第2信息安全数学基础数论

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数学知识点归纳数论与密码学的基础

数学知识点归纳数论与密码学的基础数学知识点归纳：数论与密码学的基础数论是数学的一个分支，研究的是整数及其性质。

而密码学是应用数论的一个领域，研究的是信息保密和安全通信的方法。

本文将就数论和密码学的基础知识进行归纳和总结。

一、数论的基础知识1. 整数和整除性质：整数是自然数、0和负整数的集合。

整除是指一个数能够整除另一个数，也可以说是被整除的那个数是另一个数的倍数。

2. 最大公约数和最小公倍数：最大公约数是两个数中最大的能够同时整除它们的数；最小公倍数是能够同时被两个数整除的最小的非零自然数。

3. 模运算：模运算是指将一个数对另一个数取余得到的结果，表示为a mod b。

常用于解决循环问题、计算机编程和密码学等领域。

4. 素数和合数：素数是指只能被1和自身整除的数，大于1的非素数称为合数。

二、RSA公钥密码体制RSA密码体制是一种基于数论的非对称加密算法，由三位数学家Rivest、Shamir和Adleman共同发明。

它利用了大数分解的困难性来提供安全性。

1. 密钥生成：RSA算法需要生成一对公私密钥。

首先选择两个不同的素数p和q，计算它们的乘积n=p*q。

选择一个与(p-1)*(q-1)互质的整数e作为公钥，计算私钥d使e*d ≡ 1(mod (p-1)*(q-1))。

2. 加密过程：将明文M转换为整数m，然后使用公钥(e,n)对明文进行加密，得到密文C ≡ m^e(mod n)。

3. 解密过程：使用私钥(d,n)对密文进行解密，得到明文M ≡C^d(mod n)。

三、素性测试素性测试是判断一个大数是否为素数的方法，其中最著名的是费马素性测试和米勒-拉宾素性测试。

1. 费马素性测试：根据费马小定理，如果p是素数且a是p的一个互质整数，那么 a^p-1 ≡ 1(mod p)。

因此，对于一个给定的大数n，若不等式a^n-1 ≡ 1(mod n)成立，那么n一定是合数。

费马素性测试虽然简单，但在实际应用中效果较差。

信息安全数学基础 pdf

信息安全数学基础 pdf
1 信息安全数学基础
信息安全数学基础是当下信息安全领域的重要组成部分。

它不仅
涉及数学基本原理，还关联着计算机科学、密码学、计算机技术等学
科的理论体系。

信息安全基于一些数学理论尤其是密码学，利用特定的数学基础，利用数学理论实现安全信息传输，保护系统、数据库及网络安全，使
之达到全面的安全保护。

例如，在信息安全领域，密钥及算法安全性
建立在数论理论上，如随机数发生、数论理论等。

信息安全数学基础通常包括数学基本原理、数据结构、计算机科学、密码学、计算机技术等广泛的学科的系统学习。

它的研究，不仅
需要对各门学科深入的研究，还要加强对这些学科之间的联系与融合，从学科角度探求祕钥的基本原理及其衍生的用途。

信息安全数学基础的研究将有助于培养学生具有良好的系统化学
习与研究理论能力，增强学生应用和研究数学原理、方法和软件工具，提高学生针对信息安全领域问题进行分析和处理的能力，更好地把握
和应对今后信息安全领域的发展。

信息安全数学基础的研究给信息安全领域的发展带来了很大的推
动力，是当代信息化经济社会发展的重要基础，特别是互联网安全与
政府、军队、企业、学校等重要网络应用系统的安全保护，势在必行。

因此，从培养学生的角度出发，对信息安全数学基础进行系统地学习和研究，将有利于培养具有素质的信息安全专业人才。

第2章信息安全数学基础new(数论)

x ≡ b1*M1*y1+b2*M2*y2+…+br*Mr*yr (mod M) Mi = M/mi , yi = Mi-1 (mod mi) (1 ≤i ≤r)
2015-3-19
2015-3-19
则： b的乘法逆元为t k
扩展欧几里德算法与乘法逆元（续）
例：求 28 mod 75的乘法逆元(a=75,b=28)
i
ri
qi
si
2
0
1
2
9
1
1
-2
3
1
2
-1
3
4
0
9
3
-8
2015-3-19
∵3× 75＋（－8）× 28＝1 ∴28－1＝－8（mod 75）＝67
19*11=1 mod 26
所以：11的逆元为19。
2015-3-19
扩展欧几里德算法
2015-3-19
第2章信息安全数学基础 2.3 中国剩余定理
2015-3-19
中国剩余定理
《孙子算经》中记载着一道世界闻名的“孙子问题”： “今有无不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”
2015-3-19
中国剩余定理（续）
中国剩余定理(孙子: Sun Ze, 公元前450年,孙子定理)：设自然数 m1,m2,…mr两两互素，并记 M=m1m2…mr，则
同余方程组 : x ≡ b1(mod m1) x ≡ b2(mod m2) ....... x ≡ br(mod mr)
有唯一解：
若an 0 (mod m)，则称为 n 次同余方程。
定义（同余方程的解）设x0是整数，当x = x0时式 f(x) = anxn + ⋯ + a1x + a0成立，则称x0是同余方程的解。

信息安全中的数学基础第一章

最小公倍数与最大公因子关系
定理1-8
a，b 2）
（a，b）
1）设d是a，b的任意公倍数，则 [a，b] d． ab ，特别地，如果(a，b) = 1，[a，b] = |ab|．
定理2证明
证明
1）做带余除法： d = q[a，b] + r，0r[a，b]，由于ad，bd，那么 a[a，b]，b[a，b]，则ar，br， r也是a，b的公倍数，
互素
定义1-7：设a，b是两个不全为0的整数，如果(a，b) = 1，
则称a，b互素．
推论1-1：a，b互素的充分必要条件是：
存在u，v，使ua+vb = 1．证明必要条件是定理1的特例，只需证充分条件．如果存在u，v，使 ua+vb = 1．则由(a，b)(ua+vb)，得(a，b)1，所以(a，b) = 1．
v，使
(a，b)= ua+vb．
最大公因子定理
例6：将a = 888，b = 312的最大公因子表示为(a，b) = ua+vb 解利用欧几里得除法求最大公因子的过程可以解出． 888 = 2312+264 312 = 1264+48 264 = 548+24 48=2 24 我们有： 264 = 8882312=a-2b 48 = 312264 = b (a-2b) = –a+3b 24 = 264548 = (a-2b)5(–a+3b) =6a17b 故(888，312) = 24 = 6888+(17)312．
（3）近世代数（第二版），韩士安，林磊著，科学出版社， 2009年
《信息安全数学基础》课程介绍
课程内容：数论，近世代数，有限域课程目的：培养抽象思维能力和严格的逻辑推理能力, 为学习专业基础课及专业课打好基础

第2章信息安全数学基础(数论)

问题：是否所有的正整数都有原根？例如：m＝12Φ(m)＝6＝2×3，与m互素的正整数包括5，7，11。

52（mod 12）＝1因此，5对12的次数是272（mod 12）＝1因此7对模数m的次数为2112（mod 12）＝1因此11对模数m的次数为2因此m＝12没有原根。

2015-4-42015-4-4定理（整数存在原根的必要条件）：设m>1，若m 有原根，则m 必为下列诸数之一：2，4，p l ，2p l （l ≥1，p 为奇素数）。

定理（整数存在原根的充分条件）：设m ＝2，4，p l ，2p l （l ≥1，p 为奇素数）时，则m 有原根。

定理（整数原根个数）：设m 有一个原根g ，则m 恰有ϕ(ϕ(m))个对模数m 不同余的原根，这些原根由以下集合给出：{}|1(),(,())1tS g t m t m ϕϕ=≤≤=2015-4-417g m m m m m 1(),(,())13mod733mod75m t m t m ϕϕϕϕϕϕ×≤≤===例如，已知＝3是＝7的一个原根，求的所有元根。

解：（）＝6＝23（（））＝（6）＝2因此有两个元根。

满足条件的t=1,5即有两个元根，分别为3和5原根的判断：一般来说，判断g是否时一个素数m的原根时，不需要逐一计算g1，g2，…，gϕ(m)，而仅需要计算g t(modm），其中t|t|ϕϕ(m)。

2015-4-42015-4-4 23g m m 4mod74mod7)24mod7)14mod71m ϕϕ×==16例如，判断＝4是否是＝7的一个原根解：（）＝6＝23满足条件t|(m)的t=1,2,3,6（）＝4（（（）＝因此4不是的本元根。

2015-4-4本原根有关定理（续）定理（原根的计算）：12()2...11(mod )(1,2,...,)i s m q m m q q q g m g m gm i s ϕϕ>≠=设，（）的所有不同的素因子是，，，，（，）＝，则是的一个原根的充要条件是： 3121220812412525))20,812mod4140112mod411811241g m m q q m m q q m ϕϕϕ×====≠≠例如，证明＝是＝的原根。

第2章信息安全数学基础(数论)计算机系统与网络安全技术课件

2020/10/3
素数定义及素数个数定理
1.定义：
一个大于1的整数p，只能被1或者是它本身整除,而不能被其他整数整除，则称整数为素数(prime number)，否则就叫做合数(composite)。 eg 素数（2，3，5，7，11，13等）
合数（4，6，8，9，12等）
2020/10/3
素数补充定理
Euclid算法实例：求 gcd(132, 108).
132110824, 10842412, 24212,
gcd(1,1302)8 gcd(1,0284) gcd(42,12) 12.
2020/10/3
最大公约数的欧几里得算法（续）
欧几里得算法（例1）
求：gcd（1180，482）
1 1 8 0＝ 2 4 8 2＋ 2 1 6 4 8 2＝ 2 2 1 6＋ 5 0 2 1 6＝ 4 5 0＋ 1 6 5 0＝ 3 1 6＋ 2 1 6＝ 8 2＋ 0
≈3.9 * 1097.
2020/10/3
整数的唯一分解定理
1.整数的唯一分解理定理（算术基本定理）:
设n∈Z, 有分解式, n = ±p1e1p2e2...pmem,其中p1, p2,…, pm∈Z+是互不相同的素数, e1,e2,…,em∈Z+, 并且数对(p1, e1), (p2, e2),…,(pm, em)由n唯一确定（即如果不考虑顺序，n的分解是唯一的）.
b r1q2 r2, 0 r2 r1,
gcd(r1,r2 )
r1 r2q3 r3, 0 r3 r2,
gcd(r2,r3)
..........
rn2 rn1qn rn, 0 rn rn1,
rn1 rnqn1,

2023大学_信息安全数学基础(李继国著)课后习题答案下载

2023信息安全数学基础(李继国著)课后习题答案
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2023信息安全数学基础(李继国著)课后习题答案下载
《信息安全数学基础》系统地介绍了信息安全理论与技术所涉及的数论、代数、椭圆曲线等数学理论基础。

全书共分为6章：第1章是预备知识，介绍了书中后面几章所涉及的基础知识;第2章和第3章是数论基础，包括整数的因子分解、同余式、原根、二次剩余、数论的应用等内容。

第4章是代数系统，包括群、环、域的概念，一元多项式环和有限域理论初步等内容;第5章是椭圆曲线，包括椭圆曲线的预备知识、椭圆曲线、椭圆曲线上的离散对数等内容;第6章是线性反馈移位寄存器，包括反馈移位寄存器、分圆多项式和本原多项式、m序列等内容。

书中每章末都配有适量习题，以供学生学习和复习巩固书中所学内容。

信息安全数学基础(李继国著)：内容提要
第1章预备知识
第2章数论基础(一)
第3章数论基础(二)
第4章代数系统基础
第5章椭圆曲线
第6章线性反馈移位寄存器(LFSR)
参考文献
……
信息安全数学基础(李继国著)：图书目录
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网络安全数学基础

§2.3 一次同余式
§2.3 孙子定理
网络安全数学基础
沈佳辰 jcshen@
• 教材：《信息安全数学基础》陈恭亮著 • 参考书目：
《数论讲义》（第二版），柯召、孙琦著《近世代数引论》（第二版），冯克勤、章璞著《离散数学》，董晓蕾、曹珍富著
• 考核方式
平时成绩30%，期中考试30%，期末考试40%
主要内容
• 初等数论
－整除性理论－同余式－原根
• 近世代数
－群－环－域－椭圆曲线
• 培养逻辑思维和抽象思维的能力 • 是密码学与网络安全的数学基础
网络安全数学基础第一章整数的可除性
§1.1 整除性
§1.2 整数的表示
§1.3最大公因数与欧几里德除法
0 1 4
235 49
49 39 1
1 0 0
0 1
2
4 5
1 3
1 9
39 10
9 1
10 9
1 0
0 1
-1 4
1 -1
4 -5
1 -4
5 -19
-4 5
-19 24
§1.4 素数与算术基本定理
网络安全数学基础第二章同余
§2.1 同余的定义与基本性质
§2.2 剩余类与完全剩余系

02-1 数论与代数

欧几里得算法和扩展欧几里德算法
开始计算
计算b=5模a=26的逆元。带入模的逆元。计算的逆元带入ax+by=gcd(a,b)，得26x+5y=gcd(26,5) ，
计算步骤
迭代：迭代： 26x+5y=gcd(26,5) 迭代：迭代： 5x+1y=gcd(5,1) 最大公约数gcd(a,b)=1 最大公约数迭代
e e p1e1 p22 L pk k
的一个典型分解式，是n的一个典型分解式，的一个典型分解式
1 1 1 ϕ ( n ) = n 1 − 1 − L 1 − p1 p2 pk
虽然我们可以通过分解两个正整数a和来计算它们虽然我们可以通过分解两个正整数和b来计算它们的最大公因子，但是目前还没有分解整数的有效算的最大公因子，但是目前还没有分解整数的有效算法。这里我们来描述一个计算两个整数的最大公因子的这里我们来描述一个计算两个整数的最大公因子的有效算法，称为Euclidean算法。算法。有效算法，称为算法其理论依据是：如果a，b是两个正整数，a>b，则是两个正整数，其理论依据是：如果，是两个正整数，
因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公和的公约数是一样的，因此的公约数是一样的约数也必然相等，得证。约数也必然相等，得证。
欧几里得算法和扩展欧几里德算法
首先描述Euclidean算法的基本形式，它可以给出两算法的基本形式，首先描述算法的基本形式个正整数a和的最大公因子的最大公因子。个正整数和b的最大公因子。Euclidean算法首先令算法首先令 r0为a，令r1为b，然后执行如下除法运算：，，然后执行如下除法运算：

信息安全数学基础(课堂PPT)

a bq
成立,则称b整除a或者a被b整除,记作b | a. 此时q可写成a / b或 a .
b 如果b | a, 则b叫做a的因数, 而a叫做b的倍数.
如果b不能整除a,则记作b | a.
2020/4/24
计算机科学与技术学院
14
注 : (1) 当b遍历整数a的所有因数时, b也遍历整数 a的所有因数.
这是不可能的.故素数有无穷多个.
2020/4/24
计算机科学与技术学院
30
三、欧几里得除法(带余除法)
定理9 (欧几里得除法) 设a, b是两个整数,其中b 0,则存在唯一的整数 q, r,使得
a = bq + r, 0 r b
其中q叫做a被b除所得的不完全商, r叫做a被b除所得的余数.
P. Samuel 著 ✓“Primality and Cryptography”E. Kranakis 著 ✓《椭圆曲线密码学导论》张焕国等译
2
计
4
课件邮箱
邮箱：infosecmath@ 密码：123456
2
计
5
信息安全数学基础
第1章：整数的可除性
2
计
6
整数论是研究整数的学科
2020/4/24
计算机科学与技术学院
9
素数的数目是有限多还是无穷多？
➢ 有了研究的对象集合，再建立对象集合上的运算。
✓一些乘法的经验表明，有些数是一些比1大的其它数的乘积
✓而有些数，就没有这种性质----质数(素数)
✓在欧几里德的《原本》中，已经有一个简单而巧妙的推理能够得出结论：质数无穷多
存在整数n1 ,使得 n pn1 1 p n1 n
因此 p2 n, 故 p n.

信息安全导论数学基础

信息安全导论数学基础一、模运算1、模p运算和普通的四则运算有很多类似的规律，如：规律公式结合率((a+b) mod p + c)mod p = (a + (b+c) mod p) mod p((a*b) mod p * c)mod p = (a * (b*c) mod p) mod p交换率(a + b) mod p = (b+a) mod p(a × b) mod p = (b × a) mod p分配率((a +b)mod p × c) mod p = ((a × c) mod p + (b × c) mod p) mod p2、模p相等：如果两个数a、b满足a mod p = b mod p，则称他们模p相等，记做a ≡b mod p可以证明，此时a、b满足a = kp + b，其中k是某个整数。

3、对于模p相等和模p乘法来说，有一个和四则运算中迥然不同得规则。

在四则运算中，如果c是一个非0整数，则ac = bc 可以得出a =b但是在模p运算中，这种关系不存在。

例如：(3 x 3) mod 9 = 0(6 x 3) mod 9 = 0但是3 mod 9 = 36 mod 9 =64、定理（消去律）：如果gcd(c,p) ＝1 ，则ac ≡ bc mod p 可以推出a ≡ b mod p 。

注释：gcd最大公约数（greatest common divisor，简写为gcd；或highest common factor，简写为hcf)，指某几个整数共有因子中最大的一个。

最小公倍数（lcm）关系：gcd(a, b)×lcm(a, b) = ab。

5、模P乘法逆元：对于整数a、p，如果存在整数b，满足ab mod p =1，则说，b是a的模p乘法逆元。

定理：a存在模p的乘法逆元的充要条件是gcd(a,p) = 1。

注释：当a与p互素时，a关于模p的乘法逆元有唯一解。

信息安全数学基础第2版第9章密码学中的数学问题

二次剩余问题
二次剩余问题
离散对数问题
第5节
离散对数问题
离散对数问题
➢ 主要内容
离散对数问题和大整数分解问题是公钥密码学中最主要的两个困难问题，在本节中将介绍离散对数问题及其衍生出的多种形式的数学难题。
离散对数问题
离散对数问题
离散对数问题
离散对数问题
双线性对问题
第6节
二次剩余问题
双线性对问题
➢ 学习要求：
• 了解当前重要的密码算法中涉及的数学问题； • 理解公钥密码方案设计中涉及的数学问题及其计算的困难性； • 了解公钥密码方案设计原理及其安全性基础.
密码学中的数学问题
CONTENTS
目录
1 素性检测 2 大整数分解问题 3 RSA问题 4 二次剩余问题 5 离散对数问题 6 双线性对问题
《信息安全数学基础（第2版）》
第9章密码学中的数学问题
密码学中的数学问题
➢ 主要内容
本章前面几章介绍了数论、代数系统和椭圆曲线方面的内容，这些内容都是现代密码学中密码算法和密码协议构造和分析的最主要的数学工具。
本章将主要介绍前面几章的数学知识在密码学中的应用，包括密码学中的一些数学问题、数学知识在密码学算法和协议方案设计中的应用、密码学算法和协议方案的安全性基础等。
➢ 主要内容
双线性对是离散对数问题衍生出的一种重要的数学问题，其在密码学的密码协议设计中有着重要应用，本节将对双线性对的数学原理和困难问题进行简要介绍。
双线性对问题
双线性对问题
双线性对问题
双线性对问题
双线性对问题
双线性对问题
小结
➢ 本章小结
密码学的基础是数学，重要的密码算法和密码协议（特别是公钥密码算法）大都是基于一些数学问题构造的，例如RSA基于大整数分解问题，ElGamal基于有限域乘法群上的离散对数问题，ECC是基于有限域椭圆曲线群上的离散对数问题等。本章详细介绍了密码学中的一些数学问题、数学知识在密码学算法和协议方案设计中的应用、密码学算法和协议方案的安全性基础等。

信息安全的数学基础

信息安全的数学基础
信息安全的数学基础可以总结为以下几个方面：
1. 密码学：涉及到各种加密算法和解密算法，主要是数论、代
数和概率论方面的知识。

对称加密算法（如DES、AES等）和非对称加
密算法（如RSA、ECC等）都是基于数学原理的。

2. 数字签名：数字签名是数字证书体系的基础。

数字签名涉及
到哈希函数、公钥密码体制等数学算法，这些算法在数字认证、电子
邮件、电子商务等领域得到广泛应用。

3. 随机数生成：随机数生成是很多加密算法中不可或缺的功能。

在信息安全中，随机数的产生要具有不可预测性，这可以通过伪随机
序列算法和真随机序列算法来实现。

其中，真随机序列算法主要依赖
于物理随机事件的产生，如收音机收音噪声和光学噪声等，这也需要
数学中的统计学和概率论知识。

4. 数字证书：数字证书是数字身份证明的一种方式，它包括了
某个实体的公钥以及相关的信息，可以用于数字证明的验证。

数字证
书一般采用了基于数学算法的公钥密码体制，如RSA和ECC等。

此外，数字证书的设计和实现还要涉及证书格式、证书吊销等方面的数学知识。

总之，信息安全中的数学基础是十分广泛和深奥的，需要掌握多
种数学知识才能确保信息安全。

数论与密码学数学在信息安全中的应用

数论与密码学数学在信息安全中的应用1. 密码学的概述信息安全是当今社会中非常重要的一个领域，它涉及到数据的保护和传输的安全。

而密码学作为信息安全的核心学科之一，研究了如何保护信息的机密性、完整性和可用性。

在密码学的发展过程中，数论起到了至关重要的作用。

2. 数论在密码学中的应用数论是研究自然数性质的学科，它与密码学的结合产生了许多重要的加密算法和协议。

其中最著名的例子是RSA加密算法。

RSA算法是一种非对称密码算法，它基于数论中的整数分解问题。

其主要原理是选择两个大素数p和q，计算它们的乘积n=p*q，并选取一个与(p-1)*(q-1)互质的整数e作为加密指数。

在加密时，将明文m通过公钥(n, e)进行加密得到密文c。

而解密则需要使用私钥(p, q, d)，其中d是e关于(p-1)*(q-1)的模反元素。

RSA算法的安全性依赖于大整数进行因数分解的困难性。

此外，数论还广泛应用于其他密码学算法中，如椭圆曲线密码算法（ECC）。

ECC基于椭圆曲线上的离散对数问题，其数学基础包括椭圆曲线上的点加法和倍乘运算。

通过适当选择椭圆曲线和基点，可以实现高效的公钥加密、签名和密钥交换。

3. 密码学对数论的发展影响密码学的发展推动了数论领域的研究和进步。

数论中一些重要的数学问题，如素数检验、因数分解和离散对数等，得到了密码学的关注。

密码学的需求促使数学家们提出了一些新的数论假设和算法，进一步发展了数论理论。

例如，素数检验是密码学中的一个基础问题。

传统的素数检验算法如试除法和费马素性检验在大数情况下效率较低。

为了加快素数检验的速度，数论学家提出了一种基于数论定理的新算法，如Miller-Rabin素性检验。

此外，密码学也为数论中的一些未解决问题提供了新的研究视角。

例如，因子分解问题在RSA算法的安全性中起到了关键作用，但目前还没有找到一种高效的算法。

解决这一问题被认为是数论领域的一大挑战，数论学家们一直在努力寻找更快速、高效的因子分解算法。

信息安全数学课程教学大纲

信息安全数学课程教学大纲信息安全数学课程教学大纲引言：信息安全是当今社会中至关重要的领域之一。

随着科技的不断进步和互联网的普及，我们的生活越来越离不开数字化和网络化。

然而，随之而来的是我们面临着越来越多的信息安全威胁。

为了应对这些威胁，我们需要培养一批专业的信息安全人才。

而信息安全数学课程则是其中至关重要的一环。

一、课程目标信息安全数学课程的目标是让学生掌握基本的数学知识，并将其应用于信息安全领域。

通过该课程的学习，学生应能够理解和应用密码学、数据加密、数字签名等相关数学原理，以及分析和解决信息安全问题的方法。

二、课程内容1. 数论基础数论是信息安全数学课程的基础，它研究的是整数的性质和相互关系。

在这一部分的学习中，学生将掌握素数、最大公约数、同余等基本概念，并了解它们在密码学中的应用。

2. 密码学原理密码学是信息安全的核心领域，它研究的是如何保护信息的机密性和完整性。

在这一部分的学习中，学生将学习对称密码和非对称密码的原理，了解公钥密码体制、流密码和分组密码等概念，并掌握常用的加密算法和解密方法。

3. 数据加密与解密数据加密是信息安全的重要手段之一，它通过对数据进行转换和处理，使其在传输和存储过程中难以被非法获取。

在这一部分的学习中，学生将学习数据加密的基本原理，包括对称加密和非对称加密算法的应用，以及常见的数据加密标准和协议。

4. 数字签名与认证数字签名是保证信息完整性和真实性的重要手段之一，它通过对信息进行加密和签名，确保信息在传输和存储过程中不被篡改。

在这一部分的学习中，学生将学习数字签名的原理和应用，了解数字证书和公钥基础设施等相关概念。

5. 安全协议与攻击安全协议是保障信息安全的重要手段之一，它通过规定通信双方的行为和规则，确保信息在传输过程中不被窃取和篡改。

在这一部分的学习中，学生将学习常见的安全协议，如SSL/TLS协议和IPSec协议，并了解常见的攻击手段和防御方法。

三、教学方法信息安全数学课程的教学方法应注重理论与实践相结合。

信息安全数学基础(武汉大学)第一章

称 q 为 b 除 a 的不完全商。当b | r 时， b | a ；特别的，当 r = 0 时，q 为完全商。
2011-3-15 西南交通大学信息科学与技术学院
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(1) 取 c = 0，则 0 ≤r < |b|，称 r 为 a 被 b 除后的最小非负余数，此时， b | a r=0 (2) 取 c = 1，则 1 ≤r ≤|b|，称 r 为 a 被 b 除后的最小正余数，此时， b | a r =|b| (3) 取 c = -|b|+ 1，则 -|b|+ 1 ≤ r ≤ 0 ，称 r 为 a 被 b 除后的最大非正余数，此时， b | a r=0 (4) 取 c = -|b|，则 -|b|≤ r < 0，称 r 为 a 被 b 除后的最大负余数，此时， b | a r = -|b| (5) 当 b 为偶数时，取 c = -|b|/ 2，有 -|b|/ 2 ≤ r < |b|/ 2，或取 c = -|b|/ 2 + 1，有 -|b|/ 2 < r ≤ |b|/ 2；当 b 为奇数时，取 c = -(|b|-1) / 2，有-(|b|-1) / 2 ≤ r ≤ (|b|-1) / 2，此时，称 r 为绝对值最小余数
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（问题3－素数个数是否无限？）
定理1-3：素数有无穷多个。
证明：反证法。假定素数只有有限多个（k个），记为
p1=2, p2=3, … , pk 设整数 n=p1· p2…pk+1, ∵ n>pi (i=1,2,…,k), ∴ n 为合数。由定理1-2知，一定存在1≤j≤k，使得 pj | n，又∵ pj | p1· p2…pk,, ∴ 由整除的性质1-1(3)得： pj | (n - p1· p2…pk)=1 而这是不可能的，所以存在无穷多个素数。

信息安全数学基础

信息安全数学基础信息安全是当今社会中非常重要的一个领域，随着互联网的发展和普及，信息安全问题也日益突出。

而要保障信息的安全，数学基础是至关重要的。

本文将从信息安全的数学基础入手，简要介绍一些与信息安全密切相关的数学概念和方法。

首先，我们要了解信息安全的基本概念。

信息安全是指在计算机系统中，对信息的保密性、完整性和可用性进行保护的一系列技术和措施。

而在实现这些目标的过程中，数学起着至关重要的作用。

其中，最基本的数学概念之一就是密码学。

密码学是研究如何在敌手存在的情况下，实现信息的保密性和完整性的科学。

在密码学中，数论和代数是两个非常重要的数学分支，它们为密码算法的设计和分析提供了重要的数学基础。

在密码学中，最基本的算法之一就是对称加密算法。

对称加密算法使用一个密钥来对信息进行加密和解密。

而在对称加密算法中，数学中的置换和替换运算是非常重要的。

通过置换和替换运算，可以使得加密后的信息在没有密钥的情况下难以被破解。

而在对称加密算法中，数学基础的坚实与否直接决定了算法的安全性。

除了对称加密算法外，公钥加密算法也是信息安全中非常重要的一部分。

公钥加密算法使用了数论中的大数分解和离散对数等数学问题，这些问题的复杂性使得公钥加密算法能够提供较高的安全性。

同时，公钥加密算法也是实现数字签名和数字证书的基础，这些技术在信息安全中起着至关重要的作用。

此外，信息安全中还涉及到随机数生成、哈希函数、消息认证码等数学概念和方法。

随机数的质量直接关系到密码算法的安全性，而哈希函数和消息认证码则是保证信息完整性的重要手段。

这些方法的设计和分析都需要数学的支持。

总之，信息安全的数学基础是非常重要的。

密码学、数论、代数、概率论等数学分支为信息安全提供了坚实的基础。

只有深入理解和熟练运用这些数学知识，才能更好地保障信息的安全。

希望本文的介绍能够对读者有所帮助，让大家对信息安全的数学基础有一个更清晰的认识。

高中数学选修3-2：信息安全与密码

高中数学选修3-2：信息安全与密码数论和代数在现代信息理论、信息安全中有许多重要的应用。

本专题将介绍和学习初等数论的某些知识（如整除与同余），以及数论在现代信息安全中的某些重要应用，使学生了解数学在信息科学中的应用，提高对数学的鉴赏力和学习数学的兴趣。

一、内容与要求1．初等数论的有关知识（1）了解整除和同余，模的完全同余系和简化剩余系，欧拉定理和费马小定理，大数分解问题。

（2）了解欧拉函数的定义和计算公式，威尔逊定理及在素数判别中的应用，原根与指数，模的原根存在性，离散对数问题。

2．数论在信息安全中的应用（1）了解通讯安全中的有关概念（如明文、密文、密钥）和通讯安全中的基本问题（如保密、数字签名、密钥管理、分配和共享）。

（2）了解古典密码的一个例子：流密码（利用模同余方式）。

（3）理解公钥体制（单项函数概念），以及加密和数字签名的方法（基于大数分解的RSA方案）。

（4）理解离散对数在密钥交换和分配中的应用--棣弗-赫尔曼（Diffie-Hellman）方案。

（5）理解离散对数在加密和数字签名中的应用--盖莫尔（El Gamal）算法。

（6）了解拉格朗日插值公式在密钥共享中的应用。

3．完成一个学习总结报告报告应包括两方面的内容：（1）知识的总结。

对信息安全有关内容的理解和认识，体会数学（数论和代数学）在信息安全中的作用。

（2）拓展。

通过查阅课外资料，对某些内容和应用进行进一步探讨和思考。

二、说明与建议1．本专题的教材编写与教学应力求深入浅出。

教学时，教师应注意介绍相关内容（如通信技术的发展等）的历史与背景，帮助学生理解信息安全中需要解决的问题以及如何利用公钥体制解决这些问题，体会大数分解和离散对数等思想方法在现代信息安全中所起的作用。

2．在条件允许的情况下，教师应引导学生利用计算机对下列问题进行思考，编制程序、上机实验。

(1) 用辗转相除计算最大公约数；(2) 解同余方程；(3) 判断大整数是否为素数（用Wilson定理）；(4) 大数分解。

信息安全数学基础教学大纲

《信息安全数学基础》课程教学大纲课程编码：ZJ28603课程类别：专业基础课学分： 4 学时：64学期： 3 归属单位：信息与网络工程学院先修课程：高等数学、C语言程序设计、线性代数适用专业：信息安全、网络工程（中韩合作）一、课程简介《信息安全数学基础》（Mathematical foundation of information security）是信息安全、网络工程（中韩合作）专业的专业理论课程。

本课程主要讲授信息安全所涉及的数论、代数和椭圆曲线论等基本数学理论和方法，对欧几里得除法、同余、欧拉定理、中国剩余定理、二次同余、原根、有限群、有限域等知识及其在信息安全实践中的应用进行详细的讲述。

通过课程的学习，使学生具备较好的逻辑推理能力，具备利用数学理论知识解决信息安全实际问题的能力，树立信息安全危机意识和防范意识，树立探索未知、追求真理、勇攀科学高峰的责任感和使命感，树立为国家信息安全事业发展做贡献的远大理想。

二、课程目标本课程教学应按照大纲要求，注重培养学生知识的学习和应用能力，使学生在学习过程中，在掌握信息安全领域所必需的数学基础知识的同时，提升学生的理论水平、业务素质、数学知识的应用能力，支撑人才培养方案中“课程设置与人才培养目标达成矩阵”相应指标点的达成。

课程目标对学生价值、知识、能力、素质要求如下：课程目标1：激发学生爱国主义情怀和专业知识钻研精神，使其树立正确的价值观。

课程目标2：培养学生树立信息安全危机意识和防范意识。

课程目标3：激发学生树立为国家信息安全事业发展做贡献的远大理想。

课程目标4：使学生掌握整除的相关概念和欧几里德算法的原理与应用。

课程目标5：使学生掌握同余式的求解方法及其在密码学中的经典应用。

课程目标6：使学生掌握群环域等代数结构的特点及其在密码学中的经典应用。

课程目标7：使学生掌握信息安全数学基础中的专业韩语知识。

三、教学内容与课程目标的关系四、课程教学方法1、理论课堂（1）采用案例式教学，讲述我国科技工作者将自主科研创新和国家重大需求相结合，经过不懈努力取得辉煌成果的真实事件，激发学生爱国主义情怀和专业知识探究热情，使学生树立正确的价值观。