非线性模型-TAR

8.
9.
10.
根据第4步的检验结果，定出d的取值； 确定门限的可能取值； 对第6步中每个可能的门限值，做门限自回归模型 的估计； 选取使得AIC获得最小的门限值； 对所估计的模型进行检验、评价，看看模型是否是 充分的。所用的方法是对残差进行分析，看一下残 差是否是独立同分布的或者是不相关的。对残差分 析，我们可以借助于残差的自相关、偏向关函数， 或者是L-B-P统计量； 如果必要的话，用AIC或SC准则对估计好的模型进 行改进，得出最符合实际的AR的阶数、延迟参数、 门限变量。
i 1 j 1 i 1 j 1
上式比ARMA( p, q)模型多了一个双线性项,因此可以 看作ARMA模型的推广。当x(.)固定时，变成关于a(.) 的线性模型；当a (.)固定时，变成x(.)的线性模型，因 此称之为双线性模型。由于它是非线性模型，模型的 定阶、判别准则、稳定性等远比ARMA模型复杂和困 难得多。
其中Z t d 为门限变量，在Ft 1上可测，参数d被称为延迟变量， 为正整数；初始值( x0 , x1 ,..., x p j 1 )已知， j , j 1, 2,..., k}为门限 {r 值，满足- r0 r1 ... rk 1 rk , k 取正整数，为TAR模型 的段数， jt }是独立同分布随机白噪声序列。满足上述条件的 { 模型通常记为:TAR (d,k,p1 , p2 ,..., pk )。当p1 p2 ... pk p时， 即模型满足在各段阶数相等时记为：TAR (d,k,p )。
双线性模型

双线性模型是由Granger和Anderson(1978) 提出，并得到广泛研究。Subba Rao和 Gabr(1984)讨论了这个模型的一些性质和 应用，Liu和Brockwell(1988)研究了一般的 双线性模型。
双线性模型

双线性模型可以定义为：
p q m s
xt c i xt i j at j ij xt i at j at
引言
一个纯随机时间序列xt 称为线性的，如果它能表示成 xt i at i
i 0
(1)
其中是常数，0 1，i是实数， t }是独立同分布随机 {a 变量序列，其分布函数是合理定义的。假定at的分布是 连续的且E (at ) 0。在许多场合下，我们进一步假定
2 2 Var (ai ) a，甚至更强，at 是高斯的。若 a i2 ， i 1
在实际应用中，由Tong(1978,1983)以及Tong, Lim(1980)提出了各种状态下涉及若干含有分离 高阶AR(p)过程的不同状态的TAR模型，其状态 的一般形式可表示为： 10 11 yt 1 ... 1 p yt p 1t , yt 1 a yt { 20 21 yt 1 ... 1r yt r 2t , yt 1 a (4) 这里存在由 yt 1 的值定义的两个可分离状态。 a 为TAR模型的门限值。

门限自回归模型(TAR)允许机制变化是内 生的,其中,变量决定了机制转换是可观测 的,但是引起机制转换的门限却是不可直接 观测的,转换机制是离散的;而平滑转换自 回归模型(STAR)可以使在两个极端机制 之间的变化成为平滑或逐渐的变化,因此, STAR模型在经济研究中最易模拟经济现 实和突发性经济政策,这也使其成为了 2000年以来国外计量经济学前沿领域追踪 的热点。
TAR建模步骤


1.
建立一个门限自回归模型，我们首先需要确 定一些参数:AR模型的阶数，延迟参数d，门 限的段数k，和门限值 r1,, rk 。确定这些之 后我们就可以利用Tsay提出的方法建立门限 自回归模型。 下面给出建立门限自回归模型的步骤: 根据自相关和偏向关函数(和L-B-P统计量)或 AIC准则或SC信息准则，选取AR模型的最高 阶数；
基本思路

在观测时序{ xt }的取值范围内引入 k 1个 门限值 (j=1,2,…,k),将时间轴分成k个区 间，并用延迟步数 d 将{xt }按{ xt d }值的大 小分配到不同的门限区间内，然后对不 同区间内的{ xt }采用不同 AR 模型来描 述整个系统。
基本模型
一般的，如果时间序列{Xt , t 1, 2, ...}满足： Xt j 0 j1 X t 1 j 2 X t 2 ... jp j X t p j jt , rj 1 Zt d rj 则称为满足一个K段门限自回归模型(TAR). (3)
( j) t 2 j
且对不同j是相互独立的,xt d 称为门限变量,参数d 称 为延迟参数， j 称为门限。
二体制SETAR模型
一个简单的二体制SETAR模型的表达式为：
y y yt { y y
(1) 0 (2) 0 (1) 1 t 1 (2) 1 t 1
t E ( xt | Ft 1 ) g ( Ft 1 ), t2 Var ( xt | Ft 1 ) h( Ft 1 ),
限制于xt g ( Ft 1 ) h( Ft 1 ) t
(2)
其中g (.)和h(.)是有意义的函数，h(.) 0。这样，我们把模型 其中 t at t 是标准化的抖动。对式(1)中的线性序列xt，g (.) 是Ft 1中元素的线性函数，h(.) t2。非线性模型的发展就在于 式(2)中两个方程的扩展。若g (.)是非线性的，xt 称为均值非线 性的。若h(.)是随时间变化的，则xt 是方差非线性的。
门限自回归模型(TAR)

门限自回归模型作为一类非线性模型，首先由 Tong(1978，1983)和Tong、Lim(1980)提出。 该模型设定某一特定的时点,，时间序列的运动 方式从一种机制(regime)跳跃到了另一种机制， 同时这种跳跃是离散的。门限自回归模型在拟合 实际数据时具有较好的性质，但是由于建立门限 自回归模型的步骤比较复杂，直到Ruey S.Tsay (1989)提出了相对来说比较简易的建模及检验方 法后，这类模型才被人们广泛地应用。

门限自回归模型在门限空间上是分段线 性的，而且在此空间内能够提供精确的 “local approximations”(局部近似值)。 但是，在时间上它并不是分段线性的。 Z 也就是说，我们可以根据门限变量t d 取值的不同，将门限自回归模型看为分 段线性的，而不是根据时间划分。在每 一个时刻t，到底符合哪个阶段的线性模 型，主要看 Zt d 的取值。
对式 5 的SETAR模型可以推广到只要求 门限变量xt为Ft 1可测的(即，它是Ft 1中元 素的函数)情形，这时还要求xt 是平稳的， 有在实直线的紧子集上连续的分布函数， 并且xt d 在t时刻是已知的，这样的推广模 型为开环 Open Loop TAR模型。
对TAR、SETAR模型来说，如何确定模型中的各个参数成 为关键问题。因此，作为模型选择标准（MSC）的各种信 息准则被提出来成为选择依据，除了最基本的AIC（Akaike Information Criterion）外，还包括：Wong和Li提出的AICc （bias-corrected AIC）、AICu（unbiased AIC）、BIC （bayesian information criterion）；De Gooijer提出的交 叉验证准则C（cross-validation criterion）、Cc（biascorrected C）、Cu（unbiased C）；Öhrvik和Schoier提出 的BSC（bootstrap selection criterion）；以及Pedro Galeanoa和Daniel Penab提出的改进模型选择标准（IMSC）。

我们不仅可以对序列本身做门限自和其它的模型混合使用，建立混合 的TAR模型。如TAR模型与GARCH的混 合就是TAR-GARCH模型，这个混合模型 弥补了GARCH模型在拟合实际数据中的 不足。
自激发门限回归模型(SETAR)


TAR模型是由AR模型发展而来的一类 非线性模型，它有三种形式，其中一种 为自激励(Self-Exciting) TAR模型，称 为SETAR模型，它能够有效地描述非 线性系统的自激振动现象。 其门限变量的选取是研究变量自身，而 不象一般的TAR模型，门限变量为其他 变量。
经济和金融中的应用



在金融中的一个重要应用是处理波动率对正、负 收益率的不对称影响。 Kugler(1993)，Peel and Speight(1994)， Chappell(1996)将该模型运用到外汇市场； Tiao and Tsay(1994)，Potter(1995)运用该模型 对美国的GDP进行了预测； Potter(1995)、Peel and Speight (1995)分别运用 SETAR模型对美国和英国的GDP进行了预测。 Montgomery，Zarnowitz(1998)，Rothman(1998) 成功的将该模型用于失业问题的研究；
(1) p t p (2) p t p
a , yt 1 c a , yt 1 c
(1) t (2) t
c是门限参数，d 被称为延迟参数，是一个正 整数，p表示不同体制下作为解释变量的滞后 因变量的滞后步长，误差项at 是均值为0，方 差为 2的iid序列。
SETAR模型的推广


门限自回归模型能够解释金融数据中经常表 现出来的一些非线性性质:周期性和不对称性、 波动的聚集性、波动的跳跃现象和时间的不 可逆性。 它用分段线性模型来得到条件均值方程的更 好逼近。而与传统的分段线性模型不同的是： 传统的模型是允许模型的变化发生在时间空 间上，TAR模型则是利用门限空间来改进线 性逼近。

国内也有学者对人民币实际汇率的非线性 特征进行了研究。刘潭秋(2007)采用了不 同的线性和非线性时间序列模型进行研究, 结果表明,非线性的自激发(self-exciting)门 限自回归模型(SETAR)和平滑转换自回归 模型对人民币实际汇率历史数据有很好的 拟合效果;