高考圆锥曲线题型之共线向量问题

题型五：共线向量问题
解析几何中的向量共线，就是将向量问题转化为同类坐标的比例问题，再通过未达定理------同类坐标变换，将问题解决。

此类问题不难解决。

例题7、设过点D(0,3)的直线交曲线M ：22
194
x y +
=于P 、Q 两点，且DP DQ l =uuu r uuu r ,求实数l 的取值范围。

分析：由DP DQ l =uuu r uuu r
可以得到121
23(3)x x y y l l ìï=ïí
ï=+-ïî，将P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),代人曲线方程，解出点的坐标，用l 表示出来。

解：设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),
Q DP DQ l =uuu r uuu r
\(x 1,y 1-3)=l (x 2,y 2-3) 即121
23(3)x x y y l l ì=ïïíï=+-ïïî 方法一：方程组消元法
又Q P 、Q 是椭圆29x +2
4
y =1上的点
\22222222
194()(33)194x y x y l l l ìïï+=ïïïíï+-ï+=ïïïî
消去x 2，
可得222
222
(33)14
y y l l l l +--=-
即y 2=
135
6l l - 又Q －2£y 2£2， \－2£
135
6l l
-£2 解之得：
1
55
λ≤≤ 则实数l 的取值范围是1,55⎡⎤
⎢⎥⎣⎦。

方法二：判别式法、韦达定理法、配凑法
设直线PQ 的方程为：3,0y kx k =+≠，
由22
3
4936
y kx x y =+⎧⎨
+=⎩消y 整理后，得
22(49)54450k x kx +++=
P 、Q 是曲线M 上的两点
22(54)445(49)k k ∴∆=-⨯+＝2144800k -≥
即2
95k ≥ ① 由韦达定理得：
121222
5445
,4949k x x x x k k
+=-
=++ 21212
1221()2x x x x x x x x +=++
222
254(1)45(49)k k λλ
+∴=
+ 即2222
3694415(1)99k k k
λλ+==++ ② 由①得211
095
k <
≤，代入②，整理得 2
369
15(1)5λλ<
≤+， 解之得
1
55
λ<< 当直线PQ 的斜率不存在，即0x =时，易知5λ=或15
λ=。

总之实数l 的取值范围是1,55⎡⎤
⎢⎥⎣⎦。

方法总结：通过比较本题的第二步的两种解法，可知第一种解法，比较简单，第二种方法是通性通法，但计算量较大，纵观高考中的解析几何题，若放在后两题，很多情况下能用通性通法解，但计算量较大，计算繁琐，考生必须有较强的意志力和极强的计算能力；不用通性通法，要求考生必须深入思考，有较强的思维能力，在命题人设计的框架中，找出破解的蛛丝马迹，通过自己的思维将问题解决。

例题8：已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线24
1x y =的焦点，离心率为
5
5
2． （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若1λ=，
2λ=，求21λλ+的值．
分析：
（07福建理科）如图，已知点F （1，0），直线l ：x ＝－1，P 为平面上的动点，过P 作
直线l 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ ⋅=⋅
（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）过点F 的直线交轨迹C 于A 、B 两点，交直线l 于点M ，已知
12,MA AF AF BF λλ==
，求12λλ+的值。

小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力.满分14分. 解法一：
（Ⅰ）设点()P x y ，，则(1)Q y -，，由QP QF FP FQ =
得：
(10)(2)(1)(2)x y x y y +-=-- ，，，，，化简得2:4C y x =.
（Ⅱ）设直线AB 的方程为：
1(0)x my m =+≠.
设11()A x y ，，22()B x y ，，又21M m ⎛
⎫--
⎪⎝⎭
，， 联立方程组241y x x my ⎧=⎨=+⎩
，
，，消去x 得：
2440y my --=，2(4)120m ∆=-+>，故
1212
44y y m y y +=⎧⎨
=-⎩，． 由1MA AF λ= ，2MB BF λ=
得：
1112y y m λ+
=-，2222
y y m
λ+=-，整理得： 1121my λ=--
，22
2
1my λ=--， 12122112m y y λλ⎛⎫
∴+=--
+ ⎪⎝⎭
12
1222y y m y y +=--
2424
m m =--- 0=
解法二：
（Ⅰ）由QP QF FP FQ = 得：()0FQ PQ PF +=
， ()()0PQ PF PQ PF ∴-+= ，
22
0PQ PF ∴-= ，
PQ PF ∴=
所以点P 的轨迹C 是抛物线，由题意，轨迹C 的方程为：24y x =.
（Ⅱ）由已知1MA AF λ= ，2MB BF λ=
，得120λλ< . 则：1
2
MA AF MB BF
λλ=-
.…………① 过点A B ，分别作准线l 的垂线，垂足分别为1A ，1B ，
则有：11MA AA AF
MB BB BF ==
.…………②
由①②得：12AF AF
BF BF
λλ-=
，即120λλ+=.
练习：设椭圆)0(12
:2
22>=+
a y a x C 的左、右焦点分别为1F 、2F ，A 是椭圆C 上的一点，且0212=⋅F F AF ，坐标原点O 到直线1AF 的距离为||3
1
1OF ． （1）求椭圆C 的方程；
（2）设Q 是椭圆C 上的一点，过Q 的直线l 交x 轴于点)0,1(-P ，较y 轴于点M ，若
2=，求直线l 的方程．
山东2006理
双曲线C 与椭圆22
184
x y +=有相同的焦点，直线y =x 3为C 的一条渐近线。

（I ） 求双曲线C 的方程；
(II)过点P (0,4)的直线l ，交双曲线C 于A,B 两点，交x 轴于Q 点（Q 点与C 的顶点不重合）。

当12PQ QA QB λλ== ，且3
8
21-=+λλ时，求Q 点的坐标。

解：
（Ⅱ）解法一：
由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零。

设l 的方程：114,(,)y kx A x y =+，22(,)B x y
则4(,0)Q k -
1PQ QA λ=
11144
(,4)(,)x y k k
λ∴--=+
1
111
111
14444()44x k k x k k y y λλλλ⎧
=--⎧⎪-=+⎪⎪∴⇒⎨⎨
⎪⎪-==-⎩⎪⎩
11)(,A x y 在双曲线C 上， ∴
21211
11616
()10k λλλ+--= ∴22
2211161632160.3
k k λλλ++-
-= ∴2221116
(16)32160.3
k k λλ-++-=
同理有：22
22216(16)32160.3
k k λλ-++-= 若2160,k -=则直线l 过顶点，不合题意.2160,k ∴-≠
12,λλ∴是二次方程222
16(16)32160.3
k x x k -++-
=的两根. 122328
163
k λλ∴+=
=--
24k ∴=，
此时0,2k ∆>∴=±.
∴所求Q 的坐标为(2,0)±.
解法二：
由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零 设l 的方程，11224,(,),(,)y kx A x y B x y =+，则4
(,0)Q k
-
. 1PQ QA λ= ，
Q ∴分PA
的比为1λ.
由定比分点坐标公式得
111
11
11111144(1)14401x x k k y y λλλλλλλ⎧⎧
-==-+⎪⎪+⎪⎪→⎨⎨
+⎪⎪=-
=⎪⎪+⎩⎩
下同解法一
解法三：
由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零 设l 的方程：11224,(,),(,)y kx A x y B x y =+，则4
(,0)Q k
-
. 12PQ QA QB λλ== ，
111222444
(,4)(,)(,)x y x y k k k
λλ∴--=+=+.
11224y y λλ∴-==，
114y λ∴=-
，22
4y λ=-， 又128
3
λλ+=-
， 121123
y y ∴
+= 即12123()2y y y y +=
将4y kx =+代入2
2
13
y x -=得 222(3)244830k y y k --+-=
230k -≠ ，否则l 与渐近线平行。

2
12122224483,33k y y y y k k -∴+==--。

2
22
244833233k k k -∴⨯=⨯-- 2k ∴=±
(2,0)Q ∴±
解法四：
由题意知直线l 得斜率k 存在且不等于零，设l 的方程：4y kx =+，1122(,),(,)A x y B x y
则4
(,0)Q k -
1PQ QA λ= ,
11144
(,4)(,)x y k k
λ∴--=+。

∴1114444k kx x k
λ-
=
=-++ 同理
124
4
kx λ=-
+
1212448
443
kx kx λλ+=-
-=-++.
即 2121225()80k x x k x x +++=
（*）
又
2
2
4
1
3
y kx y x =+-= 消去y 得22
(3)8190k x kx ---=.
当2
30k -=时，则直线l 与双曲线得渐近线平行，不合题意，2
30k -≠。

由韦达定理有：
122
1228319
3k x x k x x k +=
-=-
- 代入（*）式得
24,2k k ==±
∴所求Q 点的坐标为(2,0)±。

练习：已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线2
4x y =的焦
点，离心率等于
5。

（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）点P 为椭圆上一点，弦PA 、PB 分别过焦点F 1、F 2，（PA 、PB 都不与x 轴垂直，其点
P 的纵坐标不为0），若111222,PF F A PF F B λλ== ，求12λλ+的值。

解：（1）设椭圆C 的方程为：22221(0)x y a b a b +=>>，则b=1，由222411155b e a =-=-=，
得2
5a =，则椭圆的方程为：2
215
x y += （2）由2
215
x y +=得：12(2,0),(2,0)F F -，设001122(,),(,),(,)P x y A x y B x y ， 有111222,PF F A PF F B λλ== 得：
0011100222(2,)(2,),(2,)(2,)x y x y x y x y λλ---=+--=-
解得：001212
,y y
y y λλ=-
=-， 根据PA 、PB 都不与x 轴垂直，且00y ≠，设直线PA 的方程为：0
0(2)2
y y x x =
++，代人2215
x y +=，整理后，得：2222
00000(2)54(2)0x y y y x y y ⎡⎤++-+-=⎣⎦ 根据韦达定理，得：2
0122
(2)5y y y x y -=++，则01220(2)5y y x y -=++， 从而，220
101
(2)5y x y y λ=-
=++ 同理可求220
202
(2)5y x y y λ=-
=-+ 则2
2
2
2
2
2
12000000(2)5(2)52(5)4x y x y x y λλ+=+++-+=++
由00(,)P x y 为椭圆2
215
x y +=上一点得：220055x y +=，
则1218λλ+=， 故12λλ+的值为18.。