数理方程第3讲.ppt
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数理方程第三章行波法与积分变换法-PPT课件
t2
2019/3/8
3
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
x a t 1 1 u ( x , t ) ( x a t ) ( x a t ) ( ) d x a t 2 2 a
4 解的物理意义
u (,) x t ( x a t ) ( x a t ) a. 只有初始位移时，
2 2 u u 2 1 1 a , x ,t 0 2 2 t x u ( x ,0 ) 1 u ( x ,0 ) ( x ) , ( x ) , x 1 t 2 2 u u 2 2 2 a f (xt ,) , x ,t 0 2 2 t x u x ,0 ) 2( u ( x ,0 ) 0 , 0 , x 2 t x a t 1 1 u ( x , t ) ( x a t ) ( x a t ) ( ) d 1 x a t 2 2 a
u u u u u y y y
2 2 2 2 u u u u u u u u 2 2 2 y y y 2
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
第三章 行波法与积分变换法
一 行波法
1 基本思想： 先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定 特解。这一思想与常微分方程的解法是一样的。 2 关键步骤： 通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐 次二阶偏微分方程。 3 适用范围：
数理方程课件
第十七页，编辑于星期一：二十一点 八分。
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数理方程课件3-3
第1步：对方程系数做变换，使其解析，将其展开为泰勒级数形式；
P( x) p( x) x 1 Q( x) q( x) x2 2 x2 本例中，
所以，这两个函数已经展成了泰勒级数，其中系数
Q0 2 , Q2 1, Qn 0 (n 0, 2) P0 1, Pn 0 (n 1)
ck
1 k (2 k )
ck 2
下面求用 c1 表示 c2k 1 的公式。重写系数关系式：
( k ) 2 2 ck ck 2 0
2 2 1 由 x 的系数，得： c1 ( 1) 0
x 次项开始，对应的系数为 c0 ，之前 （由于级数从
c2 k (1)k 1 22 k k !( 1)( 2)...( k ) c0
…
1 1 c2 k 4 c2 k 4 (2k 2)(2 2k 2) 2(k 1) 2( k 1)
1 2k (2 2k ) c2 k 2 1 c2 k 2 2k 2( k )
1
第一解对应判定方程的第一个根： 1 将其代入递推关系式： ck ( k )2 2 ck 2 得：
ck 1 k (2 k ) ck 2
1
可见，待定系数 c2k 将可以依次类推，用 c0 表示； c2k 1 可用 c1 表示。
ck
1 k (2 k )
数理方程课件33数理方程数理方程视频数理方程与特殊函数数理方程课后习题答案数理方程试卷北航数理方程数理方程常用公式数理方程pdf数理方程复习
§3-3 贝塞尔方程的级数解
用级数解法来求贝塞尔方程在x=0的邻域中的 级数解
数理方程中典型方程和定解条件的推导PPT课件
P i di
●
Gdx v dv
x
●
x dx
第16页/共87页
电路准备知识 电容元件：
du
i C C
C
dt
q Cu
i dq d(Cu) C du
dt dt
dt
q idt
电感元件：
uL
L
diL dt
uL
dL dt
L Li
di uL L dt
i
1 L
udt
换路定理: 在换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突变。
a2ux x utt
第14页/共87页
一维波动方程
二. 传输线方程(电报方程)的建立
现在考虑电流一来一往的高频传输线，它被当作具有分布参数的导体, 每单位长导线所具有的电阻、电感、电容、电导分别以 R、L、C、G 表示。
对于直流电或低频的交流电,电路的基尔霍夫（Kirchhoff）定律指出, 同一支路中的电流相等。但对于较高频率的电流（指频率还未高到显著 辐射电磁波出去的程度），电路导线中的自感和电容的效应不能被忽视， 因而同一支路中电流呈现瞬态变化。
g)
②一般说来，ut t g ， 将 g 略去，上式变为
T
u x
xdx T
u x
x
ds ut t
T( u x
u xdx x
x ) d x ut t
第12页/共87页
T T
T( u x
u xdx x
x ) d x ut t
T T 指出，即张力不随地点 而异，它在整根弦中取 同一数值。
“今考虑一来一往的高频传输线，每单位长一来一往所具有的电阻，电感，电容， 电漏分别记以 R，L，C，G。于是
数理方程课件
详细描述
一阶常微分方程在物理学、工程学、经济学等领域有广泛应用。
一阶常微分方程可以用于描述各种实际问题中变量的变化规律，如物理中的自由落体运动、电路中的电流变化等。在经济学中，一阶常微分方程可以用于描述供求关系的变化、消费和储蓄的动态过程等。在工程学中，一阶常微分方程也广泛应用于控制系统、化学反应动力学等领域。
数理方程可以根据其形式和性质进行分类。
总结词
根据其形式和性质，数理方程可以分为线性与非线性、自治与非自治、常系数与变系数等多种类型。这些分类有助于更好地理解和研究数理方程的性质和应用。
详细描述
数理方程的分类
总结词
数理方程在各个领域都有广泛的应用。
详细描述
数理方程在物理学、工程学、经济学、生物学等许多领域都有重要的应用。例如，在物理学中，描述波动、热传导、引力场等问题的方程都是数理方程。在工程学中，流体动力学、电磁学等领域的问题也都可以通过数理方程来描述和解决。
总结词
一阶常微分方程的定义
一阶常微分方程的解法
求解一阶常微分方程的方法主要有分离变量法、积分因子法、常数变易法和线性化法等。
总结词
分离变量法是将方程中的变量分离出来，使方程变为可求解的形式。积分因子法是通过引入一个因子，使方程变为全微分方程，从而简化求解过程。常数变易法适用于形式为y' = f(x)y的方程，通过代入可求解。线性化法则是将非线性方程转化为线性方程，便于求解。
分离变量法
有限差分法
有限元法
变分法
用离散的差分近似代替连续的微分，适用于求解初值问题和边界问题。
将连续的求解区域离散化为有限个小的子区域，适用于求解复杂的几何形状和边界条件。
通过求某个泛函的极值来求解偏微分方程，适用于求解某些特殊类型的方程。
一阶常微分方程在物理学、工程学、经济学等领域有广泛应用。
一阶常微分方程可以用于描述各种实际问题中变量的变化规律，如物理中的自由落体运动、电路中的电流变化等。在经济学中，一阶常微分方程可以用于描述供求关系的变化、消费和储蓄的动态过程等。在工程学中，一阶常微分方程也广泛应用于控制系统、化学反应动力学等领域。
数理方程可以根据其形式和性质进行分类。
总结词
根据其形式和性质，数理方程可以分为线性与非线性、自治与非自治、常系数与变系数等多种类型。这些分类有助于更好地理解和研究数理方程的性质和应用。
详细描述
数理方程的分类
总结词
数理方程在各个领域都有广泛的应用。
详细描述
数理方程在物理学、工程学、经济学、生物学等许多领域都有重要的应用。例如，在物理学中，描述波动、热传导、引力场等问题的方程都是数理方程。在工程学中，流体动力学、电磁学等领域的问题也都可以通过数理方程来描述和解决。
总结词
一阶常微分方程的定义
一阶常微分方程的解法
求解一阶常微分方程的方法主要有分离变量法、积分因子法、常数变易法和线性化法等。
总结词
分离变量法是将方程中的变量分离出来，使方程变为可求解的形式。积分因子法是通过引入一个因子，使方程变为全微分方程，从而简化求解过程。常数变易法适用于形式为y' = f(x)y的方程，通过代入可求解。线性化法则是将非线性方程转化为线性方程，便于求解。
分离变量法
有限差分法
有限元法
变分法
用离散的差分近似代替连续的微分，适用于求解初值问题和边界问题。
将连续的求解区域离散化为有限个小的子区域，适用于求解复杂的几何形状和边界条件。
通过求某个泛函的极值来求解偏微分方程，适用于求解某些特殊类型的方程。
第3课数理方程
17
定解问题的提出
方程 u′( x) = 0 能不能求解？解是什么？ 能不能定解？该怎么办？ 方程 u′′( x ) = 0 能不能求解？解是什么？ 能不能定解？该怎么办？ 由此可归纳出 n 阶常微分方程的通解含有 n个任意常数， 要完全确定这些常数需要附加 n个条件。
18
定解条件
1.初始时刻 :
均匀弦的微小横振动方程 三维热传导方程 定解条件和定解问题
1
弦的微小横振动方程
一长为L的柔软均匀细弦，拉紧后，当它 受到与平衡位置垂直的外力作用时，开始作微 小横振动。 假设这运动发生在同一平面内且与 方向垂直于平衡位置，求弦上各点位移随时间 变化规律。
弦上各点作往返运动的主要原因在于弦的张力作 用，弦在运动过程中各点的位移、加速度和张力都 在不断变化，但它们遵循物理的运动规律。由此可 以建立弦上各点的位移函数所满足的微分方程。
22
定解问题的适定性
定解问题的适定性:一个定解问题是否能够反映实
际，从数学的角度看主要是三个方面的问题：
解的存在性:即在给定的定解条件下，定解问题是否
有解存在? 从下一章起，我们要介绍三种典型的数学 物理方程的解法，它们直接给出了解的存在性的证 明。
解的唯一性:即在给定的定解条件下，定解问题的解
若存在，它是否唯一?如果能知道一个定解问题具有唯 一解，那么我们就能采用任何合适的方法去寻找它的 解。
∂u dQ = − k ( x , y , z ) dsdt = − k ∇ u ⋅ dSdt ∂n
10
其中 n 为曲面 ds 的外法向向量， k为热传导系数。 故从t1 到 t2 这段时刻流入曲面内部的热量为
Q1 =
∫
t2
t1
∂u ⎡ ⎤ ⎢ ∫∫S k ∂ n ⋅ ds ⎥ dt . ⎣ ⎦
定解问题的提出
方程 u′( x) = 0 能不能求解？解是什么？ 能不能定解？该怎么办？ 方程 u′′( x ) = 0 能不能求解？解是什么？ 能不能定解？该怎么办？ 由此可归纳出 n 阶常微分方程的通解含有 n个任意常数， 要完全确定这些常数需要附加 n个条件。
18
定解条件
1.初始时刻 :
均匀弦的微小横振动方程 三维热传导方程 定解条件和定解问题
1
弦的微小横振动方程
一长为L的柔软均匀细弦，拉紧后，当它 受到与平衡位置垂直的外力作用时，开始作微 小横振动。 假设这运动发生在同一平面内且与 方向垂直于平衡位置，求弦上各点位移随时间 变化规律。
弦上各点作往返运动的主要原因在于弦的张力作 用，弦在运动过程中各点的位移、加速度和张力都 在不断变化，但它们遵循物理的运动规律。由此可 以建立弦上各点的位移函数所满足的微分方程。
22
定解问题的适定性
定解问题的适定性:一个定解问题是否能够反映实
际，从数学的角度看主要是三个方面的问题：
解的存在性:即在给定的定解条件下，定解问题是否
有解存在? 从下一章起，我们要介绍三种典型的数学 物理方程的解法，它们直接给出了解的存在性的证 明。
解的唯一性:即在给定的定解条件下，定解问题的解
若存在，它是否唯一?如果能知道一个定解问题具有唯 一解，那么我们就能采用任何合适的方法去寻找它的 解。
∂u dQ = − k ( x , y , z ) dsdt = − k ∇ u ⋅ dSdt ∂n
10
其中 n 为曲面 ds 的外法向向量， k为热传导系数。 故从t1 到 t2 这段时刻流入曲面内部的热量为
Q1 =
∫
t2
t1
∂u ⎡ ⎤ ⎢ ∫∫S k ∂ n ⋅ ds ⎥ dt . ⎣ ⎦
数理方程第3讲PPT课件
13
从上面的讨论中可以看到在x，t平面上斜率 为1/a的两族直线xat=常数, 对一维波动方 程(3.1)的研究起着重要的作用, 称这两族直线 为一维波动方程的特征线. 因为在特征线x at=C2上, 右行波u2=f2(xat)的振幅取常数值 f2(C2), 在x+at=C1上左行波f1(x+at)=f(C1),
2 u 2 u 2 u u u A x 2 2 B x y C y 2 D x E y F u 0( 3 .1 2 )
15
A 2 u 2 B 2 u C 2 u D u E u F u 0( 3 .1 2 ) x 2 x y y 2 x y
xat
x
11
对初始轴t=0上的一个区间[x1,x2], 过x1点作斜 率为1/a的直线x=x1+at, 过x2点作斜率为1/a的 直线x=x2at, 它们和区间[x1,x2]一起构成一个 三角形区域, 解在其中的数值完全由[x1,x2]上 的初始条件决定, 称为[x1,x2]的决定区域.
t
决定区域
10
从达朗贝尔公式(3.11)还可以看出, 解在(x,t)点
的数值仅依赖于x轴上区间[xat,x+at]内的初
始条件, 而与其他点上的初始条件无关. 区间
[xat, x+at]称为点(x,t)的依赖区间. 它是由过
(x,t)点的两条斜率分别为1/a的直线在x轴所
截得的区间.
t
(x,t)
依赖区间
O xat
u t t0
(x),x.
(3.7)
将(3.6)中的函数代入(3.7)中, 得
a f1 f1 ((xx )) fa 2f(2 x ()x ) (x()x ,).
从上面的讨论中可以看到在x，t平面上斜率 为1/a的两族直线xat=常数, 对一维波动方 程(3.1)的研究起着重要的作用, 称这两族直线 为一维波动方程的特征线. 因为在特征线x at=C2上, 右行波u2=f2(xat)的振幅取常数值 f2(C2), 在x+at=C1上左行波f1(x+at)=f(C1),
2 u 2 u 2 u u u A x 2 2 B x y C y 2 D x E y F u 0( 3 .1 2 )
15
A 2 u 2 B 2 u C 2 u D u E u F u 0( 3 .1 2 ) x 2 x y y 2 x y
xat
x
11
对初始轴t=0上的一个区间[x1,x2], 过x1点作斜 率为1/a的直线x=x1+at, 过x2点作斜率为1/a的 直线x=x2at, 它们和区间[x1,x2]一起构成一个 三角形区域, 解在其中的数值完全由[x1,x2]上 的初始条件决定, 称为[x1,x2]的决定区域.
t
决定区域
10
从达朗贝尔公式(3.11)还可以看出, 解在(x,t)点
的数值仅依赖于x轴上区间[xat,x+at]内的初
始条件, 而与其他点上的初始条件无关. 区间
[xat, x+at]称为点(x,t)的依赖区间. 它是由过
(x,t)点的两条斜率分别为1/a的直线在x轴所
截得的区间.
t
(x,t)
依赖区间
O xat
u t t0
(x),x.
(3.7)
将(3.6)中的函数代入(3.7)中, 得
a f1 f1 ((xx )) fa 2f(2 x ()x ) (x()x ,).
《数理方程》课件
a2
2u x2
f
(x,t)
其中 f (x,t) F
也称上式为一维（非齐次）波动方程
16
二、热传导问题
1. 问题描述 考察均匀且各向同性的导热体内温度分布情况。
2. 模型分析 ➢ 均匀：介质密度相同，为常数； ➢ 各项同性：物体的比热、热传导系数为常数； ➢ 体：三维问题; ➢ 物理规律：能量守恒定律、Fourier热传导实验定律 3. 导出方
❖ Chapter 1
1. PDE基础知识（阶，线性，齐次，分类等）； 2. 定解问题的提法：基本概念，三类边界条件； 3. PDE解的基本性质。
1
❖ Chapter 2
1. ODE及Fourier级数的补充知识； 2. 定解问题的三类基于分离变量的求法：分离变量，特征函数，
边界条件齐次化； 3. Laplace方程的极坐标形式及其分离变量求解。
5
第一章 一些典型方程和定解条件的推导
1. 前言 2. 基本方程的建立 3. 初始条件与边界条件 4. 定解问题的提法
6
1. 前言
1.1 课程特点及其研究对象
数学物理方程，是指从物理学、力学及其他自然科学、 技术科学中所产生的偏微分方程，有时也包括与此有关的积分 方程，微分积分方程，甚至常微分方程等。
1. Laplace方程边值问题四种提法； 2. 第一、第二Green公式； 3. 调和函数的基本性质； 4. 特殊区域上的Green函数及其求解定解问题。
4
所需知识
高等数学 常微分方程 积分变换
课程评价(Grading Policies)
期末考试成绩 (80%左右)
平时成绩 (20%左右)
x
ds 1 ux 2 dx dx
研究生课程数理方程(3)
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二、勒让德多项式的模
第三章 第三节
证明
1
1
Pn
( x)2
dx
2 2n
1
1
1
(
x,
t
)2
dx
1 dx
11 2xt t 2
1
1
n0
Pn
( x)t
n
2
dx
t 2n 1 1
P2 n
(
x)dx
n0
（因 Pn (x)正交）
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第三章 第三节
又
1
1
1
dx 2xt t 2
1 t
1
t
(1
t
2
1
)2
第三章 第三节
1 t
t
1
(1
t
2
)
1 2
1 t
t
11
1t2 2
1 2
(1 1) 2 t4 2!
1 (1 22
1)(1 2
3!
2) t6
1 1 t 1 t 3 1.3 t 5 2 22 2! 23 3!
(1)k1 3(2k 1) t 2k1 2k1 (k 1)!
(
x)dx
?
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因为 所以
第三章 第三节
(1
2xt
t
2
)
1 2
Pn (x)t n ,
n0
1
0
(1
2xt
t
2
1
)2
dx
(
1
0
Pn
( x)dx)t
n
n0
而
1
0
数理方程重点总结PPT课件
边界条件（2）
为了导出初始条件，考虑：由初始位移为 0，知
Image u(x ,0) 0 由开初时，在 x c 处受到冲量 k 的作用知
u (x ,t)
k
0
c
c
c
对于c 点周围足够小的 0 ，弦段 c , c
x
上的动量改变，即为冲量，于是有
第3页/共51页
第2 题
u (x ,t)
k
M2
M1
l3 6a 2
l
M2 M1 l
l2 6a2
W (x)
1 6a 2
x3
( M2
l第M9页1 /共6l5a212 页)x
M1
再附：直接积分法 解偏微分方程的边值问题
2u x2 y
(1)
x y
u( x,0) x2
(2)
u(1, y) cos y
(3)
解 把（1）式写成
(u) x2y x y
l n
或
n
( n l
)2
(n 1,2,3,)
将所得到的本征值代入（3）式，得到本征函数
n
X n ( x) An cos( l ) x
(4)
三、基于所得到的本征值，解时间变量T(t) 的方程，然后叠加解。（叠加解）
第17页/共51页
将所得到的本征值代入时间变量的方程，得 T a2T 0 （时间变量的微分方程）
一. 均匀弦的横振动方程
u u( x, t) (振幅)
a2
2u x 2
2u t 2
a2uxx utt
a2 T
—— 一维波动方程
二. 传输线方程(电报方程)
i i( x, t) ,v v( x, t) (电流、电压)
数理方程第一章-3讲解
a2
(
2u x2
2u y2
2u z2
)
u t
a2 k c
—— 三维热传导方程
本课程内容，只涉及线性边界条件，且仅包括以下三类。
深圳大学电子科学与技术学院
第一类边界条件：物理条件直接规定了 u 在边界上的值，如
u S
f1
第二类边界条件：物理条件并不直接规定了 u 在边界上的值，而是规定了u 的法向微商在边界上的值，如
深圳大学电子科学与技术学院
知识补充：
弹性模量是指当有力施加于物体或物质时，其弹性变 形（非永久变形）趋势的数学描述。物体的弹性模量 定义为弹性变形区的应力－应变曲线的斜率。杨氏模 量指的是受拉伸和压缩时的弹性模量。
杨氏模量(Young‘s modulus)是描述固体材料抵抗形变 能力的物理量。一条长度为L、截面积为S的金属丝在 力F作用下伸长L。F/S叫应力，其物理意义是金属丝 单位截面积所受到的力； L/L叫应变，其物理意义是 金属丝单位长度所对应的伸长量。
dx
x
不考虑垂直杆方向的形变，根据Hooke定律，应力与应变成正
比，即 P E u x
代入
P x
2u t 2
2u t2
a2
2u x2
0 xl , t0
其中
a2 E
深圳大学电子科学与技术学院
例6：一根均匀杆，原长为l，一端固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长e而静 止。突然松手，任其纵向振动。写出定解问题。
（3）对于稳恒场，上述边界条件的两端均不含时间 t ; （4）边界条件的推导，步骤与泛定方程的推导大致相同，但微元只能在边界上选取。
x
x
S 2u d x
t2
Sdx dm（微元质量）
《数理方程》3省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
S
V
uxdydz uydzdx uzdxdy
[ux
cos
uy
cos
uz
cos
]ds
u n
ds
u
S
ds n
V
[uxx uyy uzz ]dxdydz
2/16
付里叶热传导定律:
在dt时段内,经过面积元ds流入体积元
旳热量 dQ 与沿面积元外法线方向旳
温度变化率
u n
成正比, 也与 ds 和dt
热传导方程旳初边值问题(第一类边界条件)
ut a 2uxx ,
0 x L, 0 t
u(0, t) 0, u(L, t) 0, 0 t
u( x,0) ( x),
0 x L
5/16
ut = a2[uxx + uyy + uzz ]
初始条件: u(x, y, z, 0)= (x, y, z)
边界上有热互换
u k x |xL k1(u |xL u1 )
u
7/16
k x |x0 k1(u |x0 u1 )
拉普拉斯方程与拉普拉斯算子
三维热传导方程: ut = a2[uxx + uyy + uzz ]
热传导问题中,假如物体内部没有热源,物体外围温度 不随时间变化,经过相当长时间后来,物体内部旳温度 将不再变化,趋于稳定状态。
主部
经过自变量旳非奇异变换简化主部，进而分类求解。
二次曲线分类回忆:
a11x2 + 2a12 x y + a22 y2 +b1x + b2y + C = 0
[ x y]aa1121
a12 a22
x y
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O x1
x2
x
12
从上面的讨论中可以看到在x，t平面上斜率 为1/a的两族直线xat=常数, 对一维波动方 程(3.1)的研究起着重要的作用, 称这两族直线 为一维波动方程的特征线. 因为在特征线x at=C2上, 右行波u2=f2(xat)的振幅取常数值 f2(C2), 在x+at=C1上左行波f1(x+at)=f(C1),
(3.17)
f1f(13(x3)x) f2f(2x()x) 3x02
(3.18) (3.19)
从(3.19)得
1 3
f1(3x)
f2 ( x)
C,
(3.20)
从(3.18)与(3.20)可得
20
f1(3x)
9 4
x2
C,
f1 ( x)
1 4
x2
C,
SrM
u(x rx1, y
S1o
S
ry1,
z
rz1,
t
)
d,
(3.25)
其中=x+rx1,=y+ry1,=z+rz1 是球面SrM 上的
点的坐标, S1o是以原点为中心的单位球面,
d是单位球面上的面积元素,
dS
是
S
M r
上的面
积元素, 显然有 dS=r2d. 在球面坐标系中,
x1=sin qcos , y1=sin qsin , z1= cos q, d=sin qdqd.
x2
xy y2 x y
它的特征方程为
A(dy)22Bdxdy+C(dx)2=0
(3.13)
并不是任意一个二阶线性偏微分方程(3.12)都
有两族实的特征线. 例如, 若在某一区域内B2
AC<0, 则过此域内每一点都不存在实的特征
线; 若在某域内, B2AC=0, 则过此域内每一点
仅有一条实的特征线; 只有在B2AC>0的域内,
1
第三章 行波法与积分变换法 §3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式
2
对于一维波动方程
2u a2 2u
t 2
x2
作如下代换:
x at, x at.
(3.1) (3.2)
3
x at,
x at.
(3.2)
u u u u u , x x x
u r
r a2
2u t 2
.
但
r
2u r 2
2
u r
2 (ru) r 2
所以最后得到方程
2 (ru) 1 2 (ru) r 2 a2 t 2
这是关于ru的一维波动方程, 其通解为
ru=f1(r+at)+f2(rat).
或 u(r,t) f1(r at) f2 (r at)
3xy=C1 x+y=C2 作特征变换
3x y, x y.
容易验证, 经过变换原方程化成 2u 0
它的通解为u=f1()+f2(),
(3.16)
19
其中f1,f2是两个任意二次连续可微的函数. 原 方程(3.14)的通解为
u(x,y)=f1(3xy)+f2(x+y) 把这个函数代入条件(3.15)得
3 y2
0,
y
0,
x
,
(3.14)
u
|
y
0
3x
2
,
u y
y0
0,
x
(3.15)
的解. 解 先确定所给方程的特征线. 为此, 写出它的 特征方程
(dy)22dxdy3(dx)2=0
18
(dy)22dxdy3(dx)2=0 它的两族积分曲线为
r
r
2
u r
r2
1
sinq
q
sinq
u
q
1
r2 sin2 q
2u
2
1 2u a2 t 2
当u不依赖于q,时, 这个方程可简化为
1 r2
r
r
2
u r
1 a2
2u t 2
25
或
r
2u r 2
2
f2
(x)
3 4
x2
C,
即
f2
(x)
3 4
x2
C.
代入(3.17)得到所求的解为
u(x, y) 1 (3x y)2 3 (x y)2 3x2 y2
4
4
(3.21)
21
作业 习题三 第57页开始, 第1题
22
§3.2 三维波动方程的泊松公式
23
本节考虑在三维无限空间中的波动问题, 即求
9
从达朗贝尔公式(3.11)还可以看出, 解在(x,t)点
的数值仅依赖于x轴上区间[xat,x+at]内的初
始条件, 而与其他点上的初始条件无关. 区间
[xat, x+at]称为点(x,t)的依赖区间. 它是由过
(x,t)点的两条斜率分别为1/a的直线在x轴所
截得的区间.
t
(x,t)
依赖区间
椭圆型方程, 拉普拉斯方程及泊松方程均属于
椭圆型; 若在某域内B2AC=0, 则在此域内称
(3.12)为抛物型方程, 热传导方程属于抛物型;
若在某域内B2AC>0, 则在此域内称(3.12)为
双曲线方程, 波动方程属于双曲线型.
17
例 求下列柯西问题:
2u 2u 2u
x
2
2 xy
为球心, 以r为半径的球面上的平均值 u , 则这个平
均值当x,y,z暂时固定后就只与r,t有关了.
先引入一个函数u (r,t), 它是函数 u(x,y,z,t)在
以点 M(x,y,z)为中心,
以
r
为半径的球面
S
M r
上
的平均值, 即
28
u
(r,
t
)
1
4 r 1
4
2 u( ,, ,t)d
O xat
xat
x
10
对初始轴t=0上的一个区间[x1,x2], 过x1点作斜 率为1/a的直线x=x1+at, 过x2点作斜率为1/a的 直线x=x2at, 它们和区间[x1,x2]一起构成一个 三角形区域, 解在其中的数值完全由[x1,x2]上 的初始条件决定, 称为[x1,x2]的决定区域.
x
8
所以, u2=f2(xat)表示一个速度a沿x正轴方向 传播的行波, 称为右行波. 同样道理, u1=f1(x+at)就表示一个速度a沿x轴负方向传播 的行波, 称为左行波. 达朗贝尔公式表明, 弦上 的任意扰动总是以行波形式分别向两个方向 传播出去, 其传播速度正好是弦振动方程中的 常数a. 基于上述原因, 所以本节所用的方法就 称为行波法
方程. 对于更一般的二阶线性偏微分方程
A
2u x2
2B
2u xy
C
2u y 2
D
u x
E
u y
Fu
0
(3.12)
14
A 2u 2B 2u C 2u D u E u Fu 0 (3.12)
x2
xy y2 x y
它的特征方程为
29
从(3.25)及 u(x,y,z,t)的连续性可知, 当 r0 时, limu (r,t) u(M ,t), 即
r0
u (0,t) u(M ,t), 下面推导u (r,t)所满足的微分方程. 对方程 (3.22)的两端在SrM 所围成的球体VrM 内积分 (为了区别球体内的任意点的坐标与球心 M 点的坐标(x,y,z), 以(x, y, z)表示任意点的坐 标, 应用奥-高公式可得
u(x,t) 1 [(x at) (x at)] 1
xat
( )d
2
2a xat
(3.11)
此式称为无限长弦自由振动的达朗贝尔公式.
7
现在讨论解的意义, 在公式
u(x,t)=f1(x+at)+f2(xat)
(3.6)
中, 先考虑函数u2=f2(xat), 在t=0时,
x,
y,
z
.(3.24)
这个定解问题仍可用行波法来解, 但坐标变量
有三个, 不能直接利用前面的通解公式.
24
3.2.1 三维波动方程的球对称解
如果将波函数u用空间球坐标(r,q,)表示, 所 谓球对称就是指u与q,都无关,于是u只是r,t的
函数. 在球坐标系中, 波动方程(3.22)为
1 r2
2u x2
u
u
x
u
u
x
2u
2
2
2u
2u
2
(3.3)
同理有 2u t 2
a2
2u
2
2u 2
ห้องสมุดไป่ตู้