＝44，7x ＋5y ＝35，得点B 的坐标为(8027，7727)．所以z max ＝8027＋7727＝15727.【错因分析】 将直线l 0向上移动时，最后离开可行域的点不是点B 而是点A ，这是由于直线倾斜程度不准确引起的，由于三条边界直线的斜率依次是－67，－75，－114，而目标函数z ＝x ＋y 的斜率为－1，它夹在－67与－75之间，故经过点B 时，直线x ＋y ＝z 必在点A 的下方，即点B 不是向上平移直线时最后离开可行域的点，而是点A .【防范措施】 解决线性规划问题时，可行域一定要准确，关键点的位置不能画错，若数据比较大，不易画图，也可用斜率分析法确定关键点或取得最值点．【正解】 作出二元一次不等式组所表示的平面区域如上图．作出直线l ′0：x ＋y ＝0，将它向上平移，当它经过点A 时，z 取得最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋5y ＝35，6x ＋7y ＝42，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3519，y ＝8419，故z max ＝3519＋8419＝119191．基础知识： (1)可行域； (2)线性规划． 2．基本技能： (1)解线性规划问题；(2)利用线性规划求字母参数的值(或范围)； (3)求非线性目标函数的最值． 3．思想方法： (1)数形结合思想； (2)函数思想； (3)转化思想．(对应学生用书第58页)1．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ≤3，x ＋y ≥0，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为________．【解析】 画出不等式组表示的平面区域，由图可知目标函数在点(3，－3)处取得最小值－3.【答案】 －3图3－3－72．给出平面区域(包含边界)如图3－3－7所示，若使目标函数z ＝ax ＋y (a ＞0)取得最大值的最优解有无数多个，则a 的值为________．【解析】 由题意知－a ＝k AC ＝－35，∴a ＝35.【答案】 353．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＜0，x ＞1，x ＋y －7＜0，则yx的取值范围是________．【解析】 目标函数y x 是可行域上的动点(x ，y )与原点连线的斜率，最小值是k OC ＝95，最大值是k AO ＝6，又可行域边界取不到，∴95＜yx＜6.【答案】 (95，6)4．已知x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0，求z ＝4x －3y 的最值．【解】 原不等式组表示的平面区域如图所示：其中A (4,1)、B (－1，－6)、C (－3,2)． 作与4x －3y ＝0平行的直线l ：4x －3y ＝t ， 即y ＝43x －t3，则当l 过C 点时，t 最小； 当l 过B 点时，t 最大．∴z max ＝4×(－1)－3×(－6)＝14，z min ＝4×(－3)－3×2＝－18.(对应学生用书第97页)一、填空题1．(2013·微山高二检测)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，y ≤x ，y ≥－2，则z ＝3x ＋y 的最大值为________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示：把z ＝3x ＋y 变形为y ＝－3x ＋z 得到斜率为－3，在y 轴截距为z 的一族平行直线，由图当直线l ：y ＝－3x ＋z 过可行域内一点M 时，在y 轴截距最大，z 也最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2，即M (3，－2)．∴当x ＝3，y ＝－2时，z max ＝3×3＋(－2)＝7. 【答案】 72．(2013·苏州高二检测)变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥12，2x ＋9y ≥36，2x ＋3y ≥24，x ≥0，y ≥0，则使得z ＝3x ＋2y 的值最小的(x ，y )是________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示：把z ＝3x ＋2y 变形为y ＝－32x ＋z 2，作与直线l 0：y ＝－32x 平行的直线l ，显然当l 经过可行域内点M 时在y 轴上截距最小，z 也最小．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝12，2x ＋3y ＝24，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝6，即M (3,6)时，z ＝3x ＋2y 的值最小． 【答案】 (3,6)3．设z ＝2y －2x ＋4，式中的x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1，则z 的取值范围是________．【解析】 作出满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1的可行域(如图所示)，作直线2y －2x ＝0，并将其平移，由图象可知当直线经过点A (0,2)时，z max ＝2×2－2×0＋4＝8； 当直线经过点B (1,1)时，z min ＝2×1－2×1＋4＝4. 所以z 的取值范围是[4,8]． 【答案】 [4,8]4．(2013·连云港检测)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，2y －3≤0，则yx的最大值是________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示：又y x ＝y －0x －0表示过平面区域内一点(x ，y )与原点(0,0)的直线的斜率，由图知(x ，y )在平面区域内A 点处时直线斜率最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，2y －3＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝32，∴A (1，32)，∴y x 的最大值为32.【答案】 325．(2013·无锡检测)二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，y ＜0，x ＋y ＋4＞0表示的平面区域内，使得x ＋2y 取得最小值的整点坐标为________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示：∵平面区域不包括边界，∴平面区域内的整点共有(－1，－1)，(－1，－2)，(－2，－1)三个． 代入检验知，整点为(－1，－2)时x ＋2y 取得最小值． 【答案】 (－1，－2)6．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ≥－1，且u ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8，则u 的最小值为________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示，由已知得(x －2)2＋(y －2)2＝(u )2，则(u )min ＝|2＋2－1|1＋1＝32，u min ＝92.【答案】 927．已知变量x ，y 满足约束条件1≤x ＋y ≤4，－2≤x －y ≤2.若目标函数z ＝ax ＋y (其中a ＞0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为________．【解析】 由题设知可行域为如图所示的矩形，要使目标函数z ＝ax ＋y 在点(3,1)处取得最大值，结合图形可知a ＞1.【答案】 (1，＋∞)8．如果点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0内，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，那么|PQ |的最小值为________．【解析】 首先作出不等式组表示的平面区域和曲线x 2＋(y ＋2)2＝1，如图所示，从而可知点P 到Q 的距离最小值是可行域上的点到(0，－2)的最小值减去圆的半径1，由图可知|PQ |min ＝12＋－22－1＝5－1。
高中数学必修五[苏教版]3.3.3《简单的线性规划问题》ppt课件2
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6 6
x 0
x 0
y 0
y 0
目标函数为：z＝28x＋21y
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域
把目标函数z＝28x＋
21y 变形为
y4x z 3 28
6/7
它表示斜率为 4
3
5/7
随z变化的一组平行直线系
z
28 是直线在y轴上的截
3/7
距，当截距最小时，z的值
最小．
y M
产元品，生产一件A 乙产品可B获利润3耗万时元，则如何安 排甲日生产，可4 使工厂所获利润最1大h ？
乙
4
2h
16
12
8h
解 设甲、乙两种产品的产量分别为x，y件，工厂利润z万元
x 约束2 y条件8为：
4x 16
4 y 12
x 0, y 0
z 目2标x函数3是y：
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域．
B 成人日常
0.105 0.075
0.14 0.07 21 0.06 0.06
解 设每天食用xkg食物A，ykg食物B，总成本为z，则线性约束条 件为：
0.105x＋0.10 y 0.075 7x 7 y 5
00..1047xx＋ 00..0174
y y
0.06 0.06
174xx174
y y
学段
班级学 生数
配备教 师数
硬件建 教师年 设（万 薪（万
元） 元）
初中 45
2 26／班 2／人
分别高用中数学关系4式0和图形表示上3 述限制条54件／．若班根据2有／关人部门的规
定，初中每人每年可收学费1600元，高中每人每年可收学费2700元.因
高中数学 简单的线性规划2课件 苏教版必修5
图 解 法
最优解
四个步骤：
寻找平行线组的 最大（小）纵截距
1。画（画可行域） 2。作（作z=Ax+By=0时的直线L 。） 3。移（平移直线L 。寻找使纵截距取得最值时的点） 4。答（求出点的坐标，并转化为最优解）
x
线性目标函数
四个步骤：
1、画 2、作 3、移 4、答
0
2x+3y=12 5x+4y=20
代数问题
(线性约束条件)
图解法
结论: 三个转化
线性约束条件
转化 转化 转化
可行域
线性目标函数 Z=Ax+By
Z y x B
一组平行线
图 解 法
最优解
四个步骤：
寻找平行线组的 最大（小）纵截距
Zmax=3
目标函数: Z=2x-y 化为
Y
y=2x-Z
x+y=1
A
y=x
O B C
X
y=-1
B:(-1,-1) C:(2,-1)
y=2x
Zmin=3
练习：
教材P80练习题 1、2、3
小结: 三个转化
线性约束条件
转化 转化 转化
可行域
线性目标函数 Z=Ax+By
Z y x B
一组平行线
1。画（画可行域） 2。作（作z=Ax+By=0时的直线L 。） 3。移（平移直线L 。寻找使纵截距取得最值时的点） 4。答（求出点的坐标，并转化为最优解）
二.数学应用
例 求z=2x-y的最大值，使式中的x、y满足约束条件：
y x x y 1 y 1
解：
y x x y 1 y 1
苏教版高中数学必修五宿迁沭阳县潼阳教案简单的线性规划问题
教学案 科目: 数学 主备人： 备课日期： 课 题 第 1 课时
计划上课日期： 教学目标 知识与技能 1.了解线性规划相关概念，掌握简单线性规划求解方法.
2.培养学生的数学应用意识和数形结合的能力．
过程与方法 数形结合
情感态度 与价值观
教学重难点 了解线性规划相关概念，掌握简单线性规划求解方法.
教学流程\内容\板书 关键点拨
加工润色
自学评价
1线性条件与线性约束条件：
2目标函数与线性目标函数：
3可行域：
4线性规划：
【精典范例】
例1．在约束条件410432000
x y x y x y ì+?ïïïï+?ïíï³ïïï³ïî 下, 求P=2x+y 的最大值与最小值. 变式１．在例１条件下，求P=2x+y+20的最大值与最小值
变式２．在例１条件下，求P=2x-y 的最大值与最小值
变式3．在例１条件下，求P=4x+3y 的最大值与最小值
解：变式１：设0l ：02=+y x ，平移0l 类同例１，得Ｐ最大值为27.5, Ｐ最小值为2０．
变式２：设0l ：02=-y x ，平移0l 类同例１，得Ｐ最大值为５, Ｐ最小值为3
40-． 变式３：设0l ：034=+y x ，平移0l 类同例１，得Ｐ最大值为２０， Ｐ最小值为０．
思维点拔：
1.在线性约束条件下求目标函数z=ax+by+c 的最大值或最小值的求解步骤：
(1)作出可行域；(2)作出直线l 0:ax+by=0；(3) 平移l 0使其过最优解对应点；(4)解相关方程组，。