有限差分法计算电场的电位分布
电场数值计算的常用方法
电场数值计算的常用方法摘要：电场的数值计算在工程中有很大的应用价值，为此介绍了3种常用的电场数值计算方法：模拟电荷法、有限差分法、有限元法。
主要分析和比较了三种方法的原理、解题步骤和优缺点，三种方法的适用场合略有差别，指出了有限元法是比较适合实际工程计算电场的方法。
关键词：电场数值计算；模拟电荷法；有限差分法；有限元法0 引言目前，我国电力系统正在大力建设特高压交流、直流输电线路，随着输电线路电压等级的提高，将会带来一系列的问题，如设备的选型、电磁干扰、绝缘间隙的设计等，这些问题和电场的数值和分布都有着紧密的关系，因此有必要明确高压输电线路各个关键部位的电场数值以及分布，以便于指导工程设计[1]。
电场的测量和数值计算是两种常用的确定电场数值以及分布的方法。
电场测量的结果比较精确，但是需要大量的人力、物力和时间，而且由于工况的不同，使得电场测量不能穷举，而电场数值计算能够克服电场测量的缺点，并且计算出来的结果具有一定的指导意义，因此广泛被工程和科研人员接受，用来计算输变电设备的电场分布、均压环结构的设计和优化等[2]。
常用的电场数值计算方法有模拟电荷法、有限差分法和有限元法。
本文介绍了三种电场数值计算方法的原理和解题步骤，并从解决问题的普遍性、消耗的计算机资源等方面分析了不同方法的优缺点。
1 模拟电荷法模拟电荷法是基于静电场唯一性定理提出来的能够求解静电场问题的方法，通过虚设电荷的方法可以使电场在计算域内满足原始的边界条件和分界面条件，然后对虚设电荷产生的场进行叠加，从而求出未知的物理量。
1.1 静电场唯一性定理的证明在静电场下，磁场的变化可以忽略，因此麦克斯韦方程组的微分形式为也即。
根据求解域边界条件的不同，可将静电场问题分为以下两种情况：狄利克雷问题和纽曼问题，它们分别表示为和。
如果和是同一个边值问题的两个解，令，则=0。
根据格林第一公式可知，无论是狄利克雷问题还是纽曼问题，都有=0，因此要想满足上式成立，必有=0，所以=c（c为常数）。
有限差分法在电磁场理论教学中的应用研究
分布 ，而 电磁场与 电磁波又都具 有不可 见和 不可触摸
的特性 ，只能进行抽象 的想象或通过仪器进行 数据测
量 ；三是 电磁波是动态 的 ，电磁波是 电磁场相 互激 发 的结果 ，它在空间 的传播每时每刻 它的位置和状 态都 在发生变化。
传 统 的 电磁 场 与 电磁 波 课 堂 理 论 教 学 方式 ，一是
１静 态 场 模 拟
在 均 匀 介质 内 ，静 电势 （满 足泊 松 方程 ｐ
Ｖ ＝
如 各种复 杂的边 界条件 等 ，这种枯燥 的教学方法无法 引起学生 的学 习兴趣 ，找到一种方便 快捷的方法计算
和 模 拟 电磁 场 ， 并 以形 象 化 的 图形 演 示 电磁 场 是 一 种
行 之有效 的教学手段…。二是偏重理论教学 ，而忽视
为求解 由偏微 分方程定解 问题所构 造的数学模型 ，有
限差分法是将 定解区域 （ 区 ）离散化为 网格离散 节 场 点的集合 。并 以各离散点上 函数的差商来近似该 点的 偏导数 ，使待 求的偏 微分 方程定解 问题转化 为一组 相 应 的差 分方程 。根据 差分 方程组解 出各离散点 处的待
解不仅耗 时费力 ，容易出差错 ，并且求解 的电磁场和
程 中，学生就会思考 ：为什 么可以这么求解 ；如何 求
解 ；解决一 些什 么问题？ 带着 这些 问题学 习，学 习效
果 明 显 提 高。
电磁 波问题均 为设计 的理想化模型 ，只对一些特殊对
称 的边界 才能求解 ，而实际工程中的问题是变化 的，
电磁场 与 电磁 波理论作 为电子信 息类专业 的一门
的电位 分布问题 ，利用时域有 限差分法数值计 算波导
中的 电磁 波传 播问题 ，实现 电磁场和 电磁波可视化教 学简 化 了繁 琐的数学推 导 ，能够形象而直观地输 出可
静电场边值问题有限差分法的仿真分析
静电场边值问题有限差分法的仿真分析作者：霍文晓来源：《科技视界》2015年第05期【摘要】为了提高教学效果，在教学过程中引入仿真教学方式。
结果表明，利用仿真软件进行演示，能够形象的反映有限差分法的解题过程，并得到电位分布图，加强了学生对抽象理论的理解。
【关键词】有限差分法;MATLAB;仿真分析在电磁场理论中，已知场量在场域边界上的值，求场域中的场分布称为边值问题。
通常将静态场边值问题的求解简化成：在一定边界条件下对位函数的泊松方程或拉普拉斯方程的求解[1]。
在电磁场与电磁波课程教学中，边值问题的求解既是重点又是难点。
教材中主要讲了三种方法：镜像法、分离变量法和有限差分法。
随着计算机技术的发展和模拟软件的进步，有限差分法得到了迅速发展和广泛应用。
因此，为了与实际接轨，在课堂讲授中，我们将有限差分法作为边值问题这部分的重点内容。
并采用理论讲解与模拟演示的教学方法，同时提高学生对理论知识的理解和应用能力。
1 有限差分法的原理有限差分法的基本思想是将场域划分成网格，把求解场域内连续的场分布用求解网格节点上的离散的数值解来代替，即用网格节点的差分方程近似代替场域内的偏微分方程来求解。
1.1 位函数的差分方程在一个边界为L的二维无源区域S内，电位函数φ（x，y）满足拉普拉斯方程和边界条件为：■（1）通常将场域分成足够小的正方形网格，网格线之间的距离为h，节点（xi，yi）处的电位φi，j可由其周围直接相邻的四个节点的电位表示，即二维拉普拉斯方程的差分形式。
■（2）同时将边界条件进行离散化，成为边界节点上的已知数值。
在这些已知节点条件下，求解各节点的差分方程，整个区域中的节点上电位值即可求出。
1.2 差分方程的求解方法在求解实际问题时，为了达到足够的精度，需将网格划分的充分细，节点的个数很多，建立的差分方程数量大，一一求解工作量大。
因此如果节点数量较多，通常使用迭代法。
1.2.1 简单迭代法先对场域内的节点赋予迭代初值φ■■，然后按公式[2]■（3）进行反复迭代（k=0，1，2，…）。
用有限差分法分析电介质静电场特性
用有限差分法分析电介质静电场特性唐正明;章三妹;冯正勇【摘要】电介质内的电位分布、电场分布和极化等特性相对常规静电场问题难于理解.在介绍有限差分法求电位分布原理的基础上,导出了介质中拉普拉斯方程的有限差分形式;通过巧妙设计非均匀介质区域并运用Matlab求解,分析了电介质的静电场特性.理论分析与仿真计算结果符合较好.【期刊名称】《西南民族大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(041)004【总页数】4页(P494-497)【关键词】有限差分法;介质极化;静电场;Matlab【作者】唐正明;章三妹;冯正勇【作者单位】西华师范大学物理与电子信息学院,四川南充637009;西华师范大学实验中心,四川南充637009;西华师范大学物理与电子信息学院,四川南充637009【正文语种】中文【中图分类】O412.3常用的计算电磁场问题的方法主要有两大类:第一类是解析法；第二类是数值法.伴随工程问题复杂度的提升及计算机处理能力的显著提高，数值法应用日趋广泛.二维静态电磁场的边值问题是求解电磁场的基础，有较为经典的解析法[1].然而，就其数值法求解来说，一方面，现有文献所介绍的多为典型的“电解槽”类问题，且常局限于单一媒质[2-4]，这对理解电介质的静电场特性，尤其是电介质的极化特性[5]极为不利；另一方面，实际媒质的本构关系具有多样性[6]，局限于单一媒质的基础研究，已不能满足实际应用的需要.由于有限差分法(Finite Difference Method)求解静电场边值问题较为有效，同时，其也是广泛应用于时谐场分析的时域有限差分法(Time Domain Finite Difference Method)的基础[7-10].为实现对电介质极化问题和有限差分法更为准确而全面的掌握，本文在传统有限差分法求电位分布问题的基础上，将有限差分法运用到介质极化问题分析中，导出了介质中拉普拉斯方程的有限差分法形式，并借此分析了电介质的静电场特性.无论是极性还是无极性分子中的束缚电荷，在外电场的作用下均会产生一定的位移，并形成顺着外电场方向规则排布的电偶极子.大量电偶极子的存在，将在电介质内形成附加电场，而最终使得电介质区域的总电场其中，为外加电场.由极化的原理可知，附加电场应与原外电场方向相反，对外电场存在“克服作用”，故介质中总电场E在数值上应小于外电场E0.通常将由于极化而在单位体积内形成的电偶极矩(即极化强度)，用于表征这种“克服作用”的强弱.对于线性各向同性介质其中，χe为电介质的电极化率.将真空中的高斯定律推广应用于电介质中，可得式中，ρf、ρP分别为自由电荷密度和因电介质极化而产生的极化电荷体密度同时，由(5)知电介质的本构关系，满足其中，εr称为介质相对介电常数，用于表征电介质的极化特性，比电介质的电极化率χe更为常用.在同一外电场照射下的两种不同电介质，设其相对介电常数分别为εr1和εr2，由静电场的法向边界条件，有其中，E1n，E2n和E2n'分别为入射电场、介质1内部和介质2内部电场的法向分量.由此可见，在所加外电场不变的情况下，相对介电常数ε较大的介质内的总电场E较小.这与前面提及的电介质附加电场的“克服作用”相符合.有限差分法的原理在于，在变量增量充分小的前提下，函数可进行泰勒展开，并忽略掉高阶项，进而利用差分近似的替代微分运算[11-13].例如，可通过泰勒公式得到关于函数f(x)微分的中心差分形式由于Maxwell方程由偏微分方程所描述，而偏微分方程也可以做类似的差分表示.因此，有限差分法可用于静电场问题分析中.在数值实现上，首先将求解区域划分成网格，然后将区域内连续的场分布，按照有限差分法理论，用网格节点上的离散的数值解代替.为了描述方便，将区域采用边长为h的正方形网格离散(h即为离散步长)，并将相应节点放大显示，其中，坐标为(i，j)的节点电位的电位为φi，j，其周围4个节点的电位分别为φi+1，j、φi，j+1、φi-1，j、φi，j-1，如图所示1.显然，离散步长h将直接影响到数值解的精度，这从泰勒展开也可看出.泰勒级数的近似条件要求增量充分小(即要求离散步长h充分小，此为相对概念，工程上一般标准为，如计算域沿着某个方向的长度为l，则可令).此情况下，各个节点的电位可表示成以φi，j为基点的泰勒级数形式，在保证精度的前提下略去高阶项，进而可得到周围4点电位与中心点电位的关系.由于静电场中的任何点均满足泊松方程联立(10)—(13)，得介质区域拉普拉斯方程的有限差分形式为验证电介质的静电场特性，设计了如下图所示的非均匀介质区域:无限长矩形腔，横截面为3m∗2m，其中央有一截面方向1m长，直流电压为1V的无限长平板，由相对介电常数为19的介质区域所支撑，腔的其余部分为空气填充，相对介电常数为1，四周为理想接地导体.将计算区域划分为30∗20个单元格，非均匀介质中电位的有限差分形式用赛德尔迭代法表示并采用Matlab编程[14-15].为了显示上的直观，程序选择输出了电位分布三维曲面图和等位线、电场线分布图.从结果来看，等位线在介电常数较高的区域相对密集，即电位梯度较小，因而该区域内场强相对较小.就其根源，是因为在介电常数较高的区域，电介质的极化产生的附加电场更大，从而使得该区域内的总场相对于介电常数较低的区域，有所减小.上述结果与前述相关基础理论相吻合.在对电介质的极化特性和有限差分法做简要介绍的基础上，详细分析了介质极化强度与区域内电场强度间的关系，并运用有限差分方法计算对比了不同介电常数区域内的电位、电场分布.所做分析使得相对抽象的电介质极化特性等理论具体化且易于理解.可将类似的方法拓展到讨论含自由电荷的介质区域，进一步用数值方法直观分析电介质极化电荷体密度、面密度，边界条件等相关特性.【相关文献】[1]王礼祥.静态场边值问题的分离变量法理论研究[J]西南民族大学学报:自然科学版，2011，37(3):360-367.[2]王洁，陈超波.基于MATLAB的静态场边值问题有限差分法的研究[J]微计算机应用，2010，31(3):1-5.[3]赵德奎，刘勇.MATLAB在有限差分法数值计算中的应用[J].四川理工学院学报:自然科学版，2005，18(4):61-64.[4]宋燎原，王平，张海峰等.静态电磁场边值问题计算方法[J].大学物理，2007，26(8):23-26.[5]P劳兰，D R考森.电磁场与电磁波[M].陈成钧，译.北京:人民教育出版社，1979:62-87.[6]肖峻，肖培.电磁媒质的本构关系[J].西南民族大学学报:自然科学版，2011，37(5):72-74.[7]HYUN S Y，KIM S Y.3-D Thin-wire FDTD analysis of coaxial probe fed in asymmetric microwave components[J].Microwave Theory and Techniques，IEEE Transactions on，2011，59(11):2808-2815.[8]OHTANI T，KANAI Y，COLE J B.A stability improvement technique using PML condition for the three-dimensional nonuniform mesh nonstandard FDTDmethod[J].Magnetics，IEEE Transactions on，2013，49 (5):1569-1572.[9]王为，覃宇建，刘培国，等.基于高阶时域有限差分法与改进节点分析法混合求解复杂传输线网络瞬态响应[J].电子与信息学报，2012，34(12):2999-3005.[10]朱小敏，任新成，郭立新.指数型粗糙地面与上方矩形截面柱宽带电磁散射的时域有限差分法研究[J].物理学报，2014，63(5):1 -7.[11]BOOTON R putational methods for electromagnetics and microwaves[M].New York:Wiley，1992:19-39.[12]孙小东，李振春，王小六.三角网格有限差分法叠前逆时偏移方法研究[J].地球物理学进展，2012，27(5):2077-2083.[13]冯慈璋.电磁场[M].2版.北京:高等教育出版社，1979:226-244.[14]郑阿奇，曹弋.科学计算中的偏微分方程有限差分法[M].北京:电子工业出版社，2006:127-140.[15]何红雨.电磁场数值计算法与MATLAB实现[M].武汉:华中科技大学出版社，2004:93-127.。
有限差分法计算金属槽内电位分布
班级：物理08-2B 姓名：胡艳学号：08070201010有限差分法计算金属槽内电位分布一、选题依据求解电位分布问题是物理学中最常见的问题之一，采用有限差分法解决此类问题是十分有效的。
差分方程确定之后，一般选用迭代法求解，这是由于方程组系数矩阵中有大量元素为零，并且系数矩阵形成比较简单，有规律和重复。
在迭代过程中常常可以一边形成系数矩阵一边计算，以节省内存，因而迭代法比直接法更常用。
迭代法中又以超松弛迭代法最常用，以下给出超松弛迭代方法的公式。
对于二维场泊松方程等距剖分差分格式公式为()()()()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ--+Φ+-+Φ++Φ++Φ+Φ=+Φj i n j i n j i n j i n j i n ji n ji n ,41,1,111,,14,,1α（2.67）式中α称为加速收敛因子或超松弛因子，它的数值决定超松弛程度，影响迭代解收敛的速度。
α取值范围是1 ≤ α <2 （2.68）加速收敛因子α取值因问题而异，对于第一类边值问题，若一方形场域由正方形网格划分，每边的节点数为（n+1），则加速收敛因子α可按下式计算：nπαs i n12+=（2.69）若一矩形场域由边长为h 的正方形网格划分为mh 和nh ，且m 和n 都很大（一般都要大于15），那么加速收敛因子α为n m 221122+-=πα （2.70）一般情况下，α的最佳值只能是凭经验选取。
对于其他形状的场域，也可用等效矩形面积的处理方法，即得出等效矩形面积后，再用式（2.70）求出最佳的α。
下面我们来看一个计算电位分布的实例。
二、处理过程实例：有一长接地金属槽，横截面积如图2.15所示，其侧壁与底面电位均为零，顶盖电位为100V ，求槽内电位分布。
分析：对于此槽中间区段电位分布，可理想化为二维问题。
选定直角坐标系，槽内电位函数Φ满足拉普拉斯方程，构成一类边值问题。
2222=∂Φ∂+∂Φ∂yxVay a x 1006.0,0=Φ=<<Vay a x y a x ay x 06.00,0,06.00,0=Φ=Φ=Φ≤==≤≤≤=<<按有限差分法计算步骤，解题过程如下。
有限差分法解决电场边值问题
ϕ =0
o
x
a
具体要求： 具体要求： (1) 编写一个计算机程序（Matlab）:以步距 编写一个计算机程序（ 以步距h=a/40的正方形网格离散化场域， 的正方形网格离散化场域， ） 以步距 的正方形网格离散化场域 的数值解。 然后应用有限差分法求电位ϕ的数值解。 (2)求相邻两次迭代值的指定的最大允许误差小于 -5的迭代收敛解和迭代次 求相邻两次迭代值的指定的最大允许误差小于10 求相邻两次迭代值的指定的最大允许误差小于 分别用简单迭代法、高斯-赛德尔迭代法和逐次超松弛法 赛德尔迭代法和逐次超松弛法）。 数（分别用简单迭代法、高斯 赛德尔迭代法和逐次超松弛法）。 (3) 对逐次超松弛法，分别取α为n个不同的值和最佳值α0，求电位ϕ的数值解， 对逐次超松弛法， 的数值解， 个不同的值和最佳值 以此分析加速收敛因子的作用。 以此分析加速收敛因子的作用。从迭代收敛时的迭代次数和最终数值解这两 方面总结自已的看法。 方面总结自已的看法。 (4)用计算机描绘等位线分布。 用计算机描绘等位线分布。 用计算机描绘等位线分布
y
u=0 u=0 u=100 u=0
y y
u=0 u=0 0 u=0 u=100
0
x
hy x i行
行 hx=5 列 hy=3
j列 hx x
y 高斯-赛德尔迭代法 高斯 赛德尔迭代法 1 ϕi(,kj+1) = (ϕi(+k1), j + ϕi(,kj)+1 + ϕi(−k1+1j) + ϕi(,kj+1) ) , −1 4 u=0
简单迭代法
ϕ
( k +1) i, j
1 (k ) k = (ϕ i −1, j + ϕ i(,kj)−1 + ϕ i(+1), j + ϕ i(,kj)+1 ) 4
有限差分法
第三章 静电场的解法 球面上感应电荷密度
q1 (d12 a 2 ) s 0 | r a r 4a(d12 a 2 2ad1 cos ) 3 / 2
球面上总的感应电荷量为
q1 (d12 a 2 )a 2 sin dd qin s dS q2 2 2 3/ 2 4a(d1 a 2ad1 cos ) 0 0
q ' q "
q"
0
0
q1
第三章 静电场的解法 于是在Z﹥0的空间中
1 q1 4 0 [ 1 x 2 y 2 ( z h) 2
0 0
1 x 2 y 2 ( z h) 2
在Z﹤0的空间中 q1 2 2 ( 0 ) x 2 y 2 ( z Hh) 2 总结： 镜像法是用假想的镜像电荷来代替导体上感应电荷 或介质分界面上束缚电荷的作用，镜像法的关键是根据边 界条件确定镜像电荷的位置及大小。 注意： 1、镜像电荷不能放在要计算电位的区域内，否则，所得 电位就不会满足原来的电位方程； 2、电位函数必须满足原来的边界条件。
1 4 4 ( x x ) 0 4 4! x 0
在节点1 ，X =X0+h ，这一点的电位为
1 2 2 1 3 3 1 4 4 h h h 1 0 h 2 3 4 2! x 0 3! x 0 4! x 0 x 0
q1 1 q' 1 2 2 2 2 2 2 4 0 x y ( z h) x y ( z h )
当Z﹤0时，空间任一点M(x，y，z)的电位为： q1 q " 1 2 4 x 2 y 2 ( z h) 2 1 2 在Z＝0的介质分界面上，其边界条件为： 1 2 0 z z 0 ' q1 q ' q q" q q1 0 0 联立上式求解可得：
第9讲-有限差分法(二)
i, j i, j
4
1 n 1 2 ( in1, j in, j 1 in h Fi , j ) 1, j i , j 1
ω =1，就退回到高斯-赛德尔迭代法， ω>2，迭代过程变得极 其不稳定，通常1<ω<2，能提高收敛速度。 ω的最佳选择与具 体问题和离散化的情况有关。 对第一类边值问题： 若正方形场域由正方形网格剖分（每 边节点数为p+1），则最佳收敛因子 若长方形场域由正方形网格剖分（两 边节点数分别为p，q，且都大于 15），则最佳收敛因子
离散方程组的系数一般都是有规律的，且各个方 程都很简单，包含的项数不多（取决于差分计算格 式，每个方程待求量的项数不超过5项）。
3
各离散节点上的方程组形式 （节点顺序按坐标先从y轴增 加，再x轴增加，即从下到 上，从左到右，先列后行） 排列。
2 4 h Fi , j 1 i 1, j 1 i, j i 1, j 1 i , j 2 i , j 1 2 i 1, j i , j 1 i 1, j i , j 1 4 i , j h Fi , j 2 i 1, j 1 i , j 2 i 1, j 1 i , j 4 i , j 1 h Fi , j 1
1 4 i 2,... M, j 2,...q 1,q 1,... N 1 4 j 2,...q 1,q 1,... N
对称轴
1, j (2 2, j 1, j 1 1, j 1 )
介质分界面 i ,q 1 (i 1,q 2 i ,q1 i 1,q 2 r i ,q1 )
15
电磁场与电磁波18_有限差分法
空 散
差分方程
迭代法求解
Research Institute of RF & Wireless Techniques
18.2 导数的有限差分近似
首先将连续空间用网格离
South China University of Technology
散化根据研究的问题，离 散化网格可以是长方形、 三角形等。 考虑连续函数 ( x) 在x0处 的泰勒级数展开
18.1 引言
有限差分法是一门最古老的数值计算法。
South China University of Technology
有限差分法把连续空间离散化，把导数以差分
近似，从而把偏微分方程转化为差分方程组 （代数方程），再采用适当的算法求解，得到 原问题的近似解。
空间离散化的越细，解的误差愈小，但差分方
0
4
a b
采用分界面边界条件 a |0 b |0 n n 差分近似
a 1* 3
2h b
1 3*
2h
a1* b3* a3 b1
K 2 1 2 2K 于是 0 4 (1 K 1 2 1 K 3 4 1 K h F ) Research Institute of RF & Wireless Techniques K a / b
n i , j 为高斯-赛德尔迭代法得到的结果
称为松弛因子。不同的值，可以有不同
的收敛速度，其值范围一般为1与2之间。 通常会有一个最佳值。最佳的确定与具体 问题有关。 显然，如果选择合适，超松弛迭代法收敛 速度最快。
Research Institute of RF & Wireless Techniques
有限差分法计算电场的电位分布
(x, y), (第二种边界条件)*********（1.2） n
n
k
|
(x,
y), (混合边界条件)******（1.3）
• 五点差分格式
有限差分法
• 五点差分格式
有限差分法
1 uij 4 (ui1, j ui, j1 ui1, j ui, j1)
Gauss-seidel迭代法
有限差分法计算电场的电位分布
任务及目标
• 利用有限差分法来分析限定边界条件下的 静电场电位分布
• 用迭代法计算出静电场的数值解，并分析 SOR法中超松弛因子α与敛速的关系
• 通过分离变量法求出边界条件下的静电场 电位的解析解
有限差分法
| = (x, y), (第一种边界条件)**********（1.1）
• 取步长h=0.5，最大误差为0.0 001，迭代128次
计算机仿真
SOR法
• 利用分离变量法我们求得电 位的解析解为：
n
n
400sin(
=
n1,3ggg
n
x) sinh(
20
20
sinh(18n )
y)
20
解析解
Gauss-seidel迭代法
• 线性方程组迭代法收敛条件
迭代法收敛条件
例题
判断迭代收敛性
步长对矩阵范数的影响：
步长h
矩阵大小 范数
2 8*9 0.8375
1 17*19 Biblioteka .94540.5 35*49 0.9966
• 取划分网格的步长为h
• 得到 (m-1)(n-1)个正则内点
• 得到含有(m-1)(n-1) 个方程得 方程组
有限差分法
班级：通信13-4 姓名：学号：指导教师：**成绩：电子与信息工程学院信息与通信工程系求解金属槽的电位分布1.实验原理利用有限差分法和matlab软件解决电位在金属槽中的分布。
有限差分法基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替,这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似,积分用积分和来近似,于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组,即有限差分方程组,解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解.然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解.在采用数值计算方法求解偏微分方程时,若将每一处导数由有限差分近似公式替代,从而把求解偏微分方程的问题转换成求解代数方程的问题。
2.有限差分法方程的定解问题就是在满足某些定解条件下求微分方程的解。
在空间区域的边界上要满足的定解条件称为边值条件。
如果问题与时间有关，在初始时刻所要满足的定解条件，称为初值条件。
不含时间而只带边值条件的定解问题，称为边值问题。
与时间有关而只带初值条件的定解问题，称为初值问题。
同时带有两种定解条件的问题，称为初值边值混合问题。
定解问题往往不具有解析解，或者其解析解不易计算。
所以要采用可行的数值解法。
有限差分方法就是一种数值解法，它的基本思想是先把问题的定义域进行网格剖分，然后在网格点上，按适当的数值微分公式把定解问题中的微商换成差商，从而把原问题离散化为差分格式，进而求出数值解。
此外，还要研究差分格式的解的存在性和唯一性、解的求法、解法的数值稳定性、差分格式的解与原定解问题的真解的误差估计、差分格式的解当网格大小趋于零时是否趋于真解（即收敛性），等等。
有限差分方法具有简单、灵活以及通用性强等特点，容易在计算机上实现。
2.1有限差分法原理图1-1 有限差分法的网格划分导体槽中静电场的边值问题的拉普拉斯方程为：22220x y ϕϕ∂∂+=∂∂ (1-1) 为简单起见，将场域分成足够小的正方形网格，网格线之间的距离为h ，0h →。
基于MATLAB的多边形电解槽静电场分析
［ 摘
要】 推 导出不等距 边界 网格条件 下二 维 Ｌｐａ ａｌ ｅ方程的有限差分公式 ， Ｍ Ｔ ｃ 用 Ａ．
Ｌ Ｂ语言鳊写程序， Ａ 实例分析并绘制 了等腰梯形、 钻形电解槽的等位线和电场强度分布
图。实例计算结果表明： Ａ ＇ Ｍ ．ＡＢ在解决实际的工程和数 学问题 中， Ｉ Ｉ 具有使用更为 简便、 语 句功能更 强 的特 点 ， 能直观 地 演示 多边形 电解槽 的空 间电势分 布和 场强 分布 。 ［ 关 键 词 】 有限差分法； ＭＡ１ Ｂ 多边形 电解槽 ； 静 电场 ，． ； ＩＡ ［ 文献标识码 】 Ａ ［ 中图分类号 】 Ｔ ８４ Ｔ ｏ ； ４ １ Ｎ １ ； Ｎ １ Ｏ ４
一
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图 １ 场域 网格 剖分
图 ２ 不 等距 网格
对于常用的等距 网格情况 ， ＝ ｈ ＝ ｈ 根据式（ ） ｈ ｈ ＝ ， ｈ＝ ， ３ 就得到
２ １ ２月 ０ ２年 第２ ８卷第 １ 期
陕西理 工学院学报 （ 自然科 学版 ）
Ｊｕｎｌ ｆ ｈａｘ Ｕ ｉ ｒ ｔ ｏ Ｔ ｃ ｎｌ ｙ（ ａ ｒｌ ｃ ｎｅＥ ｉｏ ｏｒａ Ｓ ａｎｉ ｎｖ ｓｙ ｆ ｅｈ ｏ ｇ￣ Ｎ ｔ ａ Ｓｉ ｃ ｄｔ ｎ ｏ ｅ ｉ ｏ ｕ ｅ ｉ
收稿 日期 ：０ １ ７２ ２ １－ － ０ ８
＝ｊ ， ｈ
作者简介 ： 帅春江（９ ９一） 男 ， １７ ， 江西省宜春市人 ， 陕西理工学院讲 师 ， 士 ， 硕 主要研究 方向为 电磁 场理论及 光纤通 信应用 。
第4章 有限差分法
第 4 章
有 限 差 分 法
4.3.2 定解条件的离散化——各类差分计算格式
对于场域边界上给定的三类边界条件（见 1.7 节）， 由于第二类边界条 件可以看作为第三类边界条件的特殊情况，因此，这里只需讨论第一、第三 类边界条件的差分离散化处理。 （1） 第一类边界条件的差分离散化 若如图 4-2 点 M 所示， 划分网格时相应的网格节点恰好落在边界 L 上，则 只要直接把位函数 u| M∈ L = f(rM)的值赋给该对应的边界节点 M 即可。 若划分网格时引入的节点不落在边界 L 上， 则如图 4-3所示， 对于邻近边界的典型节点 o， 由于 h1≠ h2≠ h， 这样， o点及其周围相邻的 1、 2、 3 和 4 点构成一个不对称的星形。此时， 可仿照 4.2 节， 采用泰勒公式进行差分离散化 处理，即能相当精确地导出关于 o 点的差分计 算格式。
截断于 2hf′(x0)项， 略去了 h3项以及更高幂次的项。很明显，三种差商表达 式中以式（4-4）所示的中心差商的截断误差最小，其误差大致和 h 的二次方 成正比。 二阶导数同样可近似为差商的差商，即
这相当于把泰勒公式
截断于 h2f″(x)项， 略去了 h4项以及更高幂次的项，其误差亦大致和 h 的 二次方成正比。
理方法是依据式（4-3）， 这样， 第三类边界条件在此情况下的差分计算 格式为
第 4 章
有 限 差 分 法
当边界 L 在边界节点 o 处的外法向 n 与网格线不重合时，如图 4-5 所 示， 显然有
于是， 关于 o 点的差分计算格式是
第 4 章
有 限 差 分 法
第二种情况是在边界处引入的相应节点不落在边界 L 上， 这时如图 4-6 所示，可在邻近边界的节点 o 上仍按上述方法列出差分计算格式，只是需引 入与节点 o 相关的边界节点 o′，取点 o′处的外法向 n 作为点 o 处的“外法向 n”， 且近似地认为边界条件中给定的函数f1(ro)和 f2(ro)均在点 o′上取值。这 样，将式（4-14）中的 f1(ro)和 f2(ro)改记为 f1(ro′)和f2(ro′)，即得此种情况下关 于 o 点的差分计算格式。
用有限差分方法求解微波电磁场问题--波导、微带、同轴电容
用有限差分方法求解微波电磁场问题本章主要内容是说明用差分法求解在微波器件和微波技术中常常遇见的一些偏微分方程的边值问题。
我们知道，很多给定边界条件的偏微分方程的求解相当复杂。
除少数情况外，要求它的精确解是颇为困难的，一般采用近似方法。
有限差分法就是经常采用的一种近似方法，它是用离散的、含有有限个未知数的差分方程去替代连续变量的微分方程，并把相应的差分方程的解作为该边值问题数值形式的近似解。
1 用差分方程解拉普拉斯方程在微波系统中很多问题，例如同轴线的台阶电容、谐振腔隙缝处的漏散电容、微带线的特性阻抗等，要求出它们的值，首先就要找出这些线或谐振腔内静电电位分布，这些电位分布是满足拉普拉斯方程的。
用差分方法解拉普拉斯方程是很方便的，所以我们开始就讨论它。
将拉普拉斯方程化成差分方程的方法在很多书上都可找到[6, 7]，下面将列出公式而不作推导，仅对差分方程的求解过程作一些简单介绍。
一、基本差分公式我们要求的电位函数u ，它在区域D 内满足下面的拉普拉斯方程02222=∂∂+∂∂yux u (1-1) 在边界上S ，它服从以下条件：()p f u S = (1-2)式中()p f 为边界点p 的函数。
这类问题一般称为第一类边值问题或称狄里赫利问题。
为了用差分方法求解电位分布，先在y x -平面分别作两族平行于x 轴和y 轴的直线,线间的距离为h ，于是各直线的x 和y 坐标分别为：jh y ih x j i == ;式中j i ,为正整数，取值1、2、……。
这样区域D 就被许多边长为h 的正方形所覆盖，在图1-1中示出了这种情况。
各正方形的顶点被称为网格的节点，从图可以看到，各节点所处位置有所不同。
一些节点（例如a 节点）恰落在边界上S ，我们把它叫做边界节点。
有些节点到边界的距离不足h （例如节点b ）,这些节点叫做不规则节点。
但是大部分节点到边界的距离大于h ，例如图上的0点，它们属于规则节点。
差分法就是求这些离散节点处u 的近似值。
有限差分法【范本模板】
利用有限差分法分析电磁场边界问题在一个电磁系统中，电场和磁场的计算对于完成该系统的有效设计师极端重要的.例如,在系统中，用一种绝缘材料是导体相互隔离是,就要保证电场强度低于绝缘介质的击穿强度。
在磁力开关中，所要求的磁场强弱，应能产生足够大的力来驱动开关。
在发射系统中进行天线的有效设计时,关于天线周围介质中电磁场分布的知识显然有实质性的意义。
为了分析电磁场，我们可以从问题所涉及的数学公式入手.依据电磁系统的特性，拉普拉斯方程和泊松方程只能适合于描述静态和准静态（低频)运行条件下的情况.但是,在高频应用中,则必须在时域或频域中求解波动方程，以做到准确地预测电场和磁场,在任何情况下，满足边界条件的一个或多个偏微分方程的解，因此,计算电池系统内部和周围的电场和磁场都是必要的。
对电磁场理论而言,计算电磁场可以为其研究提供进行复杂的数值及解析运算的方法,手段和计算结果；而电磁场理论则为计算电磁场问题提供了电磁规律，数学方程，进而验证计算结果。
常用的计算电磁场边值问题的方法主要有两大类,其每一类又包含若干种方法，第一类是解析法；第二类是数值法。
对于那些具有最简单的边界条件和几何形状规则的(如矩形、圆形等）问题，可用分离变量法和镜像法求电磁场边值问题的解析解（精确解），但是在许多实际问题中往往由于边界条件过于复杂而无法求得解析解.在这种情况下，一般借助于数值法求解电磁场的数值解。
有限差分法，微分方程和积分微分方程数值解的方法。
基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网络来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似,于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组,即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。
然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解.差分运算的基本概念:有限差分法是指用差分来近似取代微分，从而将微分方程离散成为差分方程组。
有限差分方法
数学方程的建立
稳定过程： 稳定过程：泊松方程 静电场：电场的散度正比电流密度，等于势场u的梯度 静电场：电场的散度正比电流密度，等于势场 的梯度
静磁场： 静磁场：类似于静电场
√
物理问题和数学方程(2/5) 物理问题和数学方程(2/5)
输运过程： 输运过程：扩散方程 扩散：流体由于不均匀而发生扩散， 扩散：流体由于不均匀而发生扩散，扩散密度正比于 密度的梯度， 密度的梯度，同时满足质量守恒
√
物理问题和数学方程(5/5) 物理问题和数学方程(5/5)
第三类
∂u v (a0u + b0 ) = c0 (rb , t ), a0、b0和c0是已知函数 ∂n Γ 热传导，系统通过表面与外界交换热量： 例：热传导，系统通过表面与外界交换热量：表面 热流 ∂u 正比于表面温度 u 与外界温度 u0 之差，即 之差， ∂n ∂u = k (u − u0 ) ∂n 初始条件 v 在各处的值： 初始瞬间待求函数 u 在各处的值： u t =0 = f1 (r )
拉普拉斯方程
方程( ( , )=0 方程( f(x,y)=0 ) ∂ 2u ∂ 2u ∇ 2u = 2 + 2 = 0 ∂x ∂y 五点差商格式
√
迭代解法(1/6) 迭代解法(1/6)
差分方程组的特点
方程个数等于内点数，每条方程最多含5 方程个数等于内点数，每条方程最多含5个未知项 系数矩阵是稀疏和带状的 跌代法求解：同步法、 跌代法求解：同步法、异步法和逐次超松弛法
边界条件的差分格式
√
一维扩散方程(3/3) 一维扩散方程(3/3)
差分方程组及其求解
0.10
1.000 0.7500
0.08
0.5000 0.2500 0
静态电磁场及其边值问题36分离变量法37有限差分法
3.2 导电媒质中的恒定电场分析
3.3 恒定磁场分析
3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理
3.5 镜像法
3.6 分离变量法
3.7 有限差分法
电磁场与电磁波
3
3.6 分离变量法
3.6.1 3.6.2 3.6.3
直角坐标系中的分离变量法 圆柱坐标系中的分离变量法 球坐标系中的分离变量法
n
0
4U 0
sinh(n b / a)
n 1,3,5, n 2, 4, 6,
故得到 x, y
4U 0
sin n x sinh n y
n1,3,5 n sinh(n b / a)
a
a
电磁场与电磁波
15
利用数值计算，可以画出该导体槽内的电位分布如图。
其中实线代表等位面，而虚线代表的是电力线。
即：
泊松方程的解为拉普拉斯方程的通解+泊松方程特解
电磁场与电磁波
6
3.6 分离变量法
分离变量法是求解边值问题的一种经典方法
分离变量法解题的基本思路：
将偏微分方程中含有n个自变量的待求函数表示成n个各自只 含一个变量的函数的乘积，把偏微分方程分解成n个常微分方程， 求出各常微分方程的通解后，把它们线性叠加起来，得到级数形 式解，并利用给定的边界条件确定待定常数。
Y ( y)
d2 X (x) dx2
X
(x)
d2Y ( y) dy 2
0
再除以X(x) Y(y) ，有
X
1(Xx1)( xd)2ddXx2d(2Xxx(2)x)
Y
1 ( yy))
dd22YY((yy)) ddyy22
有限差分法求解电磁场问题
Φ 11 = Φ 12 = Φ 13 = Φ 14 = Φ 15 = 100V
Φ 51 = Φ 52 = Φ 53 = Φ 54 = Φ 55 = 0V
Φ 21 = Φ 31 = Φ 41 = Φ 25 = Φ 35 = Φ 45 = 0V
n 设Φ ij 为第i行第j列节点上的第n次迭代的电位，则 1 n n +1 Φ ij = (Φ i −1, j + Φ in, j −1 + Φ in+1, j + Φ in, j +1 ) (3.14) 4 对于每一个未知电位节点，我们可以列出一个这样的迭代 方程，于是得到9个未知电位节点的迭代方程组。若对9个 未知电位赋予初值（在计算机程序求解迭代方程时，9个 未知电位的初值通常赋予0值），则可通过在计算机上运 行一个简单的程序完成解迭代方程组。若将各未知节点电 位的初值赋予0值，当n=10时 Φ22 = 322523 Φ23 = 455555 Φ24 = 666666 Φ32 = 666666 , , ,
(3.9)
而在节点0的泊松方程又可以写为
⎛ ρs ⎞ ⎛ ∂ 2Φ ∂ 2Φ ⎞ ⎜ 2 + 2 ⎟ = −⎜ ⎟ ⎜ ∂x ⎜ε ⎟ ∂y ⎟ 0 ⎝ ⎠ ⎝ 0 ⎠0
将式(3.10)代入式(3.9)可得
(3.10)
⎛ ρs ⎞ 2 ⎤ 1⎡ (3.11) Φ 0 = ⎢Φ 1 + Φ 2 + Φ 3 + Φ 4 + ⎜ ⎟ h ⎥ ⎜ε ⎟ 4⎢ ⎝ 0 ⎠0 ⎥ ⎣ ⎦ 这是一个二维区域中一点的泊松方程的有限差分形式， 它描述了该节点与周围四个节点的电位和该点电荷密度 之间的关系。对于无源区域，ρ s = 0 ，则式(3.11)变 为 1 (3.12) Φ 0 = (Φ 1 + Φ 2 + Φ 3 + Φ 4 )
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任务及目标
• 利用有限差分法来分析限定边界条件下的 静电场电位分布 • 用迭代法计算出静电场的数值解，并分析 SOR法中超松弛因子α与敛速的关系 • 通过分离变量法求出边界条件下的静电场 电位的解析解
有限差分法
| =
有限差分法
• 五点差分格式
有限差分法
• 五点差分格式
1
0.5
17*19 0.9454
35*49 0.9966
计算机仿真
• 取划分网格的步长为h
• 得到 (m-1)(n-1)个正则内点 • 得到含有(m-1)(n-1) 个方程 得方程组
• 取步长h=0.5，最大误差为0. 0001，迭代128次
SOR法
解析解
• 利用分离变量法我们求得电 位的解析解为：
=
n 1,3
400sin(
n n x) sinh( y) 20 20 18n n sinh( ) 20
uij
1 (ui 1, j ui , j 1 ui 1, j ui , j 1 ) 4
Gauss-seidel迭代法
Gauss-seidel迭代法
迭代法收敛条件
• 线性方程组迭代法收敛条件
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 例题
判断迭代收敛性
步长对矩阵范数的影响： 步长h
矩阵大小 范数
2 8*9 0.8375