应用时间序列第九章 条件异方差模型 王振龙第二版
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4 t 2 2 a
(1 1 ) 2 212 1
at2 0 1 at21 1 ht21 ht2 at2 0 ( 1 1 )at21 (at2 ht2 ) 1 (at21 ht21 ) 0 ( 1 1 )at21 vt 1vt 1
at2 0 1at21 r at2r et
LM N R 2 ~ 2 (r )
Ljung-Box Q统计量
Qr N N 2
i 1 r
i2 at2
N i
2
Q( r ) ~ ( r )
二、GARCH模型的定阶
如果检验表明时间序列存在低阶的ARCH效应，则可拟合相应阶 数的ARCH模型；如果检验表明时间序列存在较高阶的ARCH效应，则意 味着时间序列可能存在着GARCH效应,可以考虑拟合低阶GARCH模型， 比如GARCH(1,1)、GARCH(1,2)、GARCH(2,1)等。同时可以结合所拟合 的各阶模型的对数似然函数值与AIC值进行定阶。
一阶差分后残差图
一阶差分后残差平方图
异方差处理方法之一----方差齐性变换
使用场合：序列显示出显著的异方差性，且方差与 均值之间具有某种函数关系：
h(t )
2 t
其中和h(.) 是某个已知函数. 处理思路: 尝试寻找一个转换函数g(.)，使得经 转换后的变量满足方差齐性:
Var[ g ( xt )] 2
• 残差图 • 残差平方图
残差图
• 方差齐性残差图
• 递增型异方差残差图
残差平方图
• 原理
–残差序列的方差实际上就是它平方的期望。
Var( t ) E( t2 )
–所以考察残差序列是否方差齐性，主要是 考察残差平方序列是否平稳 。
例
• 直观考察美国1963年4月——1971年7月短 期国库券的月度收益率序列的方差齐性。
五、GARCH模型的适应性检验
et =
r i2 (et2 ) N- i
at
ˆ h t
Q (m) = N ( N + 2) å
BJ正态性检验统计量
T (e t ) =
m
~ c 2 (m - r - s )
i= 1
N ?sk (et ) 2 6
N ?ku (et ) 2 ~ c 2 (2) 24
六、GARCH模型的预测
实例分析：美国道琼斯混合指数(Dow Jones Composite Index)对数收益的ARCH效应
rt = log( DJCt ) - log(DJCt- 1 )
1.ARCH效应检验 (1)正态性检验
xt
yt
500 Series: R Sample 1/03/2000 12/29/2006 Observations 1824 Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability -0.075
3. 转换函数的确定：
g ( t )
1 h( t )
常用转换函数的确定
• 假定
t t h(t )
2 t
• 转换函数的确定
1 1 g (t ) h(t ) t g (t ) log(t )
条件异方差
收益的大的波动后面倾向于跟着一个大的波动，而 收益的小的波动后面倾向于跟着一个小的波动，出现了 所谓的波动聚集性（volatility clustering）效应。 这意味着前后期的波动之间存在着某种相关关系。 收益率序列本身不存在显著的自相关性，而收益的 绝对值序列和收益的平方序列都存在着异常显著的自相 关性。这说明收益序列的条件二阶矩是随时间变化的 （条件异方差），并且存在着前后期之间的相依性（记 忆性）。
ì ï ï ï ï xt = f (t , xt- 1 , xt- 2 , L ) + at ï ï ï a = he í t t t ï ï r s ï 2 2 2 ï h = a + a a + b h ï 邋 t 0 j t- j i t- i ï j= 1 i= 1 ï î
et ~ iidN (0,1)
AIC 2 log L 2m
三、GARCH模型的参数估计
GARCH模型的参数常用最大似然方法进行估计
2 a 1 log L { [log( 2 ) log( ht2 ) t2 } 2 ht t 1 T
四、利用GARCH模型估计条件方差
利用估计出的GARCH模型，由已观测到序列的平方序列 即可递推得到时间序列的条件方差的估计值。
.06 .04 .02 .00 -.02 -.04 -.06 -.08 -.10 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007
RESID01
.06 .04 .02 .00 -.02 -.04 -.06 -.08 -.10 2000M01
2000M07
2001M01 RESID01
ˆ2 (1) = E (h2 | y h T T+1
ht2 0 1 at21 1 ht21
T
2 2 ( 0 1 aT 1hT wk.baidu.com T )
)
2 = a 0 + a 1 aT + b1hT2 = hT2+ 1
ˆ 2 (2) = E ((a + a a 2 + b h2 ) | y ) h T 0 1 T+1 1 T+1 T = a 0 + a 1 hT2+ 1 + b1 hT2+ 1 2 ˆ = a 0 + (a 1 + b1 ) hT (1)
转换函数的确定原理
1. 转换函数g(xt)在t附近作一阶泰勒展开：
g ( xt ) g (t ) ( xt t ) g (t )
2. 求转换函数的方差：
Var[ g ( xt )] Var[ g ( t ) ( xt t ) g ( t )] [ g ( t )]2 h( t )
(4) ARCH序列的无条件四阶矩
2 1 2 2 1 E (at4 ) 3[ a ] 1 3 12
ARCH（r）序列的无条件期望为零，序列本身是无关 r 的，其平方序列存在自相关。当 i 1 时，存在有限 i 1 的无条件方差，是一个具有有限方差的宽平稳过程； ARCH（r）序列的分布是对称的；对于ARCH（1）序列当 312 1 时，具有尖峰厚尾特征。
E (at at k ) E ( E (at at k t 1 )) E (at k E (at t 1 )) 0
ARCH（r）序列的无条件方差 为
0
E (a )
2 a 2 t
0
1 i
i 1 r
(3) ARCH（r）序列的无条件三阶矩
E (at3 ) E ( E (at3 t 1 )) E (ht3 E ( t3 t 1 )) 0
2001M07
取值的分布呈现出“尖峰厚尾”现象
传统的ARMA模型不能刻画前面的现象， 比如：
AR(1)：
X t 1 X t 1 at
Xt 的条件期望和条件方差均是常数
2 2 假定 ht : Vart 1 ( X t ) Et 1 (at ) 不是常数
这个条件方差的最简单设定是将其残差的方差看成是一个 AR(1)过程，即
3．ARCH模型与ARMA的关系
a 0 i a
2 t i 1
r
2 t i
vt
vt = a - h = h (e - 1)
ARCH模型形式上是一个 a t2 的AR(r)模型
2 t
2 t
2 t
2 t
金融时间序列: Y
非正态分布特点：厚尾， 尖峰
波动率聚类性：条件方差的时变性 条件异方 差检验
ht2 : Vart 1 ( X t ) Et 1 (at 2 ) 0 1at21
或
at2 0 1at21 vt
vt 在实际操作中直接设为白噪声过程
ARCH模型
Auto regressive Conditional Heteroskedasticity 原理：通过构造残差平方序列的自回归模型来 拟合异方差函数。
at = ht et
ht2 0 i at2i j ht2 j
i 1 j 1 r s
et ~ iidN (0,1)
该模型同时刻画了时间序列的条件一阶矩和条件二 阶矩的动态相依关系与变化规律。
9.2 条件异方差模型的建立
一、（G）ARCH效应的检验
拉格郎日乘子法（LM检验）
2 ˆ hT (3) = ...
0 0 s 1 ˆ 2 2 ˆ hT s 1 1 hT 1 1 ( ) 1 ( ) 1 1 1 1
当 程
1 1 1
时，条件方差的多期预测收敛到过
at
的无条件方差。
GARCH（1,1）模型
h 0 a
2 t
2 1 t 1
h
2 1 t 1
GARCH（1,1）序列的无条件方差为
0 E (a ) 1 1 1
2 a 2 t
1 1 1
GARCH（1,1）序列的无条件四阶矩
1 ( 1 1 ) 2 E (a ) 3[ ] 1 ( 1 1 ) 2 2 12
第九章 条件异方差模型
1900年路易·巴舍利耶（Louis Bachelier） 运用 分析赌博的方法用于研究股票、债券、期货和期权的特 征,提出证券价格遵循随机游走,即布朗运动(Brownian Motion)。从此,对金融资产价格形成机制的研究成为整 个金融学的焦点,产生了一系列辉煌的理论:市场有效性 理论,市场均衡理论,资本资产定价理论以及期权定价理 论等 在金融市场上,投资者需要估计资产的风险期望收益 率以及受益率波动的范围(置信区间),银行和其他金融机 构要确保资产价值不跌破破产下限,这些评估都离不开对 资产收益率波动性的准确度量和预测。波动率的估计模 型在过去的几十年里已成为金融市场计量经济学中最为 活跃的研究领域之一
在模型残差中 的体现: at
非正态分布特点：厚尾， 尖峰
at2表现出相关性
ht2 vart 1 ( yt ) Et 1 (at2 )
GARCH 模型结构
• 使用场合
– ARCH模型实际上适 用于异方差函数短期 自相关过程 – GARCH模型实际上 适用于异方差函数长 期自相关过程
• 模型结构
2 t 2 t
at t 1 ~ iidN (0, h )
序列的条件方差是一个随时间变化的量(即条件异方 差)，这个随时间变化的条件方差是序列的过去有限项平 方的线性组合(即自回归)，因此，该模型称为自回归条件 异方差模型。
2．ARCH序列的统计特性
(1) ARCH（r）序列的无条件期望 E (at ) E ( E (at t 1 )) E ( E (ht t t 1 )) (2) ARCH（r）序列的协方差 E (ht E ( t ))
ARCH(r)模型结构：
x f (t , x , x ,) a t t 1 t 2 t at ht et r ht2 0 j at2 j j 1
其中假定et~iidN(0,1).
E (at t 1 ) 0 Var(at t 1 ) h
vt at2 ht2 ht2 ( t2 1)
vt GARCH（1,1）模型形式上是一个 a t 的ARMA(1,1)模型
2
ARMA(n,m)-GARCH(r,s)模型
X t 0 1 X t 1 2 X t 2 ... n X t n at 1 at 1 2 at 2 ... m at m
异方差的定义: 如果随机误差序列的方差会随着时间的变化 而变化，这种情况被称作为异方差。即
Var( t ) h(t )
异方差的影响: 忽视异方差的存在会导致残差的方差会被 严重低估，继而参数显著性检验容易犯存伪错 误，这使得参数的显著性检验失去意义，最终 导致模型的拟合精度受影响。
异方差直观诊断
(1 1 ) 2 212 1
at2 0 1 at21 1 ht21 ht2 at2 0 ( 1 1 )at21 (at2 ht2 ) 1 (at21 ht21 ) 0 ( 1 1 )at21 vt 1vt 1
at2 0 1at21 r at2r et
LM N R 2 ~ 2 (r )
Ljung-Box Q统计量
Qr N N 2
i 1 r
i2 at2
N i
2
Q( r ) ~ ( r )
二、GARCH模型的定阶
如果检验表明时间序列存在低阶的ARCH效应，则可拟合相应阶 数的ARCH模型；如果检验表明时间序列存在较高阶的ARCH效应，则意 味着时间序列可能存在着GARCH效应,可以考虑拟合低阶GARCH模型， 比如GARCH(1,1)、GARCH(1,2)、GARCH(2,1)等。同时可以结合所拟合 的各阶模型的对数似然函数值与AIC值进行定阶。
一阶差分后残差图
一阶差分后残差平方图
异方差处理方法之一----方差齐性变换
使用场合：序列显示出显著的异方差性，且方差与 均值之间具有某种函数关系：
h(t )
2 t
其中和h(.) 是某个已知函数. 处理思路: 尝试寻找一个转换函数g(.)，使得经 转换后的变量满足方差齐性:
Var[ g ( xt )] 2
• 残差图 • 残差平方图
残差图
• 方差齐性残差图
• 递增型异方差残差图
残差平方图
• 原理
–残差序列的方差实际上就是它平方的期望。
Var( t ) E( t2 )
–所以考察残差序列是否方差齐性，主要是 考察残差平方序列是否平稳 。
例
• 直观考察美国1963年4月——1971年7月短 期国库券的月度收益率序列的方差齐性。
五、GARCH模型的适应性检验
et =
r i2 (et2 ) N- i
at
ˆ h t
Q (m) = N ( N + 2) å
BJ正态性检验统计量
T (e t ) =
m
~ c 2 (m - r - s )
i= 1
N ?sk (et ) 2 6
N ?ku (et ) 2 ~ c 2 (2) 24
六、GARCH模型的预测
实例分析：美国道琼斯混合指数(Dow Jones Composite Index)对数收益的ARCH效应
rt = log( DJCt ) - log(DJCt- 1 )
1.ARCH效应检验 (1)正态性检验
xt
yt
500 Series: R Sample 1/03/2000 12/29/2006 Observations 1824 Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability -0.075
3. 转换函数的确定：
g ( t )
1 h( t )
常用转换函数的确定
• 假定
t t h(t )
2 t
• 转换函数的确定
1 1 g (t ) h(t ) t g (t ) log(t )
条件异方差
收益的大的波动后面倾向于跟着一个大的波动，而 收益的小的波动后面倾向于跟着一个小的波动，出现了 所谓的波动聚集性（volatility clustering）效应。 这意味着前后期的波动之间存在着某种相关关系。 收益率序列本身不存在显著的自相关性，而收益的 绝对值序列和收益的平方序列都存在着异常显著的自相 关性。这说明收益序列的条件二阶矩是随时间变化的 （条件异方差），并且存在着前后期之间的相依性（记 忆性）。
ì ï ï ï ï xt = f (t , xt- 1 , xt- 2 , L ) + at ï ï ï a = he í t t t ï ï r s ï 2 2 2 ï h = a + a a + b h ï 邋 t 0 j t- j i t- i ï j= 1 i= 1 ï î
et ~ iidN (0,1)
AIC 2 log L 2m
三、GARCH模型的参数估计
GARCH模型的参数常用最大似然方法进行估计
2 a 1 log L { [log( 2 ) log( ht2 ) t2 } 2 ht t 1 T
四、利用GARCH模型估计条件方差
利用估计出的GARCH模型，由已观测到序列的平方序列 即可递推得到时间序列的条件方差的估计值。
.06 .04 .02 .00 -.02 -.04 -.06 -.08 -.10 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007
RESID01
.06 .04 .02 .00 -.02 -.04 -.06 -.08 -.10 2000M01
2000M07
2001M01 RESID01
ˆ2 (1) = E (h2 | y h T T+1
ht2 0 1 at21 1 ht21
T
2 2 ( 0 1 aT 1hT wk.baidu.com T )
)
2 = a 0 + a 1 aT + b1hT2 = hT2+ 1
ˆ 2 (2) = E ((a + a a 2 + b h2 ) | y ) h T 0 1 T+1 1 T+1 T = a 0 + a 1 hT2+ 1 + b1 hT2+ 1 2 ˆ = a 0 + (a 1 + b1 ) hT (1)
转换函数的确定原理
1. 转换函数g(xt)在t附近作一阶泰勒展开：
g ( xt ) g (t ) ( xt t ) g (t )
2. 求转换函数的方差：
Var[ g ( xt )] Var[ g ( t ) ( xt t ) g ( t )] [ g ( t )]2 h( t )
(4) ARCH序列的无条件四阶矩
2 1 2 2 1 E (at4 ) 3[ a ] 1 3 12
ARCH（r）序列的无条件期望为零，序列本身是无关 r 的，其平方序列存在自相关。当 i 1 时，存在有限 i 1 的无条件方差，是一个具有有限方差的宽平稳过程； ARCH（r）序列的分布是对称的；对于ARCH（1）序列当 312 1 时，具有尖峰厚尾特征。
E (at at k ) E ( E (at at k t 1 )) E (at k E (at t 1 )) 0
ARCH（r）序列的无条件方差 为
0
E (a )
2 a 2 t
0
1 i
i 1 r
(3) ARCH（r）序列的无条件三阶矩
E (at3 ) E ( E (at3 t 1 )) E (ht3 E ( t3 t 1 )) 0
2001M07
取值的分布呈现出“尖峰厚尾”现象
传统的ARMA模型不能刻画前面的现象， 比如：
AR(1)：
X t 1 X t 1 at
Xt 的条件期望和条件方差均是常数
2 2 假定 ht : Vart 1 ( X t ) Et 1 (at ) 不是常数
这个条件方差的最简单设定是将其残差的方差看成是一个 AR(1)过程，即
3．ARCH模型与ARMA的关系
a 0 i a
2 t i 1
r
2 t i
vt
vt = a - h = h (e - 1)
ARCH模型形式上是一个 a t2 的AR(r)模型
2 t
2 t
2 t
2 t
金融时间序列: Y
非正态分布特点：厚尾， 尖峰
波动率聚类性：条件方差的时变性 条件异方 差检验
ht2 : Vart 1 ( X t ) Et 1 (at 2 ) 0 1at21
或
at2 0 1at21 vt
vt 在实际操作中直接设为白噪声过程
ARCH模型
Auto regressive Conditional Heteroskedasticity 原理：通过构造残差平方序列的自回归模型来 拟合异方差函数。
at = ht et
ht2 0 i at2i j ht2 j
i 1 j 1 r s
et ~ iidN (0,1)
该模型同时刻画了时间序列的条件一阶矩和条件二 阶矩的动态相依关系与变化规律。
9.2 条件异方差模型的建立
一、（G）ARCH效应的检验
拉格郎日乘子法（LM检验）
2 ˆ hT (3) = ...
0 0 s 1 ˆ 2 2 ˆ hT s 1 1 hT 1 1 ( ) 1 ( ) 1 1 1 1
当 程
1 1 1
时，条件方差的多期预测收敛到过
at
的无条件方差。
GARCH（1,1）模型
h 0 a
2 t
2 1 t 1
h
2 1 t 1
GARCH（1,1）序列的无条件方差为
0 E (a ) 1 1 1
2 a 2 t
1 1 1
GARCH（1,1）序列的无条件四阶矩
1 ( 1 1 ) 2 E (a ) 3[ ] 1 ( 1 1 ) 2 2 12
第九章 条件异方差模型
1900年路易·巴舍利耶（Louis Bachelier） 运用 分析赌博的方法用于研究股票、债券、期货和期权的特 征,提出证券价格遵循随机游走,即布朗运动(Brownian Motion)。从此,对金融资产价格形成机制的研究成为整 个金融学的焦点,产生了一系列辉煌的理论:市场有效性 理论,市场均衡理论,资本资产定价理论以及期权定价理 论等 在金融市场上,投资者需要估计资产的风险期望收益 率以及受益率波动的范围(置信区间),银行和其他金融机 构要确保资产价值不跌破破产下限,这些评估都离不开对 资产收益率波动性的准确度量和预测。波动率的估计模 型在过去的几十年里已成为金融市场计量经济学中最为 活跃的研究领域之一
在模型残差中 的体现: at
非正态分布特点：厚尾， 尖峰
at2表现出相关性
ht2 vart 1 ( yt ) Et 1 (at2 )
GARCH 模型结构
• 使用场合
– ARCH模型实际上适 用于异方差函数短期 自相关过程 – GARCH模型实际上 适用于异方差函数长 期自相关过程
• 模型结构
2 t 2 t
at t 1 ~ iidN (0, h )
序列的条件方差是一个随时间变化的量(即条件异方 差)，这个随时间变化的条件方差是序列的过去有限项平 方的线性组合(即自回归)，因此，该模型称为自回归条件 异方差模型。
2．ARCH序列的统计特性
(1) ARCH（r）序列的无条件期望 E (at ) E ( E (at t 1 )) E ( E (ht t t 1 )) (2) ARCH（r）序列的协方差 E (ht E ( t ))
ARCH(r)模型结构：
x f (t , x , x ,) a t t 1 t 2 t at ht et r ht2 0 j at2 j j 1
其中假定et~iidN(0,1).
E (at t 1 ) 0 Var(at t 1 ) h
vt at2 ht2 ht2 ( t2 1)
vt GARCH（1,1）模型形式上是一个 a t 的ARMA(1,1)模型
2
ARMA(n,m)-GARCH(r,s)模型
X t 0 1 X t 1 2 X t 2 ... n X t n at 1 at 1 2 at 2 ... m at m
异方差的定义: 如果随机误差序列的方差会随着时间的变化 而变化，这种情况被称作为异方差。即
Var( t ) h(t )
异方差的影响: 忽视异方差的存在会导致残差的方差会被 严重低估，继而参数显著性检验容易犯存伪错 误，这使得参数的显著性检验失去意义，最终 导致模型的拟合精度受影响。
异方差直观诊断