沪教版(上海)初中数学九年级第一学期26.2(1)特殊二次函数的图像(二次函数 的图像) 教案
沪教版(上海)九年级第一学期 教案 26.2特殊二次函数(1)
§26.2特殊二次函数图像（1）普陀区课题组教学目标 :1．观察二次函数2x y =的图像的生成过程，初步归纳二次函数2x y =的图像形状和位置特征．2．会用描点法画出二次函数2ax y = 的图像，再次感受二次函数2ax y =的图像特征． 3. 在运用图像研究二次函数直观性质的过程中，领会数形结合的思想方法，提高观察、分析、归纳和概括的能力．教学重点：二次函数2ax y =的图像特征的归纳． 教学难点：二次函数的2ax y =图像特征的运用． 教学过程：教师活动学生活动设计意图 一、 复习引入问1：前一节课我们学习了二次函数的概念，请回顾一下二次函数的定义？ 问2：定义中a ≠0，那么b 、c 可以为0吗？如果c =0，则解析式可简化为怎样的？ 问3：如果c =0，b 也等于0时，则解析式简化为怎样？师：就像一次函数一样，有了函数概念，我们还要研究函数图像．我们先从)0(2≠=a ax y 的图像开始研究．二、学习新知 问1： 一次函数的图像的描画过程是怎样的？ 师：我们研究二次函数y =x 2的图像： 问2：先列表，首先要考虑自变量的取值范围，自变量x 的取值范围是什么？ 师：考虑自变量x 可以取任意实数，因此以0为中心选取x 的值，列出函数对应值表.师：然后在几何画板的坐标平面中描点，在描点过程中分别取x 的值和相应的函数值y 作为点的坐标.答1：一般的，形如y =ax 2+bx +c (a 、b 、c 为常数，a ≠0)的函数，叫二次函数.答2：可以的． y =ax 2+bx (a ≠0) 答3：y =ax 2 (a ≠0)y =ax 2+bx +c (a 、b 、c 为常数，a ≠0)的函数，叫二次函数。
答1： 列表，描点，连线． 答2：x 可以取一切实数．师示范，生模仿，同步画图，下同．从二次函数的概念的复习入手，由a,b,c 这三个常数的取值变化来引入)0(2≠=a ax y 这种二次函数的解析式，并由此开始二次函数图像的研究．从回顾一次函数图像的描画过程来引入二次函数图像的描画过程．这里可以告诉学生；既然x 可以取一切实数（正数，负数和零），我们不妨选取零和一些互为相反的正负数． 数值表的取值中，x 值由老师提出，可由学生算出y 值．师：最后用平滑的曲线顺次联结各点，得到函数2xy=的图像.师：二次函数y=x2的图像是一条曲线，它属于一类特殊的曲线．这类曲线称为抛物线．二次函数y=x2的图像就称为抛物线y=x2．师：抛物线y=x2有何特征？师：抛物线的顶点：抛物线与它的对称轴．．．．．的交点叫抛物线的顶点．抛物线y=x2的顶点是原点O（0，0）. 【适时小结】抛物线y=x2的图形特征：1．开口方向向上；2．是轴对称图形，对称轴是y轴，即直线x=0；3．抛物线的顶点是原点O（0，0）．试一试：用上述方法取相同的x的值画出二次函数y=-x2的图像，与y=x2的图像进行比较再归纳它的特征.问：y=x2和y=-x2在图像上有何异同？学生观察交流，老师引导归纳，讲解顶点的概念．相同点：1）都是抛物线，且抛物线的顶点是同一个点，都是坐标原点．2）都关于y轴（直线x=0）对称．不同点：1）抛物线y=x2开口方向向上，图教师在几何画板中输入坐标数对，几何画板自动生成平面上的点．这样比黑板画图更为漂亮、精确和高效，也便于下一步连线成抛物线．在几何画板中用函数绘制工具画出2xy=的图像，曲线经过已取的各点．表明这些点的几何即为此抛物线．此时引出抛物线的概念，便于后面反复提及和强调此概念．通过开放性问题，我们引出了图像的一系列的特征：轴对称；开口方向向上；无限延伸特性；抛物线顶点概念以及图像的最低点特征．【适时小结】抛物线y =-x 2的图像特征：1.开口方向向下；图像在y 轴左侧部分上升，y 轴右侧部分下降．2.它是轴对称图形，对称轴是y 轴，即直线x =0.3.顶点是坐标原点，而且它是抛物线的最高点．y =x 2的图像与y =-x 2的图像关于x 轴对称． 例题 在同一个平面直角坐标系xOy 中，分别画出二次函数222121x y x y -==和的图像． 解： 问1:抛物线222121x y x y -==和有何共同特征？有何不同？ 问2:通过以上研究，抛物线y =ax 2(a ≠0)开口方向的变化规律？ 【适时小结】 1.一般，二次函数y =ax 2(a ≠0)图像是抛物线，称为抛物线y =ax 2(a ≠0)； 2.抛物线y =ax 2(a ≠0)是轴对称图形，对称轴是y 轴,即直线x =0； 3.顶点坐标是原点，抛物线的开口方向由a 所取值的符号决定，当a >0时，它开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a <0时，它开口向下，顶点是抛物线的最高点． 师：把2x y =的图像与2x y -=；222121x y x y -==和显示在同一个几何画板，进行比较：问：从上图的y =ax 2(a ≠0)的图像中，我们猜测一下，a 的大小与抛物线开口大小有没有关系？像在y 轴左侧部分下降，y 轴右侧部分上升．抛物线y =-x 2开口方向向下，图像在y 轴左侧部分是上升的，右侧部分是下降的．2）y =x 2顶点是图像最低点，y =-x 2顶点是图像最高点．答1：抛物线221x y =开口向上，向左上方和右上方无限延伸，在y 轴左侧部分下降，在y 轴右侧部分上升．顶点是抛物线最低点． 抛物线221x y -=开口向下，向左下方右下方无限延伸，在y 轴左侧部分上升，在y 轴右侧部分下降．顶点是抛物线最高点． 答2：当a >0时，开口方向向上；a <0时，开口方向向下． 答：有，a 越大，抛物线开口就越小；反之，a 越小，抛物线开口就越大；a 相同，抛物线形状相同，开口大小相等．2x y -=图像的出现一方面是强化刚才适时小结中抛物线的一些特征；另一方面为了与2xy =的图像进行类比；从而获得异同点，以及两个图像之间的关于x 轴对称的特性． 为了便于对比把取值列表合并在一起．并把两个图像也放在一起研究，便于比较． 通过比较图像的异同点，强化此类二次函数图像的特征． 学生取值，直接把两个函数放在．便于比较数据与图像之间关于这两个函数的比较． 通过再次画出222121x y x y -==和的图形在进一步理解抛物线)0(2≠=a ax y 图像的特征．问5把四个函数放在一个坐三、课堂练习： 1.抛物线231x y =与抛物线231x y -=的图像有何共同点和不同点？两条抛物线有怎样的对称性？2.已知关于x 的二次函数y =(1+2k )x 2 ，当k 为何值时，它的图像开口向上？当k 为何值时，它的图像开口向下？ 3.已知①23x y -=、②223x y =、③2325x y -=，把这三个二次函数图像开口大小由小到大按序号排列．四、课堂小结：学生完成五、作业布置：练习册§26.2（1）答1：列表呈现．答2：开口向上；,21->k ,21-<k 开口向下．答3:②、①、③ 标系内比较，便于学生得理解并归纳出a 的大小与抛物线开口大小之间的关系．课堂练习中增加了a 的大小与抛物线开口大小之间的关系的习题．课堂小结用列表的形式，把本节课所归纳的结论在表格中类比展现，便于学生记忆！。
上海教育版数学九上26.2《特殊二次函数的图象》(第1课时)ppt课件
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小结
1. 二次函数的图像都是抛物线.
2. 抛物线y=ax2的图像性质:
(1)抛物线y=ax2的对称轴是y轴, 顶点是原点.
(2)当a>0时,抛物线的开口向上, 顶点是抛物线的最低点; 当a<0时,抛物线的开口向下, 顶点是抛物线的最高点;
y，轴顶点坐标 ，在减对小称轴
0
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练习
3、二次函数y=ax2+c (a≠0)的图象经过点A（1，-1）， B（2，5），则函数y=ax2+c的表达式为y=2x2-3。 若点C(-2,m),D（n ,7）也在函数的图象上，则点C的坐 标为 (-2,5点) D的坐标为 ( 5,7)或. ( 5,7)
a>0
a<0
开口方向 顶点坐标 对称轴
向上 (0 ,c)
y轴
向下 (0 ,c)
y轴
增减性 极值
x<0:y随x增大而减小 x<0:y随x增大而增大
x>0:y随x增大而增大 x>0:y随x增大而减小
x=0时,y最小=c
x=0时,y最大=c
抛物线y=ax2+c (a≠0)的图象是由y=ax2的图象上下平移得 到.
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练习
4、同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数 y=ax2+c的图象大致是如图中的（ B）
y
y
y
y
o
x
o
x
o
x
o
x
A
B
C
D
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练习
沪教版九年级上册 26.2 二次函数的图像 讲义
二次函数的图像1．掌握几种特殊的二次函数的图像及其性质，学会用描点法画出其大致图像；2．掌握顶点式2()(0)y a x m k a =++≠、一般式)0(2≠++=a c bx ax y 的图像和性质； 3．掌握二次函数解析式的求法，提高运算能力；4．在运用图像研究二次函数直观性质的过程中，领会数形结合的思想方法，提高观察、分 析、归纳和概括的能力．建议2分钟设置问题：xx 同学，上节课我们学习了二次函数的概念，你能举出生活中几个类似的关于二次函数的情形吗？答：花园的喷水池喷出的水，河上架起的拱桥，投篮或掷铅球时球在空中经过的路线等．情境引入：投篮或掷铅球（教师现场抛橡皮）时球在空中经过的路线都会形成一条曲线，我们称之为抛物线．这些抛物线是否能用函数关系式来表示？它们的形状是怎样画出来的？这些都将在新的一章--二次函数中学习。
采用课堂提问的方式，提问内容涵盖本节课的基本知识点。
建议8分钟建议20分钟题型Ⅰ特殊的二次函数的图像和性质例1： 二次函数211y x =-的开口______，对称轴是_______，顶点坐标是______;抛物线2132y x =-+的开口______，对称轴是_______，顶点坐标是______； 二次函数23(2)y x =+的开口______，对称轴是______，顶点坐标是_____．（★） ．【答案】向下、y 轴、（0,0）；向下、y 轴、（0,3）；向上、直线2x =-、（-2,0）．变式：二次函数252y x =-+的开口_____，对称轴是______,顶点坐标是_______；当120x x <<时，则1y ____ 2y （填“>”、“=”或“<”）．（★ ★） ．【答案】向下、y 轴、（0,2）、> ．例2：关于抛物线22y x =与抛物线223y x =--，下列说法正确的是( ) （★★） ．① 它们的对称轴都是y 轴 ② 它们的顶点坐标相同③ 它们的形状相同，开口方向不同 ④ 它们可通过平移得到函数解析式 A.①② B ．②③ C ．①③ D ．③④【分析】两函数解析式中的0b =，对称轴为y 轴. a 的绝对值相同．符号相反，所以它们的 图象形状大小相同，开口方向相反．顶点坐标一为(0，0)，一为(0，－3) ．所以只 有①、③正确．【答案】C ．变式：已知二次函数2y ax c =-，下列结论中正确的个数有( ) （★★） ． ① 图象的顶点在原点 ② 图象的对称轴是y 轴 ③ 图象与x 轴必有交点 ④ y ＝－c 一定是它的最小值 A. 1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】A ． 例3：要将二次函数21(2)3y x =-的图像平移成213y x =的图像，只需将图像( ) （★★） ．A . 向上平移2个单位B . 向下平移2个单位C . 向右平移2个单位D . 向左平移2个单位 【答案】 D ．变式：把函数22(1)y x =--的图像旋转180°后，再向_____平移_____个单位就能得到顶点为原点的抛物线__________．（★★） ． 【答案】 左、1、22y x = ．例4：如图所示，若0a <，则函数21(1)y a x =+与221y ax =-+在同一坐标平面中的大致图像是( ) （★★） ．A B C D 【答案】 C ． 变式：反比例函数k y x=和二次函数2()y k x k =+在同一坐标系中的大致图像是( ) （★★） ．【答案】 B ．例5：已知二次函数268y x =-．求（1）这个二次函数的图像与x 轴的两个交点A 、B 之间的距离； （2）若图像上另有一点21(,)3M m -，求△ABM 的面积．（★★） ． 【答案】（1） 设2680x -=，则 233x =±∴ 点A 2(3,0)3 点B 2(3,0)3- AB ＝433 （2）△ABM 的底边为AB 时高为点M 纵坐标的绝对值∴14323ABM S m ∆=⋅⋅ ∵ M 在二次函数图象上∴2216()863m =⋅--= ∴14364323ABM S ∆=⋅⋅=． 变式：抛物线21(1)2y x =-+经过点A (－3，a )． （1）求A 点关于抛物线对称轴的对称点B 的坐标；（2）若此抛物线的顶点为C .，求ΔABC 的面积．（★★） ．【答案】（1）21(1)2y x =-+过点A (－3，a ) 则a ＝－12(－3＋1)2 ＝－2点A (－3，－2) 对称轴为直线x ＝－1 ∴ 点B 为(1，－2)（2）点C (－1，0) 点A (－3，－2) B (1，－2)∴ AB ＝4 14242ABC S ∆=⋅⋅-=． 题型Ⅱ二次函数2()(0)y a x m k a =++≠的图像和性质例1：若二次函数2()(0)y a x m k a =++≠中，0,0m k <<．则它的图像顶点落在()（★★） ．A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【分析】 二次函数2()(0)y a x m k a =++≠的顶点坐标为(,)m k -，现0m <，则0m ->，又0k >. ∴ 顶点的横坐标和纵坐标均大于零，则点在第一象限．【答案】 A ．变式：在同一直角坐标平面内，二次函数21(3)12y x =+-，21(3)12y x =-++，22(3)1y x =+-图像的共同特点是( ) （★★） ．A. 抛物线的形状相同B. 抛物线的对称轴相同C. 抛物线的顶点坐标相同D. 抛物线的开口方向相同 【答案】 B ．变式：将二次函数23y x =-的图像先向下平移1个单位，再向右平移2个单位后，得到的图像解析式是( ) （★★） ．A. 23(1)2y x =--+ B. 23(2)1y x =---C. 23(1)2y x =-+-D. 23(2)1y x =--+【分析】二次函数图像平移，其开口方向，大小形状均不变，唯一改变的只是顶点位置23y x =-的顶点坐标为(0，0)，向下平移1个单位，再向右平移2个单位为(2，－1)，即－m ＝2，m ＝－2，k ＝－1. 解析式为23(2)1y x =---.【答案】B ．变式：已知抛物线的顶点为(－3，1)，它是由函数21313y x x =-+-的图像平移所得，那么此抛物线的解析式为( ) （★★） ．A. 21(3)13y x =-++ B. 21(3)13y x =++C. 21(3)13y x =--+D. 21(3)13y x =-+【答案】 A ．例3：用配方法将2223y x x =-++化为2()(0)y a x m k a =++≠的形式，并求出它们图像的顶点坐标和对称轴．（★★） ．【答案】 222232()3y x x x x =-++=--+ 2112()342x x =--+++2172()22x =--+ ∴ 图象的顶点坐标为(12，72)对称轴为直线 12x =． 变式：用配方法将2112y x x =-+-化为2()y a x m k =++的形式是________．（★★） ． 【答案】211(1)22y x =--- ．例4：二次函数的图像与x 轴相交于(2，0)、(－3，0)两点，与y 轴交于点(0，－3). 那么这个二次函数的解析式为( ) （★★） ． A. 223y x x =+- B. 26y x x =+-C. 211322y x x =+- D. 211322y x x =-- 【答案】 C ．变式：如果抛物线2y ax bx c =++的图像经过(0，3)、(－1，5)两点，那么代数式a b c --的值为_______．（★★） ．【答案】 -1 ．例5：若0a <，则抛物线237y x ax =+-的顶点在( ) （★★） ． A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D ．变式：已知二次函数223y x mx m =--图像的顶点在第三象限，那么m 的取值范围__________．（★★） ． 【答案】3m <- ．例6：已知抛物线22y x bx =++的顶点恰好在x 轴上，那么b 的取值可以是( ) （★★） ．A. 0B. ±2C. 22±D. ±4 【答案】C ．变式：抛物线222y x x m =+-+的顶点恰好在直线2y x =上，那么顶点坐标是________，m 的值为__________．（★★） ．【答案】（-1，-2）、 1 ．例7：若a >0，b <0．则二次函数2y ax bx c =++的大致图像是( ) （★★） ．A B C D 【答案】 A ．变式：二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，那么abc ，b 2－4ac ，2a ＋b ，a ＋b ＋c 这四个代数式中，值为正数的有( ) （★★） ．A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】 B ．例8：:（1）若抛物线m mx x y 22++=的顶点在y 轴右侧，求m 的取值范围；（★★） ．【答案】0m < ．（2）已知抛物线22(1)16y x k x =-++的顶点在x 轴上，求k 的值；（★★） ． 【答案】 3或-5 ．（3）若抛物线22(1)16y x k x =-++的顶点在y 轴，求k 的值；（★★） ． 【答案】 -1 ．变式：已知二次函数24y ax x b =++的图像的最高点为（2，4），求a 和b 的值．（★★） ．【答案】1,4a b =-=- ．已知抛物线2221y x mx m m =-++-的顶点在第三象限，求m 的取值范围． （★★） ． 【答案】0m < ．题型Ⅲ 灵活题型例1：请你写出一个抛物线的表达式，此抛物线满足对称轴是y 轴，且在y 轴的左侧部分是上:升的，那么这个抛物线表达式可以是 ．（★★） ． 【答案】形如2(0)y ax a =>，如2y x =．变式：已知一个二次函数的图像具有以下特征：（1）经过原点；（2）在直线1=x 左侧的部分，图像下降，在直线1=x 右侧的部分，图像上升．试写出一个符合要求的二次函数解析式：____________ ．（★★） ．【答案】 答案不唯一，满足题意即可，如2(1)1y x =-- ．例2：已知抛物线x x y 62+=，点A （2，m ）与点B （n ，4）关于该抛物线的对称轴对称，那么m n +的值等于 ．（★★） ． 【答案】 -4 ．变式：抛物线12-=ax y 上有一点)2,2(P ，平移该抛物线，使其顶点落在点)1,1(A 处，这时，点P 落在点Q 处，则点Q 的坐标为 ．（★★） ． 【答案】（3,4）．例3：根据下表中关于二次函数c bx ax y ++=2的自变量x 与函数y 的对应值，可判断二次函数的图像与x 轴（ ）（★★） ．（A ）只有一个交点； （B ）有两个交点，且它们分别在y 轴两侧； （C ）有两个交点，且它们均在y 轴同侧； （D ）无交点． 【答案】 B ．变式：已知c bx ax x f ++=2)(（其中c b a 、、为常数，且0≠a ），小明在用描点法画)(x f y =的图像时，列出如下表格.根据该表格，下列判断中，不．正确的是（ ）（★★） ．（A ）抛物线)(x f y =开口向下； （B ） 抛物线)(x f y =的对称轴是直线1=x ； （C ）2)3(-=f ； （D ）)8()7(f f <． 【答案】 D ．例4：已知抛物线22y x mx =-+-与直线2y x b =-+相交于M 、N 两点，点M 、点N 的横坐标分别是7和－2． 求：(1) M 、N 两点的坐标；(2) 直线和抛物线的解析式；(3) 若坐标原点是O ，求△MON 的面积．（★★★） ．【答案】(1) 抛物线22y x mx =-+-和直线2y x b =-+相交于点M ，N ，且点M ，N 的横坐标分别是7和－2∴ ⎩⎪⎨⎪⎧－14＋b ＝－49＋7m －24＋b ＝－4－2m －2 ⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－16m ＝3x … －1 0 1 2 … y … －1 47- －2 47- …x … 1- 0 1 2 … y…2-5.1 45.1…y ＝－2x －16当x ＝7时，y ＝－30；当x ＝－2时，y ＝－12 ∴ 点M (7，－30) 点N (－2，－12) (2) ∵ m ＝3 b ＝－16∴ 直线解析式为y ＝－2x －16 抛物线解析式为y ＝－x 2＋3x －2(3) MON S ∆＝12(12＋30)×9－12×2×12－12×7×30＝189－12－105＝72．变式：已知抛物线2y ax bx c =++经过(1，2)、(3，0)两点，它在x 轴上截得线段的长为6． 求此抛物线的函数解析式．（★★★） ．【答案】2y ax bx c =++过点(3，0)且在x 轴上截得线段长为6(1) 交点在点(3，0)的右侧，则交点为(9，0)设解析式为y ＝a (x －3)(x －9)过点(1，2) 2＝a ·16 a ＝18∴ y ＝18(x －3)(x －9)＝18x 2－32x ＋278(2) 交点在(3，0)的左侧，则交点为(－3，0)设解析式为y ＝a (x ＋3)(x －3)过点(1，2)2＝－8a a ＝－14∴ y ＝－14(x ＋3)(x －3)＝－14x 2＋94∴ 所求抛物线解析式为y ＝－14x 2＋94或y ＝18x 2－32x ＋278．总结：1．准确区分几种特殊的二次函数的图像和性质，掌握它们之间是如何进行平移变化的； 2．多动手画图，结合图形分析函数的特点，即数形结合； 3．认真审题和计算，保证基础部分不出错．课后作业：1．二次函数2(1)1y x =--的图像的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（ ） (A) 向上、直线1x =-、(1，1)； (B) 向上、直线1x =、(1，-1)； (C) 向下、直线1x =-、(-1，1)； (D) 向下、直线1x =、(-1，-1)． 【答案】B ．2．关于抛物线x x y 22-=，下列说法正确的是（ ）（A ）顶点是坐标原点；（B ）对称轴是直线2=x ；（C ）有最高点； （D ）经过坐标原点．【答案】 D ．3．抛物线y ＝－12(x ＋a )2的顶点坐标为(－5，0)，则图像向_____平移_____个单位就能得到解析式为y ＝－12x 2的图像． 【答案】 右、5 ．4．若抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()0,0A 、()4,0B ，则抛物线的对称轴为直线 ．【答案】2x = ．5．已知抛物线122-+-=x x y ，它的图像在对称轴 （填“左侧”或“右侧”）的部分 是下降的．【答案】 右侧 ．6．如果抛物线2)1(22+-++=k x x k y 与y 轴的交点为)1,0(，那么k 的值是 ．【答案】 1 ．7．一个二次函数具有下列性质：（1）图像经过点)3,0(A ；（2）当0<x 时，函数值y 随自变量x 的增大而增大，当0>x 时，函数值y 随自变量x 的增大而减小. 试写出 一个满足上述两条性质的函数解析式. ．【答案】答案不唯一，如23y x =-+ ．8．二次函数2y ax bx c =++的图像，如图所示，它的对称轴是直线x ＝－1，那么下列结论中正确的个数有( )① a >0，b <0 ② a －b ＋c <0 ③ 2a －b ＝0 ④ b 2－4ac >0A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】 C ．9．在同一直角坐标平面内，直线y ax b =+和抛物线2y ax bx c =++的大致图像，只可能是( )【答案】 B ．10．已知二次函数2231y x x =++的顶点是A ，与x 轴的两个交点为B 、C （B 点在C 点的左侧)与y 轴的交点为D ，求四边形ABCD 的面积．【答案】 y ＝2x 2＋3x ＋1＝2(x 2＋32x )＋1＝2(x 2＋32x ＋916)－98＋1＝2(x ＋34)2－18∴ A (－34，－18) 2x 2＋3x ＋1＝0 (x ＋1)(2x ＋1)＝0x ＝－1，x ＝－12∴ B (－1，0)C (－12，0) 又点D (0，1)∴ S ABCD ＝S △ABC ＋S △DBC ＝12·12·18＋12·12·1＝132＋14＝932即四边形ABCD 的面积为932．。
沪教版(上海)九年级上册数学 26.2 特殊二次函数的图像--导学案
26.2（1）特殊二次函数的图像 导学案学习目标：1、.理解和掌握二次函数y=ax 2 的图像，并从图像上观察出二次函数y=ax2 的性质.2、通过观察、实验、猜想、总结和类比，提高归纳问题的能力. 学习重难点：重点：通过二次函数y=ax 2 的图像总结出有关性质. 难点：二次函数y=ax 2 的图像性质的应用. 学习过程： 一、课前预习 1、 知识回顾二次函数的定义、一般形式、自变量的取值范围是什么？2、 预习课本86~89页，写下你认为重要的知识点和存在的疑惑：二、课堂学习操作：按照下列步骤画出二次函数2y x =的图像 （1）先列表， 思考：自变量x 的取值范围是什么？y 当x 取一对相反数，y 的值有什么关系？（2）然后在坐标平面中描点，在描点过程中分别取x 的值和相应的函数值y （3）最后用平滑的曲线顺次联结各点，得到函数y=x 2 的图像.二次函数y=x 2 的图像是一条曲线， 分别向左上方和右上方无限伸展，它属于 一类特殊的曲线，这类曲线称为抛物线， 二次函数y=x 2 的图像就称为抛物线y=x 2， 观察抛物线y=x 2的形状，位置有哪些特征？ 归纳抛物线y=x 2的开口方向向上；它是轴对称图形，对称轴是y 轴，即直线x=0.抛物线y=x 2与y 轴的交点是原点O ；除这个交点外，抛物线上所有的点都在x 轴的上方，这个交点是抛物线的最低点. 抛物线与它的对称轴的交点叫抛物线的顶点.抛物线y=x 2的顶点是原点O （0，0）. 试一试用上述方法画出二次函数2y x =- 的图像，再归纳它的特征.例题1 在同一平面直角坐标系中，分别画出二次函数212y x =和212y x =-的图像.（2）描点：分别以x 的值和 相应的函数值y 作为点的坐标， 描出这些坐标所对应的点.（3）连线：用光滑的曲线把位于 x 轴上方及x 轴上的点顺次联结起来，得到212y x =的图像； 用光滑的曲线把位于x 轴下方及 x 轴上的点顺次联结起来，得到212y x =-的图像议一议：抛物线y=12 x 2和212y x =-的图像有什么共同特征，又有什么不同？归纳抛物线y=ax 2(其中a,是常数,且像a ≠0)的对称轴是y 轴,即直线x=0;顶点坐标是原点，抛物线的开口方向由a 所取值的符号决定，当a>0时，它开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a<0时，它开口向下，顶点是抛物线的最高点. 试一试1．二次函数y=3x 2与函数y=-3x 2图像的形状 ，开口方向 . 2．二次函数y=ax 2与函数y=-4x 2图像的形状相同，那么a= . 3. 如果y= -2x 2图像上的两点M （x 1,y 1），N(x 2,y 2)，且x 1<x 2<0,那么y 1 y 2.4．已知二次函数y=(1+2k)x 2,当k 为何数时，图像的开口向上？当k 为何数时，图像的开口向下？三、课堂练习练习1：书后练习26.2（1）/1练习2：书后练习26.2（1）/2练习3：书后练习26.2（1）/3四、课堂小结本节课你有什么收获和体会？你还有什么疑惑吗？五、课后练习1、抛物线25y x =-的顶点坐标是 ，开口方向 ，对称轴为 .2、已知抛物线2(1)y m x =-，当 时，它的图像开口向上；当 时，它的图像开口向下. 2、在同一平面直角坐标系中，分别画出二次函数22y x =和22y x =-的图像. 并指出它们的开口方向、顶点坐标和对称轴.26.2（2）特殊二次函数的图像 导学案学习目标：1、理解和掌握二次函数y=ax 2 +c 的图像并从图像观察出二次函数y=ax2 +c 的性质.2、通过观察、实验、猜想、总结和类比，提高归纳问题的能力. 学习重难点：二、 课堂学习操作：在上面的平面直角坐标系中画出2122y x =+的图像观察思考：1、函数y= 12 x 2 与函数y= 12 x 2+2图像的形状，位置有什么特征？2、函数y= 12 x 2+2与y= 12 x 2的图像上且有相同横坐标的任意两点的纵坐标之间有什么关系？3、函数y= 12 x 2+2图像与y= 12 x 2图像之间有什么关系？归纳新课函数y= 12x 2+2的图像的开口方向向上；它是轴对称图形，对称轴是y 轴，即直线x=0.顶点坐标是（0，2）这个顶点是抛物线的最低点.试一试：在同一直角坐标系中函数212y x =-和2122y x =--图像 如图所示，运用图像运动来分析，这两个图像之间有怎样 的关系？函数2122y x =--的图像有哪些特征？ 归纳：一般二次函数2y ax c =+可通过将二次函数y=ax 2 向上 （c>0）或向下（c<0）平移c个单位得到的由此可得:抛物线2y ax c =+ (其中a,c 是常数,且像a 不等于0)的对称轴是y 轴,即直线x=0;顶点坐标是(0,c).抛物线的开口方向由a 所取值的符号决定，当a>0时，它开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a<0时，它开口向下，顶点是抛物线的最高点.三、课堂练习练习1：书后练习26.2（2）/1练习2：书后练习26.2（2）/2练习3：书后练习26.2（2）/3四、课堂小结本节课你有什么收获和体会？你还有什么疑惑吗？五、课后练习1．函数235y x =-+的图像是由函数y=-3x 2图像向 平移 单位得到的.2．函数y= -4x 2+1图像是 ，开口 ，对称轴是 ，顶点坐标 ， 它的图像有最 点，值是 ，此图像由y= - 4x 2的图像向 平移 个单位得到的.3. 二次函数2y ax c =+图像经过点（1,23）,(0,1)，求此函数解析式，并说出开口方向，顶点坐标.。
沪教版(上海)九年级第一学期 26.2特殊的二次函数的图像(3)
§26.2（3）特殊二次函数的图象普陀区课题组教学目标：1．利用描点法画出二次函数y ＝a (x +m )2的图象.2．经历建立二次函数y ＝a (x +m )2的图象与y ＝ax 2的图象之间联系的过程，知道由抛物线y ＝ax 2得到抛物线y ＝a (x +m )2的平移方法；掌握二次函数y ＝a (x +m )2的直观图象特征.3．在运用图像研究二次函数直观图象特征的过程中，领悟数形结合、图形运动的数学思想. 教学重点：二次函数y ＝a (x +m )2的图象特征以及二次函数y ＝a (x +m )2的图象与二次函数y ＝ax 2的图象的关系. 教学难点：二次函数y ＝a (x +m )2的图象左右平移的规律以及图象的特征. 教师活动学生活动设计意图一、 复习引入上节课我们学习了抛物线y ＝ax 2经过上下平移可以得到抛物线y ＝ax 2+c 抛物线上下平移的规律是什么？今天我们要研究形如y ＝a (x +m )2的二次函数图象，并探究抛物线y ＝ax 2与抛物线y ＝a (x +m )2之间的关系. 二、学习新知首先，我们来观察函数y =12 x 2的图像和函数y =12 (x +1)2的图象x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … y =12 x 2… 8 29 2 21 0 212 29 8 … y =12 (x +1)2… 29 2 21 0 212 29 8 225 … 二次函数y =12 x 2的图像是抛物线y =12 x 2；二次函数y =12 (x +1)2的图象是抛物线y =12 (x +1)2预设：二次函数y =ax 2 +c 的图像可通过将二次函数y =ax 2 向上（c >0）或向下（c <0）平移c 个单位得到.教师可通过几何画板直观展示两个图形.让学生讨论、交流，举手发言，达成共识。
这部分教师可以引导学生分现在我们知道了抛物线y＝a(x+m)2可由抛物线平移得到的，同学们想想二次函数y＝a(x+m)2的图象特征是什么？适时小结：抛物线y＝a(x+m)2（其中a,m是常数，且a≠0）：1.对称轴：直线x= -m；2.顶点坐标：(-m,0)3.当a>0时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a<0时，开口向下，顶点是抛物线的最高点.三、例题讲解例1：(1)函数ｙ＝-3(x-1)2的图象，开口，对称轴是，顶点坐标，它的图象有最点，此图象由y= -3x2的图象向平移个单位得到的.(2)把抛物线y= 3(x+5)2向左平移3个单位，求所得新抛物线的表达式，并指出新抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.例2：已知抛物线y= a(x-m)2的对称轴是直线x=2，且抛物线经过点（3,4），求抛物线的表达式.课堂练习：（m<0）平移m个单位得到.开口方向由ａ决定；对称轴：直线x= -m顶点坐标：(-m,0) .学生思考后口头回答解：(1)开口向下对称轴是直线x=1顶点坐标（1,0）向右平移1个单位新抛物线的表达式y= 3(x+8)2开口向上对称轴：直线x=-8顶点坐标（-8,0）学生思考回答：解：由y= a(x-m)2知对称轴是直线x=m，m=2y= a(x-2)2抛物线经过点（3,4）4= a(3-2)2a=4y= 4(x-2)2二次函数的表达式y= 4(x-2)2(1) 抛物线y= -3x2向左平平移的规律，也许并不完整，教师应适时引导补充．也可以总结平移口诀：“左加右减”.。
沪教版九年级特殊二次函数的图像
特殊二次函数的图像知识点1：二次函数2ax y =的图像1、二次函数)0(2≠=a ax y 图像的画法在平面直角坐标系xOy 中，按照下列步骤画二次函数2ax y =的图像（1）列表：以O 为中心，均匀地选取一些便于计算的x 的值，计算出函数y 的对应值，列出函数的对应值表；（2）描点：把每对的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在坐标平面内，描出相应的点。
（3）连线：自变量的取值按由小到大的顺序，用平滑的曲线联结各点，就得到函数的图图像。
注意：一般来说，选点越多，图像越精确，但也要具体问题具体分析。
2、二次函数)0(2≠=a ax y 图像的性质（1）二次函数2ax y =的图像是一条抛物线，它关于y 轴即x=0对称；它的顶点坐标是（0,0）。
（2）a>0，抛物线2ax y =开口向上；在对称轴的左边，曲线自左向右下降，在对称轴的右边，曲线自左向右上升；顶点是抛物线上位置最低的点。
（3）0<a 时，抛物线2ax y =开口向下；在对称轴的左边，曲线自左向右上升，在对称轴的右边，曲线自左向右下降；顶点是抛物线上位置最高的点。
例1.在同一直角坐标系中，1、画出下列函数的图像：（1）221x y =；（2）22x y =；（3）221x y -=；（4）22x y -= 2、说出四个函数的区别与联系。
例2、说出下列函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标：（1）22x y =；（2）221x y -= 例3、对于二次函数2x y =的图像：（1）你能描述图像的形状吗？（2）图像与x 轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？（3）当x<0时，随着x 值的增大，y 的值如何变化？当x>0呢？（4）当x 取什么值时，y 的值最小？最小值是多少？（5）图像是对称图形码？如果是，它的对称轴是什么？知识点2：二次函数c ax y +=2的图像1、二次函数c ax y +=2的画法2、二次函数c ax y +=2图像的性质（1）抛物线c ax y +=2的对称轴为y 轴，顶点为（0，c ）（2）c ax y +=2与2ax y =的图像形状相同，只是位置不同，它们彼此可以通过平移而得到（3）把2ax y =的图像向上或向下平移c 个单位，即得到c ax y +=2的图像。
沪教版九年级上册-二次函数的概念与特殊二次函数的图像(一)讲义
教学内容—二次函数的概念及特殊二次函数的图像知识精要1.二次函数的概念一般地，解析式形如2(,,0)y ax bx c a b c a =++≠其中是常数，且的函数叫做二次函数。
二次函数2y ax bx c =++的定义域为一切实数。
特殊二次函数的图像函数 对称轴顶点 开口方向最值 ()20y ax a =≠ y 轴 原点a>0,图像开口向上,顶点是最低点; a<0,图像开口向下,顶点是最高点.()20y ax c a =+≠ y 轴),0(cc()()20y a x m a =+≠m x -= ()0,m -)0()(2≠++=a k m x a y m x -=),(k m -k()02≠++=a c bx ax yabx 2-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22 ab ac 442-)0)()((1≠--=a x x x x a y x221x x x +=值函数的图象及性质＞0⑴开口向上，并且向上无限伸展；⑵当x ＝时，函数有最小值；当x ＜时，y 随x 的增大而减小；当x ＞时，y 随x 的增大而增大．＜0 ⑴开口向下，并且向下无限伸展；⑵当x ＝时，函数有最大值；当x ＜时，y 随x 的增大而增大；()20y ax bx c a =++≠当x ＞时，y 随x 的增大而减小．图像平移规律: 左加右减，上加下减。
2、一元二次方程的根与系数关系：如果一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根分别是1x 、2x ，那么1212,.b c x x x x a a+=-⋅= 两点之间距离公式：22()()A B A B AB x x y y =-+- 3、一元二次方程的根的情况与二次函数图像关系 一元二次方程有两个不同的实数根 ∆>0 抛物线与x 轴有两个不同的交点 一元二次方程有两个相同的实数根∆＝0抛物线与x 轴只有一个交点，且这个交点为抛物线顶点一元二次方程无实数根∆<0抛物线与x 轴无交点 热身练习1. 正方体的棱长为x ，表面积为y ，y 关于x 的函数解析式是2. 圆的面积为S ，半径为R ，S 关于R 的函数解析式为 。
数学沪教版(上海)九年级第一学期2二次函数的概念课件
【思索归纳】
定义： 一般地,解析式形如
y=ax²+bx+c (其中a、b、c是常数,且 a≠ 0)
的函数叫做二次函数.
二次函数y=ax²+bx+c 的定义域为一切实数. 遇到实际问题，具角线数 d 与边数 n 有什么关系？ n边形有＿＿n 个顶点,从一
个顶点出发,连接与这点不相 邻的各顶点,可作＿＿(n－＿3) 条对 角线.因此,n边形的对角线总 数 d =＿＿＿1 n＿(n－＿3) ＿.
2
即:
➢ 通过研究函数可以帮助我们解决生活中的 问题
➢ 分享曾经用函数解决的生活问题
正比例函数 反比例函数 一次函数
函数: 在一个变化过程中,如果有两个变 量x与y, 并且对于x的每一个确定的值,y 都有唯一确定的值与其对应,那么就说y 是x的函数, x是自变量.
一次函数 y=kx+b (k≠0)
函 数
(正比例函数) y=kx (k≠0)
反比例函数
y=
k x
(k≠0)
问题1: 正方体六个面 是全等的正方形,设正 方形棱长为 x,表面积为 y ,则 y 关于x 的关系式 为＿＿＿＿. y=6x2
3、把一根 40 cm 长的铁丝分成两段，再分 别将每一段弯折成一个正方形，设其中一段 铁丝为 x cm，两个正方形的面积和为y cm 2，
则y =__4x__2_____4_0_4___x___2___y____18_x2 5x 100
4、农机厂第一个月水泵的产量为50(台)第三 个月的产量 y (台)与月平均增长率 x 之间的
26.1二次函数的概念
教学目标 :
对二次函数概念的理解。
由实际问题确定函数解析式和确定自变量的 取值范围。
初中数学沪教版九年级上册26.2 特殊二次函数的图像 课件PPT
...
函数图象画法
描点法
注意：列表时自变量 取值要均y匀和 2对称。
x
列表
描点
画出下列函数的图象。
(1) y 1 x2 2
(2) y 2x2
连线
(3) y 2 x2 3
y x2
y x2
y1 x
用用用用自自自用用用自用自自光光光自光自光光左左左光左光左左滑滑滑左滑左滑滑向向向滑向滑向向曲曲曲向曲向曲曲右右右曲右曲右右线线线右线右线线顺顺顺线顺线顺顺连连连顺连顺连连次次次连次连次次结结结次结次结结连连连结连结连连时时时连时连时时结结结时结时结结要要要结要结要要要要
1、开口方向： 2、对称轴： 3、顶点： 4、与y轴的交点： 5、与x轴的交点： 6、递增性： 7、最低（高）点：
y ax2的图像特征
1、开口方向： a 0开口向上； a 0开口向下；；
2、对称轴： y轴，直线x 0
；
3、顶点： （0， 0）
；
4、与y轴的交点： （0， 0）
；
5、与x轴的交点： （0， 0）
；
6、递增性：
对称轴的左右分
；
7、最低（高）点：a 0有最低点；a 0有最高点；；
1 ． 二 次 函 数 y=3x2 与 函 数 y=-3x2 图 像 的 形
状 相同 ，开口方向 相反
.
2．二次函数y=ax2与函数y=-4x2形状相同，那
么a= ±4
.
3. 如果y=-2x2上两点，M（x1,y1）N(x2,y2)若 x1<x2<0,那么y1 ＜ y2大小.
y x2
...
1函、数图开象口画法方向： 2、描对点法称轴：
3、顶点：
沪教版(上海)初中数学九年级第一学期26.2(1)特殊二次函数的图像(二次函数 的图像) 教案
如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。
——高斯§26.2（1）特殊二次函数的图像（二次函数2y ax =的图像）【教学目的】(1)了解二次函数2y ax =的图像是抛物线，会用描点法画二次函数2y ax =的图像． (2)借助二次函数2y ax =的图像归纳二次函数2y ax =的基本性质并加以直观描述．（主要讨论顶点坐标、开口方向、对称性）．(3) 在运用图像研究二次函数性质的过程中，领会和运用数形结合的思想方法． (4) 培养学生通过独立思考，归纳、概括、提炼数学知识的方法.【教学重点】会用描点法画出二次函数2ax y =的图像，概括出图象的特点及函数的性质． 【教学难点】会用描点法画二次函数2ax y =的图像.【教学过程】一、复习导入问题 1.二次函数的一般式及定义域；2.一次函数的特殊函数是什么函数？它的解析式及图像分别是什么？ 二、探究新课 用描点法画出函数2x y =的图像（1）描点法画函数2x y =的图像前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x 取互为相反数的值时，y 的值如何？（由解析式可以看出x 可以取任意实数，不妨以0为中心，均匀选取一些便于计算的x 的值，看看画出来的图形的大致形状，如有问题再加以修正或补充．） 步骤：1）列表：x… -223- -1 21- 0 21 1 232 …2x y = …449 141 041 149 2 …2） 描点：3） 连接成光滑曲线： 说明：画图时曲线不能画到端点为止，必须超过端点，表示可以向上（或向下）无限延伸．顶点处要画得光滑，不能画成尖端．（2）观察函数2x y =的图象，它的形状、位置有哪些特征？（引导学生观察列表中的数据）函数2x y =的图像形如物体抛射时所经过的路线，我们把这种图像叫做抛物线。
通过观察可以发现，抛物线2x y =经过原点O ，且位于y 轴的左右两侧，向上无限延伸；当自变量x 取互为相反数的两个数时，它们所对应的函数值相同；从图像中也可以看出，横坐标互为相反数的任意两个点总有相同的纵坐标，这样的两点是关于y 轴对称的点，所以抛物线2y x =关于y 轴对称．同时，通过图像，我们还能观察到抛物线与对称轴y 轴有交点，将它定义为顶点．顶点是抛物线2y x =的最低点． 试一试 用上述方法画出函数2x y -=的图像，再归纳它的图像特征. 例题 在同一直角坐标系xOy 中，分别画出二次函数221x y =和221x y -=的图像. 并指出它们有何共同点？有何不同点？（解：略.） 共同点：都以y 轴为对称轴，顶点都在坐标原点．不同点：221x y =的图像开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升．221x y -=的图像开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降．二次函数2ax y =的图像是抛物线。
沪教版 九年级(上)数学 秋季课程 第6讲 二次函数的概念及图像
二次函数是九年级上学期第三章的内容，包括二次函数的概念及其图像．基本要求是理解二次函数的概念，会用描点法画二次函数的图像，会用二次函数的解析式来表达相应的抛物线，并掌握二次函数2y ax=的图像平移得到二次函数2y ax c=+、()2y a x m=+和()2y a x m k=++的图像的规律．重点是二次函数的图像的特征及画法．1、二次函数一般地，解析式形如2y ax bx c=++（其中a、b、c是常数，且0a≠）的函数叫做二次函数．二次函数2y ax bx c=++的定义域为一切实数．而在具体问题中，函数的定义域根据实际意义来确定．二次函数的概念及图像内容分析知识结构模块一：二次函数的概念知识精讲2 / 18【例1】 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ） A ．31y x =-B ．2y ax bx c =++C ．221s t =+D ．21y x x=+【例2】 二次函数23y x =--中，二次项系数为______，一次项系数为______，常数项为______．【例3】 二次函数2321y x x =--，当1x =-时，y = ______；当x = ______时，y = 0．【例4】 当m ______时，函数()()22423y m x m x =-+-+是二次函数．【例5】 用一根80 cm 的铁丝，把它弯成一个矩形框，求它的最大面积．请设变量，并列出函数解析式：______________________________________________________．【例6】 已知二次函数2y x bx c =++，当x = 0时，y = 1；当x = 2时，1y =-．求当3x =-时y 的值．例题解析ABCDE【例7】 二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图像经过点（1，1），则1a b ++的值是（ ） A ．3- B ．1-C ．2D ．3【例8】 如图，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB = AC = 2，D 是BC 上异于B 、C 的一个动点，过点D 作45ADE ∠=︒，DE 交AC 于点E ．设BD = x ，AE = y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．4 / 181、 2y x =的图像在平面直角坐标系xOy 中，按照下列步骤画二次函数2y x =的图像． （1）列表：取自变量x 的一些值，计算相应的函数值y ，如下表所示： x… -2 112- -1 12- 0 121 1122 … 2y x =…4124 114 014 11244…（2）描点：分别以所取的x 的值和相应的函数值y 作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点，如图1所示．（3）连线：用光滑的曲线把所描出的这些点顺次联结起来，得到函数2y x =的图像，如图2所示．二次函数2y x =的图像是一条曲线，分别向左上方和右上方无限伸展．它属于一类特殊的曲线，这类曲线称为抛物线．二次函数2y x =的图像就称为抛物线2y x =． 2、 二次函数2y ax =的图像抛物线2y ax =（0a ≠）的对称轴是y 轴，即直线x = 0；顶点是原点．当0a >时，抛物线开口向上，顶点为最低点；当0a <时，抛物线开口向下，顶点为最高点．模块二：特殊二次函数的图像知识精讲12 3 4 12 3 4 xy xyOO1212-2 -1 -2 -1 图1图23、 二次函数2y ax c =+的图像一般地，二次函数2y ax c =+的图像是抛物线，称为抛物线2y ax c =+，它可以通过将抛物线2y ax =向上（0c >时）或向下（0c <时）平移c 个单位得到．抛物线2y ax c =+（其中a 、c 是常数，且0a ≠）的对称轴是y 轴，即直线x = 0；顶点坐标是（0，c ）．抛物线的开口方向由a 所取值的符号决定，当0a >时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当0a <时，开口向下，顶点是抛物线的最高点． 4、 二次函数()2y a x m =+的图像一般地，二次函数()2y a x m =+的图像是抛物线，称为抛物线()2y a x m =+，它可以通过将抛物线2y ax =向左（0m >时）或向右（0m <时）平移m 个单位得到．抛物线()2y a x m =+（其中a 、m 是常数，且0a ≠）的对称轴是过点（-m ，0）且平行（或重合）于y 轴的直线，即直线x = -m ；顶点坐标是（-m ，0）．当0a >时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当0a <时，开口向下，顶点是抛物线的最高点． 5、 二次函数()2y a x m k =++的图像二次函数()2y a x m k =++（其中a 、m 、k 是常数，且0a ≠）的图像即抛物线()2y a x m k =++，可以通过将抛物线2y ax =进行两次平移得到．这两次平移可以是：先向左（0m >时）或向右（0m <时）平移m 个单位，再向上（0k >时）或向下（0k <时）平移k 个单位．利用图形平移的性质，可知：抛物线()2y a x m k =++（其中a 、m 、k 是常数，且0a ≠）的对称轴是经过点（m -，0）且平行于y 轴的直线，即直线x =m -；抛物线的顶点坐标是（m -，k ）．抛物线的开口方向由a 所取值的符号决定，当0a >时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当0a <时，开口向下，顶点是抛物线的最高点．6 / 18【例9】 二次函数213y x =-的图像是______，开口方向______，顶点坐标为______．【例10】 抛物线2y ax c =+的顶点坐标为______，对称轴为______．【例11】 抛物线22y x =，22y x =-，221y x =+共有的性质是（ ） A ．开口向上 B ．对称轴都是y 轴 C ．都有最高点 D ．顶点都是原点【例12】 抛物线()21y a x =-有最高点，则a 的取值范围为______，最高点的坐标为______．【例13】 抛物线()2213y x =-++的顶点坐标是（ ） A ．（1，3） B ．（1，3-） C ．（1-，3） D ．（1-，3-）【例14】 抛物线()21y x =-+上有三点A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），C （3x ，3y ），且110x -<<，230x x <<，则比较1y ，2y ，3y 的大小为____________．例题解析【例15】 将抛物线2y ax =向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为2-，且新抛物线经过点（1，3），则a 的值为______．【例16】 将抛物线25y x =向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线是（ ） A ．()2523y x =++ B ．()2523y x =+- C ．()2523y x =-+D ．()2523y x =--【例17】 若直线3y x m =+经过第一、三、四象限，则抛物线()21y x m =-+的顶点必在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【例18】 抛物线上有两点（3，8-）和（5-，8-）则它的对称轴是（ ） A ．直线1x =- B ．直线1x = C ．直线2x = D ．直线3x =【例19】 把抛物线()22y x m =+向上平移n 个单位，使新得到的抛物线2y ax bx c =++通过点（2，5）与（1，1），求a ，b ，c ，m ，n 的值．【例20】 如图，抛物线2y ax =上的点B 、C 与x 轴上的两点A （6-，0）、D （2，0）构成A B CDO xyE平行四边形，BC与y轴相交于点E（0，6），求系数a的值．8/ 181、 二次函数2y ax bx c =++的图像二次函数2y ax bx c =++的图像称为抛物线2y ax bx c =++，这个函数的解析式就是这条抛物线的表达式．任意一个二次函数2y ax bx c =++（其中a 、b 、c 是常数，且0a ≠）都可以运用配方法，把它的解析式化为()2y a x m k =++的形式．对2y ax bx c =++配方得：22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭． 由此可知：抛物线2y ax bx c =++（其中a 、b 、c 是常数，且0a ≠）的对称轴是直线2bx a=-，顶点坐标是（2ba-，244ac b a -）．当0a >时，抛物线2y ax bx c =++开口向上，顶点是抛物线的最低点，抛物线在对称轴（即直线2bx a=-）左侧的部分是下降的，在对称轴右侧的部分是上升的； 当0a <时，抛物线2y ax bx c =++开口向下，顶点是抛物线的最高点，抛物线在对称轴（即直线2bx a=-）左侧的部分是上升的，在对称轴右侧的部分是下降的． 2、 二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴的交点的个数判断二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴交点的个数，即为判断一元二次方程20ax bx c ++=的解的个数，这样就可以利用一元二次方程根的判别式24b ac ∆=-来进行解题．模块三：二次函数y = ax 2+ bx + c 的图像知识精讲10 / 18xyO1【例21】 说出函数2288y x x =-+-的图像的开口方向，对称轴，顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值？是多少？【例22】 二次函数2y ax bx c =++的图像如上右图所示，则abc ，24b ac -，2a b +，a b c ++，a b c -+这五个式子中，值为正数的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【例23】 将抛物线213662y x x =-++先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式是__________________________．【例24】 已知二次函数25y x bx =-++，它的图像经过点（2，3-）． （1）求这个函数关系式及它的图像的顶点坐标；（2）当x 为何值是，函数y 随着x 的增大而增大？当x 为何值时，函数y 随着x 的增大而减小？【例25】 若直线y = x + 2与抛物线22y x x =+有交点，则它的坐标是______．【例26】 已知二次函数223y x x =--，当03x ≤≤时，y 的最大值是______，最小值是______．例题解析A BOxyy【例27】 已知抛物线22y x x a =-+的顶点A 在直线3y x =-+上，直线3y x =-+与x 轴的交点为B 点，点O 为直角坐标系的原点．（1）求点B 的坐标与a 的值； （2）求AOB ∆的面积．【例28】 已知抛物线()229y x a x =-++的顶点在坐标轴上，求a 的值．【例29】 若对于任何实数x ，二次函数()2123y m x mx m =-+++的图像全在x 轴上方，求m的取值范围为．【例30】 如图，抛物线24y x x =-与x 轴交于O 、A 两点，P 为抛物线上一点，过点P 的直线y x m =+与对称轴交于点Q ．（1）这条抛物线的对称轴是______，直线PQ 与x 轴所夹的锐角的度数是______；（2）若两个三角形的面积满足13POQ PAQ S S ∆∆=，求m 的值；（3）当点P 在x 轴下方的抛物线上时，过点C （2，2）的直线AC 与直线PQ 交于点D ，求：○1PD + DQ 的最大值；○2PD DQ 的最大值．12/ 18【习题1】 下列函数中，不是二次函数的是（ ） A ．212y x =- B ．()2214y x =+- C ．()()1142y x x =-+D ．()2221y x x =--+【习题2】 抛物线()223y x =-的顶点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．x 轴上 D ．y 轴上【习题3】 已知抛物线243y x x =++，请回答以下问题：（1）它的开口方向______，对称轴是直线_______，顶点坐标为______； （2）图像与x 轴的交点为______，与y 轴的交点为______．【习题4】 有下列4个函数关系式：○1正方形的面积S 与边长x 的关系；○2圆的面积S 与圆周长l 的关系；○3已知周长为l 的矩形中，面积S 与一边长x 的关系；○4已知面积为S 的矩形中，周长l 与一边长x 的关系．其中二次函数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【习题5】 抛物线22y ax bx =++经过点（2-，3），则36b a -=______．【习题6】 已知函数()()221mmy m x m x -=+++，（m 为常数）．随堂检测14 / 18xy（A ） B CDO （1）当m 为何值时，这个函数是二次函数？ （2）当m 为何值时，这个函数是一次函数？【习题7】 把抛物线()222y x =-+向左平移4个单位，再向下平移3个单位，求平移后抛物线的函数解析式，并指出它的开口方向，顶点坐标和对称轴．【习题8】 已知抛物线23y ax bx =++的对称轴是直线x = 1． （1）求证：2a + b =0；（2）若关于x 的方程280ax bx +-=的一个根为4，求方程的另一个根．【习题9】 如图，已知矩形ABCD 的宽CD = 1，点C 在y 轴右侧沿抛物线2610y x x =-+滑动，滑动过程中保持CD // x 轴．当点D 在y 轴上时，AB 正好在x 轴上．（1）求矩形的长BC ；（2）当矩形在滑动过程中被x 轴分成两部分的面积之比为1 : 4时，求点C 的坐标．【习题10】 如图，二次函数1L ：223y ax ax a =-++（a > 0）和二次函数2L ：()211y a x =-++xyAE F N MO （a > 0）的图像的顶点分别为M 、N ，与y 轴分别交于点E 、F ．（1）函数223y ax ax a =-++（a > 0）的最小值为______；当二次函数1L 、2L 的y 值同时随着x 的增大而减小时，x 的取值范围是_________________；（2）当EF = MN ，求a 的值，并判断四边形ENFM 的形状（直接写出，不必证明）； （3）若二次函数2L 的图像与x 轴的右交点为A （m ，0），当AMN ∆为等腰三角形时，求方程()2110a x -++=的解．16 / 18【作业1】 对于任意实数x ，二次函数2y ax =的值总是非正数，则a 的取值范围是（ ） A ．0a > B ．0a < C ．0a ≥ D ．0a ≤【作业2】 抛物线2243y x x =--，当x ______时，函数值y 随x 的增大而减小；当x ______时，函数值y 随x 的增大而增大；当x ______时，函数取最______值为______．【作业3】 抛物线234y x x =--+与坐标轴的交点个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【作业4】 给任意实数n ，得到不同的抛物线2y x n =+，当n = 0，1或1-时，关于这些抛物线有以下结论：○1开口方向不同；○2对称轴不同；○3都有最低点；○4可以通过一个抛物线平移得到另一个，其中判断正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【作业5】 已知函数()2113m y m x x +=-+，当m ______时，它是二次函数．【作业6】 抛物线()2612y x =+-可由抛物线262y x =-向______平移______个单位得到．课后作业xyxyOOA BA BCD Em n【作业7】 二次函数()22y x m =-+的图像顶点在______轴上，对称轴直线x = 1，则函数解析式为______．【作业8】 已知抛物线()()2y x m x m =---，其中m 是常数． （1）求证：不论m 为何值，该抛物线与x 轴一定有两个公共点；（2）若该抛物线的对称轴为直线52x =．○1求该抛物线的函数解析式； ○2该抛物线沿y 轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x 轴只有一个公共点？【作业9】 如图1，一次函数y kx b =+的图像与二次函数2y x =的图像相交于A 、B 两点，点A 、B 的横坐标分别为m 、n （m < 0，n > 0）．（1）当1m =-，n = 4时，k =______，b =______；当2m =-，n = 3时，k =______，b =______．（2）用含m 、n 的代数式分别表示k 与b ． （3）利用（2）的结论，解答下面问题：如图2，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点C 、D ，点A 关于y 的对称点为E ，连接AO 、OE 、ED ．○1当3m =-，n > 3时，求AOD AOEDS S ∆∆四边形的值（用含n 的代数式表示）○2当四边形AOED 为菱形时，m 与n 满足的关系为_________________；当四边形AOED 为正方形时，m =______，n =______．18 / 18ABCDO xy【作业10】 如图，两条抛物线的解析式分别是211y ax ax =--+，221y ax ax =---（其中a为常数）．（1）请写出三条与上述抛物线有关的不同类型的结论；（2）当12a =时，设211y ax ax =--+与x 轴分别交于M 、N 两点（M 在N 的左边），221y ax ax =---与x 轴分别交于E 、F 两点（E 在F 的左边），观察M 、N 、E 、F 四点坐标，请写出一个你所得到的正确的结论，并说明理由；（3）设上述两条抛物线相交于A 、B 两点，直线l 、1l 、2l 都垂直于x 轴，1l 、2l 分别经过A 、B 两点，l 在1l 、2l 之间，且l 与两条抛物线分别交于C 、D 两点，求线段CD 的最大值．。
沪教版数学(上海)九年级第一学期课时练：26.2二次函数y=a(x+m)2+k的图像
26.3 二次函数2y ax bx c =++的图像（1）一、填空题：1．二次函数4)2(22-+-=x y 的图像的开口 ，对称轴是直线 ，顶 点坐标是 ．2．已知抛物线3)1(52+-=x y ，则这条抛物线的顶点坐标是 ，开口 ，对称轴是直线 ，顶点是抛物线的最 点．3．将二次函数2)1(22--=x y 的图像向上平移5个单位，得到的函数解析式是 .4．抛物线2)5(212-+-=x y 可以通过将抛物线221x y -=向 平移 个单位，再向 平移 个单位得到．5．二次函数522-=x y 的图像的对称轴是 ，当它的图像向右平移3个单位时，此时函数的解析式是 。
6．如果抛物线和抛物线23y x =-的形状相同，当它的顶点是（１，－2）时，它的函数解析式是 。
二、选择题：7. 若抛物线y ＝a (x ＋m )2＋k 的顶点在第二象限，则点(m ，k )在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限8. 把二次函数y ＝3x 2的图像向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图像对应的二次函数关系式是( )A. y ＝3(x －2)2＋1B. y ＝3(x ＋2)2－1C. y ＝3(x －2)2－1D. y ＝3(x ＋2)2＋1三、简答题：9. 指出下列函数的开口方向，对称轴和顶点坐标．(1)y ＝34(x －2)2＋3 (2)y ＝－2(x ＋1)2＋3(3)y ＝5－(x －1)2 (4)y ＝2(x ＋1)2－210. 已知函数y ＝(m －3)xm 2－7－3是二次函数．(1)求m 的值；(2)先求该函数的解析式，并指出该抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标．11.将抛物线C1∶y＝(x－1)2＋3先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线C2，C1与C2的交点为A，C1、C2的顶点分别为点B和点C，求△ABC的面积．26.2 二次函数2y ax bx c =++的图像（2）一、填空题：1. 一个二次函数的图像顶点坐标为(2，1)，形状与抛物线y ＝－2x 2相同，开口一致，这个函数解析式为 ．2. 如果抛物线y ＝mx 2＋m ＋2顶点是坐标原点，那么m ＝ ，且抛物线的开口________，顶点坐标为____________．3. 将抛物线y ＝23(x －2)2＋1先向下平移3个单位，再向左平移4个单位，那么平移后的顶点坐标是______________．4. 抛物线y ＝2x 2－5x －3与y 轴交点坐标是__________．5. 抛物线y ＝(m －3)(x ＋m )2＋m ＋2的对称轴是直线x ＝2，那么抛物线的解析式是__________．6.将抛物线y ＝2(x ＋1)2＋3沿x 轴翻折，所得到的抛物线是__________．二、选择题：7. 二次函数y ＝－3(x －2)2＋6图像的开口方向、对称轴分别为( )A. 开口向上，对称轴是直线x ＝－2B. 开口向上，对称轴是直线x ＝2C. 开口向下，对称轴是直线x ＝－2D. 开口向下，对称轴是直线x ＝28.将抛物线231x y =先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，得到的抛物线是（ ）A. 2)3(312++=x y B. 2)3(312--=x y C. 2)3(312-+=x y D. 2)3(312+-=x y 三、简答题：9. 已知抛物线1)2(2++-=x y（1）指出它的开口方向，对称轴和顶点坐标；（2）在平面直角坐标系中画出这条抛物线解：（１）开口 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是10. 将抛物线22x y -=平移，使顶点移到点Ｎ（－３，２）求所得新抛物线的表达式.11. 在同一直角坐标系内画出函数y＝(x－1)2－2和y＝(x＋1)2＋1的图像，并说明抛物线y＝(x－1)2－2是如何由抛物线y＝(x＋1)2＋1怎样移动得到的？四、拓展题：12. 已知：二次函数y＝－(x－h)2＋k的图像的顶点P在x轴上，且它的图像经过点A(3，－1)，与y轴相交于点B，一次函数y＝ax＋b的图像经过点P和点A，并与y轴的正半轴相交．求：(1)k的值；(2)这个一次函数的解析式；(3)∠PBA 的正弦值．26.3 二次函数c bx ax y ++=2的图像(3)一、填空题:1. 当抛物线y ＝(m ＋1)x 2＋3x ＋m 2－1的图像经过原点时，m 的值为__________．2. 抛物线y ＝x 2＋x －2的顶点坐标是__________．3. 用配方法将下列二次函数解析式改写成y ＝a (x ＋m )2＋k 的形式：(1)y ＝x 2－4x ＝______________.(2)y ＝x 2－4x ＋2＝______________.(3)y ＝－13x 2－2x －5＝______________. (4)y ＝12x 2＋2x －2＝______________. 4. 二次函数y ＝(x －2)(x －3)图像的顶点坐标是__________．5. 抛物线y ＝2x 2－4x －2的对称轴是__________．二、选择题：6. 把二次函数y ＝x 2－2x －1配方成为y ＝a (x ＋m )2＋k 的形式为( )A. y ＝(x －1)2B. y ＝(x －1)2－2C. y ＝(x ＋1)2＋1D. y ＝(x ＋1)2－27. 二次函数y ＝－x 2－3x ＋m 的图像顶点在x 轴上，则m 的取值为( )A. 94B. －94C. 0D. －328. 二次函数y ＝－x 2＋2x ＋6取最大值时，自变量x 的值是( )A. 2B. －2C. 1D. －1三、简答题：9. 用配方法把下列函数解析式改写成k m x a y ++=2)(的形式 （1）522+-=x x y （2）6422--=x x y（3）246x x y -+= （4）52312---=x x y10. 指出下列二次函数图像的开口方向，对称轴，顶点坐标（1）132--=x x y （2）)32)(2(+-=x x y11. 已知抛物线m x x y +--=22的顶点在直线121-=x y 上，求m 的值。
九年级数学上册 26.2 特殊二次函数的图像(第6课时)教案 沪教版五四制
（2）将（1）中所求出的二次函数配方成的形式，写出顶点坐标；在直角坐标系画出草图；观察图像，指出单价定为多少元时日均获利最多，是多少？
分析若销售单价为x元，则每千克降低（70-x）元，日均多售出2（70-x）千克，日均销售量为[60+2（70-x）]千克，每千克获利为（x-30）元，从而可列出函数解析式.
(1)求盒子的表面积S（cm2）与小正方形边长x（cm）之间的函数关系式；
(2)当小正方形边长为3cm时，求盒子的表面积．
解（1）；
（2）当x=3cm时，（cm2）．
例题3某公司生产的某种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x（十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：
解（1）根据题意，得
(30≤x≤70).
（2）.
顶点坐标为（65，1950）.二次函数草图略.
经观察可知，当单价定为65元时，日均获利最多，是1950元.
4、本课小结：
会结合二次函数的图像分析问题、解决问题，在运用中体会二次函数的实际意义
5、回家作业 ：
练习册 26.3（6）
2、实践与探索
例题1写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．
（1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（cm）之间的函数关系；
（2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系.
解（1）由题意，得 ，其中S是a的二次函数；
（2）由题意，得 ，其中y是x的二次函数；
例题2正方形铁片边长为15cm，在四个角上各剪去一个边长为x（cm）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子．
26.2 特殊的二次函数图像
第二节 二次函数的图像§26.2特殊的二次函数图像教学目标(1)知道二次函数2y ax =的图像是抛物线，会用描点法画出图像。
(2)经历观察、分析和回归抛物线2y ax =的特征的过程，掌握二次函数2y ax =的直观性质。
(3)经历建立二次函数22()y ax c y a x m =+=+、的图像与2y ax =的图像之间联系的过程，知道由抛物线2y ax =得到抛物线22()y ax c y a x m =+=+、的平移方法；掌握二次函数2y ax c =+、 2()y a x m =+的直观性质，体会图形运动的运用。
(4)在运用图形研究二次函数直观性质的过程中，领会数形结合的思想方法，提高观察、分析、归纳和概括的能力。
教学重点研究特殊形式的二次函数2y ax =、2y ax c =+和2()y a x m =+的图像，并归纳出图像的特征.知识概要1.二次函数2y x =的图像是一条曲线，分别向左上方和右上方无限伸展，它属于一类特殊的曲线，这类曲线称为抛物线。
二次函数2y x =的图像就称为抛物线2y x =。
2.抛物线2y x =的开口方向向上；它是轴对称图形，对称轴是y 轴，即直线0x =。
抛物线2y x =与y 轴的交点是原点O ；除这个交点外，抛物线上的所有点都在x 轴上方，这个交点是抛物线的最低点。
抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点。
抛物线2y x =的顶点是原点(0,0)O 。
3.分别在2y x =-与2y x =的图像上且横坐标相同的任意两点，它们的纵坐标互为相反数，可知两个图像关于x 轴对称。
可利用它们的对称性，由其中一个函数的图像画另一个函数的图像。
4.一般地，二次函数2y ax =(其中a 是常数，且0a ≠)的图像是抛物线，称为抛物线2y ax =。
这时，2y ax =是这条抛物线的表达式。
抛物线2y ax =(其中a 是常数，且0a ≠)的对称轴是y 轴，即直线0x =；顶点是原点，抛物线的开口方向由a 所取值的符合决定，当0a >时，它的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当0a <时，它的开口向下，顶点是抛物线的最高点。
上海初中数学九年级第一学期26.2二次函数y=a(x+m)2+k的图像
26.3 二次函数2y ax bx c =++的图像（1）一、填空题：1．二次函数4)2(22-+-=x y 的图像的开口 ，对称轴是直线 ，顶 点坐标是 ．2．已知抛物线3)1(52+-=x y ，则这条抛物线的顶点坐标是 ，开口 ，对称轴是直线 ，顶点是抛物线的最 点．3．将二次函数2)1(22--=x y 的图像向上平移5个单位，得到的函数解析式是 .4．抛物线2)5(212-+-=x y 可以通过将抛物线221x y -=向 平移 个单位，再向 平移 个单位得到．5．二次函数522-=x y 的图像的对称轴是 ，当它的图像向右平移3个单位时，此时函数的解析式是 。
6．如果抛物线和抛物线23y x =-的形状相同，当它的顶点是（１，－2）时，它的函数解析式是 。
二、选择题：7. 若抛物线y ＝a (x ＋m )2＋k 的顶点在第二象限，则点(m ，k )在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限8. 把二次函数y ＝3x 2的图像向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图像对应的二次函数关系式是( )A. y ＝3(x －2)2＋1B. y ＝3(x ＋2)2－1C. y ＝3(x －2)2－1D. y ＝3(x ＋2)2＋1 三、简答题：9. 指出下列函数的开口方向，对称轴和顶点坐标．(1)y ＝34(x －2)2＋3 (2)y ＝－2(x ＋1)2＋3(3)y ＝5－(x －1)2 (4)y ＝2(x ＋1)2－210. 已知函数y＝(m－3)xm2－7－3是二次函数．(1)求m的值；(2)先求该函数的解析式，并指出该抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标．11.将抛物线C1∶y＝(x－1)2＋3先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线C2，C1与C2的交点为A，C1、C2的顶点分别为点B和点C，求△ABC的面积．26.2 二次函数2y ax bx c =++的图像（2）一、填空题：1. 一个二次函数的图像顶点坐标为(2，1)，形状与抛物线y ＝－2x 2相同，开口一致，这个函数解析式为 ．2. 如果抛物线y ＝mx 2＋m ＋2顶点是坐标原点，那么m ＝ ，且抛物线的开口________，顶点坐标为____________．3. 将抛物线y ＝23(x －2)2＋1先向下平移3个单位，再向左平移4个单位，那么平移后的顶点坐标是______________．4. 抛物线y ＝2x 2－5x －3与y 轴交点坐标是__________．5. 抛物线y ＝(m －3)(x ＋m )2＋m ＋2的对称轴是直线x ＝2，那么抛物线的解析式是__________．6.将抛物线y ＝2(x ＋1)2＋3沿x 轴翻折，所得到的抛物线是__________． 二、选择题：7. 二次函数y ＝－3(x －2)2＋6图像的开口方向、对称轴分别为( ) A. 开口向上，对称轴是直线x ＝－2 B. 开口向上，对称轴是直线x ＝2 C. 开口向下，对称轴是直线x ＝－2 D. 开口向下，对称轴是直线x ＝28.将抛物线231x y =先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，得到的抛物线是（ ）A. 2)3(312++=x y B. 2)3(312--=x yC. 2)3(312-+=x yD. 2)3(312+-=x y三、简答题：9. 已知抛物线1)2(2++-=x y（1）指出它的开口方向，对称轴和顶点坐标；（2）在平面直角坐标系中画出这条抛物线解：（１）开口 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是10. 将抛物线22x y -=平移，使顶点移到点Ｎ（－３，２）求所得新抛物线的表达式.11. 在同一直角坐标系内画出函数y ＝(x －1)2－2和y ＝(x ＋1)2＋1的图像，并说明抛物线y ＝(x －1)2－2是如何由抛物线y ＝(x ＋1)2＋1怎样移动得到的？四、拓展题：12. 已知：二次函数y ＝－(x －h )2＋k 的图像的顶点P 在x 轴上，且它的图像经过点A (3，－1)，与y 轴相交于点B ，一次函数y ＝ax ＋b 的图像经过点P 和点A ，并与y 轴的正半轴相交．求： (1)k 的值；(2)这个一次函数的解析式； (3)∠PBA 的正弦值．26.3 二次函数c bx ax y ++=2的图像(3)一、填空题:1. 当抛物线y ＝(m ＋1)x 2＋3x ＋m 2－1的图像经过原点时，m 的值为__________．2. 抛物线y ＝x 2＋x －2的顶点坐标是__________．3. 用配方法将下列二次函数解析式改写成y ＝a (x ＋m )2＋k 的形式：(1)y ＝x 2－4x ＝______________.(2)y ＝x 2－4x ＋2＝______________.(3)y ＝－13x 2－2x －5＝______________.(4)y ＝12x 2＋2x －2＝______________.4. 二次函数y ＝(x －2)(x －3)图像的顶点坐标是__________．5. 抛物线y ＝2x 2－4x －2的对称轴是__________． 二、选择题：6. 把二次函数y ＝x 2－2x －1配方成为y ＝a (x ＋m )2＋k 的形式为( )A. y ＝(x －1)2B. y ＝(x －1)2－2C. y ＝(x ＋1)2＋1D. y ＝(x ＋1)2－27. 二次函数y ＝－x 2－3x ＋m 的图像顶点在x 轴上，则m 的取值为( )A. 94B. －94C. 0D. －32 8. 二次函数y ＝－x 2＋2x ＋6取最大值时，自变量x 的值是( ) A. 2 B. －2 C. 1 D. －1 三、简答题：9. 用配方法把下列函数解析式改写成k m x a y ++=2)(的形式 （1）522+-=x x y （2）6422--=x x y（3）246x x y -+= （4）52312---=x x y10. 指出下列二次函数图像的开口方向，对称轴，顶点坐标（1）132--=x x y （2）)32)(2(+-=x x y11. 已知抛物线m x x y +--=22的顶点在直线121-=x y 上，求m 的值。
26.2 特殊二次函数的图像(第2课时)(课件)九年级数学上册同步精品课堂(沪教版)
左右平移规律：
当h<0时，向左平移|h|个单位长度.
括号内左加右减.
探究新知
归纳总结
二次函数 y=a(x-h)2的性质
y ax h 开口 对称轴 顶点
2
a>0
向上
x=h
(h,0)
a<0
向下
x=h
(h,0)
最值
当x=h时，
y min 0
当x=h时，
y max 0
增减性
x>h
y随x的增大而
∴−1 < < 0；
2
+ + 1，
（2）当 = −2时，抛物线解析式为 = + 2
2
− 1 = 2 + 4 + 3，
令 = 0，即 2 + 4 + 3 = 0，
解得 = −1或 = −3，
令 = 0， = 3，
∴如图所示，A（-3，0），B（-1，0），D（0，3），
开口 对称轴 顶点
(0,0)
当x=0时，
y min 0
y 2x 1 向上
x=-1 (-1,0)
当x=-1时，
y min 0
y 2x 12 向上
x=1
当x=1时，
y min 0
2
向上
2
3
-4
-2
0
2
4
x
最值
x=0
(1,0)
探究新知
y 2x 2
y
y 2x 1
得到抛物线 =
1
−
2
+1
2
− 1.
探究新知
归纳总结
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如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。
——高斯
§26.2（1）特殊二次函数的图像（二次函数2
y ax =的图像）
【教学目的】
(1)了解二次函数2
y ax =的图像是抛物线，会用描点法画二次函数2
y ax =的图像． (2)借助二次函数2
y ax =的图像归纳二次函数2
y ax =的基本性质并加以直观描述．（主要讨论顶点坐标、开口方向、对称性）．
(3) 在运用图像研究二次函数性质的过程中，领会和运用数形结合的思想方法． (4) 培养学生通过独立思考，归纳、概括、提炼数学知识的方法.
【教学重点】会用描点法画出二次函数2
ax y =的图像，概括出图象的特点及函数的性质． 【教学难点】会用描点法画二次函数2
ax y =的图像.
【教学过程】一、复习导入
问题 1.二次函数的一般式及定义域；
2.一次函数的特殊函数是什么函数？它的解析式及图像分别是什么？ 二、探究新课 用描点法画出函数2
x y =的图像
（1）描点法画函数2
x y =的图像前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x 取互为相反数的值时，y 的值如何？（由解析式可以看出x 可以取任意实数，不妨以0为中心，均匀选取一些便于计算的x 的值，看看画出来的图形的大致形状，如有问题再加以修正或补充．） 步骤：1）列表：
x
… -2
23- -1 21
- 0 21 1 23
2 …
2x y = …
4
4
9 1
4
1 0
4
1 1
4
9 2 …
2） 描点：
3） 连接成光滑曲线： 说明：画图时曲线不能画到端点为止，必须超过端点，表示可以向上（或向下）无限延伸．顶点处要画得光滑，不能画成尖端．
（2）观察函数2
x y =的图象，它的形状、位置有哪些特征？（引导学生观察列表中的数据）
函数2
x y =的图像形如物体抛射时所经过的路线，我们把这种图像叫做抛物线。
通过观察可以发现，抛物线2
x y =经过原点O ，且位于y 轴的左右两侧，向上无限延伸；当自变量x 取互为相反数的两个数时，它们所对应的函数值相同；从图像中也可以看出，横坐标互为相反数的任意两个点总有相同的纵坐标，这样的两点是关于y 轴对称的点，所以抛物线2
y x =关于y 轴对称．同时，通过图像，我们还能观察到抛物线与对称轴y 轴有交点，将它定义为顶点．顶点是抛物线2
y x =的最低点． 试一试 用上述方法画出函数2
x y -=的图像，再归纳它的图像特征. 例题 在同一直角坐标系xOy 中，分别画出二次函数221x y =和22
1
x y -=的图像. 并指出它们有何共同点？有何不同点？（解：略.） 共同点：都以y 轴为对称轴，顶点都在坐标原点．
不同点：2
2
1x y =
的图像开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升．2
2
1x y -=的图像开口向下，顶点是抛
物线的最高点，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降．
二次函数2
ax y =的图像是抛物线。
性质：（让学生观察图像得出结论）
1） 抛物线2
x y =是关于y 轴对称，即对称轴是y 轴。
2） 抛物线和y 轴有一个交点是原点（0，0），叫做顶点。
3） 顶点是这个抛物线的最低点
4） 抛物线上的点除顶点在x 轴上之外，其余的点都在x 轴的上方。
一般地，抛物线2
ax y =的对称轴是y 轴，即直线x =0，顶点是原点，，当a ＞0时，它的开口向上，顶点是最低点，当a ＜0
时，它的开口向下，顶点是最高点。
注：1）a 的符号决定图像的开口方向。
2）∣a ∣的大小，决定着图像的开口大小，∣a ∣越大，抛物线的开口越小，∣a ∣越小，抛物线的开口越大，
3）若a 是互为相反数，则它们的图像是关于x 轴对称。
若函数2
ax y =的图像绕着顶点旋转180°（或沿x 轴翻折）得到函数2
ax y -=的图像。
思考：求函数2
ax y =的解析式需要已知几个点的坐标？（待定系数法） 三、课内练习： P89/1、2、3. 补充：1.（1）函数2
3
2x y =的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ；
（2）函数2
4
1x y -
=的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ． 2．已知等边三角形的边长为2x ，请将此三角形的面积S 表示成x 的函数，并画出图像的草图．
四、小结：今天你学到了哪些知识?掌握了吗？ 五、作业：练习册：P51/习题26.2（1） 补充： A 组
1.填空：（1）抛物线2
5x y -=，当x = 时，y 有最 值，是 ． （2）当m = 时，抛物线m
m x m y --=2
)1(开口向下．
（3）已知函数1
222
)(--+=k k x k k y 是二次函数，它的图象开口 ，当x 时，y
随x 的增大而增大． 2．已知抛物线10
2
-+=k k
kx y 中，当0>x 时，y 随x 的增大而增大．
（1）求k 的值； （2）作出函数的图象（草图）．
3．已知抛物线2
ax y =经过点（1，3），求当y =9时，x 的值．
B 组
4．底面是边长为x 的正方形，高为0．5cm 的长方体的体积为y cm 3．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）根据图象，求出y =8 cm 3时底面边长x 的值；（4）根据图象，求出x 取何值时，y ≥4．5 cm 3．
5．二次函数2
ax y =与直线32-=x y 交于点P （1，b ）．
（1）求a 、b 的值；
（2）写出二次函数的关系式，并指出x 取何值时，该函数的y 随x 的增大而减小． 6.一个函数的图象是以原点为顶点，y 轴为对称轴的抛物线，且过M （-2，2）． （1）求出这个函数的关系式并画出函数图象；
（2）写出抛物线上与点M 关于y 轴对称的点N 的坐标，并求出△MON 的面积． 7.已知两点A （2，0），B （1，1），直线AB 与抛物线2
ax y =相交于B 、C 两点。
1） 求直线AB 及抛物线所表示函数的解析式；
2） 如果抛物线上有一点D ，使S △OAD =S △OBC ，求这时D 的坐标。
A．圆的周长与圆的半径之间的关系。