沪教版(上海)初中数学九年级第一学期26.2(1)特殊二次函数的图像(二次函数 的图像) 教案

如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。——高斯

§26.2（1）特殊二次函数的图像（二次函数2

y ax =的图像）

【教学目的】

(1)了解二次函数2

y ax =的图像是抛物线，会用描点法画二次函数2

y ax =的图像． (2)借助二次函数2

y ax =的图像归纳二次函数2

y ax =的基本性质并加以直观描述．（主要讨论顶点坐标、开口方向、对称性）．

(3) 在运用图像研究二次函数性质的过程中，领会和运用数形结合的思想方法． (4) 培养学生通过独立思考，归纳、概括、提炼数学知识的方法.

【教学重点】会用描点法画出二次函数2

ax y =的图像，概括出图象的特点及函数的性质． 【教学难点】会用描点法画二次函数2

ax y =的图像.

【教学过程】一、复习导入

问题 1.二次函数的一般式及定义域；

2.一次函数的特殊函数是什么函数？它的解析式及图像分别是什么？ 二、探究新课 用描点法画出函数2

x y =的图像

（1）描点法画函数2

x y =的图像前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x 取互为相反数的值时，y 的值如何？（由解析式可以看出x 可以取任意实数，不妨以0为中心，均匀选取一些便于计算的x 的值，看看画出来的图形的大致形状，如有问题再加以修正或补充．） 步骤：1）列表：

x

… -2

23- -1 21

- 0 21 1 23

2 …

2x y = …

4

4

9 1

4

1 0

4

1 1

4

9 2 …

2） 描点：

3） 连接成光滑曲线： 说明：画图时曲线不能画到端点为止，必须超过端点，表示可以向上（或向下）无限延伸．顶点处要画得光滑，不能画成尖端．

（2）观察函数2

x y =的图象，它的形状、位置有哪些特征？（引导学生观察列表中的数据）

函数2

x y =的图像形如物体抛射时所经过的路线，我们把这种图像叫做抛物线。

通过观察可以发现，抛物线2

x y =经过原点O ，且位于y 轴的左右两侧，向上无限延伸；当自变量x 取互为相反数的两个数时，它们所对应的函数值相同；从图像中也可以看出，横坐标互为相反数的任意两个点总有相同的纵坐标，这样的两点是关于y 轴对称的点，所以抛物线2

y x =关于y 轴对称．同时，通过图像，我们还能观察到抛物线与对称轴y 轴有交点，将它定义为顶点．顶点是抛物线2

y x =的最低点． 试一试 用上述方法画出函数2

x y -=的图像，再归纳它的图像特征. 例题 在同一直角坐标系xOy 中，分别画出二次函数221x y =和22

1

x y -=的图像. 并指出它们有何共同点？有何不同点？（解：略.） 共同点：都以y 轴为对称轴，顶点都在坐标原点．

不同点：2

2

1x y =

的图像开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升．2

2

1x y -=的图像开口向下，顶点是抛

物线的最高点，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降．

二次函数2

ax y =的图像是抛物线。 性质：（让学生观察图像得出结论）

1） 抛物线2

x y =是关于y 轴对称，即对称轴是y 轴。 2） 抛物线和y 轴有一个交点是原点（0，0），叫做顶点。

3） 顶点是这个抛物线的最低点

4） 抛物线上的点除顶点在x 轴上之外，其余的点都在x 轴的上方。

一般地，抛物线2

ax y =的对称轴是y 轴，即直线x =0，顶点是原点，，当a ＞0时，它的开口向上，顶点是最低点，当a ＜0

时，它的开口向下，顶点是最高点。

注：1）a 的符号决定图像的开口方向。

2）∣a ∣的大小，决定着图像的开口大小，∣a ∣越大，抛物线的开口越小，∣a ∣越小，抛物线的开口越大，

3）若a 是互为相反数，则它们的图像是关于x 轴对称。若函数2

ax y =的图像绕着顶点旋转180°（或沿x 轴翻折）得到函数2

ax y -=的图像。

思考：求函数2

ax y =的解析式需要已知几个点的坐标？（待定系数法） 三、课内练习： P89/1、2、3. 补充：1.（1）函数2

3

2x y =的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ；

（2）函数2

4

1x y -

=的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ． 2．已知等边三角形的边长为2x ，请将此三角形的面积S 表示成x 的函数，并画出图像的草图．

四、小结：今天你学到了哪些知识?掌握了吗？ 五、作业：练习册：P51/习题26.2（1） 补充： A 组

1.填空：（1）抛物线2

5x y -=，当x = 时，y 有最 值，是 ． （2）当m = 时，抛物线m

m x m y --=2

)1(开口向下．

（3）已知函数1

222

)(--+=k k x k k y 是二次函数，它的图象开口 ，当x 时，y

随x 的增大而增大． 2．已知抛物线10

2

-+=k k

kx y 中，当0>x 时，y 随x 的增大而增大．

（1）求k 的值； （2）作出函数的图象（草图）．

3．已知抛物线2

ax y =经过点（1，3），求当y =9时，x 的值．

B 组

4．底面是边长为x 的正方形，高为0．5cm 的长方体的体积为y cm 3．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）根据图象，求出y =8 cm 3时底面边长x 的值；（4）根据图象，求出x 取何值时，y ≥4．5 cm 3．

5．二次函数2

ax y =与直线32-=x y 交于点P （1，b ）．

（1）求a 、b 的值；

（2）写出二次函数的关系式，并指出x 取何值时，该函数的y 随x 的增大而减小． 6.一个函数的图象是以原点为顶点，y 轴为对称轴的抛物线，且过M （-2，2）． （1）求出这个函数的关系式并画出函数图象；

（2）写出抛物线上与点M 关于y 轴对称的点N 的坐标，并求出△MON 的面积． 7.已知两点A （2，0），B （1，1），直线AB 与抛物线2

ax y =相交于B 、C 两点。 1） 求直线AB 及抛物线所表示函数的解析式；

2） 如果抛物线上有一点D ，使S △OAD =S △OBC ，求这时D 的坐标。