2013第一章时滞微分方程基本概念与解的基本性质
微分方程—微分方程的基本概念(高等数学课件)
2
把 2 、x的表达式代入方程后成为一个恒等式，
这说明： = 1 + 2 ,是微分方程的解，并且是通解.
课程小结
微分方程的定义
微分方程的阶
（常微分方程，偏
微分方程）
微分方程的解
（通解，特解，
定解条件）
= −0.2 2 + 20.
微分方程的阶，解
例1：验证函数 = 1 +
2
2 ,是微分方程 2
+ 2 = 0的解.
解：求出所给函数的导数
= −1 + 2 ,
2
2
2
=
−
−
2
1
其中 ，−1 ⋯ ，1 ， ()， 是关于的函数.
微分方程的阶，解
微分方程的阶：方程中所含有未知函数导数（或微分）的最高阶数.
一般的，n阶微分方程的形式：
, , ′ ， ⋯ () = 0, 或 () = , , ′ , ⋯ (−1) .
等式，那么函数 = 是微分方程的解.
例：
通解：
2
= −0.4
2
= 3,
=
3 2
2
3
+ ，
3
2
特解： = 2 + 2 .
= −0.2 2 + 1 + 2 ，
= −0.2 2 + 20.
微分方程的阶，解
通解：微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意的常数的个数
等于该方程的阶数.
特解：当通解中各任意常数都取定值时所得的解.
微分方程笔记总结
微分方程笔记总结
一、微分方程的基本概念
微分方程是描述某一变量关于时间的导数或微分满足一定关系的方程。
它通常用于描述自然现象和社会现象的变化规律，如物理学、工程学、经济学等领域。
微分方程一般形式为：y' = f(x, y) 或 dy/dx = f(x, y)
其中，y 是未知函数，x 是自变量，f(x, y) 是已知函数。
二、微分方程的解
微分方程的解是指满足方程的函数。
对于给定的微分方程，我们需要找到满足该方程的函数，以便描述某一变量的变化规律。
三、微分方程的分类
根据微分方程中变量的个数和方程的形式，微分方程可以分为以下几类：
1. 常微分方程：只含有一个变量的微分方程。
2. 偏微分方程：含有两个或多个变量的微分方程。
3. 线性微分方程：方程中的未知函数和其导数是线性组合的微分方程。
4. 非线性微分方程：方程中的未知函数和其导数不是线性组合的微分方程。
四、微分方程的解法
对于不同类型的微分方程，解法也不同。
以下是一些常见的解法：
1. 分离变量法：将方程中的变量分离，转化为可求解的一阶常微分方程。
2. 积分因子法：通过引入积分因子，将高阶微分方程转化为可求解的一阶微分方程组。
3. 参数式解法：通过引入参数，将微分方程转化为参数方程组，从而求解未知函数。
4. 幂级数解法：将未知函数表示为幂级数形式，然后代入微分方程求解未知系数。
5. 数值解法：对于难以解析求解的微分方程，可以采用数值方法求解，如欧拉法、龙格-库塔法等。
时滞微分方程
1众所周知,微分方程的振动理论是微分方程理论的一个重要分支,在稳定性研究领域里面,振动性的研究是一个非常活跃的方向。
近几十年来,在微分方程各个领域理论的发展的同时,无论是对线性到非线性时滞微分方程的研究,还是对一阶到n阶以及到无穷阶时滞微分方程的讨论,都取得了巨大的进展。
研究的方向也是广泛开阔的,如函微分方程、差分微分方程、分数阶微分方程等等。
时滞微分方程主要用于描述依赖当前和过去历史状态的动力系统，因此它在物理、信息、化学、工程、经济以及生物数学等领域都有重要应用．由于时滞微分方程在实际生活中的广泛应用，对时滞微分方程的稳定性理论的研究就显得非常重要，并且也是非常有意义的．至今已经有很多学者在这方面取得了很好的研究成果，[1．30】中有很多的介绍．’对时滞微分方程的稳定性理论的研究的转折点可以追溯到1892年，这一年俄国数学力学专家Lyapunov发表了一篇名为“运动稳定性的一般问题"的论文，该论文给出了研究稳定性的一种很有效的方法．这种方法后来被称为Lyapunov直接法，也称为Lyapunov第二方法，它至今仍是研究时滞微分方程解的稳定性的主要方法．这种方法可以在没有得到方程具体解的情况下，就确定方程解的稳定性．Lyapunov直接法的关键是构造L yapunov泛函．目前许多学者在研究时滞微分方程解的稳定性时，都是通过构造Lyapunov泛函的方法，并得到了很多很好的研究结果，如[31．50]．但是，如何构造合适、有效的L yapunov泛函来研究解的稳定性，仍然是一个很有吸引力和挑战性的课题．2 在实际工程系统中，时滞现象是普遍存在的．时滞产生的原因有很多，如：系统变量的测量过程需要一定时间、系统中设备的物理性质(大惯性环节)因数也会导致滞后、物质或信号的传递(传输过程)亦需要一定的时间，缓慢的化学反应过程等都会使系统产生时滞．时滞的存在对系统的控制无论在理论方面还是在工程实践方面都造成了很大的困难．通常情况下时滞将使系统的性能变坏，甚至使系统失去稳定性，从研究的角度来说，时滞的存在给系统的稳定性分析和控制器的设计带来了很大的困难．因此，对时滞微分方程的稳定性的研究无论在理论上还是在应用上都具有非常重要的意义．开展这方面的研究，一方面将丰富和发展时滞微分方程的理论，另一方面也为一些问题的实际应用提供了必要的理论基础．目前，关于时滞微分方程的研究成果也很多．稳定性理论是时滞微分方程理论中的重要部分．在稳定性理论发展进程中最伟大的事件乃是俄国数学力学专家李雅普诺夫在1892年完成的博士论文“运动稳定性的一般问题"，从而建立了稳定性理沦研究的框架．稳定性理论和方法不断地在发展，尤其是20世纪30年代以来，由于科学技术的日新月异，特别是自动控制、空间技术、大系统理论、生物数学等的出现，使稳定性理论发展更快，新的课题、方法不断涌现．50．60年代初期，数学家们围绕李雅普诺夫第二方法中的李雅普诺夫函数的结构，建立了一致稳定、等度渐近稳定、指数渐近稳定等各种稳定性概念，丰富了稳定性理论的研究内容．随着时间的推移，众多学者为稳定性理论的研究奠定了雄厚的基础，使其形成了一套比较完善的理论．例jtN[171、『191等都涉及到了稳定性方面的研究．至今，研究时滞微分方程解的稳定性的有效方法，仍是Lyapunov直接法(即Lyapunov第二方法)．其主要优点在于，不需要预先知道解的情况，就可确定其解的稳定性．在过去的四十多年里，已有很多学者利用构造Lyapunov泛函的方法，研究了时滞微分方程解的稳定性，得到了许多不错的结果．但是，如何构造合适、有效的Lyapunov泛函?这是一个难题，没有学者给出一个明确的方法．这样的难题在高阶常微分方程中一样存在，例如【17】．显然，对于高阶时滞微分方程构造L yapunov泛函将是更加地困难．从上世纪五、六十年代到本世纪初掀起了研究微分系统稳定性及有界性的热潮，并有许多研究成果．在微分系统稳定性及有界性研究成果得出的过程中，巴尔巴辛公式功不可没．自从巴尔巴辛给出了刀阶线性微分系统y函数构造的公式以后，许多学者通过“类比法"构造y函数研究了大量二至五阶非线性微分系统的稳定性和有界性．常微分方程是在人类生产实践中产生的．历史上，它的雏形的出现甚至比微积分还要早，伽利略研究自由落体运动，纳泊尔发明对数，笛卡尔在光学问题中由切线性质定出镜面的形状等．在十九世纪早期，柯西给微积分注入了严格性的要素，同时也为微分方程的理论奠定了基石．Sturm的工作提出了对解进行定性研究的最初思想．Poincare的著名论文“微分方程所定义的曲线”和Liapunov的博士论文“运动稳定性的一般问题”共同奠定了定性理论的研究基础．微分方程的过去和现在都对力学、天文、物理、化学、生物等各种技术科学(核能、火箭、人造卫星、自动控制、无线电子技术等)及若干社会科学(如入口问题、经济预测、运输调度问题等)提供有用的工具．早先研究都假定事物的变化规律只与当时的状态有关，而和过去的历史无关．但是，事实告诉我们，许多事物的变化规律不仅依赖于当时的状态，还依赖于过去的的状态．在这种情况下，微分方程就不能精确地描述客观事物了，代之而起的就是微分差分方程特别是时滞微分方程．现实世界中大量的自然现象可以用常微分方程来描述，用常微分方程来描述事物的现象是出于事物的发展的趋向只与当前的状态有关，而不明显地依赖过去的状态，然而在我们所研究的各种自然现象中，客观事物的变化发展规律是复杂多样的，诸多情形不仅需要考虑事物的当前的状态，而且需要考虑事物过去的历史，也就是说，当前的现状和过去的历史同时对事物的发展起作用．严格地说，在动力学系统中时滞通常是不可避免的，即使以非常快的速度(例如光速)传递的信息也不例外，从这个意义上来说，常微分方程只是动力系统的一种近似描述．如果略去滞量并不改变系统的解的性态，这时，用常微分方程去描述动力系统已够精确，而不必顾及系统中的时滞因素，如果略去滞量便达不到必要的精度，甚至导致错误，或者不考虑滞量便无法建立所需的数学模型，则需要另寻办法建立一系列新的概念和方法去直接研究系统的解的种种性态．所以，用来描述自然现象的更为合理的模型应该是与事物过去的历史即时滞有一定的关联的．因此，用时滞微分方程来刻画事物的变化发展规律更能精确地描述事物的本质．近几十年来，对时滞微分方程的动力学行为的研究引起了人们极大的兴趣1771年，Condorcet在讨论1750年由Euler提出的一个古典几何学问题时，导出了历史上第一个泛函微分方程，此后一个世纪中，许多著名的数学家，如Bernoulli，Laplace，Poisson以及Babbege等都提出过类似的方程，鉴于这类方程的复杂性，一直作为历史数学悬案搁置下来，上世纪七十年代以来，随着类似甚至更为复杂的这类方程在生物学、物理学、控制理论和工程系统中不断涌现，这才促使人们对此类方程的研究自然科学与社会科学中的许多学科提出了大量的时滞动力学问题．如核物理学、电路信号系统、生态系统、化工循环系统、遗传问题、流行病学，动物与植物的循环系统及各种社会科学问题如商业销售问题、财富分布理论、资本主义经济周期性危机、运输调度问题、工业生产管理等，各种工程系统中出现时滞现象更为普遍，特别是自动控制系统的时滞动力学系统数目更为庞大．这些学科的发展迫切需要时滞动力学的理论基础．=0，0<x<1，t>0，ρ(x)ωtt x，t+EI xωxx x，txxω0，t=ωx0，t=ωxx1，t=0，t>0，EI xωxx x1，t=u t，t>0，y t=ωt1，t，ωx，0=ω0x，ωt x，0=ω1x，0<x<1.（ω0时滞微分方程主要用于描述依赖当前和过去历史状态的动力系统，因此它在物理、信息、化学、工程、经济以及生物数学等领域都有重要应用．由于时滞微分方程在实际生活中的广泛应用，对时滞微分方程的稳定性理论的研究就显得非常重要。
第一节 微分方程的基本概念
过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.
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例 一 曲 线 通 过 点 (1,2),且 在 该 曲 线 上 任 一 点 M (x,y) 处 的 切 线 的 斜 率 为 2x,求 这 曲 线 的 方 程 .
解 设所求曲y线 y为 (x)
d y 2 x ， y(1)2, dx
yxy, 一阶
y2y3yex, 二阶
(t2x)dtxdx0, 一阶
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定义 使方程成为恒等式的函数称微分方程的解. 微分方程的解的分类： (1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且独立 任意常数的个数与微分方程的阶数相同.
例yy, 通解 yCex; yy0, 通 y 解 C 1six n C 2co xs
本章还要学习一阶常系数线性差分方程的解法.
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定义 含有自变量，自变量的未知函数以及未知函数 的若干阶导数或微分的函数方程称为微分方程. 定义 出现在微分方程中的未知函数的最高阶导数或 微分的阶数，称为微分方程的阶.
未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程， 未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.在本 书中只讨论常微分方程，如下例：
(2)特解: 不含任意常数的解.
定解条件: 用来确定任意常数的条件.
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初始条件: 规定微分方程中的未知函数及其若干阶 导数在某一点处的取值 。
初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.
一阶:
y f (x, y)
y
x
x0
y0
过定点的积分曲线;
二阶:
yf(x,y,y) yxx0 y0,yxx0 y0
微分方程的基础知识及解析解
微分方程的基础知识与练习〔一〕微分方程基本概念：首先通过一个具体的问题来给出微分方程的基本概念。
〔1〕一条曲线通过点〔1，2〕，且在该曲线上任一点M 〔x ,y 〕处的切线的斜率为2x ，求这条曲线的方程。
解 设曲线方程为)(x y y =.由导数的几何意义可知函数)(x y y =满足x dxdy 2= 〔1〕 同时还满足以下条件：1=x 时，2=y 〔2〕把〔1〕式两端积分，得⎰=xdx y 2 即 C x y +=2 〔3〕其中C 是任意常数。
把条件〔2〕代入〔3〕式，得1=C ，由此解出C 并代入〔3〕式，得到所求曲线方程：12+=x y 〔4〕〔2〕列车在水平直线路上以20s m /的速度行驶；当制动时列车获得加速度2/4.0s m -.问开始制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？解 设列车开始制动后t 秒时行驶了s 米。
根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函数)(t s s =满足：4.022-=dt s d 〔5〕 此外，还满足条件：0=t 时，20,0===dt ds v s 〔6〕 (5)式两端积分一次得：14.0C t dtds v +-== 〔7〕 再积分一次得2122.0C t C t s ++-= 〔8〕其中21,C C 都是任意常数。
把条件“0=t 时20=v ”和“0=t 时0=s ”分别代入〔７〕式和〔８〕式，得0 ,2021==C C把21,C C 的值代入〔7〕及〔8〕式得,204.0+-=t v 〔9〕t t s 202.02+-= 〔10〕在〔9〕式中令0=v ，得到列车从开始制动到完全停止所需的时间：)(504.020s t ==。
再把5=t 代入〔10〕式，得到列车在制动阶段行驶的路程).(5005020502.02m s =⨯+⨯-=上述两个例子中的关系式〔1〕和〔5〕，〔6〕都含有未知函数的导数，它们都是微分方程。
1．微分方程的概念一般地，凡含有未知函数、未知函数的导数及自变量的方程，叫做微分方程。
微分方程的基本概念与求解方法
微分方程的基本概念与求解方法微分方程是数学中重要的一门分支，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
本文将介绍微分方程的基本概念和求解方法，帮助读者更好地理解和应用微分方程。
一、微分方程的基本概念微分方程是描述函数与其导数之间关系的方程。
一般形式为：$$F(x, y, y', y'', \ldots, y^{(n)}) = 0$$其中，$x$ 是自变量，$y$ 是未知函数，$y', y'', \ldots, y^{(n)}$ 分别表示 $y$ 的一阶、二阶、$\ldots$、$n$ 阶导数，$F$ 是已知函数。
微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两类。
常微分方程中只包含一元函数的导数，而偏微分方程中包含多元函数的偏导数。
二、常微分方程的求解方法常微分方程的求解方法主要有解析解和数值解两种。
1. 解析解解析解是指能够用已知函数表达出来的解。
对于一阶常微分方程，可以通过分离变量、齐次方程、一阶线性方程等方法求解。
例如，对于一阶线性方程：$$\frac{{dy}}{{dx}} + P(x)y = Q(x)$$可以通过乘以一个积分因子来求解。
对于二阶及高阶常微分方程，可以通过常系数线性齐次方程、常系数线性非齐次方程、变系数线性方程等方法求解。
2. 数值解数值解是通过数值计算方法获得的近似解。
常见的数值解方法有欧拉法、龙格-库塔法等。
这些方法将微分方程转化为差分方程，通过逐步迭代计算来逼近真实解。
三、偏微分方程的求解方法偏微分方程的求解方法相对复杂，主要有分离变量法、特征线法、变量分离法等。
1. 分离变量法对于某些特殊形式的偏微分方程，可以通过分离变量法求解。
该方法将多元函数分离成一元函数，然后对各个一元函数分别求解。
2. 特征线法特征线法适用于一些具有特殊性质的偏微分方程。
通过找到方程的特征线，可以将偏微分方程转化为常微分方程，从而求解。
3. 变量分离法变量分离法适用于可以将偏微分方程中的变量分离的情况。
微分方程概念及数值解介绍
凡含有未知函数的导数（偏导数）或微分的方程 叫微分方程. 例
y 2 y 3 y e x , z 2 x y, ( t x )dt xdx 0, x
y xy ,
实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的 某些导数(或微分)之间的关系式.
分类1: 常微分方程, 偏微分方程.
hn 在计算上采用相等的步长 h
n 点 xn x0 nh ， 0,1, 2, ．
，这时等距节
• 初值问题的数值解法的基本特点是：求解过程是 顺着节点排列的顺序一步一步的向前推进，即按 递推方法由已知的 y0 , y1 ,, yn求出 yn 1。所以，
初值问题的数值解法就是建立这种递推公式。
微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最
高阶导数的阶数称之. 分类2: 一阶微分方程 F ( x , y, y) 0,
y f ( x , y );
高阶(n)微分方程 F ( x , y , y,, y ( n ) ) 0,
y
( n)
,, y ( n1) ). f ( x, y, y
xn h xn
f (t , y (t ))dt
（看成矩形）
yn 1 yn hf ( xn , yn ) y0 y ( x0 )
• 向后差商
隐式Euler方法
y ( xn 1 ) y ( xn ) / y f ( x, y ) h y ( x0 ) y 0 yn 1 y n hf ( xn 1 , y n 1 ) y ( x0 ) y 0
梯形公式(续)
• 梯形公式(见上页)，实际上是Euler方法和隐式 Euler方法的算术平均。 • 梯形公式的精度为二阶。
时滞微分方程中时滞的定义
时滞微分方程中时滞的定义在数学的奇妙世界里，有一个特别的概念，那就是时滞微分方程中的时滞。
这到底是个啥玩意儿呢？就好比你在玩一个超级有趣的传声游戏。
第一个人悄悄地把一句话告诉第二个人，可是中间隔了好一会儿才说，这个间隔的时间就有点像时滞。
在时滞微分方程里啊，时滞就像是一个小调皮鬼，在系统的反应里插了一脚。
比如说，你早上出门的时候发现天气有点凉，就想等会儿太阳出来了可能就暖和了，你不会马上加衣服或者减衣服。
这个从天气开始变化到你做出反应的这个时间差，就类似于时滞。
咱们再举个例子吧。
你种了一棵小树苗，你给它浇水施肥。
可是呢，这小树苗不会马上就长得特别高大，它需要时间，这个时间就是一种时滞。
在时滞微分方程中，时滞就是影响结果的一个重要因素，就像小树苗成长需要时间才能看到效果一样。
那这个时滞在方程里是怎么表现的呢？这就像是你做一道菜，你把菜放进锅里，但是你得等一会儿才能吃到做好的菜。
在这个方程里，变量的变化不是马上就影响结果的，中间有个时间差。
这就好比你在和远方的朋友写信，你寄出去信，朋友收到信再回信，这一来一往的时间差就像是时滞。
时滞有时候会让事情变得很有趣，也有时候会让人很头疼。
就像你在网上买东西，你下单了，但是你得等快递。
如果时滞很短，你很快就收到货了，皆大欢喜。
可要是时滞很长，你等得心急如焚。
在时滞微分方程里也是这样，时滞的长短会让方程的解有很大的不同。
有时候，时滞就像一场慢动作的电影。
本来事情应该很快发生，但是因为这个时滞，就像电影被放慢了速度。
你想啊，一个小球从斜坡上滚下来，如果没有任何阻碍，那它滚得可快了。
但是如果有个时滞，就好像有个看不见的手在拉着它，让它慢一点滚下来。
我们再把时滞想象成一个音乐的延迟效果。
你听一首带延迟效果的歌，声音不是马上就完全出来的，有个延迟。
在时滞微分方程里，函数的变化也不是瞬间就反映在结果上的，有个延迟的过程。
那这个时滞到底有啥用呢？其实它在很多实际的情况里都能找到影子。
2013时滞微分方程基本概念与解的基本性质
x(t)=f(t,x(t),x(t-r1(t), ,x(t-rm(t))). (4)
其中f:R Dm+1 Rn , 0 ri (t) r(i 1, 2, , m).
如何给出方程（4）的初值问题？什么叫做方程（4） 满足初值问题的解？与常微分方程中的定义 是否相不同？
1.2 微分差分方程的概念及分类
1.2.1. 微分差分方程定义
一般的，如果一个方程具有如下的形式 x(t)=f(t,x(t),x(t-r1),x(t-r2), x(t-rn )) (1) 其中ri为常数，则此方程叫做微分差分方程 （Differential Difference Equation,简写 为DDE）,ri叫做偏差.
3).如果方程具有如下形式：
x(t)=f(t,x(t),x(t-r1), x(t-rn ),x(t-1),
,x(t- m )).
(3)
其中ri 0(i 1, 2, , n),i 0(i 1, 2,
, m).则称此方程为中立型的微分差分方 程（Neutral Differential Difference Equation,简写为NDDE）。
首先给定一初始时刻t0 R，若函数x(t)在[t0,b) 上是方程（4）的解，就必须要求x(t)在[t0 ,b)上有 定义且满足方程（4）,但（4）中含有x(t-ri(t)) (i=1,2, , m),
当t0 r t t0时,t-ri(t)有可能落在区间 [t0 r,t0 ]之上，但是x(t)在[t0 r,t0 ]上是没有 定义的，它等于多少，有待我们预先给定。
恒等于(t)，在[t0 , b]上满足方程（4）。
1.3.2 求解法——分步法求解
第一章时滞微分方程基本概念与解的基本性质教学提纲
分 步 法 求 解 举 例
例1
x&(t) x(t 1) x(t) t,t[1,0]
(7)
解 :(1)当 0t1时 ， 方 程 (7)化 为 x & 1(t)=-(t-1),
解 得 x1(t)1 2(t1)2c1.由 (0)=0知 ,c11 2;
(2)当1t 2时，方程(7)化为
x&2(t)=12(t
1).当ri 0(i 1,2,L,n)时，则称方程（1） 为滞后型的微分差分方程（Retarded Differential Difference Equation,简写为RDDE） 或时滞微分方程，各个ri均为滞后量或滞量。
2).当ri 0(i 1,2,L,n)时，则称方程（1） 为超前型的微分差分方程（Advanced Differential Difference Equation,简写为ADDE） 或时超微分方程，各个ri均为超前量或超量。
2)2-1,解得 2
x2
(t)
1 3!
(t
2)3
1 2
t
c2.
由x1(1)=
1 2知,c21Fra bibliotek1; 3!
这就保证了x1(1)=x2(1)?
x2(t)
1(t 3!
2)3
1t 2
11. 3!
作业:
写 出 当 n - 1 t n 时 ， 方 程 ( 7 ) 的 解 x n 表 达 式 .
这样逐步地做下去，便可将方程(5)的 初值问题在区间[t0 nr,t0 (n1)r]上 的解转化为求下面常微分方程的初值 问题的解：
x&n(t) f (t, xn(t),n(t r)), xn(t0 nr) n(t0 nr). 其中n(t)是方程(5)的初值问题在
微积分课件(微分方程简介)
n阶微分方程(9.8)的常见定解条件是
y ( x0 ) y0 , y' ( x0 ) y1 ,, y
( n1)
( x0 ) yn1
(9.12)
称(9.12)为初始条件,其中x0,y0,y1,…, yn为n+1个给
定的常数.
求微分方程满足某个定解条件或初始条件 的特解问题,称为微分方程的定解问题或初值问 题. 例如,初值问题:
dy dt ay (t ),
a为常数
(9.1)
(9.2)
y' P( x) y Q( x)
y'' xy' x y e
2
x
(9.3) (9.4)
( y' ) 1 y
2
2
都是常微分方程.而方程
u
2
t
2
2
u
2
x
2
2
f (t , x)
u
2
(9.5)
a1 ( x) y
( n 1)
an1 ( x) y' an ( x) y f ( x) (9.9)
其中a1(x),…an(x)和f(x)均为x的已知函数.
不是线性微分方程的微分方程,统称为非线
性微分方程.
二、微分方程的解 定义9.3 如果将已知函数 y ( x) 代入方程(9.8)后, 能使其成为恒等式,则称函数y ( x)为方程(9.8) 的解;如果由关系式Φ(x,y)=0确定的隐函数 y ( x) 是方程(9.8)的解,则称Φ(x,y)=0为方程(9.8)的隐式 解. 例如,y=eat,y=Ceat(C为常数)都是方程(9.1)的 解;而x2+y2=1是方程(9.4)的隐式解.
微分方程的基本概念57439
xe
1 ( e y 1 d y ln C y
1 P( y ) 2y 1 Q( y ) y
所求通解为
ye
x
y
C (C 0)
内容小结
1. 一阶线性方程 方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法. 方法2 用通解公式
P ( x )d x
u ln (1 eu ) x C x y ) y C ( C 为任意常数 ) 所求通解: ln (1 e
二、齐次方程
形如 的方程叫做齐次方程 .
du (u ) 代入原方程得 u x dx du dx 分离变量: (u ) u x du dx 两边积分, 得 (u ) u x
一、可分离变量的微分方程
g( y )dy f ( x )dx 可分离变量的微分方程.
dy 2 2 y dy 2 x dx , 例如 2x y dx 解法 设函数 g ( y )和 f ( x ) 是连续的,
4 5
4 5
g( y )dy f ( x )dx
原函数,G( y )
例2. 求微分方程
的通解.
dy 2 3 x d x 说明: 在求解过程中 解: 分离变量得 y 每一步不一定是同解 变形, 因此可能增、 两边积分 减解. 或 3 ln y x C1 得
即
令C e
C1
ln y x 3 ln C
( C 为任意常数 )
( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )
y 6e 2 x , y 12e 2 x ,
y 4 y 12e 2 x 4 3e 2 x 0,
时滞微分方程
时滞微分方程
时滞微分方程是一类在时间变量t上带有一个或多个不同时滞参数δ的微分方程。
它主要反映了物体在不同时间上发生变化的过程，如果系统存在时滞，则状态变量在当前时刻受到之前某个时刻的状态给予的影响，从而形成了时滞微分方程。
一般来说，时滞微分方程的形式可以用以下的通用形式表示：
$$\frac{dx}{dt}=F(t,x(t-\delta))+G(t,u(t))$$。
其中，x(t)表示状态变量，u(t)表示外部输入信号，δ表示系统内的时滞参数，F(t,x)和G(t,u)表示系统的不同特性，其中F(t,x)反映了系统内的时滞反应，G(t,u)反映了系统对外部输入的响应。
通过对时滞微分方程进行数值求解，可以得到系统的时间响应曲线，从而明确系统的时变行为。
2013第一章时滞微分方程基本概念与解的基本性质解析
2).当ri 0(i 1, 2, , n)时，则称方程（1） 为超前型的微分差分方程（Advanced Differential Difference Equation,简写为ADDE） 或时超微分方程，各个ri均为超前量或超量。
3).如果方程具有如下形式： x(t)=f(t,x(t),x(t-r1 ), x(t-rn ), x(t- 1 ), ,x(t- m )). (3)
1.4.2 中立型泛函微分方程的概念（省略） 1.4.3 超前型泛函微分方程的概念（省略）
1.5 解的存在唯一性、延展性和连续依赖性
考虑滞后型泛函方程 x(t)=f(t,xt ), t t0 （1） xt0( ) ( ), [ r , 0], n 其中f为R C R 的连续泛函.
1.2.3
微分差分方程分类
关于DDE的分类，现在还没有一套完整的 方法，一般只作如下的分类：
1).当ri 0(i 1, 2, , n)时，则称方程（1） 为滞后型的微分差分方程（Retarded Differential Difference Equation,简写为RDDE） 或时滞微分方程，各个ri均为滞后量或滞量。
2. x(t ) ax(t r ) () （常数）t [t0 r , t0 ] x(t ) C
例2 考虑下列方程 x(t ) x(t 1) 2 x(t 1) (8) x(t ) 1, x(t ) 0, t [0,1]
作业: 计算[n-1,n]上的解的表达式，为正整数. 思考题: 区间段取法有何要求?
r 0 n n
如果 t0 R, A 0, x C ([t0 r , t0 A], R n )，则 对任一 t [t0 r , t0 A], 我们定义 xt : xt ( ) x(t ), [r ,0].因此，xt C.
微分方程的认识与解法
解题步骤
02
05
注意事项
将方程改写为$frac{dy}{g(y)} = f(x)dx$
03
06
需确保$g(y) neq 0$，否则会出现分母为 零的情况
齐次方程法
适用于形如$frac{dy}{dx} = frac{f(x,y)}{g(x,y)}$，且 $f(x,y)$和$g(x,y)$是x和y的齐次函数的方程 通过变量替换将方程转化为可分离变量的形式
02
工程学中的应用
在工程学中，偏微分方程被用于描述 各种实际问题，如结构力学中的弹性 力学方程、流体力学中的纳维-斯托克 斯方程等。
03
生物学和医学中的应 用
偏微分方程也被广泛应用于生物学和 医学领域，如描述神经元活动的霍奇 金-赫胥黎方程、描述肿瘤生长的偏微 分方程等。
05
数值解法在微分方程中的应用
偏微分方程的阶数
偏微分方程的阶数是指方程中未知函数偏导数的最 高阶数。
线性与非线性偏微分方程
线性偏微分方程是指方程中未知函数及其偏导数均 为一次的方程，非线性偏微分方程则不是。
二阶偏微分方程分类及解法
椭圆型方程
01
如拉普拉斯方程，用于描述稳态物理现象，如热传导、电磁场
等。解法包括分离变量法、格林函数法等。
欧拉法与改进欧拉法
欧拉法
一种最基本的数值解法，通 过迭代的方式逐步逼近微分 方程的解。具体步骤包括选 择步长、计算斜率、更新函
数值等。
改进欧拉法
在欧拉法的基础上，采用预 测-校正的思想，先用欧拉法 预测下一个点的位置，再根 据预测点和实际点的斜率进
行校正，从而提高精度。
优缺点
欧拉法简单易行但精度较低 ，改进欧拉法提高了精度但 计算量增加。
最新01第一节微分方程的基本概念
01第一节微分方程的基本概念第八章常微分方程与差分方程对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉.-------傅里叶微积分研究的对象是函数关系，但在实际问题中，往往很难直接得到所研究的变量之间的函数关系，却比较容易建立起这些变量与它们的导数或微分之间的联系，从而得到一个关于未知函数的导数或微分的方程，即微分方程. 通过求解这种方程，同样可以找到指定未知量之间的函数关系. 因此，微分方程是数学联系实际，并应用于实际的重要途径和桥梁，是各个学科进行科学研究的强有力的工具.如果说“数学是一门理性思维的科学,是研究、了解和知晓现实世界的工具”，那么微分方程就是显示数学的这种威力和价值的一种体现.现实世界中的许多实际问题都可以抽象为微分方程问题. 例如，物体的冷却、人口的增长、琴弦的振动、电磁波的传播等，都可以归结为微分方程问题. 这时微分方程也称为所研究问题的数学模型.微分方程是一门独立的数学学科，有完整的理论体系. 本章我们主要介绍微分方程的一些基本概念，几种常用的微分方程的求解方法及线性微分方程解的理论.第一节微分方程的基本概念分布图示★引言★微分方程的概念★例1★例2★例3★例4★微分方程解的概念★例5★例6★内容小结★课堂练习★习题8-1内容要点：一、微分方程的概念我们把未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程. 类似地，未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程，本章我们只讨论常微分方程. 常微分方程的一般形式是:«Skip Record If...» (1.5)其中«Skip Record If...»为自变量，«Skip Record If...»是未知函数.如果能从方程(1.5)中解出最高阶导数，就得到微分方程«Skip Record If...» (1.6)以后我们讨论的微分方程组主要是形如(1.6)的微分方程，并且假设(1.6)式右端的函数«Skip Record If...»在所讨论的范围内连续.如果方程(1.6)可表为如下形式:«Skip Record If...» (1.7)则称方程(1.7)为«Skip Record If...»阶线性微分方程. 其中«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...» «Skip Record If...»和«Skip Record If...»均为自变量«Skip Record If...»的已知函数.不能表示成形如(1.7)式的微分方程，统称为非线性方程.在研究实际问题时，首先要建立属于该问题的微分方程，然后找出满足该微分方程的函数（即解微分方程），就是说，把这个函数代入微分方程能使方程称为恒等式，我们称这个函数为该微分方程的解. 更确切地说，设函数«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上有«Skip Record If...»阶连续导数，如果在区间«Skip Record If...»上，有«Skip Record If...»则称函数«Skip Record If...»为微分方程(1.5)在区间«Skip Record If...»上的解.二、微分方程的解微分方程的解可能含有也可能不含有任意常数. 一般地，微分方程的不含有任意常数的解称为微分方程的特解. 含有相互独立的任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相等的解称为微分方程的通解（一般解）. 所谓通解的意思是指，当其中的任意常数取遍所有实数时，就可以得到微分方程的所有解（至多有个别例外）.注：这里所说的相互独立的任意常数，是指它们不能通过合并而使得通解中的任意常数的个数减少.许多实际问题都要求寻找满足某些附加条件的解，此时，这类附加条件就可以用来确定通解中的任意常数，这类附加条件称为初始条件，也称为定解条件. 例如，条件(1.2)和(1.4)分别是微分方程(1.1)和(1.3)的初始条件.带有初始条件的微分方程称为微分方程的初值问题.微分方程的解的图形是一条曲线，称为微分方程的积分曲线.例题选讲：微分方程的概念例1 (E01) 设一物体的温度为100℃, 将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却. 根据冷却定律:物体温度的变化率与物体和当时空气温度之差成正比, 设物体的温度«Skip Record If...»与时间«Skip Record If...»的函数关系为«Skip Record If...»则可建立起函数«Skip Record If...»满足的微分方程«Skip Record If...»其中«Skip Record If...»为比例常数. 这就是物体冷却的数学模型.根据题意, «Skip Record If...»还需满足条件 «Skip Record If...»例2（E02）设一质量为«Skip Record If...»的物体只受重力的作用由静止开始自由垂直降落. 根据牛顿第二定律：物体所受的力«Skip Record If...»等于物体的质量«Skip Record If...»与物体运动的加速度«Skip Record If...»成正比，即«Skip Record If...»，若取物体降落的铅垂线为«Skip Record If...»轴，其正向朝下，物体下落的起点为原点，并设开始下落的时间是«Skip Record If...»，物体下落的距离«Skip Record If...»与时间«Skip Record If...»的函数关系为«Skip Record If...»，则可建立起函数«Skip Record If...»满足的微分方程«Skip Record If...» (1.1)其中«Skip Record If...»为重力加速度常数. 这就是自由落体运动的数学模型.根据题意，«Skip Record If...»还需满足条件«Skip Record If...» (1.2)例3（E03）如果设某商品在时刻t的售价为P, 社会对该商品的需求量和供给量分别是P的函数«Skip Record If...»则在时刻t的价格«Skip Record If...»对于时间t的变化率可认为与该商品在同时刻的超额需求量«Skip Record If...»成正比, 即有微分方程«Skip Record If...» (1.3)在«Skip Record If...»和«Skip Record If...»确定情况下, 可解出价格与t的函数关系.例4（E04）试指出下列方程是什么方程，并指出微分方程的阶数.«Skip Record If...»解(1)是一阶线性微分方程，因方程中含有的«Skip Record If...»和«Skip Record If...»都是一次.(2)是一阶非线性微分方程，因方程中含有的«Skip Record If...»的平方项.(3)是二阶非线性微分方程，因方程中含有的«Skip Record If...»的三次方.(4)是二阶非线性微分方程，因方程中含有非线性函数«Skip Record If...»和«Skip Record If...»微分方程的解例5求曲线族«Skip Record If...»满足的微分方程，其中«Skip Record If...»为任意常数.解求曲线族所满足的方程，就是求一微分方程,使所给的曲线族正好是该微分方程的积分曲线族.因此所求的微分方程的阶数应与已知曲线族中的任意常数的个数相等.这里,我们通过消去任意常数的方法来得到所求的微分方程.在等式«Skip Record If...»两端对«Skip Record If...»求导,得«Skip Record If...»再从«Skip Record If...»解出«Skip Record If...»代入上式得«Skip Record If...»化简即得到所求的微分方程 «Skip Record If...»例6（E05）验证函数«Skip Record If...»(C为任意常数)是方程«Skip Record If...»的通解, 并求满足初始条件«Skip Record If...»的特解.解要验证一个函数是否是方程的通解，只要将函数代入方程，看是否恒等，再看函数式中所含的独立的任意常数的个数是否与方程的阶数相同.将«Skip Record If...»求一阶导数,得«Skip Record If...»«Skip Record If...»把«Skip Record If...»和«Skip Record If...»代入方程左边得«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»因方程两边恒等,且«Skip Record If...»中含有一个任意常数,故«Skip Record If...»是题设方程的通解.将初始条件«Skip Record If...»代入通解«Skip Record If...»中，得«Skip Record If...»从而所求特解为 «Skip Record If...»课堂练习1．验证函数«Skip Record If...»是微分方程«Skip Record If...»的解. 并求满足初始条件«Skip Record If...»的特解.。
第一章--基本概念
第一章 基本概念§1 微分方程与其解的定义一．[内容简介]本节结合常微分方程的实例,讲解与常微分方程有关的一些基本概念和术语. 二．[关键词] 常微分方程,微分方程的通解,初始条件,特解 三．[目的与要求]1．正确理解微分方程、常微分方程与其阶、线性微分方程与非线性微分方程、解、通解、初始条件、初始值问题和特解等基本概念.2．了解常微分方程与生产实际和科学技术的紧密联系,了解常微分方程讨论的基本问题. 四．[教学过程]§1 微分方程与其解的定义一．何谓微分方程这是首先要解决的一个问题,为此我们先从代数方程说起. 在代数中我们研究过求解高次代数方程00111=++++--a x a x a x a n n n n .代数方程——含有一个变元的关系式,即由已知数n n a a a a ,,,,110- 与未知数x 组成的等式,运算有：,,,,÷⨯-+乘方, ,它的解是数.由代数基本定理知道,它的解只有有限个.在数学分析中也研究过由隐式0),(=y x F 确定的隐函数)(x y ϕ=的问题.函数方程——至少含有两个变元的关系式,即由自变量x 和函数y 组成的等式.运算有,,,,÷⨯-+函数运算, .它的解是函数.由隐函数存在唯一性定理知,解为有限.定义1 所谓微分方程,就是一个或几个包含自变量、未知函数以与未知函数的某些微商的方程式. 例如,t dtdx2=, )1.1( 0=dy , )2.1()0(13≠=+x x y xdx dy , )3.1( 21y dxdy+=, )4.1( x yy y =+''', )5.1(0...=+x a x , )6.1(u yu y x u x=∂∂+∂∂, )7.1( 以上这些都是微分方程.只含一个自变量的微分方程称为常微分方程,自变量多于一个的微分方程称为偏微分方程.例如,上例)1.1(—)6.1(都是常微分方程,)7.1(是偏微分方程.方程中所含未知函数的最高阶导数的阶数,叫做方程的阶.例如,)1.1(,)2.1(,)3.1(,)4.1(,)7.1(是一阶方程,)5.1(和)6.1(是二阶方程. 一般n 阶常微分方程具有形式 或者是显式由代数方程引出微分方程,问题是出现了什么新东西？ 二．微分方程的有关概念 1．微分方程的线性与非线性ⅰ〕线性微分方程如果)8.1(式的左端关于未知函数和它的各阶导数都是一次的有理整式,则称)8.1(为n 阶线性常微分方程.ⅱ〕非线性微分方程不是线性微分方程的,称为非线性微分方程. n 阶线性常微分方程的一般形式是)()()()()1(1)(0x g y x a y x a y x a n n n =+++- , )10.1(其中)(),(,),(),(10x g x a x a x a n 都是已知的实值连续函数.在上例中,)1.1(,)2.1(,)3.1(,)6.1(,)7.1(是线性的,)4.1(,)5.1(是非线性的. 2．微分方程的解微分方程的解是一个函数,函数就有定义域,设为区间I .定义2 设函数)(x y ϕ=在区间I 上连续,且有直到n 阶导数,若用,),(),('x x ϕϕ)()(x n ϕ分别代替方程)8.1(中的)(',,,n y y y 后,使)8.1(在I 内为关于x 的恒等式,即()0)(,),(),(,)('≡x x x x F n ϕϕϕ ,则称函数)(x y ϕ=为方程)8.1(在区间I 上的一个解.以后我们讨论的函数都是实的单值函数,解)(x y ϕ=的直到n 阶的导数不仅存在而且连续.为了方便,当函数)(x ϕ在区间I 内具有直到n 阶连续微商时,常简记为)()(I C x n∈ϕ,或者nC x ∈)(ϕ.C ∈ϕ表示)(x ϕ在区间I 内连续.例1 求微分方程)(x f dxdy=的解,其中C x f ∈)(. 解 在数学分析中就是求函数)(x f 的原函数)(x y ,故只需要在上式两端关于自变量x 积分,便得到 这里C 是任意常数,显然不论C 取任何值,上式都是方程的解.从这里可以看出：一个常微分方程可以有无穷多个解.给C 一个确定的值,就得到方程的一个解. 3．通解和特解因为方程)(x f dxdy=的任一确定的解,必有)11.1(的形式〔但其中的C 取特定的值〕,故)11.1(称为此方程的通解,当C 取确定数值时所得到的解称为此方程的一个特解.一般地,我们有：定义3 设n 阶微分方程)8.1(的解),,,,(21n c c c x y ϕ=包含n 个独立的常数n c c c ,,,21 ,则称它为n 阶微分方程)8.1(的通解；若)8.1(的解)(x y ϕ=不包含任意常数,则称它为特解.从通解的定义可以看出,通解包含了方程的无穷多个解,它是解的一般表达式,但有例子可以说明,通解不一定是方程的全部解.这里称n 个任意常数n c c c ,,,21 是独立的,其含意是)1(',,,-n ϕϕϕ 关于n c c c ,,,21 的雅可比<Tacobi>行列式()()0,,,,,,)1(2)1(1)1('2'1'2121)1('≠∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=----nn n n n n n n c c c c c c c c c c c c D D ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ.显然,当任意常数一旦确定以后,通解就变成了特解.如例2中,当0x x =时,00)(y x y x x ==.这里取0y C =,则有特解⎰+=xx dt t f y x y 0)()(0.我们把00)(y x y x x ==称为附加条件.可见确定一个特定的解一般是要附加条件的.4．初值条件、初值问题例3 在只有重力的作用下,求落体在铅直方向的运动规律.设落体的运动只在重力作用下进行,不考虑空气阻力等其他外力的作用,此时落体作垂直于地面的自由落体运动.如图1.1.取坐标轴y 从地面垂直向上,问题是：落体B 的位置坐标)(t y y =如何随时间t 变化？在运动过程中,落体只受重力F 的作用,设落体的质量是m ,则mg F -=,其中g 是重力加速度,这里出现负号是因为重力的方向是向下的,与y 轴的正方向相反.因为)(t y y =表示B 的位置坐标,所以它对t 的一阶导数)(''t y y =表示B 的瞬时速度)(t v v =；而二阶导数)(''''t y y =则表示B 的瞬时加速度)(t a a =.由牛顿第二运动定律,有ma F =,故得mg t my -=)('',这样可得一个微分方程g t y -=)('' 〔1.12〕为了得出落体的运动规律,需要求解这个微分方程.在〔1.12〕两侧对t 积分一次,得1')(C gt t y +-= 〔1.13〕其中1C 是一个任意常数,再把〔1.13〕对t 积分一次,就得21221)(C t C gt t y ++-= 〔1.14〕其中2C 是另一个任意常数.可知〔1.14〕是微分方程〔1.12〕的通解.通解〔1.14〕就表示自由落体的运动规律,在〔1.14〕中含有两个任意常数.这说明微分方程〔1.12〕有无穷多个解.为了要得到特定的物体运动规律,还必须考虑当运动开始时落体是在什么地方,且以什么样的速度运动的,即下面的初值条件：0)0(y y =,0')0(v y = 〔1.15〕将条件〔1.15〕分别代入〔1.13〕和〔1.14〕,可得 02y C =,01v C =.这样,在初值条件〔1.15〕下,从微分方程〔1.12〕唯一地确定了一个解00221)(y t v gt t y ++-= 〔1.16〕它就描述了具有初始高度0y 和初始速度0v 的自由落体运动.称〔1.16〕是初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==-=0'0'')0(,)0(v y y y gy 〔1.17〕 的解,初值问题又叫柯西问题.由以上简单实例可以看出：1． 微分方程的求解,与一定的积分运算相联系,因此也常把求解微分方程的过程称为积分一个微分方程,而把微分方程的解称为这个微分方程的一个积分.由于每进行一次不定积分运算,会产生一个任意常数,因此仅从微分方程本身求求解〔不考虑定解条件〕,则n 阶微分方程的解应该包含n 个任意常数.2．微分方程所描述的是物体运动变化的瞬时规律,求解微分方程,就是从这种瞬时规律出发,去获得运动的全过程.为此,需要给定这一运动的一个初始状态〔即初始条件〕,并以此为基点去推断这一运动的未来,同时也可以追朔它的过去.3． 一般对n 阶微分方程)8.1(的初值问题的提法是：)1(00)1('00'00)(,,)(,)(--===n n y x y y x y y x y 〔1.18〕于是n 阶微分方程的初值问题可以提成如下形式：⎪⎩⎪⎨⎧====--)1(00)1('00'00)(')(,,)(,)(0),,,,(n n n y x yy x y y x y y y y x F 〔1.19〕 求初值问题的办法一般是,先由方程解出通解,再利用初值条件定出通解中的任意常数,从而得出要求的特解.微分方程是数学理论联系实际问题的重要渠道.大家知道,微积分是现代数学的核心内容之一,用微积分解决实际问题的重要途径就是使用微分方程.在二十世纪以前,微分方程问题主要来源于几何学、力学和物理学,而现在则几乎在自然科学和工程技术的每一个部门都有或多或少的微分方程问题,甚至在生物、农业以至经济学等方面也获得了越来越多的应用.为了解决这些问题,就有必要建立微分方程本身的基础理论,而这又需要用到数学其它分支学科的知识,并往往推动这些分支学科的发展,反过来,这些学科的发展也常常通过微分方程进一步更好地解决生产实际和工程技术中的问题.本课程的任务就是要介绍常微分方程理论中的一些最主要的问题,以与求解常微分方程的一些最基本方法.至于偏微分方程,我们只在第十一章涉与到一点,不去专门研究它.关于本课程所要研究的几个主要问题.首先,自然是求通解的各种方法,即所谓初等积分法,这是第二章的主要内容.其次是：对于一般的微分方程,研究它的解是否存在和唯一,以与解对初值或参数的依赖关系.这是第三章和第五章§3、§4的内容.再次,对于在实用上经常遇到而在理论上发展得比较完善的线性微分方程组和高阶线性微分方程的理论和求解方法,这是第五章§1、§2和第六章的内容.最后在第八章中介绍用定性方法研究非线性方程的最基本的知识,关于这方面的知识近几十年来有很大的发展,同学们应该对它有所了解.最后我们指出：一个n 阶微分方程的通解应该包含n 个独立的任意常数；反之,对于一个包含n 个独立的参数n c c c ,,,21 的n 次可微的函数族,存在一个形如)8.1(的n 阶微分方程,使得该函数族恰好是它的通解.例4 求双参数函数族 所满足的微分方程.解 依题意,要找双参数函数族所满足的微分方程〔更确切地说,即使要找由)20.1(式所确定的隐函数),,(21C C x y 所满足的,以x 为自变量,并且不包含21,C C 的微分方程〕.可以将)20.1(式对x 求导两次,得)cos (sin )sin (cos 21'x x e C x x e C y x x ++-=, )21.1( )cos 2()sin 2(21''x e C x e C y x x +-=, )22.1(从以上两式可知雅可比<Tacobi>行列式()()0)cos (sin )sin (cos sin cos ,,221'≠=+-=xxx x x e x x e x x e x e x e C C D y y D , 这说明)20.1(中包含的两个任意常数21,C C 是独立的.从上面)20.1(和)21.1(两个式子中解出 然后把它们代入)22.1(式,得到一个二阶微分方程 这就是函数族)20.1(所满足的微分方程.习题1—11．指出下列微分方程的阶数,并说明哪些方程是线性的：〔1〕16522=++y dx dyxd y d ； 〔2〕0)43()2(2222=-++dy y x dx y x ；〔3〕22y x dxdy+=； 〔4〕0sin 2'''=++y x yy y ；〔5〕x y x xd y de x d y d x cos 22233=++. 答案：〔1〕二阶线性方程； 〔2〕一阶非线性方程； 〔3〕一阶非线性方程；〔4〕二阶非线性方程； 〔5〕三阶线性方程；2．验证下列函数是右侧相应微分方程的解或通解：〔1〕xx y sin =,x y xy cos '=+； 解 由x x y sin =对x 求导得2'sin cos x x x x y -=,故 x x xx x x x x y xy cos sin sin cos 2'=+-⋅=+,所以xx y sin =是方程x y xy cos '=+的解. 〔2〕⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+∞<<-≤≤<<∞---=,,4)(,,0,,4)(22221121x C C x C x C C x C x y y y ='；解 当1C x <<∞-时,04)(21<--=C x y ,所以224)(1121C x C x C x y --=-=-=,21'C x y --=故y y =',即4)(21C x y --=〔1C x <<∞-〕是方程y y ='的解.同理可证：4)(22C x y -=〔+∞<<x C 2〕是方程y y ='的解.显然,当21C x C ≤≤时,0=y 是方程y y ='的解.所以⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+∞<<-≤≤<<∞---=x C C x C x C C x C x y 22221121,4)(,0,4)(是方程y y ='的解.3．求下列初值问题的解：〔1〕)(x f dxdy=,0)0(=y ,〔这里)(x f 是一个已知的连续函数〕； 解 方程两边从0到x 积分,得 C dt t f x y x+=⎰)()(.由初始条件0)0(=y ,可得0=C ,故初值问题的解为⎰=xdt t f y 0)(.〔2〕aR dtdR-=,1)0(=R ,〔这里0>a 是一个常数〕. 解 显然0=R 是方程的解,但0=R 不满足初始条件1)0(=R ,故当0≠R 时,将方程改写为adt RdR-=,方程两边从0到t 积分得 C at R ln ln +-=, 即 at Ce R -=.由初值条件1)0(=R 推得1=C .故初值问题的解为ateR -=.4． 求出：〔1〕曲线族xx xe C e C y 21+=所满足的微分方程；解 将xx xe C e C y 21+=对x 先后求导两次,得x x xe C e C C y 221')(++=,①x x xe C e C C y 221'')2(++=, ②从以上两式可知雅可比<Tacobi>行列式()()0)1(,,221'≠=+=xxxx x e x e exe e C C D y y D , 这说明xxxe C e C y 21+=中包含的两个任意常数21,C C 是独立的.从上面①和②两个式子中解出然后把它们代入xxxe C e C y 21+=,得到一个二阶微分方程02'''=+-y y y ,这就是曲线族xxxe C e C y 21+=所满足的微分方程.<2> 平面上一切圆所满足的微分方程.解 平面上一切圆的一般方程为222)()(R b y a x =-+-,这里含有三个参数R b a ,,. 将方程关于x 先后求导三次,依次得0)()(=-+-dxdyb y a x , ① 0)()(1222=+-+dx dyx d y d b y , ②03)(2233=⋅⋅+-x d yd dx dy xd y d b y , ③由②与③式消去b ,得 x d y d dx dy x d y d dx dy 223323)(1⋅⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+. 所以平面上一切圆所满足的微分方程是x d y d dx dy x d y d dx dy 223323)(1⋅⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+.。
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所谓方程（4）满足初值(t) （t0 r t t0）的解，是指这样的函数 x(t):[t0 r , b] D,它在[t0 r , t0 ]上 恒等于(t)，在[t0 , b]上满足方程（4）。
解: (1)当0 t 1时，方程(7)化为x1(t)=-(t-1), 1 1 2 解得x1 (t ) (t 1) c1. 由(0)=0知,c1 ; 2 2
(2)当1 t 2时，方程(7)化为 1 2 1 x2(t)= (t 2) - ,解得 2 2
1 1 3 x2 (t ) (t 2) t c2 . 3! 2 1 1 由x1(1)= 知,c2 1 ; 2 3!
另一方面，我们必须看到C空间是无穷维的，它不具 备R n空间那么多的良好性质，例如R n空间中的有界闭集 与紧集是等价的，但C空间中却不是这样，因此，常微 分方程中的许多性质在泛函微分方程中是没有的。迄今 为止，泛函微分方程的理论是不够完备的。
(2)无界滞量的RFDE的概念（省略） (3)无穷延滞量的RFDE的概念
这就保证了x1(1)=x2(1)?
1 1 1 3 x2 (t ) (t 2) t 1 . 3! 2 3!
作业:
写出当n-1 t n时，方程(7)的解xn 表达式.
练习 x(t ) x(t 1) 1. () x(t ) 1, t [1, 0]
其中ri 0(i 1, 2, , n), i 0(i 1, 2, , m).则称此方程为中立型的微分差分方 程（Neutral Differential Difference Equation,简写为NDDE）。
1.3 时滞微分方程的初值问题及解法
下面介绍滞后型和中立型的微分差分方程 的初值问题。至于超前型的初值问题， 至今尚未有一个公认的提法。
2).当ri 0(i 1, 2, , n)时，则称方程（1） 为超前型的微分差分方程（Advanced Differential Difference Equation,简写为ADDE） 或时超微分方程，各个ri均为超前量或超量。
3).如果方程具有如下形式： x(t)=f(t,x(t),x(t-r1 ), x(t-rn ), x(t- 1 ), ,x(t- m )). (3)
我们主要介绍解的存在性、唯一性、延展性和连
续依赖性.
1.2
微分差分方程的概念及分类
1.2.1. 微分差分方程定义
一般的，如果一个方程具有如下的形式 x(t)=f(t,x(t),x(t-r1 ),x(t-r2 ), x(t-rn )) (1) 其中r为常数，则此方程叫做微分差分方程 i 为DDE）,ri叫做偏差.
m+1
R , 0 ri (t ) r (i 1, 2, , m).
n
如何给出方程（4）的初值问题？什么叫做方程（4） 满足初值问题的解？与常微分方程中的定义 是否相不同？
首先给定一初始时刻t0 R，若函数x(t)在[t0 ,b) 上是方程（4）的解，就必须要求x(t)在[t0 ,b)上有 定义且满足方程（4）,但（4）中含有x(t-r(t)) i (i=1,2, , m),
xn (t ) f (t , xn (t ), n (t r )), xn (t0 nr ) n (t0 nr ). 其中n (t )是方程(5)的初值问题在 区间[t0 n 1）r , t0 (n 1)r ]上的解。 （
分步法求解举例
例1 x(t ) x(t 1) (7) x(t ) t , t [1, 0]
第一章
1.1 引言
时滞微分方程解的基本理论
1.2 微分差分方程基本概念与分类 1.3 时滞微分方程的初值问题及解法 1.4 泛函微分方程的概念和分类
1.5 解的存在唯一性、延展性和连续依赖性
1.6 稳定性基本概念
在这一章里，我们将介绍具有有界滞量的
RFDE的解的基本理论，如存在性、唯一性、连续
依赖性、延展性以及对初值的可微性等。为此，
对于给定的 (t0 , ) D，我们说 x(t , t0 , )是满足方程(10) 及其初始条件 (t0 , )的解，是指存在 A 0，使得 x(t , t0 , ) 是方程(10)在 [t0 , r , t0 A)上的解，且 xt0 (t0 , ) 。我们 亦可说 x(t , t0 , )是方程(10)的过点 (t0 , )的解。
（Differential Difference Equation,简写
1.2.2 线性微分差分方程
形如x(t)= ai (t )x(t-ri ) g (t ) (2)
i=1 n
称为线性微分差分方程.
特别地 当 g (t ) 0时,方程（2）称为线性齐次的; 当g (t ) 0时，方程（2）称为线性非齐次的.
当t0 r t t0时, t-r(t)有可能落在区间 i [t0 r , t0 ]之上，但是x(t )在[t0 r , t0 ]上是没有 定义的，它等于多少，有待我们预先给定。
例如：给定x(t) (t),t0 r t t0 , 那么
(t)（t0 r t t0）就是方程（4）的一个
1.4.2 中立型泛函微分方程的概念（省略） 1.4.3 超前型泛函微分方程的概念（省略）
设B是由(-,0]映入R 的函数所组成
n
的某一种函数空间。
若t0 R,x:(-,t0 +A] R ,A为某一正数，
n
则对 每一个t [t0 ,t0 +A],定义xt为 xi ( ) x(t ), 取遍(-,0]上的一切值。
设 R B,f: R n为给定的函数， 则关系式 x(t)=f(t,xt ) (11) 称为无穷延滞的泛函微分方程。x(t)表 示x(t)对t的右导数。
方程(10)是一种相当广泛的方程，它包含了 常微分方程组x(t ) f (t , x(t ))。因为 当r 0时，C空间成为R n空间，xt 成为x(t ), f (t , xt )实际上是f (t , x(t ))了。
从形式来看，这种泛函微分方程x(t ) f (t , xt )与 常微分方程x(t ) f (t , x(t ))是很类似的，其区别只是 前者的f 定义在R C空间，而后者的f 定义在R R n空间。 因此，常微分方程中的许多理论都可平移到泛函微分 方程中来。
于是方程(5)的初值问题在区间[t0 r , t0 2r ] 化为下面的常微分方程的初值问题： x2 (t ) f (t , x2 (t ), 1 (t r )), x2 (t0 r ) 1 (t0 r ).
这样逐步地做下去，便可将方程(5)的 初值问题在区间[t0 nr , t0 (n 1)r ]上 的解转化为求下面常微分方程的初值 问题的解：
x1 (t ) f (t , x1 (t ), 1 (t r )), x1 (t0 ) (t0 ).
(6)
假设(6)的解在区间[t0 , t0 r ]上存在，记为x 1 (t ), 那末当t0 r t t0 2r时，有x(t r ) 1 (t r )。
3 2 由(0)=0知,x1 (t ) t 5t; 2
(2)当1 t 2时，方程(9)化为 3 2 x2(t)= (t 2) -5(t-2)+2(t-3), 2 x1(1)=x2(1)解得 3 3 2 x2(t)= t -18t +61t-72 2
(3)当2 t 4时，方程(9)化为
2. x(t ) ax(t r ) () （常数）t [t0 r , t0 ] x(t ) C
例2 考虑下列方程 x(t ) x(t 1) 2 x(t 1) (8) x(t ) 1, x(t ) 0, t [0,1]
r 0
如果 t0 R, A 0, x C ([t0 r , t0 A], R n )，则 对任一 t [t0 r , t0 A], 我们定义 xt : xt ( ) x(t ), [r ,0].因此，xt C.
设D R C , f : D R 为给定的函数，则关系式 x(t ) f (t , xt ) (10)
1.2.3
微分差分方程分类
关于DDE的分类，现在还没有一套完整的 方法，一般只作如下的分类：
1).当ri 0(i 1, 2, , n)时，则称方程（1） 为滞后型的微分差分方程（Retarded Differential Difference Equation,简写为RDDE） 或时滞微分方程，各个ri均为滞后量或滞量。
1.3.2 求解法——分步法求解
对滞后型微分方程 x(t ) f (t , x(t ), x(t r )), 对于自己的变元为连续。 (5)
设给定初始条件为（t）,t [t0 r , t0 ]，又设函数f 和
当t0 t t0 r时，由于x(t r ) (t r ), 故求方程(5) 在区间[t0 r , t0 ]上满足初始条件的解，可转化为下面 的常微分方程满足初值的解：
作业: 计算[n-1,n]上的解的表达式，为正整数. 思考题: 区间段取法有何要求?
例3 在[0,4]上求下面多时滞系统的解 x(t ) x(t 1) 2 x(t 2) (9) x(t ) t , t [2, 0]
解: 先考虑0 t 1时方程(9)的解 此时x 1(t)=(t-1)+2(t-2)
1.4
泛函微分方程的概念和分类