2013第一章时滞微分方程基本概念与解的基本性质
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这就保证了x1(1)=x2(1)?
1 1 1 3 x2 (t ) (t 2) t 1 . 3! 2 3!
作业:
写出当n-1 t n时，方程(7)的解xn 表达式.
练习 x(t ) x(t 1) 1. () x(t ) 1, t [1, 0]
2. x(t ) ax(t r ) () （常数）t [t0 r , t0 ] x(t ) C
例2 考虑下列方程 x(t ) x(t 1) 2 x(t 1) (8) x(t ) 1, x(t ) 0, t [0,1]
设B是由(-,0]映入R 的函数所组成
n
的某一种wenku.baidu.com数空间。
若t0 R,x:(-,t0 +A] R ,A为某一正数，
n
则对 每一个t [t0 ,t0 +A],定义xt为 xi ( ) x(t ), 取遍(-,0]上的一切值。
设 R B,f: R n为给定的函数， 则关系式 x(t)=f(t,xt ) (11) 称为无穷延滞的泛函微分方程。x(t)表 示x(t)对t的右导数。
（Differential Difference Equation,简写
1.2.2 线性微分差分方程
形如x(t)= ai (t )x(t-ri ) g (t ) (2)
i=1 n
称为线性微分差分方程.
特别地 当 g (t ) 0时,方程（2）称为线性齐次的; 当g (t ) 0时，方程（2）称为线性非齐次的.
对于给定的 (t0 , ) D，我们说 x(t , t0 , )是满足方程(10) 及其初始条件 (t0 , )的解，是指存在 A 0，使得 x(t , t0 , ) 是方程(10)在 [t0 , r , t0 A)上的解，且 xt0 (t0 , ) 。我们 亦可说 x(t , t0 , )是方程(10)的过点 (t0 , )的解。
3 2 由(0)=0知,x1 (t ) t 5t; 2
(2)当1 t 2时，方程(9)化为 3 2 x2(t)= (t 2) -5(t-2)+2(t-3), 2 x1(1)=x2(1)解得 3 3 2 x2(t)= t -18t +61t-72 2
(3)当2 t 4时，方程(9)化为
第一章
1.1 引言
时滞微分方程解的基本理论
1.2 微分差分方程基本概念与分类 1.3 时滞微分方程的初值问题及解法 1.4 泛函微分方程的概念和分类
1.5 解的存在唯一性、延展性和连续依赖性
1.6 稳定性基本概念
在这一章里，我们将介绍具有有界滞量的
RFDE的解的基本理论，如存在性、唯一性、连续
依赖性、延展性以及对初值的可微性等。为此，
n
称为具有有界滞量的滞后性泛函微分方程。其中x(t ) 表示x(t )对t的右导数。
如果存在t0 R, A 0,以及 x C ([t0 , r , t0 A), R n ), (t , xt ) D， 并且x(t )在区间[t0 , t0 A)上满足 方程(10)，则称函数x是方程(10)的 一个解。
于是方程(5)的初值问题在区间[t0 r , t0 2r ] 化为下面的常微分方程的初值问题： x2 (t ) f (t , x2 (t ), 1 (t r )), x2 (t0 r ) 1 (t0 r ).
这样逐步地做下去，便可将方程(5)的 初值问题在区间[t0 nr , t0 (n 1)r ]上 的解转化为求下面常微分方程的初值 问题的解：
r 0
如果 t0 R, A 0, x C ([t0 r , t0 A], R n )，则 对任一 t [t0 r , t0 A], 我们定义 xt : xt ( ) x(t ), [r ,0].因此，xt C.
设D R C , f : D R 为给定的函数，则关系式 x(t ) f (t , xt ) (10)
当t0 r t t0时, t-r(t)有可能落在区间 i [t0 r , t0 ]之上，但是x(t )在[t0 r , t0 ]上是没有 定义的，它等于多少，有待我们预先给定。
例如：给定x(t) (t),t0 r t t0 , 那么
(t)（t0 r t t0）就是方程（4）的一个
解: (1)当0 t 1时，方程(7)化为x1(t)=-(t-1), 1 1 2 解得x1 (t ) (t 1) c1. 由(0)=0知,c1 ; 2 2
(2)当1 t 2时，方程(7)化为 1 2 1 x2(t)= (t 2) - ,解得 2 2
1 1 3 x2 (t ) (t 2) t c2 . 3! 2 1 1 由x1(1)= 知,c2 1 ; 2 3!
方程(10)是一种相当广泛的方程，它包含了 常微分方程组x(t ) f (t , x(t ))。因为 当r 0时，C空间成为R n空间，xt 成为x(t ), f (t , xt )实际上是f (t , x(t ))了。
从形式来看，这种泛函微分方程x(t ) f (t , xt )与 常微分方程x(t ) f (t , x(t ))是很类似的，其区别只是 前者的f 定义在R C空间，而后者的f 定义在R R n空间。 因此，常微分方程中的许多理论都可平移到泛函微分 方程中来。
我们主要介绍解的存在性、唯一性、延展性和连
续依赖性.
1.2
微分差分方程的概念及分类
1.2.1. 微分差分方程定义
一般的，如果一个方程具有如下的形式 x(t)=f(t,x(t),x(t-r1 ),x(t-r2 ), x(t-rn )) (1) 其中r为常数，则此方程叫做微分差分方程 i 为DDE）,ri叫做偏差.
初值，我们称之为初始函数，t0与(t)合起 来构成方程（4）的一个初始条件。
所谓方程（4）满足初值(t) （t0 r t t0）的解，是指这样的函数 x(t):[t0 r , b] D,它在[t0 r , t0 ]上 恒等于(t)，在[t0 , b]上满足方程（4）。
作业: 计算[n-1,n]上的解的表达式，为正整数. 思考题: 区间段取法有何要求?
例3 在[0,4]上求下面多时滞系统的解 x(t ) x(t 1) 2 x(t 2) (9) x(t ) t , t [2, 0]
解: 先考虑0 t 1时方程(9)的解 此时x 1(t)=(t-1)+2(t-2)
m+1
R , 0 ri (t ) r (i 1, 2, , m).
n
如何给出方程（4）的初值问题？什么叫做方程（4） 满足初值问题的解？与常微分方程中的定义 是否相不同？
首先给定一初始时刻t0 R，若函数x(t)在[t0 ,b) 上是方程（4）的解，就必须要求x(t)在[t0 ,b)上有 定义且满足方程（4）,但（4）中含有x(t-r(t)) i (i=1,2, , m),
其中ri 0(i 1, 2, , n), i 0(i 1, 2, , m).则称此方程为中立型的微分差分方 程（Neutral Differential Difference Equation,简写为NDDE）。
1.3 时滞微分方程的初值问题及解法
下面介绍滞后型和中立型的微分差分方程 的初值问题。至于超前型的初值问题， 至今尚未有一个公认的提法。
下面给出方程(11)的初值问题:
如果对给定的(t0 , ) ,存在A>0及函数 x:(-,t0 +A) R n , (t , xt ) , 使得x(t)在 x是满足初始条件(t0 , )的解，计为x(t,t0 , ).
[t0 ,t0 +A)上满足方程(11)且xt0 0 .则称
另一方面，我们必须看到C空间是无穷维的，它不具 备R n空间那么多的良好性质，例如R n空间中的有界闭集 与紧集是等价的，但C空间中却不是这样，因此，常微 分方程中的许多性质在泛函微分方程中是没有的。迄今 为止，泛函微分方程的理论是不够完备的。
(2)无界滞量的RFDE的概念（省略） (3)无穷延滞量的RFDE的概念
2).当ri 0(i 1, 2, , n)时，则称方程（1） 为超前型的微分差分方程（Advanced Differential Difference Equation,简写为ADDE） 或时超微分方程，各个ri均为超前量或超量。
3).如果方程具有如下形式： x(t)=f(t,x(t),x(t-r1 ), x(t-rn ), x(t- 1 ), ,x(t- m )). (3)
1.3.2 求解法——分步法求解
对滞后型微分方程 x(t ) f (t , x(t ), x(t r )), 对于自己的变元为连续。 (5)
设给定初始条件为（t）,t [t0 r , t0 ]，又设函数f 和
当t0 t t0 r时，由于x(t r ) (t r ), 故求方程(5) 在区间[t0 r , t0 ]上满足初始条件的解，可转化为下面 的常微分方程满足初值的解：
x1 (t ) f (t , x1 (t ), 1 (t r )), x1 (t0 ) (t0 ).
(6)
假设(6)的解在区间[t0 , t0 r ]上存在，记为x 1 (t ), 那末当t0 r t t0 2r时，有x(t r ) 1 (t r )。
设R=(-,+),R [0, ), D为R 中的一个
+ n
开集。
1.3.1 滞后型微分差分方程的初值问题
在这里我们假设方程的滞后量都是t的 函数，下面分四种情形进行考察。
(i) 有界滞量方程的初值问题 设方程为 x(t)=f(t,x(t),x(t-r(t), ,x(t-rm(t))). 1 (4) 其中f:R D
1.4.2 中立型泛函微分方程的概念（省略） 1.4.3 超前型泛函微分方程的概念（省略）
1.2.3
微分差分方程分类
关于DDE的分类，现在还没有一套完整的 方法，一般只作如下的分类：
1).当ri 0(i 1, 2, , n)时，则称方程（1） 为滞后型的微分差分方程（Retarded Differential Difference Equation,简写为RDDE） 或时滞微分方程，各个ri均为滞后量或滞量。
1.4
泛函微分方程的概念和分类
1.4.1 滞后性泛函微分方程的概念
下面我们分别对三种RFDE的定义给予介绍。
(1)有界滞量的RFDE的概念
设C ([a, b], R )表示将区间[a,b]映射入R 中的连续函数
n n
所组成的并具有一致收敛拓扑的Banach空间。对给定的r 0, 我们将空间C ([r , 0], R n )简记为C，对任一 C，其范数定义 为 sup ( ) , 其中 是R n中的范数。
xn (t ) f (t , xn (t ), n (t r )), xn (t0 nr ) n (t0 nr ). 其中n (t )是方程(5)的初值问题在 区间[t0 n 1）r , t0 (n 1)r ]上的解。 （
分步法求解举例
例1 x(t ) x(t 1) (7) x(t ) t , t [1, 0]
1 1 1 3 x2 (t ) (t 2) t 1 . 3! 2 3!
作业:
写出当n-1 t n时，方程(7)的解xn 表达式.
练习 x(t ) x(t 1) 1. () x(t ) 1, t [1, 0]
2. x(t ) ax(t r ) () （常数）t [t0 r , t0 ] x(t ) C
例2 考虑下列方程 x(t ) x(t 1) 2 x(t 1) (8) x(t ) 1, x(t ) 0, t [0,1]
设B是由(-,0]映入R 的函数所组成
n
的某一种wenku.baidu.com数空间。
若t0 R,x:(-,t0 +A] R ,A为某一正数，
n
则对 每一个t [t0 ,t0 +A],定义xt为 xi ( ) x(t ), 取遍(-,0]上的一切值。
设 R B,f: R n为给定的函数， 则关系式 x(t)=f(t,xt ) (11) 称为无穷延滞的泛函微分方程。x(t)表 示x(t)对t的右导数。
（Differential Difference Equation,简写
1.2.2 线性微分差分方程
形如x(t)= ai (t )x(t-ri ) g (t ) (2)
i=1 n
称为线性微分差分方程.
特别地 当 g (t ) 0时,方程（2）称为线性齐次的; 当g (t ) 0时，方程（2）称为线性非齐次的.
对于给定的 (t0 , ) D，我们说 x(t , t0 , )是满足方程(10) 及其初始条件 (t0 , )的解，是指存在 A 0，使得 x(t , t0 , ) 是方程(10)在 [t0 , r , t0 A)上的解，且 xt0 (t0 , ) 。我们 亦可说 x(t , t0 , )是方程(10)的过点 (t0 , )的解。
3 2 由(0)=0知,x1 (t ) t 5t; 2
(2)当1 t 2时，方程(9)化为 3 2 x2(t)= (t 2) -5(t-2)+2(t-3), 2 x1(1)=x2(1)解得 3 3 2 x2(t)= t -18t +61t-72 2
(3)当2 t 4时，方程(9)化为
第一章
1.1 引言
时滞微分方程解的基本理论
1.2 微分差分方程基本概念与分类 1.3 时滞微分方程的初值问题及解法 1.4 泛函微分方程的概念和分类
1.5 解的存在唯一性、延展性和连续依赖性
1.6 稳定性基本概念
在这一章里，我们将介绍具有有界滞量的
RFDE的解的基本理论，如存在性、唯一性、连续
依赖性、延展性以及对初值的可微性等。为此，
n
称为具有有界滞量的滞后性泛函微分方程。其中x(t ) 表示x(t )对t的右导数。
如果存在t0 R, A 0,以及 x C ([t0 , r , t0 A), R n ), (t , xt ) D， 并且x(t )在区间[t0 , t0 A)上满足 方程(10)，则称函数x是方程(10)的 一个解。
于是方程(5)的初值问题在区间[t0 r , t0 2r ] 化为下面的常微分方程的初值问题： x2 (t ) f (t , x2 (t ), 1 (t r )), x2 (t0 r ) 1 (t0 r ).
这样逐步地做下去，便可将方程(5)的 初值问题在区间[t0 nr , t0 (n 1)r ]上 的解转化为求下面常微分方程的初值 问题的解：
r 0
如果 t0 R, A 0, x C ([t0 r , t0 A], R n )，则 对任一 t [t0 r , t0 A], 我们定义 xt : xt ( ) x(t ), [r ,0].因此，xt C.
设D R C , f : D R 为给定的函数，则关系式 x(t ) f (t , xt ) (10)
当t0 r t t0时, t-r(t)有可能落在区间 i [t0 r , t0 ]之上，但是x(t )在[t0 r , t0 ]上是没有 定义的，它等于多少，有待我们预先给定。
例如：给定x(t) (t),t0 r t t0 , 那么
(t)（t0 r t t0）就是方程（4）的一个
解: (1)当0 t 1时，方程(7)化为x1(t)=-(t-1), 1 1 2 解得x1 (t ) (t 1) c1. 由(0)=0知,c1 ; 2 2
(2)当1 t 2时，方程(7)化为 1 2 1 x2(t)= (t 2) - ,解得 2 2
1 1 3 x2 (t ) (t 2) t c2 . 3! 2 1 1 由x1(1)= 知,c2 1 ; 2 3!
方程(10)是一种相当广泛的方程，它包含了 常微分方程组x(t ) f (t , x(t ))。因为 当r 0时，C空间成为R n空间，xt 成为x(t ), f (t , xt )实际上是f (t , x(t ))了。
从形式来看，这种泛函微分方程x(t ) f (t , xt )与 常微分方程x(t ) f (t , x(t ))是很类似的，其区别只是 前者的f 定义在R C空间，而后者的f 定义在R R n空间。 因此，常微分方程中的许多理论都可平移到泛函微分 方程中来。
我们主要介绍解的存在性、唯一性、延展性和连
续依赖性.
1.2
微分差分方程的概念及分类
1.2.1. 微分差分方程定义
一般的，如果一个方程具有如下的形式 x(t)=f(t,x(t),x(t-r1 ),x(t-r2 ), x(t-rn )) (1) 其中r为常数，则此方程叫做微分差分方程 i 为DDE）,ri叫做偏差.
初值，我们称之为初始函数，t0与(t)合起 来构成方程（4）的一个初始条件。
所谓方程（4）满足初值(t) （t0 r t t0）的解，是指这样的函数 x(t):[t0 r , b] D,它在[t0 r , t0 ]上 恒等于(t)，在[t0 , b]上满足方程（4）。
作业: 计算[n-1,n]上的解的表达式，为正整数. 思考题: 区间段取法有何要求?
例3 在[0,4]上求下面多时滞系统的解 x(t ) x(t 1) 2 x(t 2) (9) x(t ) t , t [2, 0]
解: 先考虑0 t 1时方程(9)的解 此时x 1(t)=(t-1)+2(t-2)
m+1
R , 0 ri (t ) r (i 1, 2, , m).
n
如何给出方程（4）的初值问题？什么叫做方程（4） 满足初值问题的解？与常微分方程中的定义 是否相不同？
首先给定一初始时刻t0 R，若函数x(t)在[t0 ,b) 上是方程（4）的解，就必须要求x(t)在[t0 ,b)上有 定义且满足方程（4）,但（4）中含有x(t-r(t)) i (i=1,2, , m),
其中ri 0(i 1, 2, , n), i 0(i 1, 2, , m).则称此方程为中立型的微分差分方 程（Neutral Differential Difference Equation,简写为NDDE）。
1.3 时滞微分方程的初值问题及解法
下面介绍滞后型和中立型的微分差分方程 的初值问题。至于超前型的初值问题， 至今尚未有一个公认的提法。
下面给出方程(11)的初值问题:
如果对给定的(t0 , ) ,存在A>0及函数 x:(-,t0 +A) R n , (t , xt ) , 使得x(t)在 x是满足初始条件(t0 , )的解，计为x(t,t0 , ).
[t0 ,t0 +A)上满足方程(11)且xt0 0 .则称
另一方面，我们必须看到C空间是无穷维的，它不具 备R n空间那么多的良好性质，例如R n空间中的有界闭集 与紧集是等价的，但C空间中却不是这样，因此，常微 分方程中的许多性质在泛函微分方程中是没有的。迄今 为止，泛函微分方程的理论是不够完备的。
(2)无界滞量的RFDE的概念（省略） (3)无穷延滞量的RFDE的概念
2).当ri 0(i 1, 2, , n)时，则称方程（1） 为超前型的微分差分方程（Advanced Differential Difference Equation,简写为ADDE） 或时超微分方程，各个ri均为超前量或超量。
3).如果方程具有如下形式： x(t)=f(t,x(t),x(t-r1 ), x(t-rn ), x(t- 1 ), ,x(t- m )). (3)
1.3.2 求解法——分步法求解
对滞后型微分方程 x(t ) f (t , x(t ), x(t r )), 对于自己的变元为连续。 (5)
设给定初始条件为（t）,t [t0 r , t0 ]，又设函数f 和
当t0 t t0 r时，由于x(t r ) (t r ), 故求方程(5) 在区间[t0 r , t0 ]上满足初始条件的解，可转化为下面 的常微分方程满足初值的解：
x1 (t ) f (t , x1 (t ), 1 (t r )), x1 (t0 ) (t0 ).
(6)
假设(6)的解在区间[t0 , t0 r ]上存在，记为x 1 (t ), 那末当t0 r t t0 2r时，有x(t r ) 1 (t r )。
设R=(-,+),R [0, ), D为R 中的一个
+ n
开集。
1.3.1 滞后型微分差分方程的初值问题
在这里我们假设方程的滞后量都是t的 函数，下面分四种情形进行考察。
(i) 有界滞量方程的初值问题 设方程为 x(t)=f(t,x(t),x(t-r(t), ,x(t-rm(t))). 1 (4) 其中f:R D
1.4.2 中立型泛函微分方程的概念（省略） 1.4.3 超前型泛函微分方程的概念（省略）
1.2.3
微分差分方程分类
关于DDE的分类，现在还没有一套完整的 方法，一般只作如下的分类：
1).当ri 0(i 1, 2, , n)时，则称方程（1） 为滞后型的微分差分方程（Retarded Differential Difference Equation,简写为RDDE） 或时滞微分方程，各个ri均为滞后量或滞量。
1.4
泛函微分方程的概念和分类
1.4.1 滞后性泛函微分方程的概念
下面我们分别对三种RFDE的定义给予介绍。
(1)有界滞量的RFDE的概念
设C ([a, b], R )表示将区间[a,b]映射入R 中的连续函数
n n
所组成的并具有一致收敛拓扑的Banach空间。对给定的r 0, 我们将空间C ([r , 0], R n )简记为C，对任一 C，其范数定义 为 sup ( ) , 其中 是R n中的范数。
xn (t ) f (t , xn (t ), n (t r )), xn (t0 nr ) n (t0 nr ). 其中n (t )是方程(5)的初值问题在 区间[t0 n 1）r , t0 (n 1)r ]上的解。 （
分步法求解举例
例1 x(t ) x(t 1) (7) x(t ) t , t [1, 0]