全微分方程及积分因子

1.5 全微分方程及积分因子

一、全微分方程的定义及条件

则它的全微分为

是一个连续可微的函数设,),(y x U U =dy y

U dx x U dU ¶¶+¶¶=如果我们恰好碰见了方程

0),(),(=¶¶+¶¶dy y

y x U dx x y x U 就可以马上写出它的通积分

.

),(c y x U

=

定义1使得

若有函数),,(y x U dy

y x N dx y x M y x dU ),(),(),(+=则称微分方程)

1(,0),(),(=+dy y x N dx y x M 是全微分方程..),()1(c y x U =的通积分为此时如0

=+ydx xdy 0

)2()3(322=+++dy xy x dx y y x 0

)()(=+dy y g dx x f 是全微分方程.=)(xy d =+)(23xy y x d =+òò))()((y d y g x d x f d 1.全微分方程的定义

需考虑的问题(1) 方程(1)是否为全微分方程?

(2) 若(1)是全微分方程,怎样求解?

(3) 若(1)不是全微分方程,有无可能转化为全微分方程求解?2 方程为全微分方程的充要条件

定理1则方程

偏导数中连续且有连续的一阶域在一个矩形区和设函数,),(),(R y x N y x M )

1(,0),(),(=+dy y x N dx y x M 为全微分方程的充要条件是

).

2(,),(),(x y x N y y x M ¶¶=¶¶)1(,

0),(),(=+dy y x N dx y x M

证明“必要性”设(1)是全微分方程,使得

则有函数),,(y x U dy y

U dx x U y x dU ¶¶+¶¶=),(dy y x N dx y x M ),(),(+=故有),,(y x M x

U =¶¶),(y x N y U =¶¶从而从而有都是连续的和由于,22y x U x y U ¶¶¶¶¶¶,22y x U x y U ¶¶¶=¶¶¶故.),(),(x

y x N y y x M ¶¶=¶¶y

x U y N x y U y M ¶¶¶=¶¶¶¶¶=¶¶22

,

“充分性”，x

y x N y y x M ¶¶=¶¶),(),(若解这个方程得看作参数把出发从,,)5(y 满足

则需构造函数),,(y x U )

4(,

),(),(),(dy y x N dx y x M y x dU +=即应满足)5(),,(y x M x U =¶¶)6(),,(y x N y

U =¶¶ò+=).

(),(),(y dx y x M y x U j

,

)(的任意可微函数是这里y y j =¶¶y U 因此ò¶¶-=)7(),()(dx y x M y N dy y d j ,)7(无关的右端与下面证明x 的偏导数常等于零即对x 事实上]),([ò¶¶-¶¶dx y x M y N x ]),([ò¶¶¶¶-¶¶=dx y x M y

x x N )6(),,(y x N y U =¶¶即

同时满足使下面选择),6(),(U y j ò+¶¶dy y d dx y x M y )(),(j N =ò

+=).(),(),(y dx y x M y x U j

]),([ò¶¶¶¶-¶¶=dx y x M x y x N y

M x N ¶¶-¶¶=.0º积分之得

右端的确只含有于是,)7(,y ,]),([)(dy dx y x M y N y òò¶¶-=j 故ò=dx y x M y x U ),(),(,]),([dy dx y x M y

N òò¶¶-+(8)。

y x U 为全微分方程从而存在即)1(,),(ò¶¶-=)

7(),()(dx y x M y N dy y d j 注:若(1)为全微分方程,则其通积分为

为任常数c c dy dx y x M y N dx y x M ,]),([),(=¶¶-+òò

ò

二、全微分方程的求解

1 不定积分法

.,0),(),(10

若是进入下一步是否为全微分方程判断=+dy y x N dx y x M ò+=，

y dx y x M y x U )(),(),(20

j 求).(),(30y y x N y

U j 求由=¶¶例1验证方程0

)sin 2()(=-++dy y x dx y e x

是全微分方程,并求它的通解.

解:(,),(,)2sin .

x

M x y e y N x y x y =+=-这里(,)1M x y y

¶=¶所以故所给方程是全微分方程.满足

由于所求函数),(y x U ,y e x U x +=¶¶,sin 2y x y U -=¶¶积分得对将看作常数只要将由偏导数的定义x y e y x +,,ò++=)()(),(y dx y e y x U x j ).(y yx e x j ++=,),(x y x N ¶¶=

).

(),(y yx e y x U x j ++=应满足的方程为

得求偏导数关于对)(,),(y y y x U j y x dy

y d x sin 2)(-=+j 即y dy

y d sin 2)(-=j 积分后得:,

cos 2)(y y =j 故.

cos 2),(y yx e y x U x ++=从而方程的通积分为

.cos 2c y yx e x =++