2020年高考文科数学模拟试卷及答案(共五套)
2020年全国统一高考文科数学模拟试卷(新课标I)含答案解析
2020年全国统一高考数学模拟试卷（文科）（新课标I）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，4}，B={1，3，5}，则下列Venn图中阴影部分表示集合{3，5}的是（）A．B．C．D．2．若数据x1，x2，x3，…，x n的平均数为=5，方差σ2=2，则数据3x1+1，3x2+1，3x3+1，…，3x n+1的平均数和方差分别为（）A．5，2 B．16，2 C．16，18 D．16，93．“m＞3”是“曲线mx2﹣（m﹣2）y2=1为双曲线”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）A．24里B．48里C．96里D．192里5．已知双曲线C的渐近线方程为3x±2y=0，且焦点在x轴上，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．6．设曲线y=sinx（a∈R）上任一点（x，y）处切线斜率为g（x），则函数y=x2g（x）的部分图象可以为（）A．B． C．D．7．执行如图的程序，若输出的值为2，则输入的值构成的集合是（）A．{2}B．{1，2，﹣1，﹣2} C．{1，﹣1} D．{2，﹣2}8．圆x2+y2﹣2x+6y+5a=0关于直线y=x+2b成轴对称图形，则a﹣b的取值范围是（）A．（﹣∞，4）B．（﹣∞，0）C．（﹣4，+∞）D．（4，+∞）9．如图，在平面四边形ABCD中，AB=1，，，∠ABC=120°，∠DAB=75°，则CD=（）A．B． C． D．10．若x，y满足，则z=y﹣2|x|的最大值为（）A．﹣8 B．﹣4 C．1 D．211．某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的外接球的体积是（）A．12πB．48πC．4πD．32π12．已知函数f（x）=|2x+1+|在[﹣，3]上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．[0，1]B．[﹣1，1] C．[﹣1，2] D．（﹣∞，2]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设（i为虚数单位），则=_______．14．已知向量，且，则=_______．15．已知抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离为5，则△PFO的面积为_______．16．函数f（x）=sin2x在[﹣π，π]内满足的n的最大值是_______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．某市根据地理位置划分成了南北两区，为调查该市的一种经济作物A（下简称A作物）的生长状况，用简单随机抽样方法从该市调查了500处A作物种植点，其生长状况如表：生长指数 2 1 0 ﹣1地域南区空气质量好45 54 26 35空气质量差7 16 12 5 北区空气质量好70 105 20 25空气质量差19 38 18 5其中生长指数的含义是：2代表“生长良好”，1代表“生长基本良好”，0代表“不良好，但仍有收成”，﹣1代表“不良好，绝收”．（Ⅰ）估计该市空气质量差的A作物种植点中，不绝收的种植点所占的比例；（Ⅱ）能否有99%的把握认为“该市A作物的种植点是否绝收与所在地域有关”？（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该市A作物的种植点中，绝收种植点的比例？并说明理由．附：P（K2≥k）0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828．18．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，且AB=1，BC=2，∠ABC=60°，E为BC的中点，AA1⊥平面ABCD．（1）证明：平面A1AE⊥平面A1DE；（2）若DE=A1E，试求异面直线AE与A1D所成角的余弦值．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=（λ+1）S n+1（n∈N*，λ≠﹣2），且3a1，4a2，a3+13成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足a n b n=log4a n+1，求数列{b n}的前n项和T n．20．已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（I）求C的方程．（Ⅱ）若直线y=k（x﹣1）与曲线C交于R，S两点，问是否在x轴上存在一点T，使得当k变动时总有∠OTS=∠OTR？若存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=（其中k∈R，e是自然对数的底数），f′（x）为f（x）导函数．（Ⅰ）若k=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f′（1）=0，试证明：对任意x＞0，f′（x）＜恒成立．选修4-1：几何证明与选讲22．如图，在⊙O中，弦AF交直径CD于点M，弦的延长线交CD的延长线于点E，M、N分别是AF、AB的中点．（Ⅰ）求证：OE•ME=NE•AE；（Ⅱ）若，求∠E的大小．选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系xOy中，曲线C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ=（p∈R）．（1）求曲线C的参数方程及直线l的直角坐标方程；（2）设曲线C与直线l相交于点A、B，若点P为曲线C上一动点（异于点A、B），求△PAB面积的最大值．选修4-5：不等式选讲24．已知f（x）=|x﹣3|，g（x）=|x﹣k|（其中k≥2）．（Ⅰ）若k=4，求f（x）+g（x）＜9的解集；（Ⅱ）若∀x∈[1，2]，不等式f（x）﹣g（x）≥k﹣x恒成立，求实数k的值．2020年全国统一高考数学模拟试卷（文科）（新课标I）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，4}，B={1，3，5}，则下列Venn图中阴影部分表示集合{3，5}的是（）A．B．C．D．【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】结合已知条件即可求解．观察Venn图，得出图中阴影部分表示的集合，【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，4}，∴（∁A）={3，5，6}，∵B={1，3，5}，∴B∩（∁A）={3，5}．故选：B．2．若数据x1，x2，x3，…，x n的平均数为=5，方差σ2=2，则数据3x1+1，3x2+1，3x3+1，…，3x n+1的平均数和方差分别为（）A．5，2 B．16，2 C．16，18 D．16，9【考点】极差、方差与标准差．【分析】由平均数和方差的性质得数据3x1+1，3x2+1，3x3+1，…，3x n+1的平均数为，方差为32•σ2．【解答】解：∵x1，x2，x3，…，x n的平均数为5，∴=5，∴+1=3×5+1=16，∵x1，x2，x3，…，x n的方差为2，∴3x1+1，3x2+1，3x3+1，…，3x n+1的方差是32×2=18．故选：C．3．“m＞3”是“曲线mx2﹣（m﹣2）y2=1为双曲线”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合双曲线的定义进行判断即可．【解答】解：若曲线mx2﹣（m﹣2）y2=1为双曲线，则对应的标准方程为，则＞0，即m（m﹣2）＞0，解得m＞2或m＜0，故“m＞3”是“曲线mx2﹣（m﹣2）y2=1为双曲线”的充分不必要条件，故选：A4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）A．24里B．48里C．96里D．192里【考点】等比数列的前n项和．【分析】由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，由求和公式可得首项，可得答案．【解答】解：由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，由题意和等比数列的求和公式可得=378，解得a1=192，∴第此人二天走192×=96步故选：C5．已知双曲线C的渐近线方程为3x±2y=0，且焦点在x轴上，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），求得渐近线方程，由题意可得=，运用点到直线的距离公式，解方程可得a=4，b=6，进而得到双曲线的方程．【解答】解：设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），可得渐近线方程为y=±x，由题意可得=，设一个焦点为（c，0），可得=6，可得c=2，即a2+b2=52，解得a=4，b=9，则双曲线的方程为﹣=1．故选：D．6．设曲线y=sinx（a∈R）上任一点（x，y）处切线斜率为g（x），则函数y=x2g（x）的部分图象可以为（）A．B． C．D．【考点】函数的图象；利用导数研究函数的单调性．【分析】求导y′=cosx，从而可得y=x2g（x）=x2cosx，从而判断．【解答】解：∵y=sinx，∴y′=cosx，由导数的几何意义知，g（x）=cosx，故y=x2g（x）=x2cosx，故函数y=x2g（x）是偶函数，故排除A，D；又∵当x=0时，y=0，故排除C，故选B．7．执行如图的程序，若输出的值为2，则输入的值构成的集合是（）A．{2}B．{1，2，﹣1，﹣2} C．{1，﹣1} D．{2，﹣2}【考点】程序框图．【分析】由框图知程序功能是计算并输出y=的值，由题意分类讨论即可得解．【解答】解：由框图知程序功能是计算并输出y=的值，当x＞0时，令x2﹣x=2，解得x=2或﹣1（舍去）；当x＜0时，令x2+x=2，解得x=﹣2或1（舍去）；故输入的值构成的集合是：{﹣2，2}．故选：D．8．圆x2+y2﹣2x+6y+5a=0关于直线y=x+2b成轴对称图形，则a﹣b的取值范围是（）A．（﹣∞，4）B．（﹣∞，0）C．（﹣4，+∞）D．（4，+∞）【考点】直线与圆相交的性质．【分析】由题意知，圆心在直线上，解出b，再利用圆的半径大于0，解出a＜2，从而利用不等式的性质求出a﹣b的取值范围．【解答】解：∵圆x2+y2﹣2x+6y+5a=0关于直线y=x+2b成轴对称图形，∴圆心（1，﹣3）在直线y=x+2b上，故﹣3=1+2b，∴b=﹣2．对于圆x2+y2﹣2x+6y+5a=0，有4+36﹣20a＞0，∴a＜2，a﹣b=a+2＜4，故选A．9．如图，在平面四边形ABCD中，AB=1，，，∠ABC=120°，∠DAB=75°，则CD=（）A．B． C． D．【考点】解三角形．【分析】分别过C，D作AB的垂线DE，CF，则通过计算可得四边形DEFC为矩形，于是CD=EF=AB﹣AE+BF．【解答】解：过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥AB交AB延长线于F，则DE∥CF，∠CBF=60°．DE=ADsinA==，CF=BCsin∠CBF=（）×=．∴四边形DEFC是矩形．∴CD=EF=AB﹣AE+BF．∵AE=ADcosA==，BF=BCcos∠CBF=（）×=．∴CD=1﹣+=．故选：A．10．若x，y满足，则z=y﹣2|x|的最大值为（）A．﹣8 B．﹣4 C．1 D．2【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，分类化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，当x≥0时，可行域为四边形OACD及其内部区域，A点是目标函数取得最大值的点；当x≤0时，可行域为三角形OAB及其内部区域，A点是目标函数取得最大值的点．∴z=y﹣2|x|的最大值为2．故选：D．11．某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的外接球的体积是（）A．12πB．48πC．4πD．32π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体为棱锥，其中SC⊥平面ABCD，此四面体的外接球为正方体的外接球，正方体的对角线长为2，外接球的半径为，即可求出此四面体的外接球的体积．【解答】解：由三视图知该几何体为棱锥S﹣ABD，其中SC⊥平面ABCD，此四面体的外接球为正方体的外接球，正方体的对角线长为2，外接球的半径为所以四面体的外接球的体积=4．故选：C．12．已知函数f（x）=|2x+1+|在[﹣，3]上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．[0，1]B．[﹣1，1] C．[﹣1，2] D．（﹣∞，2]【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】为去绝对值号，讨论a：（1）a＜0时，根据指数函数和增函数的定义便可判断函数在[，3]上单调递增，从而需满足g（﹣）≥0，这样可得到﹣1≤a ＜0；（2）a=0时，显然满足条件；（3）a＞0时，得到f（x）=，并可判断x=时取等号，从而需满足，可解出该不等式，最后便可得出实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a＜0时，函数在上单调递增；∴；∴﹣1≤a＜0；（2）当a=0时，f（x）=2x+1在上单调递增；（3）当a＞0时，，当且仅当，即x=时等号成立；∴要使f（x）在[]上单调递增，则；即0＜a≤1；综上得，实数a的取值范围为[﹣1，1]．故选B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设（i为虚数单位），则=2﹣i．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】直接由复数求模公式化简复数z，则答案可求．【解答】解：由=，则=2﹣i．故答案为：2﹣i．14．已知向量，且，则=5．【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】根据平面向量的坐标运算与数量积运算，求出x的值，再求的值．【解答】解：向量，且，∴•=x﹣2=0，解得x=2，∴﹣2=（﹣3，4）；==5．故答案为：5．15．已知抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离为5，则△PFO的面积为2．【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的定义，求出P的坐标，然后求出三角形的面积．【解答】解：由抛物线定义，|PF|=x P+1=5，所以x P=4，|y P|=4，所以，△PFO的面积S==．故答案为：2．16．函数f（x）=sin2x在[﹣π，π]内满足的n的最大值是4．【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意可得，本题即求函数f（x）=sin2x与y=kx的图象的交点个数，但不含原点，数形结合得出结论．【解答】解：满足的x的个数n，即为函数f（x）=sin2x与y=kx的图象的交点个数，但不含原点，如图所示，存在k∈（﹣∞，0），使得n取到最大值4，故答案为：4．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．某市根据地理位置划分成了南北两区，为调查该市的一种经济作物A（下简称A作物）的生长状况，用简单随机抽样方法从该市调查了500处A作物种植点，其生长状况如表：生长指数 2 1 0 ﹣1地域南区空气质量好45 54 26 35空气质量差7 16 12 5 北区空气质量好70 105 20 25空气质量差19 38 18 5其中生长指数的含义是：2代表“生长良好”，1代表“生长基本良好”，0代表“不良好，但仍有收成”，﹣1代表“不良好，绝收”．（Ⅰ）估计该市空气质量差的A作物种植点中，不绝收的种植点所占的比例；（Ⅱ）能否有99%的把握认为“该市A作物的种植点是否绝收与所在地域有关”？（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该市A作物的种植点中，绝收种植点的比例？并说明理由．附：P（K2≥k）0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828．【考点】线性回归方程．【分析】（I）根据表格数据计算；（II）采用独立检验方法列联表计算K2，与6.635比较大小得出结论；（III）根据绝收比例可以看出采用分层抽样比较合理．【解答】解：（1）调查的500处种植点中共有120处空气质量差，其中不绝收的共有110处，∴空气质量差的A作物种植点中，不绝收的种植点所占的比例．（2）列联表如下：收绝收合计南区160 40 200北区270 30 300合计430 70 500∴K2=≈9.967．∵9.967＞6.635，∴有99%的把握认为“该市A作物的种植点是否绝收与所在地域有关“．（3）由（2）的结论可知该市A作物的种植点是否绝收与所在地域有关，因此在调查时，先确定该市南北种植比例，再把种植区分南北两层采用分层抽样比采用简单随机抽样方法好．18．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，且AB=1，BC=2，∠ABC=60°，E为BC的中点，AA1⊥平面ABCD．（1）证明：平面A1AE⊥平面A1DE；（2）若DE=A1E，试求异面直线AE与A1D所成角的余弦值．【考点】平面与平面垂直的判定；异面直线及其所成的角．【分析】（1）根据题意，得△ABE是正三角形，∠AEB=60°，等腰△CDE中∠CED==30°，所以∠AED=90°，得到DE⊥AE，结合DE⊥AA1，得DE⊥平面A1AE，从而得到平面A1AE ⊥平面平面A1DE．（2）取BB1的中点F，连接EF、AF，连接B1C．证出EF∥A1D，可得∠AEF（或其补角）是异面直线AE与A1D所成的角．利用勾股定理和三角形中位线定理，算出△AEF各边的长，再用余弦定理可算出异面直线AE与A1D所成角的余弦值．【解答】解：（1）依题意，BE=EC=BC=AB=CD…，∴△ABE是正三角形，∠AEB=60°…，又∵△CDE中，∠CED=∠CDE==30°…∴∠AED=180°﹣∠CED﹣∠AEB=90°，即DE⊥AE…，∵AA1⊥平面ABCD，DE⊆平面ABCD，∴DE⊥AA1．…，∵AA1∩AE=A，∴DE⊥平面A1AE…，∵DE⊆平面A1DE，∴平面A1AE⊥平面A1DE．…．（2）取BB1的中点F，连接EF、AF，连接B1C，…∵△BB1C中，EF是中位线，∴EF∥B1C∵A1B1∥AB∥CD，A1B1=AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，可得B1C∥A1D∴EF∥A1D…，可得∠AEF（或其补角）是异面直线AE与A1D所成的角…．∵△CDE中，DE=CD==A1E=，AE=AB=1∴A1A=，由此可得BF=，AF=EF==…，∴cos∠AEF==，即异面直线AE与A1D所成角的余弦值为…19．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=（λ+1）S n+1（n∈N*，λ≠﹣2），且3a1，4a2，a3+13成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足a n b n=log4a n+1，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）讨论可判断出数列{a n}是以1为首项，λ+2为公比的等比数列，从而结合8a2=3a1+a3+13可得λ2﹣4λ+4=0，从而解得；（Ⅱ）化简可得b n=，从而可得T n=1+++…+，T n=+++…+，利用错位相减法求其前n项和即可．【解答】解：（Ⅰ）∵a n+1=（λ+1）S n+1，+1，∴当n≥2时，a n=（λ+1）S n﹣1∴a n+1﹣a n=（λ+1）a n，即a n+1=（λ+2）a n，又∵λ≠﹣2，∴数列{a n}是以1为首项，λ+2为公比的等比数列，故a2=λ+2，a3=（λ+2）2，∵3a1，4a2，a3+13成等差数列，∴8a2=3a1+a3+13，代入化简可得，λ2﹣4λ+4=0，故λ=2，故a n=4n﹣1；（Ⅱ）∵a n b n=log4a n+1=n，∴b n=，故T n=1+++…+，T n=+++…+，故T n=1+++…+﹣=（1﹣）﹣，故T n=﹣．20．已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（I）求C的方程．（Ⅱ）若直线y=k（x﹣1）与曲线C交于R，S两点，问是否在x轴上存在一点T，使得当k变动时总有∠OTS=∠OTR？若存在，请说明理由．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）求出圆M和圆N的圆心及半径，设圆P的圆心为P（x，y），半径为R．由圆P与圆M外切并与圆N内切，得到曲线C是以M，N为左右焦点，长半轴长为2，短半轴为的椭圆（左顶点除外），由此能求出C的方程．（Ⅱ）假设存在T（t，0）满足∠OTS=∠OTR．联立得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出存在T（4，0），使得当k变化时，总有∠OTS=∠OTR．【解答】解：（Ⅰ）圆M：（x+1）2+y2=1的圆心为M（﹣1，0），半径r1=1，圆N的圆心N（1，0），半径r2=3．设圆P的圆心为P（x，y），半径为R．∵圆P与圆M外切并与圆N内切，∴|PM|+|PN|=R+r1+r2﹣R=r1+r2=4．…由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左右焦点，长半轴长为2，短半轴为的椭圆（左顶点除外），∴C的方程为．…（Ⅱ）假设存在T（t，0）满足∠OTS=∠OTR．设R（x1，y1），S（x2，y2）联立得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由韦达定理有①，其中△＞0恒成立，…由∠OTS=∠OTR（由题意TS，TR的斜率存在），故k TS+k TR=0，即②，由R，S两点在直线y=k（x﹣1）上，故y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1），代入②得，即有2x1x2﹣（t+1）（x1+x2）+2t=0③…将①代入③即有：④，要使得④与k的取值无关，当且仅当“t=4“时成立，综上所述存在T（4，0），使得当k变化时，总有∠OTS=∠OTR．…21．已知函数f（x）=（其中k∈R，e是自然对数的底数），f′（x）为f（x）导函数．（Ⅰ）若k=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f′（1）=0，试证明：对任意x＞0，f′（x）＜恒成立．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），代入切线方程即可；（Ⅱ）求出k的值，令g（x）=（x2+x）f'（x），问题等价于，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）由得，x∈（0，+∞），所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为：，而f（1）=，故切线方程是：y﹣=﹣（x﹣1），即：x+ey﹣3=0；（Ⅱ）证明：若f′（1）=0，解得：k=1，令g（x）=（x2+x）f'（x），所以，x∈（0，+∞），因此，对任意x＞0，g（x）＜e﹣2+1，等价于，由h（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，∞），得h'（x）=﹣lnx﹣2，x∈（0，+∞），因此，当x∈（0，e﹣2）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增；x∈（e﹣2，+∞）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，所以h（x）的最大值为h（e﹣2）=e﹣2+1，故1﹣x﹣xlnx≤e﹣2+1，设φ（x）=e x﹣（x+1），∵φ'（x）=e x﹣1，所以x∈（0，+∞）时，φ'（x）＞0，φ（x）单调递增，φ（x）＞φ（0）=0，故x∈（0，+∞）时，φ（x）=e x﹣（x+1）＞0，即，所以．因此，对任意x＞0，恒成立．选修4-1：几何证明与选讲22．如图，在⊙O中，弦AF交直径CD于点M，弦的延长线交CD的延长线于点E，M、N分别是AF、AB的中点．（Ⅰ）求证：OE•ME=NE•AE；（Ⅱ）若，求∠E的大小．【考点】相似三角形的性质；与圆有关的比例线段．【分析】（1）通过证明△AME∽△ONE，即可推出结果．（2）利用（1）的结论，设OE=x，求解x，然后在直角三角形中求解即可．【解答】（1）证明：∵M、N分别是AF、AB的中点．∴∠AME=∠ONE=90°，又∵∠E=∠E，∴△AME∽△ONE，∴，∴OE•ME=NE•AE．（2）设OE=x，（x＞0），∵BE==，∴NE=2，AE=3，又∵OM=，∴x=2，即：（x﹣4）（2x+9）=0，∵x＞0，∴x=4，即OE=4，则在Rt△ONE中，cos∠E===∴∠E=30°．选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系xOy中，曲线C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ=（p∈R）．（1）求曲线C的参数方程及直线l的直角坐标方程；（2）设曲线C与直线l相交于点A、B，若点P为曲线C上一动点（异于点A、B），求△PAB面积的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）令x﹣2=cosα，y﹣3=sinα即可得出曲线C的参数方程，直线l过原点，且斜率为tanθ，利用点斜式方程写出直线l的方程；（2）解方程组求出A，B坐标，得到AB，则P到AB的最大距离为C到AB的距离与圆C 的半径的和．【解答】解：（1）令x﹣2=cosα，y﹣3=sinα，则x=2+cosα，y=3+sinα，∴曲线C的参数方程为（α为参数）．直线l的斜率k=tanθ=1，∴直线l的直角坐标方程为y=x．（2）解方程组得或．设A（2，2），B（3，3）．则|AB|==．∵圆C的圆心为C（2，3），半径r=1，∴C到直线AB的距离为=．∴P到直线AB 的最大距离d=+1．∴△PAB面积的最大值为=．选修4-5：不等式选讲24．已知f（x）=|x﹣3|，g（x）=|x﹣k|（其中k≥2）．（Ⅰ）若k=4，求f（x）+g（x）＜9的解集；（Ⅱ）若∀x∈[1，2]，不等式f（x）﹣g（x）≥k﹣x恒成立，求实数k的值．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）将k=4代入g（x），通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）问题等价于∀x∈[1，2]，x+3≥2k恒成立，根据x的范围求出k的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）k=4时，f（x）+g（x）＜9，即|x﹣3|+|x﹣4|＜9，即或或，解得：﹣1＜x＜3或3≤x≤4或4＜x＜8，故原不等式的解集是{x|﹣1＜x＜8}；（Ⅱ）∵k∵≥2且x∈[1，2]，∴x﹣3＜0，x﹣k＜0，∴f（x）=|x﹣3|=3﹣x，g（x）=|x﹣k|=k﹣x，则∀x∈[1，2]，不等式f（x）﹣g（x）≥k﹣x恒成立，等价于∀x∈[1，2]，x+3≥2k恒成立，∴4≥2k，即k≤2，又∵k≥2，∴k=2．2020年9月9日。
2020年普通高等学校招生全国统一模拟考试文科数学【含答案】
上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有－项
是符合题目要求的－
即
1.已 知全集 U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合 A = {2,4,6,7},B = {3,5,6,7，町， 则
ω科
榆
C CuA）门C CuB) =
A. {1,9}
B. {2,3,4,5,6,7,8}
C. {1,2,3,4,5,8,9}
D. {1,6,7,9}
树 黠
2.设 z ＝ 主 i十τI十l(i是虚数单位），则［z[ =
A. 2
B.y'3
C.,/5
3.己知等差数列（αη｝的前n项和 为乱，α3 = 7,53 = 9，则a10 =
A.25
B. 35
C. 40
4.已知函数f(x）的图象如图所示，则 f(x） 可以为
D.2y'3 D.45
丁三工 AJC工）＝」子「 B.f(x）＝
C.f(x）＝号 巳
D.f（工） =xelxl
5.某歌手大赛进行电视直播，比赛现场有6名特约嘉宾给每位参赛选手评分，场内外的
观众可以通过网络平台给每位参赛选手评分．某选手参加比赛后，现场嘉宾评分情况
2020年普通高等学校招生全国统一模拟考试
文科数学
2020.3
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
பைடு நூலகம்
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡
2020最新高考模拟数学考试(文科)含答案
65C ． -33D ． - 63，第Ⅰ卷(选择题，共 60 分)一、选择题：本大题共 l2 小题，每小题 5 分．共 60 分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1．设集合 A = {x || x - 2 |≤ 2, x ∈ R }, B = { y || y = - x 2,-1 ≤ x ≤ 2}, 则等于（）A ．RB ． {x | x ∈ R 且x ≠ 0}C ．{0}D ． ∅R（A∩B ）2 ． 已 知 cos(α - β ) =3 ,sin β = - 5 , 且α ∈ (0, π ), β ∈ (- π ,0), 则 s in α =51322（）A ． 3365B ． 63653．对于平面α 和共面的直线m ，n 下列命题中真命题是（）A ．若 m ⊥ α , m ⊥ n , 则n // αC ．若 m ⊂ α，n // α，则m // nB ．若 m // α，n // α，则m // nD ．若 m ，n 与α所成的角相等，则m // n4．数列{a }中，若 a = 1 ， a =n12n1 1 - an -1(n ≥ 2, n ∈ N ) 则 a2007的值为A -1B1 C 1D225.如果 f '(x) 是二次函数, 且 f '(x) 的图象开口向上,顶点坐标为(1,－那么曲线 y=f(x)上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是()3),A. (0, 2π 3 ]B. [0, π 2π π 2π )∪[ , π)C. [0, ]∪[ 2 3 2 3, π) D.π 2π[ , ] 2 3a 2b 2| A ．(1,2 + 3 ⎤B (1, 3 ⎤⎡2+ 3, +∞)D ⎡2 - 3,2 + 3 ⎤11．如图, 直线 MN 与双曲线 C: x 2线相交于 P 点, F 为右焦点,若|FM|=2|FN|, 又NP= λPM (λ∈R), 则6．两直线 3x ＋y －2=0 和 y ＋a=0 的夹角为()A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°7．已知函数 y = f ( x )( x ∈ R)满足f ( x + 2) = f ( x ) 且当 x ∈ [-1,1]时f ( x ) = x 2 ，则y = f ( x )与y = log x 的图像的交点个数为（）7A ．3B ．4C ．5D ．68．若关于 x 的方程 4cos x - cos 2 x + m - 3 = 0 恒有实数解，则实数 m 的取值范围是A. [ -1,+∞)B. [-1,8]C [0,8]D [0,5]9．如图，在杨辉三角中，斜线的上方从 1 开始按箭 头所示的数组成一个锯齿形数列 1，3，3，4，6，5，10，……，记此数列为{a } ，则 a 等于n21A ．55B ．65C ．78D ．6610．已知点 F 、F 为双曲线 x 2 - y 2 = 1 (a > 0, b > 0) 的左、右焦点， P 为右1 2支上一点，点 P 到右准线的距离为 d ，若 | PF | 、PF| 、d 依次成等差数列，12则此双曲线离心率的取值范围是（）⎦⎦C⎣ ⎣ ⎦a 2 － y 2b 2 = 1的左右两支分别交于 M 、N 两点, 与双曲线 C 的右准→ →实数λ的取值为 ( )11A. B.1 C.2 D.2312．△ABC的AB边在平面α内,C在平面α外,AC和BC分别与面α成30°和45°的角,且面ABC与α成60°的二面角,那么sin∠ACB的值为()1221A.1B.C.D.1或333第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．x2113．二项式(－)9展开式中的系数为________2x x14．一个五位数由数字0,1,1,2,3构成,这样的五位数的个数为_________15．过定点P(1,4)作直线交抛物线C:y=2x2于A、B两点,过A、B 分别作抛物线C的切线交于点M,则点M的轨迹方程为_________ 16．定义在R上的函数f(x)满足f(x+5)+f(x)=0,且函数f(x+5)为奇函24数，给出下列结论：①函数f(x)的最小正周期是5；②函数f(x)的2图像关于点(5,0)对称；③函数f(x)的图像关于直线x=5对称；④42函数f(x)的最大值为f(5).2其中正确结论的序号是__________(写出所有你认为正确的结论的序号)三、解答题：本大题共６小题，共74分。
2020年高考数学模拟试卷(文科)-普通用卷
2020年高考数学模拟试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合A ={x|x >1}，B ={x|x(x −2)<0}，则A ∩B 等于( )A. {x|x >2}B. {x|0<x <2}C. {x|1<x <2}D. {x|0<<1} 2. 下列说法正确的是( )A. 命题“若x 2=1，则x =1”的否命题为“若x 2=1，则x ≠1”B. 命题“∃x 0∈R ，x 02+x 0−1<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2+x −1>0” C. 命题“若x =y ，则sin x =sin y ”的逆否命题为假命题 D. 若“p 或q ”为真命题，则p ，q 中至少有一个为真命题 3. 函数f(x)=e x +3x 的零点个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 3 4. 已知a =2−13，b =log 213，，则( )A.B.C.D.5. 函数f(x)=√1−2x +1√x+3的定义域是( )A. (−3,0]B. (−3,1]C. (−∞,−3)∪(−3,0]D. (−∞,−3)∪(−3,1]6. 等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6+a 4a 7+a 3a 8=27，则log 3a 1+log 3a 2+log 3a 3+⋯+log 3a 10=( ) A. 12 B. 10 C. 8 D. 2+log 35 7. f(x)=14x 2+cosx ，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)的图象是( )A.B.C.D.8. 为了得到函数y =sin 2x +√3sinxcosx 的图象，可以将函数y =sin2x 的图象( )A. 向左平移π6个单位长度，再向下平移12个单位长度 B. 向右平移π6个单位长度，再向上平移12个单位长度 C. 向左平移π12个单位长度，再向下平移12个单位长度 D. 向右平移π12个单位长度，再向上平移12个单位长度9. 直线y =kx +1与曲线y =x 3+ax +b 相切于点A(1,3)，则2a +b 的值等于( )A. 2B. −1C. 1D. −210. 函数y =f(x)是R 上的奇函数，满足f(3+x)=f(3−x)，当x ∈(0,3)时f(x)=2x ，则当x ∈(−6,−3)时，f(x)=( )A. 2x+6B. −2x+6C. 2x−6D. −2x−611. 已知非零向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=2|b ⃗ |，若函数f(x)=13x 3+12|a ⃗ |x 2+a ⃗ b ⃗ x +1在R 上存在极值，则a ⃗ 和b⃗ 夹角的取值范围是( )A. [0,π6)B. (π3,π]C. (π3,2π3]D. [π3,π]12. 已知定义在R 上的可导函数y =f(x)的导函数为f′(x)，满足f′(x)−f(x)>1，f(0)=2019，则不等式f(x)>2020⋅e x −1(其中e 为自然对数的底数)的解集为( )A. (−∞,0)∪(0,+∞)B. (2020,+∞)C. (0,+∞)D. (−∞,0)∪(2020,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ =(−1,2)，b ⃗ =(m,−1)，c ⃗ =(3,−2)，若(a ⃗ −b ⃗ )⊥c ⃗ ，则m 的值是______ ． 14. 设函数f(x)={21−x ,x ≤11−log 2x,x >1，则满足f(x)≤2的x 的取值范围是______．15. 设α为锐角，若cos(α+π6)=45，则sin(2α+π12)的值为______．16. 已知函数f(x)={|log 3x|,0<x ≤32−log 3x,x >3，若a ，b ，c 互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，则a +b +c 的取值范围为______(用区间表示)三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知等差数列{a n }满足：a 4=7，a 10=19，其前n 项和为S n ．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式a n 及S n ； (Ⅱ)若b n =1an a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ．18. 函数f(x)=Asin(ωx +φ)+B 的部分图象如图所示，其中A >0，ω>0，|φ|<π2．(Ⅰ)求函数y =f(x)解析式；(Ⅱ)求x ∈[0,π2]时，函数y =f(x)的值域．19.已知数列{a n}的前n项和为S n，且2S n=4a n−1．(Ⅰ)求{a n}的通项公式；(Ⅱ)设b n=a n⋅a n+1−2，求数列{b n}的前n项和T n．20.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足2ccosB=2a+b．(Ⅰ)求角C；(Ⅱ)若D为AB的中点，CD=1，a=2，求△ABC的面积．21.已知函数f(x)=x4+ax−lnx−32，其中a∈R，且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线y=12x.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值．22.已知函数f(x)=2lnx−ax2．(Ⅰ)求f(x)的单调区间；(Ⅱ)若α，β都属于区间[1,4]，且β−α=1，f(α)=f(β)，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合B={x|x(x−2)<0}={x|0<x<2}，又A={x|x>1}，∴A∩B={x|1<x<2}，故选：C．先解一元二次不等式化简集合B，再与集合A求A∩B即可．本题考查解不等式，考查集合的运算，考查学生的计算能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：A.命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，因此不正确；B.命题“∃x0∈R，x 02+x0−1<0”的否定是“∀x∈R，x2+x−1≥0”，因此不正确；C.命题“若x=y，则sin x=sin y”正确，其逆否命题为真命题，因此不正确；D.命题“p或q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题，正确．故选：D．A.原命题的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，即可判断出正误；B.原命题的否定是“∀x∈R，x2+x−1≥0”，即可判断出正误；C.由于命题“若x=y，则sin x=sin y”正确，其逆否命题与原命题为等价命题，即可判断出正误；D.利用“或”命题真假的判定方法即可得出．本题考查了命题之间的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于中档题．3.【答案】B【解析】解：∵函数f(x)=e x+3x在R上是增函数，且f(−1)=1e−1<0，f(0)=1>0，∴f(−1)f(0)<0，可得函数f(x)在(−1,0)上有唯一零点，故函数f(x)在R上有唯一零点，故选：B．函数f(x)=e x+3x在R上是增函数，根据函数零点的判定定理证得函数f(x)在(−1,0)上有唯一零点，从而得出结论．本题主要考查函数零点个数的判断以及函数零点的判定定理的应用，属于中档题．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查指数函数和对数函数的性质，考查比较大小，属于基础题．借助指数函数和对数函数的单调性得出a,b,c与0，1这样的特殊值的大小关系，从而得出答案．【解答】解：∵0<a=2−13<20=1，，，∴c>a>b，故选C．5.【答案】A【解析】解：根据题意：{1−2x≥0x+3>0，解得：−3<x≤0∴定义域为(−3,0]故选：A．从根式函数入手，根据负数不能开偶次方根及分母不为0求解结果，然后取交集．本题主要考查函数求定义域，负数不能开偶次方根，分式函数即分母不能为零，及指数不等式的解法．6.【答案】B【解析】解：∵等比数列{a n}的各项均为正数，且a5a6+a4a7+a3a8=27，∴a5a6=a4a7=a3a8=9，∴log3a1+log3a2+log3a3+⋯+log3a10=log3(a1×a2×a3×…×a10)=log3(a5a6)5=log3310=10．故选B．由题设条件知a5a6=9，再由等比数列的性质知log3a1+log3a2+log3a3+⋯+log3a10=log3(a5a6)5，由此能求出结果．本题考查等比数列的性质及其应用，解题时要注意对数性质的灵活运用，是基础题．7.【答案】A【解析】解：f(x)=14x2+cosx，∴f′(x)=12x−sinx，f′(x)是奇函数，排除B，D，当x=π4时，f′(x)=π8−√22<0，排除C，故选：A．求出导函数，利用导函数的解析式，判利用还是的奇偶性已经特殊点断函数的图象即可．本题考查函数的图象的判断，导数的应用，考查计算能力．8.【答案】D【解析】解：y=sin2x+√3sinxcosx=12−12cos2x+√32sin2x=12+sin(2x−π6)∴需将函数y=sin2x的图象向右平移π12个单位得到y=sin(2x−π6)，再向上平移12个单位长度，得到y=sin(2x−π6)+12故选：D．先利用三角函数的倍角公式和两角和和公式对函数进行化简得y=sin(2x−π6)+12，在根据左加右减上加下减的原则对函数y=sin2x的图象进行平移，得到答案．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，属基础题．9.【答案】C【解析】解：∵解：由题意得，y′=3x2+a，∴k=3+a①∵切点为A(1,3)，∴3=k+1②3=1+a+b③由①②③解得，a=−1，b=3，∴2a+b=1，故选：C．先求出函数的导数，再由导数的几何意义、把切点坐标代入曲线和切线方程，列出方程组进行求解，即可得出结论．本题考查直线与曲线相切，考查学生的计算能力，属于基础题．10.【答案】B【解析】【分析】本题考查的知识点是函数的奇偶性的性质，属于基础题．令x取x+3得f(6+x)=f(−x)，又由函数y=f(x)是定义在R上的奇函数f(−x)=−f(x)，所以f(6+x)=−f(x)，则f(x)=−f(x+6)=−2x+6．【解答】解：∵f(3+x)=f(3−x)，令x取x+3得f(6+x)=f(−x)，又由函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，f(−x)=−f(x)，∴f(6+x)=−f(x)，设x∈(−6,−3)则x+6∈(0,3)，则f(x)=−f(x+6)=−2x+6，故选：B．11.【答案】B【解析】解：f′(x)=x2+|a⃗|x+a⃗⋅b⃗ ；∵f(x)在R上存在极值；∴f′(x)=0有两个不同实数根；∴△=|a⃗|2−4a⃗⋅b⃗ >0；即|a⃗|2−4|a⃗||b⃗ |cos<a⃗,b⃗ >>0，|a⃗|=2|b⃗ |；∴cos<a⃗,b⃗ ><|a⃗ |4|b⃗|=2|b⃗4|b⃗|=12；∴π3<<a⃗,b⃗ >≤π；∴a⃗与b⃗ 夹角的取值范围为(π3,π]．故选：B．先求导数f′(x)=x2+|a⃗|x+a⃗⋅b⃗ ，而根据f(x)在R上存在极值便有f′(x)=0有两个不同实数根，从而△=|a⃗|2−4a⃗⋅b⃗ >0，这样即可得到cos<a⃗,b⃗ ><12，这样由余弦函数的图象便可得出<a⃗,b⃗ >的范围，即得出向量a⃗,b⃗ 夹角的取值范围．考查函数极值的概念，以及在极值点两边的导数符号的关系，一元二次方程的实数根的个数和判别式△取值的关系，数量积的计算公式，并要熟悉余弦函数的图象．12.【答案】C【解析】解：令g(x)=f(x)+1e x，因为f′(x)−f(x)>1，f(0)=2019，则g′(x)=f′(x)−f(x)−1e>0，故g(x)在R上单调递增，且g(0)=2020，由f(x)+1>2020e x，可得f(x)+1e x>2020，即g(x)>g(0)，所以x>0，故选：C．结合已知可考虑构造函数g(x)=f(x)+1e x，然后结合导数可判断单调性，进而可求不等式．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性求解不等式，解题的关键是函数的构造，属于中档试题．13.【答案】−3【解析】【分析】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量垂直，则它们的数量积等于零，属于基础题．由条件利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求得m的值．【解答】解：若(a⃗−b⃗ )⊥c⃗，则(a⃗−b⃗ )⋅c⃗=(−1−m,3)⋅(3,−2)=−3−3m−6=0，求得m=−3，故答案为：−3．14.【答案】[0,+∞)【解析】解：由分段函数可知，若x≤1，由f(x)≤2得，21−x≤2，即1−x≤1，∴x≥0，此时0≤x≤1，若x>1，由f(x)≤2得1−log2x≤2，即log2x≥−1，即x≥12，此时x>1，综上：x≥0，故答案为：[0,+∞)．根据分段函数的表达式，解不等式即可，注意要对x进行分类讨论．本题主要考查分段函数的应用，利用分段函数的表达式讨论x的取值范围，解不等式即可．15.【答案】17√250【解析】【分析】本题着重考查了两角和与差的正弦、余弦公式和二倍角的正弦、余弦等公式，考查了三角函数中的恒等变换应用，属于中档题．先设β=α+π6，根据cosβ求出sinβ，进而求出sin2β和cos2β，最后用两角和的正弦公式得到sin(2α+π12)的值．【解答】解：设β=α+π6，β∈(π6,23π)， 又因为cos(α+π6)=45，∴sinβ=35，sin2β=2sinβcosβ=2425， cos2β=2cos 2β−1=725，∴sin(2α+π12)=sin(2α+π3−π4)=sin(2β−π4) =sin2βcos π4−cos2βsin π4=17√250， 故答案为17√250．16.【答案】(193,11)【解析】解：作出函数f(x)={|log 3x|,0<x ≤32−log 3x,x >3，的图象，不妨设a <b <c ，a ∈(13,1)，b ∈(1,3)， c ∈(3,9)，由题意可知，−log 3a =log 3b =2−log 3c 故而{ab =1bc =9解得{a =1bc =9b ， ∴a +b +c =b +10b，b ∈(1,3) 令g(x)=x +10x，x ∈(1,3)，则g(x)在(1,3)递减，g(1)=11，g(3)=193， ∴g(x)∈(193,11)，∴a +b +c 的取值范围为(193,11)， 故答案为：(193,11)先画出图象，再根据条件即可求出其范围．不妨设a <b <c ，利用f(a)=f(b)=f(c)，可得，−log 3a =log 3b =2−log 3c ，再构造函数g(x)=x +10x，由此可确定a +b +c 的取值范围． 本题考查分段函数，考查绝对值函数，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则{a 1+3d =7a 1+9d =19，解得：a 1=1，d =2，∴a n =1+2(n −1)=2n −1， S n =n(1+2n−1)2=n 2．(2)b n =1an a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，∴数列{b n }的前n 项和为T n =12[(1−13)+(13−15)+⋯+(12n−1−12n+1)] =12(1−12n+1)=n2n+1．【解析】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出． (2)利用“裂项求和”方法即可得出．18.【答案】解：(Ⅰ)∵根据函数f(x)=Asin(ωx +ϕ)+B 的一部分图象，其中A >0，ω>0，|φ|<π2，可得A =4−2=2，B =2，T4=14⋅2πω=5π12−π6， ∴ω=2． 又∵2⋅π6+φ=π2， ∴φ=π6，∴f(x)=2sin(2x +π6)+2． (Ⅱ)∵x ∈[0,π2]， ∴2x +π6∈[π6,7π6]，∴sin(2x +π6)∈[−12,1]， ∴y =f(x)∈[1,4]．【解析】(Ⅰ)根据已知图象，分析出A ，B ，T ，然后求出ω的值．根据五点作图法求出φ的值．综合即可写出函数f(x)的解析式． (Ⅱ)由已知可求范围2x +π6∈[π6,7π6]，利用正弦函数的图象和性质可得sin(2x +π6)∈[−12,1]，即可求解．本题考查由y =Asin(ωx +φ)的部分图象确定其解析式，通过图象分析出y =Asin(ωx +φ)中的参数值，同时也考查了对于三角函数图象性质的运用，属于基础题． 19.【答案】解：(Ⅰ)∵2S n =4a n −1∴n =1时，2S 1=4a 1−1，即2a 1=4a 1−1，解得a 1=12；n ≥2时，2S n =4a n −1…①2S n−1=4a n−1−1…②由①−②得，所以a n =2a n−1∴数列{a n }是首项为12，公比为2的等比数列，即a n =12×2n−1=2n−2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知b n =a n ⋅a n+1−2=22n−3−2 ∴T n =b 1+b 2+⋯+b n =2−1+21+23+⋯+22n−3−2n =2−1×(1−4n )1−4−2n =16(4n −1)−2n ，∴T n =16(4n −1)−2n ．【解析】(Ⅰ)根据公式a n ={S 1S n −S n−1n =1n ≥2，当n =1时，求数列的首项，当n ≥2时，2S n =4a n −12S n−1=4a n−1−1，两式相减得到2a n =4a n −4a n−1，求得a na n−1=2，即数列{a n }是等比数列，求通项公式； (Ⅱ)b n =22n−3−2，利用分组求和．本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和的方法，考查计算能力．20.【答案】解：(Ⅰ)由2ccosB =2a +b ，得2c ⋅a2+c 2−b 22ac =2a +b ，化简得−ab =a 2+b 2−c 2，故cosC =a 2+b 2−c 22ab=−ab 2ab=−12，又C ∈(0,π)，故C =2π3． (Ⅱ)设AD =BD =x ，则cos∠ADC =x 2+1−b 22x=−cos∠BDC =−x 2+1−42x化简得2x 2=b 2+2① 又cos∠ACB =a 2+b 2−c 22ab=4+b 2−4x 24b=−12，即b 2+2b +4=4x 2，②由①②得b 2+2b +4=2b 2+4，∴b =2．故△ABC 的面积S =12absin∠ACB =12×2×2×√32=√3．【解析】(Ⅰ)由余弦定理把cos B 化成边，再有边的关系整体代换求角C 的余弦值，进而可求角．(Ⅱ)在不同的三角形内利用余弦定理列方程求△ABC 的边b ，再求面积． 本题考查三角形的解法，主要余弦定理的应用，考查计算能力．21.【答案】解：(1)∵f(x)=x 4+a x −lnx −32，∴f ′(x)=14−a x 2−1x， ∵曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线y =12x. ∴f ′(1)=14−a −1=−2， 解得：a =54．(2)由(1)知：f(x)=x4+54x −lnx −32， f ′(x)=14−54x 2−1x=x 2−4x−54x 2(x >0)，令f ′(x)=0，解得x =5，或x =−1(舍)，∵当x ∈(0,5)时，f ′(x)<0，当x ∈(5,+∞)时，f ′(x)>0， 故函数f(x)的单调递增区间为(5,+∞)； 单调递减区间为(0,5)；当x =5时，函数取极小值−ln5．【解析】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，是导数的综合应用，难度中档．(1)由曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线y =12x 可得f ′(1)=−2，可求出a 的值；(2)根据(1)可得函数的解析式和导函数的解析式，分析导函数的符号，进而可得函数f(x)的单调区间与极值．22.【答案】解：(Ⅰ)f′(x)=2−2ax 2x(x >0)，10当a ≤0时，f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立，则f(x)在(0,+∞)上单调递增； 20当a >0时，由f′(x)>0得0<x <√a ； 由f′(x)<0得x >√a ； 则f(x)在a )上单调递增，在(a +∞)上单调递减； 综上，当a ≤0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增；当a >0时，f(x)在√a )上单调递增，在(√a +∞)上单调递减．---(5分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知，当a ≤0时，f(x)在[1,4]上单增，不合题意，故a >0．由f(α)=f(β)则2lnα−aα2=2lnβ−aβ2，即2lnα−2lnβ+a(α+β)=0， 即2lnα−2ln(α+1)+a(2α+1)=0，α∈[1,3](∗)， 设ℎ(x)=2lnx −2ln(x +1)+a(2x +1)，x ∈[1,3]， ℎ′(x)=2x−2x+1+2a >0在(1,3)上恒成立；所以ℎ(x)在[1,3]上递增，由(∗)式，函数ℎ(x)在[1,3]有零点，则{ℎ(1)≤0ℎ(3)≥0⇒{−2ln2+3a ≤02ln3−2ln4+7a ≥0⇒27ln 43≤a ≤23ln2 故实数a 的取值范围为[27ln 43,23ln2].------(12分)【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；(Ⅱ)问题转化为2lnα−2ln(α+1)+a(2α+1)=0，α∈[1,3](∗)，设ℎ(x)=2lnx −2ln(x +1)+a(2x +1)x ∈[1,3]，结合函数的单调性求出a 的范围即可．本题考查了函数的单调性，零点问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．。
2020年高考文科数学模拟卷(含答案)
2020年高考文科数学模拟卷（含答案）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1、已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么此圆心角所夹扇形的面积为（ ）A 、1sin 1 B 、1sin 12C 、2cos 11- D 、1tan 2、设集合M={06|2<--x x x }，N={)1(log |2-=x y x }，则M N=（ ）A 、(1，2)B 、(1-，2)C 、(1，3)D 、(1-，3)3、如图给出的是计算301614121+⋅⋅⋅+++的值是一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（ ）A 、?15i <B 、?15i >C 、?16i <D 、?16i >4、已知圆F 的圆心为双曲线14522=-y x 的右焦点，且与该双曲线的渐近线相切，则圆F 的方程为（ ）A 、4)3(22=++y xB 、2)3(22=++y xC 、4)3-(22=+y xD 、2)3-(22=+y x5、某地2014年第二季各月平均气温)(0C x 与某户用水量y （吨）如下表，根据表中数据，用最小二乘法求得用水量y 关于月平均气温x 的线性回归方程是（ ）月份4 5 6 月平均气温20 25 30 月用水量15 20 28 A 、5.115-=∧x y B 、5.115.6-=∧x y C 、5.112.1-=∧x y D 、5.113.1-=∧x y6、在三角形ABC 中，a=2,A=030,C=045,则三角形的面积S 的值是（ ）A 、2B 、13+C 、）（1321+ D 、227、设[x]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，有（ ）A 、[-x] =-[x]B 、[x+21] =[x] C 、[2x] =2[x] D 、[x]+[x+21]=[2x] 8、已知函数,1)391ln()(2+-+=x x x f 则=+)21(lg )2(lg f fA 、1-B 、0C 、1D 、29、某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为A 、31200元B 、36 000元C 、36800元D 、38400元10、设)(x f 是定义在R 上的偶函数，且当0≥x 时，.)(x e x f =若对任意],1,[+∈a a x 的的最大值是恒成立，则实数不等式a x f a x f )()(2≥+A 、23-B 、32-C 、43- D 、2二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上． 11、函数)sin(ϕω+=x A y 的部分图像如图所示，其中2||,0,0A πϕω<>>，则其解析式为12、如图，已知正三角形ABC 的边长为1，点P 是AB 边上的动点， 点Q 是AC 边上的动点，且,,)1(,R AC AQ AB AP ∈-==λλλ 则CP BQ ⋅的最大值为13、过定点P （1，2）的直线在x 轴、y 轴的正半轴上的截距分别为b a ,， 则b a +的最小值是14、关于x 的方程0234=+⋅-+m m xx ）（有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为 15、设S 为实数集R 的非空子集，若对任意,,S y x ∈都有,,,S xy y x y x ∈-+则称S 为封闭集。
2020高考数学模拟试卷及答案(文科)
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i 为虚数单位，若复数i z -=11，i z +=22，则=⋅21z zA ．i -3B ．i -2C ．i -1D ．i 22+2．已知集合B A 、，{}22<≤-=x x A ，A B A =Y ，则集合B 不可能．．．为A ．∅B ．{}20≤≤x xC ．{}20<<x xD ．{}20<≤x x3．为了得到函数x y )31(3⋅=的图象，可以把函数x y )31(=的图象A ．向左平移3个单位长度B ．向右平移3个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度4．下列函数中，周期为π，且图象关于直线3π=x 对称的函数是A ．)32sin(2)(π+=x x f B ．)32sin(2)(π+=x x fC ．)62sin(2)(π-=x x f D ．)62sin(2)(π-=x x f5．双曲线)0(13222>=-a y a x 有一个焦点与抛物线x y 82=的焦点重合，则双曲线的渐近线方程为A ．y =x 21±B ．y =x 2± C ．y =x 33±D ．y =x 3±6．执行如图所示的程序框图输出的结果是 A ．-3 B ．-2C．2D ．37．一个几何体的三视图及部分数据如图所示，侧视图为等腰三角形，俯视图为正方形，则这个几何体的体积等于A ．13B ．23C ．15D ．62第6题图第7题图8．已知等比数列{}n a 的公比0>q 且1≠q ，又06<a ，则 A ．5748a a a a +<+ B ．5748a a a a +>+C ．5748a a a a +=+D ．5748||||a a a a +>+9．下列各命题中正确的命题是① “若b a ,都是奇数，则b a +是偶数”的逆否命题是“若b a +不是偶数，则b a ,都不是奇数”；② 命题“x x R x 31,2>+∈∃”的否定是“x x R x 31,2≤+∈∀” ；③ “函数ax ax x f 22sin cos )(-=的最小正周期为π” 是“1=a ”的必要不充分条件；④“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充分必要条件是“0<⋅b a ” ．A ．②③B ．①②③C ．①②④D ．③④10．已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤≥m y x x y y 121，若目标函数y x z -=的最小值是1-，则此目标函数的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．511．设曲线)(*1N n x y n ∈=+在点)1,1(处的切线与x 轴的交点横坐标为n x ，则++2201212012log log x x …20112012log x +的值为A ．2011log 2012- B ．1- C ．2011log 12012+- D ．112．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －x 2)，x ∈R ，若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是A ．(－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎪⎪⎫－1，32B ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1，－34∪⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫14，＋∞ C ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1，14∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14，＋∞ D ．(－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎪⎪⎫－1，－34 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～24题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量()52,5,2,1=-=⋅=b a b a a ，b 等于 14．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若223a b bc -=，sin 23C B =，则角A=15．等差数列}{n a 中，20,873==a a ，若数列}1{1+n n a a 的前n 项和为254，则n 的值为 16．已知P 、A 、B 、C 是球O 表面上的点，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC =1，BC =3，PA =5，则球O 的表面积为三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知向量)cos ,(sin ),1,(x x b m a =-=，b a x f ⋅=)(且满足()12f π=．（1）求函数()y f x =的最大值及其对应的x 值； （2）若51)(=αf ，求αααtan 1sin 22sin 2--的值．18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，PA ＝AB ＝4， G 为PD的中点，E 点在AB 上，平面PEC ⊥平面PDC ． （1）求证：AG ∥平面PEC ； （2）求点G 到平面PEC 的距离．19．（本小题满分12分）某同学在生物研究性学习中，想对春季昼夜温差大小与黄豆种子发芽多少之间的关系进行研究，于是他在4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料： 日期 4月1日 4月7日 4月15日 4月21日 4月30日 温差C x ︒/101113128A DCBPEG（1）从这5天中任选2天，记发芽的种子数分别为n m ,，求事件“n m ,均不小于25”的概率．（2）从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5天中的另三天．．．的数据，求出y 关于x的线性回归方程a x b yˆˆˆ+=； （3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的；如果选取的检验数据是4月1日与4月30日的两组数据，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？（参考公式：∑∑==--=n i i ni ii xn x yx n yx b1221ˆ，x b y a ˆˆ-=）（参考数据：97731=∑=i i i y x ，434312=∑=i ix）20． (本小题满分12分) 已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，离心率为21，且过点)23,1(．（1）求椭圆C 的方程； （2） 过椭圆C 的左焦点1F 的直线l 与椭圆C 相交于B A ,两点，若AOB ∆的面积为726，求圆心在原点O 且与直线l 相切的圆的方程． 21．（本小题满分12分）已知函数1ln ()x f x x+=．（1）设a ＞0，若函数)(x f 在区间1(,)2a a +上存在极值，求实数a 的取值范围；（2）如果当x ≥1时，不等式2()1k kf x x -≥+恒成立，求实数k的取值范围．请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22. (本小题满分10分)选修4-1：几何证明与选讲如图，ABC ∆为直角三角形，ο90=∠ABC ，以AB 为直径的圆交AC 于点E ，点D 是BC 边的中点，连OD 交圆O 于点M .（1）求证：E D B O ,,,四点共圆； （2）求证：AB DM AC DM DE ⋅+⋅=22.23. (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=ty t x 541531(t 为参数）.若以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为)4sin(2πθρ+=.（1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）求直线l 被曲线C 所截得的弦长.24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 函数|2||1|)(-+-=x x x f（1）画出函数)(x f y =的图象；（2）若不等式),,0)((||||||R b a a x f a b a b a ∈≠≥-++恒成立，求实数x的范围.数学（文）参考答案一、选择题：1．A 2．B 3．D 4．C 5．D 6．C 7．A 8．B 9．A 10．C 11．B 12．D二、填空题13．5 14．03015．16 16．9π三、解答题18．（1）证明：∵CD⊥AD，CD⊥PA ，∴CD⊥平面PAD ∴CD⊥AG，又PD⊥AG，∴AG⊥平面PCD．…………………………2分在平面PEC内，过点E作EF⊥PC于F，因面PEC⊥面PCD ，且交线为PC ， ∴EF⊥平面PCD ． …………………………4分∴EF ∥AG ，又AG ⊄面PEC ，EF ⊂面PEC ， ∴AG ∥平面PEC ． ………6分（2）由AG ∥平面PEC 知A 、G 两点到平面PEC 的距离相等由（1）知A 、E 、F 、G 四点共面，又AE ∥CD ∴ AE ∥平面PCD∴ AE ∥GF ，∴ 四边形AEFG 为平行四边形，∴ AE ＝GF ，PA ＝AB ＝4， G 为PD中点，FG 12CD ， ∴FG ＝2 ∴ AE ＝FG ＝2．……………9分 ∴ 1116(24)4323P AEC V -=⋅⋅⋅=， 又EF ⊥PC ，EF＝AG 22=∴EPC S ∆1143224622EPC S PC EF =⋅=⋅=V ． 又 P AEC A PEC V V --=，∴31631=⋅∆h S EPC ，即4616h =，∴26h =，∴ G 点到平面PEC 的距离为∥ ＝PA GDC BE FO26．………………………12分20．解： (1) 设椭圆C 的方程为)0(12222>>=+b a by a x ，由题意可得21==ac e ，又222c b a +=，所以2243a b =．……………2分又椭圆C 经过点)23,1(，所以14349122=+a a ，解得2=a ．……………4分所以1=c ，3=b ，则椭圆C的方程为13422=+y x ． (6)分解法二：设直线l 的方程为1-=ty x ．由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134122y x ty x ，消去x ，得096)34(22=--+ty y t，显然0>∆恒成立．……8分 设),(),,(2211y x B y x A ，则221221349,346t y y t t y y+-=⋅+=+．……………9分所以222122121341124)(||t t y y y y y y ++=-+=-， 所以||||21211y y O F S AOB -⋅⋅=∆726341622=++=t t ． (10)分化简，得0171824=--t t，解得1817,12221-==t t (舍去)． 又圆O 的半径22111|100|t tt r +=++⨯-=，所以22=r ． (11)分故圆O 的方程为2122=+y x ．…………………12分22． 解：（1）连接BE ，则EC BE ⊥ ----------------1分又D 是BC 的中点，所以BD DE = ----------------3分又OD OD OB OE ==,，所以ODB ODE ∆≅∆，所以ο90=∠=∠OED OBD 故BO E D ,,,四点共圆． -------------5分(2) 延长DO 交圆于点H ．+⋅=+⋅=⋅=DO DM OH DO DM DH DM DE )(2ΘOH DM ⋅ ------------8分)21()21(2AB DM AC DM DE ⋅+⋅=∴，即AB DM AC DM DE ⋅+⋅=22--------10分23． 解：(1) 由)4sin(2πθρ+=得：θθρsin cos +=两边同乘以ρ得：θρθρρsin cos 2+=-------------3分∴022=--+y x y x即21)21()21(22=-+-y x -----------5分（2）将直线参数方程代入圆C 的方程得：0202152=+-t t ------------6分4,5212121==+∴t t t t------------8分5414)(||2122121=-+=-=∴t t t t t t MN------------10分。
2020年全国统一高考数学模拟试卷(文科)(新课标Ⅱ)(解析版)【打印版】
【答案】C
【解析】
【分析】
根据原位大三和弦满足 ，原位小三和弦满足
从 开始，利用列举法即可解出．
【详解】根据题意可知，原位大三和弦满足： ．
∴ ； ； ； ； ．
原位小三和弦满足： ．
∴ ； ； ； ； ．
故个数之和为10．
故选：C．
【点睛】本题主要考查列举法的应用，以及对新定义的理解和应用，属于基础题．
12.若 ，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
将不等式变为 ，根据 的单调性知 ，以此去判断各个选项中真数与 的大小关系，进而得到结果.
【详解】由 得： ，
令 ，
为 上的增函数， 为 上的减函数， 为 上的增函数，
，
， ， ，则A正确，B错误；
与 的大小不确定，故CD无法确定.
故选：A.
A.10名B.18名C.24名D.32名
【答案】B
【解析】
【分析】
算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.
【详解】由题意，第二天新增订单数为 ，
故需要志愿者 名.
故选：B
【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.
5.已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是（）
则 垂直于平面 内所有直线，
直线 平面 ， 直线 直线 ，
命题 为真命题.
综上可知， 为真命题， 为假命题，
为真命题， 为真命题.
故答案为：①③④.
【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个
2020高考数学(文科)模拟试卷含答案
本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120第I 卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的。
1 .直线mx y 1 0的倾斜角为( C )A. 300B. 600C. 1200D. 15002、已知集合 A={2 , a —1, a 2}, B={9 , —4, 1 — a}.如果 A AB={9},则 a 的值为3 .已知奇函数f(x)的定义域为[―2, a],若£( 2)A. 3B. -3C. 1D.1331.. 一A. y log 2(x 1)(1x2) B. y log 2 --------------------- (1 x 2)x 1分钟. 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P(A B) P(A) P(B)如果事件A 、B 相互独立，那么P(A B) P(A) P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是P,那么n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率P n C ：P k (1 P)n k球的表面积公式S 4 R 2球的体积公式4 3 V - R 33其中R 表示球的半径A.3 B. -3 C. 10 D. 一103 ,则f (a)的值为(___ 14.函数y 1 (1)x(x 0)的反函数是1. 一C. y log 2(x 1) (x 2)D. y log 2 ----------------------------------- (x 2)x 15 .已知向量 3 ( 1,2), b (2,x), c (x, 3),若 £//6,则 |C|等于(D )6 .二项式（1 x ）7的展开式中，系数最大的项是（ C ）为（A ）D(的范围为（C 1 a 1D a 1或 a 1第II 卷（非选择题共100分）、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分B. 10C. .5D. 5A.第三项B.第四项C.第五项D.第四项或第五项7.已知平面，都垂直于平面，且a,b.给出下列四个命题:①若a b,则；②若a//b,则〃；③若，则a b;④若〃，则a//b .9.已知椭圆2y b 21(a 0）与双曲线x 22/相同的焦点，则椭圆的离心率10.已知x ，x满足xx若z ax y 的最大值为3a 9,最小值为3a 3,则a其中真命题的个数为C. 2D. 1A. 4B. 3A )11.二项式(Q 2)6的展开式中常数项的值为 ________ 60X -- ,12.椭圆x 2cos的左焦点到右准线的距离为工内y sin 313.如图，线段AB在平面内，线段AC ，线段BD AB,线段DD , AB 3, AC BD 4, CD 5 贝U BD与平面所成的角的大小为30 ；14.某单位有六个科室，现从人才市场招聘来4名新毕业的大学生，现要将这四名大学生安排到其中的两个科室且每科室2名，则不同的安排方案种数为—90 (用数字作答).三、解答题：本大题共6小题，每小题14分，共84分。
2020高考文科数学模拟试卷含答案
2020年普通高等学校招生全国统一考试高考模拟调研卷文科数学(一)本试卷共23題,共150分，艾4页•考试皓束后，将本试卷和答题卜一并交回。
一、选择题：本大18共仁小题，每小题5分，共60分・在每小题给出的四个备选项中，只有一坝是符合U目要求的，■1. e®z=」一在复平面中所对应的点位于I-2iA.第一象限B.第二象限C.第三彖限D第四象限2. 已知函« f(x)是定义在R上的奇两数，且^3X> 0时，f(x) = \nx-x\则/(-1)=A・一1 B. 0 C. I e-13. 己知向=1-x), ^C = (x, 1),若4 B, C三点共线,则实数"A. 2B. -1C. 2 或一1D. -2或14. 已知集合A = {y\y = l-2x}t 8 = {x\x2-2x-3>0},则=A. 0B. [-1, 1)C. (1, 3]D. [-3, 1)5. 设等差数列{/}的前刀项和为S”，S5=\5f如=9,则几=A・ 60 B. 90 C. 120 D. 1506. 某孚校为了解学生的教学学习情况，从甲、乙两班各抽取广7名同学某次数学考试的成细，绘制成如图所示的茎叶图，则这两组数据不同的是ArrayA.平均数B.方差C.中位数D.极差7. 设a, b是两条不同的宜线，Q，0是两乍不同的平面，下面推理中疋确的是A. 若 a // b t aua , bu 卩、则a //B. 若a // P, aua、则a // 0C・若a〃0, a(za , hu ”、则a // bD.若a" b、a丄a, b丄0,则a卄卩8. 已知命題F;"若对任意的x>0都有2r-l>o,则则命趙p的否命题为A. 若存仕X>0使得2x-1 >a ,则a > -1B. 若存在x>0使得2x-lWa,则a>-f高考模揪*研卷文(-〉第】页共4页c - fta>I •則％ 便附2一1 *D 「八・1・X>O 伸博2J —1 .材由鼻塔"2—7 = 0卜- *卩・；|圆.J_2-“4y + 2 = 0的条切如切点为八則冲|的 为A. MA. 3㊉1二一】c.（xe （x-i ））e （x-2）= x-2己知刃曲绘冷•一与= 1（a >°，〃>0）的左、右焦点分别为F 7 ,点P 在双曲线的右支上, a b“且|P/7| = |/7/7|r 若点0是线段的中点•则"F 民的取值范圉是中，角彳、从C 肋対的边分别为2、bs c. U"in （号一〃）"&in （¥*H2・H10. J >/nC. 2丿5D. 2V7我国Jt*敕学家华罗庚先生曾说，数斌形时少豆观，形缺数时难入微.敷形结合白段好.隔裂 分家力事仏-A 数学的学习和研完中，常用踊数的图欽来研允函釵的性质，也带用函敗的解析 式来分析函数的图象的待征.如两数/（x ）=e^-2x 2-l 的图陨大效是n. 彳：一丫。
2020年高考模拟试卷数学(文)含答案解析(WORD版)
图2由全国各地一线教师精心编制《 高考终极预测押题卷》对近十年全国各地高考试题的全方位精确分析，把握命题规律，找出命题趋势。
全网首发！百位名师呕血专研，只为高考最后一搏！高考模拟试卷 数 学(文科)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数1ii+＝( ) A.1i + B.1i - C.1i -+D.i2.命题“∀x R ∈,2x x -≤0”的否定是( )A.∃x R ∈,20x x -≥ B.∀x R ∈,20x x -≥ C.∃x R ∈,20x x ->D.∀x R ∈,20x x ->3.集合{}|lg ,1A y y x x ==>,}{2,1,1,2B =--,则R A B =I ð( ) A.[2,1]-- B.(,0]-∞ C.}{1,2D.}{2,1--4.若某空间几何体的三视图如图１所示,则该几何体的表面积是( ) A.60 B. 54 C.48 D. 245.如果运行如图2的程序框图,那么输出的结果是( ) A.1, 8, 16 B.1, 7, 15 C.1, 9, 17D.2, 10, 186.若,x y 满足231x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩,则21S x y =+-的最大值为( )A. 6B.4C.3D. 2 7.设()f x 为定义在R 上的奇函数,当0x ≥时,()22x f x x m =++(m 为常数),则(1)f -=( )A. 3B. 1C. 1-D. 3-8.在边长为1的正三角形ABC 中,若ABa u u u r r ＝,BCb =u u u r r ,CAc =u u u r r ,则a b b c c a ⋅+⋅+⋅=r r r r r r( ) 4俯视图侧视图正视图34 图1x 15 16 18 1922 y102 98 115 115120A.12-B.32－C.32D.09.已知正方体1111ABCD A B C D -内有一个内切球O ,则在正方体1111ABCD A B C D -内任取点M ,点M 在球O 内的概率是( ) A.4π B.6π C. 8π D.12π 10.定义在R 上函数()f x 满足:()()f x f x '>恒成立,若12x x <,则12()x e f x 与21()xe f x 的大小关系为( )A.1221()e ()x x e f x f x > B.1221()e ()x x e f x f x <C.1221()e ()x x ef x f x = D.1221()e ()x x e f x f x 与的大小关系不确定二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题卡中对应题号后横线上. 11.经统计,用于数学学习的时间(单位:小时)与成绩(单位:分)近似于线性相关关系. 对某小组学生每周用于数学的学习时间x 与数学成绩y 进行数据收集如下:由表中样本数据求得回归方程为ˆybx a =+,且点(,)a b 在直线18x y m +=上, 则m = .12.在△ABC 中,角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ,若a =9,b =6,A =060,则sin B =13.以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,使极坐标系的单位长度与直角坐标系的单位长度相同.已知直线l 的参数方程为233x ty t=-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=,则直线l 与曲线C 的交点个数为 .14.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)y px p =>的准线分别交于A 、B 两点,O 为坐标原点.若双曲线的离心率为2,AOB ∆的面积为3,则p = .15.已知数列满足:11a =,22a =,33a =,44a =,55a =,且当5n ≥时,有11231n n a a a a a +=-L ,若数列{}n b 满足对任意*n N ∈,有2221212n n n b a a a a a a =----L L ,则(1)5b = ; (2)当5n ≥时,n b = .三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）110 112 118 116 114 直径/mm频率/组距0.0500.075 0.150a 图3 APEBCD图4已知函数2()2cos 2sin sin()2f x x x x π=++,(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期; (Ⅱ)求函数()f x 在区间[0,]2π上的值域.17.（本小题满分12分）某工厂生产的产品A 的直径均位于区间[110,118]内(单位:mm ).若生产一件产品A的直径位于区间[110,112),[112,114),[114,116),[116,118]内该厂可获利分别为 10,20,30,10(单位:元),现从该厂生产的产品A 中随机100件测量它们的直径,得到如图3所示的频率分布直方图. (Ⅰ)求a 的值,并估计该厂生产一件A 产品的平均利润;(Ⅱ)现用分层抽样法从直径位于区间[112,116)内的产品中随机抽取一个容量为5的样本,再从样本中随机抽取两件产品进行检测,求两件产品中至少有一件产品的直径位于区间[114,116)内的概率.18.（本小题满分12分）如图4,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥底面ABCD , 底面ABCD 是平行四边形,60BAD ∠=︒,2AD =,23AC =,E 是PC 的中点.(Ⅰ)求证:PC BD ⊥;(Ⅱ)若四棱锥P ABCD -的体积为4,求DE 与平面PAC 所成的角的大小.19.（本小题满分13分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且242n n n S a a =+对任意的*n N ∈恒成立.(Ⅰ)求1a 、2a 及数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)设11n n n b a a +=,记数列{}n b 的前n 项和为n T ,是否存在实数λ,使不等式11n n n S a T λ++> 对任意的正整数n 都成立.若存在,求出λ的取值范围;若不存在,请说明理由 20.（本小题满分13分）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0a b >>)的左右焦点分别为1F 、2F ,离心率为23,椭圆C 与y 轴正半轴交于点P ,12PF F ∆的面积为25. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)若过右焦点2F 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点,O 为坐标原点,求AOB ∆的面积的最大值,并求出此时直线l 的方程.21.（本小题满分13分）已知函数21()ln (0)2f x x ax bx a =-+>,(1)0f '=. (Ⅰ)试用含a 的式子表示b ,并求()f x 的单调区间; (Ⅱ)若()f x 在1(,)2+∞上有两个零点,求实数a 的取值范围;数学参考答案及评分标准(文科)一、选择题：1．B 2. C 3. D 4. A 5.Ｃ ６.Ａ 7.Ｄ ８.Ｂ ９.Ｂ 10.Ａ 二、填空题11． 110 12．3313． 1 14． 2 15． 65三、解答题16．解：(1)∵2()2cos 2sin cos f x x x x =+cos2sin 21x x =++2sin(2)14x π=++∴()f x 的最小正周期22T ππ== ………………………………………………………6分 (2) ∵02x π≤≤ ∴ 52444x πππ≤+≤……………………………………………………8分 ∴2sin(2)124x π-≤+≤…………………………………………………………………………10分 ∴0()12f x ≤≤+………………………………………………………………………………11分 ∴函数()f x 在区间[0,]2π上的值域为[0,12]+ ……………………………………………12分17．解:(1) 由频率分布直方图可知2(0.0500.1500.075)1a +++=所以0.225a =………3分 直径位于区间[110,112)的频数为10020.05010⨯⨯=,位于区间[112,114)的频数为10020.15030⨯⨯=,位于区间[114,116)的频数为10020.22545⨯⨯=,位于区间[116,118]的频数为10020.07515⨯⨯=,因此生产一件A 产品的平均利润为101020303045151022100⨯+⨯+⨯+⨯=(元) ………………………………………6分(2) 由频率分布直方图可知直径位于区间[112,114)和[114,116)的频率之比为2:3,所以应从直径位于区间[112,114)的产品中抽取2件产品,记为A 、B ，从直径位于区间[114,116)的产品中抽取3件产品，记为a 、b 、c ,从中随机抽取两件,所有可能的取法有, (,)A B ,(,)A a ,(,)A b ,(,)A c ,(,)B a ,(,)B b ,(,)B c ,(,)a b ,(,)a c ,(,)b c ,共10种,其中两件产品中至少有一件产品的直径位于区间[114,116)内的取法有(,)A a ,(,)A b (,)A c ,(,)B a ,(,)B b ,(,)B c ,(,)a b ,(,)a c ,(,)b c ,共9种.所以所求概率为910P =……………12分 18．解(1) ∵ 在平行四边形ABCD 中,60BAD ∠=︒, ∴ 120ADC ∠=︒,∴由2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅⋅∠ 得2280CD CD +-=解得2CD =,所以四边形ABCD 为菱形, ∴AC BD ⊥ 又PA ⊥底面ABCD ∴PA BD ⊥ ∵PA AC A =I∴BD ⊥平面PAC∴PC BD ⊥ ……………………………………………………………………………6分(2)由(1)易知2BD =,所以1232ABCD S AC BD =⋅= ∴ 由143P ABCD ABCD V S PA -=⋅=得23PA =……………………………………………8分设AC 与BD 交于点O ,连结OE由(1)知BD ⊥平面PAC ,所以DE 在平面PAC 的射影为OE∴DEO ∠就是DE 与平面PAC 所成的角…………………………………………………10分∵E 是PC 的中点 ∴ 132OE PA ==∴ 在Rt DOE ∆中13tan 33OD DEO OE ∠===∴30DEO ∠=︒ 即DE 与平面PAC 所成的角为30︒……………………………………12分19．解: 由题意知，当1n =时, 211142a a a =+,又10a >,所以12a = ……………………1分 当2n =时，212224()2a a a a +=+，又20a >，所以24a =………………………………2分 ∵242n n n S a a =+ ∴211142n n n S a a +++=+两式相减并整理得 11()(2)0n n n n a a a a +++--=…………………………………………4分 由于10n n a a ++> 所以120n n a a +--=…………………………………………………5分 所以数列{}n a 是以12a =为首项,2d =为公差的等差数列,∴ 2n a n =…………………………………………………………………………………6分 (2) ∵111111()4(1)41n n n b a a n n n n +===-++ A PEBC D O图3∴11111111[(1)()()()]42233414(1)n n T n n n =-+-+-++-=++L …………………………8分 又21(2)(1)4n n n S a a n n =+=+ ∴ 由11n n n S a T λ++>得(1)(1)(2)2(2)n n n n n λ+++>+∴2182(2)28n n n nλ>=+++…………………………………………………………………10分 ∵ 882822816n n n n ++≥⋅+= 当且仅当82n n=即2n =时取”=” ∴1181628n n ≤++ …………………………………………………………………………12分 ∴116λ>∴存在实数λ,使不等式11n n n S a T λ++>对任意的正整数n 都成立,且116λ>……………13分20．解: (1) 设椭圆C 的半焦距为c ,则由题意可知2325c e a bc ⎧==⎪⎨⎪=⎩又222a b c =+ 解得3,5,2a b c ===∴椭圆C 的方程为22195x y +=……………………………………………………………5分 (2)由题意可知直线l 的斜率不能为0,右焦点2F 的坐标为(2,0)设直线l 的方程为2x my -=,代入椭圆C 的方程并整理得22(59)20250m y my ++-= 设11(,)A x y ,22(,)B x y ,则1222059m y y m +=-+,1222559y y m =-+………………………7分 ∴221212122301||()459m y y y y y y m +-=+-=+…………………………………………8分 12121||||||2AOBS OF y y y y ∆=-=- 222230130459511m m m m +==++++…………10分令21t m =+,则1t ≥,令4()5f t t t=+则222454()5t f t t t -'=-=,所以当1t ≥时()0f t '>,∴()f t 在[1,)+∞上为增函数,()f(1)9f t ≥=即2245191m m ++≥+当且仅当1t =即0m =时取”=”∴1003AOB S ∆<≤…………12分 ∴AOB ∆的面积的最大值为103,此时直线l 的方程为2x =…………………………13分21．解:(1) ()f x 的定义域为(0,)+∞,1()f x ax b x'=-+∴(1)101f a b b a '=-+=⇒=- …………………………………………2分 ∴1(1)(1)()1ax x f x ax a x x+-'=-+-=-………………………………………3分 由()0f x '>及0,0x a >>得01x <<由()0f x '<及0,0x a >>得1x >…………5分∴()f x 的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,)+∞ ………………………6分 (2)由(1)知()f x 在1(,1]2上单调递增,在[1,)+∞上单调递减, ∵()f x 在1(,)2+∞上有两个零点∴max 1()(1)1022f x f a a ==->⇒> …………………………………………8分 又2211111()1(1)(1)11022222f e ae a e a e a e a a e =-+-=--++-<-++-<∴()f x 在(1,)+∞上有且仅有一个零点 …………………………………………10分∴()f x 在1(,)2+∞上有两个零点的充要条件是()f x 在1(,1)2上有一个零点,即1()02f <,解得48ln 233a <+ ……………………………………………………………………………12分 综上知所求a 的范围为4(2,8ln 2)3+ ……………………………………………13分。
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2020年高考文科数学模拟试卷及答案（共五套）2020年高考文科数学模拟试卷及答案（一）一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求)1、设集合{}1 2 3 4U =，，，，集合{}2540A x x x =∈-+<N ，则U C A 等于（ ）A ．{}1 2，B ．{}1 4，C ．{}2 4，D ．{}1 3 4，，2、记复数z 的共轭复数为z ，若()1i 2i z -=（i 为虚数单位），则复数z 的模z =（）A ．2B ．1C ．22D ．23、命题p:∃x ∈N,x 3<x 2;命题q:∀a ∈(0,1)∪(1,+∞),函数f(x)=log a (x-1)的图象过点(2,0),则( )A. p 假q 真B. p 真q 假C. p 假q 假D. p 真q 真4、《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织多少尺布？（）A ．18B ．20C ．21D ．255、已知 ，且，则A.B.C.D.6、已知 ， ， ，若 ，则A. B.—8 C. D. —27、执行如右图所示的程序框图，则输出 的值为A. B.C. D.8、等轴双曲线 的中心在原点，焦点在 轴上， 与抛物线 的准线交于 两点， ，则 的实轴长为 ( )A. B. C. D.9、已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ，则的外接圆面积为 A. B. 6π C. 7πD.10、一块边长为6cm 的正方形铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形（如图（3）），则该容器的体积为（ ）A ．3126cmB ．346cmC.3272cm D ．392cm11、已知，曲线 在点 ))1f(,1( 处的切线经过点，则有A. 最小值B. 最大值C. 最小值D. 最大值12、对实数 和 ，定义运算“ ”：．设函数 ，．若函数 的图象与 轴恰有两个公共点，则实数 的取值范围是 ( ) A. B. C. D.二、填空题（共4小题；共20分）13、 设变量 ， 满足约束条件则目标函数 的最大值为 ．14、已知等比数列{a n }的各项均为正数，且满足：a 1a 7=4，则数列{log 2a n }的前7项之和为15、已知圆 ，则圆 被动直线 所截得的弦长是 .16、如图，直三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB AC =，侧面11BCC B 是半球底面圆的内接正方形，则侧面11ABB A 的面积为．三、解答题：(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
)17、（本小题满分12分）已知函数2()23sin 2sin cos 3f x x x x =+-，π11π[]324x ∈，．（1）求函数()f x 的值域；（2）已知锐角ABC △的两边长分别为函数()f x 的最大值与最小值， 且ABC △的外接圆半径为324，求ABC △的面积．18、（本小题满分12分）高三学生小罗利用暑假参加社会实践，为了帮助贸易公司的购物网站优化今年国庆节期间的营销策略，他对去年10月1日当天在该网站消费且消费金额不超过1000元的1000名（女性800名，男性200名）网购者，根据性别按分层抽样的方法抽取100名进行分析，得到如下统计图表（消费金额单位：元）： 女性消费情况： 消费金额 （0，200） [200，400） [400，600) [600，800) [800，1000) 人数5101547x男性消费情况：消费金额 （0，200） [200，400）[400，600) [600，800) [800，1000) 人数2 3 10 y 2 （1）现从抽取的100名且消费金额在[800，1000](单位：元)的网购者中随机选出两名发放网购红包，求选出的这两名网购者恰好是一男一女的概率；（2）若消费金额不低于600元的网购者为“网购达人”，低于600元的网购者为“非网购达人”，根据以上统计数据填写右面22⨯列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为‘网购达人’与性别有关?”女性男性总计网购达人非网购达人总计附：（22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）20()P k k ≥0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0k2.7063.8415.0246.6357.87919、（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，2SA AB ==，点M 是SD 的中点，AN SC ⊥，且交SC 于点N ． （1）求证:SB ∥平面ACM ； （2）求点C 到平面AMN 的距离．20、（本小题满分12分）椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F ，．（1）若椭圆E 的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，求椭圆E 的离心率；（2）若椭圆E 过点()02A -，，直线1AF ，2AF 与椭圆的另一个交点分别为点B C ，，且ABC △的面积为509c，求椭圆E 的方程．21、（本小题满分12分）已知函数．（1）当时，求函数 的单调区间和极值；（2）求证：当 时，关于 的不等式 在区间 上无解．（ ）请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线:52x t l y t =⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos240ρθ+=． （1）写出曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点()05A ，，直线l 与曲线C 相交于点M N 、，求11AM AN+的值．23、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()|31|3f x x ax =-++． （1）若1a =，解不等式()4f x ≤；（2）若()f x 有最小值，求实数a 的取值范围．参考答案1. B2. A3. A4. C5. B6.A7. C8. C 9. B 10. D 11. A 12. D13. 14. 7 15. 16. 217.（1）2π()23sin 2sin cos 32sin(2)3f x x x x x =+-=- 又π11π324x ≤≤，∴ππ7π23312x -≤≤，∴3πsin(2)123x -≤≤，∴函数()f x 的值域为[32]，． （2）依题意不妨设32a b ABC ==，，△的外接圆半径324r =， 3632221sin cos sin cos 233233323222a b A A B B r r ========，，，， 6sin sin()sin cos cos sin 3C A B A B A B =+=+=， ∴116sin 232223ABC S ab C ==⨯⨯⨯=△． 18. （1）按分层抽样女性应抽取80名，男性应抽取20名． ∴80(5101547)3x =-+++=，20(23102)3y ==+++=抽取的100名且消费金额在[800，1000]（单位：元）的网购者中有三位女性设为A ，B ，C ； 两位男性设为a ，b ．从5名任意选2名，总的基本事件有(,)A B ，(,)A C ，(,)A a ，(,)A b (,)B C ，(,)B a ，(,)B b ，(,)C a ，(,)C b ，(,)a b ，共10个．设“选出的两名购物者恰好是一男一女为事件A ”．则事件包含的基本事件有(,)A a ，(,)A b ，(,)B a ，(,)B b ，(,)C a ，(,)C b 共6个． ∴63(A)105P ==． （2）22⨯列联表如下表：女性 男性 总计 网购达人 50 5 55 非网购达人 30 15 45 总计8020100则222()100(5015305)9.091 6.635()()()()80205545n ad bc k a b c d a c b d -⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯，且2( 6.635)0.010P k =≥．所以在犯错误的概率不超过0.010的前提下可以认为“是否为‘网购达人’与性别无关”．19. （1）证明：连结BD 交AC 于E ，连结ME ．∵ABCD 是正方形，∴E 是BD 的中点．∵M 是SD 的中点，∴ME 是DSB △的中位线．∴ME SB ∥． 又∵ME ⊂平面ACM ，SB ⊄平面ACM ，∴SB ∥平面ACM ． （2）由条件有DC SA DC DA ⊥⊥，，∴DC ⊥平面SAD ，∴AM DC ⊥．又∵SA AD M =，是SD 的中点，∴AM SD ⊥．∴AM ⊥平面SDC ．∴SC AM ⊥．由已知SC AN ⊥，∴SC ⊥平面AMN ．于是CN ⊥面AMN ，则CN 为点C 到平面AMN 的距离， 在Rt SAC △中，2222223SA AC SC SA AC ===+=，，， 于是2433AC CN SC CN =⋅⇒=，∴点C 到平面AMN 的距离为433． 20.（1）∵长轴长、短轴长、焦距成等差数列，∴2b a c =+，22242b a ac c =++，()222242a c a ac c -=++， ∴223520a c ac --=，两边同除以2a -得，25230e e +-=，解得35c e a ==． （2）由已知得2b =，把直线22:2AF y x c=-代入椭圆方程22214x y a +=，得()222220a c x a cx +-=， ∴()22222422c c a cx a c c +==++．∴()2242c c C y c ⎛⎫+ ⎪ ⎪+⎝⎭，． 由椭圆的对称性及平面几何知识可知，ABC △面积为：()()222241222222c c S x y x c c c ⎡⎤+⎢⎥=⋅+==+⎢⎥⎣⎦，∴()222425029c c c c c ⎡⎤+⎢⎥=-+⎢⎥⎣⎦，解得21c =，∴25a =．故所求椭圆的方程为22154x y +=． 21. （1） 因为， 所以，当时，．令，得 ， ，所以 ， 随 的变化情况如下表：极大值极小值所以 在 处取得极大值，极大值为， 在 处取得极小值，极小值为． 函数 的单调递增区间为 ， ， 的单调递减区间为 ．（2） “不等式 在区间 上无解”等价于“ 在区间 上恒成立”，即函数 在区间 上的最大值小于或等于 ．由（1）可得，令 ，得， ．因为 ，所以．当时， 对 成立，则函数 在区间 上单调递减，所以函数 在区间 上的最大值为 ，所以不等式 在区间 上无解；当时， ， 随 的变化情况如下表：极小值所以函数 在区间 上的最大值为 或 ． ，．因为，所以 ．综上，当 时，关于 的不等式 在区间 上无解． 22. （1）2222cos sin 40ρθρθ-+=2222404x y y x ⇒-+=⇒-=；（2）将直线l 的参数方程化为标准形式：15255x t y t ⎧⎪⎪⎨⎪==+⎪⎩，（t 为参数），代入曲线C 的方程得234105t t ++=，则12121211114t t AM AN t t t t ++=+==．23. （1）1a =时，()|31|34f x x x =-++≤，即|31|1x x --≤，1311x x x ---≤≤，解得102x ≤≤，所以解集为1[0]2，．（2）因为1(3)23()1(3)43a x x f x a x x ⎧++⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩，≥，，所以()f x 有最小值的充要条件为3030a a +⎧⎨-⎩≥≤，即33a -≤≤．2020年高考文科数学模拟试卷及答案（二）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x |x ＞2}，B={x |（x ﹣1）（x ﹣3）＜0}，则A ∩B=（ ） A ．{x |x ＞1} B ．{x |2＜x ＜3} C ．{x |1＜x ＜3}D ．{x |x ＞2或x ＜1}2．（5分）在复平面内，复数z=对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）已知=（3，﹣1），=（1，﹣2），则与的夹角为（ ） A ．B ．C ．D ．4．（5分）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9=54，则a 2+a 4+a 9=（ ） A ．9 B ．15 C ．18 D ．365．（5分）某人从甲地去乙地共走了500m ，途经一条宽为xm 的河流，该人不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到，已知该物品能被找到的概率为，则河宽为（ ） A ．80mB ．100mC ．40mD ．50m6．（5分）若x=，则sin 4x ﹣cos 4x 的值为（ ） A ． B ．﹣C ．﹣D ．7．（5分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A．10 B．5 C．20 D．308．（5分）程序框图如图，如果程序运行的结果为s=132，那么判断框中可填入（）A．k≤10 B．k≥10 C．k≤11 D．k≥119．（5分）已知命题p：∃φ∈R，使f（x）=sin（x+φ）为偶函数；命题q：∀x∈R，cos2x+4sinx ﹣3＜0，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∨q C．p∨（￢q）D．（￢p）∧（￢q）10．（5分）设函数f（x）=﹣，[x]表示不超过x的最大整数，则y=[f（x）]的值域是（）A．{0，1}B．{0，﹣1} C．{﹣1，1} D．{1，1}11．（5分）已知球O的半径为R，A，B，C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为R．AB=AC=2，∠BAC=120°，则球O的表面积为（）A．πB．πC．πD．π12．（5分）设奇函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数，且f（﹣1）=﹣1，若函数f（x）≤t2﹣2at+1对所有的x∈[﹣1，1]都成立，则当a∈[﹣1，1]时，t的取值范围是（）A．﹣2≤t≤2 B．C．t≥2或t≤﹣2或t=0 D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知P（x，y）满足，则z=x﹣y最小值是．14．（5分）在△ABC中，AB=，∠A=75°，∠B=45°，则AC=．15．（5分）设x，y为正数，且x，a1，a2， y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则的最小值是．16．（5分）图形的对称，正弦曲线的流畅都能体现“数学美”．“黄金分割”也是数学美得一种体现，如图，椭圆的中心在原点，F为左焦点，当时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）设数列{a n}满足：a1=1，a n=3a n，n∈N+．+1（Ⅰ）求{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）已知{b n}是等差数列，T n为前n项和，且b1=a2，b3=a1+a2+a3，求T20．18．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，△ABC为正三角形，D、E分别是BC、CA的中点．（1）证明：平面PBE⊥平面PAC；（2）如何在BC上找一点F，使AD∥平面PEF？并说明理由；（3）若PA=AB=2，对于（2）的点F，求三棱锥B﹣PEF的体积．19．（12分）已知某中学联盟举行了一次“盟校质量调研考试”活动，为了解本次考试学生的某学科成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（满分100分），得分取整数，抽取得学生的分数均在[50，100]内作为样本（样本容量为n）进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出的频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（茎叶图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．（1）求样本容量n和频率分布直方图中x，y的值；（2）在选取的样本中，从成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“升级学科基础知识竞赛”，求所抽取的2名学生中恰有1人得分在[90，100]内的概率．20．（12分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax2﹣bx（a、b为常数）．（1）当函数g（x）在x=2处取得极值﹣2．求函数g（x）的解析式；（2）当a=时，设h（x）=f（x）+g（x），若函数h（x）在定义域上存在单调减区间，求实数b 的取值范围．21．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率，左、右焦点分别为F1、F2，点满足：F2在线段PF1的中垂线上．（1）求椭圆C的方程；（2）若斜率为k（k≠0）的直线l与x轴、椭圆C顺次相交于点A（2，0）、M、N，且∠NF2F1=∠MF2A，求k的取值范围．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，以原点为O极点，以x轴正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为ρ=4．（1）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）过点P（2，0）作斜率为1直线l与圆C交于A，B两点，试求的值．[选修4-5；不等式选讲]．23．已知函数f（x）=|x﹣a|（1）若f（x）≤m的解集为[﹣1，5]，求实数a，m的值（2）当a=2且0≤t＜2时，解关于x的不等式f（x）+t≥f（x+2）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x＞2}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则A∩B=（）A．{x|x＞1} B．{x|2＜x＜3}C．{x|1＜x＜3}D．{x|x＞2或x＜1}【解答】解：集合A={x|x＞2}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}={x|1＜x＜3}，则A∩B={x|2＜x＜3}．故选：B．2．（5分）在复平面内，复数z=对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答】解：z==，在复平面内，复数z=对应的点的坐标为：（，﹣1），位于第三象限．故选：C．3．（5分）已知=（3，﹣1），=（1，﹣2），则与的夹角为（）A．B．C．D．【解答】解：∵=3+2=5， ==， ==．两向量的夹角θ的取值范围是，θ∈[0，π]，∴===，∴与的夹角为，故选：B．4．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9=54，则a2+a4+a9=（）A．9 B．15 C．18 D．36【解答】解：由等差数列的求和公式可得：S9=（a1+a9）=54，又由等差数列的性质可得a1+a9=2a5，即9a5=54，解得a5=6，而a2+a4+a9=a5+a4+a6=3a5=18．故选：C．5．（5分）某人从甲地去乙地共走了500m，途经一条宽为xm的河流，该人不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到，已知该物品能被找到的概率为，则河宽为（）A．80m B．100m C．40m D．50m【解答】解：由已知易得：l从甲地到乙=500l途中涉水=x，故物品遗落在河里的概率P==1﹣=∴x=100（m）．故选B．6．（5分）若x=，则sin4x﹣cos4x的值为（）A．B．﹣C．﹣D．【解答】解：∵x=，∴sin4x﹣cos4x=sin2x﹣cos2x=﹣cos2x=﹣cos=﹣，故选：C．7．（5分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．10 B．5 C．20 D．30【解答】解：由空间几何体的三视图得：该几何体是倒放的四棱锥S﹣ABCD，其中，ABCD是矩形，AB=4，AD=5，BC⊥底面ABS，△ABS中，AB∥BS，BS=3，∴该几何体的体积：V===20．故选：C．8．（5分）程序框图如图，如果程序运行的结果为s=132，那么判断框中可填入（）A．k≤10 B．k≥10 C．k≤11 D．k≥11【解答】解：由题意知，程序框图的功能是求S=1×12×11×…，∵程序运行的结果为S=132，∴终止程序时，k=10，∴不满足判断框的条件是k≥11，退出循环．故选：D．9．（5分）已知命题p：∃φ∈R，使f（x）=sin（x+φ）为偶函数；命题q：∀x∈R，cos2x+4sinx ﹣3＜0，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∨q C．p∨（￢q）D．（￢p）∧（￢q）【解答】解：∵当φ=时，f（x）=sin（x+φ）=cosx，此时f（x）为偶函数，所以命题p为真命题；∵y=cos2x+4sinx﹣3=1﹣2sin2x+4sinx﹣3=﹣2sin2x+4sinx﹣2=﹣2（sinx﹣1）2，当sinx=1时y=0，所以y≤0即cos2x+4sinx﹣3≤0所以命题q为假命题；￢q为真命题；所以p∨￢q为真命题故选C10．（5分）设函数f（x）=﹣，[x]表示不超过x的最大整数，则y=[f（x）]的值域是（）A．{0，1}B．{0，﹣1} C．{﹣1，1} D．{1，1}【解答】解：函数f（x）=﹣，[x]表示不超过x的最大整数，∴f（x）=﹣，分析可得，﹣＜f（x）＜，∴[f（x）]={0，﹣1}，故选B；11．（5分）已知球O的半径为R，A，B，C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为R．AB=AC=2，∠BAC=120°，则球O的表面积为（）A．πB．πC．πD．π【解答】解：在△ABC中，∵AB=AC=2，∠BAC=120°，∴BC==2，由正弦定理可得平面ABC截球所得圆的半径（即△ABC的外接圆半径），r==2，又∵球心到平面ABC的距离d=R，∴球O的半径R=，∴R2=故球O的表面积S=4πR2=π，故选：D．12．（5分）设奇函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数，且f（﹣1）=﹣1，若函数f（x）≤t2﹣2at+1对所有的x∈[﹣1，1]都成立，则当a∈[﹣1，1]时，t的取值范围是（）A．﹣2≤t≤2 B．C．t≥2或t≤﹣2或t=0 D．【解答】解：奇函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数，且f（﹣1）=﹣1，在[﹣1，1]最大值是1，∴1≤t2﹣2at+1，当t=0时显然成立当t≠0时，则t2﹣2at≥0成立，又a∈[﹣1，1]令r（a）=﹣2ta+t2，a∈[﹣1，1]当t＞0时，r（a）是减函数，故令r（1）≥0，解得t≥2当t＜0时，r（a）是增函数，故令r（﹣1）≥0，解得t≤﹣2综上知，t≥2或t≤﹣2或t=0故选C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知P（x，y）满足，则z=x﹣y最小值是﹣1．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图，根据目标函数z=x﹣y，即y=x﹣z，当直线y=x﹣z经过A时z最小，由得到A（0，1），所以z=x﹣y的最小值是0﹣1=﹣1．故答案为：﹣1；14．（5分）在△ABC中，AB=，∠A=75°，∠B=45°，则AC=2．【解答】解：∠A=75°，∠B=45°，则∠C=180°﹣75°﹣45°=60°，由正弦定理可得，=，即有AC==2．故答案为：2．15．（5分）设x，y为正数，且x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则的最小值是4．【解答】解：由等差数列的性质知a1+a2=x+y；由等比数列的性质知b1b2=xy，所以，当且仅当x=y时取等号．故答案为：4．16．（5分）图形的对称，正弦曲线的流畅都能体现“数学美”．“黄金分割”也是数学美得一种体现，如图，椭圆的中心在原点，F为左焦点，当时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于．【解答】解：在黄金双曲线中，|OA|=a，|OB|=b，|OF|=c，由题意可知，|BF|2+|AB|2=|AF|2，∴b2+c2+c2=a2+c2+2ac，∵b2=c2﹣a2，整理得c2=a2+ac，∴e2﹣e﹣1=0，解得e=，或e=，由e＞1，则e=，故黄金双曲线的离心率e=，故答案为：，三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.=3a n，n∈N+．17．（12分）设数列{a n}满足：a1=1，a n+1（Ⅰ）求{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）已知{b n}是等差数列，T n为前n项和，且b1=a2，b3=a1+a2+a3，求T20．=3a n，得，【解答】解：（Ⅰ）由a n+1又a1=1，∴数列{a n}是以1为首项，以3为公比的等比数列，则，；（Ⅱ）∵b1=a2=3，b3=a1+a2+a3=1+3+9=13，∴b3﹣b1=10=2d，则d=5．故．18．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，△ABC为正三角形，D、E分别是BC、CA的中点．（1）证明：平面PBE⊥平面PAC；（2）如何在BC上找一点F，使AD∥平面PEF？并说明理由；（3）若PA=AB=2，对于（2）的点F，求三棱锥B﹣PEF的体积．【解答】（1）证明：∵PA ⊥底面ABC ，BE ⊂底面ABC ， ∴PA ⊥BE ．又∵△ABC 是正三角形，且E 为AC 的中点， ∴BE ⊥CA ． ∵PA ∩CA=A ， ∴BE ⊥平面PAC ． ∵BE ⊂平面PBE ， ∴平面PBE ⊥平面PAC ；（2）解：取CD 的中点F ，连接EF ，则F 即为所求． ∵E ，F 分别为CA ，CD 的中点， ∴EF ∥AD ．又EF ⊂平面PEF ，AD ⊄平面PEF ， ∴AD ∥平面PEF ；（3）解：在等边三角形ABC 中， ∵AB=2，E 、F 分别为AC 、DC 的中点， ∴BF=，EF=，又PA=2，由等积法可得V B ﹣PEF =V P ﹣BEF =S △BEF •PA ==．19．（12分）已知某中学联盟举行了一次“盟校质量调研考试”活动，为了解本次考试学生的某学科成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（满分100分），得分取整数，抽取得学生的分数均在[50，100]内作为样本（样本容量为n）进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出的频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（茎叶图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．（1）求样本容量n和频率分布直方图中x，y的值；（2）在选取的样本中，从成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“升级学科基础知识竞赛”，求所抽取的2名学生中恰有1人得分在[90，100]内的概率．【解答】解：（1）由题意可知，样本容量n==50，y==0.004，x=0.1﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.004=0.030．（2）由题意可知，分数在[80，90）有5人，分数在[90，100）有2人，共7人．从成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“升级学科基础知识竞赛”，基本事件总数n==21，所抽取的2名学生中恰有1人得分在[90，100]内包含的基本事件个数：m==10，∴所抽取的2名学生中恰有1人得分在[90，100]内的概率p=．20．（12分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax2﹣bx（a、b为常数）．（1）当函数g（x）在x=2处取得极值﹣2．求函数g（x）的解析式；（2）当a=时，设h（x）=f（x）+g（x），若函数h（x）在定义域上存在单调减区间，求实数b 的取值范围．【解答】解：（1）由g（x）=ax2﹣bx可得g′（x）=2ax﹣b，且g（x）在x=2处取得极值﹣2．∴，可得解得a=，b=2．所求g（x）=x2﹣2x，（x∈R）．（2）∵h（x）=f（x）+g（x）=lnx+x2﹣bx，h′（x）=（x＞0）．依题存在x＞0使h′（x）=＜0（x＞0），即存在x＞0使x2﹣bx+1＜0，∵不等式x2﹣bx+1＜0等价于b＞x+，∵x+≥2=2，当且仅当x=1时取等号，∴b＞2．所求b∈（2，+∞）．21．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率，左、右焦点分别为F1、F2，点满足：F2在线段PF1的中垂线上．（1）求椭圆C的方程；（2）若斜率为k（k≠0）的直线l与x轴、椭圆C顺次相交于点A（2，0）、M、N，且∠NF2F1=∠MF2A，求k的取值范围．【解答】解：（1）解法一：椭圆C的离心率，得，其中椭圆C的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），、F2（c，0），又点F2在线段PF1的中垂线上，∴F1F2=PF2，∴解得c=1，a2=2，b2=1，∴椭圆C的方程为．…（6分）解法二：椭圆C的离心率，得，其中椭圆C的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），、F2（c，0），设线段PF1的中点为D，∵F1（﹣c，0），，∴，又线段PF1的中垂线过点F2，∴，即c=1，a2=2，b2=1，∴椭圆方程为（2）由题意，直线l的方程为y=k（x﹣2），且k≠0，联立，得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，由△=8（1﹣2k2）＞0，得，且k≠0设M（x1，y1），N（x2，y2），则有，，（*）∵∠NF2F1=∠MF2A，且由题意∠NF2A≠90°，∴，又F2（1，0），∴，即，∴，整理得2x1x2﹣3（x1+x2）+4=0，将（*）代入得，，知上式恒成立，故直线l的斜率k的取值范围是．…（12分）请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，以原点为O极点，以x轴正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为ρ=4．（1）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）过点P（2，0）作斜率为1直线l与圆C交于A，B两点，试求的值．【解答】解：（1）圆C的极坐标方程为ρ=4，展开可得：ρ2=4×ρ（cosθ﹣sinθ），可得直角坐标方程：x2+y2﹣4x+4y=0．（2）直线l的参数方程为：（t为参数），代入上述方程可得：t2+2t﹣4=0．t1+t2=﹣2，t1t2=﹣4，则=====．[选修4-5；不等式选讲]．23．已知函数f（x）=|x﹣a|（1）若f（x）≤m的解集为[﹣1，5]，求实数a，m的值（2）当a=2且0≤t＜2时，解关于x的不等式f（x）+t≥f（x+2）【解答】解：（1）∵f（x）≤m，∴|x﹣a|≤m，即a﹣m≤x≤a+m，∵f（x）≤m的解集为{x|﹣1≤x≤5}，∴，解得a=2，m=3．（2）当a=2时，函数f（x）=|x﹣2|，则不等式f（x）+t≥f（x+2）等价为|x﹣2|+t≥|x|．当x≥2时，x﹣2+t≥x，即t≥2与条件0≤t＜2矛盾．当0≤x＜2时，2﹣x+t≥x，即0≤x≤，成立．当x＜0时，2﹣x+t≥﹣x，即t≥﹣2恒成立．综上不等式的解集为（﹣∞，]．2020年高考文科数学模拟试卷及答案（三）一、选择题：（本大题共l2个小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．设复数z=（i为虚数单位），则z的虚部是（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i2．满足M⊆{1，2，3，4，5}，且M∩{1，2，3}={1，3}的集合M的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．43．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n=（）A．2 B．3 C．4 D．54．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（）A．B．C．D．5．一个样本a，3，5，7的平均数是b，且a，b分别是数列{2n﹣2}（n∈N*）的第2项和第4项，则这个样本的方差是（）A．3 B．4 C．5 D．66．以下判断正确的个数是（）①相关系数r，|r|值越小，变量之间的相关性越强．②命题“存在x∈R，x2+x﹣1＜0”的否定是“不存在x∈R，x2+x﹣1≥0”．③“p∨q”为真是“￢p”为假的必要不充分条件．④若回归直线的斜率估计值是1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程是=1.23x+0.08．A．4 B．2 C．3 D．17．假设你家订了一份牛奶，奶哥在早上6：00﹣﹣﹣7：00之间随机地把牛奶送到你家，而你在早上6：30﹣﹣﹣7：30之间随机地离家上学，则你在离开家前能收到牛奶的概率是（）A．B．C．D．8．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E是棱D1C1的中点，点F在正方体内部或正方体的表面上，若EF∥平面A1BC1，则动点F的轨迹所形成的区域面积是（）A．B．C．D．9．在直角△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB=1，P为AB边上的点=λ，若•≥•，则λ的最大值是（）A．B．C．1 D．10．已知各项均为正数的数列{a n}满足a1=1，a na n=39（n∈N*），那么数列{a n}的前50项和S50的+2最小值为（）A．637 B．559 C．481+25D．492+2411．已知函数f（x）=|lnx|，若f（m）=f（n）（m＞n＞0），则+=（）A．B．1 C．2 D．412．已知O是坐标原点，双曲线的两条渐近线分别为l1，l2，右焦点为F，以OF 为直径的圆交l1于异于原点O的点A，若点B在l2上，且，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知角α的终边上一点的坐标为（﹣sin25°，cos25°），则角α的最小正值为．14．已知等比数列{a n}，且a6+a8=4，则a8（a4+2a6+a8）的值为．15．设关于x、y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0﹣2y0=2，求得m的取值范围是．16．已知函数f（x）=（a∈R）的图象与直线x﹣2y=0相切，当函数g（x）=f（f（x））﹣t 恰有一个零点时，实数t的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c，a2+b2+c2=ab+bc+ca．（1）证明△ABC是正三角形；（2）如图，点D在边BC的延长线上，且BC=2CD，AD=，求sin∠BAD的值．18．已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样调查，先将800人按001，002，…，800进行编号．（1）如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检查的3个人的编号；（下面摘取了第7行到第9行）84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 7663 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54（2）抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表：成绩分为优秀、良好、及格三个等级；横向，纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩为良好的共有20+18+4=42①若在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求a，b的值：人数数学优秀良好及格地理优秀 7 20 5良好 9 18 6及格 a 4 b②在地理成绩及格的学生中，已知a≥11，b≥7，求数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率．19．等腰△ABC的底边，高CD=3，点E是线段BD上异于点B，D的动点．点F在BC边上，且EF⊥AB．现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE．（Ⅰ）证明EF⊥平面PAE；（Ⅱ）记BE=x，V（x）表示四棱锥P﹣ACFE的体积，求V（x）的最值．20．已知抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，直线x=4与x轴的交点为P，与抛物线的交点为Q，且．（1）求抛物线的方程；（2）如图所示，过F的直线l与抛物线相交于A，D两点，与圆x2+（y﹣1）2=1相交于B，C两点（A，B两点相邻），过A，D两点分别作我校的切线，两条切线相交于点M，求△ABM与△CDM的面积之积的最小值．21．已知函数f（x）=lnx﹣x．（1）证明：对任意的x1，x2∈（0，+∞），都有|f（x1）|＞；（2）设m＞n＞0，比较与的大小，并说明理由．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，曲线M的直角坐标方程为x﹣2y+2=0（x＞0）（1）以曲线M上的点与点O连线的斜率k为参数，写出曲线M的参数方程；（2）设曲线C与曲线M的两个交点为A，B，求直线OA与直线OB的斜率之和．[选修4-5：不等式选讲]23．（1）若不等式|x﹣m|＜1成立的充分不必要条件为＜x＜，求实数m的取值范围．（2）已知a，b是正数，且a+b=1，求证：（ax+by）（bx+ay）≥xy．参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共l2个小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．设复数z=（i为虚数单位），则z的虚部是（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i【考点】A2：复数的基本概念．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：复数z=====﹣i，则z的虚部是﹣1．故选：A．2．满足M⊆{1，2，3，4，5}，且M∩{1，2，3}={1，3}的集合M的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】1E：交集及其运算．【分析】根据M∩{1，2，3}={1，3}得到1，3∈M，即可得到结论．【解答】解：依题意集合M可能为{1，3}，{1，3，4}，{1，3，5}，{1，3，4，5}．故选：D3．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n=（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】EF：程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当n=1时，a=，b=4，满足进行循环的条件，当n=2时，a=，b=8满足进行循环的条件，当n=3时，a=，b=16满足进行循环的条件，当n=4时，a=，b=32不满足进行循环的条件，故输出的n值为4，故选C．4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（）A．B．C．D．【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P﹣ABCD，作出图形，可得结论．【解答】解：该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P﹣ABCD，如图所示，该几何体的俯视图为D．故选：D．5．一个样本a，3，5，7的平均数是b，且a，b分别是数列{2n﹣2}（n∈N*）的第2项和第4项，则这个样本的方差是（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】BC：极差、方差与标准差．【分析】由已知条件求出a=1，b=4，由此能求出S2．【解答】解：∵样本a，3，5，7的平均数是b，且a，b分别是数列{2n﹣2}（n∈N*）的第2项和第4项，∴a=22﹣2=1，b=24﹣2=4，∴S2= [（1﹣4）2+（3﹣4）2+（5﹣4）2+（7﹣4）2]=5，故选：C．6．以下判断正确的个数是（）①相关系数r，|r|值越小，变量之间的相关性越强．②命题“存在x∈R，x2+x﹣1＜0”的否定是“不存在x∈R，x2+x﹣1≥0”．③“p∨q”为真是“￢p”为假的必要不充分条件．④若回归直线的斜率估计值是1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程是=1.23x+0.08．A．4 B．2 C．3 D．1【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】①根据相关系数r的大小与相关性强弱的关系进行判断．②特称命题的否定是全称命题进行判断③根据复合命题与充分条件和必要条件的定义进行判断，④根据回归方程的性质代入进行求解判断．【解答】解：①相关系数|r|值越小，变量之间的相关性越弱，故错误．②命题“存在x∈R，x2+x﹣1＜0”的否定是“任意x∈R，x2+x﹣1≥0”，故错误．③“p∨q”为真时，“¬p”为假不一定成立，故“p∨q”为真是“¬p”为假的不充分条件，“¬p”为假时，“p”为真，“p∨q”为真，故“p∨q”为真是“¬p”为假的必要条件，故“p∨q”为真是“¬p”为假的必要不充分条件，故正确；④若回归直线的斜率估计值是1.23，样本点的中心为（4，5），则a=5﹣1.23×4=0.08，则回归直线方程是=1.23x+0.08，故正确；故选：B。