§310三角函数的诱导公式(二)
1.3.1三角函数的诱导公式2
玛纳斯县一中
温故知新
任意角三角函数的定义
定 义
图
单 位 圆 中
y P(x,y) 。 α
一 般 地
P(x,y)
sin
cos
y
x
y x
tan
| OP | r(r 0) y r x r y x
想一想，记一记
角度a 弧度a sina 0°
6
2. 填写下表：
45° 60° 90° 180° 270°
cosa tana
归纳总结
y α 的终边
P(x,y)
．
x
诱导公式（一）：
o
sin( k 2 ) sin cos( k 2 ) cos t an( k 2 ) t an (k z )
α的终边
角终边关于y轴对称
x
o
x
归纳总结
sin( 2k ) sin
公式一：
公式二：
cos( 2k ) cos (k Z ) tan( 2k ) tan
公式三：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
2.以诱导公式一～四为基础，还可以 产生一些派生公式， 如sin（2π －α ）=－sinα 等.
课本P29
1，4. 1
再见！
用公式三或一
任意正角的 三角函数
用公式一
0 到 360 的角
o
o
用公式 二或四
的三角函数
锐角三 角函数
学以致用 例２.化简
cos(180 ) sin( 360) sin( 180) cos(180 )
高一数学(三角函数的诱导公式 2)
3p 3p sin( - a ), cos( - a ), 2 2 3p 3π sin( + a ), cos( +α) 2 2
公式五： 公式五：
sin (
π
2
−α) = cosα −α) = sin α
cos(
π
2
sin(
π
2
+α) = cosα +α) = −sin α
公式六： 公式六：
cos(
π
2
形成结论
kπ 所有诱导公式可统一为 ±α(k ∈Z) 2 的三角函数与α的三角函数之间的关系 的三角函数之间的关系. 的三角函数与 的三角函数之间的关系
它们之间的关系归纳为： 它们之间的关系归纳为：
奇变偶不变，符号看象限. 奇变偶不变，符号看象限.
典例讲解
化简： 例1 化简：
11 π sin(2π -α)cos(π +α)cos( +α)cos( -α) 2 2 9π cos(π -α)sin(3π -α)sin(- π -α)sin( +α) 2
y
π
2 −α 的终边
π
y=x
α的终边
O
x
y
π
2
−α 的终边
(y， P2(y，x) α的终边
O
P1(x ，y) x
），则关 设角α的终边上有一点P1（x，y），则关 π 于直线y=x y=x对称的角 的终边上的点P 于直线y=x对称的角 −α 的终边上的点P2的 2 坐标如何？ 坐标如何？
形成结论
2
cos(180 +α) ⋅ sin(α + 360 ) 2. o o sin(-α-180 ) ⋅ cos(-180 -α)
高中数学 人教A版必修4 第1章 1.3三角函数的诱导公式(二)
研一研·问题探究、课堂更高效 (2)诱导公式五的推导：
§1.3（二）
π 问题 1 若 α 为任意角，那么 －α 的终边与角 α 的终边有怎 2 样的对称关系？ 本 课 π 时 答 角 α 的终边与 －α 的终边关于直线 y＝x 对称． 栏 2 目 π 开 问题 2 设角 α 与单位圆交于点 P(x， y)， 则 － 2 关
y.
所以，对任意角 α
sin α .
π 都有：sin2－α＝
cos α
π ，cos2－α＝
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点二 诱导公式六
π ，cos2＋α＝
§1.3（二）
(1)诱导公式六： π sin2 ＋α＝ cos α
本 课 时 栏 目 开 关
填一填·知识要点、记下疑难点
§1.3（二）
2．诱导公式五～六的记忆 π π －α， ＋α 的三角函数值，等于 α 的异名三角函数值， 2 2 本
课 时 栏 目 开 关
前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号， 记忆口诀 为“函数名改变，符号看象限”.
研一研·问题探究、课堂更高效
§1.3（二）
α 与单位圆交于点 P′，写出点 P′的坐标．
答 P′(y，x)．
研一研·问题探究、课堂更高效
§1.3（二）
问题 3 根据任意角三角函数的定义，完成下列填空：
本 课 时 栏 目 开 关
sin α＝ y ，cos α＝ x ；
π sin2 －α＝
x
π ，cos2－α＝
§1.3（二）
本 课 时 栏 目 开 关
§1.3（二）
【学习要求】 1．掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化 简与证明问题． 本 课 时 2．对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与 栏 目 个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力． 开 关 现问题、解决问题的能力．
1.3 三角函数的诱导公式(二) 教案+习题
§1.3 三角函数的诱导公式(二)学习目标 1.掌握诱导公式五、六的推导(难点).2.能够应用三角函数的诱导公式解决简单的求值、化简与证明问题(重点)．预习教材P26完成下面问题： 知识点 诱导公式五、六 1．诱导公式五、六2．公式五和公式六的语言概括(1)函数名称：π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值．(2)符号：函数值前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．(3)作用：利用诱导公式五或六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化． 【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)诱导公式五、六中的角α只能是锐角．( )(2)诱导公式五、六与诱导公式一～四的区别在于函数名称要改变．( ) (3)sin(k π2－α)＝±cos α.( )提示 (1)×，诱导公式五、六中的角α是任意角． (2)√，由诱导公式一～六可知其正确．(3)×，当k ＝2时，sin(k π2－α)＝sin(π－α)＝sin α．题型一 利用诱导公式化简、求值【例1】 (1)已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，π2≤α≤3π2，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋2π3的值； 解 ∵α＋2π3＝⎝⎛⎭⎫α＋π6＋π2，∴sin(α＋2π3)＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π6＋π2＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35． (2)化简：sin (2π＋α)cos (π－α)cos (π2－α)cos (7π2－α)cos (π－α)sin (3π－α)sin (－π＋α)sin (5π2＋α)．解 原式＝sin α·(－cos α)·sin α·(－sin α)(－cos α)·sin α·(－sin α)·cos α＝tan α．规律方法 求值问题中角的转化方法 任意负角的三角函数――→用公式一或三任意正角的三角函数――→用公式一0～2π的角的三角函数――→用公式二或四、或五或六锐角三角函数【训练1】 已知cos(π6－α)＝23，求下列各式的值：(1)sin(π3＋α)；(2)sin(α－2π3)．解 (1)sin(π3＋α)＝sin[π2－(π6－α)]＝cos(π6－α)＝23．(2)sin(α－2π3)＝sin[－π2－(π6－α)]＝－sin[π2＋(π6－α)] ＝－cos(π6－α)＝－23．题型二 利用诱导公式证明恒等式【例2】 求证：tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝－tan α．证明 左边＝tan (－α)·sin (－α)·cos (－α)sin ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α＝(－tan α)·(－sin α)·cos αsin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin 2α－sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin 2α－cos α·sin α＝－sin αcos α＝－tan α＝右边．∴原等式成立．规律方法 证明等式的常用方法利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有： (1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简． (2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子．(3)针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除差异． 【训练2】 求证：2sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2－11－2sin 2(π＋θ)＝tan (9π＋θ)＋1tan (π＋θ)－1． 证明 左边＝－2sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ·(－sin θ)－11－2sin 2θ＝2sin ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2cos θsin θ－1cos 2θ＋sin 2θ－2sin 2θ ＝(sin θ＋cos θ)2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ． 右边＝tan θ＋1tan θ－1＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ．∴左边＝右边，故原等式成立.【例3】 已知cos α＝－45，且α为第三象限角．(1)求sin α的值；(2)求f (α)＝tan (π－α)·sin (π－α)·sin (π2－α)cos (π＋α)的值．解 (1)因为α为第三象限角，所以sin α＝－1－cos 2α＝－35．(2)f (α)＝(－tan α)·sin α·cos α－cos α＝tan α·sin α＝sin αcos α·sin α ＝sin 2αcos α＝(－35)2×(－54)＝－920． 【迁移1】 本例条件不变，求f (α) ＝sin (5π－α)cos (7π2－α)tan (－π＋α)－tan (－19π－α)sin (－α)的值．解 f (α)＝sin α·(－sin α)·tan αtan α·(－sin α)＝sin α＝－35．【迁移2】 本例条件中“cos α＝－45”改为“α的终边与单位圆交于点P (m ，154)”，“第三象限”改为“第二象限”，试求sin (α－π2)sin (π＋α)－sin (3π2－α)＋1的值．解 由题意知m 2＋(154)2＝1， 解得m 2＝116，因为α为第二象限角，故m <0， 所以m ＝－14，所以sin α＝154，cos α＝－14． 原式＝－cos α(－sin α)－(－cos α)＋1＝14－154－14＋1＝－3＋156．规律方法 用诱导公式化简求值的方法(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少．(2)对于π±α和π2±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必须变名．课堂达标1．sin 165°等于( ) A ．－sin 15° B ．cos 15° C ．sin 75°D ．cos 75°解析 sin 165°＝sin(90°＋75°)＝cos 75°． 答案 D2．已知sin(α＋π4)＝13，则cos(π4－α)的值为( )A ．223B ．－223C ．13D ．－13解析 cos(π4－α)＝cos[π2－(α＋π4)]＝sin(α＋π4)＝13．答案 C3．代数式sin 2(A ＋45°)＋sin 2(A －45°)的化简结果是________． 解析 原式＝sin 2(A ＋45°)＋sin 2(45°－A ) ＝sin 2(A ＋45°)＋cos 2(A ＋45°)＝1． 答案 14．若cos α＝15，且α是第四象限角，则cos(α＋5π2)＝________．解析 由题意得sin α＝－1－cos 2α＝－265，所以cos(α＋5π2)＝－sin α＝265．答案2655．已知sin(5π－θ)＋sin ⎝⎛⎭⎫52π－θ＝72，求sin 4⎝⎛⎭⎫π2－θ＋cos 4⎝⎛⎭⎫32π＋θ的值． 解 ∵sin(5π－θ)＋sin ⎝⎛⎭⎫52π－θ ＝sin(π－θ)＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ ＝sin θ＋cos θ＝72，∴sin θcos θ＝12[(sin θ＋cos θ)2－1]＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫722－1＝38， ∴sin 4⎝⎛⎭⎫π2－θ＋cos 4⎝⎛⎭⎫32π＋θ＝cos 4θ＋sin 4θ ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ ＝1－2×⎝⎛⎭⎫382＝2332．课堂小结1．学习了本节知识后，连同前面的诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z )”的诱导公式．当k 为偶数时，得α的同名函数值；当k 为奇数时，得α的异名函数值，然后前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号．2．诱导公式反映了各种不同形式的角的三角函数之间的相互关系，并具有一定的规律性，“奇变偶不变，符号看象限”，是记住这些公式的有效方法．3．诱导公式是三角变换的基本公式，其中角α可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握、灵活变通．基础过关1．已知sin α＝14，则cos(α＋π2)＝( )A ．14B ．－14C ．154D ．－154解析 cos(α＋π2)＝－sin α＝－14．答案 B2．若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a ，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是( ) A ．－23aB ．－32aC ．23aD ．32a解析 由条件得－sin α－sin α＝－a ，故sin α＝a2，原式＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32a ．答案 B3．已知cos(π2＋φ)＝32，且|φ|<π2，则tan φ等于( )A ．－33B ．33C ．－ 3D ． 3解析 由cos(π2＋φ)＝－sin φ＝32，得sin φ＝－32，又∵|φ|<π2，∴φ＝－π3，∴tan φ＝－3．答案 C4．若sin(α＋π12)＝13，则cos(α＋7π12)＝________．解析 cos(α＋7π12)＝cos[π2＋(α＋π12)]＝－sin(α＋π12)＝－13．答案 －135．化简sin ⎝⎛⎭⎫15π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫α－π2sin ⎝⎛⎭⎫9π2－αcos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝________．解析 原式＝sin (32π＋α)·cos (π2－α)sin (π2－α)sin α＝(－cos α)·sin αcos α·sin α＝－1．答案 －16．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，且α为第三象限角，求 sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2·sin ⎝⎛⎭⎫3π2－α·tan 2(2π－α)·tan (π－α)cos ⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α的值．解 因为5x 2－7x －6＝0的两根为x ＝2或x ＝－35，所以sin α＝－35，又因为α为第三象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－45.所以tan α＝34．故原式＝(－cos α)·(－cos α)·tan 2α·(－tan α)sin α·(－sin α)＝tan α＝34．7．设tan ⎝⎛⎭⎫α＋8π7＝m ． 求证：sin ⎝⎛⎭⎫α＋15π7＋3cos ⎝⎛⎭⎫α－13π7sin ⎝⎛⎭⎫－α＋20π7－cos ⎝⎛⎭⎫α＋22π7＝m ＋3m ＋1．证明 左边＝sin ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫α＋8π7＋3cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋8π7－3πsin ⎣⎡⎦⎤4π－⎝⎛⎭⎫α＋8π7－cos ⎣⎡⎦⎤2π＋⎝⎛⎭⎫α＋8π7＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋8π7－3cos ⎝⎛⎭⎫α＋8π7－sin ⎝⎛⎭⎫α＋8π7－cos ⎝⎛⎭⎫α＋8π7＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋8π7＋3tan ⎝⎛⎭⎫α＋8π7＋1＝m ＋3m ＋1＝右边． ∴原等式成立．能力提升8．若f (sin x )＝3－cos 2x ，则f (cos x )等于( ) A ．3－cos 2x B ．3－sin 2x C ．3＋cos 2xD ．3＋sin 2x解析 f (cos x )＝f (sin(π2－x ))＝3－cos 2(π2－x )＝3－cos(π－2x )＝3＋cos 2x ．答案 C9．α为锐角，2tan(π－α)－3cos ⎝⎛⎭⎫π2＋β＝－5，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α＝( ) A ．355B ．377C ．31010D ．13解析 由条件可知－2tan α＋3sin β＝－5①，tan α－6sin β＝1②， ①式×2＋②式可得tan α＝3， 即sin α＝3cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，α为锐角， 故可解得sin α＝31010．答案 C10．已知tan(3π＋α)＝2，则sin (α－3π)＋cos (π－α)＋sin (π2－α)－2cos (π2＋α)－sin (－α)＋cos (π＋α)＝________．解析 ∵tan(3π＋α)＝2，∴tan α＝2， ∴原式＝sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝22－1＝2． 答案 211．定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝90°，则称θ与φ“广义互余”．已知sin(π＋α)＝－14，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是________(填上所有符合的序号)．①sin β＝154；②cos(π＋β)＝14；③tan β＝15； ④tan β＝155． 解析 ∵sin(π＋α)＝－sin α， ∴sin α＝14，若α＋β＝90°，则β＝90°－α，故sin β＝sin(90°－α)＝cos α＝±154，故①满足； ③中tan β＝15，即sin β＝15cos β，又sin 2β＋cos 2β＝1，故sin β＝±154，即③满足，而②④不满足． 答案 ①③12．是否存在角α，β，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式 ⎩⎪⎨⎪⎧sin (3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2－β，3cos (－α)＝－2cos (π＋β)同时成立．若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．解 由条件，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β. ②①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2， ③ 又因为sin 2α＋cos 2α＝1，④由③④得sin 2α＝12，即sin α＝±22，因为α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，所以α＝π4或α＝－π4． 当α＝π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知符合．当α＝－π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知不符合．综上所述，存在α＝π4，β＝π6满足条件．13．(选做题)已知sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α·cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝60169，且π4<α<π2，求sin α与cos α的值． 解 sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α＝－cos α， cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π2＋α＝－sin α． ∴sin α·cos α＝60169，即2sin α·cos α＝120169.① 又∵sin 2α＋cos 2α＝1，②①＋②得(sin α＋cos α)2＝289169，②－①得(sin α－cos α)2＝49169．又∵α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，∴sin α>cos α>0， 即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0， ∴sin α＋cos α＝1713，③ sin α－cos α＝713，④③＋④得sin α＝1213，③－④得cos α＝513．。
§1.3三角函数的诱导公式(2)
第一章 §1.3 三角函数的诱导公式 第二课时学习目标：（1）理解识记诱导公式（2）理解和掌握公式的内涵及结构特征，会初步运用诱导公式求三角函数的值 （3）会进行简单三角函数式的化简和证明。
预习导航：要求：在上课前认真阅读教材，完成导学案上的预习导航，并将不懂知识进行标注 1. 写出诱导公式一～四？观察这四组公式共同特点是？2、 公式五3、 公式六公式五～六可以概括如下:4、点P 1（x,y ）关于直线y=x 对称的点P 2的坐标如何？ 探究问题（一） 诱导公式五思考1：sin （90°-60°）与sin60°的值相等吗？相反吗？思考2：sin （90°-60°）与cos60°,cos(90°-60°)与sin60°的值分别有什么关系？据此，你有什么猜想？思考3：如果α为锐角，你有什么办法证明ααπcos )2sin(=-与ααπsin )2cos(=-？思考4：若α为一个任意角，那么απ-2的终边与α的终边有什么对称关系？思考5：设角α的终边与单位圆的交点为P 1（x,y ），则απ-2的终边与单位圆的交点为P 2（x,y ）,根据三角函数的定义，你能获得那些结论？探究问题（二）απ+2的诱导公式思考1：απ-2与απ+2有什么内在联系？思考2：根据相关诱导公式推导，3sin(),2πα- 3sin(),2πα+ 3cos(),2πα-)23cos(απ+探究问题（三） 公式的应用 例1： 化简：)29)sin(-)sin(--)sin(3-cos()-211)cos(2)cos()cos(-sin(2απαπαπαπαπαπαπαπ+++课堂小结：1.这节课学到了什么2.各小组表现如何课下作业：课本P28 练习7)60(sin 1)60(cos )30(tan 1ααα++++-31)30(sin =-α 32)6(cos =-απ)32(sin πα-例3 已知 ，求 的值。
三角函数诱导公式(二)
cosπ2－θ＝sin θ，cosπ2＋θ＝－sin θ， 所以 B，D 项与 cos32π－θ的值相等.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
4.若 sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－41，则 cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值为
＝1－c2os2θ＝sin22θ＝右边，
∴原等式成立.
三、诱导公式的综合应用
例 3 已知 sin(π－α)－cos(π＋α)＝ 32，求下列各式的值： (1)sin32π＋αcosα－π2；
解 由 sin(π－α)－cos(π＋α)＝ 32， 得 sin α＋cos α＝ 32， 两边平方整理得 2sin αcos α＝－79， ∴sin αcos α＝－178， ∴cos α－sin α ＝± cos α－sin α2＝± 1－2sin αcos α
√ A.－16
B.－38
1 C.6
3 D.8
解析 由 sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－14， 得 sin α＝18，
cos(270°－α)＋2sin(360°－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－38.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
(2)已知 sinπ3－α＝12，则 cosπ6＋α的值为__12__. 解析 cosπ6＋α＝cosπ2－π3－α ＝sinπ3－α＝12.
延伸探究 1.将本例(2)的条件改为 sinπ3＋α＝12，求 cos56π＋α的值.
解 cos56π＋α＝cosπ2＋π3＋α ＝－sinπ3＋α＝－12.
＝co－s θsi·nsiθn·θc·otsanθ θ
1.3三角函数的诱导公式(二)
课 题：1.3正弦、余弦的诱导公式（二）教学目的：学会关于90︒ k ± α两套诱导公式，并能应用，进行简单的三角函数式的化简及论证。
教学重点：诱导公式教学难点：诱导公式的灵活应用授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、讲解新课：诱导公式5：（课件1.3.7）sin(90︒ -α) = cos α, cos(90︒ -α) = sin α.tan(90︒ -α) = cot α, cot(90︒ -α) = tan α. sec(90︒ -α) = csc α, csc(90︒ -α) = sec α诱导公式6：（课件1.3.8） sin(90︒ +α) = cos α, cos(90︒ +α) = -sin α.tan(90︒ +α) = -cot α, cot(90︒ +α) = -tan α. sec(90︒ +α) = -csc α, csc(90︒+α) = sec α如图所示 sin(90︒ +α) = M’P’ = OM = cos αcos(90︒ +α) = OM’ = PM = -MP = -sin α或由6式：sin(90︒ +α) = sin[180︒- (90︒ -α)] = sin(90︒ -α) = cos αcos(90︒ +α) = cos[180︒- (90︒ -α)] = -sin(90︒ -α) = -cos α二、讲解范例： 例1)2cos()5cos()2sin()4sin()cot()2tan()23cos()2sin(απαπαπαπαπαπαπαπ+-+--=+-+---+k k k 求证： 证：α-ααα=α+α-α+α=sin cos cos sin cot tan sin cos 左边 α-ααα=α+α-αα-=s i n c o s c o s s i n s i n c o s c o s s i n 右边 左边 = 右边 ∴等式成立例2的值。
三角函数的诱导公式(二)
§1.3 三角函数的诱导公式（二）【使用说明及学法指导】1.先精读一遍教材P25-P27，用红色笔进行勾画。
再针对预习案二次阅读并回答；2.若预习完可对合作探究部分进行认真审题，做不完的正课时再做，对于变式部分BC层可以不做；3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑；【学习目标】1.掌握诱导公式并能灵活应用进行化简求值，提高和渗透化归数学思想；2.积极讨论，踊跃展示，大胆质疑，探究诱导公式的应用规律；3.以极度热情投入学习，享受学习数学的快乐；+( 2kα∈的关系，记忆口诀“奇变偶不变，符号看象4之间角的三角函1.将下列三角函数化为045之间的三角函数（1）sin115= （2）cos105= （3）tan110= （4）sin85=2.求值（1）19sin()4π-= （2）4tan()3π-= （3）cos()2πα-= (4) sin()2πα-=例1、 （1）化简)2cos()23sin()27cos()2sin()23sin()sin()3tan(απαππααπαπαπαπ++--+---（2）求证：对任意的整数k1)212cos()232sin()212cos()212sin(-=--∙++++∙-+απαπαπαπk k k k变式练习：已知C B A ,,是ABC ∆的三个内角，求证： （1）A C B A cos )2cos(-=++(2) 2cos 2sin AC B =+ (3) 43tan 4tan CB A +-=+π例2.(1)已知方程sin(α - 3π) = 2cos(α - 4π)，求)sin()23sin(2)2cos(5)sin(ααπαπαπ----+-的值。
(2)已知31)3sin(=+απ，求)65cos(απ+值变式练习：已知)23sin()sin()23sin()2cos()2cos()(απαππααπαπα+∙--+-∙-∙+=f （1）化简)(αf（2）若α是第三象限角，且51)23cos(=-πα，求)(αf 的值课堂小结一、选择题1、sin(α－2π)= （ ） A ．sin(23π+α) B ．cos(2π+α) C ．cos(2π－α) D ．sin(2π+α)2、如果sin(π+α)=－21,那么cos(α-π23)= （ ） A ．－21 B ．21 C ．－23 D ．233、)75(sin 2cos )(cos f x x f ，则== （ ）A ．21 B ．21- C ．23 D ．23- 4、式子)690sin(630sin )585cos(︒-+︒︒-的值是 （ ）A ．22B ．2C ．32D ．-325、已知31)4sin(=-πα，则)4cos(απ+的值等于 （ ）A ．232B ．－232 C ．31D ．－31二、填空题6、化简___________________28sin 36tan 54tan 62sin 020002=+⋅+．7、54cos 53cos 52cos5cosππππ+++= ． 8、)(sin ,17cos )(cos x f x x f 求若==______________.三、解答题9、已知的值。
三角函数的诱导公式(精品)
π 5 − cosα 公式 − sin 2 + α
式 公 2
3π sin ( +α) = −cosα 2 诱导公式的变形 诱导公式的变形 3π cos( +α) = sinα 2
公式回顾和总结 sin π −α) = sinα ( cos(π −α) = −cosα tan π −α) = −tanα ( sin(2π −α) = −sinα cos(2π −α) = cosα tan(2π −α) = −tanα
cosα
π
式 公 5
π sin − α 2
sin +α) = cosα ( 2 cos( +α) = −sinα 2
π
诱导公式（ 诱导公式（六） 公式
π 3π − α = sin π + − α 因为 sin 2 2
共同点： 共同点： 函数名改变,符号与前面值的正负一至. 函数名改变,符号与前面值的正负一至. 前面值的正负一至
π
π
π
π
记忆方法： ※记忆方法： 奇变偶不变，符号看象限． 奇变偶不变，符号看象限．
说明： 说明：
偶 的 k 奇 性 奇 指 是 中的 偶 ； 2 符 指 是 面 角数 符 ( 象 决 ) 号 的 前 三 函的 号 由 限 定
正弦正切为奇函数、余弦为偶函数！！！ 正弦正切为奇函数、余弦为偶函数！！！
因为
sin( −α ) = sin(2π + (− α )) cos( −α ) = cos(2π + (− α )) tan( −α ) = tan(2π + (− α ))
所以
sin 2π −α) = −sinα ( cos(2π −α) = cosα tan 2π −α) = −tanα (
三角函数诱导公式全集
三角函数诱导公式全集三角函数诱导公式一：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（-α）=-sinαcos（-α）=cosαtan（-α）=-tanαcot（-α）=-cotα三角函数诱导公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π+α）=-sinαcos（π+α）=-cosαtan（π+α）=tanαcot（π+α）=cotα三角函数诱导公式三：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π-α）=sinαcos（π-α）=-cosαtan（π-α）=-tanαcot（π-α）=-cotα三角函数诱导公式四：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ+α）=sinα(k∈Z)cos（2kπ+α）=cosα(k∈Z)tan（2kπ+α）=tanα(k∈Z)cot（2kπ+α）=cotα(k∈Z)三角函数诱导公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π-α）=-sinαcos（2π-α）=cosαtan（2π-α）=-tanαcot（2π-α）=-cotα三角函数诱导公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2+α）=cosαcos（π/2+α）=-sinαtan（π/2+α）=-cotαcot（π/2+α）=-tanαsin（π/2-α）=cosαcos（π/2-α）=sinαtan（π/2-α）=cotαcot（π/2-α）=tanαsin（3π/2+α）=-cosαcos（3π/2+α）=sinαtan（3π/2+α）=-cotαcot（3π/2+α）=-tanαsin（3π/2-α）=-cosαcos（3π/2-α）=-sinαtan（3π/2-α）=cotαcot（3π/2-α）=tanα（以上k∈Z）注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。
1.3《三角函数的诱导公式》课件(新人教A必修4)
π
2
− θ ) D. sin(
2
4 在第四象限， cos( + α ) = α在第四象限， 2 5 3π 则 sin( + α )的值是 2
牛刀小试
π
A
3 3 3 4 A. − B . C . ± D. 5 5 5 5
牛刀小试
sin 280 = m , 则 cos 10 等于
B
A : m B : −m C : 1 − m D : − 1 − m
4 10、 α + π ) = 且 sin α ⋅ cos α < 0, 求 sin( 5 2 sin(α − π ) + 3 tan( 3π − α ) 4 cos(α − 3π )
1 6.已知 sin( 7π + α ) = − ,求tan(π 已知 求 3
1 17π cos( − ) 3
+ α ) 的值 的值.
π 1 7.已知 cos α = ,且 − < α < 0 ,求 已知 且 求 3 2 sin( 2π + α ) 的值. 的值 cos( −α ) tan α tan( −α − π )
2π 3π 4π 5π 4 : cos + cos + cos + cos + cos + cosπ 6 6 6 6 6
π
π
巩固练习 1 利用公式求下列三角函数值 利用公式求下列三角函数值.
(1) cos 750
0
11π ( 2) sin( − ) 6 (4) cos( −14100 )
的值是_______. 的值是
8.已知 tan α = −3 ,求sin(π + α ) cos(π − α ) 的值 已知 的值. 求
1.2.3 三角函数的诱导公式(2)
1.2.3 三角函数的诱导公式（2）一、课题：三角函数的诱导公式(2)二、教学目标：1.引导学生利用公式一、二、三推导公式四、五；2.在理解、记忆五组诱导公式的基础上，正确运用公式求任意角的三角函数值及对三角函数式的化简、证明；3．加深理解化归思想。
三、教学重、难点：五组诱导公式的记忆、理解、运用。
四、教学过程：（一）复习：1．复习诱导公式一、二、三；2．对“函数名不变，符号看象限”的理解。
（二）新课讲解：1．公式推导：我们继续推导公式：即1800ααα--与36和的同名三角函数的关系。
（1）请学生自行仿上节课的推导方法得出它们的关系。
（2）启发学生讨论：能否根据诱导公式一、二、三推导出它们的关系。
[推导过程]sin(180)sin[180()]sin()sin αααα-=+-=--=；cos(180)cos[180()]cos()cos αααα-=+-=--=-；sin(360)sin[360()]sin()sin αααα-=+-=-=-；cos(360)cos[360()]cos()cos αααα-=+-=-=．[结论]诱导公式四：sin(180)sin αα-=；cos(180)cos αα-=-．诱导公式五：sin(360)sin αα-=-；cos(360)cos αα-=．说明：①公式二中的α指任意角；②在角度制和弧度制下，公式都成立；③公式特点：函数名不变，符号看象限；④可以导出正切：tan(180)tan αα-=-；tan(360)tan αα-=-．2．五组诱导公式：五组公式可概括如下：360(),,180,360k k Z αααα+⋅∈-±-的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。
说明：（1）要化的角的形式为180k α⋅±（k 为常整数）；（2）记忆方法：“函数名不变，符号看象限”；（3）利用五组诱导公式就可以将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数。
1.3.1三角函数的诱导公式2、3、4
钝角→锐角
记忆方法：利用图形
解题一般步骤
负角
（公式三）
正角
（公式一） k 2
0~2π
（公式二）
（公式四）
0~π
锐角
例1、 将下列各三角函数化成锐角三角函数 (1) sin(-699º ) (3) tan(-872º ) (2) cos(-1525º ) (4) cos(92º )
答案：(1) –sin21º (2) cos85º (3) tan28º (4) -sin2º
练习 将下列三角函数转化为锐角三角函数,并 填在题中横线上 4 cos 13 9 1 cos ______; 9 sin1 ______; 2 sin 1
(2)cos( 1290 ) cos1290 cos(210 3 360 )
cos 210 cos(180 30 ) cos30
3 2
练习：求三角函数值
3 tan ⑴ 4
诱导公式（三）
sin y sin( ) y cos( ) x
tan( ) y y x x
cos x
tan y x
公式三
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
高中数学：1.3三角函数的诱导公式(二)
【延伸探究】若本例1题设不变,如何求 cos(5 ) 的
6
值呢?
【解析】cos(5 ) cos[ ( )] sin( ) 1 .
6
23
3
2
【方法技巧】用诱导公式化简求值的三个角度 (1)角的变化:对于三角函数式的化简求值问题,一般遵 循诱导公式先行的原则,即先用诱导公式化简变形,达 到角的统一. (2)切化弦:切化弦,以保证三角函数名最少.
sin( )cos(2 )sin( 3) sin( )sin( ) 2 2
sincos(cos) cos. sincos
(2)因为 cos( 3) 1，
25
所以-sinα= 1,又α是第三象限角,
5
所以cosα= 1 ( 1)2 2 6 .
5
5
所以f(α)=-cosα= 2. 6
的符号.
【点拨】(1)对诱导公式五、六的两点说明 ①诱导公式五、六反映的是角 ±α与α的三角函数
2
值之间的关系.可借用口诀“函数名改变,符号看象限” 来记忆. ②诱导公式是三角变换的基本公式,其中角可以是一个 单角,也可以是一个复角,应用时要注意整体把握,灵活 变通.
(2)解读六组诱导公式 ①诱导公式一～六揭示了终边具有某种对称关系的两 个角的三角函数之间的关系. ②这六组诱导公式可归纳为“k·90°±α(k∈Z)”的 三角函数值与α的三角函数值之间的关系.
tan
3 4
.
2
2
【错解分析】分析解题过程,请找出错误之处.
提示:错误的根本原因是cos (11 化简) 时出错,
2
实际上cos (11 =c) os (6 =co s) = ( )
2
2
2
三角函数的诱导公式(二)(附答案)
三角函数的诱导公式（二）[学习目标] 1.掌握诱导公式五、六的推导 ，并能应用解决简单的求值、化简与证明问题.2.对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会六组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力.3.继续体会知识的“发生”、“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力．知识点一 诱导公式五～六(1)公式五：sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos α；cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α. 以－α替代公式五中的α，可得公式六．(2)公式六：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α；cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α. 思考1 根据任意角α与π2－α的终边关于直线y ＝x 对称，推导诱导公式五．思考2 根据π2＋α＝π－(π2－α)这一等式，利用诱导公式四和诱导公式五推导诱导公式六．知识点二 诱导公式的理解、记忆与灵活应用公式一～四归纳：α＋2k π(k ∈Z )，－α，π±α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”． 公式五～六归纳：π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”．六组诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z )”的诱导公式．当k 为偶数时，函数名不改变；当k 为奇数时，函数名改变；前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”．思考 请你根据上述规律，完成下列等式． sin(32π－α)＝－cos α，cos(32π－α)＝－sin α sin(32π＋α)＝－cos α，cos(32π＋α)＝sin α.题型一 利用诱导公式求值例1 已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，π2≤α≤3π2，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋2π3的值． 解 ∵α＋2π3＝⎝⎛⎭⎫α＋π6＋π2， ∴sin(α＋2π3)＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π6＋π2＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35.跟踪训练1 已知sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫α－π3的值． 解 ∵cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝33.题型二 利用诱导公式证明恒等式例2 求证：tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝－tan α.证明 左边＝tan (－α)·sin (－α)·cos (－α)sin ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α＝(－tan α)·(－sin α)·cos αsin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin 2α－sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin 2α－cos α·sin α＝－sin αcos α＝－tan α＝右边．∴原等式成立．跟踪训练2 求证：2sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2－11－2sin 2 (π＋θ)＝tan (9π＋θ)＋1tan (π＋θ)－1. 证明 左边＝－2sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ·(－sin θ)－11－2sin 2θ＝2sin ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2cos θsin θ－1cos 2θ＋sin 2θ－2sin 2θ ＝(sin θ＋cos θ)2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ. 右边＝tan θ＋1tan θ－1＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ.∴左边＝右边，故原等式成立． 题型三 诱导公式的综合应用例3 已知f (α)＝sin (α－3π)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos (－π－α)sin (－π－α).(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限的角，且cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f (α)的值； (3)若α＝－31π3，求f (α)的值．解 (1)f (α)＝(－sin α)·cos α·(－cos α)(－cos α)sin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝－sin α＝15，∴sin α＝－15， 又α是第三象限的角， ∴cos α＝－1－⎝⎛⎭⎫－152＝－265，∴f (α)＝265. (3)f ⎝⎛⎭⎫－31π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫－31π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫－6×2π＋5π3 ＝－cos5π3＝－cos π3＝－12. 跟踪训练3 已知cos(α－75°)＝－13，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．解 ∵cos(α－75°)＝－13<0，且α为第四象限角，∴α－75°是第三象限角．∴sin(α－75°)＝－1－cos 2(α－75°) ＝－1－－132＝－223.∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)] ＝－sin(α－75°)＝223.诱导公式的应用例4 已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π2， 求sin 3(π－α)＋cos (α＋π)5cos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＋3sin ⎝⎛⎭⎫7π2－α的值．解 ∵cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π2， －sin α＝－2sin(π2－α)，∴sin α＝2cos α，∴tan α＝2. ∴sin 3(π－α)＋cos (α＋π)5cos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＋3sin ⎝⎛⎭⎫7π2－α＝sin 3α－cos α5cos (π2－α)－3sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝sin 3α－cos α5sin α－3cos α＝sin 2α·tan α－15tan α－3＝2sin 2α－110－3＝2sin 2α－17＝2sin 2α－(sin 2α＋cos 2α)7(sin 2α＋cos 2α)＝sin 2α－cos 2α7(sin 2α＋cos 2α) ＝tan 2α－17(tan 2α＋1) ＝4－17×(4＋1)＝335.1．若sin α＝12，则cos(π2＋α)的值为( )A.12B.32 C ．－12 D ．－32 2．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3的值为( ) A ．－233 B.233 C.13 D ．－133．代数式sin 2(A ＋45°)＋sin 2(A －45°)的化简结果是 ． 4．已知sin(π＋α)＝－13.计算：(1)cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2； (2)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α； (3)tan(5π－α)．5．已知sin(5π－θ)＋sin ⎝⎛⎭⎫52π－θ＝72，求sin 4⎝⎛⎭⎫π2－θ＋cos 4⎝⎛⎭⎫32π＋θ的值．一、选择题1．已知sin(5π2＋α)＝15，那么cos α等于( )A ．－25B ．－15 C.15 D.252．若sin(3π＋α)＝－12，则cos(7π2－α)等于( )A ．－12 B.12 C.32 D ．－323．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值等于( ) A ．－13 B.13 C ．－223 D.2234．若sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为( ) A ．－2m 3 B.2m 3 C ．－3m 2 D.3m25．已知cos(π2＋φ)＝32，且|φ|<π2，则tan φ等于( )A ．－33 B.33C ．－ 3 D. 3 6．已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( )A.13B.23 C ．－13 D ．－23 二、填空题7．式子cos 2(π4－α)＋cos 2(π4＋α)＝ .8．若sin(α＋π12)＝13，则cos(α＋7π12)＝ .9．已知f (α)＝tan (π－α)·cos (2π－α)·sin (π2＋α)cos (－α－π)，化简f (α)＝ .10．已知tan(3π＋α)＝2，则sin (α－3π)＋cos (π－α)＋sin (π2－α)－2cos (π2＋α)－sin (－α)＋cos (π＋α)＝ .三、解答题11．已知角α终边经过点P (－4,3)，求 cos (π2＋α)sin (－π－α)cos (11π2－α)sin (9π2＋α)的值．12．已知sin(θ－32π)＋cos(32π＋θ)＝35，求sin 3(π2＋θ)－cos 3(3π2－θ)．当堂检测答案1．答案 C解析 ∵sin α＝12，∴cos(π2＋α)＝－sin α＝－12.2．答案 D解析 cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝cos ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫α－π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝－13. 3．答案 1解析 原式＝sin 2(A ＋45°)＋sin 2(45°－A ) ＝sin 2(A ＋45°)＋cos 2(A ＋45°)＝1.4．解 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝－13，∴sin α＝13.(1)cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－sin α＝－13. (2)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α，cos 2α＝1－sin 2 α＝1－19＝89. ∵sin α＝13，∴α为第一或第二象限角．①当α为第一象限角时，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝223. ②当α为第二象限角时，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝－223. (3)tan(5π－α)＝tan(π－α)＝－tan α， ∵sin α＝13，∴α为第一或第二象限角．①当α为第一象限角时，cos α＝223，∴tan α＝24，∴tan(5π－α)＝－tan α＝－24. ②当α为第二象限角时，cos α＝－223，tan α＝－24，∴tan(5π－α)＝－tan α＝24.5．解 ∵sin(5π－θ)＋sin ⎝⎛⎭⎫52π－θ ＝sin(π－θ)＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ ＝sin θ＋cos θ＝72， ∴sin θcos θ＝12[(sin θ＋cos θ)2－1]＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫722－1＝38，∴sin 4⎝⎛⎭⎫π2－θ＋cos 4⎝⎛⎭⎫32π＋θ＝cos 4θ＋sin 4θ ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ ＝1－2×⎝⎛⎭⎫382＝2332.课时精练答案一、选择题 1．答案 C解析 sin(5π2＋α)＝cos α，故cos α＝15，故选C.2．答案 A解析 ∵sin(3π＋α)＝－sin α，∴sin α＝12，∴cos(7π2－α)＝cos(3π2－α)＝－cos(π2－α)＝－sin α＝－12.3．答案 A解析 cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－13.4．答案 C解析 ∵sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α－sin α＝－m ， ∴sin α＝m2.故cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α ＝－3sin α＝－32m .5．答案 C解析 由cos(π2＋φ)＝－sin φ＝32，得sin φ＝－32，又∵|φ|<π2，∴φ＝－π3，∴tan φ＝－ 3.6．答案 D解析 sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝sin [(75°＋α)－90°]＋cos [180°－(75°＋α)] ＝－sin [90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α) ＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α) ＝－2cos(75°＋α)＝－23.二、填空题 7．答案 1解析 原式＝sin 2[π2－(π4－α)]＋cos 2(π4＋α)＝sin 2(π4＋α)＋cos 2(π4＋α)＝1.8．答案 －13解析 cos(α＋7π12)＝cos[π2＋(α＋π12)]＝－sin(α＋π12)＝－13.9．答案 sin α解析 f (α)＝tan (π－α)·cos (2π－α)·sin (π2＋α)cos (－α－π)＝－tan α·cos α·cos α－cos α＝sin α.10．答案 2解析 ∵tan(3π＋α)＝2，∴tan α＝2， ∴原式＝sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝22－1＝2. 三、解答题11．解 ∵角α终边经过点P (－4,3)， ∴tan α＝y x ＝－34，11 ∴cos (π2＋α)sin (－π－α)cos (11π2－α)sin (9π2＋α)＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α ＝－34.12．解 ∵sin(θ－32π)＋cos(32π＋θ)＝－sin(32π－θ)－cos(π2＋θ)＝sin(π2－θ)＋sin θ＝sin θ＋cos θ＝35.∴sin θcos θ＝12[(sin θ＋cos θ)2－1]＝12(925－1)＝－825.∴sin 3(π2＋θ)－cos 3(3π2－θ)＝cos 3θ＋cos 3(π2－θ)＝cos 3θ＋sin 3θ＝(sin θ＋cos θ)(sin 2θ－sin θcos θ＋cos 2θ) ＝35×[1－(－825)]＝99125.。
1.3 三角函数的诱导公式(二)
y
2
的终边
诱导公式五：
P2(y，x)
sin(
O P1(x，y)
2
) cos ) sin
x
cos(
2
思考5： 与 有什么内在联系？ 2 2
2
(
2
)
思考6：根据相关诱导公式推导 sin( 分别等于什么？ 诱导公式六：
1－2cos 20sin 20 －cos 20 sin 20 －cos 20 sin 20 －sin 20 cos 20 －1. －cos 20 sin 20
sin 20－cos 20
2
例、若 sin cos
2 sin －cos 【解析】由 sin cos 得，tan α=3， 2 sin －cos 则 sin －5 sin( 3 －) －sin － 5 sin( －) 2 2 －sin － [－sin( －)] －sin (－cos ) 2 sin cos sin cos 2 sin cos 2 tan 3 2 . tan 1 10
例.化简 1－2sin 290cos 110 sin 250 sin 20 【解析】 1－2sin 290cos 110 sin 250 sin 20
=________.
1－2sin 270 20 cos 90 20 sin 270－20 sin 20 1－2 －cos 20 －sin 20 －cos 20 sin 20
45 (
2 2 91 ) . 2 2 答案： 91 2
1.3三角函数的诱导公式(二)
河南师大附中普通班导学案 高一数学人教必修4 编写：宋慧娜 校审：关仲卿____________________________________________________________________________________________人之所以能，是相信能。
§1.3三角函数的诱导公式（二）【学习目标】【自主学习】1.cos α ，sin α-.2. cos α，sin α-3.余（正）弦，锐角.3. 答：奇变偶不变”是说，角前面的度数是90度的倍数。
如果是偶数，则函数名称不变，如果是奇数，则要变成它的余函数（正、余弦互相变，正、余切互相变，正、余割互相变）“符号看象限”是说，要服从原来的角所在的象限中原来函数的符号。
【自主检测】1． (1)cos 22︒ (2) sin15︒(3) cos 25︒ (4) sin5︒-2.2sin α-【典型例题】例1．（1）证明：()33sin sin cos cos 222πππααπαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （2）证明：()33cos cos sin sin 222πππααπαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭例2．解析：原式=()()()sin cos sin sin tan cos sin sin cos ααααααααα---=- 例3． 解析：原式= ()()12cos 20sin 20cos 20sin 201cos 20sin 20sin 20cos 20︒︒︒︒︒︒︒︒----==--+-【课堂检测】1.D2. B3. D4. 解：设75αθ︒+=，则75αθ︒=-. α 为第三象限角 θ∴为第三或第四象限角 ()c o s 75c o s 0αθθ︒+=>∴ 为第四象限角. ∴原式=()()51217sin 270cos 90cos sin 131313θθθθ︒︒-+-=-+=--=-。
高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式2课件新人教版A
【例 2】
化简
cos 52π-������ cos(-������) sin 32π+������ cos 212π-������
=
.
解析:原式
cos
=
-sin
π 2
=
sin
cos 2π+ π2-������ cos������ π+ π2+������ cos 10π+ π2-������
π2 -������ cos������
六都叫做诱导公式
归纳总结诱导公式五和六可用口诀“函数名改变,符号看象限”记 忆,“函数名改变”是指正弦变余弦,余弦变正弦.“符号看象限”是把α 看成锐角时原三角函数值的符号.
【做一做1】 已知sin 25.7°=m,则cos 64.3°等于( )
A.m
B.-m
C.m2
D. 1-������2
答案:A
+ ������
cos
π 2
-������
sin������cos������ = -cos������sin������ = −1.
答案:-1
题型一 题型二 题型三 题型四
【变式训练 2】
化简
cos(π+������) cos������[cos(π-������)-1]
+
sin
������-32π
2
公式六 sin ������ + α = cos ������
2
cos ������ + α = −sin ������
2
公式五和公式六可以概括为:
������ 2±
������的正弦
余弦
函数值, 分别等于������的余弦
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§3.10 三角函数的诱导公式(二)
教学目标：教学知识点:正弦、余弦的诱导公式．
教学过程：
一、复习回顾
诱导公式一～四 (1)公式一：sin(α＋2k π)＝______，cos(α＋2k π)＝______，tan(α＋2k π)＝______，其中k ∈Z ．
(2)公式二：sin(－α)＝_________，cos(－α)＝_________，tan(－α)＝________．
(3)公式三：sin(π－α)＝________，cos(π－α)＝________，tan(π－α)＝________．
(4)公式四：sin(π＋α)＝________，cos(π＋α)＝________，tan(π＋α)＝________．
二、新授
诱导公式五～八
(1)公式五：=-)2sin(
απ ，=-)2cos(απ
，=-)2tan(απ ． (2)公式六：=+)2sin(απ ，=+)2cos(απ ，=+)2
tan(απ ． (3)公式七：=-)23sin(απ ，=-)23cos(απ ，=-)2
3tan(απ ． (4)公式八：=+)23sin(απ ，=+)23cos(απ ，=+)2
3tan(απ ． 总结：①诱导公式五～八的记忆απ±2，απ±2
3的三角函数值，等于α的________三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的________．
②诱导公式一～八记忆口诀为： ．
三、应用举例
例1．化简)2
5sin()2cos()5tan()4cos()23cos()3sin(πααππααππααπ-+-+--
例2．①若sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝13，则cos ⎝⎛⎭
⎫α＋7π12＝________． ②若sin(3π＋α)＝－12
，则cos ⎝⎛⎭⎫72π－α＝________．
例3．已知3
1)75cos(=+αο，且οο90180-<<-α，求)15cos(α-ο的值．
例4．①已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)的值为______．
②(cos )cos17,(sin )f x x f x =若求.
作业： 班级 姓名 学号
1．化简)2
cos()2sin()sin()cos(αππααππα+---= ． 2．化简)
3tan()2sin()
sin()2cos(απαπ
απαπ-++-= ． 3．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝13，则cos ⎝⎛⎭
⎫π4＋α的值等于________． 4．已知cos(75°＋α)＝13
，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是________． 5．已知41)6sin(=+π
x ，则)3
(sin )65sin(2x x -+-ππ= ． 6．代数式sin 2(A ＋45°)＋sin 2(A －45°)的化简结果是________．
7．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝________．
8．已知tan(3π＋α)＝2，则sin (α－3π)＋cos (π－α)＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－α－2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α－sin (－α)＋cos (π＋α)
＝________． 9．已知函数满足x 2cos )x (cos f =，则)15(sin f ︒= ．
10．已知x x x f 3cos tan 1)(tan -=，则=)tan 1(x
f ．
11．已知51)4sin(
-=-x π，且20π<<x ，求)4
sin(x +π的值．
12．设a =+)78tan(πα，求)7
22cos()720sin()713cos(3)715sin(πααππααπ+---++．。