高考圆锥曲线题型之共线向量问题
圆锥曲线轨迹问题题型及解题方法
动点满足的条件简单明了时，直接列出条件、代入坐标求解
如已知动点P到两定点的距离之和为常数，求P的轨迹
定义法
利用圆锥曲线的定义建立关系式求解
如动点到两定点的距离之差为常数，求动点的轨迹（双曲线）
代入法（相关点法）
动点P随另一动点Q的运动而有规律运动，且Q的轨迹已知，代P的轨迹
圆锥曲线轨迹问题题型及解题方法
题型
解题方法
示例说明
数形结合确定
利用弦AB的垂直平分线L的方程，结合点差法或韦达定理求解
如求L在x轴y轴上的截距的取值范围，或L过某定点等
动弦过定点问题
分析动弦与定点的关系，利用方程联立求解
如动弦AB过定点C，求相关参数或轨迹
过已知曲线上定点的弦问题
利用已知点建立方程，结合曲线方程求解
参数法
动点坐标不易直接表示时，引入参数建立方程求解
如动点P的坐标与某参数t有关，通过消去t得到P的轨迹方程
交轨法
求两动曲线交点轨迹时，消去参数得到轨迹方程
如求两动直线的交点轨迹，通过联立方程消去参数求解
如过椭圆上一定点P作弦AB，求弦AB的性质
共线向量问题
利用向量共线条件建立方程，求解动点轨迹或参数
如求向量AP与BP共线时，动点P的轨迹
面积问题
利用面积公式，结合曲线方程求解
如求三角形ABC的面积，其中A、B为曲线上的动点
弦或弦长为定值、最值问题
利用弦长公式或距离公式，结合曲线方程求解
如求椭圆上弦AB的长度为定值或最值
专题(19)巧用向量法求解圆锥曲线问题
高三第二轮专题复习专题（19）——巧用向量法求解圆锥曲线问题一、 利用向量的数量积解决夹角（钝、锐、直）问题例1、过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作直线交抛物线于A B 、两点，O 为坐标原点.求证：ABO ∆是钝角三角形.说明：（1）确定三角形的角时，若三边长易算用余弦定理；若三边长不易计算则考虑向量的数量积；（2）更为一般地，我们有如下重要结论：①过点(,0)(0)M t t >的直线交抛物线22(0)y px p =>于A B 、两点.当02t p <<时，AOB ∠为钝角；当2t p =时，AOB ∠为直角；当2t p >时，AOB ∠为锐角.②过点(0,)(0)M t t >的直线交抛物线22(0)x py p =>于A B 、两点.当02t p <<时，AOB ∠为钝角；当2t p =时，AOB ∠为直角；当2t p >时，AOB ∠为锐角.③抛物线22(0)y px p =>上异于原点O 的动点A B 、满足OA OB ⊥u u r u u u r ，则直线AB 必过定点(2,0)p ；反之，亦成立. ④抛物线22(0)x py p =>上异于原点O 的动点A B 、满足OA OB ⊥u u r u u u r ，则直线AB 必过定点(0,2)p ；反之，亦成立.变式：已知椭圆22:184x y E +=，是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A B 、，且O A O B ⊥u u r u u u r ？若存在，写出该圆的方程；若不存在，请说明理由.答案：2283x y +=. 说明：已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，直线l 与椭圆E 交于A B 、两点，在AOB ∆中，AB 边上的高为OH .（1）若2221112||AOB OH a bπ∠=⇔=+； （2）若2221112||AOB OH a b π∠<⇔<+； （3）若2221112||AOB OH a b π∠>⇔>+. 本例中22221113883r r a b =+=⇒=，则圆的方程为2283x y +=.二、 利用向量知识解决共线问题例2、在平面直角坐标系xoy 中，经过点(0,且斜率为k 的直线l 与椭圆22:12x E y +=有两个不同的交点P Q 、.（1）求实数k 的取值范围；（2）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B 、，是否存在常数k ，使得向量OP OQ +u u u r u u u r 与AB uu u r 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由.答案：不存在.变式：设A B 、是椭圆22:12x E y +=上的两点，(2,0)N -满足NA NB λ=u u r u u u r .当11[,]53λ∈时，求直线AB 斜率的取值范围.答案：121[,[,]2662--.三、利用向量解决参数的取值范围问题例3、已知C 为圆22(1)8x y ++=的圆心，P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且有点(1,0)A 和AP 上的点M 满足0,2M Q A P A P A M ⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r .（1）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程；（2）若斜率为k 的直线l 与圆221x y +=相切，与（1）中所求点Q 的轨迹交于不同的两点,F H ，O 是坐标原点，且满足3445OF OH ≤⋅≤uu u r uuu r ，求k 的取值范围.答案：（1）2212x y +=；（2）[]22U .四、由向量形式给出的圆锥曲线的几何关系例4、在平面直角坐标系xoy 中，1的线段的两端点,C D 分别在,x y 轴上滑动，CP PD =uu r uu u r ，记点P 的轨迹为曲线E .（1）求曲线E 的方程；（2）经过点(0,1)作直线与曲线E 相交于,A B 两点，OM OA OB =+uuu r uu r uu u r ，当点M 在曲线E 上时，求四边形AOBM 的面积.答案：（1）2212y x +=；（2五、圆锥曲线中求向量数量积的取值范围例5、已知椭圆22122:1(0)y x C a b a b+=>>与抛物线22:2(0)C x py p =>有一个公共焦点，抛物线2C 的准线l与椭圆1C 有一个坐标是的交点.（1）求椭圆1C 与抛物线2C 的方程；（2）若点P 是直线l 上的动点，过点P 作抛物线的两条切线，切点分别为,A B ，直线AB 与椭圆1C 分别交于点,E F ，求OE OF ⋅u u u r u u u r 的取值范围.答案：（1）22212:1,:884y x C C x y +==；（2）(8,2]-.。
第20讲 共线向量问题(解析版)-突破新高考数学圆锥曲线压轴题精选精练
第20讲共线向量问题参考答案与试题解析一．解答题（共18小题）1．已知直线:1l y kx =+，椭圆222:1(0)9x y E m m+=>．（Ⅰ）若不论k 取何值，直线l 与椭圆E 恒有公共点，试求出m 的取值范围及椭圆离心率e 关于m 的函数关系式；（Ⅱ）当k =时，直线l 与椭圆E 相交于A ，B 两点，与y 轴交于点M ．若2AM MB = ，求椭圆E 的方程．【解答】解：（Ⅰ） 直线l 恒过定点(0,1)M ，且直线l 与椭圆E 恒有公共点，∴点(0,1)M 在椭圆E 上或其内部，得222011(0)9m m+>，解得1m ，且3m ≠．（3分）（联立方程组，用判别式法也可）当13m <时，椭圆的焦点在x轴上，3e =；当3m >时，椭圆的焦点在y轴上，e =．∴3)3)m e m <=>（6分）（Ⅱ）由222101319y x x ym ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y得222(10)9(1)0m x m +++-=．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则12261010x x m +=-+①，21229(1)10m x x m -=+②．(0,1)M ，∴由2AM MB =得122x x =-③．（9分）由①③得2x =④．将③④代入②得，22229(1)2()1010m m m --=++，解得226(15m m ==-不合题意，舍去）．∴椭圆E 的方程为22196x y +=．（12分）2．已知直线:1(0)l y kx k =+≠与椭圆223(0)x y a a +=>相交于A ，B 两个不同的点，记直线l 与y 轴的交点为C ．（Ⅰ）若1k =，且10||2AB =，求实数a 的值；（Ⅱ）若5,2a AC CB ==，求k 的值，及AOB ∆的面积．【解答】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ()I 联立2213y x x y a =+⎧⎨+=⎩得：24210x x a ++-=因此，121211,24ax x x x -+=-=，12|||2AB x x a =-==⇒=⋯（6分）221()35y kx II x y =+⎧⎨+=⎩，可得：2212122224(3)240.,33k k x kx x x x x k k -++-=+=-=++，直线:1(0)l y kx k =+≠与y 轴的交点为(0,1)C ，1(AC x =- ，11)y -，2(CB x =，21)y -，⋯（9分）由2AC CB = 得：122x x =-，代入12122224,33k x x x x k k -+=-=++，得：2222224,233k x x k k -=--=-++消去2x 得：23k k =⇒=（12分）121||||22AOBS OC x x ∆=-===（15分）3．已知直线:1(0)l y kx k =+≠与椭圆223x y a +=相交于A 、B 两个不同的点，记l 与y 轴的交点为C ．（Ⅰ）若1k =，且||2AB =，求实数a 的值；（Ⅱ）若2AC CB =，求AOB ∆面积的最大值，及此时椭圆的方程．【解答】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，（Ⅰ）由2213y x x y a =+⎧⎨+=⎩得24210x x a ++-=，则1212x x +=-，1214ax x -=，则1210|||2AB x x =-==，解得2a =．（Ⅱ）由2213y kx x y a=+⎧⎨+=⎩，得22(3)210k x kx a +++-=，则12223k x x k +=-+，12213ax x k -=+，由2AC CB =得1(x -，121)2(y x -=，21)y -，解得122x x =-，代入上式得：122223k x x x k +=-=-+，则2223kx k=+，1222133||3||||||3223||||AOB k S OC x x x k k k ∆=-===++ ，当且仅当23k =时取等号，此时2223k x k =+，22122224222(3)3k x x x k =-=-⨯=-+，又1221136a ax x k --==+，则1263a -=-，解得5a =．所以，AOB ∆，此时椭圆的方程为2235x y +=．4．在平面直角坐标系中，已知12((,),(,1),(,2)A A P x y M x N x -，若实数λ使得212(OM ON A P A P O λ⋅=⋅ 为坐标原点）（1）求P 点的轨迹方程，并讨论P 点的轨迹类型；（2）当λ=时，若过点(0,2)B 的直线l 与（1）中P 点的轨迹交于不同的两点E ，(F E 在B ，F 之间），试求OBE ∆与OBF 面积之比的取值范围．【解答】解：（1）12(,1),(,2),(),()OM x ON x A P x y A P x y ==-=+=-2222212(2)2OM ON A P A P x x y λλ⋅=⋅∴-=-+化简得：2222(1)2(1)x y λλ-+=-①1λ=±时方程为0y =轨迹为一条直线②0λ=时方程为222x y +=轨迹为圆③(1λ∈-，0)(0⋃，1)时方程为222122(1)x y λ+=-轨迹为椭圆④．(λ∈-∞，1)(1-⋃，)+∞时方程为222122(1)x y λ-=-轨迹为双曲线（2） 22λ=，P ∴点轨迹方程为2212x y +=，∴12112||,2||22OBE OBF S x S x ∆∆=⨯⨯=⨯⨯12:||:||OBE OBF S S x x ∆∆∴=设直线EF 直线方程为2y kx =+，联立方程可得：22(12)860k x kx +++=．∴△226424480k k =-->，∴232k >．12122286,1212k x x x x k k +=-⋅=++，∴22121221221()6426(12)x x x x k x x k x x +==++⋅+， 232k >，∴226416(4,)6(12)3k k ∈+∴121(,1)(1,3)3x x ∈ 由题意可知：OBE OBF S S ∆∆<，所以1(,1)3OBE OBF S S ∆∆∈．5．如图，动点M 到两定点(1,0)A -、(2,0)B 构成MAB ∆，且2MBA MAB ∠=∠，设动点M 的轨迹为C ．（Ⅰ）求轨迹C 的方程；（Ⅱ）设直线2y x m =-+与y 轴交于点P ，与轨迹C 相交于点Q 、R ，且||||PQ PR <，求||||PR PQ的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设M 的坐标为(,)x y ，显然有0x >，且0y ≠当90MBA ∠=︒时，点M 的坐标为(2,3)±当90MBA ∠≠︒时，2x ≠，由2MBA MAB ∠=∠有22tan tan 1MABMBA tan MAB∠∠=-∠，即2||2||1||21()1y y x y x x +-=--+，化简可得22330x y --=而点(2,3)±在曲线22330x y --=上综上可知，轨迹C 的方程为22330(1)x y x --=>；（Ⅱ）直线2y x m =-+与22330(1)x y x --=>联立，消元可得22430x mx m -++=①∴①有两根且均在(1,)+∞内设22()43f x x mx m =-++，∴222412(1)1430164(3)0m f m m m m -⎧->⎪⎪=-++>⎨⎪=-+>⎪⎩，1m ∴>，2m ≠设Q ，R 的坐标分别为(Q x ，)Q y ，(R x ，)R y ，||||PQ PR <，2R x m ∴=+，2Q x m =-∴||1||R Q x PR PQ x ===-+1m > ，且2m ≠∴28<+8≠∴117<-++17-+∴||||PR PQ 的取值范围是(1，7)(7⋃，7+6．如图，动点M 与两定点(1,0)A -、(1,0)B 构成MAB ∆，且直线MA 、MB 的斜率之积为4，设动点M 的轨迹为C ．（Ⅰ）求轨迹C 的方程；（Ⅱ）设直线(0)y x m m =+>与y 轴交于点P ，与轨迹C 相交于点Q 、R ，且||||PQ PR <，求||||PR PQ的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设(,)M x y ，则1MA y k x =+，1MB yk x =- 直线MA 、MB 的斜率之积为4，∴411y y x x ⨯=+-22440x y ∴--=又1x =±时，必有一个斜率不存在，故1x ≠±综上点M 的轨迹方程为22440(1)x y x --=≠±（Ⅱ）直线y x m =+与22440(1)x y x --=≠±联立，消元可得223240x mx m ---=①∴△216480m =+>当1或1-是方程①的根时，m 的值为1或1-，结合题设(0)m >可知，0m >且1m ≠设Q ，R 的坐标分别为(Q x ，)Q y ，(R x ，)R y ，||||PQ PR <，R x ∴，3Q m x -=，∴||1||R Q x PR PQ x -==-0m > 且1m ≠∴2311m +>，且2314m +≠∴113<-，且513∴||||PR PQ 的取值范围是(1，55)(33⋃，3)7．在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC ∆的两个顶点A ，B 的坐标分别为(1,0)-，(1,0)，且AC ，BC 所在直线的斜率之积等于2-，记顶点C 的轨迹为曲线E ．（Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）设直线2(02)y kx k =+<<与y 轴相交于点P ，与曲线E 相交于不同的两点Q ，R （点R 在点P 和点Q 之间），且PQ PR λ=，求实数λ的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设点(,)C x y ，ABC ∆ 的两个顶点A ，B 的坐标分别为(1,0)-，(1,0)，且AC ，BC 所在直线的斜率之积等于2-，∴211y yx x ⋅=--+，化简得曲线E 的方程为：2222(0)x y y +=≠；（Ⅱ）设直线2(02)y kx k =+<<与y 轴相交于点(0,2)P ，与曲线E 相交于不同的两点Q ，R （点R 在点P 和点Q 之间），设1(Q x ，1)y ，2(R x ，2)y ∴22222y kx x y =+⎧⎨+=⎩22(2)420k x kx ∴+++=；12242k x x k -+=+，12222x x k =⋯+①△222161688160k k k =--=->，22k ⇒>又02k <<，224k ∴<<⋯② 11(,2)PQ x y =- ，2(,2)PR x y =- ，且PQ PR λ= ，12x x λ∴=⋯③由①②得224(1)2k x k λ-+=+，22222x k λ=+⇒2212(1)(1)8kλλ=++结合②得231(,)(1)164λλ∈+⇒实数λ的取值范围．223(1)161(1)4λλλλ⎧>⎪+⎪⎨⎪<⎪+⎩⇒2231030210λλλλ⎧-+<⎨-+>⎩⇒133λ<<且1λ≠． 点R 在点P 和点Q 之间，1λ∴>综上，实数λ的取值范围：(1,3)8．已知抛物线2:2C y px =经过点(1,2)P ，过点(0,1)Q 的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．（Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点，QM QO λ= ，QN QO μ= ，求证：11λμ+为定值．【解答】解：（Ⅰ） 抛物线2:2C y px =经过点(1,2)P ，42p ∴=，解得2p =，设过点(0,1)的直线方程为1y kx =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 联立方程组可得241y x y kx ⎧=⎨=+⎩，消y 可得22(24)10k x k x +-+=，∴△22(24)40k k =-->，且0k ≠解得1k <，且0k ≠，12224k x x k -+=-，1221x x k =，又PA 、PB 要与y 轴相交，∴直线l 不能经过点(1,2)-，即3k ≠-，故直线l 的斜率的取值范围(-∞，3)(3--⋃，0)(0⋃，1)；（Ⅱ）证明：设点(0,)M M y ，(0,)N N y ，则(0,1)M QM y =- ，(0,1)QO =-因为QM QO λ=，所以1M y λ-=-，故1M y λ=-，同理1N y μ=-，直线PA 的方程为1121112242(1)(1)(1)1214y y y x x x y x y ---=-=-=--+-，令0x =，得1122M y y y =+，同理可得2222N y y y =+，因为12122211111122M N y y y y y y λμ+++=+=+----121221212128282(1)(1)(2)(2)1()y y kx kx y y k x x k x x --++==---++212122121282[()1]1()k x x k x x k x x k x x -+++=-++4282(11)4211kk k k--++=--+42422422kk k k --⨯==--，∴112λμ+=，∴11λμ+为定值．9．如图，已知抛物线2:2C y px =经过点(1,2)P ，过点(0,1)Q 的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ．（1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）设O 为原点，直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．OQ MQ λ= ，OQ NQ μ=，求证：λμ+为定值．【解答】解：（1）抛物线2:2C y px =经过点(1,2)P ，42p ∴=，解得2p =，设过点(0,1)的直线方程为1y kx =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ；联立方程组可得241y x y kx ⎧=⎨=+⎩，消y 可得22(24)10k x k x +-+=，∴△22(24)40k k =-->，且0k ≠解得1k <，故直线l 的斜率的取值范围(-∞，0)(0⋃，1)；（2）证明：设点(0,)M M y ，(0,)N N y ，则(0,1)M MQ y =- ，(0,1)OQ =；因为OQ MQ λ=，所以1(1)M y λ=-，故11M y λ=-，同理11Ny μ=-，直线PA 的方程为1121112242(1)(1)(1)1214y y y x x x y x y ---=-=-=----，令0x =，得1122M y y y =+，同理可得2222N y y y =+，因为121212122282111122(2)(2)M N y y y y y y y y y y λμ++-+=+=+=------212121222121212124282(11)82(1)(1)82[()1]2421()1()11kkx kx k x x k x x k k k x x k x x k x x k x x k--++-++-+++====--++-++-+，即有λμ+为定值．10．已知点(1,2)P 在抛物线2:2C y px =上，过点(0,1)Q 的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A 、B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．（1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）设O 为原点，QM QO λ= ，QN QO μ= ，试判断11λμ+是否为定值，若是，求11λμ+值；若不是，求11λμ+的取值范围．【解答】解：（1）因点(1,2)P 2:2C y px =上，则2221p =⋅，解得2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =．令直线l 的斜率为k ，则直线l 方程为：1y kx =+，由214y kx y x=+⎧⎨=⎩，消去y 并整理得，222(2)10k x k x +-+=，直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A 、B ，则224(2)40k k k ≠⎧⎨=-->⎩，解得1k <且0k ≠，又直线PA ，PB 与y 相交，而点(1,2)-在抛物线C 上，则直线l 不能过点(1,2)-，否则PA 或PB 之一平行于y 轴，矛盾，因此3k ≠-，综上得：1k <，0k ≠且3k ≠-，所以直线l 的斜率的取值范围(-∞，3)(3--⋃，0)(0⋃，1)．（2）设点(0,)M M y ，(0,)N N y ，(0,1)M QM y =- ，(0,1)QO =-，而QM QO λ=，则1M y λ=-，同理1N y μ=-，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由222(2)10k x k x +-+=，知121222241,k x x x x k k -+=-=，直线PA 方程：1122(1)1y y x x --=--，即12122(1)14y y x y --=--，则142(1)2y x y -=-+，令0x =，得1122M y y y =+，同理2222N y y y =+，于是得121212121212228282(1)(1)11111122(2)(2)(1)(1)M N y y y y kx kx y y y y y y kx kx λμ++--+++=+=+==--------222212122212122212482(1)82[()1]82422411()441k k k k x x k x x k k k k k x x k x x k k k k k --⋅-⋅+-+++-⨯===--++-+⋅+⋅，所以11λμ+为定值2．11．已知221:(1)4M x y -+=，直线1:2l x =-，动圆N 与M 相外切，且与直线l 相切．设动圆圆心N 的轨迹为C ，过点(0,1)Q 的直线l 与曲线C 有两个不同的交点A 、B ．（1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）设O 为原点，点(1,2)P ，直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ，QM QO λ= ，QN QO μ= ，求证：11λμ+为定值．【解答】解：（1）由题意设(,)N x y ，且12x >-，由题意可得1122x +=-，整理可得：24y x =；所以曲线C 的方程为：24y x =；由题意可得直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为：1y kx =+，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 联立直线与抛物线的方程：214y kx y x=+⎧⎨=⎩，整理可得：222(2)10k x k x +-+=，可得△224(2)40k k =-->，解得1k <，且0k ≠，所以直线l 的斜率的取值范围(-∞，0)(0⋃，1)．（2）证明：由（1）可得：1222(2)k x x k -+=-，1221x x k =，直线PA 的方程为：1122(1)1y y x x --=--，令0x =可得1111212211y kx y x x -+-+=+=+--，可得111(0,2)1kx M x -++-，同理可得N 的坐标22121N kx y x -+=+-，由QM QO λ= ，QN QO μ= ，可得1N y μ=-，1M y λ=-，所以2211121212122224112()1111112111(1)(1)11M N k x x x x x x k k y y k x k x k x x k k λμ-+---++=+=+=⋅=⋅=------，所以11λμ+为定值2．12．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>，其中b =，过椭圆E 内一点(1,1)P 的两条直线分别与椭圆交于点A ，C 和B ，D ，且满足AP PC λ= ，BP PD λ= ，其中λ为正常数．当点C 恰为椭圆的右顶点时，对应的57λ=．（1）求椭圆E 的离心率；（2）求a 与b 的值；（3）当λ变化时，AB k是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．【解答】（本小题满分16分）解：（1）因为b =，所以2234b a =，整理得22234a c a -=，即2214a c =，所以离心率12c e a ==．⋯（4分）（2）因为(,0)C a ，57λ=，所以由AP PC λ= ，得12512(,)77a A -，⋯（7分）将它代入到椭圆方程中，得2222(125)121349494a a a -+=⨯，解得2a =，所以2,a b ==⋯（10分）（3）解法一：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，4(D x ，4)y ，由AP PC λ= ，得13131111x x y y λλ-⎧=+⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩，⋯（12分）又椭圆的方程为22143x y +=，所以由222233111,14343x y x y +=+=，得22113412x y +=①，且2211113(1)4(1)12x y λλ--+++=②，由②得，221111212[3(1)4(1)])4(1)]5x y x y λλ-+--+-=，即22111111212[(34)72(34)][7(34)]5x y x y x y λλ++-++-+=，结合①，得211191453422x y λλλ+-+=+，⋯（14分）同理，有222191453422x y λλλ+-+=+，所以11223434x y x y +=+，从而121234y y x x -=--，即34AB k =-为定值．⋯（16分）（3）解法二：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，4(D x ，4)y ，由AP PC λ= ，得131311x x y y λλλλ+=+⎧⎨+=+⎩，同理242411x x y y λλλλ+=+⎧⎨+=+⎩，⋯（12分）将A ，B 坐标代入椭圆方程得2211222234123412x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，两式相减得121212123()()4()()0x x x x y y y y +-++-=，即12123()4()0AB x x y y k +++=，⋯（14分）同理，34343()4()0CD x x y y k +++=，而AB CD k k =，所以34343()4()0AB x x y y k +++=，所以34343()4()0AB x x y y k λλ+++=，所以132413243()4()0AB x x x x y y y y k λλλλ+++++++=，即6(1)8(1)0k λλ+++=，所以34AB k =-为定值．⋯（16分）13．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为22，右焦点为F ，过F 作x 轴的垂线交双曲线2214x y -=的两条渐近线于E ，G ，得到三角形OEG 的面积为1．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设P ，M ，N 的三个点都在椭圆C 上，设MN 的中点为Q ，且2PO OQ = ，试判断PMN ∆的面积是否为定值，并说明理由．【解答】解：（1）因为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，所以a =，其中c =双曲线2214x y -=的两条渐近线的方程为2x y =±，设FG t =，则2OF t =，因为三角形OEG 的面积为1，所以12212t t ⋅⋅=，所以22t =，2c OF t ===，2a ==，所以椭圆C 的方程为22142x y +=；（2）①当直线MN 的斜率不存在时，因为2PO OQ = ，所以(1,0)Q -，此时MN 的方程为1x =-；或(1,0)Q ，此时MN 的方程为1x =．将1x =-，代入椭圆方程22142x y +=得，(M -，(1,N -，所以PMN ∆的面积为11||||322MN PQ ⋅⋅=⨯=．由椭圆轴对称性得：当MN 的方程为1x =时，PMN ∆的面积也为2；②当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 方程为y kx m =+，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，3(P x ，3)y ，因为MN 的中点为Q ，且2PO OQ = ，所以PMN ∆的重心是坐标原点O ，所以12312300x x x y y y ++=⎧⎨++=⎩，联立y kx m =+和22142x y +=得222(21)4240k x kmx m +++-=，△228(24)k m =+-，当△0>时，122421km x x k -+=+，21222421m x x k -=+，所以32421km x k =+，3121222()()221m y y y k x x m k =-+=-+-=-+，故2242(,)2121km m P k k -++，因为点P 在椭圆上，所以代入椭圆整理得22212k m +=，满足△0>，因而m 与k 满足的等式关系为22212k m +=①当△0>时，122||21x x k -==+ ，因为PMN ∆的重心是坐标原点O ，所以PMN ∆的面积为OMN ∆的面积的3倍，设直线l 与y 轴交于点D ，则(0,)D m ．那么PMN ∆的面积为：1213||||2OD x x ⨯⨯-=，关系式（1）代入得2S =，综合①②得，PMN ∆的面积为定值362．14．双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>，已知0(Q x ，00)()y x a ≠±是双曲线E 上一点，A 、B 分别是双曲线E 的左右顶点，直线QA ，QB 的斜率之积为1．（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）若双曲线E的焦距为，直线过点(2,0)P 且与双曲线E 交于M 、N 两点，若3MP PN = ，求直线l 的方程．【解答】解：（Ⅰ）0(Q x ，00)()y x a 是双曲线E 上一点，可得2200221x y a b -=，即为2202220y b x a a =-，由题意可得(,0)A a -，(,0)B a ，2000220001QA QB y y y k k x a x a x a ===+-- ，可得a b =，即有c e a ===（Ⅱ）由题意可得c =1a b ==，双曲线的方程为221x y -=，设直线l 的方程为(2)y k x =-，(0,1)k k ≠≠±，联立双曲线的方程，可得2222(1)4140k x k x k -+--=，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，则212241k x x k +=--，2122141k x x k +=--，①又3MP PN = ，可得1223(2)x x -=-，②由①②可得222421k x k -=-，212421k x k --=-，代入①可得2315k =，解得k =则直线l 的方程为2)y x =-．15．已知圆22:2O x y +=，过点(1,1)A 的直线交圆O 所得的弦长为255，且与x 轴的交点为双曲线2222:1x y E a b -=的右焦点(F c ，0)(2)c >，双曲线E 的离心率为32．（1）求双曲线E 的方程；（2）过点4(3P ，5)作动直线l 交双曲线右支于M 、N 两点，点Q 异于M ，N ，且在线段MN 上运动，并满足关系||||||||PM MQ PN ON =，试证明点Q 恒在一条直线上．【解答】解：（1）设过点(1,1)A 的直线为1(1)y k x -=-，即为10kx y k -+-=，圆心O 到直线的距离为d =，由弦长公式可得5=，解得355d =，355=，解得2k =-或12-．则直线为12(1)y x -=--，令0y =，则322x =<舍去，或直线11(1)2y x -=--，令0y =，则32x =>成立，即有3c =，由离心率为32．即32c e a ==．解得2a =，b ==则双曲线E 的方程为22145x y -=；设过点4(3P ，5)作动直线l 交双曲线右支于1(M x ，1)y 、2(N x ，2)y 两点，点(,)Q x y ，则22115420x y -=，22225420x y -=， ||||||||PM MQ PN ON =，∴设||||||||PM MQ PN ON λ==，则MP PN λ=- ，MQ QN λ=- ，则12413x x λλ-=-，121x x x λλ+=+，1251y y λλ-=-，121y y y λλ+=+，则12124113x x x x x λλλλ-+⋅=-+，1212511y y y y y λλλλ-+⋅=-+，即222122413x x x λλ-=-，22212251y y y λλ-=-，则222222222222121211222222554454(4)420205452031111x x y y x y x y x y λλλλλλλλ------⨯-⨯=-===----，即4443x y -=，即33x y -=，故330x y --=，故点Q 恒在一条直线上330x y --=．16．点P 在以1F ，2F 为焦点的双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>上，已知12PF PF ⊥，12||2||PF PF =，O 为坐标原点．（Ⅰ）求双曲线的离心率e ；（Ⅱ）过点P 作直线分别与双曲线渐近线相交于1P ，2P 两点，且12274OP OP ⋅=- ，1220PP PP += ，求双曲线E 的方程；（Ⅲ）若过点(Q m ，0)(m 为非零常数）的直线l 与（2）中双曲线E 相交于不同于双曲线顶点的两点M 、N ，且(MQ QN λλ= 为非零常数），问在x 轴上是否存在定点G ，使12()F F GM GN λ⊥- 若存在，求出所有这种定点G 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：12()||2||I PF PF =，12||||2PF PF a -=，1||4PF a ∴=，2||2PF a =22212(4)(2)(2)PF PF a a c e ⊥∴+=∴=2222():14x y II E a a-=渐近线为2y x =±设11(P x ，12)x ，22(P x ，22)x -，(,)P x y12122734OP OP x x ⋅=-=- ，∴1294x x =， 1220PP PP += ∴121222(2),33x x x x x y +-==代入E 化简21298x x a =，22a ∴=∴22128x y -=()III 假设在x 轴上存在定点(,0)G t 使12()F F GM GN λ⊥- ，设:l x ky m =+，3(M x ，3)y ，4(N x ，4)y 联立l 与E 的方程得222(41)8480k y kmy m -++-=故34223428(1)4148(2)41km y y k m y y k -⎧+=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩343412(,),GM GN x t x t y y F F λλλλ-=--+-= 123434()0()(1)(1)0F F GM GN x t x t k y y m t λλλλλλ⊥-⇔--+=⇔-+-+-= （3）由34340MQ QN y y y y λλλ=∴+=∴=- （4）∴（3）即为32(1)(1)0ky m t λλ+-+-=（5），将（4）代入（1）（2）有232(1)2m y km λ-=-代入（5）得2t m=故在x 轴上存在定点2(,0)G m使12()F F GM GN λ⊥- ．17．设直线:l y x m =+，双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>，l 与E 交于P ，Q 两点，直线l 与y 轴交于点R ，且3,3OP OQ PR RQ ⋅=-= ．（1）证明：2243a m =+；（2）求双曲线E 的方程；（3）若点F 是双曲线E 的右焦点，M ，N 是双曲线上两点，且MF FN λ= ，求实数λ的取值范围．【解答】（1）双曲线的离心率为∴c e a==222b a =．双曲线的方程可化为22222x y a -=．设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y 由22222y x m x y a =+⎧⎨-=⎩得：222220x mx m a ---=则有122x x m +=，22122x x m a ⋅=--从而124y y m +=，221222y y m a =- 3OP OQ ⋅=- ，12123x x y y ∴+=-则22222223m a m a --+-=-，即2243a m =+；（2） (0,),3R m PR RQ = ，1(x ∴-，12)3(m y x -=，2)y m -∴121233()x x m y y m -=⎧⎨-=-⎩，由12122212322x x x x m x x m a -=⎧⎪+=⎨⎪⋅=--⎩得22m a =由222243m a a m ⎧=⎨=+⎩得21a =则22b =故双曲线的方程为2212y x -=；（3）易知F ，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ．由MF FN λ=得：1212(x x y y λλ-=-=⎪⎩设直线MN的方程为x ty =+．由2222x ty x y ⎧=+⎪⎨-=⎪⎩得：22(21)40t y -++=则12122421y y y y t ⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪-⎩，消去1y ，2y 得：22221(1)12t t λλ--=-22221111126126t t t -=-<，∴21(1)6λλ-<-，解得2λ>-+2λ<-当0t =时，可求出1λ=．当直线MN 与x 轴重合时，可求出2λ=-+2λ=-故λ的取值范围是(,2[2)-∞---++∞ ．18．0(P x ，00)()y x a ≠±是双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>上一点，M ，N 分别是双曲线E 的左右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15．（1）求双曲线的离心率；（2）过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC OA OB λ=+ ，求λ的值．【解答】解：（1）0(P x ，00)()y x a ≠±是双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>上一点，∴2200221x y a b-=，①由题意又有000015y y x a x a ⋅=-+，②联立①、②可得225a b =，22226c a b b =+=，则5c e a ==，（2）联立22255x y b y x c⎧-=⎨=-⎩，得22410350x cx b -+=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则1252c x x +=，212354b x x ⋅=，设3(OC x = ，3)y ，OC OA OB λ=+ ，即312312x x x y y y λλ=+⎧⎨=+⎩又C 为双曲线上一点，即2223355x y b -=，有2221212()5()5x x y y b λλ+-+=，化简得：22222211221212(5)(5)2(5)5x y x y x x y y b λλ-+-+-=，又1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 在双曲线上，所以2221155x y b -=，2222255x y b -=，而1212121255()()x x y y x x x c x c -=---222222221212355151545()545535635104222b c c x x c x x c c c b b b b =-++-=-⋅+⋅-=-=⋅-=，得240λλ+=，解得0λ=或4-．。
例析圆锥曲线中向量共线问题的解决方法
• 24 •理科考试研究•数学版2020年7月1日生13:那么m+ «会不会等于1?(通过观察系数 的关系获得）师:要知这个结论是否正确，只对上面几个进行 观察获得结论是不可靠的，因为特殊是不能代表一般 的，我们只能对这个结论进行证明，现在请同学们动 动手、动动脑筋？（学生证明）生14(板演）：由于m+ = 1，则有r a= 1 -爪.所以 OA^mOB+ (I -m)OC.^OA-OC= m(〇B-OC).即H= •又抆，技有公共点C，所以三点共线.师:生14做得非常好，他用我们尝试过的向量共 线的方法给出了证明.对向量表示方法的研究，我们 不仅获得了不共线的三个向量是可以互相表示的，同时我们又通过合情推理的方法猜想、论证并建立了三 点共线的向量表示模型，最后请一位同学对这种模型 进行概述.生15:三个起点相同的不共线向量，若苡前+ fi OC,且m+n.= 1则有4，B，C三点共线.师:至此，我们学习了利用平面向量共线定理及 向量加法的几何意义证明、判断几点共线的方法，同时我们又用合情推理（归纳推理和类比推理）尝试建立了“起点相同，终点共线”的两个向量模型，为我们 今后证明几点共线提供了可借鉴的模型.3题后反思对于本道例题，丰富的内涵不仅为我们提供并巩 固了利用向量共线定理以及应用向量加法运算的几 何意义判断、证明几点共线的方法，在本道例题的讲 解过程中，我们不仅关注了学生对所学知识的学习巩 固情况，更关注学生数学抽象、数学建模、数学推理等 核心素养的养成情况.章建跃博士说过:“数学具有抽 象性和一般性的特点，这使得数学更注重研究问题的 一般方法.”所以,我们在教学过程中不断地引导学生 观察条件的结构特征，通过合情推理（归纳推理和类 比推理）一般化结论，猜想建立“起点相同，终点共线”的两个向量模型，这对学生数学抽象、数学建模、数学 推理等核心素养的养成起到了很好的示范作用.因此 利用合情推理的方法进行数学模型的启发与猜想以 至于建立数学模型都是一种有效的、值得推广的方法.参考文献：[1]章绍辉.数学建模[M].北京:科学出版社,2010.(收稿日期：2020 - 02 - 05)例析圆雉於竦中向量共线问题的鮮决方法林国红(佛山市乐从中学广东佛山528315)摘要：圆锥曲线与平面向量的结合，是近年数学高考命题的一个方向，其中圆锥曲线中有关向量共线的问题频频 亮相.本文对此类问题的常见题型进行归纳，并总结出相应的解决方法.关键词：圆锥曲线；向量；共线1从一道高考题谈起例1(2019年全国I卷理科第19题）已知抛物线C:/ =3*的焦点为斜率为|■的直线/与C的交点为/1，B，与；c轴的交点为P.(1) 若MFI + =4,求/ 的方程；(2) 若碎=3商，求丨/1BI.解析（1)直线/的方程为y=3 p b，可得(a：。
专题07 圆锥曲线中的向量共线问题(解析版)
专题07 圆锥曲线中的向量共线问题一、单选题1．已知抛物线C ：y 2=2x 的焦点为F ，点M ，N 分别在抛物线C 上.若2MF FN =，则点M 到y 轴的距离为（ ）A ．12B ．35C ．23D ．1【答案】D 【分析】由22y x =可得1(,0)2F ，设211(,)2y M y ，222(,)2y N y ，由2MF FN =，可得11x =.【详解】由22y x =可得1(,0)2F ，设211(,)2y M y ，222(,)2y N y ，由2MF FN =，可得22121211(,)2(,)2222y y y y --=-，所以22121122y y -=-且122y y -=，所以22113224y y -=，解得212y =，所以21112y x ==，所以点M 到y 轴的距离为1. 故选：D. 【点睛】本题考查了抛物线的几何性质，考查了平面向量共线的坐标表示，属于基础题.2．抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，点P 在l 上，线段PF 与抛物线C 交于点A ，若4PF AF =，点A 到x 轴的距离为2，则p 的值是（ ）A．B ．4C ．D ．2【答案】C 【分析】画出图形，通过向量关系，转化为：1||||||3AB AF AP ==，通过求解三角形，结合抛物线的性质转化求解即可． 【详解】解：抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ， 点P 在l 上，线段PF 与抛物线C 交于点A ，若4PF AF =， 过A 作AB l ⊥于B ，则1||||||3AB AF AP ==，所以tan 4APB ∠=，设准线与x 轴交于D ，则|||DP FD ==，因为点A 到x 轴的距离为2，14=，解得P =故选：C ．【点睛】本题考查抛物线几何性质、平面向量的线性运算，熟练掌握抛物线的几何性质是解题的关键，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题．3．已知双曲线的标准方程为221412x y -=，过其右焦点F 的直线与双曲线的右支交于A ，B 两点，若13AF FB =，则AB 的垂直平分线与x 轴交点的横坐标是（ ）A ．20B ．10C ．12D ．18【答案】A 【分析】解法一：先根据双曲线的方程得到焦点F 的坐标,设出直线AB 的方程,并将其与双曲线方程联立,再结合13AF FB =及根与系数的关系,求出AB 的中点坐标,进而可得AB 的垂直平分线的方程,最后求其与x 轴交点的横坐标即可；解法二：设出A ,B 两点的坐标,结合13AF FB =,利用向量的坐标表示求出两点坐标之间的关系进行求解. 【详解】解法―：由221412x y -=,得双曲线的右焦点()4,0F ,故由题意可设直线AB 的方程为()40x ty t =+≠.联立方程,得2241412x ty x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩,消去x 得()223124360t y ty -++=.设()11,A x y ,()22,B x y .由13AF FB =及根与系数的关系,得121221221324313631y y t y y t y y t ⎧-=⎪⎪⎪+=-⎨-⎪⎪=⎪-⎩,得12y y t ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩,或12y y t ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩由对称性不妨设15t =-,则AB 的中点坐标为(5,,所以AB的垂直平分线的方程为)5y x =-,令0y =,得20x .故选：A.解法二：由221412x y -=,得双曲线的右焦点()4,0F .不妨设点A 在第一象限内,设()()111,0A x y x >,()22,B x y ,因为13AF FB =,所以()1212144313x x y y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,得21211633x x y y =-⎧⎨=-⎩.又点A ,B 在双曲线上,所以()()22112211141216331412x y x y ⎧-=⎪⎪⎨--⎪-=⎪⎩,得113x y =⎧⎪⎨=⎪⎩则227x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩所以AB的中点坐标为(5,,直线AB 的斜率k =所以AB的垂直平分线的方程为)5y x =-,令0y =,得20x .故选：A. 【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系、向的坐标表示. 试题综合考查直线与双曲线的位置关系,引导考生抓住解析几何问题的本质,透过本质建立数与形之间的联系,体现了直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养.4．已知抛物线2:4C x y =，焦点为F ，圆()222:2400M x x y y a a -+++=>，过F 的直线l 与C 交于A 、B 两点（点A 在第一象限），且4FB AF =，直线l 与圆M 相切，则a =（ ） A ．0 BCD ．3【答案】B 【分析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，可得1>0x ，且2114x y =，由4FB AF =结合向量的坐标运算以及21122244x y x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩可求得点A 的坐标，进而可求得直线l 的方程，由直线l 与圆M 相切，得出圆心到直线的距离等于圆的半径，由此可求得实数a 的值. 【详解】抛物线C 的焦点为()0,1F ，设点()11,A x y 、()22,B x y ，则1>0x ，且2114x y =，由4FB AF =得()()2211,14,1x y x y -=--，()21214141x x y y =-⎧∴⎨-=-⎩，由()21141y y -=-，即222114144x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即4211450x x +-=，可得211x =，11x ∴=， 所以，点A 的坐标为11,4⎛⎫ ⎪⎝⎭， 直线AF 的斜率为1134104AFk -==--，则直线l 的方程为314y x =-+，即3440x y +-=， 将圆M 的方程写为标准式得()()222125x y a -++=-，则250a a ⎧->⎨>⎩，可得0a <<由于直线l 与圆M 31424955⨯-⨯-==，解得5a =，合乎题意. 故选：B. 【点睛】本题考查利用直线与圆相切求参数，同时也考查了利用抛物线中向量共比例关系求直线方程，考查计算能力，属于中等题.5．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过F C 于A 、B 两点，若4AF FB =，则C 的离心率为（ ） A ．58B ．65C ．75D ．95【答案】B 【分析】设双曲线2222:1x y C a b-=的右准线为l ，过A 、B 分别作AM l ⊥于M ，BN l ⊥于N ，BD AM ⊥于D ，根据直线AB 得到12AD AB =，再利用双曲线的第二定义得到()1AD AF FB e=-，又AB AF FB =+，结合4AF FB =求解.【详解】设双曲线2222:1x y C a b-=的右准线为l ，过A 、B 分别作AM l ⊥于M ，BN l ⊥于N ，BD AM ⊥于D ， 如图所示：因为直线AB 所以直线AB 的倾斜角为60︒， ∴60BAD ∠=︒，12AD AB =， 由双曲线的第二定义得：()()11122AM BN AD AF FB AB AF FB e -==-==+， 又∴4AF FB =， ∴352FB FB e =， ∴65e =故选：B 【点睛】本题主要考查双曲线的第二定义的应用以及离心率的求法，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.6．已知点()2,0Q -与抛物线()220y px p =>，过抛物线焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，与y 轴交于点P ，若3AB BP =，且直线QA 的斜率为1，则p =（ ）A ．2B ．4C．2 D．【答案】C 【分析】判断A 、B 的位置，结合向量关系，推出A 、B 横坐标与纵坐标的关系，通过直线的斜率关系，转化求解即可. 【详解】解：由题意可知A 在第一象限，B 在第四象限，设()(),,,A A B B A x y B x y ，()0,p P y由3AB BP =，所以()(),3,B A B A B P B x x y y x y y --=--，得4A B x x =，又224,4A A B B y x y x ==，所以2A B y y =-，又A 、F 、B 三点共线，可得2A B BA B B y y y p x x x -=--，即2222B BA B y p y p y y p =+-， 可得2B A y y p =-，∴2212A y p -=-，A y ，A x p =， 由QA 斜率为1可得：12AA y x =+1=，则2p =. 故选：C . 【点睛】在直线和抛物线的位置关系中，结合向量共线考查求抛物线中的参数p ；基础题. 二、解答题7．在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F 、2F ，左顶点为A ，上顶点为B ，离心率为e ．椭圆上一点C 满足：C 在x 轴上方，且2CF ∴x 轴．（1）如图1，若OC ∴AB ，求e 的值；（2）如图2，连结1CF 并延长交椭圆于另一点D．若12e ≤≤11CF F D 的取值范围．【答案】（1）2；（2）7,133⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）根据2CF x ⊥轴，设C 0(,)c y ，00y >，再根据点C 在椭圆上求得其坐标，然后再根据 OC ∴AB ，由AB OC k k =求解.（2）设11(,)D x y ，11CF F D λ=，由（1）2(,)b C c a，1(,0)F c -，然后用λ表示D 的坐标，代入椭圆方程求解. 【详解】（1）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2c ．∴ 2CF x ⊥轴可设C 0(,)c y ，00y >，因为22221yca b+=，所以4202bya=，解得2bya =，∴C2 (,)b ca∴ OC∴AB，所以22 AB OCbb bak ka c ac ====∴ b=c∴cea===（2）设11(,)D x y，11CF F Dλ=，由（1）知：2(,)bC ca，1(,0)F c-，212,bCF ca=--（），111(,)F D x c y=+，∴11CF F Dλ=∴12()c x cλ-=+，21byaλ-=所以12x cλλ+=-，21byaλ=-，∴22(,)bD caλλλ+--又∴D在椭圆上∴222222()()1b c a abλλλ+--+=， 化简得：222(43)1e λλλ++=- 又∴0λ>，2221-1414333e λλλλλλ-===-++++∴102e λ≤≤>）， 21344e ≤≤， 则1431434λ≤-≤+， 解得：7133λ≤≤ 所以11CF F D 取值范围是7,133⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率的常用方法：∴直接求出a ，c 来求解e .通过已知条件列出方程组，解出a ，c 的值；∴构造a ，c 的齐次式，解出e .由已知条件得出关于a ，c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e 的一元二次方程求解；∴通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ，0＜e ＜1等，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．8．已知椭圆()2222:10y x C a b a b +=>>经过点(（1）求曲线C 的方程；（2）设直线:l y x =C 交于,A B 两点，点M 为OA 中点，BM 与曲线C 的另一个交点为N ，设BM mMN =，试求出m 的值.【答案】（1）2213y x +=；（2）53m =. 【分析】（1）由椭圆的离心率及经过的点列方程即可得解；（2）设()()()112200,,,,,A x y B x y N x y ，由韦达定理得12x x 、12y y ，再由平面向量的数乘运算可得()()012012112112m x x xm mm y y y m m ⎧+=-⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，代入椭圆方程运算即可得解. 【详解】（1）由题意得222231a c a a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩C 的方程为2213y x +=；（2）设()()()112200,,,,,A x y B x y N x y ，将:=l y x 2213y x +=得2410x +-=，所以121214x x x x +==-，所以()12121212324y y x x x x x x ==++=， 由点M 为OA 中点得1111,22M x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由BM mMN =得121201011111,,2222x x y y m x x y y ⎛⎫⎛⎫--=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()012012112112m x x xm m m y y y m m ⎧+=-⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，因为N 在椭圆上，所以220013y x +=，所以()()22121211111+=1232m m x x y y mm m m ++⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 即()()2222212121212222111+14333m m y y y y x x x x m m m ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又因为2222121212121,1,0333y y y y x x x x +=+=+=，所以()22211+14m m m+=，化简得23250m m --=，解得53m =（负值舍去）. 【点睛】解决本题的关键是设出点的坐标，利用韦达定理及向量的数乘对条件合理转化，细心计算即可得解.9．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的两个焦点为1F ，2F，焦距为l ：1y x =-与椭圆C相交于A ，B 两点，31,44P ⎛⎫-⎪⎝⎭为弦AB 的中点. （1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l ：y kx m =+与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，()0,Q m ，若3OM ON OQ λ+=（O 为坐标原点），求m 的取值范围.【答案】（1）2213x y +=；（2）113m <<或113m -<<-. 【分析】（1）31,44P ⎛⎫-⎪⎝⎭为弦AB 的中点, 设()11,A x y ，()22,B x y ,代入椭圆方程利用点差法可求解. （2）由M ，Q ，N 三点共线，133OQ OM ON λ=+，根据三点共线性质可得：1133λ+=，则2λ=，将直线l 的方程和椭圆C 方程联立，利用韦达定理即可求得答案. 【详解】（1）∴焦距为c =()11,A x y ，()22,B x y ，∴31,44P ⎛⎫-⎪⎝⎭为弦AB 的中点，根据中点坐标公式可得：1232x x +=，1212y y +=-，又∴将()11,A x y ，()22,B x y 代入椭圆C ：22221x y a b +=∴2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩ ∴将两式作差可得：()()()()22121212120bx x x x a y y y y +-++-=，所以()()22121222121231ABb x x y y b k x x a y y a +-==-==-+， 所以223a b ………∴.∴222a c b -=………∴由∴∴得：2231a b ⎧=⎨=⎩所以椭圆的标准方程为2213x y +=.（2）∴M ，Q ，N 三点共线，133OQ OM ON λ=+ ∴根据三点共线性质可得：1133λ+=，则2λ= 设()11,M x y ，()22,N x y ，则1212033x x +=， ∴122x x =-.将直线l 和椭圆C 联立方程22,33y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消掉y . 可得：()222136330k x kmx m +++-=.220310k m ∆>⇒-+>………∴，根据韦达定理：122613km x x k +=-+，21223313m x x k-=+， 代入122x x =-，可得：22613km x k =+，222233213m x k--=+， ∴()222222363321313k m m kk --⨯=++，即()2229131m k m -⋅=-.∴2910m -≠，219m ≠， ∴22213091m k m -=≥-………∴， 代入∴式得22211091m m m --+>-，即()22211091m m m -+->-，∴()()2221910mm m --<，∴2119m <<满足∴式， ∴113m <<或113m -<<-.【点睛】本题考查椭圆的中点弦问题，考查直线与椭圆的综合问题，联立方程，韦达定理的应用，属于中档题.10．如图，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线2AF 交椭圆于另一点B .（1）若190∠=F AB ，求椭圆的离心率；（2）若椭圆的焦距为2，且222AF F B =，求椭圆的方程.【答案】（1）2；（2）22132x y +=.【分析】（1）根据190∠=F AB 得到b c =，a =，可得c e a ==； （2）设(),B x y ，根据222AF F B =得到32x =，2b y =-，代入22221x y a b +=，解得23a =，可得222312b a c =-=-=，从而可得椭圆方程.【详解】（1）若190F AB ∠=︒，则12F AF 和2AOF △为等腰直角三角形．所以有2OA OF =，即b c =．所以a =，2c e a ==． （2）由题知()0,A b ，()21,0F ，设(),B x y ， 由222AF F B =，得()()1,21,b x y -=-，所以 32x =，2by =-． 代入22221x ya b+=，得2229441b a b +=． 即291144a +=，解得23a =．所以222312b ac =-=-=， 所以椭圆方程为22132x y +=．【点睛】本题考查了求椭圆的离心率，考查了求椭圆方程，考查了平面向量共线的坐标表示，属于中档题.11．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>），O 为坐标原点，长轴长为4，离心率12e =．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 的方程为：()1y k x =-，点A 为椭圆C 在x 轴正半轴上的顶点，过点A 作AB l ⊥，垂足为M ，点B 在椭圆上（不同于点A ）且满足：25MB AM =，求直线l 的斜率k ．【答案】（1）22143x y +=；（2）k =±． 【分析】（1）由长轴长为4求a ，再由离心率12e =求c ，根据椭圆的性质求b ，从而得到椭圆方程． （2）椭圆C 的右顶点A 为(2,0)．直线1:1l x y k=+，直线AB 的方程为2x ky =-+，分别与椭圆方程联立，求出,B M 的纵坐标，利用向量关系，转化求解直线的斜率即可． 【详解】（1）由椭圆的离心率12e =，长轴长为4可知2a =，1c =，∴23b =， ∴椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）椭圆C 的右顶点A 为()2,0．由题可知0k ≠，直线l ：11x y k=+，直线AB 的方程为2x ky =-+， 由112x y kx ky ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，可知21M k y k =+， 由2234120x ky x y =-+⎧⎨+-=⎩，得()2234120k y ky +-=，则21234B k y k =+， ∴25MB AM =，∴()()250B M M y y y -=-，则22212523411kk k k k k ⎛⎫-=⎪+++⎝⎭ ∴0k ≠，∴243k =，解之，3k =±． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，同时考查了平面向量的坐标运算，考查计算能力，属于综合题.12．已知椭圆1C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 且与x 轴垂直的直线被椭圆1C 和圆222x y a +=截得的弦长分别为2和（1）求1C 的标准方程；（2）已知动直线l 与抛物线2C ：24y x =相切（切点异于原点），且l 与椭圆1C 相交于M ，N 两点，问：椭圆1C 上是否存在点Q ，使得63OM ON OQ +=，若存在求出满足条件的所有Q 点的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】（1）22142x y +=；（2）存在，Q 点坐标为⎛ ⎝⎭或⎛ ⎝⎭【分析】（1）（1）设直线方程为x c =-，分别与椭圆方程，圆联立解得交点坐标，再根据弦长分别为2和求解.（2）设l ：()0x my n m =+≠，()11,M x y ，()22,N x y ，()00,Q x y ，与抛物线方程联立，根据l 与2C 相切，则2100m n ∆=⇒+=，与椭圆方程联立，由63OM ON OQ +=结合韦达定理得到Q 坐标代入椭圆方程求解. 【详解】（1）设直线方程为x c =-，与椭圆方程()222210x y a b a b +=>>联立解得2by a=±，所以222b a=，直线方程为x c =-，与圆222x y a +=联立解得y b =±，所以2b =解得2,a b ==故1C ：22142x y +=.（2）由题知l 存在且斜率不为0，设l ：()0x my n m =+≠，()11,M x y ，()22,N x y ，()00,Q x y ，联立24x my ny x=+⎧⎨=⎩，得2440y my n --=，因为l 与2C 相切，故2100m n ∆=⇒+=，联立2224x my n x y =+⎧⎨+=⎩，得()2222240m y mny n +++-=， 所以12222mn y y m +=-+，212242n y y m -=+，22202424n m n ∆>⇒<+=-+，又20m n =->，所以()1n ∈-.因为6OM ON OQ +=，所以120120x x x y y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，由韦达定理，代入计算得00x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因为点()00,Q x y 在椭圆上，即22024x y +=， 代入得()()22222222412422n m n m m +=++，即2221322n n m n==+-，()1n ∈-， 解得1n =-或23n =（舍）， 所以1m =±，此时Q点坐标为,33⎛-- ⎝⎭或33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查直线与椭圆，直线与抛物线，直线与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.13．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率是12，且椭圆C经过点2P ⎭，过椭圆C 的左焦点F 的直线l 与椭圆C 交于M ,N 两点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若2MF FN =，求直线l 的方程.【答案】（1）22143x y +=；（220y ±=. 【分析】（1）依题意得到方程组222221,2331,4,c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=-⎪⎪⎩，解得即可；（2）设直线l 的方程为1x my =-，()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由2MF FN =，可得122y y -=，从而求出参数的值， 【详解】解：（1）设椭圆C 的半焦距为c .由题意可得222221,2331,4,c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=-⎪⎪⎩解得24a =，23b =.故椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）由（1）可得()1,0F -当直线l 的斜率为0时，()2,0M -，()20N ，或()20M ，，()2,0N -， 此时2MF FN ≠，不符合题意.当直线l 的斜率不为0时，可设直线l 的方程为1x my =-，()11,M x y ，()22,N x y .联立221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()2234690m y my +--=，则1212229,63434y y y y m m m ==-+++， 因为2MF FN =，所以122y y -=.从而1222634my y y m +=-=+，21221222269,23434m y y y y y y m m +=-==-=-++， 则2226923434m m m ⎛⎫-⨯=- ⎪++⎝⎭，解得m =. 故直线l20y ±=. 【点睛】本题考查待定系数法求椭圆方程，直线与椭圆的综合应用，属于中档题. 14．已知过点()0,2P 的直线与抛物线2:4C x y =相交于A ，B 两点. （1）若2AP PB =，且点A 在第一象限，求直线AB 的方程；（2）若点A ，B 在直线2y =-上的射影分别为1A ，1B ，线段1AB 的中点为Q ，求证1//BQ PA . 【答案】（1）122y x =+；（2）证明见解析； 【分析】（1）由题意，设过点(0,2)P 的直线l 的斜率为k ，则:2l y kx =+．然后由2AP PB =，根据定比分点的知识，可得12223x x +=，12203y y +=．将112y kx =+，222y kx =+代入最终可得到k 的值，则即可求出直线AB 的方程；（2）先联立直线l 与抛物线方程，整理得到一元二次方程，根据韦达定理有124x x k +=，128x x =-．再根据题意写出∴122(2x x BQ x +=-，22)y --，11(PA x =，4)-．再根据平行向量的坐标公式12210x y x y -=进行代入计算即可证明1//BQ PA ． 【详解】（1）解：由题意，设过点(0,2)P 的直线l 的斜率为k ，则:2l y kx =+． 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．2AP PB =，∴根据定比分点的知识，有12203x x +=，12223y y +=， 1220x x ∴+=．联立224y kx x y =+⎧⎨=⎩，消去y ，整理得2480x kx --=．解得12(x k =，22(x k =，1222(4(0x x k k ∴+=+=，整理，得30k =>，解得12k =． ∴直线AB 的方程为122y x =+． （2）证明：根据（1），联立直线l 与抛物线方程，得224y kx x y=+⎧⎨=⎩， 整理，得2480x kx --=． 则124x x k +=，128x x =-．11(A x ，2)-，12(B x ，2)-．12(2x x Q +∴，2)-． ∴122(2x x BQ x +=-，22)y --，11(PA x =，4)-． 12212()(4)(2)2x x x x y +----- 2112211212124(2)22222x x x y x x x y x x x y -=++=-++=+ 222212122244x xx x x x x =+=+222(8)04x x =+-=． 1//BQ PA ∴．【点睛】本题主要考查直线与抛物线的综合问题，考查了定比分点的应用，平行向量坐标公式的应用，考查了逻辑思维能力和数学运算能力．属于中档题．15．已知222:4)(0E x y m m +=>，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与E 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（1）若2m =，点K 在椭圆E 上，1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点，求12KF KF 的范围；（2）若l 过点(,)2mm ，射线OM 与椭圆E 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时直线l 斜率；若不能，说明理由．【答案】（1）[]2,1-；（2）46k ±=. 【分析】（1）求得焦点坐标，设(,)K x y ，运用向量数量积的坐标表示，结合椭圆的范围，可得所求范围；（2）设A ，B 的坐标分别为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，运用中点坐标公式和点差法，直线的斜率公式，结合平行四边形的性质，即可得到所求斜率． 【详解】解：（1）2m =时，椭圆22:14x E y +=，两个焦点1(F )，2F 0)，设(,)K x y ，可得2214x y +=，即2244x y =-，1(F K x =+)y，2(F K x =)y ，2221212331KF KF F K F K x y y ==-+=-+， 因为11y -，所以12KF KF 的范围是[]2,1-；（2）设A ，B 的坐标分别为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，可得12(2x x M +，12)2y y +， 则222112222244x y m x y m⎧+=⎨+=⎩，两式相减可得12121212()()4()()0x x x x y y y y +-++-=， 12121212()()140()()y y y y x x x x +-+=+-，即140OM l k k +=，故14OM l k k =-，又设(P P x ，)P y ，直线:()(0,0)2ml y k x m m k =-+≠≠，即直线l 的方程为2m y kx km =-+， 从而1:4OM y x k =-，代入椭圆方程可得，2222414P m k x k =+，由()2m y k x m =-+与14y x k=-，联立得224214M k m kmx k -=+，若四边形OAPB 为平行四边形，那么M 也是OP 的中点，所以2M P x x =，即2222224244()1414k m km m k k k-=++，整理可得2121630k k -+=，解得k =，经检验满足题意，所以当46k ±=时，四边形OAPB 为平行四边形． 【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，注意运用点差法，考查向量数量积的坐标表示，考查方程思想和运算能力，属于中档题．16．设抛物线E ：()220y px p =>焦点为F ，准线为l ，A 为E 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B 、D 点．（∴）若60BFD ∠=︒，BFD △p 的值及圆F 的方程； （∴）若点A 在第一象限，且A 、B 、F 三点在同一直线1l 上，直线1l 与抛物线E 的另一个交点记为C ，且CF FA λ=，求实数λ的值．【答案】（∴）2p =，圆F 为：()221613x y -+=；（∴）13λ=． 【分析】（∴）依题意可得BFD △为正三角形，且BF =根据BFD △的面积，即可求出p ，从而得到圆F 的方程；（∴）依题意可得直线AB 的倾斜角为3π或23π，由对称性可知，设直线l：2p x =，()11,A x y ，()22,C x y ，联立直线与抛物线方程消元列出韦达定理，由CF FA λ=，即可得到()2143λλ-=，解得即可；【详解】解：（∴）焦点到准线l 的距离为p ，又∴BF FD =，60BFD ∠=︒，∴BFD △为正三角形．∴BF =2p B ⎛- ⎝，∴21sin 602BFD S BF =︒=△2p ∴=， ∴圆F 为：()221613x y -+=． （∴）若A 、F 、B共线，则AF BF DF ==，2BDA π∴∠=∴12AD AF AB ==，6DBA π∴∠= ∴直线AB 的倾斜角为3π或23π， 由对称性可知，设直线l ：2px =+，()11,A x y ，()22,C x y ，CF FA λ=， 联立()121222221211202p y y y x y y p y y p y y px λλ⎧⎧+==-⋅=+⎪⎪⇒-=⇒⎨⎨⎪⎪⋅=-=-⋅=⎩⎩，∴()2143λλ-=，231030λλ∴-+=，3λ∴=或13λ=， 又AF BF p =>，12p x >，01λ∴<<，所以13λ=． 【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用，向量共线求出参数的值，属于中档题.17．已知抛物线()2:20C y px p =>，过抛物线C 的焦点F 且垂直于x 轴的直线交抛物线C 于,P Q 两点，4PQ =.（1）求抛物线C 的方程，并求其焦点F 的坐标和准线l 的方程；（2）过抛物线C 的焦点F 的直线与抛物线C 交于不同的两点,A B ，直线OA 与准线l 交于点M .连接MF ，过点F 作MF 的垂线与准线l 交于点N .求证：,,O B N 三点共线.【答案】（1）抛物线C 的方程为24y x =，焦点F 坐标为()1,0，准线l 方程为1x =-（2）证明见解析 【分析】（1）根据抛物线通径的性质，得出2p =，即可求出抛物线的标准方程，即可得出焦点坐标和准线方程；（2）根据题意，设直线:1AB x ty =+，与抛物线方程联立，求出则124y y t +=，124y y =-，通过直线相交分别求出141,M y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭和()11,N y -，从而求出1ON k y =-和24OB k y =，通过化简求出0OB ON k k -=，即可证出,,O B N 三点共线.【详解】解：（1）24PQ p ==，则2p =，故抛物线C 的方程为：24y x =，其焦点F 坐标为()1,0，准线l 方程为：1x =-（2）设直线:1AB x ty =+，联立214x ty y x =+⎧⎨=⎩，得2440y ty --=，则216160t =+>△，设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y t +=，124y y =-.法1：直线11:y OA y x x =， 由2114y x =得14y x y =，故点141,M y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 直线MF 的斜率1140211MFy k y --==--， 则直线FN 的斜率12FN y k =-， 直线()1:12y FN y x =--，则点()11,N y - 直线ON 的斜率1ON k y =-.直线OB 的斜率22OB y k x =，由2224y x =得24OB k y =， 则()12122244440OB ON y y k k y y y y +--=--===， 所以,,O B N 三点共线.法2：直线11:y OA y x x =， 由2114y x =得14y x y =，故点141,M y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 由124y y =-，得()21,M y -.直线MF 的斜率220112MF y yk -==---， 直线()22:1FN y x y =-，得点241,N y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 由124y y =-，得()11,N y -. 直线ON 的斜率1ON k y =-.直线OB 的斜率22OB y k x =，由2224y x =得24OB k y =，由124y y =-，得1OB k y =-， 则有OB ON k k =.所以,,O B N 三点共线.法3：（1）∴4PQ =，∴2PF =，∴22OF =，∴1OF =，2p =，∴抛物线C 的标准方程为：24y x =，则焦点坐标为：()1,0F ，准线方程为：:1l x =-.（2）设直线:1AB x ty =+，联立得：2440y ty --=，212121616044t y y ty y ⎧∆=+>⎪+=⎨⎪=-⎩， 设()11,A x y ，()22,B x y ，∴直线11:y AO y x x =， 当1x =-时，11y y x =-，∴111,y M x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ∴112MF y k x =，∴1121FN MF x k k y =-=-， ∴直线()112:1x FN y x y =--， 当1x =-时，114x y y =，∴1141,x N y ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴114NO x k y =-，22BO y k x =， ∴21214BO NO y x k k x y -=+ ()()1212121221214114y y y y y y x x x y x y ++++++==()()12122142144y y y y x y ++++++=()22442116240x y -+++++==，∴BO NO k k =， ∴,,B O N 共线. 【点睛】本题考查抛物线的标准方程和简单几何性质，以及直线与抛物线的位置关系，通过联立方程组，韦达定理，利用直线斜率的关系证明三点共线，考查转化思想和计算能力. 18．已知抛物线E 上的焦点为(0,1)F . （1）求抛物线E 的标准方程；（2）过F 作斜率为k 的直线l 交曲线E 于A 、B 两点，若3BF FA =，求直线l 的方程.【答案】（1）24x y =；（2）13y x =±+. 【分析】（1）根据焦点坐标求得p ，结合抛物线的开口方向求得抛物线E 的标准方程.（2）联立直线l 的方程和抛物线方程，写出根与系数关系，结合3BF FA =求得k 的值，进而求得直线l 的方程. 【详解】（1）依题意，抛物线的焦点为()0,1F ，开口向上，2,24p p ==，所以曲线E 的方程为：24x y =； （2）设过F 的斜率为k 的直线方程为：1y kx =+，联立214y kx x y=+⎧⎨=⎩，消去y 并化简得2440x kx --=. 令11(,)A x y 、22(,)B x y ， 所以124x x k +=，124x x -=，由题可知：3BF FA =，即：2211(,1)3(,1)x y x y --=-，即得213x x -=，由124x x k +=，124x x -=，213x x -=得：213k =，3k =±，所求直线l 的方程为：1y x =+. 【点睛】本小题主要考查抛物线方程的求法，考查直线和抛物线的位置关系，属于中档题. 19．已知椭圆22:24C x y += （1）求椭圆C 的标准方程和离心率；（2）是否存在过点()0,3P 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且满足2PB PA =．若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22142x y +=，e =；（2）存在，7x ＝0或7x ﹣＝0 【分析】（1）将椭圆方程化为标准方程，可得a ，b ，c ，由离心率公式可得所求值；（2）假设存在过点P （0，3）的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且满足2PB PA =，可设直线l 的方程为x ＝m （y ﹣3），联立椭圆方程，消去x 可得y 的二次方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由向量共线的坐标表示，化简整理解方程，即可判断是否存在这样的直线． 【详解】（1）由22142x y +=，得2,a b =c ==2c e a ==； ∴2∴假设存在过点P （0，3）的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且满足2PB PA =， 可设直线l 的方程为x ＝m （y ﹣3），联立椭圆方程x 2+2y 2＝4，可得（2+m 2）y 2﹣6m 2y +9m 2﹣4＝0，∴＝36m 4﹣4（2+m 2）（9m 2﹣4）＞0，即m 2＜47， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得y 1+y 2＝2262m m +，y 1y 2＝22942m m-+，∴ 由2PB PA =，可得（x 2，y 2﹣3）＝2（x 1，y 1﹣3），即y 2﹣3＝2（y 1﹣3），即y 2＝2y 1﹣3，∴将∴代入∴可得3y 1﹣3＝2262m m +，y 1（2y 1﹣3）＝22942m m-+，消去y 1，可得22232m m ++•22322m m -+＝22942m m -+，解得m 2＝2747<，所以m =，故存在这样的直线l ，且方程为7x ＝0或7x y ﹣＝0． 【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，同时考查向量共线的坐标表示，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．20．设12,F F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，直线l 的倾斜角为60,1F 到直线l 的距离为 （1）求椭圆C 的焦距；（2）如果222AF F B =，求椭圆C 的方程.【答案】（1）4；（2）22195x y +=.【分析】（1）由题意可设直线l的方程为)y x c =-，再利用点到直线的距离公式即可求解.（2）由（1）可得)2y x =-，联立方程)222221y x x y ab ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消x ，求出两交点的纵坐标，再由222AF F B=得出两交点纵坐标的关系即可求解. 【详解】（1）由题意可得：直线l的方程为)y x c =-，()1,0F c -到直线l的距离为=2c =，∴椭圆C 的焦距24c =.（2）由（1）可得)2y x =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，10y <，20y >，联立)222221y x x y ab ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，整理可得()22224330ab y y b ++-=，解得()2122223a y a b +=+，()2222223a y a b-=+，因为222AF F B =，所以122y y -=，即()()2222222222233a a a b a b+-=⋅++，解得3a =， 又2c =，故b ==故椭圆C 的方程为22195x y +=.【点睛】本题考查了椭圆的简单几何性质、直线与椭圆的位置关系，此题要求有较高的计算求解能力，属于中档题.21．设椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>左焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，直线l 的倾斜角为45︒，且3AF FB = （1）求椭圆C 的离心率；（2）若||AB =C 的方程. 【答案】（1（2）2212x y +=.【分析】（1）设直线方程为y x c =+，联立22221y x cx y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得12,y y ，根据3AF FB =，由123y y -=求解.（2）根据2121||3AB y y =-=-=，结合（1）的数据代入求解. 【详解】（1）设()()1122,,,A x y B x y ，由题意得120,0y y ><，直线方程为：y x c =+，联立22221y x c x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222420a b y b cy b +--=，解得)()22122222,c b c b y y a ba b+==++，因为3AF FB =， 所以123y y -=，即)()2222223c b c b a ba b+--=++，所以c e a ==（2）因为22121224||ab AB y y a b =-=-==+ 所以222322ab a b =+，又2c e a ==，则2b a =，解得1a b ==，所以椭圆C 的方程是2212x y +=.【点睛】本题主要考查椭圆的离心率的求法和椭圆方程的求法以及平面向量的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22．如图，已知椭圆：2214x y +=，点A ，B 是它的两个顶点，过原点且斜率为k 的直线l 与线段AB 相交于点D ，且与椭圆相交于E 、F 两点．（∴）若6ED DF =，求k 的值； （∴）求四边形AEBF 面积的最大值.【答案】（∴）23k =或38k =；（∴） 【分析】（∴）由椭圆的方程可得A ，B 的坐标，设直线AB ，EF 的方程分别为22x y +=，y kx =，0(D x ，0)kx ，1(E x ，1)kx ，2(F x ，2)kx ，且1x ，2x 满足方程22(14)4k x +=，进而求得2x 的表达式，进而根据6ED DF =，求得0x 的表达式，由D 在AB 上知0022x kx +=，进而求得0x 的另一个表达式，两个表达式相等求得k ．（∴）由题设可知BO 和||AO 的值，设11y kx =，22y kx =，进而可表示出四边形AEBF 的面积，进而根据基本不等式的性质求得最大值． 【详解】（∴）椭圆：2214x y +=，(2,0)A ，(0,1)B ，直线AB ，EF 的方程分别为22x y +=，(0)y kx k =>．如图，设0(D x ，0)kx ，1(E x ，1)kx ，2(F x ，2)kx ，其中12x x <，且1x ，2x 满足方程22(14)4k x +=，故21x x =-=．∴由6ED DF =，知01206()x x x x -=-，得021215(6)77x x x x =+==， 由D 在AB 上知0022x kx +=，得0212x k=+，212k=+， 化简得2242560k k -+=，解得23k =或38k =． （∴）由题设，1BO =，||2AO =．由（∴）知，1(E x ，1)kx ，2(F x ，2)kx ，不妨设11y kx =，22y kx =，由∴得20x >， 根据E 与F 关于原点对称可知210y y =->，故四边形AEBF 的面积为OBE OBF OAE OAF S S S S S ∆∆∆∆=+++12211111·()?··()2222OB x OB x OA y OA y =-+++- 21212211()()222OB x x OA y y x y =-+-=+2222(x ==+当222x y =时，上式取等号．所以S 的最大值为【点评】本题主要考查了直线与椭圆的综合问题．直线与圆锥曲线的综合问题是支撑圆锥曲线知识体系的重点内容，问题的解决具有入口宽、方法灵活多样等，而不同的解题途径其运算量繁简差别很大． 23．已知点F 是抛物线()220x py p =>的焦点，过F 的弦被焦点分成两段的长分别是2和6.（1）求此抛物线的方程；（2）P 是抛物线外一点，过P 点作抛物线的两条切线PA ，PB （A ，B 是切点），两切线分别交x 轴于C ，D ，直线AB 交抛物线对称轴于点Q ，求证四边形PCQD 是平行四边形.【答案】（1）26x y =；（2）证明见解析. 【分析】（1）设过F 的弦所在直线方程为：2py kx =+，其与抛物线交于()()1122,,,M x y N x y ，证明112MF NF p+=，则可求解. （2）设211,6x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,6x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据切线分别表示出直线PA 、PB 的方程，则C 、D 的坐标能表示出，联立直线PA 、PB 的方程，则P 的坐标可表示出，表示出直线AB 的方程，则Q 的坐标可表示出，最后说明CP QD =即可. 【详解】解：（1）0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设过F 的弦所在直线方程为：2py kx =+，其与抛物线交于()()1122,,,M x y N x y ，联立222x py p y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，即2220x kpx p --=，212122,x x pk x x p +=⋅=-，所以()212122y y k x x p pk p +=++=+，2221212244x x p y y p == 不妨设122,622p pMF y NF y =+==+=， ()12122121212121111222222224p py y y y p p p p p p p MF NF p y y y y y y y y ++++++=+===⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，11112,326p MF NF p+=+==， ∴此抛物线的方程为：26x y =；（2）设211,6x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,6x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3xy '=， ∴直线PA 的方程为：()1113x y y x x -=-， 即：21136x x y x =-；令10,2x y x ==，所以1,02x C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 同理，直线PB 的方程为：22236x x y x =-；令20,2x y x ==，所以2,02x D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线AB 的方程为：()()222112121666x x x y x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即：121266x x x x y x +=-； 令120,6x x x y ==-，所以120,6x x Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2112223636x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以1212,26x x x x P +⎛⎫ ⎪⎝⎭， 212,26x x x CP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，212,26x x x QD ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以CP QD =，∴四边形PCQD 是平行四边形. 【点睛】以直线和抛物线的位置关系为载体，考查求抛物线的标准方程，同时考查用向量法证明四边形是平行四边形，难题.24．设抛物线()220y px p =>的焦点为F ，过F 的直线与抛物线交于点()11,A x y 和()22,B x y ，且恒124y y =-.（1）求p 的值；（2）直线1l 过B 与x 轴平行，直线2l 过F 与AB 垂直，若1l 与2l 交于点N ，且直线AN 与x 轴交于点()4,0M ，求直线AB 的斜率.【答案】（1）2p =；（2）±. 【分析】（1）直线与抛物线方程联立，利用韦达定理得12y y ， 建立关于p 的方程，从而得到答案； （2）分别求出,,A M N 三点坐标用m 表示，由三点共线得到关于m 的方程，求得答案. 【详解】（1）由条件得,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭.易知AB 不垂直于y 轴，可设AB ：2p x ty =+. 由22,,2y px p x ty ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得2220y pty p --=， 所以2124y y p =-=-，所以2p =.（2）由（1）知抛物线方程为24y x =，()1,0F .设()2,2A m m ，由题易知0m ≠且1m ≠±.因为124y y =-，所以212,B mm ⎛⎫-⎪⎝⎭， 所以AB 的斜率为22222211mm m m m m--=--，直线2l 的斜率为212m m -. 直线1l ：2y m =-，直线2l ：()2112m y x m -=-，所以2232,1m N m m ⎛⎫+- ⎪-⎝⎭. 由A ，M ，N 三点共线得2222222341m m m m m m m +=+---，解得m =.所以直线AB的斜率为±. 【点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系.属于中档题.25．已知圆()22:620C x y -+=，直线:l y kx =与圆C 交于不同的两点 A B ，． （1）求实数k 的取值范围；（2）若2OB OA =，求直线l 的方程．【答案】（∴）22k -<<（∴）y x =± 【详解】试题分析：（∴）由直线与圆有两个不同交点得，圆心到直线距离小于半径，或利用直线方程与圆方程联立方程组有两个不同的解列判别式恒大于零，列出关于k 的限制条件，解出k 的取值范围；（∴）由2=OB OA得A 为OB 的中点，设()11 A x y ，，则()112? 2?B x y ，，代入圆方程得()2211620x y -+=，()221126420x y -+=，解方程组可得112?2x y ==，或112? 2x y ==-，，因此可出求直线l 的方程 试题解析：（∴）将直线l 的方程y kx =代入圆C 的方程()22620x y -+=后，整理得()22112160k xx +-+=，依题意，直线l 与圆C 交于不同的两点．又∴210k +≠，∴只需()()221241160k ∆=--+⋅>，解得k 的取值范围为k <<．（∴）由已知A 为OB 的中点，设()11 A x y ，，()22 B x y ，，则 ()2211620x y -+=，∴()221126420x y -+=，∴解∴∴可得112?2x y ==，或112? 2x y ==-，， ∴直线l 的方程为y x =± 考点：直线与圆位置关系三、填空题26．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线l：10x -=与C 交于P 、Q (P 在x 轴上方)两点，若PF FQ λ=，则实数λ的值为_______【答案】5+【分析】先求出(5P +、(5Q -、(1,0)F，再求出(4PF =---和(4FQ =-，最后建立方程求λ即可.【详解】解：由题意联立方程组2410y x x ⎧=⎪⎨--=⎪⎩，解得5x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩5x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩ 因为P 在x轴上方，所以(5P +、(5Q -,因为抛物线C 的方程为24y x =，所以(1,0)F ，所以(4PF =---，(4FQ =-因为PF FQ λ=，所以(4(4λ---=-，解得：5λ==+，故答案为：5+【点睛】。
高中数学直线和圆锥曲线常考题型汇总及例题解析
高中数学直线和圆锥曲线常考题型汇总及例题解析题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系题型二：弦的垂直平分线问题题型三：动弦过定点的问题题型四：过已知曲线上定点的弦的问题题型五：共线向量问题题型六：面积问题题型七：弦或弦长为定值问题题型八：角度问题题型九：四点共线问题题型十：范围问题（本质是函数问题）题型十一：存在性问题（存在点、直线y=kx+b、实数、圆形、三角形、四边形等）【题型一】数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系【题型二】弦的垂直平分线问题【题型三】动弦过定点的问题【题型四】过已知曲线上定点的弦的问题【题型五】共线向量问题【题型六】面积问题【题型七】弦或弦长为定值问题【题型八】角度问题【题型九】四点共线问题【题型十】范围问题（本质是函数问题）【题型十一】存在性问题（存在点、直线y=kx+b、实数、圆形、三角形、四边形等）例题&解析集合例1：例2：例3：例4：例5：例6：刷有所得：确定圆的方程方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心和半径有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于的方程组，从而求出的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值．例7：答案：解析：刷有所得：该题考查的是有关直线与椭圆的问题，涉及到的知识点有直线方程的两点式、直线与椭圆相交的综合问题、关于角的大小用斜率来衡量，在解题的过程中，第一问求直线方程的时候，需要注意方法比较简单，需要注意的就是应该是两个，关于第二问，在做题的时候需要先将特殊情况说明，一般情况下，涉及到直线与曲线相交都需要联立方程组，之后韦达定理写出两根和与两根积，借助于斜率的关系来得到角是相等的结论.例8：解析：定点问题例9：解析：例10：例11：解析：例12：例13：答案：例14：例15：解析：离心率问题例16：答案：D解析：刷有所得：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义. 例17：答案：C 解析：例18：答案：C解析：刷有所得：求离心率的值或范围就是找的值或关系。
高考数学圆锥曲线共线向量问题解决策略专题五大方法
圆锥曲线共线向量问题三点共线问题证题策略一般有以下几种：1.用斜率证明三点共线：若过任意两点的直线的斜率都存在，通过计算证明过任意两点的直线的斜率相等证明三点共线2.用距离证明共线：计算出任意两点间的距离，若某两点间的距离等于另外两个距离之和，则这三点共线；3.用向量证明共线：利用向量共线定理证明三点共线4.面积法：求出过其中两点的直线方程，在证明第3点也在该直线上;5.直线方程法：通过计算求出以这三点为三角形的面积，若面积为0，则三点共线，在处理三点共线问题，离不开解析几何的重要思想：“设而不求思想”.1.给出,等于已知与的中点三点共线;2. 给出以下情形之一：①；②存在实数；③若存在实数,等于已知三点共线；题型分析(一) 用斜率法证明三点共线例1.已知抛物线y2=4x的焦点为F，过焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，设AB的中点为M，A、B、M在准线上的射影依次为C、D、N．（1）求直线FN与直线AB的夹角θ的大小；（2）求证：点B、O、C三点共线．2.已知焦距为2的椭圆W ：+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为A 1，A 2，上、下顶点分别为B 1，B 2，点M （x 0，y 0）为椭圆W 上不在坐标轴上的任意一点，且四条直线MA 1，MA 2，MB 1，MB 2的斜率之积为． （1）求椭圆W 的标准方程；（2）如图所示，点A ，D 是椭圆W 上两点，点A 与点B 关于原点对称，AD ⊥AB ，点C 在x 轴上，且AC 与x 轴垂直，求证：B ，C ，D 三点共线．(二) 用向量证明三点共线例1．已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ． （1）若4AF BF +=，求l 的方程；（2）若AP→ =3PB→ ，求AB ．2.给定椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0），称圆C 1：x 2+y 2=a 2+b 2为椭圆的“伴随圆”．已知A （2，1）是椭圆G ：x 2+4y 2=m （m ＞0）上的点．32（Ⅰ）若过点P （0，）的直线l 与椭圆G 有且只有一个公共点，求直线l 被椭圆G 的“伴随圆”G 1所截得的弦长；（Ⅱ）若椭圆G 上的M ，N 两点满足4k 1k 2=﹣1（k 1，k 2是直线AM ，AN 的斜率），求证：M ，N ，O 三点共线．例3．已知抛物线C ：22y px =经过点(1,2)P ．过点(0,1)Q 的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． (1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为原点，QM QO λ=，QN QO μ=，求证：11λμ+为定值．4.（本小题共14分）已知曲线C :22(5)(2)8m x m y −+−=（m R ∈） (Ⅰ)若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的取值范围；(Ⅱ)设m =4，曲线C 与y 轴的交点为A ，B （点A 位于点B 的上方），直线4y kx =+与曲线交于不同的两点M ,N ,直线1y =与直线BM 交于点G ，求证：A ，G ，N 三点共线.专项练习1．已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个焦点，若4FP FQ =，则||QF =（ ） A ．72 B ．52C ．3D ．22.已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为（ ）A.C.2D.3．在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为（ ）A ．3 B． CD ．24．设1F ，2F 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b−=>>的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P．若1|||PF OP =，则C 的离心率为（ ）AB ．2CD5．设抛物线的焦点为，直线过且与交于，两点．若，则的方程为（ ）A ．或1y x =−+B ．或C ．或D ．或6.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为34，M 是椭圆上一点，1F 、2F 是椭圆的左右焦点，C 为12MF F ∆的内切圆圆心，若123mCF CF +30CM +=，则m 的值是 （ ）A.4B.3C.2D. 17．已知点(0,1)P ，椭圆224x y m +=(1m >)上两点A ，B 满足2AP PB =，则当m =___时，点B 横坐标的绝对值最大．2:4C y x =F l F C A B ||3||AF BF =l 1y x =−1)y x =−1)y x =−1)y x =−1)y x =−1)2y x =−1)2y x =−−8．设12,F F 分别为椭圆2213x y +=的左、右焦点，点,A B 在椭圆上，若125F A F B =；则点A 的坐标是 ．9．已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >．(1)证明：12k <−； (2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0．证明：2||||||FP FA FB =+．。
圆锥曲线中的向量问题大题分类精练(学生版)-高中数学
圆锥曲线中的向量问题大题分类精练目录类型1 向量的数量积问题类型2 向量的单共线问题类型3 向量的双共线问题类型4 利用向量解决三点共线问题类型5向量长度关系转化为向量关系高考题型归纳【类型1 向量的数量积问题】1(2023·四川成都·成都七中校考模拟预测)如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l :x =-2与x 轴交于点A ，过l 右侧的点P 作PM ⊥l ，垂足为M ，且PA =PM +OA ．(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)过点B 1,0 的动直线l交轨迹C 于S ,T ，设Q -3,0 ，证明：QS ⋅QT为定值．2(2023·全国·高三专题练习)已知圆心为H 的圆x 2+y 2+2x -15=0和定点A 1,0 ，B 是圆上任意一点，线段AB 的中垂线l 和直线BH 相交于点M ，当点B 在圆上运动时，点M 的轨迹记为曲线C ．(1)求C 的方程．(2)如图所示，过点A 作两条相互垂直的直线分别与曲线C 相交于P ，Q 和E ，F ，求PE ⋅QF的取值范围3(2022上·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的焦点到渐近线的距离为2，渐近线的斜率为2．(1)求双曲线C 的方程；(2)设过点0,2 的直线l 与曲线C 交于M ,N 两点，问在y 轴上是否存在定点P ，使得PM ⋅PN 为常数？若存在，求出点P 的坐标及此常数的值；若不存在，说明理由．4(2023·江苏扬州·统考模拟预测)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左顶点为A ，过右焦点F 且平行于y 轴的弦PQ =AF =3．(1)求△APQ 的内心坐标；(2)是否存在定点D ，使过点D 的直线l 交C 于M ,N ，交PQ 于点R ，且满足MR ⋅ND =MD ⋅RN若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由．【类型2 向量的单共线问题】1(2023·吉林长春·东北师大附中校考一模)椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为32，过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，与y 轴相交于M (0,m )点，若存在实数m ，使得OA +3OB=4OM ，求m 的取值范围．2(2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测)已知圆O 1：x +1 2+y 2=14，圆O 2：x -1 2+y 2=494，圆M 与圆O 1外切，且与圆O 2内切．(1)求圆心M 的轨迹C 的方程；(2)若A ，B ，Q 是C 上的三点，且直线AB 不与x 轴垂直，O 为坐标原点，OQ =λOA +μOB，则当△AOB的面积最大时，求λ2+μ2的值．3(2023·江苏·高三校联考阶段练习)已知双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的两条渐近线分别为l 1:y=x 2，l 2:y =-x 2.(1)求双曲线E 的离心率；(2)O 为坐标原点，过双曲线上一点P 22,1 作直线l 分别交直线l 1，l 2于A ，B 两点(A ，B 分别在第一、第四象限)，且PB =2AP，求△AOB 的面积.4(2023·辽宁葫芦岛·高三统考期末)已知圆C :x -23 2+y 2=12，定点M -23,0 ，N 为圆C 上一动点，线段MN 的中垂线与直线CN 交于点P ．(1)证明：PC -PM 为定值，并求出点P 的轨迹C 的方程；(2)若曲线C 上一点Q ，点A ，B 分别为l 1:y =3x 在第一象限上的点与l 2:y =-3x 在第四象限上的点，若AQ =λQB ，λ∈13,2，求△AOB 面积的取值范围．【类型3 向量的双共线问题】1(2023·全国·高三专题练习)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点Q 1,-22 ，且离心率e =22，直线l 与E 相交于M ，N 两点，l 与x 轴、y 轴分别相交于C ，D 两点，O 为坐标原点．(1)求椭圆E 的方程；(2)判断是否存在直线l ，满足2OC =OM +OD ,2OD =ON +OC若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．2(2023上·云南昆明·高三统考期中)已知动点P 到定点F 0,4 的距离和它到直线y =1距离之比为2；(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)直线l 在x 轴上方与x 轴平行，交曲线C 于A ，B 两点，直线l 交y 轴于点D .设OD 的中点为M ，是否存在定直线l ，使得经过M 的直线与C 交于P ，Q ，与线段AB 交于点N ，PM =λPN ，MQ =λQN均成立；若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由.3(2023·贵州贵阳·高三校联考阶段练习)已知椭圆C ：y 2a 2+x 2b2=1a >b >0 的离心率为13，上焦点F 到上顶点的距离为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点F 的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，与定直线l 1：y =9交于点D ，设DP =λPF ，DQ =μQF，证明：λ+μ为定值.4(2023·河北·模拟预测)已知抛物线C :y 2=2px p >0 的焦点为F ，圆D :x -1 2+y -2 2=4恰与C 的准线相切.(1)求C 的方程及点F 与圆D 上点的距离的最大值；(2)O 为坐标原点，过点M 0,1 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，直线AD ，BD 分别与y 轴相交于点P ，Q ，MP =mMO ，MQ =nMO ，求证：mn m +n为定值.【类型4 利用向量解决三点共线问题】1(2023·江苏盐城·盐城中学校考模拟预测)阿基米德(公元前287年-公元前212年，古希腊)不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系Oxy 中，椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的面积为23π，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形.过点1,0 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设椭圆C 的左、右顶点分别为P ，Q ，直线PA 与直线x =4交于点F ，试证明B ，Q ，F 三点共线.2(2023·陕西西安·统考一模)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率为63，右焦点F 2c ,0 与抛物线y 2=8x 的焦点重合.(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 的左焦点为F 1，过点D -3,0 的直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点，A 关于x 轴对称的点为M ，证明：M ,F 1,B 三点共线.3(2023下·江苏南京·高三江苏省南京市第十二中学校考阶段练习)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的一条渐近线的倾斜角为π6,右焦点F 到其中一条渐近线的距离为1．(1)求双曲线C 的标准方程;(2)已知直线l 与x 轴不垂直且斜率不为0,直线l 与双曲线C 交于M ,N 两点．点M 关于x 轴的对称点为M ,若M ,F ,N 三点共线,证明:直线l 经过x 轴上的一个定点．4(2022·全国·高三课时练习)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为A ，B ，F 1F 2 =2，AB =4.(1)求椭圆C 的方程.(2)过F 2的直线与椭圆C 交于M ，N 两点(均不与A ，B 重合)，直线MB 与直线x =4交于G 点，证明：A ，N ，G 三点共线.【类型5 向量长度关系转化为向量关系】1(2023上·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习)已知动圆过点F 12,0，且与直线x +12=0相切，设动圆圆心的轨迹为曲线C ；过点F 的直线与曲线C 交于A ，B 两点，曲线C 在A ，B 两点处的切线交于点E .(1)证明：EF ⊥AB ；(2)设AF =λFB ，当λ∈13,12时，求△ABE 的面积S 的最小值.2(2023·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模)设椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 过点M 2,1 ，且左焦点为F 1-2,0 ．(1)求椭圆E 的方程；(2)△ABC 内接于椭圆E ，过点P 4,1 和点A 的直线l 与椭圆E 的另一个交点为点D ，与BC 交于点Q ，满足AP QD =AQ PD ，证明：△PBC 面积为定值，并求出该定值．3(2023·江西·校联考二模)已知过曲线C :x 2a 2+y 2b2=1a ,b >0 上一点x 0,y 0 作椭圆C 的切线l ，则切线l 的方程为x 0x a 2+y 0y b 2=1.若P 为椭圆C 1:x 22+y 2=1上的动点，过P 作C 1的切线l 0交圆C 2:x 2+y 2=4于M ,N ，过M ,N 分别作C 2的切线l 1,l 2，直线l 1,l 2交于点Q .(1)求动点Q 的轨迹E 的方程；公众号：慧博高中数学最新试题(2)已知R 为定直线x =4上一动点，过R 的动直线m 与轨迹E 交于两个不同点A ,B ，在线段AB 上取一点T ，满足AR TB =AT RB ，试证明动点T 的轨迹过定点.4(2023·浙江绍兴·统考模拟预测)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的焦距为2，且经过点E1,32．(1)求椭圆C的方程；(2)若椭圆C内接四边形MNQP的对角线交于点T1,1，满足MTTQ=NTTP=3，试问：直线MN的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．11。
高考数学(简单版)-9圆锥曲线的共线比例-简单难度-讲义 (2)
圆锥曲线的共线比例知识讲解一、向量形式成比例问题由直线y kx m =+与椭圆方程22221x ya b+=联立得2122222(1)1km b x x k a b =-+22122221(2)1m b x x k a b-=+设P 点为(0,)t ，则1212(3)()(4)x x PA PB y t y t λλλ=⎧=⇔⎨-=-⎩（3）（4）是等价的，我们在椭圆的问题上只选择（3）运用 将（3）代入（1）得222222(1)(5)1km b x k a b λ+=-+将（3）代入（2）得22222221(6)1m b x k a b λ-=+2(5)/(6)得222222222222222222212()(1)()()111()(1)km k km b a b b k m k ma b b a b b λλ++=-⋅=+-+- 故22222222222222222212()12()()111()(1)km k km b a b b k m k m a b b a b b λλ+++=-⋅=+-+- 成比例的问题主要就是消去参数12,x x ，求出,,,,a b k m λ的关系式二、线段类成比例设1122(,),(,),(0,),(,0)A x y B x y P t Q s12AP BQ y t y λλ=⇔-=- 12AP BP x x λλ=⇔=- 212()BP AB x x x λλ=⇔-=- 12AQ BQ y y λλ=⇔=- 112()AQ AB y y y λλ=⇔=-线段成比例主要利用相似转化为12,x x 或是12,y y 成比例的关系上，慎用弦长公式求线段长，计算量比较大.三、共线类问题方法：共线问题可以用向量PA PB λ=或斜率相等来解答.四、向量的线性表示问题解决方法：向量的线性表示问题的形式为OP OA OB λμ=+,通常P 为圆锥曲线上一点，解题思路是利用P 的坐标满足圆锥曲线方程而建立等式，解决问题经典例题一．选择题（共6小题）1．（2018•双流区模拟）已知F是椭圆：＞＞的左焦点，经过原点的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若|PF|=2|QF|，且∠PFQ=120°，则椭圆E的离心率为（）A．B．C．D．2．（2018•宝鸡二模）已知P是椭圆上一定点，F1、F2是椭圆两个焦点，若∠PF1F2=60°，，则椭圆离心率为（）A．B．C．D．3．（2018•西安二模）已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足|PA|=m|PB|，当m取最大值时，点P恰好在以A、B为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．+1 D．﹣14．（2018•黑龙江模拟）已知抛物线C：y2=16x，焦点为F，直线l：x=﹣1，点A∈l，线段AF与抛物线C的交点为B，若|FA|=5|FB|，则|FA|=（）A．B．35C．D．405．（2018•惠州模拟）已知F是抛物线x2=4y的焦点，P为抛物线上的动点，且A 的坐标为（0，﹣1），则的最小值是（）A．B．C．D．6．（2018•聊城二模）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，若射线2x﹣y ﹣2=0（x≤1）与C，l分别交于P，Q两点，且|PQ|=λ|PF|，则实数λ的值为（）A．B．C．2D．5二．填空题（共3小题）7．（2018•安庆二模）设抛物线x2=4y的焦点为F，点A，B在抛物线上，且满足，若，则λ的值为．8．（2018•西宁一模）已知抛物线C：y2=6x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于两点A，B，交抛物线的准线于点C，若，则|FB|=．9．（2018•德阳模拟）已知点P是椭圆＞＞上的一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，已知∠F1PF2=120°，且|PF1|=3|PF2|，则椭圆的离心率为．三．解答题（共4小题）10．（2016•全国）过椭圆C：+=1右焦点F的直线l交C于两点A（x1，y1），B（x2，y2），且A不在x轴上．（Ⅰ）求|y1y2|的最大值；（Ⅱ）若=，求直线l的方程．11．（2018•揭阳一模）已知A是椭圆T：上的动点，点P（0，），点C与点A关于原点对称．（I）求△PAC面积的最大值；（II）若射线AP、CP分别与椭圆T交于点B、D，且=m，=n，证明：m+n为定值．12．（2018•全国）双曲线﹣=1，F1、F2为其左右焦点，C是以F2为圆心且过原点的圆．（1）求C的轨迹方程；（2）动点P在C上运动，M满足=2，求M的轨迹方程．13．（2018•沈阳三模）已知抛物线C1：x2=2py（p＞0）过点A（2，1），且它的焦点F也是椭圆C2：（a＞b＞0）的一个焦点，椭圆上的点到焦点F 的最小值为2．（Ⅰ）求抛物线C1和椭圆C2的标准方程；（Ⅱ）设M，N是抛物线C1上的两个动点，且=﹣4．①求证：直线MN必过定点，并求定点Q坐标；②直线MN交椭圆C2于R、S两点，当S△FNS最大时，求直线MN的方程．。
运用向量破解圆锥曲线中的夹角与共线问题
运用向量破解圆锥曲线中的夹角与共线问题
１．利用向量解决两直线的平行或点共线问题
证明两直线平行有两种方法：一是利用ａ与ｂ共线的充要条件，即当且仅当存在实数λ，使ａ＝λｂ成立；二是利用向量的坐标形式，即利用两个向量ａ＝（ｘ₁，ｙ₁），ｂ＝（ｘ₂，ｙ₂）共线的充要条件ｘ₁ｙ₂－ｘ₂ｙ₁＝０解答，其中，ａ，ｂ为两直线的方向向量．证明三点共线可转化为两个向量共线来证明．
本题也可以利用两直线的斜率相等来证明Ａ₁Ｂ₁∥Ａ₂Ｂ₂，但计算量较大，这就是利用向量法解题的优势．
２．利用向量解决与角度有关的问题
利用向量的数量积可以判断这两个向量的夹角是锐角、直角还是钝角，进而可以判断三角形的形状和点与圆的位置关系．
本题也可以通过利用根与系数的关系确定圆心，然后计算圆心到点Ｇ的距离并和半径比较得解，由于要用到两点间的距离公式，出现根号，解题过程将十分复杂；但利用向量，通过判断数量积的正负来确定点和圆的位置关系，就不会出现根式，计算量大大减少．本题综合性较强，全面地考查了学生分析问题、解决问题的能力．。
妙用韦达定理解决圆锥曲线中向量共线问题
)2
−
16 3λ21
−
1=
所以 ( 16 −
(k01,26)所−λ22以k+2)13λ6221λ++2 +3322λ1λ611−++1131666λk212−−=136103k6.2k若2=−160k.−2λ同k22
= 0, 理 有: = 0,
则直线 l 过顶点, 不合题意所以 16 − k2 ̸= 0. 所以 λ1, λ2 是
± 2 , 故直线 AB 的斜率为 ± 2 .
3 类型二:
−→ PA
=
−−→ λ1P Q,
−−→ PB
3 =
−−→ λ2P Q
型
例 3 已知抛物线 C : y2 = 4x, 过抛物线焦点 F 的直 −−→ −→
线交 C 于 A, B 两点, 交准线 l 于点 M , 已知 M A = λ1AF , −−→ −−→ M B = λ2BF , 求 λ1 + λ2 的值.
y2 + m = −λ2y2, 整理得:
2
2
λ1
=
−1
−
my1
, λ2
=
−1
−
, my2
所以 k = ±2, 所以 Q(±2, 0).
解析 2 由题意知直线 l 得斜率 k 存在且不等(于零, )设
4
l 的方程: y = kx + 4, A (x1, y1), B (x2, y2), 则 Q
(
)
(
−
y1 + y2 = (1 + λ)y2,
和 到
与两根之积得 (y1 + y2)2 =
y1y2
到 y1y2 = λy22, (1 + λ)2
圆锥曲线题型总结：圆锥曲线与向量结合的三种题型【精品】
圆锥曲线题型总结：圆锥曲线与向量结合的三种题型【精品】圆锥曲线与向量的结合——圆锥曲线题型总结一、AP=λPB解题方法总结如下：设直线AB与圆锥曲线C相交于点A、B，P为直线AB上的任意一点，A（x1，y1），B（x2，y2），则可以得到AP=λPB。
利用这个条件，可以构造两根之和与两根之积，消去x2，然后利用XXX定理求解。
例如，对于题目“设双曲线C：2-x^2/a^2=y^2/b^2（a>b）与直线l：x+y=1相交于两个不同的点A、B．设直线l与y轴的交点为P，且PA=5PB．求a的值．”，可以按照上述方法解题。
首先联立方程组，得到两个交点的坐标。
然后利用构造两根之和与两根之积的方法，消去x2，得到一个关于a的方程。
最后利用XXX定理求解，得到a的值。
二、PR/PQ的取值范围对于题目“已知x-1>0（x>1），设直线y=-2x+m与y轴交于点P，与双曲线C相交于点Q、R，且|PQ|＜3/2|PR|，求PR/PQ的取值范围．”，可以采用向量的方法解题。
设向量PQ 为a，向量PR为b，则PR/PQ=|b|/|a|。
根据向量的定义，可以得到a和b的表达式。
然后根据题目中的条件，可以列出一个关于m的不等式。
最后，通过分析不等式的解集，可以得到PR/PQ的取值范围。
已知直线 $C:x-1=0$（$x\neq 1$ 且 $x\neq -1$），设直线$y=x+m$（$m>0$）与 $y$ 轴交于点 $P$，与轨迹 $C$ 相交于点 $Q$、$R$，且 $|PQ|<|PR|$，求 $m$ 的取值范围。
解法一：设 $Q(x_1,y_1)$，$R(x_2,y_2)$，联立$\begin{cases} 4x^2-y^2-4=PRx \\ 3x-2mx-m-4=0 \end{cases}$。
则可设 $x_2=-\lambda x_1$（$\lambda>1$），即 $-x_1x_2=\lambda x_2^2$，此时$y_P=x_P+m$，$y_Q=x_Q+m$。
高中数学圆锥曲线系统讲解第26讲《三点共线问题》练习及答案
第26讲 三点共线问题知识与方法在解析几何中，三点共线一般用斜率相等或向量共线来计算：（1）斜率相等：A 、B 、C 三点共线AB AC k k ⇔=或直线AB 、AC 的斜率都不存在； （2）向量共线：A 、B 、C 三点共线AB AC ⇔∥.典型例题1.（★★★★）已知曲线()()22:528C m x m y −+−=()m ∈R .（1）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的取值范围；（2）设4m =，曲线C 与y 轴的交点分别为A 、B （点A 位于点B 的上方），直线4y kx =+与曲线C 交于不同的两点M 、N ，直线1y =与直线BM 交于点G ，求证：A 、G 、N 三点共线. 【解析】（1）原曲线方程可化为2218852x y m m +=−−，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，所以88052m m >>−−，解得：752m <<. （2）当4m =时，曲线C 的方程为2228x y +=，由题意，()0,2A ，()0,2B −，联立22428kx x y y ++==⎧⎨⎩消去y 整理得：()222116240k x kx +++=，判别式()232230k ∆=−>，故232k >，设()11,4M x kx +，()22,4N x kx +，由韦达定理，1221621k x x k +=−+，1222421x x k =+， 直线MB 方程为1162kx y x x +=−，令1y =解得：1136x x kx =+，所以113,16x G kx ⎛⎫ ⎪+⎝⎭故113,16x AG kx ⎛⎫=−⎪+⎝⎭，()22,2AN x kx =+要证A 、G 、N 三点共线，只需证AG 与AN 共线， 即证()1221326x kx x kx +=−+成立，化简得：()121246kx x x x =−+①由1221621kx x k +=−+和1222421k x x k =+可得式①成立，所以A 、G 、N 三点共线.2.（★★★★）已知A 、B 分别为曲线222:1x C y a+=()0,0y a ≥>与x 轴的左、右两个交点，直线l 过点B且与x 轴垂直，S 为l 上异于B 的一点，连接AS 交曲线C 于点T . （1）若曲线C 为半圆，且T 为圆弧AB 的三等分点，求S 点的坐标；（2）如下图所示，M 是以BS 为直径的圆与线段BT 的交点，试问：是否存在a ，使得O 、M 、S 三点共线?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.【解析】（1）当曲线C 为半圆时，1a =，由点T 为圆弧AB 的三等分点得60BOT ∠=︒或120°，当60BOT ∠=︒时，30SAB ∠=︒，又2AB =，所以在SAB △中，tan303SB AB =⋅︒=，故S ⎛ ⎝⎭当120BOT ∠=︒时，同理可求得点S 的坐标为(，综上所述，点S 的坐标为⎛ ⎝⎭或( （2）解法1：由题意，(),0A a −，(),0B a ，直线AS 不与坐标轴垂直，可设其方程为x my a =−()0m ≠，联立2222x a x m a ay y ⎧⎨+==−⎩消去x 整理得：()22220m a y may +−=，解得：0y =或222mam a+，所以222T may m a =+，从而()2222T T a m a x my a m a −=−=+，故()2222222,a m a ma T m a m a ⎛⎫−⎪ ⎪++⎝⎭， 联立x x amy a ⎧⎨==−⎩解得：2a y m =，所以2,a S a m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为点M 在以BS 为直径的圆上，所以SM BM ⊥，又M 是圆与线段BT 的交点，所以SM BT ⊥，故O 、M 、S 三点共线等价于OS BT ⊥，即()222222221OS BTmam a k k m a m a am a +⋅=⋅=−−−+，结合0a >可解得：a =，所以存在a =，使得O 、M 、S 三点共线.解法2：显然AS 的斜率存在且大于0，故可设直线AS 的方程为()y k x a =+，联立()ay k x x a ⎧⎪⎨==+⎪⎩解得：2y ka =，所以(),2S a ka ，故直线OS 的斜率22OS ka k k a ==， 设()00,T x y ，则220021x y a +=，所以220021x y a=−，从而202200022222000011AT BT BTx y y y a k k k k x a x a x a x a a−⋅=⋅=⋅===−+−−− 所以直线BT 的斜率为21BT k a k=−，因为点M 是线段BT 与以BS 为直径的圆的交点，所以BT SM ⊥，从而211BT MS MS k k k a k=−⋅=−，故直线MS 的斜率为2MS k a k = 而O 、M 、S 三点共线等价于OS MS k k =，即22a k k =，所以a =，故存在a =使得O 、M 、S 三点共线.强化训练3.（★★★★）已知椭圆22154x y +=的右焦点为F ，设直线:5l x =与x 轴的交点为E ，过点F 的直线1l 与椭圆交于A 、B 两点，M 为线段EF 的中点.（1）若直线1l 的倾斜角为45°，求ABM △的面积S ；（2）过点B 作BN l ⊥于点N ，证明：A 、M 、N 三点共线.【解析】（1）由题意，()5,0E ，()1,0F ，()3,0M ，设()11,A x y ，()22,B x y ， 若直线1l 的倾斜角为45°，则其方程为1y x =−，联立221541x y y x =−⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 整理得：298160y y +−=，判别式()284916640∆=−⨯⨯−=故12121299ABM S FM y y y y =⋅⋅−=−==△.（2）证法1：当1l y ⊥轴时，易得A 、M 、N 三点都在x 轴上，故A 、M 、N 三点共线， 当1l 不与y 轴垂直时，设其方程为1x my =+，联立221541x y x my =+=+⎧⎪⎨⎪⎩ 消去x 整理得：()22458160m y my ++−=，易得判别式0∆>，由韦达定理，122845my y m +=−+，1221645y y m =−+()13,MA x y =−，因为()25,N y ，所以()22,MN y =，要证A 、M 、N 三点共线，只需证MA 与MN 共线，即证()12132x y y −=，即()121320x y y −−=，也即()1211320my y y +−−=，故只需证()121220my y y y −+=而()1212221682204545m my y y y m m m ⎛⎫⎛⎫−+=⋅−−⋅−= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以A 、M 、N 三点共线. 证法2：当1l y ⊥轴时，易得A 、M 、N 三点都在x 轴上，故A 、M 、N 三点共线， 当1l 不与y 轴垂直时，设其方程为1x my =+，联立221541x y x my =+=+⎧⎪⎨⎪⎩ 消去x 整理得：()22458160m y my ++−=，易得判别式0∆>，由韦达定理，122845m y y m +=−+，1221645y y m =−+ 由题意，()25,N y ， 所以()()()()()()112112121212111123213232232323AM MN y x y y my y y y my y y y k k x x x x −−−+−+−−=−===−−−− 而()1212228162204545m y y my y m m m ⎛⎫⎛⎫+−=⋅−−⋅−= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，故0AM MN k k −=，即AM MN k k =，所以A 、M 、N 三点共线.【反思】证明三点共线，常用证向量共线或证斜率相等的方法. 4.（★★★★）已知椭圆2222:1x y E a b+=()0a b >>的右焦点为F ，椭圆的上顶点和两个焦点的连线构成一.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线:l x my q =+()0m ≠与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，设点A 关于椭圆长轴的对称点为1A ，试求1A 、F 、B 三点共线的充要条件.【解析】（1）由题意，2222122a cc b a b c=⎧⎪⎪⋅⋅=⎨⎪⎪−=⎩，解得：2a =，b 1c =，故椭圆E 的标准方程为22143x y +=. （2）由（1）知()1,0F ，设()11,A x y ，()22,B x y ，则()111,A x y −()1111,FA x y =−−，()221,FB x y =−−，1A 、F 、B 三点共线的充要条件是1F A 与FB 共线，即()()()122111x y x y −=−−，整理得：()1221120x y x y y y +++=①联立22143x my q x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 整理得：()2223463120m y mqy q +++−=判别式()()()2222223643431248340m q m q m q ∆=−+−=+−>，所以22340m q +−>②，由韦达定理，122634mq y y m +=−+，212231234q y y m −=+，所以()()()()()()122112122112121221x y x y y y my q y my q y y y my y q y y +++=+++−+=+−+()()()()2222312166403434m q q mq m q m m −+−−−===++因为0m ≠，所以4q =，代入式②得：24m >，即2m > 故A 、F 、B 三点共线的充要条件是4q =且2m >.。
中学数学 圆锥曲线中向量共线问题的处理套路
圆锥曲线中向量共线问题的处理套路【前言】首先要了解在圆锥曲线中向量的一些基本形式：（1）单一共线型AP PB =λ(2)混合共线型,PA PQ PB PQ =λ=μ(3)点在曲线上OM OA OB =λ+μ(当+=1λμ时，M 、A 、B 三点共线，形如32OM OA OB =+),接下来从圆锥曲线的套路出发，结合向量的一些基本形式，探讨一下圆锥曲线中向量的处理套路。
套路一 参数转化为两点的纵标之比或横标之比此策略主要解决单一共线型，用三角形相似结合韦达定理将参数转化为两点的纵标之比或横标之比 【例题1】如图所示，已知圆()22:18C x y ++=，定点()1,0A ，M 为圆上动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足2AM AP =,0NP AM =,点N 的轨迹为曲线E （1）求曲线E 的方程（2）过定点()0,2F 的直线交曲线E 于不同的两点G 、H （点G 在点F 、H 之间），且满足FG FH =λ,求λ的取值范围。
【分析】求λ的取值范围，突破口在于将FG FH =λ转化为12=x x λ，可以直接用向量转化，也可以用三角相似转化。
下一步关键在于如何将λ和k联系，处理策略是()2121212x x x x +=γ++γ这样就建立了λ和k 联系，再利用k 的取值范围就能求出λ的范围。
【简析】（1）∵2AM AP =,0NP AM =.∴NP 为AM 的垂直平分线，∴NA NM =又∵CN NM +=∴2CN AN +=>∴动点N 的轨迹是以点()0C -1，，()1,0A 为焦点的椭圆，且椭圆长轴长为2a =，焦距222,1,1c a c b ====。
∴曲线E 的方程2212x y +=。
（3）当直线GH 斜率存在时，设直线GH 方程为2y kx =+，代入椭圆方程2212x y +=，得2214302k x kx ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，由0>∆得232k >。
解决圆锥曲线中的向量共线问题的一种新途径
解决圆锥曲线中的向量共线问题的一种新途径
作者：李勤月
来源：《数学教学通讯(教师阅读)》2008年第08期
圆锥曲线与平面向量的结合，是近几年高考试题的一个新方向，此类问题中，最让考生感到困惑的是有关共线向量问题，即就是通常所说的“λ”问题．因为这类问题的变量较多，它们之间的关系难以理解，思路也就难以找到．本文即将介绍的转移代入法是解决该类问题的一种有效而且思路比较清晰的方法，操作也很简单，很多疑难高考试题都可以用这种方法来解决．
在圆锥曲线中，转移代入法就是将动点的坐标表示成已知曲线上的点的坐标，然后将其代入已知曲线，使问题得到解决的一种方法．用转换代入法可以解决圆锥曲线中的求轨迹方程、共线系数的有关计算、判定向量的共线与垂直、求共线系数的取值范围等等．
1 求动点的轨迹方程
在求动点的轨迹方程时，我们通常会去寻找一些与动点相关的点，发现它们的坐标之间的关系，即就是用动点的坐标表示一些相关点的坐标，然后代入已知的曲线方程，求得动点的轨迹方程．
2 共线系数的有关计算
4 求共线系数的取值范围
在求共线系数的取值范围时，我们可以用共线系数去表示已知曲线上的点的坐标，通过已知曲线上的点的坐标的范围，求出共线系数的取值范围．
通过本文的分析论述可知，用转移代入法解决圆锥曲线中的向量共线问题，不仅思路清晰、操作简便，更突出的优点是它避免了直线与圆锥曲线中繁琐的解方程组的运算．
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。
热点4：共线向量问题-圆锥曲线高考热点终极破解
圆锥曲线高考考查热点分析热点四：共线向量问题1：如图所示，已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:22定点=++为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足N 点,0,2=⋅=的轨迹为曲线E.I ）求曲线E 的方程；II ）若过定点F （0，2）的直线交曲线E 于不同的两点G 、H （点G 在点F 、H 之间），且满足λ=，求λ的取值范围.解：（1）.0,2=⋅=AM ∴NP 为AM 的垂直平分线，∴|NA|=|NM|又.222||||,22||||>=+∴=+AN CN NM CN ∴动点N 的轨迹是以点C （－1，0），A （1，0）为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为,222=a焦距2c=2. .1,1,22===∴b c a ∴曲线E 的方程为.1222=+y x （2）当直线GH 斜率存在时，设直线GH 方程为,12,222=++=y x kx y 代入椭圆方程得.230.034)21(222>>∆=+++k kx x k 得由设),,(),,(2211y x H y x G)2(216213),1(21821422212221k k x x k k k k x x +=+=+-=+-=+则)2,()2,(,2211-=-∴=y x y x λλ 又,,2121x x x x =∴=∴λλ，)21(332)21(33221)2()1(2222+=+=++⇒kk k λλ.331.316214.316)21(3324,2322<<<++<∴<+<∴>λλλ解得k k .131,10<<∴<<λλ 又又当直线GH 斜率不存在，方程为.31,31,0===λFH FG x )1,31[,131的取值范围是即所求λλ<≤∴ 2：已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线214y x =的焦点，离心率为1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若1MA AF λ=，2MB BF λ= ，求证：1210λλ+=-.解：设椭圆C 的方程为22221x y a b+= （a ＞b ＞0）抛物线方程化为24x y =，其焦点为(0,1)，则椭圆C 的一个顶点为(0,1)，即 1b =由c e a ===，∴25a =，椭圆C 的方程为 2215x y +=（2）证明：右焦点(2,0)F ，设11220(,),(,),(0,)A x y B x y M y ，显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为 (2)y k x =-，代入方程2215x y += 并整理，得2222(15)202050k x k x k +-+-=∴21222015k x x k +=+，212220515k x x k -=+ 又110(,)MA x y y =-，220(,)MB x y y =-，11(2,)AF x y =--，22(2,)BF x y =--，而 1MA AF λ=， 2MB BF λ=，即110111(0,)(2,)x y y x y λ--=--，220222(0,)(2,)x y y x y λ--=--∴1112x x λ=-，2222x x λ=-，所以 121212121212122()2102242()x x x x x x x x x x x x λλ+-+=+==----++ 3、已知△OFQ 的面积S=26, 且m =•。
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题型五：共线向量问题解析几何中的向量共线，就是将向量问题转化为同类坐标的比例问题，再通过未达定理------同类坐标变换，将问题解决。
此类问题不难解决。
例题7、设过点D(0,3)的直线交曲线M ：22194x y +=于P 、Q 两点，且DP DQ l =uuu r uuu r ,求实数l 的取值范围。
分析：由DP DQ l =uuu r uuu r可以得到12123(3)x x y y l l ìï=ïíï=+-ïî，将P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),代人曲线方程，解出点的坐标，用l 表示出来。
解：设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),Q DP DQ l =uuu r uuu r\(x 1,y 1-3)=l (x 2,y 2-3) 即12123(3)x x y y l l ì=ïïíï=+-ïïî 方法一：方程组消元法又Q P 、Q 是椭圆29x +24y =1上的点\22222222194()(33)194x y x y l l l ìïï+=ïïïíï+-ï+=ïïïî消去x 2，可得222222(33)14y y l l l l +--=-即y 2=1356l l - 又Q －2£y 2£2， \－2£1356l l-£2 解之得：155λ≤≤ 则实数l 的取值范围是1,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦。
方法二：判别式法、韦达定理法、配凑法设直线PQ 的方程为：3,0y kx k =+≠，由2234936y kx x y =+⎧⎨+=⎩消y 整理后，得22(49)54450k x kx +++=P 、Q 是曲线M 上的两点22(54)445(49)k k ∴∆=-⨯+＝2144800k -≥即295k ≥ ① 由韦达定理得：1212225445,4949k x x x x k k+=-=++ 212121221()2x x x x x x x x +=++222254(1)45(49)k k λλ+∴=+ 即22223694415(1)99k k kλλ+==++ ② 由①得211095k <≤，代入②，整理得 236915(1)5λλ<≤+， 解之得155λ<< 当直线PQ 的斜率不存在，即0x =时，易知5λ=或15λ=。
总之实数l 的取值范围是1,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦。
方法总结：通过比较本题的第二步的两种解法，可知第一种解法，比较简单，第二种方法是通性通法，但计算量较大，纵观高考中的解析几何题，若放在后两题，很多情况下能用通性通法解，但计算量较大，计算繁琐，考生必须有较强的意志力和极强的计算能力；不用通性通法，要求考生必须深入思考，有较强的思维能力，在命题人设计的框架中，找出破解的蛛丝马迹，通过自己的思维将问题解决。
例题8：已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线241x y =的焦点，离心率为552． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若1λ=，2λ=，求21λλ+的值．分析：（07福建理科）如图，已知点F （1，0），直线l ：x ＝－1，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ ⋅=⋅（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线交轨迹C 于A 、B 两点，交直线l 于点M ，已知12,MA AF AF BF λλ==，求12λλ+的值。
小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力.满分14分. 解法一：（Ⅰ）设点()P x y ，，则(1)Q y -，，由QP QF FP FQ =得：(10)(2)(1)(2)x y x y y +-=-- ，，，，，化简得2:4C y x =.（Ⅱ）设直线AB 的方程为：1(0)x my m =+≠.设11()A x y ，，22()B x y ，，又21M m ⎛⎫--⎪⎝⎭，， 联立方程组241y x x my ⎧=⎨=+⎩，，，消去x 得：2440y my --=，2(4)120m ∆=-+>，故121244y y m y y +=⎧⎨=-⎩，． 由1MA AF λ= ，2MB BF λ=得：1112y y m λ+=-，2222y y mλ+=-，整理得： 1121my λ=--，2221my λ=--， 12122112m y y λλ⎛⎫∴+=--+ ⎪⎝⎭121222y y m y y +=--2424m m =--- 0=解法二：（Ⅰ）由QP QF FP FQ = 得：()0FQ PQ PF +=， ()()0PQ PF PQ PF ∴-+= ，220PQ PF ∴-= ，PQ PF ∴=所以点P 的轨迹C 是抛物线，由题意，轨迹C 的方程为：24y x =.（Ⅱ）由已知1MA AF λ= ，2MB BF λ=，得120λλ< . 则：12MA AF MB BFλλ=-.…………① 过点A B ，分别作准线l 的垂线，垂足分别为1A ，1B ，则有：11MA AA AFMB BB BF ==.…………②由①②得：12AF AFBF BFλλ-=，即120λλ+=.练习：设椭圆)0(12:222>=+a y a x C 的左、右焦点分别为1F 、2F ，A 是椭圆C 上的一点，且0212=⋅F F AF ，坐标原点O 到直线1AF 的距离为||311OF ． （1）求椭圆C 的方程；（2）设Q 是椭圆C 上的一点，过Q 的直线l 交x 轴于点)0,1(-P ，较y 轴于点M ，若2=，求直线l 的方程．山东2006理双曲线C 与椭圆22184x y +=有相同的焦点，直线y =x 3为C 的一条渐近线。
（I ） 求双曲线C 的方程；(II)过点P (0,4)的直线l ，交双曲线C 于A,B 两点，交x 轴于Q 点（Q 点与C 的顶点不重合）。
当12PQ QA QB λλ== ，且3821-=+λλ时，求Q 点的坐标。
解：（Ⅱ）解法一：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零。
设l 的方程：114,(,)y kx A x y =+，22(,)B x y则4(,0)Q k -1PQ QA λ=11144(,4)(,)x y k kλ∴--=+111111114444()44x k k x k k y y λλλλ⎧=--⎧⎪-=+⎪⎪∴⇒⎨⎨⎪⎪-==-⎩⎪⎩11)(,A x y 在双曲线C 上， ∴2121111616()10k λλλ+--= ∴222211161632160.3k k λλλ++--= ∴2221116(16)32160.3k k λλ-++-=同理有：2222216(16)32160.3k k λλ-++-= 若2160,k -=则直线l 过顶点，不合题意.2160,k ∴-≠12,λλ∴是二次方程22216(16)32160.3k x x k -++-=的两根. 122328163k λλ∴+==--24k ∴=，此时0,2k ∆>∴=±.∴所求Q 的坐标为(2,0)±.解法二：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零 设l 的方程，11224,(,),(,)y kx A x y B x y =+，则4(,0)Q k-. 1PQ QA λ= ，Q ∴分PA的比为1λ.由定比分点坐标公式得1111111111144(1)14401x x k k y y λλλλλλλ⎧⎧-==-+⎪⎪+⎪⎪→⎨⎨+⎪⎪=-=⎪⎪+⎩⎩下同解法一解法三：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零 设l 的方程：11224,(,),(,)y kx A x y B x y =+，则4(,0)Q k-. 12PQ QA QB λλ== ，111222444(,4)(,)(,)x y x y k k kλλ∴--=+=+.11224y y λλ∴-==，114y λ∴=-，224y λ=-， 又1283λλ+=-， 121123y y ∴+= 即12123()2y y y y +=将4y kx =+代入2213y x -=得 222(3)244830k y y k --+-=230k -≠ ，否则l 与渐近线平行。
212122224483,33k y y y y k k -∴+==--。
222244833233k k k -∴⨯=⨯-- 2k ∴=±(2,0)Q ∴±解法四：由题意知直线l 得斜率k 存在且不等于零，设l 的方程：4y kx =+，1122(,),(,)A x y B x y则4(,0)Q k -1PQ QA λ= ,11144(,4)(,)x y k kλ∴--=+。
∴1114444k kx x kλ-==-++ 同理1244kx λ=-+1212448443kx kx λλ+=--=-++.即 2121225()80k x x k x x +++=（*）又22413y kx y x =+-= 消去y 得22(3)8190k x kx ---=.当230k -=时，则直线l 与双曲线得渐近线平行，不合题意，230k -≠。
由韦达定理有：12212283193k x x k x x k +=-=-- 代入（*）式得24,2k k ==±∴所求Q 点的坐标为(2,0)±。
练习：已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线24x y =的焦点，离心率等于5。
（1）求椭圆C 的标准方程；（2）点P 为椭圆上一点，弦PA 、PB 分别过焦点F 1、F 2，（PA 、PB 都不与x 轴垂直，其点P 的纵坐标不为0），若111222,PF F A PF F B λλ== ，求12λλ+的值。
解：（1）设椭圆C 的方程为：22221(0)x y a b a b +=>>，则b=1，由222411155b e a =-=-=，得25a =，则椭圆的方程为：2215x y += （2）由2215x y +=得：12(2,0),(2,0)F F -，设001122(,),(,),(,)P x y A x y B x y ， 有111222,PF F A PF F B λλ== 得：0011100222(2,)(2,),(2,)(2,)x y x y x y x y λλ---=+--=-解得：001212,y yy y λλ=-=-， 根据PA 、PB 都不与x 轴垂直，且00y ≠，设直线PA 的方程为：00(2)2y y x x =++，代人2215x y +=，整理后，得：222200000(2)54(2)0x y y y x y y ⎡⎤++-+-=⎣⎦ 根据韦达定理，得：20122(2)5y y y x y -=++，则01220(2)5y y x y -=++， 从而，220101(2)5y x y y λ=-=++ 同理可求220202(2)5y x y y λ=-=-+ 则22222212000000(2)5(2)52(5)4x y x y x y λλ+=+++-+=++由00(,)P x y 为椭圆2215x y +=上一点得：220055x y +=，则1218λλ+=， 故12λλ+的值为18.。